Matemática - Pré-Vestibular Dom Bosco - gab-mat1-se3
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1Matemática 1SE3
GabaritoMatemática 1
UNIDADE 14 — FUNÇÕES
Testes (página 2)
1. a) Resposta: f(– 1, 2) = (– 1, 2)2 = +1, 44f(–3) = (–3)2 = 9
f95
= 2
95
=8125
f 2( 3 1) ( 3 1)+ = + = 4 + 2 3
b) Resposta: 36 = x2, x = ± 6c) Resposta: – 64 = x2, ∅ (vazio)d) Resposta: 0 = x2, 0 (zero)
2. Resposta: 07 (01+02+04)01) f(–2) = (–2)2 = 4
f(–1) = (–1)2 = 1f(0) = 02 = 0f(1) = 12 = 1Im = {0, 1, 4}
02) f(–2) = –4 + 2 = – 2f(–1) = – 2 + 2 = 0f(0) = 0 + 2 = 2f(1) = 2 + 2 = 4Im = {–2, 0, 2, 4}
04) f(–2) = 4 – 1 = 3f(–1) = 1 – 1 = 0f(0) = 0 – 1 = –1f(1) = 1 – 1 = 0Im = {–1, 0, 3}
3. Resposta: 05 (01+04)01) f(–1) = 1 + 1 = 2
02) 4 = x2 + 1 x = 3±04) 5 = x2 + 1 x2 = 4 x = ± 208) 6 não é imagem de nenhum elemento de A.
4. Resposta: 64 . (x – 1) = 3x + 24x – 4 = 3x + 2x = 6
5. Resposta: f(36) = 6; f(81) = 9; f(2) = 2; f(1) = 1f(36) = f(4 . 9) = f(4) . f(9) = 2 . 3 = 6f(81) = f(9 . 9) = f(9) . f(9) = 3 . 3 = 9
f(x) = x
f(2) = 2f(1) = 1
Álgebra6. Resposta: b
f(3) = 120
8 −
. 103
f(3) =160 1
8−
. 103 = 159
8. 103
f(2) = 120
4 −
. 103 =80 1
4−
. 103 =
794
. 103
R =159 79
8 4 − . 103 =
159 1588−
. 103
R =18
. 103 = 0,125 . 103 = 125 hab.
7. a) Resposta: 1, 8v(0) = 1,8 . 104 ((10–2)2)v(0) = 1,8 . 104 . 10–4 cm/sv(0) = 1,8 cm/s
b) Resposta: 1,35
v210
2
−
= 1,8 . 104 .4
4 1010
4
−−
−
v210
2
−
= 1,8 . 104 .43 . 10
4
−
v210
2
−
= 1,35 cm/s
8. Resposta: d
f 1x
= 21
1 1x
+
f 1x
=2
2 2
2 2
1 1 x1 1 x 1 x1
x x
= =+ ++
9. Resposta: df(0 + 1) = 4 . f(0)4 = 4 . f(10)f(0) = 1f(2) = 4 . f(1)f(2) = 16
R
r
R
Eixo central
f(2) = 4 . f(1)f(2) = 16{1, 4, 16, 64, ...}a1 = 1a11 = 1. 410 = 410
2 Matemática 1SE3
10. Resposta: b
( ) ( )( )
( )f 78 . f 7 f 7x
f 7
−= =
( )( ). 8 1
f 7
−7=
UNIDADE 15 — FUNÇÕES
Testes (página 4)
1. a) Resposta: R
b) Rsposta: R
c) Resposta: x ≠ 5
d) Resposta: x2 – 9 ≠ 0
x ≠ 3 e x ≠ – 3
e) Resposta: R
2. a) Resposta: x ≠ 1 e x 0D(f) 1 :
x – 1 ≠ 0
x ≠ 1
D(f) 2 :
x 0
x ≠ 1 e x 0
b) Resposta: x 3D(f) 1 :
x – 3 0
x 3
D(f) 2 :
x – 1 > 0
x > 1
x 3
c) Resposta: x 3 e x ≠ 5x – 3 0 1
x – 5 ≠ 0 2
∴ x 3 e x ≠ 5
d) Resposta: x ≠ 2D(f)
x3 – 8 ≠ 0
x3 ≠ 8
x ≠ 2
3
31
3. Resposta: {1}D(f) 1 :1 – x 0–x –1x 1
D(f) = {1}
4. a) Resposta: 23
< x 3
x 32 3x
−−
0
Raízes:1 x – 3 = 0
x = 3
2 –3x + 2 = 0
x = 23
23
< x 3
1
1
–5 3
2
–5
3
b) Resposta: –5 x < 3 e x ≠ 2Raízes:1 x + 5 = 0
x = –5
2 3 – x = 0x = 3
3 x – 2 ≠ 0x ≠ 2
–5 x < 3 e x ≠ 2
x – 1 0x 1
3
23
3Matemática 1SE3
0
1
b) Resposta: R*
c) Resposta: x > 2 e x ≠ 52
Raízes:
1 6x + 1 = 0
x =16
−
2 2x – 4 = 0x = 2
3 2x – 4 = 1
x =52
x > 2 e x ≠ 52
5. Resposta: R
1 – x2 + 6x – 10 = 0– x2 – 9 = 0Idem ao 1 :
