Capítulo 3Funções Reais de Variável Real:Limites, Continuidade e Cálculo

Diferencial

José António Caldeira DuarteDepartamento de Matemática

Escola Superior de Tecnologia de Setúbal

Setembro de 2007

Conteúdo

1 Limite 21.1 Definição de limite segundo Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Definição de limite segundo Heine . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Extensão da definição de limite aos casos de a = ±∞ e l = ±∞ 101.5 Álgebra dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Continuidade 152.1 Definição de continuidade segundo Cauchy . . . . . . . . . . . 152.2 Prolongamentos por continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Propriedades das funções contínuas . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Cálculo diferencial 273.1 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Interpretação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.2 Aplicações à física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.3 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.4 Diferenciabilidade e continuidade . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Teoremas fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5 Derivadas de ordem superior à primeira . . . . . . . . . . . . . 483.6 Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7 Monotonia, extremos de funções, concavidades e pontos de

inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7.1 Monotonia e extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7.2 Concavidades e pontos de inflexão . . . . . . . . . . . . 55

3.8 Assimptotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.9 Estudo de uma função e esboço do gráfico . . . . . . . . . . . 59

1

1 Limite

Podemos afirmar que o conceito fundamental no qual toda a análise matemáticase estrutura é o conceito de limite!Dada uma função f : D ⊂ IR → IR, e sendo a um ponto de acumulação

de D, diz-se que a função f tende para um limite l ∈ IR, quando x tendepara a, e escreve-se simbolicamente

limx→a

f(x) = l,

se f(x) estiver “tão perto quanto se queira de l”, para todos os pontos x ondea função esteja definida, e “suficientemente próximos” de a.

1.1 Definição de limite segundo Cauchy

A primeira definição formal de limite que iremos apresentar deve-se a Cauchy.Diz-se que a função f tende para um limite l ∈ IR, quando x tende para

a (ponto de acumulação de D), se e só se, qualquer que seja o número realpositivo δ existir um número real ε, também positivo, tal que, sempre quex seja um ponto pertencente a D\{a} e verificar a condição |x− a| < ε, setenha |f(x)− l| < δ.Simbolicamente a proposição

“limx→a

f(x) = l”,

pode ser escrita

∀δ > 0∃ε > 0,∀x (x ∈ D\{a} ∧ |x− a| < ε =⇒ |f(x)− l| < δ) .

Analisemos agora com algum detalhe esta definição.Qualquer que seja o valor δ fixado, ele vai definir uma vizinhança de l,

Vδ (l) .

( )δεεδ ∀ lxf )(a-xD\{a}xx00 ( )δεεδ ∀ lxf )(a-xD\{a}xx00 ( )δεεδ ∀ lxf )(a-xD\{a}xx00

.

E para esse δ, terá que existir sempre uma vizinhança de a Vε (a) ,

( )δεεδ ∀ lxf )(a-xD\{a}xx00 ( )δεεδ ∀ lxf )(a-xD\{a}xx00 ( )δεεδ ∀ lxf )(a-xD\{a}xx00

2

tal que, sempre que x pertença ao domínio de f e a essa vizinhança ε de a

{ }( )δεεδ ∀ lxf )(a-xa\Dxx 0 0 { }( )δεεδ ∀ lxf )(a-xa\Dxx 0 0

a sua imagem f(x) pertence à vizinhança de l.

( )δεεδ ∀ lxf )(a-xD\{a}xx00 ( )δεεδ ∀ lxf )(a-xD\{a}xx00 ( )δεεδ ∀ lxf )(a-xD\{a}xx00.

O conceito de limite pode facilmente ser interpretado geometricamente.

l

a

l

a

Figura 1: O gráfico de uma função real de variável real numa vizinhança doponto (a, l) .

Considere-se uma vizinhança arbitrária de l, Vδ (l) , (figura 2).

ll-δ

l+δ

a

ll-δ

l+δ

a

Figura 2: Uma vizinhança arbitrária de l, Vδ (l) .

A definição de limite é:

“todos os pontos x ‘suficientemente perto’ de a

terão as suas imagens em Vδ (l) ”.

3

Neste caso, comecemos por ver quais os pontos que têm por imagem l+ δe l − δ,(figura 3).

ll-δ

l+δ

a a2a1

ll-δ

l+δ

a a2a1

Figura 3: Os objectos das imagens l − δ e l − δ.

Façamos agora

ε = min {d(a1, a), d(a2, a)} = d(a1, a)

e construamos a vizinhança ε de a, Vε (a) .Todos os pontos que pertencem a Vε (a) têm imagem em Vδ (l) , (figura

4).

ll-δ

l+δ

a a+εa-ε

ll-δ

l+δ

a a+εa-ε

Figura 4: Todos os pontos que pertencem a Vε (a) têm imagem em Vδ (l) .

O significado intuitivo desta definição é o de que, se considerarmos apenasvalores de x “suficientemente próximos” de a, os valores correspondentes def(x) estarão tão próximos quanto se queira de l.

Exemplo 1 A figura 5 representa o gráfico da função f(x) = 2x; vejamos oque significa lim

x→12x = 2.

4

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5 0.5 1 1.5 2x

Figura 5: O gráfico da função f(x) = 2x.

De acordo com a definição apresentada anteriormente afirmar-se que

limx→12x = 2

é equivalente a

∀δ > 0∃ε > 0, ∀x (x ∈ D\{1} ∧ |x− 1| < ε =⇒ |2x− 2| < δ) .

Façamos, por exemplo,δ = 0.5;

existirá um número ε > 0 de tal forma que a implicação anterior seja ver-dadeira?Comecemos por ver qual o intervalo definido pela condição

|2x− 2| < 0.5.

Trata-se do intervalo]1.5, 2.5[.

Vejamos agora quais os pontos do domínio da função cujas imagens sãoos extremos desse intervalo.

{2.5 = 2x⇒ x = 1.251.5 = 2x⇒ x = 0.75 .

Fazendo ε = 0.25 torna-se evidente (ver figura 6) que para todos os valoresde x que satisfaçam a condição

|x− 1| < 0.25

se tem|2x− 2| < 0.5.

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5 0.5 1 1.5 2x

1.250.75

2+�=

2-�=

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5 0.5 1 1.5 2x

1.250.75

2+�=

2-�=

Figura 6: As vizinhanças V0.25(1) e V0.5(2).

Para demonstrar quelimx→12x = 2,

isto é,

∀δ > 0∃ε > 0, ∀x (x ∈ D\{1} ∧ |x− 1| < ε =⇒ |2x− 2| < δ) ,

comecemos por majorar |2x− 2| por uma função de |x− 1| .Neste caso,

|2x− 2| = 2 |x− 1| .Ora, se

|x− 1| < ε = δ2,

concluímos que

|2x− 2| = 2 |x− 1| < 2ε = 2δ2= δ.

Temos então demonstrado que para qualquer δ fixado, é sempre possí-vel definir um número real positivo ε, igual a δ/2, tal que, sempre que umnúmero x pertença ao domínio da função e à vizinhança ε de 1, a sua imagempertencerá à vizinhança δ de 2.

1.2 Definição de limite segundo Heine

Iremos agora apresentar uma outra definição de limite, a definição de limi-te segundo Heine, que se demonstra ser equivalente à definição de limitesegundo Cauchy.Dada uma função f : D ⊂ IR → IR, e sendo a um ponto de acumulação

de D, diz-se que a função f tende para um limite l, quando x tende para a,

6

se e só se para qualquer sucessão real de termos de D convergente para a(por valores distintos de a, isto é, a partir de certa ordem, xn �= a),

xn → a,

se tenhaf(xn)→ l.

Esta definição é especialmente útil para provar a não existência de limite;de facto, se conseguirmos definir duas sucessões convergentes para o mesmovalor a de tal forma que as sucessões transformadas convergem para valoresdistintos, fica provado que a função não tem limite.

Exemplo 2 Considere-se a função f : IR\{0} → IR definida por

f(x) = sin1

x.

As sucessõesxn =

1

nπe

yn =1

π2+ 2nπ

convergem ambas para zero.No entanto, as sucessões transformadas

f(xn) = sin11nπ

= sinnπ = 0→ 0

ef(yn) = sin

11

π2+2nπ

= sin(π2+ 2nπ

)= 1→ 1

covergem para valores distintos, pelo que não existe limite da função fquando x tende para zero.A figura 7 ilustra este exemplo.

7

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.2 -0.1 0.1 0.2x

Figura 7: O gráfico da função f(x) = sin 1x.

1.3 Limites laterais

Vamos agora considerar o caso do limite de uma função no ponto a relativoa um conjunto que resulte da intersecção do domínio da função com um dosintervalos ]a,+∞[ e ]−∞, a[1.Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D∩]a,+∞[

(quando existe) chama-se limite de f no ponto a à direita ou limite def(x) quando x tende para a por valores superiores e simbolicamenteescreve-se

limx→a+

f(x).

A proposiçãolimx→a+

f(x) = l

poderá portanto ser representada simbolicamente por

∀δ > 0∃ε > 0, ∀x ((x ∈ D ∧ a < x < a+ ε) =⇒ |f(x)− l| < δ) .

De forma idêntica, ao limite de f(x) quando x tende para a relativo aoconjunto D∩] −∞, a[ (quando existe) chama-se limite de f no ponto aà esquerda ou limite de f(x) quando x tende para a por valoresinferiores e simbolicamente escreve-se

limx→a−

f(x).

1É claro que só poderemos falar deste limite se o ponto a for ponto de acumulação daintersecção considerada.

8

Tendo em atenção a definição de limite segundo Heine, torna-se claro quesó existirá lim

x→af(x) se os limites laterais à esquerda e à direita existirem e

forem iguais.

Exemplo 3 Considere-se a função definida do seguinte modo:

f(x) =

{x2 + 1, se x ≥ 0−x2, se x < 0

Neste caso, e como a figura 8 ilustra,

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 1 2 3x

Figura 8: Os limites laterais no ponto zero são diferentes.

limx→0−

f(x) = 0

elimx→0+

f(x) = 1;

podemos pois concluir que não existe limx→0

f(x).

