Matemática atuarial

Aula 3-Juros e Inflação

Danilo Machado Piresdanilo.pires@unifal-mg.edu.br

Leonardo Henrique CostaLeronardo.costa@unifal-mg.edu.br

https://atuaria.github.io/portalhalley

InflaçãoAumento médio de preços, ocorrido no período

considerado, usualmente medido por um índice expressocomo taxa percentual.FIPE

FGV

DIEESE

É a elevação generalizada dos preços de uma economia.Excesso de gastos

Aumento de salários mais rápido do que da produtividade

Aumento dos lucros

Aumento nos preços das matérias primas

Inércia

Juros e inflação

2

Taxa real de juros 𝑡𝑟Essa taxa elimina o efeito da inflação

Podem ser inclusive negativas

A relação entre a taxa de juros efetiva 𝑖 a taxa de inflação no

período 𝑗 e a taxa real 𝑡𝑟 é dada por:

1 + 𝑖 = 1 + 𝑡𝑟 1 + 𝑗

Juros e inflação

3

EXEMPLO 1

Suponha que para o período de 1 ano, a inflação tenha sido de15%. E a taxa nominal de juros que um banco cobra sobre umempréstimo (capitalizado mensalmente) seja de 36% ao ano. Qual éa taxa real de ganho do banco?

Juros e inflação

4

EXEMPLO 1

Suponha que para o período de 1 ano, a inflação tenha sido de15%. E a taxa nominal de juros que um banco cobra sobre um empréstimo(capitalizado mensalmente) seja de 36%. Qual é a taxa real de ganho dobanco?

Resp.:

i = 1 +0,36

12

12

− 1

𝑖 = 42,58%𝑎. 𝑎.

1 + 0,4258 = 1 + 𝑡𝑟 1 + 0,15

𝑡𝑟 ≈ 23,98%𝑎. 𝑎.

O ganho real do banco terá sido de 23,98%𝑎. 𝑎.

Juros e inflação

5

𝑀 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛

O capital 𝑃 também é chamado de valor presente, F0, (𝑉. 𝑃. ) e o montante 𝑀 de valorfuturo, 𝐹 (𝑉. 𝑃. ), assim:

𝐹 = 𝐹0 𝒊 + 𝟏 𝒏

Logo:

𝐹0 =𝟏

𝟏 + 𝒊 𝒏 𝐹

𝐹𝐶𝐶 𝑖, 𝑛 = 1 + 𝑖 𝑛 : fator de capitalização ( O incremento no valor presente até setornar valor futuro).

𝐅𝐀𝐂 𝐢, 𝐧 = 𝒗𝒏 =𝟏

𝟏+𝒊 𝒏 é chamado de fator de atualização do capital, ou fator de

desconto ( O decremento no valor futuro até voltar ao valor presente).

Juros Compostos - Valor presente e Valor futuro

6

Série é a generalização do conceito de soma para uma sequência deinfinitos termos.

𝑆𝑛 =

𝑖=1

∞

𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯

Denota-se por sequência de somas parciais de um séria osseguintes termos:

𝑆1 = 𝑎1𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2

𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3…

Juros Compostos- Depósitos em série

7

Se 𝑎 é um número real diferente de zero, então a série infinita:

𝑆𝑛 =

𝑛=1

∞

𝑎𝑟𝑛−1 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2+. . . +𝑎𝑟𝑛−1

É chamada, série geométrica de razão r

Neste caso a sequência de somas parciais da série é:𝑆1 = 𝑎

𝑆2 = 𝑎 + 𝑎𝑟𝑆2 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2

…

Juros Compostos - Depósitos em série

8

A n-ésima soma parcial de uma séria geométrica 𝑆𝑛 = σ𝑛=1∞ 𝑎𝑟𝑛−1 é

𝑺𝒏 =𝒂 𝟏 − 𝒓𝒏

𝟏 − 𝒓para 𝑟 ≠ 1

Demonstração:𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟+. . . +𝑎𝑟𝑛−1 1

Multiplicando-se pela razão 𝑟:𝑟𝑆𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛 2