6. Resposta: x < 1 e x ≠ –1 ou x 5Raízes:
1 x2 – 4x – 5 = 0x1 = 5x2 = – 1
2 x2 – 1 = 0x2 = 1
x = 1±
x < 1 e x ≠ –1 ou x 5
7. a) Resposta: x < 1 ou x > 4Raízes:x2 – 5x + 4 = 0x1 = 4 e x2 = 1
x < 1 ou x > 4
1 4
1–1
5
R
–1
8. Resposta: a
1–1x
> 0, x ≠ 0
x 1x . 1
x
−> 0
Raízes:1 x – 1 = 0
x = 1
2 x = 0
]–∞; 0[ ou ] 1; +∞[
9. Resposta: b
1 x – 3 = 0x = 3
2 x2 + 2x – 8 = 0x1 = –4x2 = 2
3 x2 + 4x + 3x1 = –1x2 = – 3
–4
–3 –1
2
3
–4 x < –3 ou –1 < x 2 ou x 3
10. Resposta: eb2 – 4ac 036 – 4 . k 0– 4 k – 364 k > 36k 9
UNIDADE 16 — FUNÇÕES
Atividades (página 5)
1. Resposta: y = –4x 5
3+
y =5 3x
4−
x =5 3y
4−
4x = 5 – 3y
2
16−
52
–3y = 4x – 5
3y = –4x + 5
y =–4x 5
3+
4 Matemática 1SE3
Testes (página 6)
1. a) Resposta: f–1(x) = x 14+
y = 4x – 1x = 4y – 14y = x + 1
y = x 14+
b) Resposta: f–1(x) = 5x 3x 2
+−
y =2x 3x 5
+−
x =2y 3y 5
+−
yx – 5x = 2y + 3yx – 2y = 3 + 5xy(x – 2) = 3 + 5x
y =5x 3x 2
+−
2. Resposta: ey = 3x – 2x = 3y – 2
5. Resposta: 5x
y = log5 xx = log5 yy = 5x
6. a) Resposta: y = log3 x – 2x = 3y + 2
log3 x = log3 3y + 2
log3 x = (y + 2) . log3 3y = log3 x – 2
b) Resposta: y = 13
(2 + log5 x)
log5 x = log5 53y – 2
log5 x = 3y – 2 . log5 53y = log5 x + 2
y = 5log x 23
+ = 13
(2 + log5 x)
2. Resposta: –4x
2x 1−
y =x
2x 4+
x =y
2y 4+
2yx + 4x = y
2yx – y = –4x
y(2x – 1) = –4x
y =–4x
2x 1−
3. Resposta: –10f(x) = 3x + ag(x) = 2x – 5f(g(x)) = g(f(x))
3(2x – 5) + a = 2(3x + a) – 56x – 15 + a = 6x + 2a – 5a = –10
4. Resposta: g(x) =5x 8
3−
f(x) = 3x + 7f(g(x)) = 5x – 1
5x – 1 = 3 . (g(x)) + 7
g(x) =5x 8
3−
y = x 2
3+
f–1(–1) =1 2 13 3
− + =
3. Resposta: a
y =x 1
x−
x =y 1
y−
yx = y –1yx – y = –1y(x – 1) = –1
y =( )( )–11 1
x 1 –1 1 – x− =−
4. a) Resposta: y = 2x 3x 1
+−
y =x 3x 2
+−
x =y 3y 2
+−
y . (x – 1) = 2x + 3
y = 2x 3x 1
+−
b) Resposta: g–1(x) = 8x 25 x
+−
y =5x 2x 8
−+
x =5y 2y 8
−+
yx + 8x = 5y – 2
y . (x – 5) = –2 – 8x
y =–2 – 8x
x – 5= 8x 2
5 x+
−
5Matemática 1SE3
11. Resposta: cf(1 + 1) = f(1) + f(1)1 = 2 f(1)
f(1) =12
f(0 + 1) = f(0) + f(1)f(0) = 0
f(1) =12
f(2) = 1
an = a1 + (n – 1) . ra5 = a1 + 4 . r
a5 = 12
+ 4 . 12
= 52
f(5) = 52
12. Resposta: k = –2 e m = 12
g(f(x)) = m(2x + k) + 1g(f(x)) = 2mx + mk + 1Condição:2mx + mk + 1 = x
P.I.P 12m 1 m2
mk 1 0
= ∴ = + =
13. Resposta: ef(g(x)) = 2 (x2 – 1) + 1f(g(x)) = 2x2 – 2 + 1f(g(x)) = 2x2 – 12x2 – 1 = 0
x2 =12
7. Resposta: 1
y = x 2x 2
−+
x =y 2y 2
−+
yx + 2x = y –2y (x + 1) = – 2 – 2x
y =2 2xx 1
− −−
a = 1
8. a) f(x) = x – 3f(–x) = –x – 3Nem par nem ímpar
b) f(x) = x2 + 1f(–x) = (–x)2
+ 1 = x2 + 1Par
c) f(x) =3x
f(–x) =3x−
Ímpar
d) f(x) = –3xf(–x) = –3(–x) = 3xÍmpar
e) f(x) = 5x2
f(–x) = 5(–x)2 = 5x2
Par
f) f(x) = –3f(–x) = –3Par
9. Resposta: a
f(x) = 21
x
f(–x) =( )2 2
1 1.