Para provar quelimx→0+

f(x) = 1

teremos que provar que

∀δ > 0∃ε > 0,∀x(x ∈ D ∧ 0 < x < 0 + ε) =⇒∣∣(x2 + 1

)− 1∣∣ < δ.

Ora ∣∣(x2 + 1)− 1∣∣ = x2 = |x| |x| < εε = ε2.

Fazendoε =

√δ

fica demonstrado que, sempre que

0 < x < ε,

9

se tem ∣∣(x2 + 1)− 1∣∣ = x2 = |x| |x| < εε = ε2 = δ.

Analogamente, para provar que

limx→0−

f(x) = 0

teremos que provar que

∀δ > 0∃ε > 0, ∀x(x ∈ D ∧ 0− ε < x < 0) =⇒∣∣−x2 − 0

∣∣ < δ.

Ora ∣∣−x2 − 0∣∣ = x2 = |x| |x| < εε = ε2.

Fazendoε =

√δ

fica demonstrado que, sempre que

−ε < x < 0,

se tem ∣∣−x2 − 0∣∣ = x2 = |x| |x| < εε = ε2 = δ.

1.4 Extensão da definição de limite aos casos de a =±∞ e l = ±∞

As definições de limite até agora apresentadas restringiram-se ao caso de ae l serem ambos reais. Vamos então extender essas definições aos casos dea = ±∞ ou l = ±∞.A primeira situação que iremos tratar é a de a = +∞ e l ser um número

real.A proposição

limx→+∞

f(x) = l e l ∈ IR

é equivalente a

∀δ > 0∃M > 0, ∀x (x ∈ D ∧ x > M =⇒ |f(x)− l| < δ) .

Podemos interpretar geometricamente esta definição do seguinte modo:qualquer que seja a vizinhança δ de l considerada, é sempre possível determi-nar um número real M tal que, para todos os números reais maiores que M

10

e pertencentes ao domínio da função, as suas imagens estarão na vizinhançaδ de l.A função f (x) = 3x

2

x2+1, cujo gráfico está representado na figura 9 tende

para 3 quando x tende para infinito.

0

1

2

3

4

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8x

Figura 9: O gráfico da função f (x) = 3x2

x2+1.

No caso de a = +∞ e l = +∞,

limx→+∞

f(x) = +∞⇐⇒ ∀L > 0∃M > 0,∀x (x ∈ D ∧ x > M =⇒ f(x) > L) .

A figura 10 ilustra esta situação. A função f(x) = ex−1 tende para maisinfinito quando x tende para mais infinito.

-1

0

1

2

L

4

5

-1 -0.5 0.5 1 M 2x

-1

0

1

2

L

4

5

-1 -0.5 0.5 1 M 2x

Figura 10: O gráfico da função f(x) = ex − 1.

Se a for um número real e l = +∞, a proposição

limx→a

f(x) = +∞ e a ∈ IR

é equivalente a

∀L > 0∃ε > 0, ∀x (x ∈ D\{a} ∧ |x− a| < ε =⇒ f(x) > L) .

Na figura 11 está representado o gráfico da função f(x) =∣∣ 1x−1

∣∣ e é claroque, qualquer que seja o número real L fixado, é possível determinar uma

11

vizinhança ε de 1, de tal modo que, para todos os pontos dessa vizinhança,as suas imagens são maiores que L.

0

5

10

15

20

0.5 1 1.5 2

L

1+ε1-ε0

5

10

15

20

0.5 1 1.5 2

L

1+ε1-ε

Figura 11: O gráfico da função f(x) =∣∣ 1x−1

∣∣ .

1.5 Álgebra dos limites

Proposição 1 (Unicidade do limite) O limite de uma função quando e-xiste é único.

Dem. Para demonstrar este resultado admitamos que existem dois númerosreais, b e b′, tais que

limx→a

f(x) = b

elimx→a

f(x) = b′.

De acordo com a definição de limite segundo Heine teremos

∀xn, xn → a⇒ f(xn)→ b

e∀xn, xn → a⇒ f(xn)→ b′.

Então.f(xn)− f(xn) = 0

ef(xn)− f(xn)→ b− b′

concluindo-se queb− b′ = 0⇔ b = b′.

12

Proposição 2 Sejam f, g e h funções reais de variável real definidas nummesmo intervalo I e tais que

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),∀x ∈ I.

Sendo a um ponto interior de I, se

limx→a

f(x) = limx→a

h(x) = b,

entãolimx→a

g(x) = b.

Dem. Como exercício.

Exemplo 4 Esta proposição pode ser utilizada para demonstrar um resul-tado muito conhecido,

limx→0

sin x

x= 1.

Tendo em consideração a figura 12

Figura 12: O círculo trigonométrico.

e comparando as áreas dos triângulos OAB, OAC e do sector circularOAB, podemos concluir que, se 0 < x < π

2,

1

2sinx <

1

2x <

1

2tanx.

Então, se 0 < |x| < π2,

1 <x

sinx<

1

cosx,

13

tendo-se1 >

sin x

x> cosx.

Como cosx tende para 1 quando x tende para zero conclui-se que

limx→0

sin x

x= 1.

Proposição 3 Se f e g têm limite no ponto a, também as funções f + g,f − g, f × g, e no caso de lim

x→ag(x) �= 0, f/g, têm limite no mesmo ponto e

limx→a

[f(x) + g(x)] = limx→a

f(x) + limx→a

g(x),

limx→a

[f(x)− g(x)] = limx→a

f(x)− limx→a

g(x),

limx→a

[f(x)× g(x)] = limx→a

f(x)× limx→a

g(x)

e

limx→a

[f(x)

g(x)

]=limx→a

f(x)

limx→a

g(x).

14

2 Continuidade

Intuitivamente, continuidade significa que uma pequena alteração na variávelindependente x, implica apenas uma pequena alteração na variável depen-dente y = f(x) e exclui um salto no valor de y; o gráfico da função é, nestecaso, composto por uma única linha.

Exemplo 5 A temperatura ambiente num determinado local como funçãodo tempo é uma função contínua.

Exemplo 6 A função definida por

f(x) =

1, se x > 00, se x = 0−1, se x < 0

apresenta um salto de descontinuidade em x = 0.Uma variação de apenas 0, 001 no valor da variável independente x pode

implicar uma variação de 2 unidades na variável dependente y :

f(−0, 0005) = −1 e f(0, 0005) = 1.

2.1 Definição de continuidade segundo Cauchy

Seja f uma função real definida num subconjunto D contido em IR e seja aum ponto pertencente a D.Diz-se que a função f é contínua em a se e só se, qualquer que seja o

número positivo δ existir um número ε, também positivo, tal que, sempreque x seja um ponto pertencente a D e verificar a condição |x− a| < ε, setenha |f(x)− f(a)| < δ.Simbolicamente a proposição

“f é contínua no ponto a”

pode ser escrita

∀δ > 0∃ε > 0, ∀x (x ∈ D ∧ |x− a| < ε =⇒ |f(x)− f(a)| < δ) ,

ou mais simplesmentelimx→a

f(x) = f(a).

15

Analisemos agora com algum detalhe esta definição.Qualquer que seja o valor δ fixado, ele vai definir uma vizinhança de f(a),

Vδ (f (a)) .

( )δεεδ ∀ )()(a-xDxx00 afxf( )δεεδ ∀ )()(a-xDxx00 afxf( )δεεδ ∀ )()(a-xDxx00 afxf

E para esse δ, terá que existir sempre uma vizinhança de a, Vε (a) ,

( )δεεδ ∀ )()(a-xDxx00 afxf( )δεεδ ∀ )()(a-xDxx00 afxf

tal que, sempre que x pertença ao domínio de f e a essa vizinhança ε de a

( )δεεδ ∀ )()(a-xDxx00 afxf( )δεεδ ∀ )()(a-xDxx00 afxf( )δεεδ ∀ )()(a-xDxx00 afxf

a sua imagem f(x) pertence à vizinhança de f(a).

( )δεεδ ∀ )()(a-xDxx00 afxf( )δεεδ ∀ )()(a-xDxx00 afxf( )δεεδ ∀ )()(a-xDxx00 afxf

O conceito de continuidade pode também ser facilmente interpretado geo-metricamente tal como aconteceu com o conceito de limite.

f (a)

a

f (a)

a

Considere-se uma vizinhança arbitrária de f(a), Vδ (f (a)) .

16

f (a)

f ( a ) + δδδδ

a

f ( a ) - δδδδ

a1 a2

f (a)

f ( a ) + δδδδ

a

f ( a ) - δδδδ

a1 a2

A condição de continuidade de f em a é:

“todos os pontos x ‘suficientemente perto’ de a

terão as suas imagens em Vδ (f (a)) ”.

Neste caso, comecemos por ver quais os pontos que têm por imagemf(a) + δ = f(a1) e f(a)− δ = f(a2).

f (a)

f ( a ) + δδδδ

a

f ( a ) - δδδδ

a1 a2

f (a)

f ( a ) + δδδδ

a

f ( a ) - δδδδ

a1 a2

Façamos agora

ε = min {d(a1, a), d(a2, a)} = d(a1, a)

e construamos a vizinhança ε de a, Vε (a) .

f (a)

f ( a ) + δδδδ

a

f ( a ) - δδδδ

a1 a2

f (a)

f ( a ) + δδδδ

a

f ( a ) - δδδδ

a1 a2

Todos os pontos que pertencem a Vε (a) têm imagem em Vδ (f (a)) .

Exemplo 7 Considere-se a função f definida por f(x) = 5x+ 1.Esta função é contínua em qualquer ponto x0 pertencente a IR.Os pontos (x, y) que verificam a condição

f(x0)− δ < y < f(x0) + δ

17

formam uma faixa horizontal J de largura 2δ que contém (x0, f(x0)).

-1

0

1

2

6

-1 1 2x

x0

f(x0)

f(x0)+δ

f(x0)-δ

-1

0

1

2

6

-1 1 2x

x0

f(x0)

f(x0)+δ

f(x0)-δ

Figura 13: A faixa J.