Subtraindo-se a (2) de 1 , cancelando-se os termos repetidos:

𝑆𝑛 − 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟+. . . +𝑎𝑟𝑛−1 − 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1 + 𝑎𝑟𝑛

𝑆𝑛 − 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟𝑛

𝑆𝑛 1 − 𝑟 = 𝑎 1 − 𝑟𝑛

𝑺𝒏 =𝒂 𝟏 − 𝒓𝒏

𝟏 − 𝒓

Juros Composto - Depósitos em série

9

Série de pagamentos é um conjunto de pagamentos devalores 𝑅1, 𝑅2, 𝑅3, . . . , 𝑅𝑛 distribuidos ao longo do tempo (𝑛períodos).

Pagamentos ( ou recebimentos) constantes.

Pagamentos ( ou recebimentos) distintos.

Juros Compostos- Depósitos em série

10

O conjunto de pagamentos ao longo dos 𝒏 períodos,constitui-se num fluxo de caixa.

Fluxo Antecipado: Pagamentos ( ou recebimentos) no início dosperíodos, ou seja, os depósitos ou pagamentos ocorrem na datazero.

Ao fazer 𝑛 depósitos, o primeiro depósito começa no tempo 0, e o últimoé feito no tempo 𝑛 − 1

Juros Compostos - Depósitos em série

𝑛 = 3

O conjunto de pagamentos ao longo dos 𝒏 períodos,constitui-se num fluxo de caixa.

Fluxo Postecipado: Pagamentos ( ou recebimentos) no final dosperíodos, ou seja, os depósitos ocorrem um período após a datazero.

Ao fazer 𝑛 depósitos, o primeiro depósito começa no tempo 1, e o últimoé feito no tempo 𝑛.

Juros Compostos - Depósitos em série

𝑛 = 3

EXEMPLO 2:

Faz-se 𝑛 depósitos mensais iguais a 𝑅 em uma conta depoupança que remunera a uma taxa de juros 𝑖, compostomensalmente. Qual é o montante após o último depósito.? Considereo fluxo antecipado.

Juros Compostos - Depósitos em série

13

Depois de 𝑛 meses o dinheiro depositado no primeiro mês montaraá:

𝐹1 = 𝑅 1 + 𝑖 𝑛

Após 𝑛 − 1 meses, o dinheiro depositado no segundo mês montaráá:

𝐹2 = 𝑅 1 + 𝑖 𝑛−2

O último depósito renderá por um único período,𝐹𝑛 = 𝑅(1 + 𝑖)

14

• Prosseguindo desta maneira, vemos que o montante resultante dos𝑛 depois será:

𝑆 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3+. . . +𝐹𝑛 =

𝑛=1

𝑛

𝐹𝑛

𝑆 = 𝑅 1 + 𝑖 𝑛 + 𝑅 1 + 𝑖 𝑛−1 + 𝑅 1 + 𝑖 𝑛−2 +⋯+ 𝑅 1 + 𝑖 =

𝑛=1

𝑛

𝑅 1 + 𝑖 𝑛

𝑆 =

𝑛=1

𝑛

𝑅 1 + 𝑖 𝑛 = 1 + 𝑖

𝑛=1

𝑛

𝑅 1 + 𝑖 𝑛−1

• σ𝑛=1𝑛 𝑅 1 + 𝑖 𝑛−1é uma série geométrica com razão igual a 1 + 𝑖

e primeiro termo igual a 𝑅. Assim:

𝑆 =𝑅 1 − 1 + 𝑖 𝑛

1 − 1 + 𝑖1 + 𝑖

𝑆 = −𝑅 1 − 1 + 𝑖 𝑛 1 + 𝑖

𝑖

Como

𝑆 = −𝑅 1 − 1 + 𝑖 𝑛 1 + 𝑖

𝑖;

Logo:

𝑆 =𝑅(1 + 𝑖) 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖

No caso de pagamentos variáveis tem-se que ( fluxo antecipado *).Fluxo antecipado porém o modelo considera deposito no mês de resgate, daié um fluxo genérico na verdade.

