Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 1

UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL – UCSCENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA – CCET

DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA – DEINPROFA. MÁRCIA RODRIGUES NOTARE

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Todos os homens são mortais.Sócrates é um homem.

∴ Sócrates é mortal.

Como podemos avaliar a validade do argumento acima? Observe que ele não utili zada nenhumdos cinco operadores lógicos e, portanto, não conseguimos avaliar sua validade. Se quiséssemosformalizá-lo, obteríamos: P, Q � � RA Lógica Proposicional, estudada até o momento, não é capaz de representar o argumentoacima! Assim, para representar essa forma de argumento, utili zaremos a Lógica de Predicados.

Considere a primeira premissa: Todos os homens são mortais.

Podemos reescrevê-la da seguinte forma, com a utilização de um condicional: Para tudo, se éhomem, então é mortal.

Numa primeira tentativa de formalização, teremos: Para tudo (homem →� mortal).

Podemos inserir uma variável para simpli ficar a formalização e o símbolo ∀�

(lê-se "para todo"),denominado quantificador universal para melhora-la: ∀ x (x é homem →� x é mortal).

As frases "é homem" e "é mortal" são denominadas, na lógica, de predicados. É usual, nalógica, escrevermos o predicado e depois o sujeito (variável), como mostra a seguir:

Hx para representar "é homem"Mx para representar "é mortal"

Logo, a formalização da premissa "Todos os homens são mortais" fica:

∀�

x (Hx →! Mx)

A formalização de todo o argumento fica como segue:

∀�

x (Hx →! Mx), Hs � � Ms

onde s representa o nome Sócrates.

Vejamos algumas variações de frases envolvendo predicados:

Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 2

Enunciado Formalização

Tudo é mortal (Para todo x, x é mortal) ∀"

xMxTudo é imortal (Para todo x, x não é mortal) ∀

"x¬# Mx

Nem tudo é mortal (que não é o mesmo que dizer Nada é mortal) ¬# ∀"

xMx

Considere a sentença: "Nenhum homem é mortal". É o mesmo que dizer "Para todo x, se x é umhomem, então x não é mortal". Formalizando, temos:

∀"

x (Hx →$ ¬# Mx)

Porém, além do quantificador universal, precisamos também de um outro quantificador (oquantificador existencial ∃

% - lê-se "para pelo menos um" ou "existe um...tal que") que represente

frases do tipo "Alguns pais são irresponsáveis". Tal frase pode ser reescrita como "Para pelomenos um x, x é um pai e x é um irresponsável". Formalizando, teremos:

∃%

x (Px ∧& Ix)

Vejamos mais algumas frases:

Enunciado Formalização

Existe um x tal que x é pai e x não é irresponsável ∃%

x (Px ∧& ¬# Ix)Não é verdade que alguns pais são irresponsáveis ¬# ∃

%x (Px ∧& Ix)

Existe uma menina que é bonita (existe um x tal que x émenina e x é bonita)

∃%

x (Mx ∧& Bx)

Para todo x, se x é mortal e x é um homem, então x estásituado no espaço e no tempo

∀"

x ((Mx ∧& Hx) →$ (Ex ∧& Tx))

Alguns enunciados não usam quantificadores. São enunciados do tipo sujeito-predicado(formalizados na ordem predicado-sujeito) ou enunciados que utili zam verbos transitivos, comoamar, bater, odiar, que exigem sujeito e objeto e são formalizados na ordem predicado-sujeito-objeto. Os nomes (sujeito e objeto) são representados por letras minúsculas, enquanto que ospredicados são representados por letras maiúsculas. Veja alguns exemplos:

Enunciado Formalização

Maria é inteligente ImMaria ama João AmjJoão ama Maria AjmMaria ama a si mesma AmmMaria deu um livro para João DmljAlguém ama João ∃

%xAxj

Alguém ama a si mesmo ∃%

xAxxJoão ama ninguém ∀

"x¬# Ajx ou ¬# ∃

%xAjx

Alguém ama alguém ∃%

x∃%

yAxyExiste um x tal que para todo y, x ama y ∃

%x∀"

yAxyPara todo x, existe um y tal que x ama y ∀

"x∃%

yAxyTodos amam todos ∀

"x∀"

yAxy

Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 3

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O vocabulário da lógica de predicados é formado por símbolos lógicos (cuja interpretação é fixaem qualquer contexto) e símbolos não-lógicos (cuja interpretação varia de problema paraproblema).

