Matemática na Arte: uma proposta de ensino envolvendo a … Silva.pdf · alunos do 9º ano do...
56
Matemática na Arte: uma proposta de ensino envolvendo a pintura e a geometria no ensino fundamental
Transcript of Matemática na Arte: uma proposta de ensino envolvendo a … Silva.pdf · alunos do 9º ano do...
Matemática na Arte: uma proposta de ensino envolvendo a pintura e a
geometria no ensino fundamental
Est
ud
o d
a c
on
ve
rgê
nci
a d
e s
eq
uê
nci
as
e s
éri
es
nu
mé
rica
s n
o C
álc
ulo
: u
ma
pro
po
sta
uti
liza
nd
o o
software
Ge
oG
eb
ra
.
Est
ud
o d
a c
on
ve
rgê
nci
a d
e s
eq
uê
nci
as
e s
éri
es
nu
mé
rica
s n
o C
álc
ulo
: u
ma
pro
po
sta
uti
liza
nd
o o
software
Ge
oG
eb
ra
Alessandra Pereira da Silva
Ana Cristina Ferreira
Matemática na Arte: uma proposta de ensino envolvendo a pintura e a
geometria no ensino fundamental
Ouro Preto | 2014
Est
ud
o d
a c
on
ve
rgê
nci
a d
e s
eq
uê
nci
as
e s
éri
es
nu
mé
rica
s n
o C
álc
ulo
: u
ma
pro
po
sta
uti
liza
nd
o o
software
Ge
oG
eb
ra
© 2014
Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas | Departamento de Matemática
Programa de Pós-Graduação | Mestrado Profissional em Educação Matemática
Reitor da UFOP | Prof. Dr. Marcone Jamilson Freitas Souza Vice-Reitor | Profª. Célia Maria Fernandes Nunes
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLOGIAS
Diretora | Profª. Raquel do Pilar Machado Vice-Diretor | Prof. Fernando Luiz Pereira de Oliveira
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
Pró-Reitor | Prof. Dr. Valdei Lopes de Araújo Pró-Reitor Adjunto | Prof. Dr. André Talvani Pedrosa da Silva
Coordenação | Prof. Dr. Dale William Bean
MEMBROS
Profa. Dra.Ana Cristina Ferreira Profa. Dra. Célia Maria Fernandes Nunes Prof. Dr. Dale William Bean Prof. Dr. Daniel Clark Orey Prof. Dr. Dilhermando Ferreira Campos Prof. Dr. Frederico da Silva Reis Profa. Dra.Marger da Conceição Ventura Viana
Profa. Dra. Maria do Carmo Vila Prof. Dr. Milton Rosa Prof. Dr. Plínio Cavalcanti Moreira Profa. Dra.Regina Helena de Oliveira Lino Franchi Profa. Dra.Teresinha Fumi Kawasaki
Reprodução proibida Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados.
5 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
O desejo de saber é inato a todos os homens bons. Leonardo da Vinci
6 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Expediente Técnico
________________________
Organização | Alessandra Pereira da Silva
Pesquisa e Redação | Alessandra Pereira da Silva
Ana Cristina Ferreira
Projeto Gráfico e Capa | Editora UFOP
7 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Índice _________________
1. Introdução........................................................................................... 11
2. O ensino e a aprendizagem da geometria......................................... 13
3. Apresentando e discutindo as tarefas................................................ 16
4. Comentários gerais............................................................................. 51
Referências............................................................................................. 52
Anexos.................................................................................................... 53
8 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
9 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Apresentação _________________
Caro(a) Leitor(a),
Apresentamos a você uma versão preliminar da 4ª Coleção Cadernos de
Ensino e Pesquisa em Educação Matemática. Nela, você encontrará livretos com
propostas de ensino e de formação de professores.
Cada Caderno representa o esforço de um(a) professor(a) de Matemática em
buscar alternativas para a melhoria do ensino dessa disciplina. Todos os autores
cursaram o Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade
Federal de Ouro Preto e suas pesquisas tiveram como foco a sala de aula, a
formação de professores e/ou processos que envolvem professores, alunos e a
Matemática.
Esperamos, em breve, dispor da versão definitiva disponível para aquisição
(impressa) e na página do Programa (www.ppgedmat.ufop.br).
Espero que gostem!
Mestrado Profissional em Educação Matemática
10 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Prezados Colegas,
As tarefas apresentadas aqui foram desenvolvidas em uma turma de 42
alunos do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola privada de Belo Horizonte
(MG). Seu propósito era procurar experimentar em sala de aula uma dinâmica
diferente, na qual os alunos fossem convidados a relacionar conhecimentos de
História, Geografia, Arte e Matemática de forma criativa e interessante.
Compartilhamos com vocês as tarefas que propusemos em cada um dos
nove encontros que tivemos com a turma, bem como alguns dos resultados obtidos
com os alunos. Procuramos trabalhar com a pintura, desde a criada na Pré-História
(pintura rupestre) até o Renascimento, buscando discutir, na medida do possível, o
papel da cultura, da sociedade e da política de cada época e as reflexões acerca do
contexto histórico, social e cultural que circundava cada período artístico, bem como
os conhecimentos matemáticos, e mais especificamente, geométricos, necessários
para construí-las.
Nossa intenção é compartilhar essa experiência e convidá-los a criar suas
próprias. Assim, não pretendemos oferecer um manual para ensinar a técnica da
perspectiva ou conteúdos de geometria plana, mas um apoio aos professores que
desejarem trabalhar tais conteúdos de maneira diferenciada, proporcionando ao
aluno uma ativa participação na construção da Matemática. Elas servem como uma
ideia inicial para que você possa adaptá-las às suas necessidades.
Esperamos que esta proposta possa contribuir para suas aulas de geometria.
Alessandra e Ana
11 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
1. Introdução _________________
Em minha experiência docente1, principalmente com alunos do ensino
Fundamental, verifiquei, mais de uma vez, o que já percebia desde o tempo de
estudante: os alunos apresentam grande dificuldade na aprendizagem da geometria,
até mesmo porque, às vezes, ela é deixada de lado pelos próprios professores, e
também porque os alunos não estão acostumados a relacionar a Matemática com
outras áreas do conhecimento.
A presente pesquisa nasceu justamente da tentativa de modificar o ensino da
Matemática, alterando a forma compartimentada como os diversos conteúdos são
transmitidos. Pretendia buscar uma abordagem na qual a Matemática se
relacionasse, de modo natural e harmonioso, com outras áreas escolares e não
escolares (com a arte e a cultura no sentido mais amplo) e fosse efetivamente
apropriada pelos alunos (de modo reflexivo, interessante).
Durante o Mestrado Profissional em Educação Matemática, realizado na
Universidade Federal de Ouro Preto, pude colocar em prática minhas ideias e avaliar
seu potencial e limitações.
A proposta de ensino que apresento aqui foi realizada em uma turma de 42
alunos do 9º ano do ensino fundamental de uma escola privada de Belo Horizonte
(MG). Com a permissão da direção e o apoio da professora da classe, realizamos
nove encontros de 1h30min de duração cada.
O livreto está organizado da seguinte forma: primeiro, apresentamos
rapidamente as ideias que fundamentaram a proposta de ensino, ou seja, leituras e
reflexões que nortearam a construção de cada tarefa.
