Matemática A CADERNO APOIO AO PROFESSOR do... · Esta atividade é mais motivadora se realizada...

CADERNODE APOIO

AOPROFESSOR

– 11.o ANO

∫ Desenvolvimento e resoluçãode todas as atividades práticaspropostas no manual.

CRISTINA VIEGAS • FRANCELINO GOMES • YOLANDA LIMA

Matemática A

TEMA 1 – Geometria no Plano e no Espaço II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

TEMA 2 – Introdução ao Cálculo Diferencial I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

TEMA 3 – Sucessões Reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

ÍNDICE/APRESENTAÇÃO

Com este nosso trabalho sobre as atividades, não pretendemos substituir a criatividade dos colegas e dos alunosou esgotar as hipóteses de exploração das tarefas.

Fazemos apenas algumas sugestões que podem lançar pistas para um desenvolvimento ajustado das váriasatividades propostas.

Os Autores

Nota: Este caderno encontra-se redigido conforme o novo Acordo Ortográfico.

CAP_XEQ_p01a20:Layout 1 6/21/11 9:49 AM Page 1

Geometria no Plano e no Espaço II


4

ATIVIDADE 1 Palavras «difíceis»

Nesta atividade, pretende-se que os alunos recordem ou aprendam termos que vão ser frequentemente utilizados.Das correspondências seguintes,

reciprocamente vice-versa

ortogonais perpendiculares

razão quociente

congruentes iguais

homólogos correspondentes

complementares que somam 90°suplementares que somam 180°

pode partir-se para o pedido de situações em que se usem estes termos.

Também se pode pedir aos alunos exemplos de mais palavras «difíceis» no contexto da Matemática e/ou utilizaros termos da margem para prolongar a atividade.

ATIVIDADE 2 Tudo falso!

Para além das revisões de conceitos que se pretende recordar, algumas afirmações devem gerar «discussão», jáque as alterações a fazer podem ser variadas:

1. a) Pode trocar-se 360° por 180° ou internos por externos.

b) Ao maior ângulo, opõe-se o maior lado ou ao menor ângulo, opõe-se o menor lado.

2. a) Não são necessariamente iguais ou são diretamente proporcionais.

b) … são sempre iguais.

3. a) Um dos lados é a hipotenusa e os outros são catetos.

b) O quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.

c) Ou se troca seno por cosseno ou adjacente por oposto.

d) Complementares.


5

4. Consideramos que as modificações devem ser feitas no consequente, mas não pomos de parte a hipótese deos alunos modificarem o antecedente.

a) se = c então b c = a

b) se = então c = a b

c) se a b = c d então =

ATIVIDADE 3Com papel milimétrico, compasso,

transferidor e calculadora

A atividade tem como objetivo principal mostrar aos alunos que os valores das razões seno e cosseno podem serobtidos diretamente com uma aproximação razoável, considerando triângulos de hipotenusa igual a 1 e medindoo comprimento dos catetos.

ATIVIDADE 4Razões trigonométricas de

30°, 45° e 60°Embora os alunos rapidamente esqueçam o modo como obtiveram os valores da tabela, parece-nos uma atividadeproveitosa, pois permite obter um resultado útil como aplicação da resolução de triângulos retângulos.

a)

I. BB^ = C^ = 45° e, por aplicação do Teorema de Pitágoras, A�B� = A�C� = .

II. BB^ = 30° e C^ = 60°; porque o � [ABC] é «metade» de um triângulo equilátero, tem-se A�C� = �12

� e, por aplica-

ção do Teorema de Pitágoras, A�B� = .

a�b

1�a

b�c

a�c

d�b

�2��2

�3��2


6

b)

I. = = = sen 45° = cos 45°

= 1 = tg 45°

II. = �12

� = sen 30° = cos 60°

= sen 60° = cos 30°

= = tg 30°

O quadro encontra-se completo na página 57 do manual.

ATIVIDADE 5 Como medir um ângulo

Este tipo de atividade ajuda a consolidar os conhecimentos e aguça o «engenho» e espírito prático que os alunosdevem desenvolver. Os dois processos apenas diferem no material a usar para medir o ângulo.Podem vários grupos trabalhar com o mesmo objetivo, de modo a compararem os resultados obtidos.

ATIVIDADE 6 Rodando nos dois sentidos

Esta atividade é mais motivadora se realizada com um programa de Geometria Dinâmica mas, como é óbvio,também será útil se apenas se desenvolver com o auxílio da régua e transferidor. Aliás, essa etapa também serecomenda, mesmo quando se usa o computador.

ATIVIDADE 7 O relógio do Luís Pedro

O relógio não é «ficção»! Trata-se, na verdade, de uma curiosidade: os ponteiros deste relógio andam ao contráriodo que é habitual. Claro que não se põe em causa a linguagem tradicional: sentido positivo ou contrário ao dosponteiros do relógio e sentido negativo ou dos ponteiros do relógio, mas pode ser uma boa ocasião para consoli-dar o conceito de amplitudes de ângulo num e noutro sentido.

�2��2

A�B��B�C�

AA�C��B�C�

A�C��A�B�


A�B��B�C�

�3��3



7

ATIVIDADE 8 Uma semirreta que roda

A ideia principal é que a um par de semirretas com a mesma origem (ângulo) podem corresponder várias medidasque diferem de múltiplos de 360°. Tal como se indica no manual, deve escolher-se em «Display, Preferences», aopção «directed degrees» (Geometer’s Sketchpad ). O que acontece é que, depois de rodar [AB] e B de 380°, sepedirmos a medida de BA^B’, o computador indica 20°; se rodarmos [AB] e B de 930° e pedirmos a medida de BA^B’’,o computador indica –150°.

ATIVIDADE 9 Com senos

Parece-nos fundamental a associação «seno ↔ ordenada» no círculo trigonométrico; insistimos na identificaçãode pontos com determinada ordenada, pontos com a mesma ordenada ou com ordenadas simétricas e na deter-minação de amplitudes de ângulos com os lados extremidade simétricos em relação aos eixos.Aproveitamos também para realçar o facto de o seno só variar entre –1 e 1.É importante que os alunos não usem a calculadora para determinar senos ou ângulos.

No ponto 1, a escolha do raio do círculo trigonométrico, ou seja, a escolha da unidade, é importante: 10 cm ou 10quadrículas parecem -nos ser boas escolhas; os ângulos devem ser marcados com transferidor e as ordenadasobtidas com uma régua graduada ou por contagem das quadrículas.No ponto 2, um círculo com 15 quadrículas de raio facilita a resposta às alíneas b) e c), mas as alíneas podem serfeitas em separado e o ideal é que os alunos percebam quais os raios que lhe dão vantagem na representação.

Relativamente ao ponto 3, reforçamos a ideia inicial: mais importante do que marcar rigorosamente os ângulosde amplitude 70°, 325° ou 130°, é identificar pontos com a mesma ordenada ou ordenadas simétricas e relacionaras amplitudes dos ângulos.

Uma sequência possível em 2 b):

1. Associar seno e ordenada.

2. Desenhar o círculo trigonométrico e a reta y = .

3. Identificar os pontos A e B do «círculo» com ordenada .

4. Desenhar o lado extremidade dos ângulos que intersetam o círculo trigonométrico nos pontos A e B.

2�3

2�3

B A

0

y = 23

1 x

y


8

Uma sequência possível em 3 c):

1. Desenhar o círculo trigonométrico e um ângulo de 130°, em posiçãonormal.

2. Marcar o ponto P e identificar a sua ordenada.

3. Marcar o ponto Q do círculo trigonométrico no 4.o quadrante comordenada simétrica da de P.

4. Desenhar o ângulo cujo lado extremidade passa em Q.

5. Decidir em que sentido se quer medir o ângulo e obter uma medidapara a sua amplitude, relacionando-a com 130°.

ATIVIDADE 10 Como varia o seno?

Deve ser realçado que cada um dos intervalos da tabela corresponde a um quadrante. Os alunos vão obtendovários valores do seno recorrendo à calculadora e devem estar atentos ao sinal e ao sentido de variação, nomea-damente quando estão a trabalhar com números negativos. Será oportuno reforçar que o seno só varia entre –1 e 1. O resumo que apresentamos em seguida no manual pode ser feito pelos alunos como conclusão desta atividade.

ATIVIDADE 11 Com cossenos

As sugestões para esta atividade são idênticas às da atividade 9.

ATIVIDADE 12 Com tangentes

Os objetivos são idênticos aos das atividades 9 e 11. Parece-nos importante identificar razões trigonométricas deângulos, bem como ângulos com razões trigonométricas dadas, sem recorrer à calculadora. A atividade permiteconsolidar o significado das «linhas» trigonométricas e reforça a utilização de simetrias, fundamental mesmoquando se usa a calculadora.No caso concreto desta atividade, o raio do círculo trigonométrico tem de ser bem menor do que nas atividadesanteriores, mas talvez até seja melhor deixar os alunos serem confrontados com essa realidade e esperar que aultrapassem.