Símbolos Lógicos:

Operadores lógicos: ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔

Quantificadores: ∀ , ∃

Parênteses: ( )

Símbolos Não-lógicos:

Letras nominais: letras minúsculas de 'a' a 't'

Var iáveis: letras minúsculas de 'u' a 'z'

Letras predicativas: letras maiúsculas

Definimos uma fórmula como sendo uma seqüência qualquer, finita, de elementos dovocabulário. Uma fórmula atômica é uma letra predicativa seguida por zero ou mais letrasnominais.

Uma fórmula bem formada (wff) no cálculo de predicados é definida pelas seguintes regras deformação:

1. Toda fórmula atômica é uma wff .2. Se φ é uma wff , então ¬φ também é uma wff .3. Se φ e ψ são wffs, então (φ ∧ ψ), (φ ∨ ψ), (φ → ψ) e (φ ↔ ψ) também são wffs.4. Se φ é uma wff contendo uma letra nominal α, então qualquer fórmula da forma ∀β φβ/α ou

∃β φβ/α é uma wff , onde φβ/α é o resultado de se substituir uma ou mais ocorrências de αem φ por uma variável β que não ocorre em φ.

A regra 4 tem o objetivo de gerar fórmulas quantificadas a partir de uma fórmula dada, nãoquantificada. Para exempli ficar, observe a seguinte fórmula (não quantificada):

(Ma ∧ Hab)

Esta fórmula contém duas letra sentenciais ‘a’ e ‘b’ . Ambas são o que a regra 4 chama de α.Consideremos a letra ‘a’ . A regra permite substitui-la por uma variável β, que não ocorre nafórmula. Seja ‘x’ essa variável. Então, teremos as seguintes fórmulas resultantes da substituiçãode uma ou mais ocorrências de α (que é ‘a’ ) por β (que é ‘x’ ):

∀x (Mx ∧ Hab)∀x (Ma ∧ Hxb)∀x (Mx ∧ Hxb)∃x (Mx ∧ Hab)∃x (Ma ∧ Hxb)∃x (Mx ∧ Hxb)

Observe que é necessário quantificar a variável inserida (prefixando-a com o quantificadoruniversal ou com o quantificador existencial), ou não teremos uma wff . Qualquer fórmula quecontém uma variável sem um quantificador correspondente não é uma wff; analogamente,

Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 4

qualquer fórmula que contém um quantificador seguido de uma variável, sem a ocorrênciaadicional dessa variável na fórmula, também não é uma wff.

([HUFtFLRV

1. As seguintes fórmulas não são wffs. Justifique cada uma delas:a) ∀xLzxb) (Fa)c) (∃xFx ∧ Gx)d) ∀x(Fx)e) (∀xFx)f) ∃x∀yFxg) ∃x∃x(Fx ∧ ¬Gx)h) ∃xFx ∧ ∃xGx

2. Algumas das expressões a seguir são wffs, outras não. Para as que são wff, diga como foramconstruídas a partir das regras de formação e, para as demais, justifique porque não são.

a) ∀xLxxb) ∃x∀xLxxc) ∃aFad) ∃xFae) ∀x∀y(Lxy ↔ Lyx)f) (Laa)g) ¬∀x¬Fxh) (∃xFx → ∃xFx)i) (P → ∃xFx)j) Lab → Lba

3. Formalize as seguintes sentenças, usando a interpretação indicada. A seguir, verifique suaformalização através das regras de formação.

Nomes Predicados unários Predicados bináriosa – Aristóteles F – é um feminista R - ridicularizoun – Nietzsche G – é grego E – é mais esperto quep - Platão P – é um filósofo W - escreveu

a) Aristóteles é grego.b) Platão é um grego feminista.c) Se Platão é um feminista, então alguém é um grego feminista.d) Nenhum grego é feminista.e) Todos os feministas são filósofos.f) Todos os gregos feministas são filósofos.g) Aristóteles escreveu algo.h) Aristóteles escreveu tudo.i) Aristóteles escreveu nada.j) Nietzsche ridicularizou todos que são feministas.k) Nietzsche ridicularizou todos que eram mais espertos que ele.l) Alguns filósofos ridicularizam a si mesmos.m) Alguns filósofos ridicularizam tudo.

Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 5

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O cálculo de predicados usa as mesmas dez regras do cálculo proposicional e as mesmas regrasderivadas. Entretanto, quatro novas regras serão introduzidas: introdução e eliminação para cadaum dos quantificadores.

Vejamos, antes de introduzir as novas regras, um exemplo de demonstração que utiliza apenasas dez regras já conhecidas.

Prove: ¬< Fa ∨= ∃>

xFx, ∃>

xFx →? P @ Fa →? P

1. ¬Fa ∨ ∃xFx P2. ∃xFx → P P

3. Fa H (PC)4. ¬¬Fa 3, DN5. ∃xFx 1, 4 SD6. P 2, 5 MP

7. Fa → P 3-4 PC

Veja como as regras já conhecidas são tratadas da mesma forma que no cálculo proposicional. Aseguir, são introduzidas as novas regras.

Eliminação universal (EU): de uma wff quantificada universalmente, ∀βφ, podemos inferiruma wff , da forma φα/β, a qual resulta da substituição de cadaocorrência da variável β em φ por uma letra nominal α.

Esta regra é usada para provar a validade de formas de argumento como:

Todos os homens são mortais.Sócrates é um homem.

∴ Sócrates é mortal.

que pode ser formalizado por:

∀A

x (Hx →? Mx), Hs B B Ms

Vamos provar a validade dessa forma:

1. ∀x (Hx → Mx) P2. Hs P3. Hs → Ms 1, EU4. Ms 2, 3 MP

Exemplos:

Prove: ∀A

x (Fx →? Gx), ∀A

xFx @DC+E1. ∀x (Fx → Gx) P2. ∀xFx P3. Fa → Ga 1, EU4. Fa 2, EU5. Ga 3, 4 MP

Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 6

Prove: ¬F Fa G ¬F ∀H

xFx

1. ¬Fa P2. ∀xFx H (RAA)3. Fa 2, EU4. Fa ∧ ¬Fa 1, 3 ∧I

5. ¬∀xFx 2-4 RAA

Prove: ∀H

x∀H

yFxy G Faa

1. ∀x∀yFxy P2. ∀yFay 1, EU3. Faa 2, EU

Introdução universal (IU): para uma wff φ contendo uma letra nominal α que não ocorre emqualquer uma das premissas ou em qualquer hipótese vigente nalinha em que φ ocorre, podemos inferir uma wff da forma ∀βφβ/α,onde φβ/α é o resultado de se substituir todas as ocorrências de αem φ por uma variável β que não ocorra em φ.

Essa regra é util izada para provar formas de argumento como:

Todos os peixes são animais.Todos os animais são vistosos.

∴ Todos os peixes são vistosos.

que pode ser formalizada por:

∀H

x (Px →I Ax), ∀H

x (Ax →I Vx) G ∀H

x (Px →I Vx)

A prova da validade dessa forma é dada a seguir:

1. ∀x (Px → Ax) P2. ∀x (Ax → Vx) P3. Pa → Aa 1, EU4. Aa → Va 2, EU5. Pa → Va 3, 4 SH6. ∀x (Px → Vx) 5, IU

Atente para as seguintes restrições, que são cruciais para que a regra seja utili zada corretamente:

a) A letra nominal α não pode ocorrer em qualquer premissa, ou seja, da suposição de queSócrates é peixe não podemos inferir que qualquer coisa é peixe.

b) A letra nominal α não deve ocorrer em qualquer hipótese vigente numa linha em que φocorre.

c) φβ/α é o resultado de substituir todas as ocorrências de α em φ por uma variável β.

