Matemática - Funções - Livro pdf

64
Matemática 5 Funções

description

Livro de caráter básico sobre o assunto de funções. Para quem quer ter um conhecimento mais aprofundado, recomendo os seguintes livros do ensino superior : James Stewart - Cálculo I ; George B. Thomas - Cálculo I ; Guidorizzi - um curso de cálculo.

Transcript of Matemática - Funções - Livro pdf

Page 1: Matemática - Funções - Livro pdf

����������

�� ����

Page 2: Matemática - Funções - Livro pdf
Page 3: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� �

���� ����������������������

Page 4: Matemática - Funções - Livro pdf
Page 5: Matemática - Funções - Livro pdf

��������������

����

����

���

���������� ��������������������������������������� ���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� �

����� ���������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� �� �������� �������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� �

����� � �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �� ���� ���������� ������� ��������������������������������������������������������������������������������������������� � � �� ����������!������"� ���������������������������������������������������������������������������������������� � �����"�#"�����������$����������������%��&�������$�"#�� �������������������������� � �'���"�#"�����������$�������������������(����"���������������������������������� ��

������������� � ��������������������������������������������������������������������������������������������� ��

������������������� � ��������������������������������������������������������������������������������������� ��

��� �! ����������� � �������������������������������������������������������������������������������������� ��

���������� �������������������������� �"�#�$���� ����# ����������������������������������������������������������������������������������������� ��

����� $����� ������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������� '�� �� $����� ������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������� '����� $�����������(��� ��������������������������������������������������������������������������������������������������� '

����� �����������%�&'��#� ��� ������������������������������������������������������������������������ �( ������"�)���� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � ����*+� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � ����,-���"��������.��� �������������������������������������������������������������������������������������������������� / �'�� ����"����"�����0�1��2 ����������������������������������������������������������������������������������������� / �3��0�.�������(����"� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� / �4�� ��5���� ���&� ���������������������������������������������������������������������������������������������������� �

����� �����������%�) �#�$*����# �������������������������������������������������������������������� �������,-���"��������.��� �������������������������������������������������������������������������������������������������� � �� �� ,������ 01����� ������������������������������������������������������������������������������������������������������ �

����� ������������%�&'�����"�# ���������������������������������������������������������������������������� ��

������������������������������������)�'�������#���#� �#�+�������# �������������������������������������������������������������������������� �(

������6������������(��� ���������������������������������������������������������������������������������������������� ���� ���6��������� ��(��� ���������������������������������������������������������������������������������������������� �/

���, �-����)���� ���������������������������������������������������������������������������������������������� ��

���, �-����.���� �� ������������������������������������������������������������������������������������������ ��

Page 6: Matemática - Funções - Livro pdf

��������������

�������� �!������ ����������� ��/�'#�� ����������������������������������������������������������������������������������������������� ��

����� 7������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� '��� �� %��������� ��� �������� �������������������������������������������������������������������������������������� '�

���/��##������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������ �( ���� �5���� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� '� � �� 8�.�5���� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� '/ ���� ��5���� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� '/ �'�� �������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� '/

����� ��, 0��#� �������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������"��� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3 �� �� �������� ��01���9"�� ��������������������������������������������������������������������������������������������� 3������%�������������)��� ������������������������������������������������������������������������������������������ 3���'�� ���������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 3�

����� ��1����� ������������������������������������������������������������������������������������������������� ��'���� �����������(��-���"�� ���!:���� ����������������������������������������������������������������������� 33'� ��%����������!:����������7;������� ������������������������������������������������������������������ 33'���� $�����!:���� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 33

���$-������, �-����1����� ������������������������������������������������������������������������������ ��

Page 7: Matemática - Funções - Livro pdf

����������

���������� ����������������������������� �������������

���������� ��������������������������������������� ��������"��#�������������������� �����������������������

������� ��� �������������� ����������� � ���������������� �� ����������������������������������������� ������ ��������������������� �������������������������������������� ������ ����������������� ��� ����������� ��������� ������������ �� ������� ��������� �����!������� ���� ��� ��������"��#��� �$����� �������������������$������������������������������������������������ ������ ��$����� �%&�������������������������������������%'���� ���"�������������()��*%&��%'+���,�������� #����������� �����$������ �����- ������"������- �����������������������������- ��������������������������������$������ ���� ������� ��������$�������"�� �()����$������������()����*&��.'+������ ����$������$�����������&����������������������������.'��/���$����� ������������ � �$�������������������- �����������������()�� *0�1+� �� ����� �����"������� �����()�*1�0+��2��������� �����#�������������������������3�� ��������������������� ��������()���� � �������

���� �����%4+�*����+�5�*����+������� ��������5������5��&4+�*����+�5�*����+������� ��������5��

����"����������������6����������������������������� � ����

��������������������������������������������������������������������������� �����$����%7�� �������(�����%7����������*�+���&7�� �������(�����&7����������*�+�

��8�9�5��*��+�:� ∈ ��� ∈���

��������������������������"���"������������������������������������������ �������������8���5����

;�� ������� ������� ��������������"�� ��� �� ������()�� ��� ����������������

�������3���� ���5��%��<��=�����5��&��0����� ���"��������������������������8����� #� � ��� ���� �� ���������� ��� �����,�������,�����"�� ���

������������������������������� ������������ ������������

������������ ��$���������� ������������������������$���������� ������������������ ������ ����������� ��3

��8���5��*%��&+��*%��0+��*<��&+��*<��0+��*=��&+��*=��0+�;� ��� ������������ � ��� ���������

������"����������������8���*������������+3���8���5��*&��%+��*&��<+��*&��=+��*0��%+��*0��<+��*0��=+��

>#����������8������8������ ��������$�� �� ������� ���������� �)�� � � �� ������������������������ ������������������8�������"��������8����?@��� �����������������8���5���8���$�����������"�� �������������������

���� ����!�����������$������������ ��������������������- ������������������#������������������- ������ ��������������������� ��3���*��8��+�5��*�+�8��*�+�

�������������������� �������� ������������ ������������

������������ ����"�������$������������� ��������� ������������������������� ����A����;�����������������������B"�����B�$����� ����%7�� �����������������*���%7���������+������ ����&7��� ������������������*���&7���������+�

Page 8: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� �����������������������������

������

������������

!�������������������������������������� ����������������������������"��������� ������������������� ����"�����3

�����!��������������������� ������������ �������������

����������������$������������ �����%7����������� ��������������������&7����������� ��������������� � ������ ������ ����������� ���� ������� ����������������������A ������� �����������$��������� ���� � ��������� ��� ����� *������������������������+��/�������� �������������������� ���������$������)��������������������������������� ������ �������������������������������������������*��8��+�

����$������%��&���6�� ���$�������������"���������������

� ���#����������������������������������������(C��#��,������� ���������

������� ��� � �� "�� �� $�� �� ��������������������"�� ����������������������������������� ���������������������� �����������"����������������

;� ����#������ �������� ������ ����(C��#��,�����

��������#6��������������������5��.%��D��%��&��0��

�� 5� �D�� %��&��0��<��1��E����"��� ����� ���()�#��,���������� �����������������(�3

���5��*��+�∈���8���:���5���.�F����� ������ ����3

���5��*.%��%+��*D��D+��*%��%+��*&��<+�.�6����� ����"�����3

.�G�,"�������������

��������$6��������������������5��&��0��<��1��'��

��5��%��0��1��H��=����"��� ��������()��#��,��������� �����������������(�3

���5��*��+�∈���8���:��5��I�%�.�F����� ������ ����3

���5��*&��0+��*<��1+��*'��=+�

Page 9: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ���������������������������� �

������

������������

.�6����� ����"�����3

.�G�,"�������������3

��������%6��������������������5��D��%��&��0��<��'��

��5��&��1����"��� ��������()��#��,����� ��� �����������������(�3

� �5��*��+�∈���× ��:��J��.�F����� ������ ����3

� �5��*0��&+��*<��&+��*'��&+��*'��1+�.�6����� ����"�����3

.�G�,"�������������3

������&���!�� � ��������&������� �����()���

�������������� ���������� ��������������$�������� ��������������������������������������������'������/���� ����������()��#��,���������������� ��3

�*��+�5��.%��D��%��&� �*��+�5��&��<��'� �*� +�5��0��<��'�����(��������&���!�� � ��������������&��������������

"�� ��������� �����$��"��� �K��������()�������� �����)���������������� ���� ����� ���������� �������������>��������� ������� � ���� �����������������������()���A ����������� ����$��� �������������� ������������������9������ 3

� �*��+�5�� �*��+�5�� �*� +�5�������(��'�����������!�� � ������������������ �������

������������������������$���������������������� �� ��������� ��������������������()��#��,�����>����������"�� ������������������ �����������()������� ��������'�������������/���� ���������������� ��3

���*��+�5��D��%��<����*��+�5��0��1��=����*� +�5��&��1�

Page 10: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� �����������������������������

������

������������

>����'��������������,�� �������������������� �������������������'����������������#�������������������� �����

����� ����������������������'��������� "�� ������� �� ����� ����

����������"��(C����� �������������(C���#��"��()��$��"�� ������������������������

>�������������������������������������� ������ ��"��()��$��������������� �����������6� ���������$���������������� ��� ������ ��-����� ����"�� �� ��� ���#������/)������������� � ������� ���� ���������"�����"�����

������"����� ������ ����,�������#���� �"��()�����$���� ���� ���������� �6� ���������$������� �����$���� ����� ����������������� ��-���������"��������#������/)�������������#���������� � � ��B�������B������������������������"���������#���(��

>�� �������������������������"�������������������������������� �� ������������������ �"��()��������,������� ���#��������/�� ���$���� � �����,�������� � ���������(C��������#���������)���� �����������������"�������� ���������������������������"��������������������������,��������� �-�������������� �����������������������

����������������(���'&��)�/�� ���$�������� �������������

������� ������ �������������� ����������������������� ����������� $������ �������� ���)�� ������������� ����� ���������������L�������������������� �"��()���� �������� ��������� ������������������������������������� �������$�������� ������� ��������������� �-����������������������������������

���������6���������������������������)���������

������� ������������� ��� �� ���()��#��,������� ��������� ������$�������� ��������������� ������������ � ����� ���� -�����������������������������������������$������� ������� �� ����

/�� ���$�������� �� ���()��#��,������������������������������� ������������ ��"��()����������$�3

%7+������� ���������������������������� ������������*� �� +��������������M

&7+� ���� ����� � ���� ��� ����������������� �-����������������*� �� +��������������

���� ��� �� ����(C������ ���������"��(C���$���)�����(C��������������������������� 3

���&���)� ��������� ���� � ����� $����� �� �� �������������������������������������� �5���

(��������&���)��������������� ����$���������� �K�������()�������� ����)��� ���������� ����������������������������������������������� �5���

(��'����� ������)� ��#������������������������"�� ����������������� �����$��)��� ���������� ������������������������������� ����������3�L �5�����������

����$�)��*�)�'�������'� ��������'��������+��'��� ��)*����������(C��$��� �����()�������

�������� ������ ��������� ���� "�������������"������������ ��"��()���)�3

%7+ ������ ������������������� ������������������ ��"�����

&7+ ����"�����������-�������������

�+

Page 11: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ���������������������������� ��

������

������������

/)����"��()��������)���������� ��"���������� ������∈���

#+

/)����"��()���������� ������"��������� ������∈���

�+

N�� ��"��()������������"�����������(C������������� �� �����5���5������������������� �����5���5��%��&��0��<������L �� �5��%��&�

�� �$�)��*�)�'�������'� ��������'����������&��)�����������;� ����#�����������,"��������� ���(C�

#��,�����$���������� ���������

6� ����#������$���������������� ����� �� ���� ���� ������� �������� ������ ������������ ���������������#��������� ������ ����������������������� �������,"����������()������ ������������������������������������������� ��������������������()����������� �����,"�������������������$������������������� ������A����� �������� ����� ���������� �� ���� ���������������

Page 12: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������������������������������

������

������������

!� �#������������ ����� � #�������$����������� ��"��()��������� �������� ������������ ��-������ �� ����������� ������ �� ��� ���#���� �� ������������3�������������� ������� �"��()����� ����������,"���������������������$��������$���$���������������$���������� �������� ���()�� B����B�� �-������������,"������� ���()���$��� ��� �� ���,������������� ��"��()��

O���)����"��()��

O���)����"��()��

O ���"��()��

,-��)�)���$����.����D%��+ ?������5��%�&�����5��.%��D��%���������

��8���*�������������+������������,"����#+�!����������� ��� � ��� ���������

�������������������8���*�������������+�������������,"����

*>#����$����8���≠���8��+

Page 13: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ���������������������������� ��

������

������������

������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������

D&� P��#���������������� ���� � ������������������������������������(C������ �9����5��*��+ ∈���8���:��5���.�&����5��*��+ ∈���8���:��5��.�%�O����������������������������� �����"�������������

D0� *2G;�?�+� ?)�� ������ ��� ����������������5��&��0��<�����5��1��E��H��'��=��������()�� � � ���5� �*��+�∈���8��� :���� ��� ��� ����������������Q ������ �������������()�

��������������3�+ *=��<+ �+��*0��E+#+ *1��<+ + *&��'+�+ *<��H+������������������������������������������������������� ����

� ������ ����������� !��

D<� ?�� ���������������5��.&��.%��D��%��&��0��<�����5��D��%��&����5��*��+�∈���8���:��5���3�+ ��� ������� �������OM#+����� ������� ��������� �� ���O���������� ����������"�������"�� ������ #�$�%#���������� �

���&'�������������

Page 14: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������������������������������

������

������������

D1� *Q2O/+�?��*�+�5�0���*9+�5�&����)�*�*��8�9++���∩���������� ,�� ����������3

�+ % �+ %'#+ E + 0E�+ %&�����������8��������������������(�����)*��+�',#��-%�#��'�'.'�'�/#0��'���∩������12�/3#��#��-%�#��'�����������������∩ ���4�)�����)������� ��2DE� *Q2Q�RG+�����������������������

��� ����"�� �� ��"��()����5�5�*����������+ �6�5�*���S�����T+U

�+ LL��LLL��L;#+ L;��;�+ L��LL��;�+ L��L;+ L��L;��;�

���������4�78�93#"�����3#�4�78�93#��:#%0���/'�����#,,'0;

:#��'�/'0�'��6"������3#�4�78�93#��:#%0� ��3#�/'��#,,'0:#��'�/'�'��6"��<�4�78�93#"�<��3#�4�78�93#�:#%0� �'���/=�����#,,'0:#��'�/'0�'��6�'����3#�/'��#,,'0:#��'�/'�'��61

������� ��

DH� *Q2RG+�6��� "��������#������ ��-����$�������������,"������� ��"��()������5�7*+��� ��� �����V����W��3

Page 15: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ���������������������������� �

������

������������

�������

Page 16: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� �����������������������������!

������

������������

*�������)�A

������������� ������ ������� ���� �� "��()�������

��� ������� ���� ������L��>��� �������������� �$������� ��

���� ������������$������������ ������ ������������������A������������������&��������������

LL��>������������������ �$���������� ������� ���������� ���������� �����A�������������������������&��������������

LLL��������(�� �� ,�����$������������ ���������� ������������ �� ���������������������������� �����

73� �→�� ��� ��5�7*+

;�� ����������� ������������#!������ ������������������5��D��%��&��0��1�

���5��D��%��&��0��<��1��E��H��'���;� ����"������"��()��7����� ����� �7*+�5��I�%��P� � ��� �� ����������������������������������#������ ������� �����������(��7*+�"��� ���������(C���������������������������,���� �� ����� ��������������������

7!���→�����7������>��

��������$!������ ������������������5��.%��%��&��1�

���5��D��%��&��0��%H��&<��00���;� ����"������"��()��7����� ����� �7*+�5���.�%������ ��� ��������������������

�� � �� ����� ����.%� �����������7*.%+�5�*.%+��.�%�5�D���������������*.%��D+�∈�7�

Page 17: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ���������������������������� ��

������

������������

��� �� ����� ����%�������������7*%+�5�%��.�%�5�D���������������*%��D+�∈�7�

��� �� ����� ����&������������7*&+�5�&��.�%�5�0���������������*&��0+�∈�7�

��� �� ����� ����1������������7*1+�5�1��.�%�5�&<���������������*1��&<+�∈�7�

/�� ���$������ ������� ������������������ �� � � �� � �� � �� � ��������������L������� ����������"���()���"��()���>�$���)��������������� � � �� ������ � ������� ��� �� ����� � ����� �� �� �

7!���→��"�����7�������.�%

���� ����/������������"��(C���� �����"�$X��

�������� ���� ������ ���� �� ���� ���������� ������������������������� ��"��()�������'����������+�������������/�����������(C�����������������$���� �����������������()������������������������"��()����,��� ��������� �� ���������������������� ��"��()�������#������������ ����������(�� �� ,�����$�� ������������ � ����������� �����K��� ���������������� �����

������������������� �����"��()��7����� ��

�� �7*+�5�& �I�0��#�������������� ���$���� ��"��()�������� �7*+�5�& �I�0�

������������������� ���������()����� ��"��()����� ��

�������,"������ ������ ���������)���@���R�� ,����� �� �������������� �� ������������������"�����

A���#����� ���,"����$�� ����������������������� �������(�� �"��()�������������� ������ �������������������������� ���� ����� �������� $������� ���� �����������(����,��������������C���� ����������� ����

���� ������ ���,"����$��������������� ������������������ ���� ������������������ ��� ��������()�� "����������� ���� ��������� �������� ����� �����"����������������$����)�������,���������������� �������������()��

>��� ������� �� ������������������������ ��������������������������� �������� ���,"�������$����������� �����$�������������������������������� ���� ������# ������������������� ����������������� ������������������������ �()�����"�#����()������"����# ������������()��������� �������$����������

/��2��������������� ������� � @�������������������� ������ ���,"���������$���$��������������� �������������������()����������� @�������#�����()������"�������,"����

/��� �������������$���������"�� �()��������(C������� ���,"��������� ������ ����Y����� ������������������������������������

/�� ������ �� ,���������� ���������� �������,"������� ��"��()����� ����� ����������� � ���������� ������ ��#�������� ��� ������ �������� ����(��$�� ����������"��()�����#�������� �� ��������������������� ������� �������������������������������*� ������ �� +����������������������$X ��������������$�������� ��������������������� ��������,"�������"��()��

R������ �����)������� ��� �� ��� ��������������������� ������������������()������,"�������"��()���#��������������������������������������()���������$������,���� ���� ������,"��������"�����"��()��

Page 18: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������������������������������

������

������������

;�� ������ ���!������ �����"��()������7*+�5�&�.�%�;� ��� ����������� �� ��#��� "�������

����������������� ����������(�� 7*+��#�� ������� ������������������

P�������������������������������������� ����������� �� ��� �#��� �� ��,"��������������K�"��()��7*+���� ����� ��������

��� ������� ��������,"������� ��"���()������������������ ����������������� �� ��;� ����#����������,"������������

!������ �����"��()��7*+��"����������5�V����W� ��1

���&���)����()�����������������,"������"��()��������������� �� �5�V����W�5���

�5�V�"��W

(��'�����������3����()����������������,"�������"��()��������������� �����5�V����W�

Page 19: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ���������������������������� ��

������

������������

���5�V����W

���� ����>��������� �����*�+��������������

������������>����� � ������� ��"�� �()��$�����

������������#������ ���� ������� �"��()�������#����()�������,"��������� �������������������Q ��"��()�������������������� ���� ���3

�������������������)���"��()��7*+���� ����� ������ ���������� �� ������� ��� ���,����,������������������������������������� ����-��������� ����.��/�-��.��/�

��J���⇒�7*�+�J�7*�+

����������������������)� "��()�� 7*+���� ��� ��������������������������������,����,������������������������������������� ����-��������� ����.��/�0��.��/�

��<���⇒�7*�+�Z�7*�+

���������������������)���"��()��7*+���� ��� ������ ���������� �� ��������� ������,����,������������������������������������� ����-��������� ����.��/�1��.��/�

Page 20: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� �����������������������������

������

������������

,-��)�)���$����.����D%� *Q?2�?�+�>��- ���?���� ������$�

� ����������(����,�������������� ����� ��� ����:�� ����� �����������������"@� ���3

� � ��� ���

= =+� �

����������- ��������������� ������������� �� �����������&H�&�� U

�������

� � ����� ���� ��

��= =

⋅ +=� �

������� �� �

D&� *;���+�6"��� ���73�@��⇒�@���

���

� � � �

� �

� �

� �� � � �

=

+ =

�����

A��)�3�+ 7�*0+�5�' �+ 7*0+�5�%E#+ 7*0+�5�= + 7*0+�5�0&�+ 7*0+�5�%&�������A�,������� ⇒�7���>����������� ⇒�7�����������A�,������� ⇒�7���>����������� ⇒�7����������� A�,������� ⇒�7���>������������ ⇒�7������������)������� �� �D0� *!���������O[+� �?� 73���⇒��� ��� �

"��()���"�������������)�7*�.�%+�5� ����)������������7*0+����������3�+ D#+ %�+ E�+ %1+ E<�������A�,����.�8.�,�7�����'B'�#0�/',����������#8���� 1�00%���7������ ����) ������� ��2

D<� *Q2RG+�Q ��"��()��73���→���������$�7*1+� 5� 17*+� ���� ����� �� �- ��� ���� �?�7*&1+�5�H1����)������������7*%+��3

�+ 0 �+���&1#+ 1 +���<1�+ %1�������C�D'��#;0'�������B'�!7���(�������7����⇒ 7���������(�7���E�0�7���������1F#&#��������(�7����⇒�7��������C�D'��#;0'�������B'�!7���(�������7����⇒�7�������7���1�F#&#!�������(�7����⇒�7�������������� ���D1��*Q2RG+�6�����,"��������-�����$�����

������ ��"��()����� �� � � � �∈ ≤ ≤�� �� ���� ����� � � �∈ ≤ <�� �� ���

�+

#+

Page 21: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ���������������������������� ��

������

������������

�+

�+

+

�������

�+ �� � � � � � �= ∈ < <� �#+ � � � �= ∈ ≤ ≤� ��� ��+ !������+ /)����"��()��+ /)����"��()��������� ���

DE� *R��\����?�+�>���,"�����#�������������� ��"��()���"������ �������5�7*+�

>���������7*&+�I�7*7*.1++����������3�+ .& �+��%#+ .% +���&�+ D������� #�&,-7%�#��/'�#0!7��������7�7��������7�������7��������F#&#!�7����>�7�7�����������>������������� ���

Page 22: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������������������������������

������

������������

������ ����������� ������� ��"��()������ ��������������

� ����������������������- ���� ������ ����� �� #� ������������������- �����������,�����,�������������������()��������(��$��"�����B����()�B�������� ������������� �� ������ ���������� ��������(���� �������������� ������)�������� � �� � ����� ���� � ���� ��� "��()�� � �� � � �= − � �����- �������D��)����������� �� ����������������7*+��)����"��()��

�����$������ �������K�7*+�������������������"��()�������� ����� ��������������������������� ������������������������-� ������������� �����$����������������(����)�������� �� �� ��/��������#�������� ���#��� ��� �� ���� �������"��()��7*+������������ �5���∈�O�:��≥�%��

�������� ���� ������� �������� �"��()������������ #������������� ���$�� �����(C�� ������������� ����(�� �)��������������� �����������6����"�� ��������� ���� ��� �����(C������ ����� �������()���������)�������������������

%7+ y f x f x n Nn= ≥ ∈� � � � �� � � �&7+ y

f xf x= ⇒ ≠] ^

_ `_ `

;�� ����������� ��������� ����()������ �������� ��"��()������

��������6�� ������� �����������������"���

(C�������%7+ 7*+�5�0��I�H�.�'

�5�O&7+ 7*+�5� � − ��.�H�≥ D�⇒��≥�H

�5���∈�O�:��≥�H�07+�7*+�5� � + ��

�5�O���� ����6� ���������$��������������������� ����� �� ����������������� ���$���$��������������������������������������

<7+�7*+�5��

�� +�I�'�Z�D�⇒��Z�.'

�5���∈�O�:��Z�.'�

17+�7*+�5���

−−

��

�.�1�≥�D�⇒��≥�1�.�'�≠�D�⇒��≠�'

�5���∈�O�:��≥�1���≠�'�

(����������� ����"���� ��������������"��()�

������ ��������$����$���������� �����(��7*+����� ���� �������� ����� ����#��������� ������� ���� ������$�� �����������(C�������������������(��7*+������ �������������

!� ���#����()����� ��� ���#���$������������ �������,�������������� ��������������������- ���������

,-��)�)���$����.����D%�6�� ������� ���������"��(C����

���� ���������� �#������+ 7*+�5�0��I�E�I�'

#+ 7*+�5��

� �G −

�+ 7*+�5� � + �

�+ 7*+�5� � �� � +

+ 7*+�5��� ��� +

��������� ������ ����)�≠ ����⇒ ��≠ ����⇒ � ����������

�� �>���≥���⇒ �≥����⇒ � ����� � �∈ ≥� ����� �������'B'�#0�#�0',B�,�H8'�#�,��%����#��'B'

0',���%#,�#8�%&8�.���D',#�:�,��,�$D'0��'�$��%�'�� ��'� I'�#0�8���,�%D��#��$��%�'�:�,��#��'�#�%��;

�#,���00%�!

Page 23: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ���������������������������� ��

������

������������

��>���J����⇒ ���J��KL

��� x R / x –57

∈ >������

D&� *!"�.�O+

?� f xx xx x

� � = � � �

� �

��

���� ��"��()���� �

�����)�� �������������3�+ � � �G � G∈ ≠ �#+ � � �� � � �∈ ≠ ≠ ±� ��

�+ � � ���� � � �∈ < >� �� �

�+ � � ���� � � �∈ > <���

+ � � �� �x R x x∈ < < >� ����������

G � G �� �� � ⇒ � �� � �� �� �⋅ ≠

� �� ≠ ' � � � �� ≠� �≠ ' � �≠ ±������� !��D0�>� �� ����� ��� "��()�� ����� ��

� � �= + + � ��3

�+ � � � � abx R x∈ ≥ c#+ � � � � ���dx R x∈ ≠�+ � � R��+ � � � � abG � G∈ > c

�������

� � �⇒ ≥ ���

x 4 x 0 x –4+ ⇒ + ≥ ⇒ ≥� ����

����∩�����

� � �� � � � ��∈ ≥������� !��

D<� *�Q!.?�+��������� ��������"��()�3

f x x�� �� �→ � �� � U

�������

��� � �� �� � ≥E8./%:.%����#�#0��#%0��'��,#0�:#,���

(x – 1) 03 2 ≤F'��,���#�H8'�H8�.H8',��+�',#�,'�.�'.'B��#��#

H8��,��#�4�:#0%/%B#�#8��8.#��0M�/'�#0�8���#:93#!

G � � N� =

G �� =G �= ������

Page 24: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������"��#�"��#$�����

������

������������

���������� �������������������

������ ��� �!���� ���� ���� ���"��(C���)��������������� � ����

"�$X ��������������R�� ,��������������������������$����������������������������������� ����� �������������"���������������������

A����� "��(C�� �)�� ��� ��� ����� "��(C�� ��������� �����������������������

���� ��������������.�2�������)�7 *+�5�O�� �$��O���� ��"��()�

��������� ����.� �5�O��� �5�O�����5��O�.�3�"����

(��������)�����,"������� ��"��()��������������� �����������������$���������������� �O�

;�������,"�����������3

���� ���������������.�2�������)�7*+�5��� �$�������� ���

� ��� ��� �� ��� � ��.� �5�O��� �5�O�����5�O.�3�"����

(��������)�����,"������� ��"��()������������ ��� �� ����#������������$��������� ������������������������������������� �������� ��

���� ��������/����. 2�������)�7*+�5���I������ �����"������D. �5�O��� �5�O�����5�O�

Page 25: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������"��#�"��#$��� �

������

������������

.�3�"����A� �����������Z�D�!������ ���7 *+�5�&�.�%�

A� ����������J�D!������ ���7 *+�5�.��I�%�

(��������)�����,"������� ��"��()�����%7�������� �������������������Z�D��� ����������������� �J�D�

.�*��4���� ��"��()����������� �$�����,"��������������������������#�� ������������ ��"��()����� ������ �������� ���������$������� �� ����������������#�����"���7 *+�5�D��/����������"��()�����%7��������� ��3

��������I���5�D�����5�.�����5�.�:�

.�(������������������ ������"�����������������������

������"������������

.������������������������������������()������,"������� ��"��()���� ������������������ �� ����� �����5�D��� ������� �������������/����������"��()�����%7�����������(��7 *+�5���I������B����� ���B������,�"������ ����������������������������������

���� ����? �� $����≠� D�� ���� ��������� ����

��,"����"*+�#�������������� �����������.56��/�������������������.7�8 6�5/�������������������� ���������������������,�����,"������"��()��

.������������������������������#9�����)��������������������()�������������"���()�����%7������������ ����������()����������������������������������� �$�����)�� ���������� ��� � ��������� � ������������������������������� �����������)�� ��,"���� ��� ����� ����� �������,� �� � �� � ��������� ��� �����,���� ���� ����� ���������� $�� � �� ����)��������������#��������������������������� ���������������������()������������ ��"��()�����%7�������������������"����������������������$��������������� *���� ������+� ����������� *����������+��������������"��()��

Page 26: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������"��#�"��#$����!

������

������������

!������ �����"��()��7 *+�5���I����� ���≠�D�

�$����������������"��()��"*+�

���� ������"��()�����%7������7 *+�5���I������ ���≠ D�

��,���� ������ ������� ������� $������������������ ������������������ ����"������������������"��()�����%7���������� �#� ������������ ��������������

,-��)�)���$����.����D%�*R��\����?�+���"��()��7����"�����

���"*+�5���I����?�#������$��"*.%+�5�0�"*%+�5�%������������"*0+��3

�+ D �+��.0#+ & �+��.%�+ .1

�������

� �� � � �� � �

� � � � � � �� � � � � �

� � �

� � � �� �� �

= ⇒ ⋅ + =

= ⇒ ⋅ + =

�����⇒ = =

∴ = +

�00%���7���������>�������������� ��2

D&� *Q2RG+�?������J�D����Z�D����-������������()����,"�����������������"��()��"*+5���I����3

��������#�#���P������78�93#��'B'�0',��'�,'0�'�/'�1�#�#���J�����'B'�%�/',�':/�,�#�'%#�����:�,/'

:#0%/%B�����%����#�'%#��1������� ���D0��*Q2�L+���"��()������������,�������

�"���������"*+�5�*0�.�&�+�I�&����������$�����3

�+ ��Z�D �+ a = ��

#+ a < ��

�+ a > ��

�������A�,��7���0',��,'0�'�/'���'B'�#0�/',��������J��F#&#!�����J����(�����

�� � � ��

< ⇒ <

������� !��

Page 27: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������"��#�"��#$��� ��

������

������������

D<��A�#�(�������,"�������� ��������� �������������� ���������������� �� ��������"����$�������������� ���������������"��(C�3

�+ "*+�5�&�.�%#+ "*+�5�&�.��+ "*+�5�&��������� 7���4�8���78�93#��#��Q�&,�8��'�/3#� �����

� �����'��������#�#�������J������78�93#�4��,'0�'�/'1

�� 7���������7���4�8���78�93#��#��Q�&,�8��'�/3#� ������ ������'�������1�#�#��������P������78�93#�4��'�,'0�'�/'1

�� 7������7���4�8���78�93#��#�0/��/'��'�/3#� ������ �����'�������

D1��*Q��"���!A+�?���7���"��()�������"�����

��� � ��

� �� ���������������������������V.0M�%W�

?������������ �� ��3�+ O

#+ −������

]�

]� �+ −������

]�

���

�+ −������

]�

]�� +

]�

���������

��������#�#�7���4��#��Q�&,�8��#�&,-7%�#�0',%��8���,'/�1

I#��B%����#�#�#��#�$�%#�4�8��%�/',B�.#�,'�.�'��3#���#�&,-7%�#�0',-�8��0'&�'�/#��'�,'/�1

�� � � �� � � �

�� � � � � � �

�����

F#&#��#��#�R8�/#�%��&'��0',-��'7%�%�#��'�����/4���1

�00%�!

