Matemática Financeira - Conceitos Iniciais

*FGV - EPGE

Reviso

Matemtica Financeira

Professor Claudio BarbedoProfessor Aldo Ferreira

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Conceitos Fundamentais da Matemtica Financeira

Juro (J)

- Em princpio, uma unidade monetria hoje prefervel mesma unidade monetria disponvel amanh.

- Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifcio, o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros.

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Juro (J)

- So os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formao de poupanas e de novos investimentos na economia.

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Juro (J)Os juros devem ser eficientes de maneira a remunerar: - o risco envolvido na operao- a perda do poder de compra (inflao)- o custo de oportunidade

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Juro (J)

- Outras denominaes para juro so rendimento do capital, ganho sobre o capital ou remunerao do capital.

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Capital Inicial (C0)Capital pode ser definido como sendo a quantia inicial que se tem ou que se recebe. Outras denominaes para capital inicial so capital (C), principal (P), valor presente (VP), valor inicial, valor aplicado ou depsito inicial.

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Montante (M ou S)Montante o resultado total que se obtm da aplicao do capital, ou seja, quanto se recebe ou se paga pelo emprstimo do capital. O montante tambm chamado de capital final (Ct), valor futuro (VF), valor de resgate, capital + juros, valor final ou valor capitalizado.

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Perodo (t ou n)Perodo definido como sendo o espao de tempo pelo qual o capital ficou aplicado. Este dado vem representado por um nmero de perodos que podem ser, por exemplo, dias, meses, trimestres ou anos.

Representamos o nmero de perodos pela letra n, mas ele tambm pode ser identificado pela letra t, de tempo.

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Conceitos Fundamentais da Matemtica FinanceiraTaxa de Juros (i ou r) - A taxa de juros o coeficiente que determina o valor do juro, isto , a remunerao do fator capital utilizado durante certo perodo de tempo. - As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (ms, semestre, ano, etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitria.

- A notao i vem do ingls interest (taxa).

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Conceitos Fundamentais da Matemtica FinanceiraTaxa Percentual

- A taxa percentual se refere aos centos do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centsima parte do capital. Por exemplo, um capital de R$ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juros ao final deste perodo:

- O capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remunerao total da aplicao no perodo , portanto, de R$ 200,00.

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Conceitos Fundamentais da Matemtica FinanceiraTaxa Unitria

- A taxa unitria centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo perodo de tempo.- No exemplo acima, a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 (20% = 20/100) por unidade de capital aplicada, ou seja:

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Inversamente, para transformar uma taxa unitria em sua forma percentual deve-se multiplic-la por 100.

EXEMPLOS DE TAXA DE JUROSForma PERCENTUALPara transformar na forma unitriaForma UNITRIA20% ao ano20/1000,2 ao ano6% ao semestre6/1000,06 ao semestre2% ao ms2/1000,02 ao ms0,3% ao dia0,3/1000,003 ao dia

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Representao Grfica dos Conceitos Fundamentais da Matemtica Financeira

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Diagrama do Fluxo de Caixa

*Conceitos Fundamentais da Matemtica FinanceiraRegras Bsicas- Nas frmulas de matemtica financeira, tanto o prazo da operao como a taxa de juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo.- Os critrios de transformao do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo podem ser efetuados atravs das regras de juros simples (mdia aritmtica) e de juros compostos (mdia geomtrica), dependendo do regime de capitalizao definido para a operao.

*Conceitos Fundamentais da Matemtica FinanceiraCritrios de capitalizao dos jurosOs critrios (regras) de capitalizao demonstram como os juros so transformados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Nesta conceituao podem ser identificados dois regimes de capitalizao dos juros: simples (ou linear) e composto (ou exponencial).

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Capitalizao simples (juros simples)

Exemplo

Suponha um indivduo que deposita R$1.000,00 em um banco que lhe promete juros simples de 10% a.a. Qual ser seu saldo ao final de 4 anos?Conceitos Fundamentais da Matemtica Financeira

AnoSaldo inicialJurosSaldo final12341.0001.1001.2001.3000,1 x 1.000 = 1000,1 x 1.000 = 1000,1 x 1.000 = 1000,1 x 1.000 = 1001.1001.2001.3001.400

*Conceitos Fundamentais da Matemtica Financeira- O regime de capitalizao simples comporta-se como se fosse uma progresso aritmtica (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Neste critrio, os juros apenas incidem sobre o capital inicial da operao (aplicao ou emprstimo), no se registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados.