Em seguida, apresentamos as atividades realizadas, seus objetivos, materiais
utilizados, ilustrando algumas respostas dadas pelas participantes e comentando
aspectos importantes.
Finalmente, compartilhamos algumas ideias que podem enriquecer ou ajudá-
los a adaptar as tarefas.
1 Na introdução e em algumas passagens específicas do texto, em trechos vinculados à experiência
pessoal e profissional da autora, utilizaremos a primeira pessoal do singular. Contudo, optamos por utilizar a primeira pessoa do plural no restante do texto, por considerá-lo uma produção conjunta de orientadora e orientanda.
12 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
2. O ensino e a aprendizagem da geometria _________________
O ensino de geometria deve privilegiar o desenvolvimento do raciocínio, da
criatividade e da autonomia dos alunos, que nasce da própria habilidade para
enfrentar desafios. Além disso, espera-se que o aluno sinta-se capaz e seguro de
construir e utilizar conhecimentos matemáticos em situações da vida cotidiana e que
isso o ajude a construir conhecimentos em outras áreas curriculares, desenvolvendo,
também, sua autoestima (PCN, 1998).
Mas muitas vezes, nos percebemos atuando de forma muito próxima à visão
que consideramos ‘tradicional’, ou seja, tratando o saber matemático como um
produto a ser transmitido para nossos alunos, de uma forma única para todos,
independentemente das experiências já vividas pelo aluno, das diferentes
capacidades de inferência, e das formas que cada aluno utilizou para reter o
conhecimento. Contudo, existe o desejo consciente de avançar rumo a uma
perspectiva mais crítica e mais próxima de uma prática social – ensinar Matemática
na escola – que leve em conta outras práticas sociais – como, por exemplo – o
conhecimento matemático, a cultura, a Arte.
Por isso, adotar uma perspectiva cultural para um currículo de Matemática é
importante porque, ao apresentar aos estudantes o simbolismo, os conceitos e os
valores da cultura Matemática, leva os alunos a perceberem essa disciplina como
um conhecimento social e historicamente construído, que tem impulsionado o
desenvolvimento científico e tecnológico (TOMAZ e CARVALHO, 2011).
Assim como Tomaz e David (2008, p.31), entendemos a aprendizagem como
“uma participação de uma prática, fundamentando-se em teorias socio-históricas que
focam a atenção nas atividades sociais das quais o indivíduo participa”.
Nessa concepção, a noção de aprendizagem envolve a ideia de prática, que
“conota fazer algo, mas não simplesmente fazer algo em si mesmo e por si mesmo;
é fazer algo em um contexto histórico e social que outorga uma estrutura e um
significado ao que fazemos. Neste sentido, a prática é sempre uma prática social”
(WENGER, 2001 apud VILELA, 2006, p.46).
De modo simplificado, pode-se considerar que nesta abordagem da
aprendizagem existem três aspectos centrais: que aprender está diretamente ligado
13 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
à participação em comunidades; que o conhecimento é algo que só tem significado
quando relacionado às práticas sociais nas quais se desenvolve, e que os
conhecimentos e as identidades expandem-se na relação constante das pessoas na
ação com o mundo não só material, mas essencialmente, social, histórico e cultural
(SANTOS, 2004).
É comum, hoje em dia, escutarmos o argumento, tanto de professores quanto
de alunos, que ensinar de forma contextualizada e interdisciplinar é uma forma de
driblar os problemas do ensino, em particular do ensino de geometria, tornando-o
mais prazeroso, interessante e efetivo. Os substantivos contextualização e
interdisciplinaridade surgem constantemente nos discursos que permeiam a
Educação, sempre pautados na ideia de que o ensino de Matemática deve buscar as
aplicações de seus conteúdos.
Entendemos que a utilização dessas ideias pode levar a uma abordagem
inovadora e frutífera em todos os níveis de ensino.
Portanto, entendemos a interdisciplinaridade como uma possibilidade de
planejar atividades que, a partir da investigação de um tema, objeto, projeto ou
conteúdo, promovam aprendizagens vistas como relacionadas, entre as práticas
sociais das quais alunos e professores participam, incluindo as práticas disciplinares.
Isso significa que a interdisciplinaridade de uma proposta ou atividade só se
configura no momento da prática, ou seja, no momento em que estão sendo
desenvolvidas, pela participação do aluno e do professor e não somente pelo que foi
planejado ou proposto (TOMAZ e DAVID, 2008).
Dessa forma, acreditamos que quando organizamos o tratamento dos
conteúdos disciplinares pela da escolha de temas, promovemos a
interdisciplinaridade e a contextualização, pois criamos condições para que os
alunos discutam sobre diferentes aspectos e conteúdos relacionados ao tema e
estimulamos o desenvolvimento de competências críticas2 (TOMAZ e DAVID, 2008). Por isso, a Arte, e, em especial, a pintura, oferecem um grande potencial para
a criação de um espaço em sala de aula rico, criativo e dinâmico de reflexão, de
diálogo, de descobertas e de construção de conhecimentos. Um ambiente em que a
percepção, a intuição, a sensibilidade, o senso crítico, a criação e a imaginação se
2 Termo-chave da Educação Matemática Crítica. Competência crítica é considerada como um recurso a ser desenvolvido pela participação tanto dos alunos como dos professores nos processos educacionais (TOMAZ e DAVID, 2008, p.20).
14 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
façam presentes e favoreçam a mobilização de saberes matemáticos, históricos,
geográficos, dentre outros.
Nesse sentido, entendemos que a Arte – e mais especificamente a pintura –
pode se constituir em um contexto relevante para o ensino, dentre outras coisas, da
geometria, pois se alicerça num conjunto interligado de ideias que atribui sentido
para as partes, ou seja, tanto para a própria pintura quanto para os conhecimentos
geométricos existentes nela.
Ao construirmos as tarefas, buscamos explorar, da forma menos artificial
possível, as relações entre a pintura de uma determinada época e os conhecimentos
matemáticos que poderiam ter sido empregados. Buscamos romper com a forma
como usualmente se ensina Matemática – extenso currículo composto por conteúdos
que são transmitidos de forma compartimentada – por acreditarmos que os
conhecimentos matemáticos, assim como os conhecimentos das demais disciplinas,
trabalhados isoladamente, não favorecem o entendimento global das situações
vivenciadas pelos alunos (TOMAZ e DAVID, 2008). Procuramos construir um ambiente de aprendizagem no qual a pintura, como
forma de expressão culturalmente desenvolvida desde os povos primitivos, se
constituísse em tema de estudo de uma classe de 9º ano do ensino fundamental.
Dessa forma, procuramos aliar diversas áreas do conhecimento tais como Geografia,
História, Matemática e relacionando a Arte com a história da humanidade, de modo a
compreender em distintos períodos da história o contexto sociocultural da sociedade
que a produziu, bem como a evolução do próprio conhecimento matemático,
investigando quais os objetivos da Matemática em cada época, a quem ela servia e
para quê.
As tarefas propostas envolvem o contato com pinturas de épocas distintas,
bem como a reflexão sobre o papel da Arte naquela cultura e sobre os
conhecimentos necessários para desenvolvê-la (em especial, os matemáticos).