Veja mais exemplos:

Prove: ∀H

x (Fx ∧J Gx) G ∀H

xFx ∧J ∀H

xGx

1. ∀x (Fx ∧ Gx) P2. Fa ∧ Ga 1, EU

Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 7

3. Fa 2, ∧E4. Ga 2, ∧E5. ∀xFx 3, IU6. ∀xGx 4, IU7. ∀xFx ∧ ∀xGx 5, 6 ∧I

Prove: ∀K

x(Fx →L (Gx ∨M Hx)), ∀K

x¬N Gx O ∀K

xFx →L ∀K

xHx

1. ∀x(Fx → (Gx ∨ Hx)) P2. ∀x¬Gx P3. Fa → (Ga ∨ Ha) 1, EU4. ¬Ga 2, EU

5. ∀xFx H (PC)6. Fa 5, EU7. Ga ∨ Ha 3, 6 MP8. Ha 4, 7 SD9. ∀xHx 8, IU

10. ∀xFx → ∀xHx 5-9 PC

Prove: ∀K

x(Fx →L (Gx ∨M Hx)), ∀K

x¬N Gx O ∀K

x(Fx →L Hx)

1. ∀x(Fx → (Gx ∨ Hx)) P2. ∀x¬Gx P3. Fa → (Ga ∨ Ha) 1, EU4. ¬Ga 2, EU

5. Fa H (PC)6. Ga ∨ Ha 3, 5 MP7. Ha 4, 6 SD

8. Fa → Ha 5-7 PC9. ∀x(Fx → Hx) 8, IU

Prove: ∀K

xFax, ∀K

x∀K

y(Fxy →L Gyx) O ∀K

xGxa

1. ∀xFax P2. ∀x∀y(Fxy → Gyx) P3. Fab 1, EU4. ∀y(Fay → Gya) 2, EU5. Fab → Gba 4, EU6. Gba 3, 5 MP7. ∀xGxa 6, IU

Prove: ∀K

xFx →L ∀K

xGx, ¬N Ga O ¬N ∀K

xFx

1. ∀xFx → ∀xGx P2. ¬Ga P

3. ∀xFx H (RAA)4. ∀xGx 1, 3 MP5. Ga 4, EU6. Ga ∧ ¬Ga 2, 5 ∧I

7. ¬∀xFx 3-6 RAA

Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 8

Introdução existencial (IE): dada uma wff φ contendo uma letra nominal α, podemos inferiruma wff da forma ∃β φβ/α, onde φβ/α é o resultado da substituiçãode uma ou mais ocorrências de α em φ por uma variável β, quenão ocorra em φ.

Diferentemente de IU, IE não coloca restrições em ocorrências prévias da letra nominal α. Comrelação a variável β, ela não precisa substituir todas as ocorrências de α em φ. Portanto, ambasas demonstrações abaixo são corretas:

1. Fa ∧ Ga P2. ∃x(Fx ∧ Ga) 1, IE

1. Fa ∧ Ga P2. ∃x(Fx ∧ Gx) 1, IE

Vejamos alguns exemplo:

Prove: ∀P

x(Fx ∨Q Gx) R ∃S

x(Fx ∨Q Gx)

1. ∀x(Fx ∨ Gx) P2. Fa ∨ Ga 1, EU3. ∃x(Fx ∨ Gx) 2, IE

Prove: ∀P

x(Fx ∨Q Gx) R ∃S

xFx ∨Q ∃S

xGx

1. ∀x(Fx ∨ Gx) P2. Fa ∨ Ga 1, EU

3. Fa H (PC)4. ∃xFx 3, IE5. ∃xFx ∨ ∃xGx 4, ∨I

6. Fa → (∃xFx ∨ ∃xGx) 3-5 PC7. Ga H (PC)8. ∃xGx 7, IE9. ∃xFx ∨ ∃xGx 8, ∨I

10. Ga → (∃xFx ∨ ∃xGx) 7-9 PC11. ∃xFx ∨ ∃xGx 2, 6, 10 ∨E

Prove: ¬T ∃S

xFx R ∀P

x¬T Fx

1. ¬∃xFx P2. Fa H (RAA)3. ∃xFx 2, IE4. ∃xFx ∧ ¬∃xFx 1, 3 ∧I

5. ¬Fa 2-4 RAA6. ∀x¬Fx 5, IU

Prove: ¬T ∃S

x(Fx ∧U ¬T Gx) R ∀P

x(Fx →V Gx)

1. ¬∃x(Fx ∧ ¬Gx) P2. Fa H (PC)

3. ¬Ga H (RAA)4. Fa ∧ ¬Ga 2, 3 ∧I5. ∃x(Fx ∧ ¬Gx) 4, IE6. ∃x(Fx ∧ ¬Gx) ∧ ¬∃x(Fx ∧ ¬Gx) 1, 5 ∧I

7. ¬¬Ga 3-6 RAA8. Ga 7, ¬E

Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 9

9. Fa → Ga 2-8 PC10. ∀x(Fx → Gx) 9, IU

Eliminação Existencial (EE): dada uma wff quantificada existencialmente ∃βφ e umaderivação de alguma conclusão ψ de uma hipótese da formaφα/β (o resultado de se substituir cada ocorrência da variável βem φ por uma letra nominal α que não ocorre em φ), podemosdescartar φα/β e rearfirmar ψ.