�� ��S T�

= ������

U,-7%�#

������� ��2

Page 28: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������"��#�"��#$�����

������

������������

����� �����������"#$�� � ���6�� ��� ���"��()��$����,��������"���

()������� ������������������������ ��� ���"��()�������������������� ��"��()���O� �O�$������������������������ ��� ��� �S���� #� ��������������S�5�����I�#��I����������∈�Oe��#�∈�O����∈�OM���������,��������S���������,��������M����#�����)����"���������� ����������"��()��

"�3�O�→�OS�5�"�*�+�5�����I�#��I����∈�Oe��#�∈ O����∈ O�?�#�≠�D����≠�D����"��()������� ������ ��

��M�����������,�������,���� �������� �������������+ "�*�+�5�0���I�&��.�1���"��()�����&7����

�� ����#+ "�*�+�5����.�E��I�<���"��()�����&7�����

�� �����+ "�*�+�5�.&���I�&��I�%���"��()�����&7�����

�� �����+ "�*�+�5�.���I�1���"��()�����&7���������

�� ����*#�5�D+�+ "�*�+�5�<���I�0����"��()�����&7���������

�� ����*��5�D+�"+ "�*�+�5�.�����"��()�����&7����������� �

����*#�5�D����5�D+��+ "�*�+�5�&� �.�0���I�&��.�1��)����"��()����

&7�������+ "�*�+�5�0��.�1��)����"��()�����&7�������+ "�*�+�5�.0��I�E��)����"��()�����&7������

�������)�.�����/����������������������,"�������"��()�

���&7��������� ���������#������� �������,#����� �/�� ��������� "��(C�����&7������� ���,#������� ��� ���� ������������������������ ��*��Z�D+����������������#�����*��J�D+��� ��� ����������3

����$��0����������������������"��()��$����,����

"*�+�5�����I�#��I����)�������������������������$��"*�+�5�D�������������������(C�����$���()�����������������

����I�#��I���5�D

�������()����� ��$��()�����&7�������"���� �� ��� �������� ��� ��� ���� f"@� ���������������9���\���g�

��

����� � � ��

� �� � � �

��

hi�

>#����$�3?�∆�Z�D����$��()���������,����������

��������������$���)�3

��

�� �

��� �� �

=− +

=− −∆ ∆

?�∆�5�D����$��()���������,���������������������$���)�3

� � ��� � �

= = −

Page 29: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������"��#�"��#$��� ��

������

������������

?�∆�J�D����#����$������������� ∆ ∉ ����� ���$����$��()���)�������������������

1�+����)���+��'2���)�������0��L������������ ����� ������� ��

$�� ��� ��������� "��()�� $����,����� �)�� ���#��������������������������,#���������������������

A��)�3

����32���)���"��&4�������,#����$������������"��� ����

"��()�����&7��������������� ����������� ������ ��������������$��������������,�"������ ������$����� �� ����� :������

�������� ���� ������#������������������*��+����� �����"������$������������,"����� ������� ����()�������� ����������������������*��I�\+��*���.�\+������� ��� � �� �� ����������"*���I�\+�5�"*���.�\+��?���"*�+�5�����I�#��I����� ��3

"*���I�\+�5��*���I�\+��I�#*���I�\+�I���5�S�

"*���.�\+�5��*���.�\+��I�#�*���.�\+�I���5�S�

!�����������$��S��5�S����� ��3

� ���

= −�

$����������������#�����������������*��+��������� ���� ��������������������

����*S�+����� ����� "������$������������� �������������K���,#�����$���������������� �� ��������S�����������S��5�"*��+�

���� ���� ��

S��5��*��+��I�#*��+�I���→�S��5�−∆��

$���������������������������������*S�+�

S��5�−∆��

�� ��������)���)�'�,�-�5����$���������������� �����������

*D��S+���������� ���� ����� ������()����"��()��"*�+�5�����I�#��I������ �������S�#����"������5�D�

"*D+�5���j�D��I�#�j�D�I���→�"*D+�5���F����� ����,#���� ���������� ����S���

�����*D���+�

��6�,�4�������&��)����������*$�������)������+�������������

������()�� �� �������S� �)�� "���� ������������(�� ���� ��#�(�������,"������� �"��()�����&7������

Page 30: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������"��#�"��#$����

������

������������

��7����8�����'�+�'>����������� �� ���� ��"��()�����&7��������,������������������������� ����������

K�������������������*S�+�

Page 31: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������"��#�"��#$��� ��

������

������������

,-��)�)���$����.����D%�A�#�(�������,"�������� �����������

������� �� �����"��(C���#������+�"*�+�5����.�E��I�'#+�"*�+�5�.���I�&��I�0

�+�"*�+�5�]�����I���I�%

����������7���������)�>���#���B%���'!�������J���→�:�,���%��,�$D'0���∆��� "������'�����

<4,/%�'�!������

= − =�

� ;

� � �� ��� �

= = − = − = − = −� <� ��

��

�∆

��/',0'�93#��#��#�'%#�!�������'0:#0/�!���&'��!���������∈��V��≥�����20�#9#

#+�"*�+�5�.���I�&��I�0!���������3���5�.%�J�D�����#����M������3

∆�5�%EM����5�.%�����5�0

;�����3����5�−�����5�%���M��S��5�

−∆��

�5�<

L�����()���� �������S3���5�0������� !���������∈ ��V��≤� ��20�#9#

�+�� � � �� <= + +��

��

!���������3���5�]�

�> ������� �M������3

∆�5�.%�→�������������

;�����3����5�.#:&��5�.%��M�S��5�− =∆�

���

L�����()���� �������S3���5%�������

�������∈����V��≥ �]� �

20�#9#

y

x–1

12

1

eix

od

esi

metr

ia

Page 32: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������"��#�"��#$�����

������

������������

D&� *;���+� >� ��,"���� ��� "��()�$����,������"���������S�5����.� ��I�* �.�%+���������� ��- ��������� �� �-��������� ��� � ��� ������������#���������A��)�����������S�$������"��()��������������5�&��3�+ .& �+�%#+ .% +�&�+ D

��������#�#���78�93#�/'��8��+�%�#�:#�/#�'���#�8�

�#��#�'%#�5��#�B�.#,��'�∆�4�D',#1��00%�!∆�����→�������� �(���(�������������→������F#&#�����������>��1�A#,/��/#��:�,�������

/'�#0!�����������(���>������������� �� D0��*Q2O/+�?�"*�+�5����.�%����)����������

�������������3�+�VD��∞V �+�W.∞��%W#+�V.%��%W +�W.∞��DW�+�V.%��∞V

�������7����������20�#9���#�#�&,-7%�#����78�93#��/'�#0!

F#&#����78�93#�4��,'0�'�/'�:�,��/#�#��≥��1������� ���D<� *Q2�L+�Q ��",#�����������*�+�5����I�&�

����������������������@�����������������������������,������?���",#������� (����"����������K��'���������� ���)������%D��%%����������)�����������3�+ H��������������#+ '���������������+ %1���������������+ &0��������������

�������A�,��/�����W#,�0��/'�#0!:���������>���(���⇒�:����������:�,'0��'�0�:�/#A�,��/�����W#,�0��/'�#0!:���������>���(�������:�,'0��'�0�:�/#F#&#�� '�/,'� ��� '� ��� W#,�0� 0',3#� :,#�8D%�#0

�����������:�,'0��'�0�:�/#1������� ���

����� �����%�����"�& � !'���� � > � ��, " � �� � �� � "��()� � �� � & 7 � ����

"*�+�5�����I�#��I������≠�D���� ����,#�����A�����,#���� � � �� ����������� �������� ����� ��$��������Z�D������������������������#�����$��������J�D�

����32���)���"��&4�������,#����$�� ����������"��� ��

��"��()�����&7��������������� ��������� ������ �� ������������ $�� �����������,"������ ��������� �������������

�������������������������)�3

� ���

= −�

�������� ��= −∆�

����3������,-���'��>�S�� ������������������ ����� "���

()���?�������������������,#�����������������������#��������S����,��������� ,�� ����"��()�M����������������������������������� �����S����,��������� ��� �����"��()��

Page 33: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������"��#�"��#$��� ��

������

������������

,-��)�)���$����.����D%� *!���������O[+�>� ������ ��� ����

����k ���S�5����I�#��I�����������,"������ ������������"��������3

�+ .% �+�− ��

#+ .& +�− ��

�+ − ��

�������*�&,-7%�#����78�93#������>���>���:�00��:'.#0

:#�/#0��������'�������1�F#&#!�������→������������→���>����>�������→�������F#&#!�7����������

*�B�.#,��$�%�#�0',-�� �����

��������� �(���(������

F#&#!�− = −

⋅= −∆

��

� ����

D&� *�Q!�?�+�>���������� �����"��()�S�5����.�'��I�%1��3�+ ,�� �����������;�5�*<�%+#+ ��� �����������;�5�*<��.%+�+ ,�� �����������;�5�*.<��.%+�+ ��� �����������;�5�*.<��.%++ ,�� �����������;�5�*<��.%+

�������@��78�93#����������>�����#�B�.#,��'���4��"

.#&#����78�93#�/'��:#�/#��'��$�%�#!

G��

��

��

���� �

��

��

��

���

X

XXX

Y�

A#,/��/#��#�B�.#,�'/,'�#����78�93#�4�:#�/#��'�$�%�#�� �����1

������� ���D0� *2!!�?�+�Q � �������,�K�����Y����

E���� � �������������0��������� ��#���$������#�������� �����#���� �����?��$��()����������@�������#���� ����()�������� ���������������������������"�������S�5�����I�*%�.�<�+������������� ,�� �������������#�����3

�+ 1 �+�0�1#+ <�1 +�0�+ <

�������

*�:#�/#��)�����:',/'��'��#�&,-7%�#��.#&#!�������)���>������ ���(�)�����)��>�)���� ��→

�= −��

?8�0/%/8%��#�������� ����78�93#!

� � ���

���

��

Page 34: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������"��#�"��#$�����

������

������������

��.�8.���#����./8,���-%��!

� ��

�����

��� �� ��

��

��

������� ���D<� *2!R?!�?�+�!������ ��������������

�Y����������� ����'D� ����,��� ,�� ��$�������������������� ��������Y��������3

�+ &DD� � �+�EDD� �

#+ &1D� � +�'DD� �

�+ <DD� �

�������

��>��������→��>���� ��→���� ���������(�F#&#!�������(�� �����

�� �����

����������>� �����"����� �������

�����

��

���

���

��� �

��

?'�������→ ���������F#&#!� ��������(�������������� ��������� ���

����� ������������"#$������� R�������)�����"�k ������������� ���

����� ��������������"��()�����&7���������#� �����"�������$�� �����#��������� ��

� ,�����"��������������)����������������������������������� ,�� ����� ��� ��� ��������������������������������()�������"��()��

������������������ ��������������(C���������� ��������#� ���������������������

,-��)�)���$����.����D%� *Q���� �?�+�6���������� �������

�������������������������������� ������������ ������������������ ����������X�������������"��()�3��*�+�5�!*O��.���+� �� :������!���� ������������O������������������?������� ����� ���� ������ ����� $�!�5�%�'�j�%D����O�5�%D���� ��������3

�+ ���������������������������������������������X���M

#+ ���������������������������� ��������������������������������������

��������� A�,��,������/'�#0!