Nesse sentido, pretendíamos envolver os alunos no ‘clima’ da época propondo que
buscassem reproduzir algumas pinturas da forma como acreditavam que os pintores
da época o teriam feito. Com isso, esperávamos que eles, gradativamente, fossem
percebendo a evolução das técnicas de pintura e como instrumentos e conceitos
matemáticos ganhavam relevância.
Optamos por realizar as atividades em grupo por acreditar que, quando os
alunos realizam tarefas de forma cooperativa em sala de aula, cria-se um espaço
15 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
mais rico de discussão e explicação de ideias. Nele, os alunos expõem, avaliam e
refutam pontos de vista, argumentos e resoluções, criando, dessa forma,
oportunidades de enriquecer a confiança em seus próprios conhecimentos, pois
cada um dos companheiros do grupo está comprometido na busca da resolução da
tarefa (CARVALHO, 2009).
16 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
3. Apresentando e discutindo as tarefas _________________
Tarefa 1: Sondagem Objetivos
• Identificar os conhecimentos prévios dos alunos sobre razões, proporções, simetria, unidades de medida de comprimento, formas geométricas, áreas, perímetros e arte;
• Observar se sabiam manusear objetos como a régua e compasso, pois seriam instrumentos muito utilizados nas atividades de aplicação da técnica da perspectiva.
Materiais: folha de papel, lápis, borracha e régua Desenvolvimento
Pedimos aos alunos que registrassem todos os cálculos ou considerações que julgassem necessário para o entendimento do raciocínio utilizado para responder cada questão, na própria folha da atividade. A tarefa foi realizada em dupla e não era obrigatório colocar os nomes na folha.
A tarefa de sondagem continha um texto sobre Leonardo da Vinci e outra de suas principais criações. O texto explicava quem foi Leonardo da Vinci e detalhava a técnica usada por ele para a criação do desenho intitulado Homem Vitruviano. Juntamente com o texto, foi entregue uma cópia do desenho em tamanho proporcional ao original. A seguir, o texto e a figura.
17 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Leia atentamente o texto a seguir.
Leonardo da Vinci foi uma das figuras mais criativas de seu tempo. Ele viveu na Itália no século XV e criou algumas obras mundialmente conhecidas, com a Mona Lisa e A Última Ceia. Além da pintura, esse grande mestre dedicou-se aos estudos da arquitetura, engenharia, anatomia, entre outros. Ele conseguiu, como ninguém, aproximar a ciência da arte.
Da Vinci produziu um estudo sobre as proporções do corpo humano, baseado no tratado feito pelo arquiteto romano Marcus Vitruvius, no século I a.C. Vitruvius havia descrito as proporções ideais do corpo humano, segundo um padrão de harmonia matemática. Assim como muitos outros artistas, Da Vinci interessou-se pelo trabalho do arquiteto e registrou-o em um de seus cadernos de anotação. No meio dessas anotações, desenhou a figura de um homem dentro de um círculo e de um quadrado. Essa figura, chamada de Homem Vitruviano, acabou se tornando um de seus trabalhos mais conhecidos, simbolizando o espírito renascentista. Essa obra atualmente faz parte da coleção da Gallerie dell`Accademia (Galeria da Academia), em Veneza, na Itália. Reproduzimos a seguir alguns trechos do texto de Da Vinci que acompanham a gravura do Homem Vitruviano.
[...] o comprimento dos braços abertos de um homem é igual à sua altura [...]; desde o fundo do queixo até ao topo da cabeça é um oitavo da altura do homem [...]; a maior largura dos ombros contém em si própria a quarta parte do homem. [...] Desde o cotovelo até o ângulo da axila é um oitavo da altura do homem. A mão inteira será um décimo da altura do homem.[...] O pé é um sétimo do homem [...]; a distância entre o fundo do queixo e o nariz e entre as raízes dos cabelos e as sobrancelhas é a mesma e é, como a orelha, um terço da cara.
(adaptado de www.cdcc.usp.br/matematica/ApostilaMinicursoGeo(8%20e%209).pdf
).
18 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Data: 1490 – Técnica : Lápis e tinta – Dimensão Original : 34 x 24 cm
Disponível em: pt.scribd.com/doc/79594566/6/O-Homem-vitruviano-e-as-razoes-no-corpo-humano
19 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
A primeira questão a ser respondida de acordo com informações contidas no
texto era:
a) Com base no texto apresentado anteriormente, pre encha a tabela a seguir com as razões entre as partes do corpo humano.
Razão entre Fração Longitude do braço e altura 1/1 Altura da cabeça e altura Largura dos ombros e altura Distância dos cotovelos à axila e altura Comprimento da mão e altura Comprimento do pé e altura Distância do queixo ao nariz e face Distância da sobrancelha à raiz do cabelo e face
Comentário A maioria das duplas acertou todos os itens, por isso acreditamos que os erros que aconteceram se devem a uma interpretação equivocada do texto, mas em geral os alunos interpretaram-no bem.
Na segunda questão, os alunos deveriam utilizar o desenho do Homem Vitruviano,
que foi entregue juntamente com toda a atividade, para completar a tabela a seguir:
b) Agora, verifique se as razões descritas por Leon ardo Da Vinci no texto anterior realmente correspondem ao corpo retratado em seu desenho. Para isso, meça o comprimento de cada parte do corp o do Homem Vitruviano usando uma régua milimetrada. Em seguida, calcule as razões entre as medidas obtidas e a altura do homem ou a altura da face.
20 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Registre os resultados obtidos na tabela abaixo. Medidas em cm Medidas em cm Altura do homem: Longitude dos braços: Altura da cabeça: Largura dos ombros: Do cotovelo às axilas: Comprimento da mão: Comprimento do pé: Altura da face (queixo à raiz dos
cabelos): Do queixo ao nariz: Da sobrancelha à raiz do cabelo:
Comentários
Nessa atividade, a maioria das duplas se saiu muito bem, apenas poucas duplas se confundiram com a transformação de números decimais em frações, além disso, algumas duplas questionaram durante a atividade se era correto deixar o numerador e o denominador escritos como números decimais.
A terceira tarefa pedia que os alunos fizessem o seguinte:
Considere a observação feita na tarefa anterior e r esponda: Razão entre Fração Longitude do braço e altura Atura da cabeça e altura Largura dos ombros e altura Distância dos cotovelos à axila e altura Comprimento da mão e altura Comprimento do pé e altura Distância do queixo ao nariz e face Distância da sobrancelha à raiz do cabelo e face
c) Que formas geométricas você identifica no desenh o de Leonardo da Vinci? Descreva-as, meça suas dimensões com uma régua milimetrada e calcule seu perímetro e sua área.
21 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
d) Você consegue identificar alguma simetria no des enho de Leonardo da Vinci? Se sim, explique sua resposta.
e) Que outros conhecimentos matemáticos você acha q ue
Leonardo Da Vinci utilizou para compor o desenho do Homem Vitruviano?