*Regime de Capitalizao SimplesExemplo (continuao)- Os juros, por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de R$ 1.000,00, apresentam valores idnticos ao final de cada ano (0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00);- Em conseqncia, o crescimento dos juros no tempo linear (no exemplo, cresce R$ 100,00 por ano), revelando um comportamento idntico a uma progresso aritmtica. Os juros totais da operao atingem, nos 5 anos, R$ 500,00;- Se os juros simples, ainda, no forem pagos ao final de cada ano, a remunerao do capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial (R$ 1.000,00), no ocorrendo remunerao sobre os juros que se formam no perodo.

*Regime de Capitalizao SimplesExemplo (continuao)- Como os juros variam linearmente no tempo, a apurao do custo total da dvida no prazo contratado processada simplesmente pela multiplicao do nmero de anos pela taxa anual, isto : 5 anos x 10% ao ano = 50% para 5 anos.

- Se desejar converter essa taxa anual para ms, por exemplo, basta dividir a taxa anual por 12, isto : 10% ao ano/12 meses = 0,8333% ao ms, e assim por diante.

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Capitalizao simples (juros simples)

Clculo dos Juros (J):

J = valor dos juros; i = taxa de juros unitriaVP = valor presente; e n= prazoClculo do Valor Futuro (VF):

Nota) Da frmula acima, temos que:

Conceitos Fundamentais da Matemtica FinanceiraJ = VP x i x nVF = VP + JVF = VP x (1 + i x n)

Plan1

VP =VF

(1+ i x n)

Plan2

Plan3

*ExemploUma pessoa aplica R$ 18.000,00 taxa de 1,5% ao ms durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final deste perodo.Soluo:VP = R$ 18.000,00i = 1,5% ao ms (Taxa unitria igual 0,015 a.m.)n = 8 mesesVF = M = ?M = 18.000,00 x (1 + 0,015 x 8)M = 18.000,00 x 1,12 = R$ 20.160,00

*ExemploUma dvida de R$ 900.000,00 ir vencer em 4 meses. O credor est oferecendo um desconto de 7% ao ms caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidao da dvida. Soluo:M = R$ 900.000,00n = 4 mesesi = 7% ao ms (0,07)C = VP = ?

*Regime de Capitalizao SimplesTaxa proporcional e taxa equivalente- Toda operao envolve dois prazos: (1) o prazo a que se refere a taxa de juros; e (2) o prazo de capitalizao (ocorrncia) dos juros.- necessrio para o uso das frmulas de matemtica financeira expressar esses prazos diferentes na mesma base de tempo.- No regime de juros simples, diante de sua prpria natureza linear, esta transformao processada pela denominada taxa proporcional de juros, tambm chamada de taxa linear. Essa taxa proporcional obtida da diviso entre a taxa de juros considerada na operao e o nmero de vezes em que ocorrero os juros (quantidade de perodos de capitalizao).

*Regime de Capitalizao SimplesTaxa proporcional e taxa equivalente Exemplo

Calcular a taxa anual proporcional a: 6% ao ms; 10% ao bimestre.

Soluoa) i = 6% x 12 = 72% ao anob) i = 10% x 6 = 60% ao ano

*Regime de Capitalizao SimplesTaxa proporcional e taxa equivalenteExemploCalcular a taxa de juros semestral proporcional a:(a) 60% ao ano; (b) 9% ao trimestre.

Soluo:Deve haver uma igualdade entre a razo das taxas e a razo dos perodos a que se referem. a.s., porque

b) a.s.

*Exemplo

Uma instituio financeira oferece a seus clientes uma taxa de rentabilidade de 1,2% a.m., a juros simples. Determinar o valor do rendimento de uma aplicao de R$10.000,00 efetuada nessa instituio por um prazo de 18 dias.SoluoVP = 10.000, n = 18 dias , i = 1,2% / 30 = 0,04% a.d. Rendimento = VF VP = 10.000,00 x 0,0004 x 18 = R$ 72,00.