A continuidade de f em x0 significa que será possível construir uma outrafaixa vertical I, definida por

x0 − ε < x < x0 + ε

de tal forma que qualquer ponto do gráfico de f que esteja em I tambémestará em J.

-1

0

1

2

6

7

-1 1 2 3x

x0

f(x0)

f(x0)+δ

f(x0)-δ

-1

0

1

2

6

7

-1 1 2 3x

x0

f(x0)

f(x0)+δ

f(x0)-δ

Figura 14: A faixa I.

Na prática, provar que esta função é contínua, por exemplo em x = 5,significa que qualquer que seja o valor de δ que se tome, terá que ser possíveldefinir um outro valor ε > 0 tal que, para qualquer ponto x pertencente aodomínio de f e verificando a condição |x− 5| < ε, se tenha |f(x)− f(5)| < δ.Como calcular esse valor ε?

|f(x)− f(5)| = |5x+ 3− 28| = |5x− 25| = 5 |x− 5| .

Quando |x− 5| < ε, tem-se

|f(x)− f(5)| < 5ε.

18

Tomando para ε um valor inferior a δ5, resulta que

|f(x)− f(5)| < 5δ5,

isto é,|f(x)− f(5)| < δ.

Podemos pois concluir que a função f é contínua em x = 5.

Exemplo 8 Prove que a função f(x) = x2 é contínua no ponto x = 2.O gráfico da função é a parábola da figura 15 .

0

5

10

15

20

25

-4 -2 2 4x

Figura 15: O gráfico da função f(x) = x2.

Exercício 1 Solução 1 O que se pretende provar é que

∀δ > 0∃ε > 0,∀x (x ∈ D ∧ |x− 2| < ε =⇒ |f(x)− 4| < δ) .Tendo em conta que

|f(x)− 4| =∣∣x2 − 4

∣∣ = |x+ 2| |x− 2| == |4 + (x− 2)| |x− 2| ≤≤ (4 + |x− 2|) |x− 2| ≤≤ (4 + ε)ε,

e escolhendo ε = −2 +√δ + 4, a raiz positiva de (4 + ε)ε = δ, podemos

concluir que

|f(x)− 4| <(4− 2 +

√δ + 4

)(−2 +

√δ + 4

)=

= δ + 4− 4 = δ.

19

Vamos agora apresentar alguns exemplos gráficos sobre o conceito decontinuidade de uma função.

Exemplo 9 A função cujo gráfico se apresenta na figura 16 é descontínuano ponto 0 pois

limx→0

f(x) = 0

ef(0) = 12

tendo-se portantolimx→0

f(x) �= f(0).

0

5

10

15

20

25

-4 -2 2 4x

0

5

10

15

20

25

-4 -2 2 4x

Figura 16: Uma função descontínua na origem.

Exemplo 10 A função cujo gráfico se apresenta na figura 17 é descontínuano ponto 2 pois

limx→2−

f(x) = −1 �= limx→2+

f(x) = 2⇒

⇒ limx→2

f(x) não existe.

20

-2

-1

0

1

2

3

-4 -2 2 4x

-2

-1

0

1

2

3

-4 -2 2 4x

Figura 17: Uma função onde não existe limite no ponto 2, logo, descontínuanesse ponto.

2.2 Prolongamentos por continuidade

Comecemos por recordar que sendo f e g duas funções com domínios Df eDg respectivamente, diz-se que f é um prolongamento de g (ou que g é umarestrição de f) se e só se

Dg ⊂ Dfe

∀x ∈ Dg, f(x) = g(x).A figura 18 ilustra a definição apresentada.

a

g ( x )

D g

a

f ( x )

D g

D f

a

g ( x )

D g

a

f ( x )

D g

D f

a

f ( x )

D g

D f

Figura 18: Um prolongamento por continuidade.

Repare-se que o ponto a é um ponto de acumulação de Dg e que a funçãof , um prolongamento da função g não é uma função contínua em a!

21

Sendo a um ponto de acumulação de Dg, diz-se que g é prolongávelpor continuidade ao ponto a se e só se existir um prolongamento f de gcom domínio Dg ∪ {a}, que seja contínuo em a.Para que uma função g seja prolongável por continuidade a um ponto a

será necessário e suficiente que tenha limite finito nesse ponto e um prolonga-mento por continuidade poderá ser a função f definida por

f(x) =

{g(x), se x ∈ Dglimx→a

g(x), se x = a

Exemplo 11 A função

g(x) =sin x

x

tem como domínio o conjunto

Dg = IR\{0}.

Sendo 0 um ponto de acumulação de Dg e como

limx→0

sin x

x= 1

a função

f(x) =

{sinxx

, se x �= 01, se x = 0

é um prolongamento por continuidade da função g ao ponto 0.

Definida continuidade de uma função num ponto importa agora definircontinuidade num intervalo.Uma função diz-se contínua num intervalo aberto ]a, b[ se e só se for

contínua em todos os pontos desse intervalo.A função f é contínua em [a, b] se e só se for contínua em ]a, b[ e for

contínua à direita em a e for contínua à esquerda em b, isto é,

limx→a+

f(x) = f(a)

elimx→b−

f(x) = f(b).

Vamos agora apresentar três teoremas fundamentais relativos às funçõescontínuas.

22

Teorema 4 (de Bolzano) Seja f : [a, b] ⊂ IR → IR uma função contínuaem [a, b] com a < b. Então, para qualquer k estritamente compreendido entref(a) e f(b) existe pelo menos um ponto c ∈]a, b[ tal que f(c) = k.

A ideia fundamental deste teorema pode exprimir-se dizendo que umafunção contínua num intervalo não passa de um valor a outro sem passar portodos os valores intermédios.A figura 19 ilustra o teorema de Bolzano; neste caso, para o valor k fixado

existem três pontos pertencentes ao intervalo ]a, b[ cujas imagens são iguaisa k!

c2

f(c1)= f(c2)= f(c3)= k

c3a

k

c1 b

f(a)

f(b)

c2

f(c1)= f(c2)= f(c3)= k

c3a

k

c1 b

f(a)

f(b)

Figura 19: O teorema de Bolzano.

Repare-se que é indispensável exigir que a função seja contínua no inter-valo [a, b]; na figura 20 onde se apresenta o gráfico de uma função que não écontínua em [a, b] está indicado um ponto estritamente compreendido entref(a) e f(b) mas que não é imagem de algum ponto do intervalo [a, b].Como consequência deste teorema têm-se os seguintes corolários.

Corolário 5 Se f é contínua no intervalo [a, b] e não se anula em algumponto de [a, b], então em todos os pontos x ∈ [a, b], f(x) tem o mesmo sinal.

Corolário 6 Se f é contínua no intervalo [a, b] e f(a) × f(b) < 0 então fanula-se pelo menos uma vez em [a, b].

Exemplo 12 Mostre que a equação

3x5 + 15x+ 8 = 0

tem uma solução real.

23

ca

k

b

f ( a )

f ( b )

ca

k

b

f ( a )

f ( b )

Figura 20: O teorema de Bolzano não é aplicável a esta função no intervalo[a, b].

Se designarmos por f(x) o primeiro membro da equação,

f(x) = 3x5 + 15x+ 8,

facilmente verificamos quef(0) = 8 > 0

ef(−1) = −8 < 0.

Entãof(−1)× f(0) < 0;

aplicando o teorema de Bolzano (a função f é contínua no intervalo [−1, 0]),podemos garantir a existência de um ponto pertencente ao intervalo [−1, 0]onde a função se anula, isto é, a equação dada tem uma solução real.

Teorema 7 (de Weirstrass) Qualquer função contínua num conjunto fechadoe limitado tem máximo e mínimo nesse conjunto.

De notar que não sendo satisfeita alguma das condições do teorema

• a função ser contínua

• o conjunto ser fechado

• o conjunto ser limitado

não se pode garantir a existência de máximo e de mínimoAs figuras seguintes ilustram o que acabou de ser referido.

• Se não se exigisse a continuidade a função poderia não ter máximo.

24

a b

f ( a )

f ( b )

a b

f ( a )

f ( b )

Figura 21: Função descontínua no intervalo [a, b] e sem máximo nesse inter-valo.

• Se não se exigisse que o intervalo fosse fechado a função poderia nãoter máximo.

a b

f ( a )

a b

f ( a )

Figura 22: Função sem máximo no intervalo [a, b[.

• Se não se exigisse que o intervalo fosse limitado a função poderia nãoter máximo.

0

5

10

15

20

25

-4 -2 2 4x

f ( x ) = x2

] -∞ , + ∞[

0

5

10

15

20

25

-4 -2 2 4x

f ( x ) = x2

] -∞ , + ∞[

Figura 23: Função sem máximo no intervalo ]−∞,+∞[ .

25

Observação 1 No entanto estas condições são apenas condições suficientes;não são necessárias. Isto significa que existem funções que, embora nãoverificando algumas das condições do teorema, atingem máximo e mínimonum determinado intervalo.

Teorema 8 (continuidade da função inversa) Seja f : I ⊂ IR → IRuma função contínua e estritamente monótona em I. Então

1. f é invertível em I,

2. f−1 é estritamente monótona,

3. f−1 é contínua.

2.3 Propriedades das funções contínuas

Proposição 9 Sendo f e g funções contínuas em a, também as funções f+g,f − g, f × g, e no caso de g(a) �= 0, f/g, são contínuas em a.

Proposição 10 Se f é uma função contínua em a e g é contínua em f(a)então g ◦ f é contínua em a.

26

3 Cálculo diferencial

3.1 Derivada

Definição 1 Seja f : I = [a, b] ⊂ IR→ IR uma função real de variável reale c ∈]a, b[. A derivada da função f no ponto c, que se representa por f ′(c)é definida por

f ′(c) = limx→c

f(x)− f(c)x− c

caso este limite exista. Deste modo f diz-se derivável em c; ao processo depassagem ao limite que conduz à obtenção de f ′(c) denomina-se derivação.