Comentários
Na questão c), os alunos identificaram o quadrado como forma geométrica e calcularam área e perímetro corretamente; duas duplas definiram a figura como polígono regular de 4 lados; somente uma dupla identificou a figura presente no desenho de Leonardo da Vinci como sendo um retângulo e calculou área e perímetro corretamente de acordo com as dimensões medidas. A maioria identificou o círculo como figura geométrica presente no desenho. As outras sete duplas identificaram como circunferência. Três duplas calcularam erroneamente a área e o perímetro do círculo e uma delas deixou essa questão em branco. Apenas uma dupla tentou definir o que é um círculo, mas definiu como figura curva, o que não é satisfatório como uma definição formal e calcularam área e perímetro corretamente. A seguir exemplos de respostas dos alunos:
Resposta dada por um participante não identificado.
Fonte : Estudo, 2012
22 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Resposta dada por um participante não identificado. Fonte : Estudo, 2012.
Apenas uma dupla identificou no desenho, além do quadrado e do círculo, um triângulo e calculou por meio de medidas encontradas por eles a área e o perímetro dessa figura. Acreditamos que os alunos tenham confundido as quatro figuras formadas pela interseção entre a circunferência e o quadrado, pois nos cantos do quadrado foram formadas figuras que se pareciam com um triângulo só que a “suposta” hipotenusa foi representada por um pedaço da circunferência, portanto não era um segmento reto e, por conseguinte, não determinava a formação de um triângulo. Percebemos com essa atividade que alguns alunos confundiram a definição de círculo e circunferência e não conseguiram utilizar corretamente a fórmula para cálculo de área do círculo e perímetro da circunferência. A questão d) foi a tarefa em que os alunos mais demonstraram dificuldade, pois a maioria não se lembrava o que era simetria. A constatação de que a turma parecia não saber o que era simetria, quais suas características e tipos foi importante, pois nos mostrou que esse deveria ser um tema estudado com os alunos uma vez que seria utilizado nas próximas tarefas. A seguir algumas respostas dos alunos:
Resposta dada por um participante não identificado.
Fonte : Estudo, 2012. .
23 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Resposta dada por um participante não identificado. Fonte : Estudo, 2012.
Na questão e), duas duplas afirmaram não saber que outros conhecimentos foram usados por Leonardo da Vinci. Os demais apresentaram respostas que envolviam diversos conteúdos da Matemática e muitos se repetiram em vários grupos. Na opinião dos alunos, os prováveis conhecimentos matemáticos utilizados por Leonardo da Vinci para compor o Homem Vitruviano foram proporção, geometria, razão, circunferência e simetria. Foi uma surpresa verificar que muitos grupos apontaram a simetria como conhecimento utilizado mesmo não sabendo identificar ou definir o que isso significava. Outros conhecimentos apontados foram área, perímetro, lógica, escala, frações, medidas e homotetia. A seguir algumas respostas dos alunos:
Resposta dada por um participante não identificado.
Fonte : Estudo, 2012.
Resposta dada por um participante não identificado.
Fonte : Estudo, 2012 Tarefa 2: A pintura na Pré-História
Objetivo • Sensibilizar os alunos para a arte e a observação;
24 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
• Dialogar sobre a existência de pinturas desde épocas bem antigas, localizá-
las no mundo (apresente imagens de diferentes partes do mundo para não
passar a ideia de que aconteceu apenas na Europa);
• Trabalhar o desenho, explorando a noção de ampliação e redução, discutir
questões a respeito de como: como reproduzir tais pinturas, o que é preciso
para elaborar uma pintura desse tipo, como as pinturas evoluem, etc;
• Iniciar um trabalho de pesquisa sobre as pinturas na Pré-História.
Materiais: um caderno de desenho, uma pasta, ou folhas avulsas para cada aluno,
réguas, esquadros, transferidores, compassos, lápis, borracha, lápis de cor, gizão de
cera, cópias de pinturas, arquivo com imagens para lousa colorida
Desenvolvimento
Inicialmente explicamos aos alunos que trabalhariam com arte na Pré-História
e apresentamos slides de pinturas dessa época (ver exemplo no Anexo 1, p. 59),
comentando onde foram localizadas, qual a interpretação dada pelos cientistas, qual
a função da arte nesse período, na perspectiva dos cientistas, etc.
Distribuímos, em seguida, uma figura do mapa-múndi a cada um dos alunos
solicitando-lhes que localizassem cada país ou região que mencionássemos
enquanto conversávamos sobre as pinturas.
Em seguida, organizamos os alunos em grupos de cinco e distribuimos uma
pintura por grupo diferente das apresentadas, bem como réguas, esquadros,
transferidores, compassos, lápis, borracha, lápis de cor, gizão de cera, etc. A seguir,
um exemplo de uma pintura distribuída:
25 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Exemplo de pintura entregue aos alunos.
Cada aluno procurou, em seu caderno ou folha, reproduzir a pintura, da forma
mais fiel possível.
Ao final da aula, conversamos com os alunos sobre o que acharam da tarefa,
se foi fácil ou difícil, qual seria sua função, ou seja, por que os homens e mulheres
daquela época fariam uma pintura daquela. Deixamos cada grupo comentar sua
perspectiva acerca de sua figura.
Levantamos alguns questionamentos aos grupos: por que comunidades que
enfrentavam tantas adversidades (fome, doença, ataques de animais perigosos, etc.)
“perderiam tempo” pintando nas paredes das cavernas. Então passamos a outros
tipos de perguntas, como, por exemplo, quando queremos fazer uma reprodução –
cópia fiel – o que é preciso ser feito e perguntamos, no fim da aula, se conseguiram
reproduzir a figura.
Propusemos, como tarefa de casa, uma pesquisa sobre a pintura na Pré-
História, sobre onde poderíamos encontrar exemplos de pinturas pré-históricas no
mundo e qual seria seu significado, por exemplo. Cada aluno deveria registrar em
seu caderno do projeto sua pesquisa.
Também, ao final dessa atividade, pedimos aos alunos que escrevessem um
comentário relatando o que acharam da atividade, o que aprenderam e qual técnica
o grupo ou o próprio aluno usou para reproduzir a pintura.
Comentários
A seguir, apresentaremos um exemplo de um desenho e comentário de um dos alunos da turma:
26 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Comentário3 do aluno A4, registrado em seu caderno, após a tarefa.
Fonte: Estudo, 2012
3 ‘Ao realizar essa atividade pude notar que o braço é na forma de um retângulo, a palma da mão é na
forma de um quadrado já os dedos lembram cilindros. Eu utilizei da técnica de reconhecimento de formas pra fazer meu desenho, que por sinal ficou terrível mostrando assim que eu sou desprovida de dom artístico’.
27 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Tarefa 3 : A pintura na Antiguidade Objetivos
• Desenvolver a observação e a comparação entre estilos de pintura distintos,
relacionando essas diferenças à cultura de cada época;
• Observar a evolução das pinturas da Pré-História para as pinturas de alguns
dos povos da Antiguidade,
• Trabalhar o desenho, explorando a noção de ampliação e redução, discutir
questões a respeito de reproduzir, o que é preciso para elaborar uma pintura,
como as pinturas evoluem, etc.
• Dar continuidade ao trabalho de pesquisa sobre as pinturas na Antiguidade.
Materiais: os mesmos da aula anterior.