*NomenclaturaCapital Inicial (C0)ou Principal (P)ou Valor Presente (VP)Capital Final (Ct)ou Montante (M ou S)ou Valor Futuro (VF)Perodos: t ou nJuros ou rentabilidade: i ou rConceitos Fundamentais da Matemtica Financeira

*EXERCCIOSExerccios: 3; 4; 29; 39; 66.

*Conceitos Fundamentais da Matemtica FinanceiraRegimes de capitalizao (continuao)No Regime de Capitalizao composta (juros compostos), os juros de um perodo so incorporados ao capital para clculo do perodo seguinte. Diz-se, assim, que os juros so capitalizados (somados ao capital) e passam a gerar novos juros no perodo seguinte, resultando no que se denomina juros sobre juros.Como os juros de cada perodo so apurados a partir do valor inicial capitalizado, ou seja, acrescido dos juros acumulados at o perodo anterior, pode-se inferir que os rendimentos sero crescentes para uma mesma aplicao ou um mesmo investimento.

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Capitalizao composta (juros compostos)

Exemplo

Suponha um indivduo que deposita R$1.000,00 em um banco que lhe promete juros compostos de 10% a.a. Qual ser seu saldo ao final de 4 anos?Conceitos Fundamentais da Matemtica Financeira

AnoSaldo inicialJurosSaldo final12341.000,001.100,001.210,001.331,000,1 x 1.000 = 100,000,1 x 1.100 = 110,000,1 x 1.210 = 121,000,1 x 1.331 = 133,101.100,001.210,001.331,001.464,10

*Juros Compostos - Representao GrficaExemplo (continuao) 01234ano1001001001001.0001.1001.2001.3001.400Juros compostos (exponencial)VF = capital ao final do ano t i = taxa de jurosVP = capital inicialValor Futuro

*- Juros de cada perodo so calculados sobre o saldo existente no incio do respectivo perodo;- Juros acumulados ao longo dos perodos, quando retidos pela instituio financeira, so capitalizados e passam a render juros; e- Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, exponencial (ou em progresso geomtrica)

Conceitos Fundamentais da Matemtica FinanceiraCapitalizao composta (juros compostos)

*Ao final de cada perodo, o juro obtido nesse perodo incorporado ao principal que o produziu e passam os dois, principal mais juro, a render juros no perodo que segue. Assim :

S1 = P + J = P + P x i x 1 => S1 = P x ( 1 + i )S2 = S1 + J2 = S1 + S1 x i x 1 = S1 x ( 1 + i ) = P x ( 1 + i ) 2 S3 = P x ( 1 + i ) 3 e assim por diante.

A frmula geral dada por:


Capitalizao composta (juros compostos)

Sn = P x ( 1 + i ) n ou VF = VP x ( 1 + i ) n

*Exemplo Determinar o valor acumulado em 24 meses, a uma taxa de 1% a.m., a partir de um principal de R$ 2.000,00.

Basta aplicar a frmula

VF = VP ( 1 + i ) n

... HP ...VF = 2.000,00(1+0,01)24 = 2.539,46

*Exerccio- Uma loja oferece duas alternativas de pagamento de um bem cujo preo R$ 1.000,00. A primeira um desconto vista de 25%, a segunda o preo cheio para 30 dias. Dado que o dinheiro do comprador est aplicado a 30% ao ms, qual a melhor alternativa de pagamento?

*Soluo Valor vista => R$ 750,00 Se aplicar esse valor a 30%, seu valor futuro R$ 975,00, o que no paga a TV l na frente.Logo, a melhor estratgia o pagamento vista com desconto

*Taxas equivalentes Juros CompostosDuas taxas equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital inicial (principal), durante um mesmo perodo de tempo, produzem o mesmo capital disponvel (montante) acumulado ao final daquele perodo.

*ExercciosExerccios: 1; 6; 14; 19; 20; 21; 30; 32; 62; 67.

