Matemática I Conceito de Função Plano Cartesianojoni.fusinato/MAT I - Integrado/Aulas... ·...

Prof.: Joni [email protected]@gmail.com 1

Matemática IConceito de Função

Plano Cartesiano

Matemática, 1º Ano, Função: conceito

O conceito de função, presente emdiferentes ramos da ciência, teve suaorigem na tentativa de filósofos e cientistasem compreender a realidade e encontrarmétodos que permitissem estudar edescrever os fenômenos naturais.

Ao longo da História vários matemáticoscontribuíram para que se chegasse aoconceito atual de função.

Ao matemático alemão Leibniz (1646-1716)atribui-se a denominação função queusamos hoje.

Imagem : Christoph Bernhard Francke / Portrait of Gottfried Leibniz, c. 1700 / Herzog-Anton-Ulrich-Museum, Braunschweig / Public Domain.

Conceito de função: um pouco da história


A representação de uma função pela notação(x) (lê-se: de x) foi atribuída aomatemático suíço Euler (1707-1783), noséculo XVII.

O Matemático alemão Dirichlet (1805-1859)escreveu uma primeira definição de funçãomuito semelhante àquela que usamosatualmente.

Conceito de função: um pouco da história

Peter G. L. Dirichlet

A noção intuitiva de funçãoJoão vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B.Veja as condições dos planos:Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 240,00 e R$ 30,00 porconsulta durante a vigência do plano.Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 190,00 e R$ 45,00 porconsulta durante a vigência do plano.

Dependendo da necessidade, João fará 1 ou 7 consultas. Qual oplano mais econômico para ele em cada situação?

Observe que o gasto total de cada plano é dado em função donúmero de consultas dentro do período preestabelecido.

Em Joinville, de acordo com valoresem vigor desde 2016, um motoristade táxi cobra R$ 5,25 de bandeirada(comum) mais R$ 2,90 porquilômetro rodado (bandeira 1) ouR$ 3,80 (bandeira 2). Sabendo que opreço a pagar é dado em função donúmero de quilômetros rodados,qual o preço a ser pago por umacorrida em que se percorreu 22quilômetros na bandeira 1?

Preço a pagar (p) = 5,25 + R$ 2,90 vezes o número de quilômetros (x) rodados

p = 2,90.x + 5,25 (lei da função ou fórmula matemática da função)

O diagrama a seguir considera a quantidade de litros de gasolina eos seus respectivos preços a pagar em um posto de combustível nacidade de Joinville:

Quantidade de litros (l)

Preço a pagar (R$) O preço a pagar é dado em função

da quantidade de litros que se colocano tanque, ou seja o preço dependedo número de litros comprados.

123...50x

3,777,5411,31...188,503,77x

Preço a pagar (p) = R$ 3,77 vezes o número de litros (x) comprados

p = 3,77.x (lei da função ou fórmula matemática da função)

Agora, responda:a) Qual é o preço de 10 litros degasolina?b) Quantos litros de gasolina podemser comprados com R$ 67,40?

A noção de função por meio de conjuntos1) Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma:em A estão os números inteiros e em B, outros.Devemos associar cada elemento de A ao seu triplo em B

Note que:- todos os elementos de A têm correspondente em B;- a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula y = 3x.

-2∙-1∙0 ∙1 ∙2 ∙

∙ -8∙ -6∙ -4∙ -3∙ 0∙ 3∙ 6

A B

2) Dados A = {1, 4} e B = {2, 3, 5}, relacionamos A e B da seguinteforma: cada elemento de A é menor do que um elemento de B:

Nesse caso, não temos uma função de A em B, pois ao elemento 1de A correspondem três elementos de B, e não apenas um únicoelemento de B.

1 ∙

4 ∙

∙ 2

∙ 3

∙ 5

A B


3) Dados A = {- 4, - 2, 0, 2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, associamos oselementos de A aos elementos de igual valor em B.

Observe que há elementos em A que não têm correspondenteem B. Nesse caso, não temos uma função de A em B.

-4∙-2∙0 ∙2 ∙4 ∙

∙ 0∙ 2∙ 4∙ 6∙ 8

A B

Definição e notação

Dados dois conjuntos não vazios, A e B, uma função de A em B éuma relação que indica como associar cada elemento x do conjuntoA a um único elemento y do conjunto B.

“A cada x de A corresponde um único (x) de B, levado pela função .”

A B

: A → B

x f(x)

Uma pausa para um vídeo...No link https://www.youtube.com/watch?v=HCr6Ys0zvr8 vamos assistir umvídeo do Programa M3 Matemática Multimídia da Universidade Estadual deCampinas (Unicamp).