Repare-se que nesta definição a derivada pode ser finita ou infinita.

Definição 2 Se uma função f admite derivada finita num ponto c ∈ Df ,diz-se diferenciável em c.

Observação 2 A função f diz-se diferenciável num intervalo aberto]a, b[ se for diferenciável em cada ponto deste intervalo.

Para além da notação f ′ para a derivada de uma função f existem outrasnotações para a derivada de y = f(x):

dy

dx; y ′;

d

dx[f(x)] ; Dx [f(x)]

A notação f ′, introduzida por Lagrange (1736-1813) no final do séculoXVIII, põe em evidência que f ′ é uma nova função obtida a partir de f porderivação, indicando-se o seu valor num ponto genérico x por f ′(x).A definição de derivada de uma função num ponto c também pode ser

apresentada da seguinte forma

f ′(c) = lim∆x→0

f(c+∆x)− f(c)∆x

; .

basta que na definição anterior se efectue a mudança de variável

∆x = x− c.

Seguidamente iremos apresentar algumas interpretações do conceito dederivada.

27

3.1.1 Interpretação geométrica

A equação da recta tangente a um gráfico de uma função num ponto obtém-seatravés do cálculo do seu declive, por um processo de aproximações sucessivasde rectas secantes que passem por esse ponto. Se na figura 24, (c, f(c)) é oponto de tangência e (c + ∆x, f(c + ∆x)) é outro ponto do gráfico de f , odeclive da recta secante que passa por esses dois pontos é

msec =f(c+∆x)− f(c)

c+∆x− c =f(c+∆x)− f(c)

∆x

A fracção anterior designa-se por razão incremental. O denominador∆x diz-se o incremento de x, a variável independente, e o numeradorf(c+∆x)− f(c) = ∆y = ∆f o incremento de y, a variável dependente..

∆ x

(c, f (c ) )

(c+ ∆ x, f(c+ ∆ x))

f(c+ ∆ x) - f (c )

x

f(x)

Figura 24: A recta que passa pelos pontos (c, f(c)) e (c +∆x, f(c+∆x)).

Quando ∆x→ 0 a recta secante aproxima-se da tangente, como podemosver na figura 25:

∆x

∆y

∆x

∆y

Recta tangente

Figura 25: A recta tangente.

28

Definição 3 Se f está definida num intervalo que contém c e existe o limite

lim∆x→0

∆y

∆x= lim

∆x→0

f(c+∆x)− f(c)∆x

= m = f ′(c)

então a recta que passa por (c, f(c)) com declive m diz-se a recta tangenteao gráfico de f no ponto (c, f(c)).

A equação da recta tangente ao gráfico de uma função num ponto (c, f(c))é portanto

y − f(c) = f ′(c)(x− c),e a equação da recta normal2 é

y − f(c) = − 1f ′(c)

(x− c), se f ′(c) �= 0,

oux = c, se f ′(c) = 0.

Exemplo 13 Determine o declive das rectas tangentes ao gráfico de f(x) =x2 + 1 nos pontos (0, 1) e (−1, 2).Vamos considerar um ponto genérico (x, f(x)) do gráfico de f .O declive da recta tangente neste ponto vem dado por

lim∆x→0

f(x+∆x)− f(x)∆x

= lim∆x→0

x2 + 2x(∆x) + (∆x)2 + 1− x2 − 1∆x

= lim∆x→0

2x(∆x) + (∆x)2

∆x= lim

∆x→0(2x+∆x) = 2x

Portanto, o declive da recta tangente ao gráfico de f , em qualquer ponto(x, f(x)), é dado porm = 2x (Note-se que x se mantém constante, no cálculodo limite). Assim, no ponto (0, 1) o declive ém = 2(0) = 0 e no ponto (−1, 2)é m = 2(−1) = −2.

3.1.2 Aplicações à física

Velocidade Considere-se um ponto P, móvel sobre um eixo, sendo a suaposição em cada instante t determinada pela sua abcissa x = s(t). A funçãos(t) representa pois, o espaço percorrido pelo ponto até ao instante t.

2No plano, duas rectas são perpendiculares se o declive de uma é igual ao simétrico doinverso do declive da outra, isto é, m1 = − 1m2 .

29

Sendo t0 e t dois instantes distintos (com t0 < t), uma medida da “rapi-dez” do movimento de P no intervalo de tempo [t0, t] será dada pelo quociente

s(t)− s(t0)t− t0

=espaço percorridotempo gasto

,

que é designada por velocidade média.A velocidade instantânea de P no instante t0 será

v(t0) = limt→t0

s(t)− s(t0)t− t0

= s′(t0).

A velocidade instantânea de P no instante t0 é portanto a derivada dafunção s(t) calculada em t0.

Aceleração De modo análogo se pode definir aceleração média no intervalode tempo [t0, t]

v(t)− v(t0)t− t0

.

A aceleração instantânea de P no instante t0 será

a(t0) = limt→t0

v(t)− v(t0)t− t0

= v′(t0).

A aceleração instantânea de P no instante t0 é a derivada da funçãovelocidade, v(t) calculada em t0.

Observação 3 Em geral, a razão incremental

f(x)− f(a)x− a

pode ser interpretada como a taxa de variação média da função f no intervalo[a, x] .Quando x tende para a, o limite da razão incremental representa a taxade variação instantânea da função no ponto a.

Exemplo 14 f(x) = x3.A derivada da função f no ponto 0 é

f ′(0) = limx→0

f(x)− f(0)x− 0 = limx→0

x3

x= 0.

Geometricamente, f ′(0) representa o declive da recta tangente o gráficode f no ponto (0, f(0)) como a figura 26 ilustra.

30

-100

-50

0

50

100

-4 -2 2 4x

A recta tangente ao

gráfico da função

y=x3 no ponto (0,0).-100

-50

0

50

100

-4 -2 2 4x

A recta tangente ao

gráfico da função

y=x3 no ponto (0,0).

Figura 26: O gráfico da função y = x3 e a recta tangente no ponto (0, 0).

Exemplo 15 g(x) = 3√x.

A derivada da função g no ponto 0 é

g′(0) = limx→0

g(x)− g(0)x− 0 = limx→0

3√x

x= +∞.

Neste caso, g′(0) = +∞ significa que a recta tangente ao gráfico de g noponto (0, g(0)) é uma recta vertical.

3.1.3 Derivadas laterais

Tendo em atenção que a derivada de uma função é definida à custa de umlimite e que esse limite existe se e só se existirem e forem iguais os limiteslaterais, tem-se que

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)x− a =

= limx→a+

f(x)− f(a)x− a =

= limx→a−

f(x)− f(a)x− a .

Os limites à esquerda e à direita da razão incremental são o que se definecomo derivadas laterais da função f, e representam-se por

f ′e(a) = limx→a−

f(x)− f(a)x− a

e

f ′d(a) = limx→a+

f(x)− f(a)x− a .

31

Em termos geométricos as derivadas laterais correspondem aos declivesdas semitangentes à direita e à esquerda ao gráfico da função f no ponto deabcissa x = a.

Exemplo 16 A função f(x) = 3√x2 não tem derivada na origem pois

f ′d(0) = limx→0+

3√x2

x= +∞

e

f ′e(0) = limx→0−

3√x2

x= −∞.

A figura 27 mostra que as semitangentes ao gráfico da função f(x) = 3√x2

no ponto zero, à esquerda e à direita, são a parte positiva do eixo dos yy.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-4 -2 2 4 x0

0.5

1

1.5

2

2.5

-4 -2 2 4 x

Figura 27: As semitangentes ao gráfico da função f(x) = 3√x2 no ponto zero,

à esquerda e à direita, são a parte positiva do eixo dos yy.

Observação 4 Só existe derivada de uma função num ponto quando as semi-tangentes estão no prolongamento uma da outra.

A definição de função derivável num intervalo I = [a, b] baseia-se noconceito de derivada lateral.

Definição 4 Uma função diz-se derivável em I = [a, b] se e só se for de-rivável em todos os pontos do intervalo ]a, b[ e existirem f ′d(a) e f

′e(b).

32

3.1.4 Diferenciabilidade e continuidade

Existe uma relação estreita entre os conceitos de continuidade e de diferen-ciabilidade de uma função, que vamos agora passar a analisar com o auxíliode alguns exemplos.

Exemplo 17 A função f(x) = |x− 2| é contínua em x = 2, como se podeobservar na figura 28

x3210-1

3

2

1

f(x)=|x-2|

m=1m=-1

f(x)

Figura 28: Uma função contínua mas não diferenciável.

Contudo as duas derivadas laterais nesse ponto fornecem os seguintesresultados

f ′e(2) = limx→2−

f(x)− f(2)x− 2 = limx→2−

|x− 2| − 0x− 2 = limx→2−

2− xx− 2 = −1

e

f ′d(2) = limx→2+

f(x)− f(2)x− 2 = limx→2+

|x− 2| − 0x− 2 = limx→2+

x− 2x− 2 = 1

Não sendo os dois limites laterais iguais, podemos concluir que f não éderivável em x = 2, e o gráfico de f não tem recta tangente no ponto (2, 0).

Exemplo 18 A função f(x) = 3√x é contínua em x = 0, mas como o limite

é infinito

limx→0

f(x)− f(0)x− 0 = limx→0

3√x− 0x

= limx→0

13√x2= +∞

f não é diferenciável em x = 0.

33

Embora sendo contínua num ponto, a função do exemplo (17) não admitederivada nesse ponto. Por outro lado a continuidade em x = 0 da funçãodo exemplo (18) não impede a existência de derivada nesse ponto, que sendoinfinita exclui contudo, a possibilidade de a função ser diferenciável em x = 0.A concluir vejamos um caso em que, embora sendo descontínua num ponto,uma função pode ser derivável nesse ponto:

Exemplo 19 Seja f uma função definida por

f(x) =

−1 , x < 00 , x = 01 , x > 0

.

f(x) é descontínua em x = 0, pois

limx→0+

f(x) = 1 �= limx→0−

f(x) = −1 �= f(0) = 0

No entanto

f ′d(0) = limx→0+

f(x)− f(0)x

=1

0+= +∞

f ′e(0) = limx→0−

f(x)− f(0)x

=−10−= +∞

logo existe derivada em x = 0, pois

f ′d(0) = f′e(0) = +∞.