*Taxas de Juros:Efetiva x Nominal

*Taxa Efetiva- Unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao.- Exemplos3% a.m. (capitalizados mensalmente); 12% a.a. (capitalizados anualmente).Taxa Nominal- Unidade de tempo no coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao.- Exemplos(I) 12% a.a capitalizados mensalmente (II) 24% a.a capitalizados trimestralmente

*Taxa Proporcionais - Juros SimplesA taxa nominal tem uma taxa efetiva implcita, que obtida atravs de taxas proporcionais, a juros simples Ex: 12% a.a capitalizados mensalmente 1% a.m 24% a.a capitalizados trimestralmente 6% a.t

*Taxas equivalentes Juros CompostosDuas taxas equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital inicial (principal), durante um mesmo perodo de tempo, produzem o mesmo capital disponvel (montante) acumulado ao final daquele perodo.

*ExemploQuais as taxas de juros compostos mensal etrimestral equivalentes a 25% ao ano?Soluo:a) Taxa de juros equivalente mensali = 25% a.a.q = 1 ano (12 meses)

b) Taxa de juros equivalente trimestralq = 1 ano (4 trimestres)

*Exemplo- Uma taxa dita nominal quando o prazo de capitalizao dos juros (ou seja, perodo de formao e incorporao dos juros ao principal) no o mesmo daquele definido para a taxa de juros.

Exemplo) Seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada mensalmente. Os prazos no so coincidentes. O prazo de capitalizao de um ms e o prazo a que se refere a taxa de juros igual a um ano (12 meses). A taxa por perodo de capitalizao de 36%/12 = 3% ao ms (taxa proporcional ou linear). Taxa efetiva de juros: = 42,6% ao ano

*Nota) Quando os prazos forem coincidentes (prazo da taxa e de formao dos juros), a representao da taxa de juros abreviada. Por exemplo, a expresso nica 10% a.a. indica que os juros so tambm capitalizados em termos anuais.

*Nomenclatura de Taxa de JurosTaxa Efetiva x Taxa NominalCaderneta de Poupana: 6% a.a. ou 0,5 % ao ms?6,17% a.a.Taxa nominal : 6 % a.a. capitalizados mensalmenteTaxa efetiva mensal: 0,5% a.m.Taxa efetiva anual: 6,17% a.a.As trs taxas acima so Equivalentes pois quando aplicadas ao mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

*ExercciosExerccios: 24; 57.

*Desconto em Juros SimplesDesconto por fora (Desconto Bancrio ou comercial): calculado multiplicando-se o Valor Futuro pela taxa de juros e pelo nmero de perodos.

Desconto por dentro (Desconto Racional): calculado multiplicando-se o Valor Presente pela taxa de juros e pelo nmero de perodos.VP = VF x (1 d x n)VF = VP x (1 + d x n)

*ExemploDeterminar o valor da taxa mensal de desconto por dentro e por fora usada numa operao de desconto de 60 dias, de uma duplicata com valor de resgate de R$ 10.000,00 e com valor de principal igual a R$ 9.750,00.VP = 9.750; VF = 10.000; n = 60 dias (2 meses)VF = VP x (1 + d x n) VP = VF x (1 d x n)

*Exemplo Voc tem uma aplicao para resgate de R$ 1.500,00 em 3 meses e deseja antecipar a retirada. Se a taxa de Desconto Bancrio (Racional) de 8% ao ms, qual o valor resgatado na data de hoje?

Resoluo:i) Desconto bancrio Desconto = 0,08 x 3 x 1500 = 360 Valor Regatado = R$ 1500 360

ii) Desconto racional VP = 1500/(1+ 0,08 x 3)= 1209,67 Desconto = 1209,67 x 3 x 0,08 = 290,32

*Desconto em Juros CompostosDesconto por fora (Desconto Bancrio ou comercial): raramente aplicado no Brasil.

Desconto por dentro (Desconto Racional) : o mais aplicado na prtica.

VP = VF x (1 d)n

*ExemploVoc tem uma aplicao para resgate de R$ 1.500,00 em 3 meses e deseja antecipar a retirada. Se o regime de Desconto Composto utilizado e a taxa de 8% ao ms, qual o valor resgatado na data de hoje?

