Matemática IIaula 15

Profª Débora Bastos

Integração de funções racionais do 1º tipo: grau(g) >grau(h).

Onde A, B, ..., N são constantes a determinar.

dx)x(h

)x(Rdx)x(Qdx

)x(h

)x(g

Integração de funções racionais do 2º tipo: grau(g) >grau(h).(a) h(x) tem raízes a, b, c, ...,n, reais e diferentes.

dxnx

N...dx

bx

Bdx

)ax(a

Adx)x(h

)x(g

n

(b) h(x) tem raízes reais e algumas iguais.

dx

)kx(

K...dx

)bx(

B...dx

)bx(

Bdx

)bx(

Bdx)ax(a

Adx

)x(h)x(g

n13

1m2

m1

n

dxkx

K...dx

)kx(

K n1n

2

Onde A, B1, B2, ...,Bm, ...,K1,K3,...kN são constantes a determinar.

(c) O denominador tem raízes complexas diferentes.Quando o denominador tem raízes complexas, a fatoração mínima é com expressões do segundo grau, uma cada par de raízes complexas conjugadas. Por exemplo, h(x) tem uma raiz real e dois pares de complexos como raízes. (isso quer dizer que de ambos os fatores é negativo). Então a cada expressão do tipo x2+px+q no denominador corresponde uma fração do tipo

qpxx

QPX

)ax(a

A

)srxx)(qpxx)(ax(a

)x(g

)x(h

)x(g2

n22

n

srxx

SRX2

q4pqpxx

QPX 22

srxx

dxSRX

qpxx

dxQPX

)ax(a

Adx

)x(h

dx)x(g22

n

s4r

q4p2

2

Exemplos:

dx1x

x1

3

)1x)(1x(

dx2

22

3x5x4x3x

dx)3x5x4x4x2(3

345

234

Exercícios:

dx

x2x2xx

4xx4x41

234

23

dx

36x13x

1x13xx22

24

23

k

2

xarctg

2

1

1x

x2xlnRta

232

k3

xarctg

3

1

2

xarctg

2

136x13xlnRta 24