Após o primeiro mês o primeiro deposito 𝐹0 montara á:

𝐹1 = 𝑅0 1 + 𝑖 + 𝑅1Após o segundo mês o primeiro deposito (𝐹0) acrescido de 𝑅1montara á:

𝐹2 = 𝐹1 1 + 𝑖 + 𝑅2Sucessivamente temos que:

𝐹3 = 𝐹2 1 + 𝑖 + 𝑅3𝐹4 = 𝐹3 1 + 𝑖 + 𝑅4

…

Juros Compostos - Depósitos em série

Note também que:𝐹1 = 𝑅0 1 + 𝑖 + R1

𝐹2 = 𝐹1 1 + 𝑖 + R2 = 𝑅0 1 + 𝑖 + R1 1 + 𝑖 + 𝑅2𝐹2 = 𝑅0 1 + 𝑖 2 + 1 + 𝑖 𝑅1 + 𝑅2

𝐹3 = 𝐹2 1 + 𝑖 + 𝑅3 = 𝑅0 1 + 𝑖 2 + 1 + 𝑖 𝑅1 + 𝑅2 1 + 𝑖 + 𝑅3𝐹3 = 𝑅0 1 + 𝑖 3 + 1 + 𝑖 2𝑅1 + 1 + 𝑖 𝑅2 + 𝑅3

𝐹4 = 𝐹3 1 + 𝑖 + R4 = 𝑅0 1 + 𝑖 3 + 1 + 𝑖 2𝑅1 + 1 + 𝑖 𝑅2 + 𝑅3 1 + 𝑖 + 𝑅4

𝐹4 = 𝑅0 1 + 𝑖 4 + 1 + 𝑖 3𝑅1 + 1 + 𝑖 2𝑅2 +(1 + 𝑖)𝑅3 +𝑅4

No tempo 𝑛, lembrando o resgate é feito após o últimodeposito, assim 𝑅𝑛 não é depositado.

𝑆 =

𝑗=0

𝑛−1

1 + 𝑖 𝑛−𝑗𝑅𝑗

Juros Compostos - Depósitos em série

Fluxo Antecipado

𝑆 =

𝑗=0

𝑛−1

1 + 𝑖 𝑛−𝑗R𝑗

Fluxo Postecipado

𝑆 =

𝑗=1

𝑛

1 + 𝑖 𝑛−𝑗𝑅𝑗

Juros Compostos - Depósitos em série

EXEMPLO 3:

Faz-se um depósito mensal de 𝑅$ 100,00 em uma conta depoupança que paga juros de 0,6% a.m. Qual é o montante na contaao fim de três meses? Considere o fluxo Antecipado e Postecipado.

Fluxo Antecipado Fluxo Postecipado

PagamentoConstante

𝑆 =𝑅(1 + 𝑖) 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖𝑆 =

𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖

Pagamento Variável 𝑆 =

𝑗=0

𝒏−𝟏

1 + 𝑖 𝑛−𝑗R𝑗 𝑆 =

𝑗=1

𝑛

1 + 𝑖 𝑛−𝑗𝑅𝑗

Fluxo Antecipado:

𝑆 =100(1 + 0,006) 1 + 0,006 3 − 1

0,006= 𝑅$303,6144

ou

𝑆 =

𝑗=0

2

1 + 0,006 3−𝑗100 = 100 1,006 3 + 1,006 2100 + 1,006 100 = 𝑅$303,6144

Fluxo Postecipado:

𝑆 =100 1 + 0,006 3 − 1

0,006= 𝑅$301,8036

ou

𝑆 =

𝑗=1

3

1 + 0,006 3−𝑗100 = 1,006 2100 + 1,006 100 + 100 = R$301,8036

O valor presente de uma série de pagamentosrepresenta por exemplo um valor de financiamento a umataxa 𝑖 que será pago em 𝑛 prestações