Desenvolvimento
Primeiramente, discutimos a pesquisa (dever da aula passada) realizada por
eles e depois explicamos que trabalharíamos com as pinturas da Antiguidade. Em
seguida, começamos a apresentar slides das sociedades egípcia, grega, e romana,
respectivamente, destacando localização geográfica, organização social, onde
moravam, como se vestiam, como viviam, como trabalhavam, etc. Procuramos
construir um conjunto de slides para cada cultura e deixamos as pinturas em outro
arquivo (ver exemplos no Anexo 2, p. 59). Mostramos os slides aos alunos sem dizer
a que cultura pertenciam e perguntamos se saberiam como identificar isso. Pedimos
que justificassem por que pensavam daquele jeito, ou seja, o que os levava a pensar
que seriam de uma cultura ou outra? Fizemos ainda outras perguntas do tipo: qual a
função da arte nesse período, quem pintava, etc.
Em seguida, organizamos os alunos em grupos de cinco e distribuímos uma
pintura por grupo, diferente das apresentadas, bem como régua, esquadro,
transferidor, compasso, lápis, borracha, lápis de cor, gizão de cera, etc. A seguir, um
exemplo de uma pintura distribuída:
28 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Exemplo de pintura entregue aos alunos.
Cada aluno deveria, em seu caderno ou folha, reproduzir a pintura, da forma
como conseguisse.
Ao final da aula, conversamos com eles sobre o que acharam da tarefa, se foi
fácil, difícil, qual seria sua função, e deixamos cada grupo comentar sua perspectiva
acerca de sua figura. Outras questões podem ser formuladas visando à observação
da imagem, o modo de construção, e os elementos matemáticos que aparecem
como paralelas, perpendiculares, formas geométricas, e também símbolos e o uso
das cores (como conseguiam essas cores, por exemplo), que tipo de conhecimento
deveria ter aquele pintor, etc.
Como tarefa de casa, propusemos que pesquisassem sobre as pinturas da
Antiguidade (o que é Antiguidade, a que período se refere, etc.). Procuramos
destacar o valor de se conhecer as obras em seu devido contexto, ou seja, como
‘’funcionava’’ cada sociedade e que tipo de pinturas produziam, qual seu sentido, etc.
Cada aluno deveria registrar em seu caderno do projeto sua pesquisa.
Também ao final dessa atividade, pedimos aos alunos que escrevessem um
comentário relatando o que acharam do exercício, o que aprenderam e qual técnica
o grupo ou o próprio aluno usou para reproduzir a pintura.
Comentários A seguir, apresentaremos um exemplo de desenho de um dos alunos e seu
comentário:
29 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Produção do Aluno A11.
Fonte: Estudo, 2012.
30 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Tarefa 4 : A pintura medieval Objetivos
• Desenvolver a observação e a comparação entre estilos de pintura distintos,
relacionando essas diferenças à cultura de cada época;
• Observar como evoluem as pinturas da Antiguidade para os estilos de arte
islâmica, bizantina, pré-românica, românica, gótica até chegar ao
Renascimento.
• Trabalhar o desenho, explorando a noção de ampliação e redução, discutir
questões a respeito de como reproduzir, o que é preciso saber para elaborar
uma pintura, como as pinturas evoluem, etc.
• Dar continuidade ao trabalho de pesquisa sobre as pinturas dos estilos já
citados.
Material : os mesmos da aula anterior
Desenvolvimento
Primeiramente, discutimos sobre o dever da aula passada e depois
explicamos aos alunos que trabalharíamos com Arte Medieval e começamos a
apresentar slides das sociedades de cada estilo supracitado, respectivamente,
destacando localização geográfica, organização social, onde moravam, como se
vestiam, como viviam, como trabalhavam, etc. Procuramos construir um conjunto de
slides para cada cultura e deixamos as pinturas em outro arquivo (ver 3, p. 60).
Mostramos os slides aos alunos sem dizer a que cultura pertenciam e perguntamos
se saberiam como identificar isso. Pedimos que justificassem por que pensavam
daquele jeito, ou seja, o que os levava a pensar que seriam de uma cultura ou outra?
Fizemos ainda outras perguntas do tipo: qual a função da arte nesse período, quem
pintava, etc.
Em seguida, organizamos os alunos em grupos de cinco e distribuímos uma
pintura por grupo, diferente das apresentadas, bem como régua, esquadro,
transferidor, compasso, lápis, borracha, lápis de cor, gizão de cera, etc. A seguir, um
exemplo de pintura que foi entregue aos alunos.
31 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Exemplo de pintura entregue aos alunos.
Cada aluno deveria, em seu caderno ou folha, reproduzir a pintura, da forma
como conseguisse.
Ao final da aula, conversamos com eles sobre o que acharam da tarefa, se foi
fácil, difícil, qual seria sua função, e deixamos cada grupo comentar sua perspectiva
acerca de sua figura. Outras questões podem ser formuladas visando à observação
da imagem, o modo de construção, e os elementos matemáticos que aparecem
como paralelas, perpendiculares, formas geométricas, e também símbolos e o uso
das cores (como conseguiam essas cores, por exemplo), que tipo de conhecimento
deveria ter aquele pintor, etc.
Como tarefa de casa, propusemos que pesquiassem sobre a pintura de cada
estilo de arte: islâmica, bizantina, pré-românica, românica, gótica e renascentista (o
que significou cada estilo, a que período se refere, etc.). Procuramos destacar o
valor de se conhecer as obras em seu devido contexto, ou seja, como ‘’funcionava’’
cada sociedade e que tipo de pinturas produziam, qual seu sentido, etc. Cada aluno
deveria registrar em seu caderno do projeto, sua pesquisa.
Também ao final dessa atividade pedimos aos alunos que escrevessem um
comentário relatando o que acharam da atividade, o que aprenderam e qual técnica
o grupo ou o próprio aluno usou para reproduzir a pintura.
Comentários
32 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
A seguir apresentaremos um exemplo de desenho de um dos alunos e seu
comentário:
Produção4 do aluno A9. Fonte: Estudo, 2012
4 “Vi que ao longo das atividades as figuras que eram pintadas antigamente começaram a se
aperfeiçoar, por exemplo, as pinturas rupestres, elas eram desenhos com poucos detalhes, não tinham nenhum tipo de técnica para se pintar, simplesmente desenharam o que viam no seu dia a dia. Os anos foram passando e vi que os pintores conseguiram ter formas, teve esboço e ter mais detalhes, reparei que as pessoas começaram a ter mais cuidado na hora de pintar. Queriam que ficassem perfeitas suas pinturas. Pareciam que começaram a usar a matemática como, por exemplo a simetria, formas geométricas, e etc.”
33 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Tarefa 5: A pintura renascentista – Estudo do manua l de pintura de Alberti: La Pittura – Parte 1 Objetivos
• Desenvolver a observação e a comparação entre estilos de pintura distintos,
relacionando essas diferenças à cultura de cada época.
• Observar como as pinturas evoluíram desde a Pré-História até a pintura
gótica e como elas podem melhorar ainda mais a partir do século XV.
• Introduzir conceitos relacionados à perspectiva: noções de geometria plana,
propriedades que alteram a superfície da pintura, ponto de fuga, linha do
horizonte, linha da terra, etc;
• Trabalhar o desenho, explorando a perspectiva, a noção de ampliação e
redução, simetrias, noções de volume e espaço e discutir questões a respeito
de a matemática influenciou o desenvolvimento da perspectiva, o que é
preciso saber para aprender essa nova técnica de pintura, como as pinturas
evoluem, etc.