P

y

Q

O x1


9

130°

0,45

0

y

x

–310°

25°205°

1,2

1,5

1

–1

–1,5

–1,2

0 x

y

1

3

–4

–1

ATIVIDADE 13Com simetrias e razões

trigonométricas

Esta atividade tem vindo a ser preparada pelas atividades 9, 11 e 12 e pretende encaminhar o raciocínio dos alunos,de modo a evitarem «decorar» as fórmulas que aparecem nas páginas seguintes do manual.A nossa sugestão para o preenchimento dos espaços é:

1. a) eixo Oy (ou das ordenadas)

abcissas simétricas

o mesmo seno e têm cossenos

AO^P’ = 180° – αsen α– cos α

2. β = 180° – αθ = 180° + αδ = – α (ou 360° – α)tg β = – tg αtg θ = tg αtg δ = – tg α

3. Se P tem coordenadas (x, y ) P,’o simétrico de P em relação à origem tem coordenadas (–x, –y ) ; se XO^P = αentão XO^P’ = α + 180° esen (α + 180°) = – sen αcos (α + 180°) = – cos αtg (α + 180°) = tg α

b) simétrico Ox (ou das abcissas)

têm abcissas… e ordenadas simétricas

têm o mesmo cosseno e têm senos simétricos

AO^P’ = – α ou 360° – α– sen αcos α


10

ATIVIDADE 14 Mais simetrias

Esta atividade reforça o conceito de complementar e a marcação de ângulos num referencial. Deve procurar -seque os alunos usem amplitudes de vários quadrantes para concluírem que todos os pares de ângulos, nas condi-ções do enunciado, têm lados extremidade simétricos em relação à reta de equação y = x.Sugestão de pares de ângulos complementares:

• 30° e 60°• 110° e –20°• 240° e –150°

ATIVIDADE 15 O grau

É curioso reparar que os alunos, quando questionados acerca do que é um grau, respondem, na maioria das vezes,depois de várias hesitações:

«… então … um ângulo reto tem 90°...»mas não conseguem desta afirmação obter uma definição de grau.

Não consideramos necessário (nem possível) repetir o método da bissetriz sete vezes, que é o número de operaçõesque dá a melhor aproximação.Obtemos, nas sucessivas fases, ângulos com amplitudes de:

• 45°;

• 22,5°;

• 11,25°;

• 5,625°;

• 2,8125°;

• 1,40625°;

• 0,703125°.

Esta última é a melhor aproximação.

Para além de interiorizar o facto de que «tudo deve ser definido» (e por que não aproveitar para falar em noçõesprimitivas?), os alunos recordam o conceito de bissetriz, o método de construção da bissetriz com régua e com-passo e têm oportunidade de fazer uma pequena investigação.Também é importante a decisão entre os valores 1,40625° e 0,703125° para melhor aproximação do grau.


11

ATIVIDADE 16 Como obter um radiano

É uma atividade clássica. Os professores devem incentivar os alunos a desenvolverem a atividade com materiais dediferentes dimensões, para que possam concluir que, independentemente do raio da circunferência desenhada, os ângulos obtidos são iguais. O rigor na determinação do centro da circunferência depende da orientação que sepretende seguir e também do tempo de que se dispõe.

ATIVIDADE 17 «Poder de argumentação»

O tipo de tarefa que se pede já não é novidade no 11.o ano; no entanto, há alunos que têm muita dificuldade emdesempenhar trabalhos desta natureza.A nosso ver, o aluno deve referir os passos e as conclusões seguintes:

• AO^B = 60° porque [AOB] é um triângulo equilátero ou porque 360° : 6 = 60°;

• o arco AB também mede 60°;

• comprimento do arco AB > A�B� e, portanto, o comprimento do arco AB é superior ao raio;

• AO^B > 1 radiano, logo 1 rad < 60°;

• 1 radiano não é muito inferior a 60° porque o comprimento do arco AB não é muito superior a A�B� , ou seja, aoraio.

As referências a estes pontos devem estar articuladas num pequeno texto, como se exemplifica:Como o hexágono é regular, os ângulos ao centro, como seja o AOB, medem todos 360° : 6 = 60°. A medida daamplitude de um ângulo ao centro é igual à do arco compreendido entre os seus lados, logo, o arco AB tambémmede 60°.

O comprimento do arco AB é um pouco maior do que o do segmento [AB] , que mede o mesmo que o raio dacircunferência. Como um arco de comprimento igual ao raio corresponde a 1 radiano e o arco AB mede um poucomais do que o raio, então a sua amplitude, que é 60°, é um pouco superior a 1 radiano, o que é o mesmo que dizerque 1 radiano mede um pouco menos do que 60°.

O

B

A


12

ATIVIDADE 18 Com radianos

É necessário que os alunos se familiarizem com esta nova unidade de medida de ângulos e que, em vez de, siste-maticamente, procurarem conversões para graus, se habituem a fazer comparações com 1 radiano, � radianos,4,7 radianos, 6,28 radianos, …

1. a) 1,8 rad → 2.o quadrante, porque 1,57 < 1,8 < 3,14

b) 3 rad → 2.o quadrante, porque 1,57 < 3 < 3,14

c) 1,2 rad → 1.o quadrante, porque 0 < 1,2 < 1,57

d) 4,5 rad → 3.o quadrante, porque 3,14 < 4,5 < 4,71

e) 5,5 rad → 4.o quadrante, porque 4,71 < 5,5 < 6,28

2. a) 10 – 2π � 3,72; logo, um ângulo de 10 rad está no 3.o quadrante.

b) 5,3π – 4π = 1,3π e 1,3π � 4,1; logo, 5,3π rad está no 3.o quadrante.

c) – 2 + 2π � 4,28; está no 3.o quadrante.

d) – 12 + 4π � 0,57; está no 1.o quadrante.

ATIVIDADE 19 Múltiplos de ��6 radianos

Sem que seja dada uma importância primordial, é bom que os alunos identifiquem e localizem rapidamente estasamplitudes de ângulo no círculo trigonométrico.Na segunda parte da atividade, volta a insistir-se na utilização das simetrias (não se pretende apoiar a atividadenas fórmulas, embora elas possam ser reconhecidas).

π rad ≈ 3,14 rad 0 rad

2π rad ≈ 6,28 rad

π rad ≈ 1,57 rad2

3π rad ≈ 4,71 rad2


13

ATIVIDADE 20Senos, cossenos,

tangentes e simetrias

Esta atividade reforça as anteriores e prepara para a utilização dos valores do seno, cosseno e tangente de

, e no cálculo de senos, cossenos e tangentes de outros ângulos e na resolução de equações.

A atividade pode ser ultrapassada se o professor sentir que os alunos já dominam os requisitos necessários.

ATIVIDADE 21 Mais aplicações de simetrias

Tal como referimos, pretende-se que os alunos, com base nas simetrias, identifiquem e relacionem ângulos comsenos e cossenos iguais ou simétricos.

1. a) α = ∨ α = b) α = ∨ α =

c) α = ∨ α = d) α = ∨ α =

e) α = ∨ α = f) α = ∨ α =

g) α = ∨ α = h) α = ∨ α =

2. a) � = ∨ � = b) � = ∨ � =

c) � = ∨ � = d) � = ∨ � =

e) � = ∨ � = f) � = ∨ � =

7π�

4

4π�5

9π�5

5π�

47π�

4

7π�

58π�

5

3π�5

8π�

5

6π�5

4π�5

4π�5

9π�5

5π�

47π�

4

5π�

47π�

47π�

4

5π�

4

π�6

π�4

π�3

2π�5

4π�5

π�5

π�5

2π�5

9π�

5

π�4

π�4

π�4


14

ATIVIDADE 22Valores exatos de senos,

cossenos e tangentes

Embora se reconheça que os alunos frequentemente se «desembaraçam» recorrendo à máquina de calcular paraobter o sinal e ao quadro dos valores exatos para identificar o valor absoluto, limitando-se a «rimar» terços comterços, quartos com quartos e sextos com sextos, parece-nos útil este tipo de decomposição, que é base de váriosraciocínios, não só neste domínio.

1. a) = 2π –

b) = π +

c) = 4π –

d) – = –2π +

e) = 117π –

ATIVIDADE 23 Áreas que variam…

Esta atividade poderia ter surgido logo no início, mas resolvemos incluí-la aqui, fazendo uma ponte entre as rela-ções entre senos de ângulos suplementares e a resolução sistemática de equações que vamos iniciar.A atividade presta-se à elaboração de um relatório e é muito gratificante se realizada com um programa deGeometria Dinâmica.A nosso ver, tem, também, um argumento a seu favor: o reconhecimento de que o losango é um paralelogramo eo cálculo da sua área pela fórmula geral A = base × altura.

1. Os alunos devem observar que, como a base é constante, a variação da área corresponde à variação da

altura, ou seja, a área aumenta quando x varia de O a e depois diminui quando x varia de a π.

2. Os lados do losango medem 1 e, portanto, a altura é sen x. Então, a área é A = 1 × sen x = sen x.

A área é máxima quando x = e, nesse caso, o losango é um quadrado.