ResoluoVP = VF / (1 + j)n = 1500 / (1,08)3Valor Regatado = R$ 1.190,75

*ExercciosExerccios: 23; 28; 33; 41; 43; 55; 63; 65.

*Exerccio ExtraDois meses antes do seu vencimento, um ttulo de valor nominal N sofrer desconto. Se o desconto for racional composto e a taxa utilizada for de 20% ao ms, o valor dodesconto ser igual a d. Se o desconto for comercial composto, qual dever ser a taxa mensal de desconto para que o valor do desconto seja o mesmo?(A) 83,3% (B) 69,1% (C) 42,8% (D) 20,0%(E) 16,7%

*Sries Uniformes- At agora tratamos o juros compostos em pagamentos simples, isto , uma entrada e uma sada de caixa.

- O que acontece quando temos vrias entradas (ou sadas) de caixa?

- o que vamos ver a seguir.

*Sries UniformesExemplo- Suponha que lhe seja oferecido um bem que custa 4 prestaes mensais de R$1.000,00. Qual o valor presente deste bem, supondo que a taxa de juros praticada no mercado igual a 10%?

*Sries UniformesVP = R x (1 + i)-1 + R x (1 + i)-2 + R x (1 + i)-3 + R x (1 + i)-4, multiplicando por (1 + i)VP x (1 + i ) = R + R x (1 + i)-1 + R x (1 + i)-2 + R x (1 + i)-3 Diminuindo a segunda equao da primeira, temos:VP x (1 + i ) VP = R - R x (1 + i)-4, temos:

*Sries UniformesGeneralizando

Exemplo Uma pessoa obteve emprstimo de R$ 10.000,00, para ser pago em 8 prestaes iguais, com juro composto de 8% ao ms. Qual o valor de cada prestao?

resolvendo P = R$ 1.740,10

*Sries Uniformes CapitalizaoPor deduo semelhante a anterior:

Calcule quanto terei no fim de um ano, se deposito R$ 500,00 durante 11 meses, a juros compostos de 2%.

*ExercciosExerccios: 5; 13; 17; 26.

*PerpetuidadesEsta srie ou anuidade se chama assim porque os fluxos de caixa so perptuos. Por esta razo, obviamente, no podemos avali-las descontando todos os fluxos de caixa e nem to pouco aplicando a frmula diretamente. Felizmente, a avaliao extremamente simples, e isto pode ser visto com um pouquinho de matemtica.

*1) Sries de pagamentos uniformes e infinitasVP = PGTOi10nPGTOVPgVP = PGTOi- gPerpetuidades

*Exemplo 1Uma loja comercial tem apresentado receita mdia anual de R$ 1.500.000,00. Sabendo-se que possui potencial de crescer em mdia 5% ao ano o faturamento no futuro, qual o valor do negcio para uma taxa de juros de 10%?

O pedgio de uma rodovia estadual arrecada em mdia $ 200.000/ms. Calcular o valor presente dessas rendas, considerando um custo de capital de 2% a.m..

PerpetuidadesExemplo 2

*Perpetuidades

Para fazer uma doao, que paga $100.000 por ano, para sempre, quanto dinheiro deve ser reservado hoje se a taxa de juros 10%?

A Companhia de Seguro Bobs Life Co. est tentando lhe vender uma aplice que renderia a voc e a seus herdeiros $ 5.000 por ano, para sempre. Se a taxa de retorno exigida nesse investimento igual a 8%, quanto voc pagaria pela aplice?Exemplo 3Exemplo 4

*ExercciosExerccios: 50.

*O reembolso de um emprstimo ou financiamento consiste no pagamento de prestaes em datas predeterminadas. Estas prestaes so compostas de duas partes:- Amortizao: a parte da prestao que est abatendo o valor inicial do emprstimo sem o cmputo do juro, ou seja, a devoluo do principal.- Juro: a parte da prestao que remunera o dono do dinheiro pelo emprstimo, ou seja, o que se cobra pelo aluguel do dinheiro.