Vídeo: Descobrindo o algoritmo de Guido

Série Matemática na Escola

Objetivos

1. Apresentar as definições e exemplos de relação e de função.

2. Mostrar uma conexão histórica entre a música Gregoriana e a Matemática.

Sinopse

Um jovem aprende o segredo do monge Guido para compor músicasdevocionais, no estilo Gregoriano. O segredo envolve relações entre umconjunto de notas musicais e um conjunto de letras do alfabeto.

Domínio, contradomínio e conjunto imagemO diagrama de flechas a seguir representa uma função f de A em B.Vamos determinar:

a) D(f) b) CD(f)

D(f) = 2, 3, 5 ou D(f) = A CD(f) = 0, 2, 4, 6, 8, 10 ou CD(f) = B

c) Im (f) d) f(3)

Im(f) = 4, 6, 10 f(3) = 6

e) f(5) f) x para f(x) = 4

f(5) = 10 x = 2

2∙

3 ∙

5 ∙

∙ 0∙ 2∙ 4∙ 6∙ 8∙ 10

A B

Uma pausa para um vídeo...No link https://www.youtube.com/watch?v=UhIbDZaObfQ vamos assistir umvídeo do Programa M3 Matemática Multimídia da Universidade Estadual deCampinas (Unicamp).

Vídeo: Carro Flex

Série Matemática na Escola

Objetivos

1. Recordar conceitos básicos relacionados a funções;

2. Exemplificar o uso de funções no cotidiano.

Sinopse

Frentista ajuda cliente a descobrir quais são as proporções de álcool e gasolinaque devem ser abastecidas em seu carro flex para que o custo tenha um valorpreestabelecido.

14

Atividades resolvidas

R1, R2 e R3, p. 38

15

Atividades

Fazer os exercícios:

Página 39: 1 a 3.Página 40: 4, 6, 7 e 8Página 41: 9 e 10

Função e gráficoCoordenadas cartesianas... Relembrando!A forma de localizar pontos no plano foi imaginada porRené Descartes (1596-1650), no século XVII. O sistemacartesiano é formado por duas retas perpendiculares entresi e que se cruzam no ponto zero. Esse ponto édenominado origem do sistema cartesiano e éfrequentemente denotado por O. Cada reta representa umeixo e são nomeados Ox e Oy. Sobrepondo um sistemacartesiano e um plano, obtém-se um plano cartesiano,cuja principal vantagem é associar a cada ponto do planoum par de números reais. Assim, um ponto P do planocorresponde a um par ordenado (x, y) com x e y reais.

O eixo horizontal Ox é chamado de eixo das abscissas e oeixo vertical Oy, de eixo das ordenadas. Esses eixosdividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.

Imagem: Frans Hals / Portrait of René Descartes, c. 1649-1700 / Louvre Museum, Richelieu, 2nd floord, room 27 Paris / Public Domain.

O gráfico de uma função é o conjunto de pares ordenados (x, y)que tenham x pertencente ao domínio da função e y = f(x).

Reconhecimento do gráfico de uma função

Para saber se um gráfico representa uma função é precisoverificar se cada elemento do domínio existe apenas um únicocorrespondente no contradomínio.

Geometricamente significa que qualquer reta perpendicular aoeixo Ox deve interceptar o gráfico em um único ponto.

Gráfico de função

Reconhecimento do gráfico de uma funçãoy

x

y

x

y

x

Qualquer reta perpendicular ao eixo Ox intercepta o gráfico em um único ponto; portanto, o gráfico representa uma função de x em y.

Existem retas perpendi-culares ao eixo Ox que interceptam o gráfico em mais de um ponto; portanto, o gráfico não representa uma função de x em y.

Existem retas perpendi-culares ao eixo Ox que interceptam o gráfico em mais de um ponto; portanto, o gráfico não representa uma função de x em y.

Domínio e imagem a partir do gráfico

x

y

a b

f(b)

f(a)

Domínio: a x b ou [a, b]

Imagem: f(a) y f(b) ou [f(a), f(b)]

20

Atividades

Ler a teoria das páginas 32 a 47

Página 46: 11, 13, 17


Todos os dias nos deparamos com notícias do tipo:

Dólar fecha em queda após quatro altasseguidas;

Mercado prevê mais inflação, quedamaior do PIB e nova alta dos juros;

Com mercado de carros novos emqueda, cresce a venda de veículosusados;

Previsão de inflação para 2017 continuadiminuindo;

Taxa de desemprego continua a subir emtodo o país.

