Matematica - Resumos Vestibular - Função Exponencial

8/14/2019 Matematica - Resumos Vestibular - Funo Exponencial

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FUNO EXPONENCIAL

DEFINIO

Dado um nmero real a, tal que 1 a > 0, a funo f: R em R, definida por

f(x) = ax, chamada funo exponencial de base a:

f(x) = ax, a R+* e a 1.

Exemplos:

a) f(x) = 2x

b) f(x) = (0,34)x

c) ( )x

2f(x) =

d)x

2

1f(x)

=

Ao definirmos uma funo exponencial de base a, impomos que a R+*

e a 1porque:

se a = 1 f(x) = 1x = 1, para todo x R. Ento, f(x) = 1 uma

funo constante de R em R;

se a = 0

f(x) = 0

x

, que no existe para determinados valores de x;

se a < 0 f(x) = ax nem sempre existe (por exemplo, se a = - 4 e x = 1/2,

f(x) = (-4)1/2 R.


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GRFICO

Representando graficamente a funo exponencial f(x) = ax, temos:

Em qualquer caso:

I. D = R.

II. Im = R+*

.

III. f(0) = 1, ou seja, (0, 1) ponto do grfico.

Exemplos:

Construir o grfico de cada funo real:a) f(x) = 2x 1

b) y = |(1/2)x 1|


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EQUAES EXPONENCIAIS

Operando com as propriedades da potenciao, podemos transformar equaes

exponenciais em uma igualdade de potncias iguais.

Exemplos:

Resolver as equaes exponenciais em R:

a) 8

1x4

5

= b)1x3 x3x

4:32

8 =

c) 2x 1 + 2x + 2x + 1 2x + 2 + 2x + 3 = 120

d) 22x + 2x + 1 = 80 e)7x + 7x 1 = 8x

f) 233

33=

+

xx

xx


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NEQUAES EXPONENCIAIS

Para resolvermos uma inequao exponencial, devemos escrev-la em potncias

de mesma base, procedendo da seguinte maneira:

1. Se a > 1, af(x) > ag(x) f(x) > g(x), com f(x) 0 e g(x) 0.

Quando as bases so maiores que 1, a relao de desigualdade se mantm para

os expoentes.

2. Se 0 < a < 1, af(x)> ag(x) f(x) < g(x), com f(x) 0 e g(x) 0.

Quando as bases esto compreendidas entre 0 e 1, a relao de desigualdade se

inverte para os expoentes.

Exemplos:

Resolver as inequaes em R:

a)2

1x2 < b) ( ) ( ) 34x12x 0,10,1 +

b) 82

1 x1


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PROBLEMAS

01) Devido desintegrao radioativa, uma massa m0 de carbono 14 reduzida a

uma massa m em t anos. As duas massas esto relacionadas pela frmula

=5400

t

0 2mm . Nessas condies, em quantos anos 5 g da substncia sero

reduzidos a 1,25 g?

02) Inicia-se a criao de certa espcie de peixe em um lago. Estudos indicam que onmero N de peixes, decorridos m meses, dado pela frmula: N = 5.10 -5.10.20,1m. Determine o valor de m par que o lago tenha, aproximadamente, 4000 peixes.

03) Segundo dados de uma pesquisa, a populao de certa regio do pas vemdecrescendo em relao ao tempo t, contado em anos, aproximadamente,segundo a relao P(t) = P(0) . 2 0,25t. Sendo P(0) uma constante querepresenta a populao inicial dessa regio e P(t) a populao t anos aps,determine quantos anos se passaro para essa populao fique reduzida quartaparte da que era inicialmente.

04) A funo n(t) = 1000.20,2t indica o nmero de bactrias existentes em umrecipiente, em que t o nmero de horas decorridas. Quanto tempo aps o inciodo experimento haver 64 000 bactrias?

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