Sistemas de amortizao

PRESTAO = AMORTIZAO + JURO

* Outros Conceitos- Credor ou Mutuante: aquele que d o emprstimo;- Devedor ou Muturio: aquele que recebe o emprstimo;- Taxa de Juros: a taxa acordada entre as partes. sempre calculada sobre o saldo devedor; e- Carncia: diferimento na data convencional do incio dos pagamentos.

Sistemas de amortizao

*Outros Conceitos (continuao)- Prazo de Amortizao: o intervalo de tempo durante o qual so pagas as amortizaes- Parcelas de Amortizao: correspondem s parcelas de devoluo do principal Sistemas de amortizao

*- As prestaes so iguais e em sequncia, ou seja, uma srie uniforme de pagamentos.- Nesse sistema, o juro decrescente e a amortizao, crescente.- A cota de amortizao na ltima prestao igual ao saldo devedor anterior.- O saldo devedor em um determinado momento o valor atual da srie, que corresponde aos pagamentos que so devidos.

Sistema Francs de Amortizao ou Tabela (Sistema) Price

*- utilizado na compra prazo de bens de consumo (crdito direto ao consumidor).Nota) Alguns autores consideram a Tabela Price (Sistema Price) como um caso particular do Sistema Francs de Amortizao, em que a nica diferena que a taxa de juros da operao nominal. Dessa forma, o clculo da Tabela Price se inicia com o clculo da taxa efetiva da operao. As demais etapas so idnticas quelas do Sistema Francs.

Sistema Francs de Amortizaoou Tabela (Sistema) Price

*prestaosaldo devedortempotempoamortizaojuros- Representao das prestaes:Sistema Francs de Amortizao

*Ex. Uma mquina custa R$ 10.000 com financiamento em at 5 anos, carncia de principal e juros no primeiro ano e parcelas anuais calculadas com base em uma taxa de juros igual a 10% a.a.

Per. nSaldo inicialJurosjAmortaParcelapSaldo final0---10.000110.000+10.000* 10%--+10.000+10.000*10%234

5


Per. nSaldo inicialSIJurosjAmortaParcelapSaldo finalSF0---10.000110.00011.000--11.0002SFSI*j+p-jPMTSI-a3PMT4PMT5PMT


Per. nSaldo inicialJurosjAmortaParcelapSaldo final0---10.000110.0001.000--11.000211.0001.1002.3703.4708.6303SFSI*j+p-j3.470+SI-a43.470

53.470


Per. nSaldo inicialJurosjAmortaParcelapSaldo final0---10.000110.0001.000--11.000211.0001.1002.3703.4708.63038.6308632.6073.4706.0234SFSI*j+p-j3.470+SI-a53.470


Per. nSaldo inicialJurosjAmortaParcelapSaldo final0---10.000110.0001.000--11.000211.0001.1002.3703.4708.63038.6308632.6073.4706.02346.0236022.8683.4703.15553.1553153.1553.4700


Grf1

00010000

10001111000

11002370.17884076713470.17884076718629.8211592329

862.98211592332607.19672484383470.17884076716022.6244343891

602.26244343892867.91639732823470.17884076713154.708037061

315.47080370613154.7080370613470.17884076710

Juros

Amortizao

Parcela

Saldo final

Plan1

JurosAmortizaoParcelaSaldo finalSaldo inicial

010,000

11,00011,00010,000

21,1002,3703,4708,63011,000

38632,6073,4706,0238,630

46022,8683,4703,1556,023

53153,1553,47003,155

10%

Plan1

0000

0000

0000

0000

0000

0000

Juros

Amortizao

Parcela

Saldo final

Plan2

Plan3

*Sistema de amortizao constante (SAC) ou Sistema Hamburgus de Amortizao- A amortizao constante e igual ao valor do emprstimo dividido pelo nmero de prestaes.- Nesse sistema, a prestao e o saldo devedor decrescem em progresso aritmtica.- Utilizado em financiamentos a longo prazo.- Popularizado pelo Sistema Financeiro de Habitao (SFH)

*- Representao das prestaes:tempotemposaldo devedorprestaojurosamortizao


Per. nSaldo inicialJurosjAmortaParcelapSaldo final0---10.000110.0001.000--11.000211.000SI*j+SI/n+j+a+SI-a3+SI-a+SI/n+SI-2a