Fluxo Antecipado Fluxo Postecipado

PagamentoConstante

𝑆 =𝑅(1 + 𝑖) 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖𝑆 =

𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖

Pagamento Variável𝑆 =

𝑗=0

𝑛−1

1 + 𝑖 𝑛−𝑗𝑅𝑗 𝑆 =

𝑗=1

𝑛

1 + 𝑖 𝑛−𝑗𝑅𝑗

Fluxo Antecipado Fluxo Postecipado

Pagamento Constante𝑉𝑃 =

𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1𝑉𝑃 =

𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖 1 + 𝑖 𝑛

Pagamento Variável𝑉𝑃 =

𝑗=0

𝑛−11

1 + 𝑖

𝑗

𝑅𝑗 𝑉𝑃 =

𝑗=1

𝑛1

1 + 𝑖

𝑗

𝑅𝑗

EXEMPLO 4:

Uma empresa conseguiu um financiamento de 𝑅$15000,00 aser liberado em 4 prestações, sendo a primeira paga no ato daliberação dos recursos, a uma taxa de 2% ao ano. Qual o valor daprestação?

Fluxo Antecipado Fluxo Postecipado

Pagamento Constante𝑉𝑃 =

𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1𝑉𝑃 =

𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖 1 + 𝑖 𝑛

Pagamento Variável𝑉𝑃 =

𝑗=0

𝑛−11

1 + 𝑖

𝑗

𝑅𝑗 𝑉𝑃 =

𝑗=1

𝑛1

1 + 𝑖

𝑗

𝑅𝑗

EXEMPLO 4:

Uma empresa conseguiu um financiamento de 𝑅$15000,00 aser liberado em 4 prestações, sendo a primeira paga no ato daliberação dos recursos, a uma taxa de 2% ao ano. Qual o valor daprestação?

Resp.:

𝑉𝑃 = 𝑅1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1

𝑅 =𝑉𝑃 𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1

1 + 𝑖 𝑛 − 1=15000 0,02(1,023)

1,024 − 1= 𝑅$3862,11

Pagamento no ato da liberação dos recursos

VP =

𝑗=0

𝑛−11

1 + 𝑖

𝑗

𝑅𝑗 = 𝑅 +1

1 + 𝑖𝑅 +

1

1 + 𝑖

2

𝑅 +1

1 + 𝑖

3

𝑅

𝑅 =𝑃

1 +1

1 + 𝑖+

11 + 𝑖

2

+1

1 + 𝑖

3=

15000

1 +1

1,02+

11,0404

+1

1,0612

= 𝑅$3862,11

EXEMPLO 5:

Uma empresa conseguiu um financiamento de 𝑅$15000,00 aser liberado em 4 prestações, sendo a primeira paga 1 ano após aliberação dos recursos, a uma taxa de 2% ao ano. Qual o valor daprestação?

EXEMPLO 5:Uma empresa conseguiu um financiamento de 𝑅$15000,00 a ser liberado em 4

prestações, sendo a primeira paga 1 ano após a liberação dos recursos, a uma taxa de 2% ao ano.Qual o valor da prestação?Resp.:

𝑉𝑃 =𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖 1 + 𝑖 𝑛

𝑅 =𝑉𝑃 𝑖 1 + 𝑖 𝑛

1 + 𝑖 𝑛 − 1=15000 0,02(1,024)

1,024 − 1= 𝑹$𝟑𝟗𝟑𝟗, 𝟑𝟓𝟔

Pagamento 30 dias após a liberação dos recursos

𝑉𝑃 =

𝑗=1

𝑛1

1 + 𝑖

𝑗

𝑅𝑗 =1

1 + 𝑖𝑅 +

1

1 + 𝑖

2

𝑅 +1

1 + 𝑖

3

𝑅1

1 + 𝑖

4

𝑅

𝑅 =𝑉𝑃

11 + 𝑖

+1

1 + 𝑖

2

+1

1 + 𝑖

3 11 + 𝑖

4=

15000

11,02

+1

1,02

2

+1

1,02

3

+1

1,02

4

𝑹 = 𝑹$𝟑𝟗𝟑𝟗, 𝟑𝟓