• Dar continuidade ao trabalho de pesquisa sobre as pinturas do estilo citado,
propondo pesquisas sobre Alberti e o momento histórico em que ele viveu.
Material: os mesmos da aula anterior
Desenvolvimento
Primeiramente, discutimos sobre o dever da aula passada, além disso, esse
foi um bom momento, já que seria iniciado o estudo da perspectiva, de sistematizar
todos os conceitos que os alunos encontraram dificuldade até aquele momento.
Após essa sistematização, propusemos aos alunos uma viagem no tempo
para que pudéssemos estudar o manual de pintura (Della Pittura) de Alberti. Nesse
momento, fantasiamos que todos eram aprendizes de pintores, vivendo no século
XV na cidade de Florença, estudando em uma escola de Arte, aprendizes de
pintores que acreditavam no antropocentrismo e que buscavam pintar o próprio
cotidiano tentando retratá-lo da forma mais realista possível. Enquanto
conversávamos, passamos, na lousa interativa, diversas imagens da época sem
34 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
mencionar datas nem dados que lhes permitissem identificar facilmente o período
em questão. Mostramos slides de imagens antigas (de preferência) das cidades
italianas, francesas e etc; no período da renascença. Destacamos localização
geográfica, organização social, onde moravam, como se vestiam, como viviam,
como trabalhavam, etc. Tudo isso sem dizer claramente que estávamos no período
do Renascimento.
Nessa escola, eles aprenderiam uma nova técnica de pintura inventada para
ajudar os pintores a produzir imagens da maneira mais realista possível. Essa
técnica seria capaz de dar a ideia de volume, movimento e tridimensionalidade. Para
aprendê-la, sugerimos que estudássemos um importante manual de pintura – La
Pittura, escrito pelo pintor Leon Batista Alberti, que sistematizou essa técnica
inovadora.
Em seguida, apresentamos e comentamos as várias definições presentes no
manual – por exemplo, ponto, linha, reta, superfície, área, perímetro, ângulos, tipos
de ângulos, qualidades que alteram e não alteram a superfície, sítio, luz, superfícies
equidistantes e colineares, superfícies não equidistantes, triângulos semelhantes,
casos de semelhança e círculos – que são os conceitos centrais da nova técnica.
Utilizando desenhos no quadro branco, explicamos como o autor definia o que eram
raios visuais, linha do horizonte, linha da terra e ponto de fuga.
Antes de iniciarmos a tarefa em que deveriam utilizar a nova técnica,
mostramos diversos slides, com pinturas renascentistas (ver Anexo 4, p. 61) com o
objetivo de “treinar” o olhar dos alunos em busca do ponto de fuga. Em cada uma
das pinturas mostradas, questionamos os alunos a localização ponto de fuga de
cada pintura e a linha do horizonte, tão importantes para a técnica.
Durante a aula, fizemos outras perguntas do tipo: qual a função da arte nesse
período, quem pintava, etc.
Em seguida, organizamos os alunos em dupla e propusemos a seguinte
tarefa: reproduzir, utilizando a técnica descrita, uma rua de Florença, onde, no
contexto da tarefa, ‘’eles viviam e atuavam com pintores’’. Também construímos o
desenho no quadro passo a passo com a ajuda dos alunos. A seguir, a foto entregue
aos alunos.
35 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Exemplo de pintura entregue aos alunos.
Cada aluno deveria, em seu caderno ou folha, reproduzir a foto da forma
como conseguisse, utilizando a nova técnica aprendida e com nossa orientação no
quadro.
Ao final da aula, conversamos com os alunos sobre o que acharam da tarefa,
se foi fácil, difícil, qual seria sua função e deixamos cada grupo comentar sua
perspectiva acerca de sua figura. Outras questões foram formuladas visando à
observação da imagem, o modo de construção, e elementos matemáticos que
aparecem como paralelas, perpendiculares, formas geométricas, e também
símbolos, e o uso das cores (como conseguiam essas cores, por exemplo) e que tipo
de conhecimento deveria ter aquele pintor, etc.
Como tarefa de casa, pedimos que pesquisassem, detalhadamente, tudo
sobre o mestre Leon Battista Alberti e o período em que ele viveu, o que significou
essa nova técnica para o aprimoramento das pinturas, a que período se refere, etc.
Procuramos destacar o valor de se conhecer as obras em seu devido contexto, ou
seja, como ‘’funcionava’’ essa sociedade e que tipo de pinturas produzia, qual seu
sentido, etc.
Também ao final dessa atividade, pedimos aos alunos que escrevessem um
comentário relatando o que acharam do exercício, o que aprenderam e se
conseguiram utilizar a técnica para reproduzir a foto.
Comentários
36 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
A seguir, apresentaremos um exemplo de desenho de um dos alunos e o
comentário.
Desenho de uma rua da cidade de Florença, usando perspectiva, feito pelo aluno A9.
Fonte: Estudo, 2012
Comentário do aluno A19. Fonte: Estudo, 2012
37 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Tarefa 6 : A pintura renascentista _ Estudo do manu al de pintura de Alberti: La Pittura – Parte 2 Objetivos
• Desenvolver a observação e a comparação entre estilos de pintura distintos,
relacionando essas diferenças à cultura de cada época.
• Observar como as pinturas evoluíram desde a Pré-História até a pintura
gótica e como elas podem melhorar ainda mais a partir do século XV;
• Introduzir conceitos relacionados à perspectiva: noções de geometria plana,
propriedades que alteram a superfície da pintura, diferenças de pinturas com
um e dois pontos de fugas, linha do horizonte, linha da terra, etc;
• Trabalhar o desenho, explorando a perspectiva, a noção de ampliação e
redução, simetrias, noções de volume e espaço e discutir questões a respeito
de como a matemática influenciou o desenvolvimento da perspectiva, o que é
preciso saber para aprender essa nova técnica de pintura, como as pinturas
evoluem, etc;
• Dar continuidade ao trabalho de pesquisa sobre as pinturas do estilo citado,
comparando pinturas com 1 e 2 pontos de fuga, pesquisando ideais e
pintores da época.
Material : os mesmos da aula anterior
Desenvolvimento:
Primeiramente, discutimos sobre o dever da aula passada: características do
período estudado, sobre quem foi Alberti e pinturas da época. Em seguida,
sistematizamos alguns conceitos, já que, na tarefa anterior, vários foram discutidos.
Prosseguimos com a proposta de uma viagem no tempo para que
pudéssemos dar continuidade ao estudo do manual de pintura (Della Pittura) de
Alberti, dessa vez explorando a construção de pavimentos (citados no manual) e
também os desenhos com dois pontos de fuga.
38 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Mostramos imagens antigas (de preferência) na lousa interativa das cidades
italianas, francesas e etc, no período da Renascença. Continuamos destacando
localização geográfica, organização social, onde moravam, como se vestiam, como
viviam, como trabalhavam, etc. Procuramos construir um conjunto de slides que
apresentasse pinturas com 1 ponto de fuga (para perceber se os alunos conseguiam
localizá-lo) e depois 2 pontos de fuga. Durante toda a aula, fizemos perguntas do
tipo: qual a função da arte nesse período; quem pintava; etc.