A afirmação em 3: A(x ) = A(π – x ) pode ser utilizada no ponto 4, mas esta etapa também pode ser ultrapassadarecorrendo, apenas, ao programa de Geometria Dinâmica (se utilizado).

5π�3

15π�

4

5π�3

350π�

3

π�2

π�2

π�2

7π�6

π�3

π�6

π�4

π�3

π�3


15

ATIVIDADE 24 Inclinação e declive

Pretende-se que os alunos reconheçam que o declive de uma reta é a tangente do ângulo que faz com o semieixopositivo Ox, mesmo quando a reta não passa na origem do referencial.Também se pretende que os alunos se habituem ao raciocínio dedutivo, tão característico da demonstração, emMatemática. Não que se trate aqui de uma demonstração formal, mas as afirmações vão surgindo como conse-quência das outras.As afirmações serão completadas assim:

1. é paralela à reta r o mesmo declive.

2. (1, m) tg α1 = m.

3. tg α = tg α1 porque α e α1 são iguais.

4. é a tangente do ângulo faz com o semieixo positivo Ox.

Finalmente, introduz-se formalmente o termo inclinação que, muitas vezes, já surgiu como termo de linguagemcorrente.

ATIVIDADE 25 Ângulo de retas no plano

A representação gráfica é fundamental nesta resolução e pensamos que é útil que os alunos o reconheçam paraque, em situações futuras, ponham a hipótese de utilizar esse tipo de ferramenta.

De um modo geral, os alunos desenham retas que passam na origem. Sem contrariar essa tendência, que até serevela útil, pois simplifica a resolução, deve procurar-se que confirmem e justifiquem se as respostas não sãodiferentes numa outra situação (não passando as retas na origem).

Cabe destacar que nem sempre o ângulo das duas retas é a diferença entre as suas inclinações, mas pode con-cluir-se que, ou é essa diferença (entre a maior e a menor), ou o seu suplementar.

→s

y

x

r

s

0

β = 70°

α = 20°

y

x

y

x

rr

s

s

0 0

β = 110°β = 140°

α = 80° α = 30°


16

ATIVIDADE 26Vetores paralelos

e perpendiculares

Na primeira parte da atividade, pretende-se que os alunos recordem a relação que estabeleceram no 10.o anopara as coordenadas de vetores colineares:

// ⇔ ∃ k � IR \ {0} : = k , ou seja, // se, e só se, as suas coordenadas são diretamente proporcionais.

Na segunda parte, prepara-se a condição de perpendicularidade de dois vetores no plano em termos de coordenadas.É uma situação em que os alunos, de um modo geral, se desembaraçam bem e concluem:

«Se tem coordenadas (a, b), os vetores com o mesmo comprimento de e que lhe são perpendiculares têmcoordenadas (– b, a) e (b, – a).»

ATIVIDADE 27 Declive e perpendicularidade

Trata-se, novamente, de uma dedução depois de uma conjetura. É sugerido que os alunos escrevam vetores per-pendiculares aos dados, com a mesma norma e com normas diferentes, para que percebam que a relação entreos declives de vetores perpendiculares é independente das suas normas. A demonstração é feita em seguida, masdeve procurar-se que os alunos apenas se sirvam dela para confirmar ou melhorar a sua argumentação.

ATIVIDADE 28Do produto escalar ao

ângulo de vetores

Os alunos devem ser confrontados com o facto de que, embora tenham vantagem em saber algumas fórmulas decor, têm possibilidade de as obter pelos seus próprios meios.

1. · = (3, 1) · (2, –3) = 6 – 3 = 3

2. · = || u→|| × || v→|| × cos ( ^ ) ⇔

⇔ · = �10� × �13� × cos ( ^ )

3. cos ( · ) = ��10� ×

3

�13��

^ = cos–1 ��10� ×3

�13��⇒ ^ ≈ 74,7°

→a

→b

→a

→b

→a

→b

→u

→u

→u

→v

→u

→v

→u

→v

→u

→v

→u

→v

→u

→v

→u

→v

→u

→v


17

y = 0 z = 0y + 2z = 6

⎧⎨⎩

ATIVIDADE 29 Prova que…

Embora as demonstrações das propriedades não sejam obrigatórias, são um pretexto para a utilização de conceitosque consideramos importantes, nomeadamente:

• identificar 2 com · ;

• reconhecer que ^ = 0° e recordar que cos 0° = 1;

• utilizar propriedades já enunciadas, como seja a distributiva, a condição de perpendicularidade e o facto de · ser ||a→||2;

• reconhecer a semelhança do desenvolvimento da expressão ( + )2

com um dos casos notáveis da multipli-cação de binómios.

ATIVIDADE 30 Reta no plano e plano no espaço

Esta atividade pretende reforçar os exemplos anteriores e permite verificar se foram bem compreendidos.Para além disso, parece-nos importante que os alunos aperfeiçoem as representações em perspetiva cavaleira,pois favorecem e permitem uma boa compreensão do espaço.

Tal como a figura sugere, o plano é paralelo ao eixo Ox. Os alunos podem comprovar previamente que o plano não

interseta o eixo Ox, verificando que o sistema , que representa a interseção do eixo Ox com o plano de

equação y + 27 = 6, é impossível.

→a

→a

→a

→a

→a

→a

→a

→a

→b

y

z

x

0 6

3


18

ATIVIDADE 31Um plano que interseta

os três eixos

Este conjunto de pontos, e chamamos-lhe assim porque ainda não comprovámos que se trata de um plano, intersetaos eixos coordenados nos pontos A(3, 0, 0), B(0, 6, 0) e C(0, 0, 2) e interseta cada um dos planos coordenados numareta. As retas de interseção com os planos x Oy, y Oz e x Oz são, precisamente, as retas AB, BC e AC.

O conjunto dos pontos cujas coordenadas satisfazem a equação 2x + y + 3z = 6 é um plano e [ACB] é a partedesse plano no 1.o octante.

ATIVIDADE 32 Vários planos

Muitas vezes, os alunos até sabem enumerar as várias maneiras de definir um plano, mas não têm a noção de queo termo «definir» envolve o facto de existir um único plano com as características enunciadas. É o caso dos pontos5. e 6. desta atividade. Recorre-se a uma forma de caracterizar um plano que não foi abordado no 10.o ano e que é,agora, uma «peça» importante na escrita da equação de um plano.

1. Por exemplo: ADH, ADF

2. Por exemplo: ADE, DCF

3. Por exemplo: ADH, ABF

4. Por exemplo: EFG, ACF

5. Só existe o plano ABF

6. Só existe o plano DBF

y

z

x

0 B

C

A


19

ATIVIDADE 33 Equação cartesiana de um plano

A ideia desta atividade é tentar que sejam os alunos a obter um resultado que, de outra maneira, se limitariam, certamente, a ir «passando do quadro». A sequência dos vários passos pode continuar a ser utilizada na escrita daequação cartesiana de um plano, sem prejuízo do reconhecimento das coordenadas de na equação do plano.

1. • Se é perpendicular a π então é perpendicular a todas as retas...

• Se P�� então é perpendicular a

• Se ⊥ então • = 0

• Se P tem coordenadas (x, y, z) então = (x – 1, y – 2, z – 3) e a equação (1) é equivalente a (x – 1, y – 2, z – 3) • (4, 5, 6) = 0 ⇔ 4(x – 1) + 5(y – 2) + 6(z – 3) = 0 ⇔ 4x – 4 + 5y – 10 + 6z – 3 = 0 ⇔ 4x + 5y + 6z – 17 = 0

2. a, b e c são coordenadas de .

ATIVIDADE 34Plano definido por

um ponto e uma reta

Não se pretende que os alunos obtenham quaisquer fórmulas nem «receitas». Recomenda-se que as várias etapassejam acompanhadas pela representação gráfica (sem necessidade de referencial) e que seja cultivado um gran-de grau de liberdade: cada um (ou cada grupo) escolhe a sua reta, o seu ponto, etc.Ultrapassadas as primeiras etapas, o professor deve estar atento ao «desembaraço» dos alunos numa situaçãoque já deve ser trivial.

ATIVIDADE 35 Paralelismo e perpendicularidade

Para além das inegáveis vantagens que residem no facto de os alunos irem construindo o seu próprio saber, conti-nuamos a insistir nas representações gráficas para que os alunos, definitivamente, reconheçam a sua utilidade e,naturalmente, as procurem na resolução dos problemas que lhes vão sendo propostos.Para os alunos com mais dificuldades nesta área (aqueles que sempre dizem «não tenho jeito para isto»…), sugerimosque utilizem a representação de um paralelepípedo (que costumam desenhar com facilidade) para obterem planosparalelos, perpendiculares, concorrentes oblíquos, retas perpendiculares ou não complanares, etc.

1. ... paralelos; 3. ... paralelos;

2. ... perpendiculares; 4. ... perpendiculares.