xx−
10. Resposta: c2 = a . (–1)3 + b4 = a . (1)3 + b
+ 2 = –a + b 14 = a + b 2
6 = 2bb = 3
Em 2 :
4 = a + 3a = 1
2x
2= +
2x
2= −
12
k +1 = 0
k2
= – 1 ∴ k = –2
14. Resposta: d
–5 = 2m + p–10 = –3m + p
–5 = –5mm = 1
–5 = 2 + pp = –7
f(18) = 1 . 18 – 7 = 11f(11) = 1 . 11 – 7 = 4
–
15. Resposta: 601f(0 + 1) = f(0) + 2f(1) = 3f(1 + 1) = f(1) + 2f(2) = 5
an = a1 + (n – 1) . ra301 = a1 + 300 . ra301 = 1 + 300 . 2 = 601
6 Matemática 1SE3
1–1
9. Resposta: y = 1a1 = 1a1 000 = 1 000n = 1 000
s1 000 = 1 1 0002
+ . 1 000 = (1 001) . 500 = 500 500 = i500 500 =
= i0 = 1
10. Resposta: x ∈ ] –1, 1[
2 2 2 2
2 2 2 2 2x i x i x 2xi i x 2xi 1 x 1 2xiz .x i x i x i x 1 x 1 x 1
− − − + − − −= = = = −+ − − + + +
x2 – 1 < 0x ∈ ] –1, 1[2. Resposta: a
2m 9 0
m 3 0
− =
− ≠
3. Resposta: d5(a + bi) + a – bi = 12 + 16i5a + 5bi + a – bi = 12 + 16i6a + 4bi = 12 + 16i
m = ± 3
m ≠ 3 m = –3
Atividades (página 9)
1. a) Resposta: –ii627 ∴ = i3 = –i
b) Resposta: 1i1 008 ∴ = i0 = 1
c) REsposta: –1i–22 ∴ =
1 12i
= −
2. Resposta: – 41i + 61(5 – 7i)(8 + 3i) = 40 + 15i – 56i – 21i2 = –41i + 61
3. Resposta: 33i 413
+
2
26 7i 3 2i 18 12i 21i 14i 33i 4.3 2i 3 2i 139 6i 6i 4i
+ + + + + += =− + + − −
4. Resposta: b(2 + mi) (3 + i) = 6 + 2i + 3mi + mi2
6 – m = 0m = 6
Testes (página 9)
1. Resposta: ek 1 02 2
− =
k = 1
41 0082520
42252
46271563
UNIDADE 17 — NÚMEROS COMPLEXOS
Teoria (página 8)
z z –z3 + 5i 3 – 5i –3 – 5i7 – 3i 7 + 3i –7 + 3i
2i –2i –2i6 6 –6
16. Resposta: ay = 2x + 1x = 2y + 1
y =x 1
2−
f12
= 2 .
12
+ 1 = 2
f(2) = 2 . 2 + 1 = 5
f–1(5) =5 1
2−
= 2
5 – 2 = 3 = f(1)
3a + 2bi = 6 + 8i3a = 6 a = 22b = 8 b = 4Z = 2 + 4i
4. Resposta: b
1 2 i 3 1 2i 2 i 3 6i 5 5i. . 1 i2 i 2 i 1 2i 1 2i 5 5 5
− + − + ++ = + = = ++ − − +
5. Resposta: e2
2 2
2 2
2 i 2i 2 4i i 2i.2i 2i 4i
2 2 i ( 4 )2 4i 2 i 24 4
+ α − α − + α −= =α + α − α −
α + + − + αα − + α += =α + α +
–4 + α = 0 ∴ α = 4
6. Resposta: bZ1 = iZ2 = 1 – 2i
7. Resposta: 32
( ) ( )24 2 2
2
1 i 1 2i i 4iN 4–1 1i
+ + += = = =−
8 . N = 8 . 4 = 32
8. Resposta: –1 + i
U = 1 + i
V = 1 – i
U52 = [(1 + i)2]26 = (2i)26 = 226 . i26 = (–2)26
V51 = [(1 – i)3]17 = [–2(i + 1)]17 = (–2)17 . [(i + 1)2]8 . (1 + i) =
= (–2)17 . (2i)8 . (1 + i) = (–2)17 . 28 . i8 . (1 + i) = (–2)25 . (1 + i)
U52 . 511
V = (–2)26 .