Restr ição: a letra nominal α não pode ocorrer em ψ, nem em qualquer premissa, nem emqualquer hipótese vigente na linha em que EE é aplicada.

Observe que, da mesma forma que RAA e PC, a regra EE também é hipotética. Vejamos osexemplos:

Prove: ∀W

x(Fx →X Gx), ∃Y

xFx Z ∃Y

xGx

1. ∀x(Fx → Gx) P2. ∃xFx P

3. Fa H (EE)4. Fa → Ga 1, EU5. Ga 3, 4 MP6. ∃xGx 5, IE

7. ∃xGx 2, 3-6 EE

Prove: ∃Y

x(Fx ∨[ Gx) Z ∃Y

xFx ∨[ ∃Y

xGx

1. ∃x(Fx ∨ Gx) P2. Fa ∨ Ga H (EE)

3. Fa H (PA)4. ∃xFx 3, IE5. ∃xFx ∨ ∃xGx 4, ∨I

6. Fa → (∃xFx ∨ ∃xGx) 3-5 PC7. Ga H (PC)8. ∃xGx 7, IE9. ∃xFx ∨ ∃xGx 8, ∨I

10. Ga → (∃xFx ∨ ∃xGx) 7-9 PC11. ∃xFx ∨ ∃xGx 2, 6, 10 ∨E

12. ∃xFx ∨ ∃xGx 1, 2-11 EE

Prove: ∃Y

xFx ∨[ ∃Y

xGx Z ∃Y

x(Fx ∨[ Gx)

1. ∃xFx ∨ ∃xGx P2. ∃xFx H (PC)

3. Fa H (EE)4. Fa ∨ Ga 3, ∨I5. ∃x(Fx ∨ Gx) 4, IE

6. ∃x(Fx ∨ Gx) 2, 3-5 EE7. ∃xFx → ∃x(Fx ∨ Gx) 2-6 PC

8. ∃xGx H (PC)9. Ga H (EE)10. Fa ∨ Ga 9, ∨I11. ∃x(Fx ∨ Gx) 10, I

Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 10

12. ∃x(Fx ∨ Gx) 8, 9-11 EE13. ∃xGx → ∃x(Fx ∨ Gx) 8-12 PC14. ∃x(Fx ∨ Gx) 1, 7, 13 ∨E

Prove: ∃\

x∀]

yLxy ^ ∀]

x∃\

yLyx

1. ∃x∀yLxy P2. ∀yLay H (EE)3. Lab 2, EU4. ∃yLyb 3, IE5. ∀x∃yLyx 4, IU

6. ∀x∃yLyx 1, 2-5 EE

Prove: ∀]

x(Fx →_ ∃\

yLxy), ∃\

x(Fx ∧` Gx) ^ ∃\

x∃\

y(Gx ∧` Lxy)

1. ∀x(Fx → ∃yLxy) P2. ∃x(Fx ∧ Gx) P

3. Fa ∧ Ga H (EE)4. Fa → ∃yLay 1, EU5. Fa 3, ∧E6. ∃yLay 4, 5 MP

7. Lab H (EE)8. Ga 3, ∧E9. Ga ∧ Lab 7, 8 ∧I10. ∃y(Ga ∧ Lay) 9, IE11. ∃x∃y(Gx ∧ Lxy) 10, IE

12. ∃x∃y(Gx ∧ Lxy) 6, 7-11 EE13. ∃x∃y(Gx ∧ Lxy) 2, 3-12 EE

Prove: ∀]

x(Fx →_ ¬a Gx) ^ ¬a ∃\

x(Fx ∧` Gx)

1. ∀x(Fx → ¬Gx) P2. ∃x(Fx ∧ Gx) H (RAA)