→n

→n

→n

→AP

→n

→n

→n

→AP

→AP

→AP


20

Tia Joana Tia Rita Lucro

0

1

2

3

5

4

3

2

150†

160†

170†

180†

ATIVIDADE 36 Interseção de três planos

A interseção de três planos é um bom suporte para a resolução de sistemas de três equações com três incógnitase esta atividade vai facilitar a interpretação dos resultados da resolução dos sistemas.

ATIVIDADE 37 Lucro máximo

A experiência dos alunos não vai, certamente, encaminhá-los para a resolução gráfica, mas espera-se que tomema iniciativa de ir testando as várias hipóteses. Muitas vezes, os alunos não utilizam esta via de resolução porque«vai dar muito trabalho» ou «nunca mais acaba».Esta atividade mostra que esse pode ser um bom caminho:

Não restam dúvidas de que a opção mais lucrativa é vender três dúzias à tia Joana e duas dúzias à tia Rita.O resultado até poderia ter sido previsto…É desejável que os alunos formalizem o cálculo do lucro:L = 40 x + 30 y, sendo x e y o número de dúzias de colares vendidos a cada tia para os encaminhar em futurassituações mais complexas.

ATIVIDADE 38 Dieta económica

O esquema que se pretende que os alunos interiorizem é o que fizemos nos exemplos anteriores.

A melhor solução, neste caso, é Z = 10 , que corresponde a 5 cápsulas A e 1 cápsula B.

A tabela é idêntica, mas os preços trocam; então, z = 1,25x + 2,5y.

A reta de nível zero é 1,25x + 2,5y = 0 ⇔ y = – 0,5x e a solução ótima corresponde ao ponto de interseção

das retas y = – �3x� + �

83� e y = – �

34

�x + �149�


Introdução ao Cálculo Diferencial I


22

ATIVIDADE 1 Problemas, funções e gráficos

Não se pretende que os alunos definam, analiticamente, funções para cada uma das situações, nem que reproduzam os gráficos que vão obtendo. Os gráficos já estão representados nas margens do livro e os alunos devem identificá-los com as funções respetivas à medida que os vão reconhecendo, com (ou sem) a calculadora.

O que se pretende depois é que os alunos apreciem cada uma das situações, nomeadamente no que respeita aosvalores que a variável dependente toma e ao modo como varia (se cresce, se decresce, sempre ao mesmo ritmo oua ritmos diferentes…), para que possam selecionar, em cada caso, a função mais adequada e o domínio em quepode traduzir a situação descrita (o que envolve, por vezes, a escolha e a especificação da unidade considerada).

Parece-nos que a correspondência a estabelecer é:

S1 → f2 (x ) = –x 2 + 5x no intervalo [0, 5]

S2 → f4 (x ) = �8x� no intervalo [a, b] a – Raio mínimo de uma roda de bicicleta.

b – Raio máximo de uma roda de bicicleta.

S3 → f1 (x ) = 3x no intervalo [0, +∞[

S4 → f3 (x ) = 0,5x 3 − 5x 2 + 12,5x no intervalo [0, 5]

S5 → f5 (x ) = �x +8

2� no intervalo [0, a] a – Caudal máximo de uma torneira emm3/minuto.

S6 → f6 (x ) = no intervalo [0, a[ a – Poderá ser +∞, mas é natural que a toa lhavá para lavar!

S7 → f7 (x ) =� 4x se 0 � x < 2

se x � 2

Depois de os alunos estabelecerem as correspondências que considerarem adequadas, o professor deve ouvir osargumentos que presidiram a cada uma das escolhas.

Algumas das funções são novas para os alunos (outras podem estar esquecidas). A representação da função f7

pode ser obtida, fazendo:

y = (4x ) (x � 0) (x < 2) + � (2x + 4) : (x – 1) � (x � 2)

4x + 2�x + 2

2x + 4�x − 1


23

Os símbolos maior e menor estão em Test nas máquinas Texas.Nas calculadoras Casio (modelos fx-9860), encontras os símbolos de maior e menor no Catálogo (SHIFT +4).Nestas calculadoras também se pode fazer o gráfico por ramos, usando [ , ], do teclado:

y = 4x, [0, 2]y = (2x + 4) : (x − 1), [0, 10]

ATIVIDADE 2 Com a calculadora

É muito importante que os alunos tirem o maior partido da calculadora e essa utilização eficiente depende muitoda escolha de janelas adequadas.

1. A janela [–6, 6] × [–4, 4] é, aproximadamente, a janela INIT nas calculadoras Casio e ZOOM: DECIMAL nasTexas.Não parece ser uma boa escolha no caso de f (x ) = �

x +5

1� para as características que se pretendem estudar.

Para este caso, a janela [–10, 10] × [–10, 10] parece adequada para todas as questões.

A janela [–50, 50] × [–5, 5] mostra a aproximação a zero para valores de x muito, muito grandes ou muito,muito pequenos, mas não parece uma boa escolha para o estudo nas vizinhanças de –1.Na janela [–10, 10] × [–50, 50] aparece desenhada a reta x = 1 como fazendo parte do gráfico. Não nos parece umaboa escolha, se bem que possa ser, se convenientemente interpretada, uma indicação útil acerca do domínio.

[–6, 6] × [–4, 4] [–10, 10] × [–10, 10]

[–50, 50] × [–5, 5] [–10, 10] × [–50, 50]


24

2. A janela [–100, 100] × [–5, 5] não deixa dúvidas acerca do comportamento da função para valores muito gran-des ou muito pequenos de x, mas não é adequada para observar o domínio e o comportamento perto de –1.Esse aspeto é bem evidente na janela [–2, 2] × [–50, 50]. As duas primeiras janelas parecem dar uma boa ima-gem da função, no segundo caso aparece desenhada a assíntota vertical.

3. A janela [–6, 6] × [–4, 4] só é adequada, neste caso, para dar uma ideia completamente errada do comporta-mento da função, nomeadamente em termos de domínio.Na janela [–2, 2] × [–50, 50], a ideia do domínio e comportamento nas vizinhanças de –1 é perfeitamente adequada,mas, no que respeita às imagens de números muito grandes ou muito pequenos, o gráfico induz em erro. Osnúmeros muito grandes ou muito pequenos não têm imagens perto de zero como o gráfico pode sugerir.Novamente, a janela [–10, 10] × [–10, 10] parece uma boa escolha, se bem que, na janela [–15, 15] × [–15, 15], se per-ceba melhor o comportamento (quase linear) da função para valores de x muito grandes ou muito pequenos.Deve observar-se como a janela [–100, 100] × [–100, 100] modifica o aspeto do gráfico nas vizinhanças de –1.

É importante que os alunos comuniquem oralmente as suas apreciações acerca das várias situações, para queo professor possa avaliar o grau de compreensão e realçar o que lhe parece importante.

[–10, 10] × [–10, 10] [–10, 10] × [–20, 20]

[–100, 100] × [–5, 5] [–2, 2] × [–50, 50]

[–6, 6] × [–4, 4] [–2, 2] × [–50, 50] [–10, 10] × [–10, 10]

[–15, 15] × [–15, 15] [–100, 100] × [–100, 100]


25

ATIVIDADE 3 Quando P tende para 0 e para +∞

O preenchimento da tabela é um momento adequado para recordar a notação científica que a máquina utiliza (eque vai ser útil no estudo dos infinitamente grandes e infinitésimos).A ideia do tender para zero e para +∞ surge, naturalmente, dos valores obtidos.A calculadora mostra, por exemplo, na janela [0, 200] × [0, 200], um gráfico que evidencia a aproximação aoseixos. O gráfico para valores de x muito perto de zero, ou para valores de x muito grandes, parece ser quase umalinha reta.

ATIVIDADE 4 Família de funções y =

Os alunos já fizeram estudos idênticos no 10.o ano a propósito das funções quadráticas. Podem fazer o estudo eelaborar um pequeno relatório com as conclusões.Todas as funções desta família têm contradomínio IR \ { 0 } , são decrescentes em ]–∞, 0 [ e em ]0, +∞[, positivas em]0, +∞[ e negativas em ]– ∞, 0[.A reta y = x é eixo de simetria para todas e os seus gráficos têm como assíntotas os eixos coordenados.Pode aproveitar-se para analisar a influência de a na forma do gráfico.

Tem-se i (x ) = – g (x ) = – �4x

� , j (x ) = – f (x ) = – �1x

� e l (x ) = – h (x ) = – �0

x,3�

A simetria, neste caso, tanto pode ser observada em relação a Ox, como em relação a Oy ; f (–x ) = –f (x ), já que asfunções são ímpares.

ATIVIDADE 5 Verdadeiro ou falso?

Os gráficos obtidos na calculadora devem servir de base à discussão das afirmações.

a) A afirmação é falsa, como se pode comprovar com a função f .

b) A afirmação é falsa, como se pode comprovar com a função g .

c) A afirmação é falsa. Os gráficos de h e de j admitem o eixo dos xx como assíntota horizontal e não são hipérboles.

d) A afirmação é falsa. A ideia de o gráfico praticamente se confundir com o da assíntota está correta, mas nãoo facto de «nunca lhe tocar». O gráfico da função pode intersetar uma assíntota horizontal (ou não vertical)uma infinidade de vezes, como é o caso da função j.