Após a apresentação dos slides, mostramos como construir um desenho com
2 pontos de fuga. Os alunos acompanharam a construção tentando reproduzi-la em
seus cadernos.
Em seguida, distribuímos uma foto da pintura a ser reproduzida, para cada
aluno que, naquele momento, estava sentado em dupla, ou em grupo, para retratar a
foto utilizando a perspectiva. Eles usaram régua, esquadro, transferidor, compasso,
lápis, borracha, lápis de cor, gizão de cera, etc. A seguir, um exemplo de pintura
entregue aos alunos.
39 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Exemplo de pintura entregue aos alunos.
Cada aluno deveria, em seu caderno, reproduzir a foto, empregando a técnica.
Ao final da aula, conversamos com os alunos sobre o que acharam da tarefa, se foi fácil, difícil, qual seria sua função, e deixamos cada grupo comentar sua perspectiva acerca de sua figura. Outras questões foram formuladas visando à observação da imagem, o modo de construção e elementos matemáticos que apareceram, e sobre o tipo de conhecimento deveria ter aquele pintor, etc.
Como tarefa de casa pedimos que entrassem no site de algum museu (de preferência, por exemplo, o Louvre ou a Galeria Uffzi) que possuem pinturas do Renascimentio e que pesquisassem algo sobre essas pinturas. Deveriam escolher uma delas para reproduzir e colar na capa do caderno. Pedimos que colassem a reprodução de maneira centralizada na capa do caderno e, assim, exploramos a discussão de como encontrar o centro de um retângulo, por exemplo.
Também ao final dessa atividade, pedimos aos alunos que escrevessem um comentário relatando o que acharam da terefa, o que aprenderam, e se conseguiram aplicar a técnica para reproduzir a pintura.
Comentários A seguir um exemplo de desenho de um dos alunos e seu comentário.
40 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Produção do aluno A11. Fonte: Estudo, 2012
Comentário do aluno A11. Fonte: Estudo, 2012.
Tarefa 7 : A pintura renascentista _ Estudo do manu al de pintura de Alberti: La Pittura – Parte 3
41 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Objetivos
• Desenvolver a observação e a comparação entre estilos de pintura distintos,
relacionando essas diferenças à cultura de cada época;
• Observar como as pinturas evoluíram desde a Pré-História até a pintura
gótica e como elas podem melhorar ainda mais a partir do século XV;
• Reforçar conceitos relacionados à perspectiva estudada até o momento.
• Trabalhar o desenho, explorando a perspectiva, a noção de ampliação e
redução, simetrias, noções de volume e espaço, e discutir questões a
respeito de como a matemática influenciou o desenvolvimento da
perspectiva, o que é preciso saber para aprender essa nova técnica de
pintura, como as pinturas evoluem, etc.
Material : os mesmos da aula anterior
Desenvolvimento
Primeiramente, discustimos sobre o dever da aula passada, depois
prosseguimos com a proposta de uma viagem no tempo para que pudéssemos dar
continuidade ao estudo do manual de pintura (Della Pittura) de Alberti, dessa vez
explorando a reprodução de umas das obras mais conhecida no mundo, A Última
Ceia, de Leonardo Da Vinci.
Apresentamos slides de pinturas renascentistas, comentando onde foram
localizadas, qual a interpretação das mesmas pelos cientistas, qual a função da arte
nesse período, na perspectiva dos cientistas, período, quem pintava, etc.
Após a apresentação dos slides, distribuímos uma foto da pintura a ser
reproduzida, para cada aluno que, naquele momento, estava sentado em dupla, ou
grupo, para retratar a foto utilizando a perspectiva. Eles usaram régua, esquadro,
transferidore, compasso, lápis, borracha, lápis de cor, gizão de cera, etc. A seguir,
um exemplo de pintura entregue aos alunos:
42 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Exemplo de pintura entregue aos alunos.
Cada aluno deveria, em seu caderno, reproduzir a foto, empregando a
técnica.
Ao final da aula, conversamos com os alunos sobre o que acharam da tarefa,
se foi fácil, difícil, qual seria sua função, e deixamos cada grupo comentar sua
perspectiva acerca de sua figura. Outras questões foram formuladas visando à
observação da imagem, o modo de construção, e elementos matemáticos que
apareceram, e sobre o tipo de conhecimento daquele pintor, etc.
Também ao final dessa atividade, pedimos aos alunos que escrevessem um
comentário relatando o que acharam da tarefa, o que aprenderam, e se conseguiram
aplicar a técnica para reproduzir a pintura.
Comentários A seguir, um exemplo de desenho e comentário de um dos alunos da turma.
43 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Produção do aluno A17. Fonte: Estudo, 2012.
Comentário do aluno A6. Fonte: Estudo, 2012.
Tarefa 8 : Avaliação final
44 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Objetivos
• Verificar se os alunos aprenderam, revisaram conceitos matemáticos,
perceberam relações entre a Matemática e a Arte e outras disciplinas
escolares, e se adquiriram os conceitos matemáticos necessários para
aprender e utilizar a perspectiva em seus desenhos.
Materiais: folha de papel, lápis, borracha e régua
Desenvolvimento:
Os alunos puderam realizar a avaliação final individualmente ou em duplas,
sem a necessidade de identificação.
Na primeira questão: Questão 1) a) Em sua opinião, qual o papel da pintu ra para o ser humano? b) Em todos os momentos da história da humanidade, a pintura sempre teve o mesmo papel? Explique sua resposta.
O objetivo dessa questão foi avaliar se os alunos perceberam a importância
da Arte, mais especificamente da pintura, na representação de cada momento
histórico, a diferença entre suas culturas e entre o pensamento das diferentes
sociedades de cada época.
Comentários
Verificamos que a maioria alegou que antigamente as pinturas eram uma
forma de comunicação entre as pessoas e que essas pessoas retratavam
seu modo de vida. E que atualmente, pinta-se para representar os
sentimentos e a beleza.
45 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
O objetivo da segunda questão foi perceber a qual ou a quais fatores e/ou
elementos os alunos atribuem as mudanças nas pinturas ao longo dos tempos. A
seguir a segunda questão:
Questão 2) a) A pintura muda ao longo dos tempos? b ) O que muda? c)
Por que será que isso acontece?
Comentários
A maioria dos alunos respondeu que a pintura mudou ao longo dos tempos.
E, que isso aconteceu devido à mudança das técnicas com o passar dos
anos, uma vez que os conhecimentos adquiridos, principalmente os
matemáticos, aumentaram e evoluíram muito com o avanço da humanidade,
o que, por sua vez, faz com que as técnicas de pintura utilizadas sejam
aperfeiçoadas.
Agora observe as questões 3, 4, 5 e 6 a seguir:
Questão 3) Que instrumentos, técnicas e conheciment os são utilizados
nas pinturas ao longo dos tempos?
Questão 4) Você afirmaria que existe algum conhecim ento matemático
na pintura?
( ) Sim ( ) Não. Explique com detalhes por que pens a assim.
Questão 5) Você acha que o conhecimento matemático desenvolvido
ao longo dos tempos foi incorporado à pintura? ( ) Muito ( ) Um pouco (
) Nada. Explique sua resposta.
Questão 6) Você aprendeu algo novo (em qualquer áre a) com as
atividades realizadas?