� � � � � � � ��� � ��� �� ��� � ��� �� ��� � ��� � �

� ��

� ��

� �

� � � � � �� � � �� �� �

= − ⇒ =

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅=

�� A�,��� ��

=

��

�� �

��

�� �

��

��

��

���� ��

���

��

��� �� �

� ��

���� = − ��

��

����

⇒ ���� = −���

���� =�����

���� = ⋅ ⋅ ⋅

���� =

��

� �

������� !����������V0"�����������V0D&� *2�����?�+�Q ��#���������(�������

����� ��������� ��������������* � ����+$�����#����������������������*�+�5�&D��.�1�������������� ������������@�������(� ������ ���������

6�� ����3�+ �������� ������,��������#���������

��������������� ,�� �U#+ �������������� ,�� �U�+ �������� �����#��������,����������

�������� ����� ������ �@�� ��� ������������������� ,�� �U

Page 35: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������"��#�"��#$��� �

������

������������

����������*�/'�:#��#�H8�.�#�#�R'/#��/%�&%,-����./8,�

�-%���4�#��1

� � �� ��� � ���

��� �

��

�� � � �= − + = − = −⋅ −

=

������� ��/�����0

�� � ���

�����

������ �= = − = −

−=∆

������� ��W ����������� @#�0#.#�W�����⇒����/��>���/����/�����#8�/��� ������� �� �0

D0� *2G;�?�+�>������� �������� �� ���������������F*�+�5�.���I�0D��.�1�����������$��������� �������������+ ������������� ����� ,�� ��������U#+ A����$�������������������������$���

������ ������������ ��� ����������%=1U��������� F8�,#��-%�#����

����− = −

−=∆

����N�

�NN

�� A�,��H8'�#�.8�,#�0'R�������'B'�#0�/',!���������>��������⇒����>������������������#8������

���.%0���#�#�&,-7%�#��#�0',B��#0�H8'���≤��≤ ��������� �����≤��≤ ��

D<� *Q������O[+�/� ���#����@����������������� ����� ������� �� � ����������,������������������������������()���� ����������� ������ ���� ����$�������� �"��()����� ����� ������������������� ���"@� ���3

*�+�5�.0���.�0����I�%D'���� ���������� �� ,�� ����$����

�������������C ����������������� �������������$��������������������� ����3�+ ��"�������%1� �������#+ ���������%1� ����������"�������0D� ��

�������+ ���������0D� ����������"�������ED� ��

�������+ ���������ED� ����������"�������=D� ��

������+ ���������=D� ����������"�������%&D� ��

���������������/���������������>������������������(���>�������/���������������(������>����Z8���#�#���/',%�.�'0/%B',�/#�#�B#.�/%.%D��#�/',';

�#0�H8'�����00���#���/',%�.���#�'0/��#�0M.%�#�#8.$H8%�#��0',-�%&8�.���D',#1��00%��

�����������(������>������������7�D'��#�������������(��>���������⇒������#8���������1�1������⇒��������#8���������⇒ /����/�����W#,�0��������%�8/#0������� ��2D1� *2���?�+�?������$���������1�����

� #�����%==1����?���(����R������������A��������?)���������������"�� ����$���� ������������������?)������������������� ��������� ,�� ��K�� %<�������� �$������������ �������"*�+� ���������� �"��()������ ��f�g� ����� ��������������� "*�+� 5� .��� I� #�� .� %1E�� $�����'�J���J�&D�

>#���������������#��+ %< +��<&#+ &% �+��01�+ &'

Page 36: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������"��#�"��#$����!

������

������������

�������*�W#,-,%#����/'�:',�/8,���-%����#,,'0:#��'�[

��0�%00���#�B4,/%�'1��00%��

G ���

�� �� �

� ���

= − ⇒ = −⋅ −

⇒ − = −� �������*�������)�!DE� *2���?�+�!� ���������������#� �

���������������"�� ���$����� ������ ,�� ������������������ 1����� #����%==1�"��3

�+ <D#+ 01�+ 0D�+ &1+ &D���������/'�:',�/8,���-%���#�#,,'8�[0�� �W#,�0��.#&#

/ �����7�� �������� ���>����(�� �����)��� �1������� ���DH� *LP��?�+�>����������� ������������

#������������������� �K����������(C���� �� ��#��Y�����$�� ���� ����� � �������������%������������� �����$�����������$������������� ����������� ���������� ����,#������ ���$�������������()��* � ���+��@��&�1����������3

=�����.�/ (������������.����/% 0�DD& 1�DD0 %�DD

�+ 0�ED �+�0�H1#+ 0�E1 +�0�'D�+ 0�HD

��������#�#���\.%�W�]�4�8���:�,-�#.�����78�93#�H8'

,'.��%#������#��'�/,�93#��#��#�/'�:#�4�8���78�93#�#��Q�U,�8!

7��������>���>��1�?��'�#0��%����H8'�7�������"7��������'�7�������1��00%��

� � � ��� �� � ��� �� �

+ + =+ + =+ + =

������'0#.B'��#�#�0%0/'����'��#�/,��#0!�������"��������'�������A#,/��/#�7���������>�������1�A�,���������

/'�#0!7�����������(��������>����(�������(���������������� �� D'�l��#�������k��K�F���R��������� ���"������� �����$�����

��� � �����"���������������� ����� �������������)���� ��������,�$������Y ������F�������#��������@����#�� �Y�������������� ���������/������������ ������������#� ���� � ��������������"������$����#���������������,�� ��-����������(�����������������$����"���������������������� �$����"��(��������()�����P��������F���)��$����������Q �������������������������� �@� ��������(��,� �������� ��������()�����F����� �������������"��(���������()��������9��$� �����������������()�$��������

6���������� ��������/T�������"��(�������()������������������������������ ����������������������������� ������$��� ���� �� � ������ �������������� ��$�������� ��� ����Y����� $�� ��� ����

� � � ��

= ⋅��

��� ��?������� ������R��� ���

������P����� m��� ����������(�����������������Y���������������"��������"��(���� $�� ��P���� ������ �������� ���� ���������(����������� ��,���

� ��

� ��

� � � �� �= = =� �

� �

��"��(���� �$����F����������������� ����"��������� � ���������,� G:*��.��+������ ����� ��������F������������Y�����$�����������P���������������()��������������"�������#��������$�����������������F�������P�����>���#� ������$�

Page 37: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ������"��#�"��#$��� ��

������

������������

���

��� �� �

=−� �

������

��

�� �� �

=− +

� �������()��R: �� ���������������� ���

$������������ ��� ������'%�1����������������� ��

�� �� �

� ���� �

− += �

6���

'D�1���.�%E0�D����I�'%�1����5�D

A$��()�� ����$��� ���������� "����� �������

���5�D�=�M����5�%�%&�

���� ���������K��������)����$�����#�������$������������������F�������P�������� ����������������������()����� #�������������������#����"������� �������������� �����3�� ���D�=�������Y�����$���������������������������������������������P���M������������%�%&������ � ������Y�������>����������Y������������������������P����� � ��� F��� �� ����� ��� ��� ������ �0'<�DDD\ M����������� ����������������������������������0<E�DDD�\ ����P����� ���������<0D�DDD�\ �

N��������� ��������$������������ ������������������$�������"�� �K����� ����������#� ����� ����������Y�����$��������������� ������ ��������� �� ����� ����� ����� ��������� ���Y ������$������?� "��� �������������������"� �����

��������������������������������$�����������������P��������F������������"� ��������,�� ���"��� ������������ �����"�� K����� �����������#� ��

>���Y ����������"�����,��������%�%&���.�D�=��5�D�&&��≅ �'<�DDD�\ /�� � ���� �$���� "����� �������

������������"���������,�"��(��� ������� ��#���� ���"���� ����������$��������������"��(��������()�����F������������P����

2������%

>��#���������������� "����� �� ���� ��������$��������������P����#�������)������ ��� �������� ��(��� ���� �� �� %&����������"�� �� �������� ��� ����,��������� ��������L����"������������� �������"��������� ��������

��������������� ����������������������� � ������� �� $��()��� $�� �� "��(�� ��������()�����P������� �����$�������F����)���@��������"����� �������������������,�����U��� ��,���� ����#������ �������� ������������������"������ ������������� �������� ������)������"�������"�� ��������� #�������������������

���������� ��� ���� �������������� ��������� ������������������������

Page 38: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� %��&������"����"���$�����

������

������������

������������� �������������������

���&�$������� ��� �� �(������� ����������� ��������$��(C����� ���

�����$����� ���� ������ ���� �����������������������������

���+���� ����� ��������#������� �� �� �������������������� #�������������������� �$������������������������

��Z�#�⇒���I���Z�#�I������Z�#�⇒���.���Z�#�.������J�#�⇒���I���J�#�I������J�#�⇒���.���J�#�.��

!���$X ����3��#��� �������������������I�#�Z���

������������� #����� #����������������.#���� ��3

��I�#�.�#�Z���.�#�⇒���Z���.�#2������� �� f�����()�g��,���������

����� ���� ���$����� ��������������� ���f ����g�� ��- ������ � �#�������������� #������������ ����� ����� ����������������- ���

��+�6�������������������0������ �� �������,������������������ #����� �#�������� ������������)���������� ����������������������3

��j���Z�#�j����������������������������� ������j���J�#�j����������������������������� ��

����������$������ �������� ������������� ���� ������������������ �����������)�������� �� ���������������������� "���

����������$������������������������������������������$����������������������������

!���$X ����3�������� �������������������j�#�Z���

6���������� #����� #�����������������#���� ��3

� ��

��

���� �

⋅> ⇒ >

� ��

��

� ��

��

� ���� �

⋅< ⇒ < <

� �� �

���������������������������(��$�������������$��()����

%7����������������� ��"�� ����������������)�����I#��� �������� ������������������I�#����,���3�≥ ≤ > <� �� � �� �� �

>������ �����������()�������$��()����%7������������� � ����� ���������������()�����$��()�����%7������������������������ ���������������������������������

��������#O����������$��()��0��I�%&�Z�D�

. f��������g�%&�������&7� #����� ��30��Z�.%&�

. 6�������������������������0����������� ��3���Z�.<�

. !������������()�3�?�5�����∈�O:���Z�.<���������$O����������$��()��.1��I�%1�J�D�

. f��������g�%1�������&7� #����� ��3.1��J�.%1

. �6�������������������������.1���������� ��3���Z�0�

. !������������()�3�?�5����∈�O�:���Z�0��

Page 39: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� %��&������"����"���$��� ��

������

������������

���������������������!�� � �����$��(C�����&7�G����K�����

��(��3����I�#��I���Z�D������I�#��I���≥�D������I�#��I���J�D�

����I�#��I���≤�D��������#�����)���- ���������������������≠�D������������@������

2�������*�+�5�S�5�����I�#��I�����������������$��()����� �������"������� ���������$��������������������� ����������� ��3

S�Z�D��S�≥�D��S�J�D��S ≤�D�L����������"��������������������������

���"��()��"*�+5�S�5�����I�#��I������������������������()�������������"���

()�����&7�G����������� ������� ����� ��"��

��(C������������()����������,"���3��)���������,����$������ ��������()�������������������#�����$������������������������������M�)�������������#�������������������()������,"�������"��()���� �������S����������������$��� �������� ������������)������������#���������������)�������������� ��������������������()���������S��A ���� ���������#��� ����������()������������� ��"���()�����&7�������#����������� ��������()��������������������,#������������������� ��������#������������� ������$����������������$������������

!������ �����"��()��"*�+�5�����I�#��I���� ���≠�D�

Page 40: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� %��&������"����"���$����

������

������������

2���� ������ � ����� ������()�������$��()��������C�����������$�������� K����� ��������������������

��������#O����������$��()�����.�E��I�'�≥�D�.�2�� ���S�5����.�E��I�'�.�A����� ����������()�������������"���

()��S�

.�P� � ������ ������()�������$��()�����������������������$�����S�Z�D3

?�5�����∈�O�:���J�&������Z�<����� ��������������������������������(C���)���

"���������"�� ����� �$��������������������O����������

,-��)�)���$����.����D%�O������ �LO������$��(C��

�+�0�*��.�%+�.&�*%�.��+�≥ D

#+� � �+ − − > −��

��

� � �

����������� �������������������≥������������>���≥ �������≥ ��⇒���≥���⇒���≥ �?������∈��V��≥���

��G ��

G ��

�G ��

+ − − > −

�����������J������������

����J��)�⇒��P����

?�����∈ ��V��P����

D&�O������ �LO������$��(C���+ ���.�E��.�H�≤�D#+ ���.�<��I�<�≥�D�+ ���.�<��I�<�≤�D�+ .&���I�1��.�&�Z�D

�������

D0� *2����?�+�?���"3�O�⇒�O�� ��"��()����"���������"*�+�5�*��.�%+����I����I�%����∈�LO��>�����������������$��"����������������������������������"�� �������(�3

�+��

�< <� �+�� ≠�&����≠�%

#+ .�<�J���J�< +���≠ D����≠�%�+ D ≤���J�'

�������A�,��H8'�7�0'R��8���78�93#��#��Q�&,�8!�/�����≠ ��⇒

⇒�/�≠��1A�,��H8'�7�/'�W���8�0�,�$D'0�,'�%0�'��%0/%�/�0��';

B'�#0�/',�∆ J��1����� �(���(���J��1/���� �(��/������(���J��1/���� /�>� �J��1

Page 41: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� %��&������"����"���$��� ��

������

������������

�/�≠���'�/�≠��������� ��

D<� *Q!?�O?+� >� �� ����� ��� "��()�

� � �� � = − +� � ��3

�+ V.&M�&W �+� − � ��

#+ −� ��� � +� − � ��� ��+ −∞ − ∪ +∞� �� �� �

�������

� � � ��� � = − +

�#��%93#!����>���≥��

� �� � � � �� �∈ − ≤ ≤ = −� �������� ��

�� �) �*����&����!�� � ����� ��$��()��������� ����

��$��()�������������� ��������()���������C���� ��*��.�%+�j�*��I�&+�j�*0�.��+�Z�D��/���� ����)������������������������ ���������()���� ��������()�� ���������������$������ ����#���� ����$��()�����07���������"����������()���������� ����������� ��������������� ���������������()������ �������$��()���$����,������������������. 2�� ����� �$�������� ����������

�C��*"���������������+����������������� ��"��()������� 3

S��5���.�%��S��5���I�&��S �5�0�.��

. A����� ��� �� �����()���� �������� ����� ������"��(C������������� ���������,"����� �����������

y11

x

y2–2

x

y33

x

. O��� �������������(C������������� $��������� ����,����������������

–2 3

y1

y2

P

y3

1

. �����#����()�����-��� ��"��������$�����������������$���������������������()����������������������� ������#�������������������()�������$��()�3

?�5� � � � �� �∈ < − < <� � � �� ��� ) �*����+���� ��!�����������$��������- �����)�����

����$������ ������������������ ��� �� ��������$��$������������������� ����������� ��$��(C�� "�������������)������������C����� � ������� ��������������������()��������$��(C���������

A� ��

O����������$��()����

+−

≤��

� �

. 2�� ����� �$�������� �����������C�������������� �������� ����� ��������� ���� ������������� �� "��()�������� 3

S��5���I�%��S��5���.�&

Page 42: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� %��&������"����"���$�����

������

������������

. A����� ��� �� �����()���� �������� ����� ������"��(C������������� ���������,"����� �����������

y1–1

x

y22

x

. O��� �������������(C�����$��������������

–1 2

y1

y2

Q �/

. �����#����()�����-��� ��"��������$������������������� ������#��������������������()�������$��()�3

� � � �= ∈ − ≤ <� � �� �����������)/�� ��$��()��$������� ���������#�������$���$������������)��$������������������� �������"������������������������)���)�����"������

'��(�)���)�*�+�������������/�����$��(C����������������$��(C�

$������� �� �� � � �������� ��� �� ���� ��*��.�0+���*<�.�1�+���*���.�1��I�E+������

�������������������$��(C��#������ �#������������������������ ��������#������������������3

%+�P������ �������#������������� ����������������������#���

��Z�D�� ⇒���������Z�D��5�D���⇒ �������5�D��J�D���⇒��������J�D&+�P������ �������#������������

������ ��- ����)����������� ∈�O�⇒�����≥�D��*��∈�/+

�������O����������$��()�3*&��.�E+��j�*��I�&+��≥�D2�� ����S��5�*&��.�E+���S��5�*��I�&+�

F #�� ���$������ ������� ����� ����#�������� ������������#������)�����������*&��.�E+���������������������&��.�E�

y13

���� �������#������������������ ��- ����)�����������A��)��*��I�&+������������5�.&��������������≠ .&

y20

–2

2��������$��������������3–2 3

y1

y2

P

?�5� � � � �� �∈ = − ≥� � �� �

,-��)�)���$����.����D%�O������� �O�������$��(C�3�+ *���.�<��I�0+�*��.�&+�J�D

#+� �

� � ��

�− +−

�+ *��I�%+�*��.�&+�*.&��I�E+�≥ D

�+� �

���

�−

−≥

����������C�D'��#�������� �>���'�����������/','�#0!

Page 43: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� %��&������"����"���$��� ��

������

������������

� � � � � � �� � � = ∈ < < <� ��� C�D'��#�� ���� �� �>��� � '� �� �������

/','�#0!

� � � � � � � �� � = ∈ ≤ < >� ��� C�D'��#�����>�������������'��������>�)�

/','�#0!

� � � � � � �� � � = ∈ ≤ − ≤ ≤� �

�� �� �� �

� �� �� �

� �

�� � � �� �

� � �� �

−−

≥ ⇒ −−

− ≥ ⇒

− − −−

≥ ⇒ −−

≥� �

C�D'��#���������'�����������/','�#0!

� � � � � � �� � �= ∈ ≤ >� �D&� *2G;�?�+�?���������������������()�

�����$��()��*���.�1�+�*���.�'��I�%&+�J�D������������������������ ������3�+ .%�∈��

#+��

∈��

�+ ���∈ O�:�D�J���J�0��⊂ ���+ D�∈��+ 1�1�∈��

�������

C�D'��#;0'�#�H8��,#�:,#�8/#��B'�!

Page 44: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� %��&������"����"���$�����

������

������������

F#&#�����./',��/%B���#,,'/��4����1�*8�0'R�������∈��1D0� *Q�����?�+�6��������$��()�3�*&��.�1+�j

*<���.�&1+�j�*���I���I�%+�J�D�����������������()���3

�+ � � �∈ <������� �

#+ � � �∈ < −������� �

�+ � � �∈ − < < +������� �

���

�+ � � �∈ >������� �

�+ ∅

�������

F#&#��7�D'��#�#�H8��,#�:,#�8/#��/'�#0!

� ��� ��

∈ < −������

D<� *R��\����?�+�����$��()��*���.�<+���j*��.�&+��Z�D�� ��� ������()�������������������������������$�3�+ ��≤�&#+ ��Z�&�+ ��Z�.&�+ ��J�.&+ ��J�&

������������ ���(���������J���������� � �����������

������� ��������������� �����������^�� ����

C�D'��#�#�H8��,#�:,#�8/#��/'�#0!

� � ��� �= ∈ >� �D1� *�Q!�O?+�>��� �������� "��()�� ���

��������� ��

�� � = +

−�

���3

�+ � � � � �∈ > − <� � �� �#+ � � � �� �∈ < − ≥� � �� ��+ � � � � �∈ ≥ − ≤� � �� ��+ � � � �� �∈ ≤ − >� � �� �+ � � � � �∈ ≥ − <� � �� �

Page 45: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� %��&������"����"���$��� �

������

������������

�������

� �� �

N+−

�����>� ������� ������>� ������� ����� ���

Z8��,#�H8#�%'�/'!

� ��� � �� � �∈ ≤ − >� �DE� *!���������O[+�>��������������������

�- ���� ����� �� J� %� $�� �����"�� � �

��$��()�� ��

��

�−

< �

�+ �� �

#+ � ���������

�+ � � �∈ − < <� � �� ��+ � � �∈ <� �� �+ � � �∈ <� �� �

�������

�� �

�−

<

�� �

� N−

− <

� � �� �

�− −

−<

� �

� � �� �

N � �� �

N− +−

< ⇒ − +−

<

20/8����#�#�0%��.��#��8�',��#,�'��#��'�#�%��;�#,��/'�#0!

�����>�� ��������������>�� ���� ������� ����

C�D'��#;0'�#�H8��,#�H8#�%'�/'��B'�!

�#�#��P����/'�#0!

� ��� � � � ������ �∈ < >� � � � 1DH� *2G;�?�+� >� ��������� ����()�� ��

��$��()��� �

� �−

+ −≥

� � �� ��3

�+ � � � �� � � �∈ < − ≥ >� � � �� �#+ � � � �� �∈ < − >� � �� ��+ � � �∈ − < <� � �� ��+ � � �∈ − < ≤� � �� �+ � � � �� �∈ − < ≤ ≥� � � �� ��������

G GG �G �

N�

−+ −

�������

�����

������>������

Page 46: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� %��&������"����"���$����!

������

������������

C�D'��#;0'�#�H8��,#�H8#�%'�/'��B'�!

� �� � � �∈ − < ≤� �������� ��

Page 47: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������ ��

������

������������

��������!�"������ ������

����� ��,�$ ��!������ ��������"��(C�������*6�5�O�

!6�5�O+���"���������������(���"*�+�5�&��I�H��*�+�5����.�%�

;� ������ ��������������������(�"*�+�� �� � �� � ��� � ���� .&�� ��� ����"*.&+�5�&�j�*.&+�I�H�5�0�

���������������������(���*�+���� ����� ������*0+�5�0��.�%�5�'�

���� 3��*0+�5���V"*.&+W�5�'�2��()���� ��������������� ������(�

������������� ��������������� ���.&�������� �� �'�

?@������������ �� ������"��(C������ ������������������� �� ���"������� �������"��()����

����9������������()������������������������ ���()�

���"��()���*�+��� ���"��()���"*�+�����"*�+�.�� ��f��#����"��������,����g����f����������"���������,����g�.� ����� ��������������������()�������� ����"����� ������ ������"��������*��"+�*�+��>�� �����������#� ���$�3

��"*�+�5��V*"*�+W

���������'����������'����������� ��"���������� ���()�����"���

()�� �� ������ �� ������������ ��� "��(C�� �,���������3

"*�+�5�&��I�H���*�+�5����.�%

���� 3��"*�+�5��V"*�+W�5�"*�+��.�%�5�*&��I�H+��.�%�5�<���I

I�&'��I�<=��.�%�5���"*�+�5�<��� I�&'��I�<'�������������� � �������� "��(C��

���������������� ��� �������� ����()���������(��$������������� ���()���"��(C����� ������ �����������(��"��*�+�

���� 3"��*�+�5�"V�*�+W�5�&��*�+�I�H�5�&*���.�%+�I�H�5

5�&���.�&�I�H�5�"���*�+�5�&���I�1N�#� ��� ���� ������������� ���

���� ���()����"��(C����������� ���$��� �� ���()�� �)�� �� ��� ��������������������� ����������� ����������≠≠≠≠≠�����

,-��)�)���$����.����D%� *�R�/�O[+�?�"*�+�5�0��I�%���*�+�5�&���

��)��"�V�*.%+W�.���V"*.%+W����������3�+ .% �+�D#+ % +������+ %1��������-.�8.#0��8%.%�,'0!&������������������7��������������>�������7_&����`���7��������(���>������&_7����`���&_��`��������������F#&#!7_&����`���&_7����`�������������������� ���

D&� *AA?!�?�+�?�"*�+�5������*�+�5�� ����)�"V�*&+W��3

�+ %E �+�E<#+ %&' +�0&�+ %&

Page 48: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ��������

������

������������

�������7�_&���`���7�������7�����������) ������� ��

D0� *2G;�?�+� !������� ��� "��(C�"*�+�5�&��I�%���*�+�5����.�%��A��)��������������$��()��"V�*�+W�5�D��)�3

�+ ��������#+ ����������+ �����������)�� ���������+ ��������� �����������+ ��������������7_&��`�����⇒�7�_�����`��������������>�������⇒��������>������

������1 ⇒��������⇒����^�

���⇒����^�

��

F#&#���0�,�$D'0�03#�#:#0/�01������� ��2

D<�!�����������$��"*�+�5���I�&��"V�*�+W�5&��.�0����)���*�+����������3

�+ 1�.�� �+���

#+ <��.�& +�&�.�<��+ &��.�1�������7�_&��`���&���>����������&���>���⇒�&����������������� ���

D1� ?�����*�+�5���.�H��"V�*�+W�5�0��.�%������ �������"��()��"*�+�

�������&����������⇒����&���>��7_&��`���������⇒�7_&��`����_&���>��`����7�_&��`����&���>��� ⇒�7�������>���

���,�� ������������8�����Q ��"��()������� ���� ��������$�����

�������� �������������������� ������������� �� ������� #� ������������������������ �����

���≠����⇒�"*��+�≠ "*��+

O����� �������"��� ����� ��"��()���������$�������� ������������������$����$���$��������������������,"�������"��()��� ��-��������

"*�+����������

�*�+��)�����������

*�������������,"���� ������� ����+

Page 49: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������ ��

������

������������

����1�4��8�����Q ��"��()������� ������#�������$����

������������� ����������������� �����"��� �� ���������� ����� �� �������� �����

L �5�!6

O����� �������"��� ����� ��"��()���#�������$�������$���$���$����������������������$����������������������������� ������ ���������� �� #� ���������������� �4�����,"�������"��()��

"*�+�����#������

*�)��������������,"���+

�*�+��)������#������*�)���������������,"���+

����%�8�����Q ��"��()������� ����#�������$�����

�������� ��� ��������������� �� ��������'������������������������������'��������������� ���������������� �� ��� ��������������������������� ������������������ ������)��� ���������� ����� � ��������� �����

���� ����Q ��"��()��#����������������$������ � ����� ���()�� #��������3� ���� ����� �����,�� ��-����� � �� �� ���������

�� ���'���'����6� ���� #����$������ �"��(C��$�

�)���)������������ ��� �������#��������A�����)����# �� ��������"���()�������M�)�� ������� ������ � � �������� � � ��#�������

Page 50: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������

������

������������

,-��)�)���$����.����D%�>����,"����� �#����� ������ � "���

(C����O� �O�

;��"�$���������)������)����#��������������������#���������[����"�$��

��������� ��7�����

����7�������� ��7�����@3#�4�0#�,'R'/#,���:#%0�����7��≠�� ��7�����@3#�4�%�R'/#,���:#%0�/#�#0�#0�'.'�'�/#0��#�#�$�%#�/=���#�#�%��&'��#�'.'�'�/#��1�#�#��3#�4�%�R'/#,���'��0#�,'R'/#,����3#�4�%R'/#,�1

�� ��7���������7������ ��7�����a�0#�,'R'/#,���:#%0�����7����� ��7�1a�%�R'/#,���:#%0�/#�#0�#0�'.'�'�/#0��%0/%�/#0��#� �#�$�%#� /=�� %��&'�0� &� �%0/%�/�0� �#�#�/,��#�$�%#1F#&#��4��%R'/#,�1

�� ��7�����

����7���� � ��� ��

∈ ≥ −������

� ��7�����@3#�4�0#�,'R'/#,���:#%0����7��≠ � ��7�1

@3#�4�%�R'/#,���:#%0�'%0/'��'.'�'�/#0��'����7�H8'�03#�%��&'���'��#%0�B�.#,'0��%0/%�/#0��'�1F#&#���3#�4��%R'/#,�1

D&�6�� ����������������9��� ����$��� ����(�� "*�+� 5� ��� �"���� � �� "��()���#�����������5�����∈�O�:�.0�≤���≤�<�� �9�6������������������(C��������#�������

������������ ������_�∈ ��V�� ≤��≤��)`@3#�4��%R'/#,���:#%0��3#�4�%�R'/#,�1

����� ��) -�� ��������)����;� �������������� ��"��()��"��� ����

���������������� �����9�������$��������� ������������������������������������ �� � �� �S� 5� "*�+�������� �����������9����� ��������������� ������� ��"��()��$�������������� �� �S����� ������ ���������������� ��"��()�������

Page 51: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������ �

������

������������

$���*S+�5����A����"��()�����$��"������� ��������������"��()��"������� ������������� �������"����#�������()��"���

��������������,-���:�)��6� ���������$���������������������

���� ������,����$�� ��������� � ��������������� ��������"��()��"���� �� ���������� �� ��������� ������� �������� -������ �����6����"�� ��������� ���$��@���������������������"��()��"�����"��()�"�"�����'������

6����"�� ������� ���$�������&������"��()�� �� �� �� �������� ������� ���� � $����������� �������"������� �������"���

���� 3

6*"+�5�!6*"���+�5�L *"���+

!6�*"+�5�6*"���+�5�L *"+

���������'����������.�������������� ���()���������(��$����

�������� ���������� "��()�� "������ ��������������"��()����������A�$��������"���()��"��� ����� ����������� �����������

(��"���������������������������� �� �S���"��()���������"���� ��� �����"���� ����� �� �S������ ����������(��"���������������� �������;�� ���������������������������� �����������

6�� �������"��()������������"��()�

"*�+�5�&��.�<

%7+ ;� ��������������������()����� �� ��"*�+����S������ 3�S�5�&��.�<�

&7+ �������� ����������������� ���f������g�����

F������ ��

�� � �

�= + ⇒ =

+

07+ ��� ��������$���,�������� ����������(��$��������������������"���������� ����� � �� �S������� ��� ���#������ ������������$����S������� �� ������ ������"����������()������������������������������������>�

A��)�3���= + ��

<7+�O���������K�����()��������� ������������ �� "��()��� �� ��� ��#�������� S� ��� �−�� � �

2���� ������ ������ � �− = +� ��

� �

�� �"�������������+�A����� ����������*���#+������

K�"��()��"��������*#���+������,��K�"��()��"���

� ����� ����������������������������������������,�� ���� ��������������� �������������������*���#+��*#���+� �����()��K�����S�5���*#������������$���������� ����+��L����"��������������������������������������� ������"��(C�������������$�����,"������� ��"��()������������������)��� �������� ����()��K�����S�5��*"��()�����������+

Page 52: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������ �

������

������������

��+�!�����������$����"��()���������� ����K�� �� ������������������� �� ���� ��������� ��� �����"��()���� ����������������� ����� ������� ������������� ���

���� 3 "�"��*�+�5�"���"*�+�5��

������������������$�3

� +� � � � �− −=�

�� �� � � ���+� ��� � ��� �− − −=� � �

,-��)�)���$����.����D%�6�� ����������������"��(C�3�+ � � �� � = −� �

#+ � ��

����= +−

≠� ��

����������� � �� � = −� �� � � �= − ⇒ = + ⇒� � � �

��

� �=+

⇒ = +��

��

� � �− = +� ��

� �

������ �� �

= +−

�� � �− = +� � �

�� � �− = +� � �

� � �⋅ − = +� � �� �

� ���� ��� �

� �� �� �

⇒ = +−

� � �� �� �

���� ��− = +−

≠� ��������

���� � � � ��

�− = +� �

��� � � �� �� �

���� ��− = +−

≠� �

D&��*!���?�+?���"3�O�⇒�O���"��()������������,"���

���������

���������������������$���������������,"�������"��()�����������"3

�+

Page 53: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������ �

������

������������

#+

�+

�+

+

������� ���*�&,-7%�#��'�8���78�93#�'�#����08��%�B',0��03#

0%�4/,%�#0�'��,'.�93#�[�,'/�����

D0��*2�R��[�������.�?�+?�� ����"��(C��"������O� �O���"������

���"*�+�5�&��.�%���*�+�5�\��I������"��()������,�����������"������� ����3

�+ � �� = ��

#+ � �− = ��+ \�5�&��+ \�I���5�D

+ � �= = ��

�������7���������������>���⇒

�� ��

=+

�⇒����� ��+

F#&#��� ��� � � ���&������ �+

= +�

���

��

E�0�&�����O�>�/

F#&#��O���]���'��/���

]�

������� ��2

Page 54: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������ �

������

������������

D<� *Q�2�.�O?+?��� "3� O� →� O� #�������� �"������ ��

"*�+�5�� �I�%��?����3�O�→ O��#���������"�����

����*�+�5��� ��� +

A��)���� ��� �� � �I��� � ������

���� ����3

�+���

�+��

#+]]�

+���

�+���

��������-.�8.#0��8%.%�,'0b �-.�8.#����%�B',0�!

7�������>�������>����→������>���→����������→

→ ��� � �� −

F#&#��� ��� � � ��� � �� −

� �� �� � ��� � � � �� �− = =

� ��

��

� ��� ��

����� = ���� + = + =

� � ��

� ��

� ���

���

����

��

����

����=���� =

⋅ +=

+= =

A#,/��/#��7�����>�� � ��

� ���

���

����

����= + =

������� ���

D1���� "��()�� "���"������ � ��− �� � ���

"*�+5��

+−�� �������������>������������ ����

���� �−� ��

!��������������� ��/'#,%��0��'�#0�H8'�#��#�/,���#�$�%#��'�8��

78�93#�4�%&8�.��#��#�$�%#��'�08��%�B',0�1�2�/3#!�Q�:�00#� '/',�%��93#����%�B',0�

�� �� �

�� �� � �

� �� �� �

=+−

⇒ − = + ⇒

⇒ + = −

� � � �� � ��� �� �

+ = − ⇒ =−+

� �

C%��.�'�/'�� ��� � �= −+

�� �� �

�Q�:�00#� ��� ��� �− =

��� �− 5��>���≠��� ⇒���≠���

IDf :1− � � �� �∈ ≠ −� �� � 1�F#&#� 7����� � �− − ∴ = −� �� �

DE��6������"��()��"3�O�→ 9��� "*�+�5����.�<��I�0������������$���C���#�����+ 6�� ������� ���������9�����$�� �

"��()��"�������#�������#+ !����������������������9�����������

(C������� ������ ���"������ �������� ��������"�����$����"��()��"����#������U

�+ P� �����"����������(C�������������#������������ ��"��()��#����������� ����������(��$������������������"����

�������

��

Page 55: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������

������

������������

A�,��H8'�7�0'R��0#�,'R'/#,����'B'�#0�/',�� ������

#8�0'R�������� � �� � � �∈ ≥ −� ����

�'0:'%/���0��0��#��%9c'0��#�%/'������:�,��H8'�7�0'R��%R'/#,����0/��H8'�/���4��0'R��%�R'/#,�1�A�,��%00#���0/�'0�#.W',���,'&%3#��,'0�'�/'�#8���,'&%3#��'�,'0�'�/'��#8�0'R�� �� � � � ��= ∈ ≥ ����#8