Os alunos podem ser chamados a apresentar outros exemplos, analiticamente, para a) e b) e, graficamente, parac) e d).

a�x


26

ATIVIDADE 6 Uma hipérbole não equilátera

Parece-nos útil que os alunos sejam confrontados com a existência de assíntotas não paralelas aos eixos, pois,com frequência, chegam ao 12.o ano com uma visão das funções racionais «colada», exclusivamente, a situações

do tipo f (x) = .

Para além disso, as ferramentas necessárias não exigem mais do que os alunos já conhecem.

Os raciocínios:

«Como → 0 quando x → +∞ então... »

ou

«Quando x → �∞ então o gráfico de f aproxima-se do gráfico de y = x – 1», parecem-nos envolver conceitos importantes que convém interiorizar.

ATIVIDADE 7 Igual?

Entende-se por «comparar os gráficos», a decisão sobre se são ou não iguais.Quando os alunos ainda não foram confrontados com algumas noções teóricas e feita a representação gráfica,tendem apenas a considerar como diferentes os pares c) e g).A segunda parte da atividade permite perceber diferenças nos casos dos pares d) e f), que podem, depois, ser tam-bém observadas nos gráficos: os chamados «buracos».

É importante realçar que �x 2� = �x� e não �x 2� = x , em IR.O caso do par g) pode ser uma oportunidade para destacar que também as tabelas têm perigos (que os conheci-mentos teóricos permitem evitar).

ATIVIDADE 8 Tantos erros!

Procurámos confrontar os alunos com os erros mais comuns neste contexto.Como é natural que nesta altura já tenham surgido várias das situações previstas, poderá ser um momento dereflexão para alunos e professores sobre a eficácia das correções e dos esclarecimentos que, a propósito destassituações, já tenham sido efetuados.

ax � b�cx � d

1�x � 2


27

ATIVIDADE 9 Somar e multiplicar

É uma atividade de introdução a duas operações entre funções, soma e produto, muito intuitivas, mas onde ainsistência no trabalho com as expressões analíticas faz perder, por vezes, uma compreensão prática simples.É natural que os alunos fiquem curiosos sobre os resultados obtidos em termos gráficos, mas a explicação, emtermos de expressões analíticas, é muito bem aceite.

ATIVIDADE 10 Um teste à intuição

É uma atividade que agrada, de um modo geral, aos alunos e os argumentos que usam, por vezes surpreendentes,são boas bases de trabalho.

Neste caso: f + g → A f/g → Ff × g → D g/f → H

Os argumentos a utilizar podem ter por base a atividade 9 – gráfico ponto por ponto –, mas também podemassentar no estudo (fácil) do sinal e em considerações acerca de famílias de funções já estudadas (por exemplo, oque sucede ao gráfico de uma função quadrática quando se multiplica por um número positivo/negativo, comvalor absoluto maior do que 1, menor do que 1…).Também vem a propósito falar nas translações paralelas a Oy e no inverso de uma função afim.

ATIVIDADE 11 Idade, altura e peso

A atividade diz respeito a uma operação com funções que os alunos ainda não estudaram formalmente, mas, deum modo geral, as respostas surgem corretas nestas situações práticas.As respostas devem ser:

a) � 14 kg, � 50 kg

b) �14,5 anos

É claro que pode ser oportuno pôr outras questões idênticas às propostas caso nem todos os alunos se sintam àvontade no assunto. É, também, importante que os alunos explicitem quer os cálculos efetuados, quer a leituraque fizeram no gráfico: descobrir a abcissa do ponto de ordenada ou a ordenada do ponto de abcissa…


28

ATIVIDADE 12 Velocidade, consumo, autonomia

O objetivo é que os alunos obtenham a expressão analítica da função composta de duas e que reconheçam quetraduz a situação que se descreve «ponto por ponto».

1. a) 1000 km e 700 km

b)

2. Os pontos sugerem que o gráfico da função seja parte de uma hipérbole cujas assíntotas são os eixos

coordenados. Utilizando um dos pontos da tabela, obtemos a = �700

v00

�� .

3. Substituindo, em a (c) = �21

c0� × 100, c por 0,3v, obtém-se a expressão que escrevemos em 2.

ATIVIDADE 13 Domínio da função composta

Tal como o título sugere, continuamos a trabalhar com a função composta, mas a atividade é especialmente diri-gida para a determinação do domínio.É um assunto em que os alunos têm, em geral, alguma dificuldade, que procuram ultrapassar «decorando» (demodo vazio) a definição de domínio, dada em compreensão.Parece-nos importante salientar as situações que devem prever e evitar na composição de funções e que condu-zem, de modo natural, à determinação do domínio.No caso apresentado:

a) (g o f )(2) = 10 (f o g)(1) = 2 (g o f )(3) = 8 (g o g)(1) = 10

b) (f o g)(2) = 0 … comutativa

c) 1. ... 7 � Dg ; ...f (6) = 0 � Dg ; ...g (3) = 8 � Df

2. ... x � Df f (x) � Dg

3. Porque (f o g)(x) = f (g(x)), se x � Df o g então x � Dg e g(x) � Df

4.

x

y

0 2 31

1

2

3

x

y

0 52

2

10

v (km/h) 50 80 100 120

a (km) 1400 875 700 583,(3)


29

ATIVIDADE 14 Função por ramos

O conceito de limite, no 11.o ano, apenas é abordado intuitivamente e parece-nos que as funções descontínuas aju-dam a compreender o conceito.A propósito de c), surge, certamente, a questão de o «muito próximo» de 300 ser superior ou inferior. É a partirdessa questão que sugerimos que se introduza o conceito de limite à esquerda e à direita.

a) A função custo pode ser definida por

c (x ) =�100 se 0 < x � 200150 se 200 < x � 300200 se 300 < x � 400

e representada graficamente:

O domínio é D = ] 0, 400 ] e o contradomínio é D’ = {100, 150, 200}

b) 200†

c) Um valor muito próximo de 200†, tanto pode ser 150† como 200†, dependendo desse muito próximo de300 ser inferior ou superior a 300 km.

ATIVIDADE 15 Qual é qual?

Ao contrário do que poderá parecer, a utilização da representação gráfica em STAT não é sugestiva.O caminho passa, obrigatoriamente, pela observação do acréscimo, tal como a seguir à atividade se descreve. É importante que os alunos analisem as características dos acréscimos, nas funções definidas por y = x, y = x 2 ey = x3 , para distinguirem o tipo de crescimento de umas e outras.Os acréscimos podem ser obtidos com a calculadora no modo STAT.

Casio: Com o cursor sobre o nome de uma lista vazia, , LIST, F6, F6, , n.o da lista onde estão os valo-res yi de que queremos os acréscimos.

Texas: Com o cursor sobre o nome de uma lista vazia, , LIST, OPS, 7: � LIST, , nome da lista onde estão

os valores yi de que queremos os acréscimos, .

OPTN

2nd ENTER

ENTER

x0 400200

100

200

C(x)


30

ATIVIDADE 16 Na autoestrada

Supõe-se que a medida só poderia ser aplicada com base no cálculo da velocidade média. Quer isso dizer que oscondutores autuados tinham, garantidamente, excedido a velocidade permitida.Mas muitos condutores poderiam ter «prevaricado» e não ser autuados: bastaria terem parado ou andado váriosquilómetros a uma velocidade moderada.

A mesma análise pode ser feita para multas para velocidades médias abaixo do permitido.

O condutor não pode demorar mais de 2,5 horas, nem menos de 50 minutos.Os alunos podem dar exemplos: um condutor que faça 50 km a uma velocidade de 50 km por hora e os outros 50km a 200 km por hora, não é autuado neste sistema, pois:

vm = �11,0205

� = 80 km/h.

ATIVIDADE 17 Receita de um negócio

A atividade é dirigida a uma boa compreensão da taxa média de variação e das suas limitações. Os alunos devemter presente que, no cálculo da taxa média de variação de f, em [a, b] apenas se consideram os valores f (a) e f (b).Entre a e b «tudo pode acontecer».

1. – 0 = �5 –

22

� = 1,5 e – 2 = �11

4– 5� = 1,5

2. a) Nos intervalos [0, 6], [0, 2], [3, 5]…, a taxa média de variação é positiva e a função não é crescente.

b) Já vimos que tmv[0,2] = tmv[2,6] . O gráfico da função tem, nesses intervalos, aspetos completamente diferentes.