46 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
( ) Sim ( ) Não. Explique sua resposta.
Os objetivos dessas questões foram avaliar se os alunos perceberam a
presença da interdisciplinaridade e da contextualização nas atividades, da
importância do contexto sociocultural abordado, se a evolução do conhecimento,
principalmente o matemático, contribuiu para a criação de novas técnicas de pintura
e se ajudaram a reproduzir mais fielmente a realidade.
Comentários
Na questão 3, as respostas mais comuns foram compasso, régua, tinta,
pincel, simetria, semelhança, congruência, proporção, ponto de fuga,
perspectiva, geometria, formas geométricas, circunferências e medidas.
A maioria dos alunos afirmou existir conhecimento matemático na pintura
(Questão 4).
Na questão 5, também a maioria dos alunos afirmou que muito
conhecimento matemático foi incorporado.
Na questão 6, a maioria respondeu que aprendeu uma nova técnica de
pintura, no caso a perspectiva, assim como conhecimentos matemáticos
relacionados à geometria e à simetria. Entretanto alguns alunos afirmaram
ter aprendido sobre diversos temas conectados à Arte, à História, à
Matemática e aos conhecimentos gerais além do aprendizado sobre culturas
e sociedades do passado.
Questão 7.
7) Descubra nas pinturas abaixo, alguns elementos m atemáticos, se
existirem, como ponto de fuga, simetria, formas geo métrica e outros.
47 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
A Adoração dos Magos, Sandro Botticelli, 1485-1486
A Escola de Atenas, Rafael Sanzio, 1511
O objetivo foi localizar elementos matemáticos, como por exemplo, ponto de
fuga, simetria, formas geométricas e quaisquer outros que encontrassem, nessas
duas pinturas do Renascimento.
Comentários
48 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
A maioria das respostas mencionou ponto de fuga, simetria e formas
geométricas em geral. Outros foram mais específicos afirmando que
encontraram triângulos, quadrados e retângulos.
A questão 8 teve como objetivo verificar se os alunos entenderam e
conseguiram utilizar em um desenho aleatório a técnica da perspectiva.
8) Imagine que você está concluindo seu curso no at eliê de pintura de
Alberti. Você estudou bastante a noção de perspecti va e agora
apresentará ao mestre uma amostra de sua capacidade . Observe a foto
que lhe foi dada. Represente-a utilizando adequadam ente tudo o que
aprendeu e registre ao lado o que fez (onde está o ponto de fuga, por
que escolheu essa posição, onde está a linha do hor izonte, como traçou
as linhas, etc.). Caso prefira, escolha uma parte d a foto para representar.
Utilize a folha de sulfite e seu material de desenh o.
Arco do Triunfo, Paris, França. Comentários
49 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Grande parte dos alunos parece ter se empenhado em utilizar os
conhecimentos de perspectiva para reproduzir a foto, pois deixaram marcado
no desenho ponto de fuga, linha da terra e linha do horizonte. Alguns alunos
não deixaram essa marcação explícita no desenho, sugerindo que eles talvez
tenham desenhado à mão. A seguir, um exemplo da reprodução feita por um
aluno:
Fig. - Resposta dada por um participante não identificado. Fonte: Estudo, 2012.
O objetivo da questão 9 foi analisar o que os alunos acharam das tarefas e o
que poderíamos fazer para melhorá-las.
9) Em sua opinião, o que poderia ser melhorado no t rabalho que realizamos?
50 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Comentários A maioria dos alunos respondeu que nada precisava ser melhorado e que
tinha gostado muito do trabalho. Dois alunos disseram que trabalhar com
reproduções de desenho a maior parte das aulas e colorir foi um pouco
cansativo. Um desses alunos sugeriu que as atividades fossem ser
diversificadas e deu como exemplo a atividade do mapa-múndi (marcar no
mapa todos os países que foram citados por algum motivo em sala de aula).
51 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
4. Comentários Gerais ________________________
Esperamos com essas tarefas que os alunos consigam estabelecer relações
relevantes entre as duas áreas do conhecimento, Matemática e Arte, e que,
efetivamente, revisem e aprofundem conteúdos já estudados e aprendam um novo
conhecimento que é a técnica da perspectiva.
Os professores que se aventurarem a trabalhar com essa proposta em sala
de aula, utilizando nosso produto educacional como aliado, também poderão propor,
além de reproduções de obras de arte conhecidas, que os alunos criem suas
próprias obras, retratando paisagens ou o que desejarem como forma de incentivar a
criatividade e a reflexão.
52 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Referências ________________________
ALBERTI, Leon Batista., Da pintura; tradução de Antônio da Silveira Mendonça. –
Campinas: Editora da Unicamp, 1989.
CARVALHO, Carolina. Comunicações e interacções sociais nas aulas de
Matemática (In: LOPES, C. A. E. E NACARATO, A. M. [org] Escritas e leituras na
Educação Matemática, 1 ed. Belo Horizonte. Autêntica, 2009. 192 p., p.15-34).
FARTHING, Sephen. Tudo sobre Arte; tradução de Paulo Polzonoff. et al. – Rio de
Janeiro: Sextante, 2011.
FLORES, Cláudia R. Olhar, saber e representar: sobre a representação em
perspectiva. São Paulo: Editora Musa, 2007.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática /Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília: MEC/SEF, 1998.
SANTOS, M. P. Encontros e esperas com os ardinas de Cabo Verde: aprendizagem
e participação numa prática social. Tese de doutoramento em Educação (Didactica
da Matemática) apresentada à Universidade de Lisboa através da Faculdade de
Ciências, 2004.
TOMAZ, Vanessa Sena; CARVALHO, Giovanna Cotta. A Influência da
contextualização para a compreensão de problemas de Matemática. XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. Recife, 2011.
TOMAZ, Vanessa Sena; DAVID, Maria Manuela Martins Soares. Interdisciplinaridade
e aprendizagem da Matemática em sala de aula. Belo Horizonte, MG: Autêntica
Editora, 2008.
VILELA, Denise Silva. Notas sobre a Matemática escolar no referencial sócio-histórico-
cultural. Horizontes, v. 24, n. 1, p. 43-50, jan./jun. 2006.
53 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Anexos _________________
Anexo 1
Caverna de Lascaux, França (FARTHING, 2011)
Anexo 2
Nefertite ofertando a deusa ISIS (FARTHING, 2011)
54 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Afresco do Toureiro (Creta 1500 a. C) (FARTHING, 2011)
Anexo 3
A virgem e o Menino entronado (c. 1280-1285) – Giovanni Cimabue – Galeria uffzi
(FARTHING, 2011)
55 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Anexo 4
A Última Ceia (1495-1497) – Leonardo Da Vinci (FARTHING, 2011)
A Escola de Atenas (1509), Rafael Sanzio (FARTHING, 2011)
56 | P á g i n a
Mat
emát
ica
na A
rte:
um
a pr
opos
ta d
e en
sino
env
olve
ndo
a P
intu
ra e
a G
eom
etria
no
Ens
ino
Fun
dam
enta
l
Este trabalho foi composto na fonte Myriad Pro e Ottawa. Impresso na Coordenadoria de Imprensa e Editora | CIED
da Universidade Federal de Ouro Preto.