Função crescente e decrescente


Função crescente Função decrescente

Quando o valor de y aumentar conforme o de x aumentar, temos uma função crescente.

Quando o valor de y diminuir conforme o de x aumentar, temos uma função decrescente.


Pensando no ENEM...(ENEM) O dono de uma farmácia resolveu colocar a vista do público o gráficomostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) decerto medicamento ao longo do ano. De acordo com o gráfico, os

meses em que ocorreram,respectivamente, a maior e amenor venda absoluta foram

a) março e abril.b) março e agosto.c) agosto e setembro.d) junho e setembro.e) junho e agosto.

De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e amenor venda absolutas foram junho e agosto. Portanto item E.

Agora analise os intervalos onde aconteceram crescimento (aumento) ou decrescimento(queda) das vendas do medicamento em questão.

Imagem: INEP-MEC

A função y = f(x) é crescente para 1 ≤ x < 3, decrescente para 3 ≤ x < 4e é constante para x ≥ 4.O gráfico que mais adequadamente representa a função y = f(x) é:

Imagem: SEE-PE

Observe abaixo o gráfico de uma função real definida no intervalo [–5, 6].

Essa função é decrescente em:

a) [– 5, – 3] U [3, 5]b) [– 3, 0] U [0, 3]c) [– 3, – 1] U [5, 6]d) [– 3, 0] U [5, 6]e) [– 1, 2] U [2, 4]

Imagem: SEE-PE


Aplicação de função na Biologia...(ENEM) Um cientista trabalha com as espécies I e II de bactérias emum ambiente de cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias daespécie I e 1.250 bactérias da espécie II. O gráfico representa asquantidades de bactérias de cada espécie, em função do dia,durante uma semana.

Em que dia dessa semana aquantidade total de bactériasnesse ambiente de cultura foimáxima?

a) Terça-feira.b) Quarta-feira.c) Quinta-feira.d) Sexta-feira.e) Domingo.

Imag

em: I

NE

P -

ME

C


Em que dia dessa semana a quantidade total de bactériasnesse ambiente de cultura foi máxima?

a) Terça-feira.b) Quarta-feira.c) Quinta-feira.d) Sexta-feira.e) Domingo.

A quantidade total de bactérias nesse ambiente de culturafoi máxima na terça feira, num total de 800 + 1100 = 1900,pois nos demais dias, temos: Segunda: 350 + 1250 = 1600;Quarta: 300 + 1450 = 1750; Quinta = 850 + 650 = 1500;Sexta: 300 + 1400 = 1700; Sábado: 290 + 100 = 1290 eDomingo: 0 + 1350 = 1350. Portanto a resposta é o item A.

Imag

em: I

NE

P -

ME

C

Aplicação de função na Física...Um rapaz desafia seu pai para uma corrida de 100 m. O pai permite que o filhocomece 30 m à sua frente. Um gráfico bastante simplificado dessa corrida é dadoa seguir:

a) Pelo gráfico, como é possível dizerquem ganhou a corrida e qual foi adiferença de tempo?

b) A que distância do início o paialcançou seu filho?

5 10 15

20

40

60

80

100

Distância (m)

Tempo (s)0 c) Em que momento depois do inícioda corrida ocorreu a ultrapassagem?

O pai ganhou a corrida, pois elechegou aos 100 m em 14 s e o filho,em 17 s.

Cerca de 70 m.

Cerca de 10 s.

Foi o matemático e filósofo francês René Descartes o criador daparte da Matemática que relaciona as ideias da Álgebra com aGeometria, chamada de Geometria Analítica.

Em sua homenagem, o sistema de coordenadas foi denominadoplano cartesiano.

MATEMÁTICA, 9º AnoPontos no plano cartesiano/pares ordenados

Sistema Cartesiano de Coordenadas

Quando estudamos o conjunto dos números reais (R), verificamosque o número zero fica localizado entre os números reais positivose os números reais negativos.

0 +1 +2 +3-1-2-3-10 +10

+2-2

+2,5-2,5

Reta dos números reais

O plano cartesiano é formado por uma região geométrica plana,cortada por duas retas perpendiculares entre si.


Retas perpendicularesformam ângulos de 900 entre si.


Eixo das ordenadas.

Eixo das abscissas.

A reta horizontal é denominada deeixo das abscissas. Representada porx, xR.

A reta vertical é denominada de eixodas ordenadas. Representada por y,yR.

As retas dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.



Denomina-se par ordenadoao par (x, y), no qual oprimeiro elemento pertenceao eixo das abscissas e osegundo elemento pertenceao eixo das ordenadas.