A função é derivável mas não é diferenciável em x = 0.

Como acabámos de ver a continuidade de uma função num ponto nãoimplica a sua diferenciabilidade nesse ponto; no entanto o recíproco é ver-dadeiro.

Teorema 11 Se f é diferenciável em x = c, então f é contínua em x = c.

Dem. Para mostrar que f é contínua em x = c, vamos verificar que f(x)tende para f(c) quando x → c. Sabendo que f é diferenciável em x = ctemos:

limx→c[f(x)− f(c)] = lim

x→c

[(x− c) f(x)− f(c)

x− c

]

=[limx→c(x− c)

] [limx→c

f(x)− f(c)x− c

]

= (0) [f ′(c)] = 0

Como a diferença [f(x)− f(c)] tende para zero, quando x → c, concluímosque lim

x→cf(x) = f(c), logo f é contínua em x = c.

34

Observação 5 Sabendo que uma implicação e a sua contra recíproca têm omesmo valor lógico podemos garantir que se uma função não é contínua numponto então também não é diferenciável nesse ponto.

3.2 Regras de derivação

Vamos iniciar esta subsecção relembrando algumas das regras de derivaçãomais usuais.Considerando: u = f (x) , v = g (x) , funções diferenciáveis e k e a cons-

tantes reais, tem-se

k′ = 0x′ = 1(xα)′ = αxα−1, α ∈ IR(sin x)′ = cosx(cosx)′ = − sin x(ex)′ = ex

(ax)′ = ax ln a(ln x)′ = 1

x

(loga x)′ = 1

xloga e

(tanx)′ = sec2 x(cotx)′ = −cosec2x(secx)′ = secx tanx(cosec x)′ = −cosec x cotx

Teorema 12 Se f e g são funções diferenciáveis no ponto a então as funçõesf + g, f − g e fg também são diferenciáveis em a e

(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a),

(f − g)′(a) = f ′(a)− g′(a)e

(fg)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a).

Se g(a) �= 0 tem-se que f/g é diferenciável em a e

(f/g)′(a) =f ′(a)g(a)− f(a)g′(a)

g2(a).

Dem. Iremos apenas demonstrar o primeiro resultado apresentado já que

35

os outros são idênticos.

(f + g)′(a) = limx→a

(f + g)(x)− (f + g)(a)x− a

= limx→a

f(x) + g(x)− f(a)− g(a)x− a

= limx→a

f(x)− f(a) + g(x)− g(a)x− a

= limx→a

[f(x)− f(a)

x− a +g(x)− g(a)

x− a

]

= limx→a

f(x)− f(a)x− a + limx→a

g(x)− g(a)x− a

= f ′(a) + g′(a).

O teorema da derivação da função composta justifica a tabela de derivadasque apresentamos a seguir.

Teorema 13 (Derivada da F. Composta) Seja g : D ⊂ IR → IR umafunção diferenciável em a e f : E ⊂ IR → IR diferenciável em g(a). Entãof ◦ g é diferenciável em a e

(fog)′ (a) = f ′ (g (a)) g′ (a) .

Dem. Designando f (g (x)) por F (x) queremos provar que F ′ (a) =f ′ (g (a)) g′ (a).

Então, recorrendo à definição de derivada,

F ′ (a) = limx→a

f (g (x))− f (g (a))x− a =

= limx→a

[f (g (x))− f (g (a))

g (x)− g (a) ×g (x)− g (a)

x− a

], com g (x) �= g (a)(1)

=

[limx→a

f (g (x))− f (g (a))g (x)− g (a)

] [limx→a

g (x)− g (a)x− a

]= (2)

= f ′ (g (a)) g′ (a)

Se g(x) − g(a) = 0 para uma infinidade de valores de x, quando x → a,é necessária uma pequena alteração à demonstração,pois a passagem de (1)para (2) não é válida. (Os alunos podem consultar [1] para a demonstraçãocompleta deste teorema.)

36

Exemplo 20 Vamos determinar a derivada da função (f ◦ g) (x) =√3x2 − x+ 1.

Considerandou = g(x) = 3x2 − x+ 1

ef(u) =

√u,

podemos escrever

(f ◦ g) (x) =√3x2 − x+ 1︸ ︷︷ ︸

u

=√u = u

12 .

Logo,

df

dx=

df

du

du

dx=1

2

(3x2 − x+ 1

)− 12

︸ ︷︷ ︸df

du

(6x− 1)︸ ︷︷ ︸dudx

=1

2

(6x− 1)√3x2 − x+ 1

.

(ku)′ = ku′

(uα)′ = αuα−1u′, α ∈ IR(√u)′= u

′

2√u

( n√u)′= u

′

nn√un−1

(eu)′ = euu′

(au)′ = auu′ ln a(uv)′ = uvv′ lnu+ vuv−1u′

(lnu)′ = u′

u

(loga u)′ = u

′

u log a

(sinu)′ = u′ cosu(cosu)′ = −u′ sin u(tanu)′ = u′ sec2 u(cot u)′ = −u′cosec u′ cot u

O teorema da derivação da função inversa que iremos apresentar a seguirpermite-nos deduzir as expressões das funções derivadas das funções trigono-métricas inversas.

Teorema 14 (Derivação da função inversa) Seja f : I ⊂ IR → IR umafunção estritamente monótona e contínua em I. Se f é diferenciável ema ∈ I e f ′(a) �= 0, então f−1 é diferenciável em f(a) e

(f−1

)′(f(a)) =

1

f ′(a).

37

Em linguagem corrente e de uma forma simplificada podemos afirmarque a derivada da função inversa é igual ao inverso aritmético da derivadada função!

Exemplo 21 Seja f a função definida por

f(x) = arcsinx, x ∈]− 1, 1[.

A função inversa de f, f−1, é a função

x = sin y, y ∈]−π2,π

2

[.

Como(sin y)′ = cos y, ∀y ∈

]−π2,π

2

[

podemos concluir que

(arcsinx)′ =1

(sin y)′=

1

cos y=

=1

√1− sin2 y

=1

√1− sin2 (arcsinx)

=

=1√1− x2

.

Podemos deduzir de uma forma idêntica as expressões que seapresentam na tabela seguinte.

(arccosx)′ = − 1√1−x2

(arcsinu)′ = u′

√1−u2

(arccosu)′ = − u√1−u2

(arctanx)′ = 11+x2

(arctanu)′ = u′

1+u2

3.3 Diferencial

Seja f : I = [a, b] ⊂ IR → IR uma função diferenciável em qualquer pontox ∈]a, b[ e ∆x ∈ IR tal que x+∆x ∈]a, b[.Chama-se acréscimo ou incremento da função f, correspondente ao

acréscimo ∆x da variável independente, à diferença

∆f = f(x+∆x)− f(x).

38

Como f é diferenciável em x sabemos que existe e é finita a derivadanesse ponto,

f ′(x) = lim∆x→0

f(x+∆x)− f(x)∆x

=

= lim∆x→0

∆f

∆x,

o que nos permite escrever

∆f

∆x= f ′(x) + α com lim

∆x→0α = 0⇒

∆f = f ′(x)∆x+ α∆x com lim∆x→0

α = 0

Vejamos em termos geométricos (figura 29) o que isto significa.

x x+∆x

y=f(x)

∆ ff’(x)∆x

0

∆x

f(x)

f(x+∆x) α∆x

x x+∆x

y=f(x)

∆ ff’(x)∆x

0

∆x

f(x)

f(x+∆x) α∆x

Figura 29: Interpretação geométrica do conceito de diferencial.

Repare-se que α∆x é “desprezável” para valores “pequenos” de ∆x, pois

lim∆x→0

α∆x

∆x= lim

∆x→0α = 0.

Intuitivamente podemos afirmar que para valores “pequenos” de ∆x oproduto

f ′(x)∆x

39

e o acréscimo da função

∆f = f(x+∆x)− f(x)

têm valores muito próximos.Então é razoável escrever

∆f ≈ f ′(x)∆x,

ou seja,f(x+∆x) ≈ f(x) + f ′(x)∆x,

o que significa que o valor da função no ponto x + ∆x é aproximadamenteigual ao valor da ordenada do ponto da recta tangente ao gráfico de f em(x, f(x)) , e que tem abcissa x+∆x.Tem-se então a seguinte definição.

Definição 5 Supondo f diferenciável em x, chama-se diferencial de f emx relativamente ao acréscimo ∆x, ao produto f ′(x)∆x,

dxf(∆x) = f′(x)∆x,

ou, mais simplesmente, e sempre que não der origem a confusões,

df = f ′(x)∆x.

Exemplo 22 Calcular um valor aproximado de sin 46◦.Tendo em atenção que

sin 46◦ = sin (45◦ + 1◦) = sin(π4+

π

180

),

poderemos considerar que se pretende calcular um valor aproximado dafunção

f(x) = sinx

“perto” do ponto π/4. Fazendo

∆x =π

180e

f ′(x) = cosx

podemos escrever

sin(π4+

π

180

)≈ sin

(π4

)+ cos

(π4

)× π180

=

=

√2

2+

√2

2

π

180≈ 0.7194.

40

Exemplo 23 (Estimação do erro) A medida do raio de uma esfera é 0,7centímetros. Se esta medida tiver uma margem de erro de 0,01 centímetros,estime o erro propagado ao volume V da esfera.A fórmula do volume é V = 4

3.π.r3 , sendo r o raio da esfera.