ATIVIDADE 18 Função derivada

Escolhemos um caso em que é fácil perceber qual pode ser a expressão analítica da função cujo gráfico tem ospontos (xi, f ’(xi)).Na margem, estão sugeridas outras situações que os alunos devem tratar de modo idêntico, para reconheceremque a cada função pode corresponder uma outra, que é a sua função derivada.

r (2) – r (0)�

2r (6) – r (2)�

6


31

ATIVIDADE 19 Derivada e monotonia

Esta atividade é um primeiro contacto com uma das aplicações úteis da função derivada.A possibilidade de obter o gráfico da função derivada com a calculadora permite que a atenção seja dirigida paraa descoberta da relação existente entre os zeros da derivada e os extremos da função e entre o sinal da funçãoderivada e os intervalos de monotonia da função.

a)

b)

ATIVIDADE 20 Monotonia e tangentes

Esta atividade reforça a anterior e alerta para a possibilidade de «visualizar» o comportamento da função deriva-da através do traçado das tangentes.

No ponto 2, os alunos devem perceber que não é possível traçar retas tangentes ao gráfico de g com declive nega-tivo e retas tangentes ao gráfico de h com declive positivo. Nesta altura, valerá a pena obervar a função f na vizi-nhança dos pontos onde se desenharam as retas tangentes r, s, e t com declives positivo, negativo e nulo.

Se as limitações que surgiram no ponto 2 tiverem sido bem interpretadas, os alunos devem concluir que:

• se uma função é crescente em [a, b], não é possível desenhar uma reta tangente ao seu gráfico com declivenegativo, porque não há nenhum ponto de [a, b] onde a derivada seja negativa;

• analogamente, se uma função é decrescente em [a, b], não é possível desenhar uma reta tangente ao seu gráfico com declive positivo, porque não há nenhum ponto de [a, b] onde a derivada seja positiva.

– 2 – 1 0 1 2

g’ – 0 + 0 – 0 +

g Mín. Máx. Mín.

– 2 –�13

�� 13

�� 2

f’ + 0 – 0 +

f Máx. Mín.


32

ATIVIDADE 21 Um jogo

Uma «adivinhação» que é muito fácil para uns (nem todos), mas que é importante não deixar por aí: os alunosdevem saber explicar o caminho que percorrem. Devem perceber que efetuam, por ordem inversa, as operaçõesinversas.Esquematicamente: x x � 3 – 4 � 4 3 x � 3x � 3x � 4 x � x – 4 � �

x –3

4�

Por vezes, há alunos que traduzem o problema por uma equação. Ao resolvê-la, estão a percorrer, precisamenteos passos aqui indicados e que levam à expressão analítica da inversa de uma função injetiva.

No ponto 4, os alunos devem escrever f : x � 3x � 4 e g : y� �y –

34

� e, tendo obtido as expressões analíticas,torna-se imediato completar as tabelas.

ATIVIDADE 22 «De cá para lá e de lá para cá»

É também um «exercício» de disciplina e rigor: verificar se estamos nas condições da definição.

1. Tem-se: Df = A e D’f = B e, tal como a definição exige, Dg = B = Df D’g = A = Df

∀x � A, g (f (x )) = x ?

Verifiquemos: g (f (2)) = g (5) = 2g (f (3)) = g (–2) = 3

�

Podemos, então, afirmar, de acordo com a definição, que g = f –1.

2. Este ponto é perfeitamente idêntico ao anterior.


33

ATIVIDADE 23 A inversa em termos gráficos

A primeira parte da atividade é um reforço do conceito de função inversa de uma função e, também, uma revisãoda operação de composição de funções.Os gráficos podem ser obtidos com a calculadora, mas é importante que os alunos os reproduzam no caderno eobservem a simetria em relação à reta de equação y = x.

ATIVIDADE 24 Funções irracionais

Depois de usarem a calculadora para obter o gráfico de y = �x�, os alunos devem desenhar os gráficos pedidos no2.o ponto sem recorrer à calculadora e explicar as transformações que usaram para os obter.No ponto 3, os alunos devem, depois, com a calculadora, confirmar as escolhas feitas.

2.g → translação definida por (2, 0)

h → translação definida por (–3, –1)

r → translação definida por (–1, 0) e simetria em relação a Ox

3.s (x ) = �x�–� 1� – 2 Ds = [1, +∞[

t (x ) = 2 – �4�–� x� Dt = ]–∞, 4]

→u

→v

→w


Sucessões Reais


36

ATIVIDADE 1 Próximo

É um tipo de tarefa que os alunos já desenvolveram no Ensino Básico mas que é agora proposta com um nível dedificuldade superior. Não se pretende que os alunos utilizem a regressão das calculadoras.Supondo que a lei se mantém:

1. 9 , 11 , …, 2n – 1

2. 25 , 36 , …, n 2

3. 32 , 64 , … 2n

4. �56� , �

67� , …,

5. 30 , 42 , …, n (n � 1)

Por vezes é necessário tranquilizar alguns alunos, informando-os de que vão aprender algumas regras que permi-tem resolver muitas destas situações.

ATIVIDADES 2, 3 e 5 Com a calculadora (I), (II) e (III)

São dadas algumas informações sobre a utilização das calculadoras no modo adequado às sucessões, nas últi-mas páginas do livro. Nas calculadoras que não dispõem desse menu (e também nas que o têm), é possível traba-lhar com as sucessões, dadas pelo termo geral, no menu TABLE, utilizando x em vez de n e escolhendo o passo(Pitch ou �set) de 1 em 1.

ATIVIDADE 4 Um às custas de outro…

É uma situação relativamente frequente conseguir escrever os termos de uma sucessão sem encontrar o seutermo geral (por exemplo, quando a expressão geral é do 2.o ou 3.o grau), pois percebemos como obter cada termoàs custas do(s) anterior(es).

n�n�1


37

Neste caso:

1. 3 � 6 � 12 � 24 � 48 � 96 � 192�2 �2 �2 �2 �2 �2

1 � 3 � 6 � 10 � 15 � 21 � 28�2 �3 �4 �5 �6 �7

1 1 2 3 5 8 13

1�1 1�2 2�3 3�5 5�8

2. a) Para obter u 6, multipliquei u 5 por 2.

Para obter u 7, multipliquei u 6 por 2.

Para obter qualquer termo da sucessão (u n), exceto u 1, multiplico o termo anterior por 2, ou seja,

un = un –1 � 2 , ∀n >1

b) Para obter v6, somei 6 a v5.

Para obter v7, somei 7 a v6.

Para obter qualquer termo da sucessão (vn ), exceto v1, somo a ordem desse termo ao termo anterior, ouseja,

vn = n � vn –1 , ∀n >1

3. Este caso, que nos é muito familiar, é, por vezes, complicado para os alunos. Podemos acrescentar maisalguns termos para perceberem que cada termo, a partir do 3.o, se obtém somando os dois anteriores.

4. un = 3 � 2n –1

vn = Os alunos, depois de serem alertados para o facto de ser uma expressão do 2.o grau e se o pro-fessor considerar adequado, podem utilizar a regressão quadrática no modo STAT; basta usartrês pares de valores, por exemplo: 1 → 1

2 → 33 → 6

Também podem partir de un = an 2 � bn � c e resolver o sistema:

�a� 12 � b � 1 � c = 1a� 22 � b � 2 � c = 3a� 32 � b � 3 � c = 6

Para o caso de (wn ), recomendamos a leitura da nota histórica sobre Fibonnaci.

= = = = =

n 2 � n�

2


38

ATIVIDADE 6 Subsucessões

«Subsucessão» é um termo que não se encontra explicitamente enunciado no programa, mas que nos parece serútil na expressão de algumas conclusões sobre sucessões.

(un ) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

(vn ) 5, 9, 13, 17

(wn ) 3, 7, 11, 15

Os alunos reparam, certamente, que os quatro primeiros termos de (vn ) são os 2.o, 4.o, 6.o e 8.o termos de (un ). E os1.o, 3.o, 5.o e 7.o termos de (un ) são os primeiros quatro termos de (wn ).

n 1 2 3 n 1 2 3 u2n u2 = 5 u4 = 9 u6 = 13 u2n –1 u1 = 3 u 3 = 7 u 5 = 11

u 2n = 2 (2n ) � 1 = 4n � 1 = vn

u 2n –1 = 2 (2n – 1) � 1 = 4n –2 � 1 = 4n –1 = w n

ATIVIDADE 7 Exemplos

Os alunos devem ser constantemente solicitados para dar exemplos de sucessões com determinadas caracterís-ticas. Podem ser incentivados, numa primeira fase, permitindo que indiquem a sucessão pelos seus termos.Por exemplo:

1. 3, 7, 11, 15, 19, ... em vez de un = 4n – 1 ou

2. 1, 2, 4, 7, 11, 16, ... em vez de vn = � 1 =

ou

3. �12

�, �23�, �

34

�, �45�, �

56

�, ... em vez de w n =

n 2 – n�

2

n 2 – n � 2�

2

n�n � 1

�v1 = 1

v n�1 = vn � n , ∀n � IN

�u 1 = 3u n�1 = u n � 4 , ∀n � IN


39

ATIVIDADE 8 Será que «passa daqui…»?

No ponto 1, não se pretende que os alunos façam qualquer demonstração, mas apenas que, em relação às suassucessões, indiquem um termo superior a 500, um termo superior a 1000 e um termo superior a 20 000 (claroestá que, sendo superior a 20 000, também é superior a 1000 e a 500).