( ) ( )251 2 1 i.
1 i 1 i–2 . 1 i
− −= =+ −+
22 2i 2 2i 1 i
21 i− + − += = = − +
−
( ) ( ) ( )( )
2 2i i 1 2i 1 i 2i 1 i 1 2i 1 3i 2.1 2i 1 2i 1 2i 1 41 – 2i
+ − − + − + + + −= = = =− − + +
1 3i5
− +=
7Matemática 1SE3
c) Resposta: 13 (3 + 2i) (2 + 3i) = 6 + 13i + 6i2 = 13i = 13
3. Resposta: 2Z = i6 – i7 = i2 – i3 = –1 + i
Z = 1 1 2+ =
4. Resposta: bZ = i4 . i16 = i20 = i0 = 1
Z =1
1 11
=
5. Resposta: 5
1 221
Z Z 5 2 i 10 5i 10 5i. 2 iZ 2 – i 2 i 54 i
+ + + += = = = ++ −
1 2 2 2
1
Z Z2 1 5
Z+
= + =
6. a) Resposta: 2 2 (cos 315° + i sen 315°)
UNIDADE 18 — NÚMEROS COMPLEXOS
Atividades (página 10)
1. Resposta: 4(cos 120o + i sen 120o)
Z = –2 + 2 3 i
ρ = ( )2 22 (2 3 ) 4 12 4− + = + =
a = –2
b = 2 3
–2 = 4 . (cos θ) ∴ cos θ = – 12
→ θ = 120°
2 3 = 4 . (sen θ) ∴ sen θ = 32
Z = 4(cos 120o + i sen 120o)
2. Resposta: Z = 2(cos 315o + i sen 315o)
a = 2
b = 2−
ρ = 2 2 2+ =
2 = 2 . cos θ ∴ cos θ = 2
2 → θ = 315°
– 2 = 2 . sen θ ∴ sen θ = –2
2Z = 2(cos 315o + i sen 315o)
Testes (página 10)
1. a) Resposta: ρ = 1 1 2+ =
cos θ = 12
θ = 45o
b) Resposta: ρ = 3θ = 0o
c) Resposta: ρ = 2θ = 90o
d) Resposta: ρ = 1 1 2+ =
cos θ = 21
22
−− =
θ = 225o
e) Resposta: ρ = 3 1 2+ =
cos θ = 3
2θ = 30o
2. a) Resposta: 5 2
3 + 2i + 2 + 3i = 5 + 5i = 25 25 50 5 2+ = =
b) Resposta: 2
3 + 2i – 2 – 3i = 1 – i = 1 1 2+ =
ρ = 4 4 2 2+ =
cos θ = 22
22 2=
θ = 315o
Z = 2 2 (cos 315° + i sen 315°)
i
R
θ
2
2
b) Resposta: 4(cos 45o + i sen 45o)
ρ = 8 8 4+ =θ = 45o
Z = 4(cos 45o + i sen 45o)
i
Rθ
2 2
2 2
8 Matemática 1SE3
UNIDADE 19 — NÚMEROS COMPLEXOS
Atividades (página 12)
1. a) Resposta: Z1 . Z2 = 2 2 (cos 180° + i sen 180°)
b) Resposta: Z2/Z1 = 2 (cos 60° + i sen 60°)
c) Resposta: Z16 = 8(cos 360° + i sen 360°)
2. Resposta: 1Z 3 i= +
2Z 3 i= − −
o
o o1
1
o o2
2
4 12 4
2 3tg 3 60
2
360 60 1Z 2 . cos i sen 2 . i2 2 2 2
Z 3 i
3 1Z 2 . cos 210 i sen 210 2 . i2 2
Z 3 i
ρ = + =
θ = = θ =
= + = +
= +
= + = − + − = − −
3. Resposta:3 31 12; 1 3 i; 1 3 i; 1; i; i
2 2 2 2− + − − − + −
(x3)2 – 7(x3) – 8 = 0
x3 = y
y2 – 7y – 8 = 0
y1 = 8
y2 = –1
x3 = 8
Im
R
θ2
2 3
ρ = 5θ = 90o
Z = 5(cos 90o + i sen 90o)
c) Resposta: 4(cos 210o + i sen 210o)
ρ = 12 4 4+ =
cos θ = –2 3 34 2
= −
θ = 210o
Z = 4(cos 210o + i sen 210o)
d) Resposta: 5(cos 90o + i sen 90o)
i
R
θ
–2
2 3−
R
θ
i
9. Resposta: a
ρ = 3 2
cos o 23 cos 1354 2