Assim, r = 0, 7 e−0, 01 ≤ ∆r ≤ 0, 01Para aproximar o erro propagado ao volume, derivamos V , obtendo

dV

dr= 4.π.r2

e escrevemos

∆v ≈ dV = 4πr2dr = 4π (0, 7)2 (±0, 01) � ±0, 06158 cm3

Poderá perguntar-se agora se o erro propagado é grande ou pequeno. Aresposta deverá ser dada em termos relativos, isto é, por comparação de dVcom V . Ao quociente

dV

V=4πr2dr43πr3

=3dr

r� 30, 7

(±0, 01) � ±0, 0429

chama-se erro relativo.A percentagem de erro correspondente é

dV

V(100) � 4, 29 %.

3.4 Teoremas fundamentais

O primeiro resultado que iremos apresentar é uma condição necessária parauma função diferenciável num ponto atingir um extremo nesse ponto.

Teorema 15 Seja f : I = [a, b] ⊂ IR → IR uma função diferenciável em]a, b[ e c ∈]a, b[. Se f(c) é extremo relativo de f então

f ′(c) = 0.

Dem. Faremos a demonstração apenas para o caso de f(c) ser máximorelativo.

Neste caso existe uma vizinhança ε de c, Vε(c) =]c− ε, c+ ε[ tal que

f(x) ≤ f(c),∀x ∈ Vε(c).

41

Entãof(x)− f(c)

x− c ≤ 0, se x ∈]c, c+ ε[e

f(x)− f(c)x− c ≥ 0, se x ∈]c− ε, c[.

Passando ao limite ambos os membros das desigualdades anteriores, quandox tende para zero, obtemos

limx→c+

f(x)− f(c)x− c = f

′d(c) ≤ 0, se x ∈]c, c+ ε[

e

limx→c−

f(x)− f(c)x− c = f

′e(c) ≥ 0, se x ∈]c− ε, c[,

o que permite concluir quef ′(c) = 0.

De notar que este teorema só se aplica a pontos interiores do intervalo[a, b]. Por exemplo, a função f(x) = x definida no intervalo [0, 1] tem máximoe mínimo nesse intervalo (teorema de Weierstrass) e no entanto f ′(x) = 1 emqualquer ponto desse intervalo!O recíproco deste teorema não é verdadeiro! A derivada de uma função

pode ser nula num ponto e no entanto a função pode não atingir um extremonesse ponto. É o que acontece com a função f(x) = x3 na origem (ver figura26).

Teorema 16 (de Rolle) Seja f : I = [a, b] ⊂ IR→ IR uma função contínuaem I e diferenciável em ]a, b[. Se f(a) = f(b), então existe um ponto c ∈]a, b[tal que f ′(c) = 0.

A figura 30 ilustra geometricamente o Teorema de Rolle. Nas condiçõesenunciadas, existe um ponto c pertencente ao intervalo [a, b] tal que a rectatangente ao gráfico da função f no ponto (c, f(c)) é uma recta horizontal(isto é, com declive zero, o que é equivalente a ter-se f ′(c) = 0).Dem. Pelo teorema de Weierstrass podemos garantir que a função atinge

um máximo, M, e um mínimo, m, no intervalo [a, b] . Se m = M a função éconstante e portanto,

f ′(x) = 0, ∀x ∈]a, b[.

42

a bc

f(a)=f(b)

a bc

f(a)=f(b)

Figura 30: O teorema de Rolle.

Se M �= m, como f(a) = f(b), pelo menos o máximo ou o mínimo só podeser atingido num ponto c do interior do intervalo [a, b] . Sendo f diferenciávelem ]a, b[ tem-se que nesse ponto c,

f ′(c) = 0.

Corolário 17 Entre dois zeros de uma função diferenciável num intervalohá pelo menos um zero da sua derivada.

As figuras 31 e 32 ilustram este corolário do teorema de Rolle.

c2

f’(c1)= f’(c2)= f’(c3)= 0

c3c1 c2

f’(c1)= f’(c2)= f’(c3)= 0

c3c1

Figura 31: Entre dois zeros consecutivos desta função existem três zeros daderivada.

43

c

f’(c)=0

c

f’(c)=0

Figura 32: Entre dois zeros consecutivos desta função existe um único zeroda derivada.

Corolário 18 Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma função nãopode haver mais do que um zero da função.

Teorema 19 (de Lagrange) Se f : I = [a, b] ⊂ IR → IR é uma funçãocontínua em I e diferenciável em ]a, b[ então existe pelo menos um pontoc ∈]a, b[ tal que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a .

Dem. Em termos geométricos podemos observar que no gráfico de umafunção nas condições do teorema de Lagrange, entre dois pontos (a, f (a)) e(b, f (b)) há sempre um ponto (c, f (c)) onde a tangente é paralela à cordaque une os pontos (a, f (a)) e (b, f (b)) .

A demonstração do resultado pode ser feita recorrendo à função auxiliar

Φ(x) = f(x)− f(b)− f(a)b− a (x− a).

Esta função verifica as condições do teorema de Rolle no intervalo I pois,para além de ser contínua em I e diferenciável em ]a, b[, tem-se

Φ(a) = Φ (b) = f(a).

Podemos então garantir a existência de um ponto c ∈]a, b[ tal que

Φ′ (c) = 0.

44

Como

Φ′ (x) = f ′(x)− f(b)− f(a)b− a ,

Φ′ (c) = f ′(c)− f(b)− f(a)b− a .

Então,

Φ′ (c) = f ′(c)− f(b)− f(a)b− a = 0,

o que permite concluir que existe um ponto c ∈]a, b[ tal que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a .

Vejamos agora uma outra interpretação (mecânica) do teorema de La-grange.Seja s = s(t) a lei do movimento de um ponto móvel, isto é, a função que

dá para cada valor de t o espaço percorrido.A velocidade média entre os instantes t e t0 será (com t > t0)

s(t)− s(t0)t− t0

.

Se o teorema de Lagrange for aplicável existirá um instante t1 ∈]t, t0[no qual a velocidade instantânea é igual à velocidade média no intervaloconsiderado.

s′(t1) =s(t)− s(t0)

t− t0.

Iremos apresentar de seguida algumas consequências do teorema de La-grange.

Corolário 20 Nas condições do teorema de Lagrange, se f ′(x) = 0, ∀x ∈]a, b[ então a função f é uma função constante no intervalo I = [a, b].Dem. Sejam x1 e x2 dois quaisquer pontos distintos pertencentes a I.Aplicando o teorema de Lagrange à função f no intervalo [x1, x2] podemos

garantir a existência de um ponto c ∈]x1, x2[ tal que

f ′(c) =f(x2)− f(x1)

x2 − x1.

Como f ′(c) = 0 concluímos que

f(x2) = f(x1),

o que demonstra que a função é constante no intervalo I.

45

Corolário 21 Nas condições do teorema de Lagrange, se f ′(x) > 0, ∀x ∈]a, b[ então a função f é uma função estritamente crescente no intervaloI = [a, b].Dem. Pretendemos demonstrar que

∀x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

Sejam x1 e x2 dois pontos quaisquer pertencentes a I e tais que x1 < x2.Aplicando o teorema de Lagrange à função f no intervalo [x1, x2] podemos

garantir a existência de um ponto c ∈]x1, x2[ tal que

f ′(c) =f(x2)− f(x1)

x2 − x1.

Como, por hipótese,x2 − x1 > 0

ef ′(c) > 0,

concluímos quef(x2)− f(x1) > 0⇒ f(x2) > f(x1).

Corolário 22 Nas condições do teorema de Lagrange,

f crescente em I = [a, b]⇔ f ′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I,f decrescente em I = [a, b]⇔ f ′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I.

Teorema 23 (de Cauchy) Se f, g : I = [a, b] ⊂ IR → IR são funçõescontínuas em I e diferenciáveis em ]a, b[ e se para todo o x ∈]a, b[, g′(x) �= 0,então existe pelo menos um ponto c ∈]a, b[ tal que

f(b)− f(a)g(b)− g(a) =

f ′(c)

g′(c).

Dem. A demonstração do resultado pode ser feita recorrendo à funçãoauxiliar

H (x) = f(x)− f(a)−[f(b)− f(a)g(b)− g(a)

][g(x)− g(a)] .

Esta função verifica as condições do teorema de Rolle no intervalo I pois,para além de ser contínua em I e diferenciável em ]a, b[, tem-se

H (a) = H (b) = 0.

46

Podemos então garantir a existência de um ponto c ∈]a, b[ tal que

H ′ (c) = 0.

Como

H ′ (x) = f ′(x)− f(b)− f(a)g(b)− g(a) g

′(x),

H ′ (c) = f ′(c)− f(b)− f(a)g(b)− g(a) g

′(c).

Então,

H ′ (c) = f ′(c)− f(b)− f(a)g(b)− g(a) g

′(c) = 0,

o que permite concluir que existe um ponto c ∈]a, b[ tal que

f ′(c)

g′(c)=

f(b)− f(a)g(b)− g(a) .

Uma aplicação importante deste teorema é relativa ao levantamento deindeterminações do tipo 0

0ou ∞∞ como veremos a seguir.

Corolário 24 (Regra de Cauchy) Sejam f e g duas funções diferenciáveisem ]a, b[ (a, b finitos ou não) e verificando as seguintes condições:

1. g′ (x) �= 0,∀x ∈ ]a, b[ .

2. limx→a

f (x) = limx→a

g (x) = 0 ou limx→a

f (x) = limx→a

g (x) = +∞.

Nestas condições, se existir

limx→a

f ′ (x)

g′ (x)

então também existe

limx→a

f (x)

g (x)

e estes dois limites são iguais.

47

Exemplo 24 Calcule o seguinte limite:

limx→+∞

log x

2x+ 1.

Calculando directamente, obtemos uma indeterminação do tipo(∞∞).

Aplicando a regra de Cauchy podemos escrever:

limx→+∞

log x

2x+ 1= lim

x→+∞

1x

2= lim

x→+∞

1

2x= 0

Exemplo 25 Calcule o seguinte limite:

limx→0

x2 − sin2 xx3

.