EXEMPLOS

Localizar no plano cartesiano xOy os pontos:a) A (2, -3)b) B (-5, 1)

2

-3

-5

1

0 x

y

A

B


EXEMPLOS

Localizar no plano cartesiano xOy os pontos:a) A (-5, 0)b) B (0, -4)

- 4

- 5 0 x

y

A

B

Na figura a seguir, temos um recorte do layout de uma planilha do Excel. Nele,consta uma lista de compras feita por uma família pernambucana. Nessascondições, relacionando as linhas e colunas dessa planilha, indique ascoordenadas da posição da célula do Excel em que está o AZEITE.

Imag

em: V

ania

Teof

ilo/ C

reat

ive

Com

mon

sAttr

ibut

ion-

Shar

eAlik

e3.

0 U

npor

ted.

SOLUÇÃO

Analisando o layout do recorte do Excel, podemos concluir que aposição do AZEITE é 3C.

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenadosNo mapa-múndi a seguir, temos a localização geográfica de algunslugares, representados pelas letras A, B, C, D e E. Identifique ascoordenadas geográficas dos lugares representados pelas letras A eB, a partir dos conceitos estudados sobre o plano cartesiano eutilizando também a latitude e a longitude, respectivamente, doslugares propostos.

Latitude: é distância medida em graus de um ponto qualquer dasuperfície terrestre em relação à linha do equador.

Longitude: é distância medida em graus de um ponto qualquerda superfície terrestre em relação ao meridiano de Greenwich.

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados

Qual a localização desses dois pontos?

A

B

180160160 140140 120120 100100 80 806060 4020040 20

60

40

20

0

40

20

60

80

Imag

em: R

oke

/ G

NU

Fre

eD

ocum

enta

tion

Lice

nse.

SOLUÇÃO

Traçando o plano cartesiano, temos:A (Latitude: 400 N; Longitude: 800 W)B (Latitude: 200 S; Longitude: 400 W)

LW

Latitude: linhas horizontais.

Longitude: linhas verticais.

A

B

180160160 140140 120120 100100 80 806060 4020040 20

60

40

20

0

40

20

60

80N

S

Imag

em: R

oke

/ G

NU

Fre

eD

ocum

enta

tion

Lice

nse.

Atividades

No plano cartesiano a seguir, estão localizados alguns pontos. Determine as coordenadas desses pontos.

x

y

AB

C

DE

A(3, 2), B(-3, 3), C(0, 0), D(-3, -2) e E(1, -3)

MATEMÁTICA, 9º AnoPontos no plano cartesiano/pares ordenadosDesenhe o plano cartesiano no caderno e, em seguida,localize os pontos abaixo. Indique também seusrespectivos quadrantes.

a) P (-3, 4)b) M (0, -5)c) N (-4, -6)d) K (5, 0)

SOLUÇÃO

x

y

P

MN

K

P(-3, 4) - 2º QuadranteM(0, -5) - OrdenadaN (-4, -6) - 3º QuadranteK(5, 0) – Abscissa

43

https://www.youtube.com/watch?v=M5Bj6q18RHI – Plano Cartesiano e pares ordenados

44

Referência Bibliográfica

http://www1.educacao.pe.gov.br/cpar/ProfessorAutor/Matem%C3%A1tica/Matem%C3%A1tica%20%20I%20%209%C2%BA%20ano%20%20I%20%20Fundamental/Pontos%20no%20plano%20cartesiano%20pares%20ordenados.ppt

45

Atividades

Ler a teoria nas páginas 48 e 50 a 53.

Fazer os exercícios da pág. 49: 21, 22, 23.Pág. 56: 30, 31, 32, 33 e 34

Referências

BALESTRI, Rodrigo. Matemática: Interação e Tecnologia. 2ª edição – São Paulo:LeYa, 2016.

DANTE, Luiz Roberto Dante. Matemática: contexto & aplicações. 2ª edição – SãoPaulo: Ática, 2013.

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática, volume 1: versão beta / Edwaldo Bianchini,Herval Paccola. 2. ed. Ver. E ampl. – São Paulo: Moderna 1995.

BUCCHI, Paulo. Curso prático de matemática. São Paulo: Moderna, 1998.

STOCCO SMOLE, Kátia. Matemática: ensino médio 1 / Kátia Stocco Smole, MariaIgnez Diniz. - 8. ed. São Paulo: Saraiva 2013.

LIMA, Elon Lages. A Matemática do ensino médio – volume 1 / Elon Lages Lima,Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner, Augusto César Morgado. – 10. ed.– Rio de Janeiro: SBM, 2012.

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