π = = −
sen o 23 sen 1354 2
π = =
2 2Z 3 2 i 3 3i
2 2
= − + = − +
tg γ = a 33
a=
γ = 60o
o5 . 60550
6 6γ
= =
8. Resposta: 50Z = a + bi
Z = a – bi
Z = 2a
2 2a b 2a+ =a2 + b2 = 4a2
3a2 = b2
a 3 b=
Z = a + i a 3
2 2 2ρ = + =Z = 2(cos 45o + i sen 45o)
i
R
2
2
θ
a
a 3
γ
7. Resposta: b
i
R
θ
ρ = 1θ = 270o
Z = (cos 270o + i sen 270o)
10. Resposta: cZ = – 2 + 2i
2
2Z –2 2i 2 2i 4 – 8i 4i 8i. i
2 2i 2 2i 84 4iZ
+ − + + −= = = = −− − − + −
9Matemática 1SE3
4. a) Resposta: 5 35 i
2 2+
( ) ( )( )1 o o o o
2
Z 15 cos 70 10 i sen 70 10Z 3
= − + − =
( )o o 3 5 31 55 cos 60 i sen 60 5 i i2 2 2 2
= + = + = +
b) Resposta: 3 1 i
6 6+
( ) ( )( )3 o o o o
2
Z 1 cos 40 10 i sen 40 10Z 3
= − + − =
3 1i 3 12 2 i
3 6 6
+= = +
c) Resposta: 15 3 15 i
2 2+
( )( ) ( )1
3
Z 15 3 1515 cos 70 40 i sen 70 40 iZ 2 2
= ° − ° + ° − ° = +
Testes (página 12)
1. Resposta: 6 + 6 3 i
Z1 . Z2 = 12(cos 60o + i sen 60o) = 12 31 i 6 6 3 i2 2
+ = +
2. Resposta: 3 3 3i+
Z1/Z2 = 6(cos 30o + i sen 30o) = 63 1i 3 3 3i
2 2
+ = +
3. a) Resposta: 5 56 cos i . sen6 6
π π+
Z1 . Z2 = 2 26 cos i sen6 3 6 3
π π π π+ + + =
= Z1 . Z2 = 5 56 cos i . sen6 6
π π+
b) Resposta: 23
2 2Z 16 cos i . sen3 3
π π= +
c) Resposta: 8(cos 2π + i . sen 2π)
32
4 4 2 2Z 4 cos i sen . 2 cos i sen3 3 3 3
π π π π= + + =
= 8(cos 2π + i . sen 2π)
x1 = 2, x2 = –1 + i 3 , x3 = –1– i 3
x3 = –1
x4 = –1, x5 = 12
+ i 3
2, x6 =
31 i2 2
−
6. Resposta: b
30
Z cos i sen4 4
π π= −
3015 15cos i sen cos i sen
4 4 2 2 π π π π− = − =
3 3cos i sen 0 i( 1) i2 2π π= − = − − =
7. Resposta: a
(U)
(V)
f cos U i sen Ucos (U V) i sen (U V)
f cos V i sen V+
= = − + − =+
f(U V)= −
8. Resposta: eEu = cos u + i sen uEv = cos v + i sen v
Eu . Ev = (cos u + i sen v) (cos v + i sen v) == cos (u + v) + i sen (u + v) = Eu + v
9. Resposta: d
( )
( )
o o
o o2
1
1
2
o o2
2
Z 1 3 i
Z 2 cos 60 i sen 60
420 420Z 2 . cos i sen2 2
3 6 21Z 2 . i i2 2 2 2
780 780Z 2 . cos i sen2 2
Z 2 . cos 390 i sen 390
6 2Z i
2 2
= +
= +
= +
= − − = − − = +
= +
= +
10. Resposta: a
i = 1. cos i sen2 2
π π+ o o450 450 i 1. cos i sen
2 2
= +
= (cos 225o + i sen 225o) =
= (–cos 45o – i sen 45o) =2 2
i2 2
− −
5. Resposta: 65
Z = 2(cos 60o – i sen 60o) = (1 + i 3 )
ω = –i – 1 + i = –1
6 3 2 3
2
Z (Z ) Z (1 3 i) (1 3 i) (1 3 i)
(1 2 3 i 3) (1 3 i)
( 2 2 3 i) (1 3 i)
2 2 3 i 2 3 i 6i 8