Tal como no exemplo anterior, vamos obter uma indeterminação. Esta édo tipo

(00

). Aplicando a regra de Cauchy,

limx→0

x2 − sin2 xx3

= limx→0

2x− 2 sin x. cosx3x2

= limx→0

2x− sin (2x)3x2

Como a indeterminação permanece(00

), vamos aplicar novamente a regra

de Cauchy:

limx→0

2x− sin (2x)3x2

= limx→0

2− 2 (cos (2x))6x

=

e ainda outra vez,

= limx→0

4 sin (2x)

6= 0

3.5 Derivadas de ordem superior à primeira

Dada uma função f : D ⊂ IR→ IR se a função derivada, f ′, for por sua vezdiferenciável no ponto a, f diz-se duas vezes diferenciável em a e chama-sesegunda derivada de f no ponto a à derivada

(f ′)′(a) .

A segunda derivada de uma função representa-se por

f ′′(a),d2f

dx2ou D2f(a).

A derivada de ordem n da função f define-se por indução,

f (0)(a) = f(a),

f (n+1)(a) =(f (n)

)′(a).

A função f diz-se n vezes diferenciável no ponto a se e só se existir e forfinita a derivada f (n)(a).

48

Exemplo 26 Algumas das sucessivas derivadas da função f(x) = sin x são

f ′(x) = cosx = sin(x+

π

2

),

f ′′(x) = − sinx = sin(x+ 2

π

2

),

f́́́(x) = − cosx = sin(x+ 3

π

2

),

f (4)(x) = sinx = sin(x+ 4

π

2

).

Facilmente se demontra por indução que

f (n)(x) = sin(x+ n

π

2

).

De facto,f (0)(x) = sin

(x+ 0

π

2

)= sin x.

Admitindo, por hipótese, que

f (n)(x) = sin(x+ n

π

2

),

a derivada de ordem n+ 1

f (n+1)(x) =(sin(x+ n

π

2

))′=

= cos(x+ n

π

2

)′=

= sin(x+ (n+ 1)

π

2

).

3.6 Fórmula de Taylor

Dada uma função y = f(x), pretende-se agora aproximá-la por uma outraque seja “mais manejável” (em termos de derivação, cálculo de valores, etc).Nesta perspectiva, é claro que as funções polinomiais são funções muito sim-ples: as suas derivadas são ainda funções polinomiais e para calcular o valorde um polinómio basta apenas utilizar as operações adição e multiplicação!Suponhamos então que as derivadas da função y = f(x) existem e são

finitas no ponto a pertencente ao domínio até à ordem n+ 1.O que pretendemos fazer é determinar um polinómio

y = Pn(x) = C0 + C1(x− a) + C2(x− a)2 + · · ·+ Cn(x− a)n

49

de grau não superior a n tal que

Pn(a) = f(a)

P ′n(a) = f′(a)

P ′′n (a) = f′′(a)

· · ·P (n)n (a) = f

(n)(a)

É de esperar que este polinómio seja num certo sentido uma boa aproxi-mação da função f numa vizinhança do ponto a.Tem-se então

Pn(a) = C0 = f(a).

Calculando as sucessivas derivadas do polinómio Pn(x) até à ordem n,

P′

n(x) = C1 + 2C2(x− a) + · · ·+ nCn(x− a)n−1,P

′′

n (x) = 2C2 + 3× 2C3(x− a) + · · ·+ n(n− 1)Cn(x− a)n−2,...

P(n)

n (x) = n(n− 1) . . . 3× 2Cn,

concluimos que

P′

n(a) = C1 = f(a),

P′′

n (a) = 2C2 = f′(a)⇒ C2 =

f ′(a)

2,

...

P′

n(a) = n(n− 1) . . . 3× 2Cn = f (n)(a)⇒ Cn =f (n)(a)

n!.

O polinómio que obtemos é portanto

Pn(x) = f(a) + f′(a)(x− a) + f

′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f

(n)(a)

n!(x− a)n.

Este é o chamado polinómio de Taylor de ordem n da função f.No caso de a = 0 o polinómio chama-se polinómio de Mac-Laurin de

ordem n.Designando por Rn(x) a diferença entre a função f(x) e o seu polinómio

de Taylor de ordem nRn(x) = f(x)− Pn(x)

50

vem quef(x) = Pn(x) +Rn(x).

Para todos os valores de x, tais que Rn(x) seja “pequeno”, o polinómioPn(x) será uma “boa aproximação” da função f(x).O grau de precisão dessa aproximação, isto é, o erro cometido quando se

aproxima a função f(x) pelo seu polinómio de Taylor, é precisamente dadopor Rn(x).De entre as várias expressões que se podem deduzir para calcular Rn(x)

apresentamos uma devida a Lagrange,

Rn(x) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− a)n+1, ξ ∈ ]a, x[ ,

com

limx→a

Rn(x)

(x− a)n = 0.

Formalmente têm-se os seguintes resultados.

Teorema 25 Seja f uma função definida num intervalo aberto I, contínuae n vezes diferenciável no ponto a ∈ I; então, para qualquer x pertencenteao intervalo I, é válida a fórmula (de Taylor):

f (x) = f (a) + f ′ (a) (x− a) + f′′ (a)

2!(x− a)2 + f

′′′ (a)

3!(x− a)3 + ...+

+f (n) (a)

n!(x− a)n +Rn (x)

onde Rn (x) é uma função que verifica a condição:

limx→a

Rn (x)

(x− a)n = 0.

Definição 6 Chama-se Resto de Ordem n da fórmula de Taylor à funçãoRn (x) .

Definição 7 Chama-se erro (ε) associado à aproximação de f (x) por Pn (x),ao valor absoluto de Rn (x):

ε = |Rn (x)| = |f (x)− Pn (x)| .

Exemplo 27 No exemplo 26 demonstrou-se que a derivada de ordem n dafunção seno é

f (n)(x) = sin(x+ n

π

2

),

51

pelo que

f (2n+1)(0) = (−1)ne

f (2n)(0) = 0.

O polinómio de Mac-Laurin da fiunção f(x) = sin x é portanto,

Pn (x) = x−x3

3!+

x5

5!− x

7

7!· · ·+ (−1)n x

2n+1

(2n+ 1)!.

Exemplo 28 O polinómio de Mac-Laurin da fiunção f(x) = ex é

Pn (x) = 1 + x+x2

2!+ · · ·+ x

n

n!,

pois as sucessivas derivadas da função exponencial na origem assumem ovalor 1.

f ′(x) = (ex)′ = ex ⇒ f ′(0) = 1,f ′′(x) = (ex)′ = ex ⇒ f ′′(0) = 1,

...

f (n)(x) = (ex)′ = ex ⇒ f (n)(0) = 1.

Exemplo 29 Para calcular um valor aproximado de e0.1 podemos recorrerà teoria que acabou de ser exposta. O polinómio de Mac-Laurin da funçãof (x) = ex é

Pn (x) = 1 + x+x2

2!+ · · ·+ x

n

n!

Repare-se que este polinómio pode ser visto como uma “boa aproximação”da função numa vizinhança do ponto 0, pois os valores que o polinómio eas respectivas derivadas assumem no ponto zero são exactamente iguais aosvalores que a função e as suas derivadas tomam.Se atendermos à figura 33, esta ideia torna-se mais clara.

52

x3210-1-2

5

4

3

2

1

0

-1

!21 2xxy ++=

xy +=1

xey =

Figura 33: Aproximação linear e quadrática da função f(x) = ex.

Fazendo a aproximação pelo polinómio do 1o grau (aproximação linear),

P1 (x) = 1 + x (3)

obtem-se e0.1 ≈ 1.1.Fazendo a aproximação pelo polinómio do segundo grau (aproximação

quadrática),

P2 (x) = 1 + x+x2

2!(4)

obtem-se e0.1 ≈ 1.105.O grau de precisão da aproximação, isto é, o erro cometido é dado a partir

do resto Rn (x), daí a particular importância que este assume.

3.7 Monotonia, extremos de funções, concavidades epontos de inflexão

3.7.1 Monotonia e extremos

Já vimos anteriormente que uma condição necessária (mas não suficiente)para que uma função f, diferenciável no ponto a, atinja um extremo nesseponto, é a sua derivada anular-se em a.Chamam-se pontos de estacionaridade de uma função f, aos pontos

que anulam a sua derivada, isto é, às soluções da equação

f ′(x) = 0.

Para esclarecer se um ponto de estacionaridade é ou não um ponto demáximo ou de mínimo, podemos recorrer ao estudo do sinal da primeiraderivada da função numa vizinhança desse ponto.Assim, se a é tal que f ′(a) = 0,

53

• se f ′(x) > 0, ∀x ∈ ]α, a[, com α < a (o que significa que a função f écrescente no intervalo) e se f ′(x) < 0, ∀x ∈ ]a, β[, com a < β (o quesignifica que a função f é decrescente no intervalo), então f(a) é ummáximo relativo;

• se f ′(x) < 0,∀x ∈ ]α, a[, com α < a (o que significa que a função fé decrescente no intervalo) e se f ′(x) > 0, ∀x ∈ ]a, β[, com a < β (oque significa que a função f é crescente no intervalo), então f(a) é ummínimo relativo.

Repare-se que estas condições para a existência de extremo são válidasmesmo que a função f não admita derivada no ponto x = a.O estudo dos máximos e mínimos de uma função pode ainda fazer-se

recorrendo à segunda derivada de acordo com o teorema seguinte.

Teorema 26 Seja f uma função que admite 2a derivada contínua numavizinhança de um ponto de estacionaridade a. Se f ′′(a) < 0 então f(a) é ummáximo; se f ′′(a) > 0 então f(a) é um mínimo.

Iremos apresentar um esboço da demonstração do primeiro resultado.Como a 2a derivada é contínua numa vizinhança de a e f ′′(a) < 0, temos

a garantia que f ′′(x) < 0 nalguma vizinhança V do ponto a. Tem-se portantoque

(f ′ (x))′< 0, ∀x ∈ V (a).