É bom que os alunos se habituem a trabalhar com sucessões definidas por duas expressões designatórias, poissão uma boa fonte de exemplos e um bom teste à compreensão de muitos conceitos.Os termos (un ) não ultrapassam 625, mas há termos de (vn ) que ultrapassam qualquer número (os termos deordem par), por maior que seja.

ATIVIDADE 9 Verdadeiro ou falso?

Mais uma vez se apela ao sentido crítico e à capacidade de «criar» sucessões que sirvam como exemplos ou con-traexemplos.

1. Esta afirmação é verdadeira. Se ∀n � IN , un�1 > un e ∀n � IN , vn�1 > vn

também wn�1 = un�1 � vn�1 é maior do que ∀n � IN , wn = un � vn

2. Esta afirmação é falsa. Tudo pode acontecer. Por exemplo:

Se un = n 2 e vn = �1n� então un � vn é crescente.

Se un = �n –

n1

� e vn = então un � vn é decrescente.

Se un = 3n e vn = – 3n � (–1)n então un � vn não é monótona (facilmente se arranjam contraexemploscom sucessões definidas por ramos).

3. Outra afirmação verdadeira. Se (un ) é limitada, admite um majorante M’ e um minorante m’ e se (vn ) é limitada,admite um majorante M’’ e um minorante m’’.

Seja M = M’ � M’’ e m = m’ � m’’; M é majorante de (w n ) e m é minorante de (w n ).

4. Esta afirmação é falsa. Por exemplo:

un = (–1)n n � �1n

� e vn = (–1)n�1 n não são majoradas e wn = �1n

� é majorada.

n � 2�

n


40

ATIVIDADE 10 Boas intenções

1. Se chamarmos (un ) à sucessão, tem os �u1 = 3un�1 = un � 2 , ∀n � IN

A definição por recorrência torna muito trabalhoso o cálculo de termos de ordem elevada, como deve ser ocaso, pois nesta altura já devemos ir lá para a «vigésima tantas» semana.Daí que se recomende a utilização da calculadora, embora seja fácil encontrar o termo geral, conforme sepede no ponto 2.

2. un = 3 � 2n ; os alunos devem ter em atenção a formação dos termos: vão de 2 em 2.

3. Claro que a resposta depende da «preguicite» de cada um!

ATIVIDADE 11Soma de termos consecutivosde uma progressão aritmética

Não se pretende que a soma seja feita recorrendo à calculadora. Os alunos devem observar que a soma de termosequidistantes dos extremos é constante e tirar partido dessa propriedade.

1. (5 � 19) � 4 (formamos 4 pares)

2. (1 � 33) � 4,5 (formamos 4 pares e mais meio)

3. (1 � 100) � 50

4. (5 � 150) � 15 (o trigésimo múltiplo de 5 é 150)

5. (1 � 100) � 16,5 (a fila dos 100 quadrados é a 33.a. Recorde-se que o termo geral é un = 3n � 1)


41

ATIVIDADE 12Da Terra à Lua em

transporte alternativo

1. É sempre engraçado lançar este desafio, pelo inesperado da resposta (para quem nunca pensou neste tipo dequestão).Considerando a folha com 0,2 mm de espessura, temos de fazer 41 dobragens e, nesse caso, já «ultrapassá-mos» a Lua: un = 0,2 � 2n.Para além da surpresa que, de um modo geral, faz com que os alunos interiorizem a rapidez de crescimentodeste tipo de sucessões, a atividade também tem o mérito de exigir que os alunos façam reduções e compa-rem números muito grandes, escritos em notação científica, o que é importante do ponto de vista prático e,muitas vezes, desvalorizado.A área de uma folha Ao é 1m2.À 41.a dobragem, acontece que a área da folha é, aproximadamente, 4,55 � 10–9 mm2.Pode ser interessante desafiar os alunos para investigarem qual a dimensão mínima de um objeto para servisto a olho nu ou qual a capacidade de ampliação dos microscópios da escola: será que permitiriam observara superfície da folha?

2. Se as dobragens nos levassem exatamente à Lua, antes da última dobragem estaríamos a meio caminho.Neste caso, em que à 41.a dobragem já ultrapassámos a Lua, à 40.a dobragem estamos a um pouco mais demeio caminho.

ATIVIDADE 13 Progressão geométrica. Sim ou não?

Os alunos têm de procurar reconhecer (ou não) a característica das progressões geométricas. Não se pretende (na nossa perspetiva) que façam demonstrações, nem tal faria sentido, já que o termo geral vai ser escrito já nopressuposto de que se trata de uma progressão geométrica.

(vn ) não é progressão geométrica, porque �42� ≠ �

64� e o mesmo se passa com (wn ): �

41� ≠ �

94� .

Todas as outras são progressões geométricas, se a lei de formação se mantiver.

(u n ) : �u1 = 3 e un = 3n

un�1 = 3 un , ∀ n � IN

(x n ) : �x1 = 1 e x n = (–1)n�1

xn�1 = –x n , ∀ n � IN

(y n ) : �y 1 = 3 e yn = 3 � 2n�1

yn�1 = 2 yn , ∀ n � IN

(z n ) : �z1 = 1 e z n = �– �12

��n�1

zn�1 = – �12

� zn , ∀ n � IN

Os alunos devem ser capazes de encontrar uma expressão para o termo geral, apesar de não terem ainda aprendi-do, formalmente, a expressão do termo geral de uma progressão geométrica.


42

ATIVIDADE 14Progressões geométricas

monótonas ou não monótonas

Voltamos a pedir exemplos e, neste caso, para que os alunos tomem consciência, nas suas tentativas, da existên-cia de mais de um fator a pesar no comportamento das progressões geométricas, no que respeita à monotonia.Por exemplo:

ATIVIDADE 15 Juros compostos

Esta atividade encaminha os alunos a não levarem o cálculo «até ao fim», de modo a poderem encontrar a lei deformação.

Ao fim de um ano, tenho, em euros, 150 � 0,04 × 150, ou seja,

C1 = 150 (1 � 0,04) = 150 × 1,04

Ao fim de dois anos, tenho, em euros, C1 � 0,04 × C1, ou seja,

C2 = C1 × (1 � 0,04) = C1 × 1,04 = 150 × 1,042

Ao fim de três anos, tenho, em euros, C2 � 0,04 × C2, ou seja,

C3 = C2 × (1 � 0,04) = C2 × 1,04 = 150 × 1,043

Ao fim de n anos, tenho, em euros, Cn = 150 × 1,04n

1. 2, 6, 18, 54, … r = 3

2. 2, �23

� , �29

� , �227� , … r = �

13

�

3. – 2, – �23

� , – �29

� , – �227� r = �

13

� , …

4. – 2, – 6, – 18, – 54 r = 3 , …

5. 3, – 6, 12, – 24, 48 r = – 2 , …

Com a mesma razão, tanto podemos obter progressões geométricas crescentes como decrescentes.

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭


43

ATIVIDADE 16 Infinitamente grandes!

Mais uma vez, é importante que os alunos trabalhem com números muito grandes, com ou sem calculadora.Nesta altura, já devem dominar bem o tipo de linguagem comum neste tema: ordem do 1.o termo que… ordem apartir da qual… menor ordem…Cremos que, para as calculadoras mais comuns, o menor número que excede a capacidade da máquina é 10100.Não podemos falar em maior número admitido, mas o maior que conseguimos escrever parece ser 9,999999999 � 1099.Qualquer das sucessões ultrapassa esse número e, para o caso de (vn ), a ordem a partir da qual isso aconteceainda é superior ao próprio número.

ATIVIDADE 17 Nem tudo o que…

Pretende-se, em primeiro lugar, uma sucessão crescente que não tenda para +∞ (por exemplo, un = �n

n–1� )

e, em segundo lugar, um infinitamente grande que não seja crescente. Poderá ser uma sucessão como un = n 2 – 10nou

un = �2n se n é par3n se n é ímpar

Deve procurar-se que os alunos encontrem vários exemplos ou, pelo menos, e também é interessante, que anali-sem os exemplos dos colegas.

ATIVIDADE 18 Atenção à «ordem»!

O principal objetivo desta atividade é fazer com que os alunos sintam a diferença que existe entre ser o primeirotermo da sucessão maior do que L e ser o primeiro termo a partir do qual todos são maiores do que L.No exemplo da atividade, u168 = 504 é o primeiro termo da sucessão que é maior do que 500. No entanto, só a partirde u499 é que os termos da sucessão são todos maiores do que 500.As questões 3 e 4 desta atividade visam testar a compreensão da situação analisada nos dois primeiros pontos.

3. A menor ordem a partir da qual os termos são maiores do que 2000, é a ordem 1999.

4. A resposta é C (A), se C (A) é ímpar e C (A)–1, se C (A) é par, sendo C (A) a característica de A.


44

ATIVIDADE 19 Em busca de infinitamente grandes

Não se pretendem demonstrações; pretende-se segurança na seleção dos infinitamente grandes. Com ou semcalculadora, não se podem admitir dúvidas nem hesitações, até porque os casos em análise são simples.Os infinitamente grandes positivos são:

un = �n�, wn = n, yn = n2 e zn = 2n

Poderá ser oportuno pedir mais exemplos aos alunos.

