Profª Débora Bastos

Regra de L’HospitalTeorema 7: (Teorema de L’Hospital): Sejam f e g

funções diferenciáveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um número a em I. Suponha que, para todo x a em I, g’(x) 0. Então se e e se segue que .

Observação: O teorema também é válido para limites laterais.

Tem enorme repercussão no cálculo de limites indeterminados:

0)x(flimax

0)x(glimax

L)x('g

)x('flim

ax

L

)x(g

)x(flim

ax

0

0

0 0 1 0

ExemplosCalcule os limites abaixo:

a)

b)

c)

d)

x

senxlim

0x 1

xcoslim

0x 1

kx

1alim

kx

0x

k

k.)a(lnalim

kx

0x .)a(lnalim kx

0x .aln

)2x(sen

eelim

x22x

0x

)2xcos(

eelim

x22x

0x

2

1

11

52

x

0x xx3

xsenxelim

4

xx

0x x5x6

1xcosesenxelim

4

x

0x x5x6

1)xcossenx(elim

3

xx

0x x206

)senxx(cose)xcossenx(elim

3

x

0x x206

xcose2lim

3

1

6

2

Se ou se , então através de artifícios algébricos, transforma-se estas indeterminações em ou .

Exemplos:a)

b)

)x(g)x(flimax

0)x(g)x(flimax

0

0

xln

1

1x

xlim

1x

xln1x

1xxlnxlim

1x

xlnx

11x

1xlnx

1x

lim1x

xlnx

1x1xln1

lim1x

xln

x

1xxln

lim1x

x

xlnx1xxln

lim1x

xlnx1x

xlnxlim

1x

xlnx

1x1

xlnx

1x

lim1x

xln11

xln.1lim

1x 2

1

x2gcotxlim0x x2tg

xlim

0x

x2sec2

1lim

20x

2

x2coslim

2

0x

2

1

DiferencialSeja y=f(x) uma função derivável no intervalo

(a,b), então para todo x (a,b), temos que a derivada de f(x) é dada por:

Então:

Daí: onde g(x) é uma função infinitesimal.

Logo:Como x 0 e g(x) 0, temos x g(x) 0,

ou seja, ou

)x(' fx

)x(f)xx(flim

0x

0)x(' fx

)x(f)xx(flim

0x

)x(g)x(' fx

)x(f)xx(f

x)x(gx)x(' f)x(f)xx(f

0x)x(' f)x(f)xx(f x)x(' f)x(f)xx(f

Atenção: Exemplo:Encontre um valor aproximado para

Considere f(x) = , x = 125 e x = 3.

f(128) f(125)+f´(125).3=5+

5,04

x)x(' f)x(f)xx(f

3 128

3 x

3 2x3

1

3

x)x('f

32

25

153

1253

13 2

3 128

Atenção: Exemplo:Encontre um valor aproximado para ln(1,02)

Considere f(x) = lnx , x = 1 e x =0,02

f(1,02) f(1)+f´(1).(0,02)=

ln(1,02)0,02

x)x(' f)x(f)xx(f

x

1)x('f

02,002,01

10

Definição 14: Se a função f for definida pro y= f(x), então a diferencial de y, denotada por dy, será dada por

dy= f´(x)xOnde x está no domínio de f´ e x é um incremento

arbitrário de x.

Definição 15: Se a função f for definida por y=f(x), então a diferencial x, denotada por dx, será dada por dx = x, onde x é um incremento arbitrário de x e x é qualquer número no domínio de f’.

x)x(' f)x(f)xx(f

y

x)x('fdyx)x(' fy

Decorre das definições 14 e 15:

Definição 16: dy = f´(x)dxDividindo ambos os membros por dx, temos:

Essa relação expressa a derivada como quociente de diferenciais, quando usávamos , dy e dx não tinham significado independentes.

A definição de diferencial é necessário para o conceito de integral, nosso próximo assunto.

)x´(fdx

dy

dx

dy

Mais aplicação: Cálculo de errosSeja y=f(x) uma função derivável, temos que:

Exemplo: Mediu-se o diâmetro de um círculo e achou-se 5,2 cm, com um erro máximo de 0,05 cm. Achar o máximo erro aproximado da área deste círculo. Achar também os erros relativo e percentual.

f(d)=A(d) função área , d diâmetro A(d) = (d/2)2

A(d)=d2/4 dA=(d/2)dD

dA=.5,2.0,05 0,4084 cm2 máximo erro da área

Erro relativo: 0,01923 Erro percentual: 1,923%

máximo erro

aproximado valor

aproximado erro

dy relativo erroy

dy percentual erro

y

dyx100