3. Fa ∧ Ga H (EE)4. Fa → ¬Ga 1, EU5. Fa 3, ∧E6. ¬Ga 4,5 MP7. Ga 3, ∧E8. P ∧ ¬P 6,7 CONTRAD

9. P ∧ ¬P 2, 3-8 EE10 ¬∃x(Fx ∧ Gx) 2-9 RAA

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Lista de Exercícios da Apostila de Lógica de Predicados - Respostas

1. As seguintes fórmulas não são wffs. Justifique cada uma delas:a) ∀xLzxNão é uma wff porque a variável z não está quantificada.

b) (Fa)Não é uma wff porque possui parênteses desnecessários.

c) (∃xFx ∧ Gx)Não é uma wff porque a segunda ocorrência de x não está quantificada.

d) ∀x(Fx)Não é uma wff porque possui parênteses desnecessários.

e) (∀xFx)Não é uma wff porque possui parênteses desnecessários.

f) ∃x∀yFxNão é uma wff porque ∀y requer uma ocorrência de y na fórmula.

g) ∃x∃x(Fx ∧ ¬Gx)Não é uma wff porque a variável x está quantificada duas vezes na mesma parte da fórmula.

h) ∃xFx ∧ ∃xGxNão é uma wff porque faltam parênteses. Mas convencionaremos que será uma wff .

2. Algumas das expressões a seguir são wffs, outras não. Para as que são wff, diga comoforam construídas a partir das regras de formação e, para as demais, justifiqueporque não são.

a) ∀xLxxÉ uma wff : Laa (regra 1) ⇒ ∀xLxx (regras 4).

b) ∃x∀xLxxNão é uma wff , pois possui dois quantificadores com a mesma variável x.

c) ∃aFaNão é uma wff , pois não podemos quantificar letra nominal.

d) ∃xFaNão é uma wff , pois a variável x está quantificada e não ocorre na fórmula.

e) ∀x∀y(Lxy ↔ Lyx)É uma wff : Lab ↔ Lba (regra 3) ⇒ ∀y(Lay ↔ Lya) (regra 4) ⇒ ∀x∀y(Lxy ↔ Lyx) (regra 4).

f) (Laa)Não é uma wff , pois possui parênteses desnecessários.

g) ¬∀x¬FxÉ uma wff : Fa (regra 1) ⇒ ¬Fa (regra 2) ⇒ ∀x¬Fx (regra 4) ⇒ ¬∀x¬Fx (regra 2).

h) (∃xFx → ∃xFx)É uma wff : Fa e Fb (regra 1) ⇒ ∃xFx e ∃xFx (regra 4) ⇒ (∃xFx → ∃xFx) (regra 3).

2

i) (P → ∃xFx)É uma wff : P e Fa (regra 1) ⇒ ∃xFx (regra 4) ⇒ (P → ∃xFx) (regra 3).

j) Lab → LbaÉ uma wff : Lab e Lba (regra 1) ⇒ Lab → Lba (regra 3).

3. Formalize as seguintes sentenças, usando a interpretação indicada. A seguir , ver ifiquesua formalização através das regras de formação.

Nomes Predicados unários Predicados bináriosa – Aristóteles F – é um feminista R - ridicularizoun – Nietzsche G – é grego E – é mais esperto quep - Platão P – é um filósofo W - escreveu

a) Aristóteles é grego.Ga

b) Platão é um grego feminista.Gp ∧ Fp

c) Se Platão é um feminista, então alguém é um grego feminista.Fp → ∃x(Gx ∧ Fx)

d) Nenhum grego é feminista.∀x(Gx → ¬Fx)

e) Todos os feministas são filósofos.∀x(Fx → Px)

f) Todos os gregos feministas são filósofos.∀x((Gx ∧ Fx) → Px)

g) Aristóteles escreveu algo.∃xWax

h) Aristóteles escreveu tudo.∀xWax

i) Aristóteles escreveu nada.¬∃xWax ou ∀x¬Wax

j) Nietzsche ridicularizou todos que são feministas.∀x(Fx → Rnx)

k) Nietzsche ridicularizou todos que eram mais espertos que ele.∀x(Exn → Rnx)

l) Alguns filósofos ridicularizam a si mesmos.∃x(Px ∧ Rxx)

m) Alguns filósofos ridicularizam tudo.∃x∀yRxy