ATIVIDADE 20 Mais infinitamente grandes

Os infinitamente grandes são agora negativos ou em módulo.Os alunos devem mostrar que –un, –vn e –wn e, ainda, ⏐x n⏐ e ⏐y n⏐ tendem para +∞, usando os teoremas.A propósito dos infinitamente grandes negativos, poder-se-á pedir uma definição independente que não recorra àsucessão dos simétricos. Por exemplo:un → –∞ se ∀ L < 0 existe uma ordem a partir da qual os termos da sucessão são todos menores do que L.

ATIVIDADE 21Teoremas com infinitamente

grandes negativos

Estamos convictos de que a consciência destes teoremas é útil, porque constitui uma forma rápida de decidir seuma sucessão é um infinitamente grande negativo.

T ’1: Se un → –∞ e se vn � un a partir de certa ordem, então vn → –∞

Dem.: Se un → –∞ então –un → +∞ e se vn � un então –vn � –un

Logo, por T1, –vn → +∞ porque é maior ou igual a uma sucessão que tende para +∞.

Como –vn → +∞ tem-se v n → –∞, c.q.d.

T ’2: Se un → –∞ também ∀ α � IR , un + α → –∞

Dem.: Se un → –∞ então –un → +∞ e ∀ α � IR , –un + (–α) → +∞

Como –un + (–α) = – (un + α) podemos afirmar que un + α → –∞


45

T ’3 : Se un → –∞∞ também β � un → –∞∞ com β � IR+

Dem.: Como un → –∞, –un → +∞ e, pelo teorema 3, β (–un ) → +∞ com β � IR+

Mas β (–un ) = – βun e portanto βun → –∞

Poderá ser útil pedir aos alunos exemplos de aplicações destes teoremas.Exemplos:

• – 5n → –∞∞ porque –n → –∞∞ e – 5n < –n ∀ n � IN (T’1)

• –n � 3 → –∞∞, (T’2)

• – n3

→ –∞, (T’3)

ATIVIDADE 22 Infinitésimos

Mais uma vez se utiliza a notação científica, mas, neste caso, com potências de expoente negativo, pois tratamosagora com números muito próximos de zero.

a) p14 = 6 × ��12

��13� 0,00073 < 0,001 e a7 = �3� × ��

14

��6� 0,00042 < 0,001

b) pn < 0,0001 ⇔ n > 15 e pn < 10–10 ⇔ n > 36

an < 0,0001 ⇔ n > 8 e an < 10–10 ⇔ n > 18

ATIVIDADE 23 Uma sucessão que decresce

Embora se fuja à formalização dos conceitos, importa que sejam perfeitamente compreendidos. Neste caso, porexemplo, a sucessão é decrescente e é um facto que os termos se aproximam, cada vez mais, de zero. Mas isso nãofaz com que a sucessão seja um infinitésimo, já que não é possível determinar uma ordem a partir da qual os ter-mos sejam, por exemplo, valores aproximados de zero com erro inferior a 0,1.

1. • Será útil que os alunos recordem o conceito e verifiquem se (un ) é decrescente:

∀n � IN , un�1 – un = – < 0

• un < 0,25 ⇔ n > 400

• un < 0,21 ⇔ n > 2000

500��

5n (5n � 5)

CAP_XEQ_p35a48:Layout 1 6/21/11 12:17 PM Page 45

46

2. (un ) não é um infinitésimo, porque, por exemplo, não existe uma ordem a partir da qual un < 0,1

un < 0,1 ⇔ < 0,1 ⇔ n + 100 < 0,5 n ⇔ 100 < – 0,5 n ⇔ �–100

,05

� > n ⇔ n < –200

que é uma condição impossível em IN.

ATIVIDADE 24 Sucessão «por encomenda» (I)

Neste caso, pretende-se que os alunos definam as sucessões pelo termo geral, seguindo a «técnica» usada nosexemplos anteriores. Muitas das sucessões convergentes com que trabalhamos são do tipo das que os alunos vãoescrever.

Exemplos:

1. 5 + �1n

� = , 5 + 21n= , 5 + =

2. –2 + 1n

= , –2 + 3n

= , –2 � =

3. 4 – �1n

� = , 4 – ��12

��n= 22 – =

4. –3 + , �–3 + se n é par

–3 – se n é ímpar

A representação gráfica (calculadora) ajuda a testar as escolhas dos alunos, que devem habituar-se a validar assuas respostas com as ferramentas de que dispõem.

ATIVIDADE 25 Sucessão «por encomenda» (II)

A atividade tem algumas «armadilhas», já que os pedidos 2 e 4 são impossíveis de satisfazer. Como, provavelmente,os alunos não terão todos essa perceção, a atividade também se presta para exercer o sentido crítico sobre osexemplos (errados) que podem surgir nas situações 2 e 4.

1. n, n2, �10�n�� 1�

2. (–1)n ,

n � 100�

5n

5n + 1�

n10n + 1�

2n1

�n + 2

5n + 11�

n + 2

– 2n + 1�

2–2n + 3�

n3

�n + 1

–2n + 1�

n + 1

4n – 1�

n1

�2n

2n�2 – 1�

2n

(–1)n�

n

(–1)n � n + 2n��

n � 1

1�

n1

�n


47

ATIVIDADE 26 E tudo somado…

1. (an ) é uma progressão geométrica de razão �12

� e a1 = 4;

an = 4 � ��12

��n

⇔ an = 22 � 2–n�1 ⇔ an = 23–n

2. Sn = 4 � ⇔ Sn = 8 [1 – ��12

��n ]

3. Recorrendo à calculadora, S5 = 7,75, S10 ⊕ 7,992, S15 ⊕ 7,999, S50 ⊕ 8 (valor aproximado, embora a calcu-ladora dê 8 como resultado exato a partir de S40).

Sn é crescente e convergente para 8; é falso que Sn → +∞

4. Sn → 8 ⇔ Sn – 8 → 0

Sn – 8 = 8 �1 – ��12

��n

� – 8 = 8 – 8 � ��12

��n

– 8 = – 8 � ��12

��n

Ora, ��12

��n

é uma exponencial de base entre –1 e 1, logo, tende para zero (T9) e o produto de um infinitésimo

por um número ainda é um infinitésimo (T6).

ATIVIDADE 27Linha infinita com

comprimento finito

1. Da atividade 26, os alunos terão compreendido que devem escrever a expressão de Sn relativa à sucessão Cn

do comprimento dos arcos.

Cn = π � ��12

��n –1

e Sn = π = 2π �1 – ��12

��n

�

Recorrendo à calculadora, perceberão que Sn → 2π já que as somas estabilizam em 6,2831…

2. No caso de cada arco ser �23

� do anterior, tem-se:

Sn = π ⇔ Sn = 3π �1 – ��23

��n

e Sn → 3π

Se o raio de cada arco for o dobro do raio do arco anterior, Sn → +∞ , a linha tem comprimento infinito.

1 – ��12

��n

��1 – �

12

�

1 – ��12

��n

��

1 – �12

�

1 – ��23

��n

��

1 – �23

�


48

ATIVIDADE 28 O juro capitalizado «ao segundo»

Os alunos, em geral, entusiasmam-se com a perspetiva de capitalizar o juro segundo a segundo (claro que o entu-siasmo dura pouco!).

1.

2. A sucessão �1 + �0

n,1��

né monótona crescente, mas não ultrapassa 1,2; parece ser convergente para um

número próximo de 1,1051709.

ATIVIDADE 29 Com o número «e»

As máquinas Texas têm uma tecla que dá, diretamente, o valor de e. Nas calculadoras Casio, é necessário indicarum expoente: se pretendemos o valor de e, temos de indicar .

ex

A partir da ordem 165, a sucessão �1 + �1n��

njá permite obter valores aproximados de e, com erro inferior a 0,01.

SHIFT In 1

Capitalização do juro Taxa de juro % Capital (aprox.)

1 vez por ano

2 vezes por ano

3 vezes por ano

cada mês

cada hora

cada minuto

cada segundo

10

05

3, (3)

0,8 (3)

10: (12 × 30 × 24)

10: (12 × 30 × 24 × 60)

10: (12 × 30 × 24 × 60 × 60)

C × 1,1

C × 1,1025

C × 1,1034

C × 1,1047

C × 1,1052

C × 1,1052

C × 1,1052

Cade

rno

de A

poio

ao

Prof

esso

r • X

∃QM

AT –

MAT

EMÁT

ICA

11.o

ANO


Matemática A CADERNO APOIO AO PROFESSOR do... · Esta atividade é mais motivadora se realizada...

Documents

Transcript of Matemática A CADERNO APOIO AO PROFESSOR do... · Esta atividade é mais motivadora se realizada...