= ∴ = + + + =
= + − + =
= − + + =
= − − + + = −
Z6 = (–8)2 = 64ω6 = (–1)6 =1
y = Z6 + ω6 = 65
10 Matemática 1SE3
2. Resposta: a = 3, b = 2
( )( ) ( )( )( )
( )( )5x 1 a(x 1) b x 1
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
+ + −= +− + − + − +
5x + 1 = ax + a + bx – b
5x + 1 = x(a + b) + (a – b)
3. Resposta: k = 0, m = 13
a b 5
a b 1
+ = − =
Testes (página 14)
1. a) Resposta: Q = 3x4 + 2x3 + x – 3 R = 2x + 6
2a = 6 a = 3 b = 2
2x5 – 10x4 + 13x3 – 8x2 + 23x – 12
3x6 – 13x5 + 8x4 + 13x3 – 8x2 + 23x –12
–3x6 + 15x5 – 18x4
–2x5 + 10x4 – 12x3
x3 – 8x2 + 23x – 12
–x3 + 5x2 – 6x
–3x2 + 17x – 12
+3x2 – 15x + 18
2x + 6
x2 – 5x + 6
3x4 + 2x3 + x – 3
o o810 810 i 1. cos i sen2 2
= +
= (cos 405o + i sen 405o) =
=2 2
i2 2
+
11. Resposta: 56 (08+16+32)1 = 1 . (cos 0o + i sen 0o)Z1 = 1
Z2 = 1 . (cos 120o + i sen 120o) = 31 i
2 2− +
Z3 = 1 . (cos 240o + i sen 240o) =31 i
2 2− −
12. Resposta: 07 (01+02+04)–8 = 8(cos 180o + i sen 180o)Z1 = –2Z2 = 2 . (cos 60o + i sen 60o)
Z2 = 1 + i 3
Z3 = 1 – i 3
13. Resposta: 63 (01+02+04+08+16+32)(x3)2 + 7x3 – 8 = 0x3 = yy2 + 7y – 8 = 0y1 = –8y2 = 1
x3 = –8Z1 = –2
Z2 = 1 + i 3
Z3 = 1 – i 3
x3 = 1Z4 = 1
Z5 = 31 i
2 2− +
Z6 = 31 i
2 2− −
14. Resposta: a(x4)2 – 17 x4 + 16 = 0x4 = yy2 – 17y + 16 = 0
y1 = 16y2 = 1
x4 = 24
x1 = ±2x2 = ±2i
x4 = 14
x3 = ±1x4 = ±i
15. Resposta: e
x4 = –1 –1 = 1(cos 180o + i sen 180o)
4x 1= −
x1 = cos 45o + i sen 45o =2 2
i2 2
+
x2 =2 2
i2 2
−
UNIDADE 20 — POLINÔMIOS
Atividades (página 14)
1. Resposta: m = 3, n = 1
m2 – 1 = 8 m = ± 3
(m – 3) = 0 m = 3
(m – n) = 2 3 – n = 2 n = 1
x3 = cos 225o + i sen 225o = 2 2
i2 2
− −
x4 = 2 2
i2 2
− −
Sabendo que Z = ρ eθi.k
4 2e π π+ ; k = 1, 2, 3, 4
x2 + 3xx4 + 3x3 + mx2 + x + k
0 ax2 + bx + c
x4 + 3x3 + mx2 + x + k = ax4 + 3ax3 + bx3 + 3bx2 + cx2 + 3 cx =
= x4(a) + x3(3a + b) + x2(3b + c) + x(3c)
a = 13a + b = 3 b = 0
3b + c = m c = m
3c = 1 c = 13
k = 0
m = 13
11Matemática 1SE3
c) Resposta: Q = 4x + 19 R = 78x3 + 29x2 + 6x – 22
d) Resposta: Q = 3x3 – 2x2 – 3x + 2 R = 8x2 + 6x + 8
2. Resposta: a = 3, b = –1
(2x2 + ax + b)(4x + 2) + x + b = 8x3 + (17 + b) x2 + 3x – a
8x3 + 4x2 + 4ax2 + 2ax + 4bx + 2b + x + b →→ 8x3 + (17 + b) x2 + 3x – a
8x3 + x2 (4 + 4a) + x (2a + 4b + 1) + 3b =
= 8x3 + (17 + b) x2 + 3x – a
4 4a 17 b
2a 4b 1 3
3b –a
+ = + + + = =
ab3
= −
13 em :