��5� � �� � � �∈ ≤� ���� 7��������� �>��

������� �>������ �>���������

�� � � �

�=

± +

� � � �= ± +

� � � ��− = ± +

7������� � � �+ +#8

� � � ��− = − +�� �

����� ��.�����;� ���������������������"��()�� ��

�����������������?�������� ��- �������

�������������������'2���)���(;����!������ ������������������$�����

���������������- ��������������������� �������������� ����� ���������>��$������������� ������- �������D�*���+�

6�� ���$���?�������� ��- �������������f����@����g����������$�����������������*�"���+�A������������������������ ����� �������- �������0�� � @������������0����������f����Y����g����K����� ��6�� �� �� ����$����������f����Y����g�����- ������.�<����������� ���������$����������������� ���$���� @�������.�<������������<�������()��$���� ������ @���������- ����������� ������#������������������- �����

R@������������������������n�n�

��������������(;�������'9<'���$�������������� �������()���� ���������

@���������������������� ������Y�����$���������� ��������)������������� �������#��������������"���()����� @�������� �- ������3

� � �� �� � ������� �� � �� �

= ≥= − ≤���

�� �

���� 3nEn�5�E������E�Z�D�no�Hn�5�o*oH+������oH�J�DN�#� �� #��� ���$��������5�D�������

�� �����������n�n�5������ ��n�n�5�o����)���� ����������������������"���()���������� �� �� �≥ ≤� � �

��� �����(;����. 2�������)�"*�+�5�n�n������������ ���

� ��� ��� �� �������������#�������������������� @�����

. 6�5�O��!6�5�O��L �5�O��

. 3�"����)��������������()�������,"������"��()�� ���������� ���"������������������(C�3

%7+�� ≥ ⇒� �"*�+�5����$������"��()����������*#�����������%7�$�������+M

&7+���J�D�⇒�"*�+�5�o���$����� ��"��()�����%7����� �������� *#�������� ��� &7$�������+�

Page 56: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������ !

������

������������

!�������������������������������������� ��������������,"��������"��()�� �������3

,-��)�)���$����.����D%��*Q2;�RG+���"�������#�����������,"���

��� ��"��()��"3�O�→ O�

�����������������������������,"��������"��()���*�+�� �$���*�+�5In"*�+n�3

�+

#+

�+

�+

+

�������

F'��,���#�H8'� � �= �0'��≥����'�� � �= − �0'�P����/','�#0!

&�����7����0'���7���≥����:�,/'��#�&,-7%�#���%����#'%#���'�&��������7����0'��7���P����:�,/'��#�&,-7%�#���%#��#�'%#����%0/#�4��#�&,-7%�#����78�93#�&�0',-0%�4/,%�#��#�&,-7%�#����78�93#�7�'��,'.�93#��#�'%#�

Page 57: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������ �

������

������������

������� ���D&��!������������,"�������"��()�������"��

��������"*�+�5� � ��

������� A#�'�#0��#�0/,8%,�#�&,-7%�#��'�7���:#,��#%0�:,#�'00#0�����������

?��'�#0�H8'� �� �� �� �� �� �� �

� � �����

� �� �

'�/3#�7�:#�'�0'��'7%�%����#�#�8���78�93#�����8�00'�/'�9�0��#8�0'R�

� �� �� �� �� �� ��� �

� � ����

� �� �

�8R#�&,-7%�#�4!

�����������A,%�'%,#�7�,'�#0�#�&,-7%�#��'�&������;���1�A�,��#�/',�#0

#�&,-7%�#��'�7����� � �� � �:,#�'�','�#0��#�#��#�'',�$�#��

*�0!�2��:,#�.'��0�0'�'.W��/'0��#,��.�'�/'��#/�,'�#0�#��Q�:,#�'00#1

D0��*Q2RG+��?���"3�O�→�O�� ��"��()�����

$��"*�+5 � ��� − ��>���,"�������5�"*�+��3

�+

#+

�+

�+

Page 58: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������ �

������

������������

+

�������7����������� →

7����� � ��� − �→

������� ���

D<��!�������������,"�������������������������� �� ����"��()�

"*�+�5� � �I�%�������

A,%�'%,#�7�,'�#0�#�&,-7%�#��'�&������ 1A�,��#�/',�#0�#�&,-7%�#��'�7�����&���>����'0.#;

���#0������:#�/#��#�&,-7%�#����78�93#�&�8���8�%��;�'�\:�,���%��]1

Page 59: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������ �

������

������������

D1��!�������������,"�������������������������� �� ����"��()�

"*�+�5�� − −� �

�������

&����� � − � ��'�/3#�7�����&��������#8�0'R���:�,�#�/',�#0�#�&,-7%�#��'�7�����'0.#���#0�#0�:#�/#0���78�93#�&��8�0�8�%���'0�:�,����%#1

��7���_��"�∞`

DE�� *;���+� >� ��,"���� ��� "��()�

� � � �� �= − −� � � ��3

�+

#+

�+

�+

+

Page 60: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������!

������

������������

�'0#.893#�� 7�����5������→

�� 7����� � �� �− �→

�� ���� � �� ��= − − →

DH��A�#�(�������,"�������� ������������������ �� ����"��()�3�"*�+�5����.�<� � �I�0�

��������'�#,,'��#�[��'7%�%93#��'�� �/'�#0

����� � � �� � �

� � �� � �

�=

− + ≥

+ + <

�����

������S�∈���V�S�≥����

D'��*R��\����.�?�+�?�����"��()��"3�O�→�O

�"����������5� � �− −� ��>���,"����$�� ����������������3

�+

#+�

Page 61: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������ !�

������

������������

�+

�+

+

��������'�#,,','�#0��#B��'�/'�[��'7%�%93#��'��M�8.#1

G �G � �� G �G � �� G �

− =− ≥

− + <��� �1�2�/3#

?'��≥�� ⇒������������ ⇒�������?'��P���⇒�������>������ ⇒��������>��

������� ���

���!*������) �*���.�����;� ��� �������� ������� ����� � ������

����"�������� @�������� ��- ������3. L������()���� ������3� @������

� ��- �����������f����@����g����������$�����������- ���������� ���� K����� ��������

. 6"���()�3��� �� �� �� �

=≥

≤���

���

������ ��������"����������������()�����$��(C���������$��(C�� ������������������������������������������ @�����3

��+ � ≥� �����$���$���������

� �= ⇔ =� �

��+ � � � � �� � � ��� �= ⇒ = = − ≥� �

� + � � � � �� � �= ⇒ = = −

��+ � � � � �� � � ��� �> ⇒ > < − ≥� �

��+ � � � � � ��� �< ⇒ − < < ≥� �

��+ � � � �⋅ = ⋅

��+��

��

��� �= ≠�

��+ � �� =

��+ � � �� � �� � �= =

������������� ���������� ��� ���"���� ������"������� �� �������������� ��������()���� ����������� @������

����� �� �����()�� ���� $��(C�� � �����$��(C�� ����������� �������������� ������3������4����������������������������� �����()������ $��(C�� � ��$��(C��$�������� �� �+������?����� ����������������������������������� �������������������?�����,��������������������������������,�������?�������6������:������?����6

Page 62: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������!�

������

������������

��������������������������� ���" ������������#

O��������$��()�� �− =� �

� � �� � �− = ⇒ = − = − ⇒ = −� � � � � �

?�5��.1M�=�

��������$

O��������$��()�� � �+ = −� � �

��I�1�5�&��.�H�⇒����5��%&�⇒���5�%&�����

��I�1�5�.�*&��.�H+��⇒���I�1�5�.&��I�H���⇒ ��5���

?�5���

��;������

��������%

O��������$��()�3� � �� � � �− − =

*��������6� �����3

*�������)�?�5��.�%��%��0��1���������B

O����������$��()�� � � ��− <

.�1�J�&��.�0�J�1 *I0+

.�&�J�&��J�' *÷ &+

.�%�J���J�<

?5����∈�O�:�.�%�J���J�<�

��������C

O�����3� � � ��− ≥

0��.�1�≥�%�⇒ ��≥�&��

0��.�1�≤�.�%�⇒ ��≤����

?�5� � � � �� �∈ ≤ ≥������� �

��

��������D

O����������$��()�3�� � �� �− ≥

*��������6� �����3

������� ��?�����∈�� V��≤������#8��≥���/���� ��������������������� ������"��

��()���� @����������������(��������� ����$��� � @����������)������ ���� @����������� ������)���� �����,���

Page 63: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������ !�

������

������������

��������EO����������$��()�

� � � �� �

� �� �

− + + <��� ���

>#��������#����������3

?�� ��� ��� � ���� � ��� � � ��

∈������

��������FO������� ��� 3

� �� �

− + − >� � �� �

��� ���

*��������

*�������)�?�5����∈�� �:����J�%�������Z�&�

��������G*2�����?�+�?������� ��- ��������*%�I��+�*%�.� � �+�≥�D������ ����3

�+ � �≤ % �+ ��≥�%#+ ��≤ % + ��≤ .�%�+ � �≥�%

Page 64: Matemática - Funções - Livro pdf

���������� ,����"� ������!�

������

������������

*��������#9����� ��≥�D *%+

*%�I��+�*%�.��+�≥�D%�.����≥�D

.�%�≤���≤�% *&+*%+�∩�*&+����� ���D�≤����≤��%���*L+

$9����� ��J�D *%+*%�I��+�*%�I��+��≥��D�⇒��*%�I��+��≥�D

∀ ∈� ��� ��

6�*%+��*&+��� �������J�D���*LL+*L+��∪�*LL+��⇒���≤�%*�������)�9

,-��)�)���$����.����D%��*LP��?�+�?�#����$���������(C����

$��()�� � �� � �− − = ��)�����������$��()����.���I���5�D���� ����"�� ���$�3

�+ ��5�%�������5�E#+ ����D�������5�.�E�+ ����%���������.E�+ ����D���������.=+ /)������ ����#������$�����.����I�#�5

D���������������������������$��()�������

�'0#.893#

C�D'��#�� �= �/'�#0!

�������)���������#8�������

�00%�

� �� � ��������= = −� �� �2�/3#������#8�������?3#��0�,�$D'0��'�������>��A#,/��/#

?#�����− −

= − + = ⇒ =�

�� � �� � � �

A,#�8/#�����

� � �= − ⋅ = ⇒ = −� �� � � �������� ��

D&��*Q2Q�RG+�>��� ��������"��()�����������,��������"���������"*�+�5 � � ��− − ��3

�+ ����∈ O�:���≥�&�#+ ����∈ O�:�.�%�≤ ���≤�&��+ ����∈ O�:��≤ .�%������≥�&�

�+ � � �∈ ≤ ≤������

��

+ O�

�������

7����� � � ��− −

�#��%93#! � � � �

� � �

− − ≥

− ≥

'B'�#0�/',!������≤�;�����#8 ������≥����≤��� ��≥�

������� ���