Isto significa que a função f ′(x) é decrescente em V (a) (a sua derivada énegativa); mas como f ′(a) = 0 ter-se-á para os pontos x ∈ V (a),

se x < a⇒ f ′(x) > 0e

se x > a⇒ f ′(x) < 0,o que implica que f(a) seja um máximo.Este teorema pode ser generalizado da seguinte forma.

Teorema 27 Seja f uma função n vezes diferenciável no ponto a, com n ≥2, e suponha-se que, sendo nulas em a todas as derivadas de f de ordem igualou superior à primeira e inferior a n, se tem f (n) (a) �= 0, isto é,

f ′ (a) = f ′′ (a) = ... = f (n−1) (a) = 0

f (n) (a) �= 01. Se n é ímpar, f(a) não é extremo de f .

2. Se n é par, f(a) é um

{máximo relativo se f (n) (a) < 0, emínimo relativo se f (n) (a) > 0.

54

3.7.2 Concavidades e pontos de inflexão

Definição 8 Diz-se que uma função f , diferenciável no intervalo I = ]a, b[,tem a concavidade voltada para cima em I, se e só se o gráfico de festá acima da recta tangente em todos os pontos de I.

De forma análoga se define concavidade voltada para baixo.

a b c a b ca b ca b c a b c

Figura 34: Concavidade voltada para cima e concavidade voltada para baixo.

Intuitivamente aceita-se que se f ′(x) é uma função crescente em I, a con-cavidade está voltada para cima, e se f ′(x) é uma função decrescente em I,a concavidade está voltada para baixo.Repare-se na figura 34: quando a con-cavidade está voltada para cima f ′(a) < f ′(b) < f ′(c); quando a concavidadeestá voltada para baixo f ′(a) > f ′(b) > f ′(c).Tem-se então a seguinte condição suficiente para determinar os pontos de

inflexão de uma função..

Teorema 28 Seja f uma função n vezes diferenciável no ponto a, com n ≥2, e suponha-se que, sendo nulas em a todas as derivadas de f de ordemsuperior à primeira e inferior a n, se tem f (n) (a) �= 0, isto é,

f ′′ (a) = f ′′′ (a) = ... = f (n−1) (a) = 0

f (n) (a) �= 0

1. Se n é ímpar, a é um ponto de inflexão de f .

2. Se n é par, f tem a

{concavidade voltada para cima, se f (n) (a) > 0, econcavidade voltada para baixo, se f (n) (a) < 0.

Observação 6 Resulta deste teorema, que se f admite 2a derivada no in-tervalo aberto I, então:

55

• se f ′′ (a) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f tem concavidade voltada para cima

• se f ′′ (a) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f tem concavidade voltada para baixo.

Exemplo 30 Considere-se a função f (x) = x4. Tem-se

f ′ (x) = 4x3 ⇒ f ′ (0) = 0f ′′ (x) = 12x2 ⇒ f ′′ (0) = 0f ′′′ (x) = 24x ⇒ f ′′′ (0) = 0f (4) (x) = 24 ⇒ f (4) (0) > 0

Pela aplicação imediata dos teoremas 27 e 28 pode concluir-se que f (0) é ummínimo relativo e que a função tem concavidade voltada para cima.

Definição 9 Um ponto onde ocorra uma mudança de concavidade do gráficode uma função diz-se um ponto de inflexão.

3.8 Assimptotas

Definição 10 Considere-se uma função f : IR� {a} → IR. Uma recta ver-tical x = a é uma assimptota vertical de f se

limx→a+

f (x) =∞ ou limx→a−

f (x) =∞.

Definição 11 Considere-se uma função f : IR → IR. Uma recta horizontaly = b é uma assimptota horizontal de f se

limx→+∞

f (x) = b ou limx→−∞

f (x) = b.

Exemplo 31 Dada a função f (x) = 2x−6x+3

, vamos estudar alguns aspectosdo seu comportamento, com a finalidade de detectar a existência ou não deassimptotas.O domínio da função é o conjunto Df = IR� {−3} .Calculando os limites,

limx→−3−

f (x) = limx→−3−

2x− 6x+ 3

= +∞

e,

limx→−3+

f (x) = limx→−3+

2x− 6x+ 3

= −∞,

conclui-se que a recta x = −3 é uma assimptota vertical de f .

56

Calculando os limites

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

2x− 6x+ 3

= limx→+∞

2− 6x

1 + 3x

= 2

e,

limx→−∞

f (x) = limx→−∞

2x− 6x+ 3

= limx→−∞

2− 6x

1 + 3x

= 2,

conclui-se que a recta y = 2 é assimptota horizontal de f .Graficamente tem-se

x1050-5-10-15

y

15

10

5

0

-5

-10

-15

Figura 35: Assimptotas horizontal e vertical..

Uma recta de equação y = mx + b é também uma assimptota de umafunção f se

limx→±∞

[f (x)− (mx+ b)] = 0.

Analisando o que sucede quando x → +∞ (aplicando-se o mesmo ao com-portamento de f quando x→ −∞) é claro que se

limx→+∞

[f (x)− (mx+ b)] = 0

então

limx→+∞

(f (x)

x−m− b

x

)= 0⇔ lim

x→+∞

f (x)

x−m = 0⇔

(pois limx→+∞

b

x= 0)

limx→+∞

f (x)

x= m

57

Por outro lado, tem-se também que,

limx→+∞

[f (x)− (mx+ b)] = 0⇔limx→+∞

[f (x)−mx− b] = 0⇔limx→+∞

[f (x)−mx] = b.

Daqui advém a seguinte definição,

Definição 12 Considere-se uma função f : IR→ IR. Se os limites

limx→±∞

f (x)

x= m

limx→±∞

[f (x)−mx] = b

existirem e forem finitos, então os seus valores são respectivamente o declivem e a ordenada na origem b da assimptota oblíqua (y = mx+ b) de f .

Observação 7 Repare-se que as assímptotas horizontais podem ser obtidasa partir da definição anterior.

Exemplo 32 Dada a função f (x) = x2−2x+1x+1

, definida no intervalo ]−1,+∞[,vamos averiguar a existência de assimptotas.Vamos primeiro analisar a existência de uma assimptota vertical em x =

−1 (apenas por valores à direita, dada a definição da função):

limx→−1+

f (x) = limx→−1+

x2 − 2x+ 1x+ 1

=1 + 2 + 1

0+= +∞.

Conclui-se que existe uma assimptota vertical de equação x = −1.Quanto às assimptotas não verticais:

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

x2 − 2x+ 1x+ 1

= limx→+∞

1− 2x+ 1

x2

1x+ 1

x2

= +∞,

logo não existem assimptotas horizontais;

58

Calculando os limites

limx→+∞

f (x)

x= lim

x→+∞

x2 − 2x+ 1(x+ 1)x

= limx→+∞

x2 − 2x+ 1x2 + x

=

= limx→+∞

1− 2x+ 1

x2

1 + 1x

= 1 (m = 1)

e

limx→+∞

[f (x)−mx] = limx→+∞

[f (x)− x] = limx→+∞

(x2 − 2x+ 1

x+ 1− x

)=

= limx→+∞

(x2 − 2x+ 1− x2 − x

x+ 1

)= lim

x→+∞

(−3x+ 1x+ 1

)=

= limx→+∞

(−3 + 1x

1 + 1x

)= −3 (b = −3),

conclui-se que existe uma assimptota oblíqua de equação y = x− 3.Graficamente tem-se

x151050-5

15

10

5

0

-5

-10

-15

Figura 36: Assimptota oblíqua.

3.9 Estudo de uma função e esboço do gráfico

O estudo de uma função compreende habitualmente os seguintes estudosparciais:

1. Domínio

2. Pontos de descontinuidade e assímptotas verticais

59

3. Intersecção com os eixos e simetrias

4. Intervalos de monotonia e extremos

5. Concavidades e pontos de inflexão

6. Assimptotas não verticais.

Com base neles é possível esboçar o gráfico da função.

Exemplo 33 Vamos estudar e esboçar o gráfico da função f (x) = 2x2−2x+1(x+1)2

1. Domínio: Df = IR� {−1} .

2. Pontos de descontinuidade e assimptotas verticais:

comolim

x→−1−f (x) = +∞ e lim

x→−1+f (x) = +∞

conclui-se que a recta x = −1 é uma assimptota vertical.

3. Intervalos de monotonia e extremos:

calculando a primeira derivada da função f,

f ′ (x) =6x− 4(x+ 1)3

podemos analisar estas características no quadro seguinte,

x −∞ −1 23

+∞6x− 4 − − − 0 +(x+ 1)3 − 0 + + +

f ′ + nd − 0 +f ↗ nd ↘ 1

5↗

(por nd entenda-se não definida). Conclui-se que a função tem ummín-imo relativo em f

(23

)= 1

5, sendo crescente em ]−∞,−1[ , decrescente

em]−1, 2

3

[e crescente em

]23,+∞

[.

4. Concavidades e pontos de inflexão:

calculando a segunda derivda da função f,

f ′′ (x) =−12x+ 18(x+ 1)4

,

60

podemos analisar estas características com o auxílio do quadro seguinte:

x −∞ −1 32

+∞−12x+ 18 + + + 0 −(x+ 1)4 + 0 + + +

f ′′ + nd + 0 −f ∪ nd ∪ 2

5∩

.

Conclui-se que a função tem um ponto de inflexão em(32, 25

), tendo a

concavidade voltada para cima de ]−∞,−1[ ∪]−1, 3

2

[e voltada para

baixo de]32,+∞

[.

5. Assimptotas não verticais:

como

f (x) =2x2 − 2x+ 1(x+ 1)2

= 2 +−6x− 1(x+ 1)2

,

elimx→−∞

f (x) = 2 e limx→+∞

f (x) = 2

então existe uma assimptota horizontal de equação y = 2.

Reunindo toda a informação anterior podemos esboçar o gráfico da função:

x20100-10-20

y

20

15

10

5

0

Figura 37: Gráfico da função f (x) = 2x2−2x+1(x+1)2

.

61

Referências

[1] Apostol, Tom M.,(1967) Calculus, Volume I, Second edition, John Wiley& Sons, Inc., New York.

62