3. Resposta: P(x) = x5 – 2x4 + 2x3 – 3x2 – x + 6
P(x) = x5 – 2x4 + 2x3 – 4x2 + x2 – 2x + x – 2 + 8
P(x) = x5 – 2x4 + 2x3 – 3x2 – x + 6
4. Resposta: dO maior grau possível para o resto é 4.
a4 4a 173
a4a 133
12a a 133
13a 13 . 3
a 3
b 1
+ = −
+ =
+ =
=== −
x4 + 2x2 + x + 1
P(x) x – 2
8
1
2
3
8x5 + 26x4 + 17x3 + 10x2 +10x – 3–8x5 + 12x4 + 4x3 – 4x
38x4 + 21x3 + 10x2 + 6x – 3–38x4 + 57x3 + 19x2 –19
78x3 + 29x2 + 6x – 22
4x + 192x4 – 3x3 – x2 + 1
5. Resposta: c
x3 – 4x2 + 7x – 3 D(x)x – 12x – 1
x3 – 4x2 + 7x – 3 = (x – 1)(ax2 + bx + c) + 2x – 1
x3 – 4x2 + 7x – 3 = ax3 + bx2 + cx – ax2 – bx – c + 2x – 1
x3 – 4x2 + 7x – 3 = x3(a) + x2(b – a) + x(c – b + 2) + (– c –1)
a = 1b – a = – 4 b = –3c – b + 2 = 7 c = 2
6. Resposta: eP(–x) + P(x) ≡ 0–x3 + ax2 – bx + c + x3 + ax2 + bx + c ≡ 0∴ 2ax2 + 2c ≡ 0 ∴ a = 0 e c = 0
Logo: P(x) = x3 + bxP(1) = 0, então:13 + b . 1 = 0 ∴ b = –1
P(x) = x3 – xPortanto: P(2) = 6
7. Resposta: c
( )( )( )
( )( )( )2
A x 1 B x 12x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
− += +− + − − +
2 = Ax + Bx – A + B
B – (–B) = 22B = 2B = 1A = –1
8. Resposta: b
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )2
2 2
A x 1 Bx C x 11
x 1 x 1 x 1 x 1
+ + + −=
− + − +
1 = Ax2 + A + Bx2 – Bx + Cx – C1 = x2 (A + B) + x(–B + C) + (A – C)
A B 0
B A 2
+ = − =
A = –B
A B 0
–B C 0
A C 1
+ = + = − =
A C 0
A C 1
+ =− =
2A = 1+
1A2
1B21C2
=
= −
= −
9. Resposta: ax4 + px3 – 8x2 + qx + 15
ax2 + bx + cx2 + 2x – 3
0
x4 + px3 – 8x2 + qx + 15 =
= ax4 + 2ax3 – 3ax2 + bx3 + 2bx2 – 3bx + cx2 + 2cx – 3c =
= x4(a) + x3(2a + b) + x2(–3a + 2b + c) + x(–3b + 2c) – 3c
a = 1
2 + b = p b = p – 2
–3 + 2b + c = –8 c = –5 – 2b
1
2
b) Resposta: Q = x3 + x2 + x + 1 R = 0
x2 – 1–x2 + x
x4 – 1–x4 + x3
x – 1x + 1
0
x – 1x3 + x2 + x + 1
x3 – 1–x3 + x2
9x6 – 4x4 – x2 + 6x + 12–9x6 – 6x5 – 9x4 – 6x3
–6x5 – 13x4 – 6x3 – x2 + 6x + 126x5 + 4x4 + 6x3 + 4x2
–9x4 + 3x2 + 6x + 129x4 + 6x3 + 9x2 + 6x
6x3 + 12x2 + 12x + 12–6x3 – 4x2 – 6x – 4
8x2 + 6x + 8
3x2 + 2x2 + 3x + 23x3 – 2x2 – 3x + 2
12 Matemática 1SE3
Testes (página 17)
1. a) Resposta: Q(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 R(x) = 0
Q(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1R(x) = 0
b) Resposta: Q(x) = 2x2 + 5x + 2 R(x) = 0
1 1 0 0 0 0 –1
1 1 1 1 1 0
1 2 3 –3 –2
2 5 2 0
Q(x) = 2x2 + 5x + 2R(x) = 0
2. Resposta: –5
5 + k = 0k = –5
1 1 3 1 k
1 4 5 5 + k
3. Resposta: 2
2 1 0 k k –7
1 2 4 + K 8 + 3k 9 + 6k
9 + 6k = 216k = 12k = 2
4. Resposta: eP(–1) = R
4 = 3(–1)5 + 2(–1)4 + 3p(–1)3 + (–1) – 14 = –3 + 2 – 3p – 1 – 1–3p = 7
p = 73
−
5. Resposta: a
1 2 5 0 –12 7
2 7 7 –5 2
Q(x) = 2x3 + 7x2 + 7x – 5R(x) = 2
6. Resposta: b