4+SI-2a+SI/n+SI-3a

5+SI-3a+SI/n+SI-4a


Per. nSaldo inicialJurosjAmortaParcelapSaldo final0---10.000110.0001.000--11.000211.0001.1002.7503.8508.25038.250+SI*j2.750+j+a5.50045.5002.7502.75052.7502.7500


Per. nSaldo inicialJurosjAmortaParcelapSaldo final0---10.000110.0001.000--11.000211.0001.1002.7503.8508.25038.2508252.7503.5755.50045.5005502.7503.3002.75052.7502752.7503.0250


Grf2

00010000

10001111000

1100275038508250

825275035755500

550275033002750

275275030250

Juros

Amortizao

Parcela

Saldo final

Plan1

JurosAmortizaoParcelaSaldo finalSaldo inicialJurosAmortizaoParcelaSaldo finalSaldo inicial

010,000010,000

11,00011,00010,00011,00011,00010,000

21,1002,3703,4708,63011,00021,1002,7503,8508,25011,000

38632,6073,4706,0238,63038252,7503,5755,5008,250

46022,8683,4703,1556,02345502,7503,3002,7505,500

53153,1553,47003,15552752,7503,0250.02,750

10%10%

Plan1

Juros

Amortizao

Parcela

Saldo final

Plan2

Juros

Amortizao

Parcela

Saldo final

Plan3

*Sistemas de Amortizao O sistema Price expe mais o financiador ao risco de crdito;O volume de juros recebidos maior no sistema PriceJuros acumuladosSaldo devedor

Grf3

1000010000

1800018000

16483.827493261513500

13754.71698113219000

8842.31805929924500

-00

PRICE

SAC

Plan1

PRICESAC

JurosAmortizaoParcelaSaldo inicialSaldo finalSaldo finalJurosAmortizaoParcelaSaldo inicial

0010,00010,000

18,00010,000118,00018,0008,00010,000

214,4001,51615,91618,000216,48413,50014,4004,50018,90018,000

313,1872,72915,91616,484313,7559,00010,8004,50015,30013,500

411,0044,91215,91613,75548,8424,5007,2004,50011,7009,000

57,0748,84215,9168,8425(0)0.03,6004,5008,1004,500

80%80%

Plan1

Juros

Amortizao

Parcela

Saldo final

Plan2

Juros

Amortizao

Parcela

Saldo final

Plan3

PRICE

SAC

Grf4

00

80008000

2240022400

35587.061994609233200

46590.835579514840400

53664.690026954244000

PRICE

SAC

Plan1

PRICESAC

JurosAmortizaoParcelaSaldo inicialSaldo finalSaldo finalJurosAmortizaoParcelaSaldo inicial

0010,00010,000

18,00010,000118,00018,0008,00010,000

214,4001,51615,91618,000216,48413,50014,4004,50018,90018,000

313,1872,72915,91616,484313,7559,00010,8004,50015,30013,500

411,0044,91215,91613,75548,8424,5007,2004,50011,7009,000

57,0748,84215,9168,8425(0)0.03,6004,5008,1004,500

80%PRICESAC80%

jurosSaldo final

00.0

18,0008,000

222,40022,400

335,58733,200

446,59140,400

553,66544,000

Plan1

Juros

Amortizao

Parcela

Saldo final

Plan2

Juros

Amortizao

Parcela

Saldo final

Plan3

PRICE

SAC

PRICE

SAC

*Sistema de Amortizao Misto (SAM)- As prestaes correspondem mdia aritmtica das prestaes calculadas pelo Sistema Francs e pelo SAC.Sistema de Americano de Amortizao- Nesse sistema, o devedor obriga-se a devolver o principal em uma s parcela, no final do prazo concedido. Os juros podem ser pagos durante a carncia ou capitalizados e devolvidos juntamente com o principal.- Todo o prazo do emprstimo considerado como carncia e a amortizao, portanto, feita no ltimo pagamento. A forma de pagamento dos juros define as duas modalidades do Sistema Americano.

*ExercciosExerccios: 15, 18, 27, 36, 56, 59, 68.

*************

Matemática Financeira - Conceitos Iniciais

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