POLÍGONOSPOLÍGONOS

REGULARESREGULARES

          

Figura 1 Figura 2

1. Polígono inscrito e polígono circunscrito em uma circunferência Quando os vértices de um polígono estão sobre uma circunferência (figura 1), dizemos que:

 

o polígono está inscrito na circunferência;

a circunferência está circunscrita ao polígono.

 Quando os lados do polígono são tangentes a uma circunferência (figura 2), dizemos que:

  o polígono está circunscrito à circunferência;

a circunferência está inscrita no polígono.

2. Polígonos regulares Um polígono é chamado de eqüiângulo quando possui todos os ângulos internos congruentes, e eqüilátero quando possui todos os lados congruentes. Exemplos:

a) O retângulo tem todos os ângulos internos congruentes.Logo, o retângulo é eqüiângulo.

b) O losango tem todos os lados congruentes.

Logo, o losango é eqüilátero.

c) O quadrado tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes.

Logo, o quadrado é eqüilátero e eqüiângulo.

Todo polígono eqüilátero e eqüiângulo é chamado de polígono regular.

Um polígono é regular quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são congruentes

Exemplos:

Propriedade dos polígonos regulares

   Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as cordas consecutivas formam um polígono regular inscrito na circunferência.

   Se uma circunferência for dividida em três ou mais arcos congruentes, então as tangentes aos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular circunscrito à circunferência.

Na circunferência ao lado, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si. A circunferência ficou dividida em quatro arcos congruentes.

As cordas consecutivas formam um quadrado

inscrito na circunferência.

As tangentes pelos pontos de divisão formam um quadrado circunscrito à circunferência.

Desse modo, podemos dizer que, se um polígono é regular, então existe um circunferência que passa por todos os seus vértices e uma outra que tangencia todos os seus lados.

   Todo polígono regular é inscritível numa circunferência.

• Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência.

Polígonos regulares inscritos Polígonos regulares circunscritos

Se um polígono é regular, consideramos:

Centro do polígono é o centro da circunferência circunscrita a ele (ponto O).

Raio do polígono é o raio da circunferência

circunscrita a ele OC .

Apótema do polígono é o segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de um de seus lados OM .

Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujo lados são semi-retas que contêm dois raios consecutivos (CÔD).

A medida do ângulo central é dada por:

360ºca

n (n = número de lados)

e

Elementos de um polígono regular

3. Relações métricas nos polígonos regulares

Estudaremos a seguir como calcular a medida do lado e a medida do apótema de um polígono regular inscrito em uma circunferência em função da medida do raio.

Quadrado inscrito

Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r. Para construir um quadrado ABCD inserido nessa

circunferência, traçamos dois diâmetros perpendiculares entre si (ACe BD), determinando o vértices do quadrado. Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse quadrado em função de r.

Cálculo da medida do lado 4 Cálculo da medida do apótema (a4)

No AOB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (AB)2 = (AO)2 + (OB)2

2 2 24 r r 2 24 2r

24 2r (r > 0)

4 2r

No OMB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (OM)2 + (BM)2 = (OB)2

22 244 2

a r

22 24

2

4

ra r

2 22 24

2 2

4 4

r ra r

2

4

2

4

ra (r > 0)

4 2

2

ra

Hexágono regular inscrito

Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r. Para construir um hexágono regular ABCDEF inscrito nessa

circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a seguir, unimos consecutivamente os pontos de divisão.

Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse hexágono em

função de r.

Cálculo da medida do lado ( 6 )

Cada um dos arcos indicados nessa circunferência mede 360º

60º.6

Sendo assim temos:

M(AÔB) = 60º, m(ABO) = m (AB) 120º

60º2 2

e m (BÂO) = m (BD) 120º

60º2 2

O AOB, sendo eqüiângulo, é também eqüilátero, ou seja: AB = AO = OB 6 = r Logo: 6= r

Cálculo da medida do apótema (a6)

N o O M B , p e l o t e o r e m a d e P it á g o r a s , t e m o s : ( O M ) 2 + ( M B ) 2 = ( O B ) 2

22 26 2

ra r

22 26 4

ra r

22 26 4

ra r

226

3

4

ra

2

6

3

4

ra ( r > 0 )

6

3

2

ra

Triângulo eqüilátero inscrito

Considere uma circunferência de centro O e raio medida r.

Para construir um triângulo eqüilátero ABC inscrito nessa circunferência, dividimos a circunferência em seis arcos congruentes e, a seguir, unimos alternadamente os pontos de divisão.

Vamos calcular a medida do lado e do apótema desse triângulo em função de r.

Cálculo da medida do lado (3)

O b s e r v e q u e : o A D C é r e t â n g u l o ( i n s c r i t o n a s e m ic i r c u n f e r ê n c ia ) D C = 6 = r N o A D C , p e l o t e o r e m a d e P i t á g o r a s , t e m o s : ( A C ) 2 + ( D C ) 2 = ( A D ) 2

2 23 6( ) ( ) ( 2 )r

2 2 23

2 23

4

3

r r

r

3 3r

Cálculo da medida do apótema (a3)

NoOMB, pelo teorema de Pitágoras, temos: (OC)2 = (OM)2 + (MB)2

2

2 233 2

a r

22 23

3

4

ra r

22 23

3

4

ra r

223 4

ra

223 4

ra (r > 0)

3 2

ra