2 1 –4 3 5 0 1
1 –2 –1 3 6 13
R(x) = 13
5. Resposta: Q(x) = 8x3 + 8x2 + 12x + 13, R(x) = 40
16 –8 0 –10 1
16 16 24 26 40
32
Q(x) = 8x3 + 8x2 + 12x + 13R(x) = 40
10. Resposta: by5 – my3 + n
ay2 + by + c
y3 + 3y2
y5 – my3 + n = ay5 + 3ay4 + by4 + 3by3 + cy3 + 3cy2 + 5
y5 – my3 + n = y5(a) + y4(3a + b) + y3(3b + c) + y2(3c) + 5
a = 1
3a + b = 0b = –3
3b + c = –mc = –m + 9
3c = 0c = 0
m = 9
n = 5
UNIDADE 21 — POLINÔMIOS
Teoria (página 16)
multiplicado, dividido, permanece o mesmo
Atividades (página 16)
1. Resposta: Q(x) = 6x3 + 11x2 + 25x + 51 R(x) = 100
2 6 – 1 3 1 –2
6 11 25 51 100
Q(x) = 6x3 + 11x2 + 25x + 51R(x) = 100
2. Resposta: Q(x) = 2x4 – 2x3 + 3x2 – 3x R(x) = 1
Q(x) = 2x4 – 2x3 + 3x2 – 3xR(x) = 1
3. Resposta: 33P(2) = 3 . 24 – 2 . 23 + 1 = 48 – 16 + 1 = 33
4. Resposta: e10 = 54 – 4 . 53 – 5k – 7510 = 625 – 500 – 5k – 7510 = 50 – 5k5k = 40k = 8
–1 2 0 1 0 –3 1
2 –2 3 –3 0 1
5
3
1 :
2 :
3 :
–3b + 2c = q–3c = 15c = –5
Substituindo em–5 = –5 – 2b b = 0
Substituindo em0 = p – 2 p = 2
Substituindo em q = –10
13Matemática 1SE3
P(x) x – 1
10 q(x)
P(x) = q(x) (x–1) + 100 = q(3) . (2) + 10q(3) = –5
8. Resposta: cP(1) = –14P(–1) = 0
–14 = 1 + a + 2 – 3 – 5b
a = –14 + 5b
0 = 1 – a + 2 + 3 – 5b
a = 6 – 5b
1 em 2 :
6 – 5b = –14 + 5b10b = 20b = 2
a = –14 + 10 = –4a = –4
9. Resposta: 0P(x) = a0 x
n + a1 xn –1 + a2 xn – 2 + ... + an
P(x) = 1 2 nn0 2 n
a a ax a ...
x x x
+ + + +
P(1) = 1(a0 + a1 + a2 + ... + an)
P(1) = 1 . 0 = 0
10. Resposta: aP(3) = 0P(1) = 10
2
1
11. a) Resposta: Q(x) = 4 3 2x x 2x x 1– – –3 3 3 3 3
+ R(x) = –2
Q(x) = 4 3 2x x 2x x 1– – –3 3 3 3 3
+
R(x) = –2
1 1 0 –3 1 0 –1
1 1 –2 –1 –1 –2
b) Q(x) = 2 3x 73x2 4
+ + R(x) = 154
Q(x) = 2 3x 73x2 4
+ +
R(x) = 154
c) Resposta: Q(x) = –x5 – 2x4 – 4x3 – 8x2 – 16x – 32R(x) = 63
6 0 2 2
6 3 72
154
12
Q(x) = 3 2 11x 21x 2x2 2
+ + +
R(x) = 44
b) Resposta: Q(x) = 16x4 – 8x3 + 4x2 – x R(x) = –1
12. a) Resposta: Q(x) = 3 2 11x 21x 2x2 2
+ + + R(x) = 44
32 0 0 2 –1 –1
32 –16 8 –2 0 –1
12
−
Q(x) = 16x4 – 8x3 + 4x2 – xR(x) = –1
c) Resposta: Q(x) = 2 12x2
− − R(x) = 92
−
Q(x) = 2 12x2
− −
R(x) = 92
−
13. Resposta: Q(x) = 2 13x 4x2
+ − , R(x) = 5
4 –2 1 –5
4 0 1 9–2
12
P(x) x – 36x2 + 8x – 15
Q(x) = 2
26x 8x 1 13x 4x2 2
+ − = + −
14. Resposta: 33
P(x) 2(x – 3)
5 34 a –8
5 35 7 + a 33 a5
− +
15
33 a 05
− + =
a = 33
15. Resposta: b
6 5 2 –m
6 –4 8 –m – 12
32
−
–m – 12 = 0 ∴ m = –12
7. Resposta: bR = P(1)R = 1 + 5 + 9 + 13 +...+ 797
a1 = 1an = 797r = 4
797 = 1 + (n – 1) . 4797 = 1 + 4n – 44n = 800n = 200
S200 = 1 7972
+ . 200 = 79 800
2 1 0 0 0 0 0 –1
1 2 4 8 16 32 63
Q(x) = –x5 – 2x4 – 4x3 – 8x2 – 16x – 32R(x) = 63
2 2 0 3 –1 2
2 4 11 21 44