Matemática Básica...Expansões decimais: exemplo 2 0:3 = 0:333::: = 0:3 +0:03 +0:003 + = 3 1 10 +3...

Matemática Básica

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 7

2 de maio de 2012

Aula 7 Matemática Básica 1

A reta numérica


A reta numérica

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Expansões decimais: exemplo 1

4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1100

+ 5 · 11000

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1102 + 5 · 1

103 .

Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1100

+ 5 · 11000

= 4 + 3 · 110

+ 7 · 1102 + 5 · 1

103 .




4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

•

4.375



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

•

4.375

0 1



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

•

4.375

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

•

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

•

4

4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

•

4

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

•

4

4.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.4



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

•

4

4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

•

4

4.37 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.38



4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005

•

4

4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38



0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1100

+ 3 · 11000

+ · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1102 + 3 · 1

103 + · · ·

= 3 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 3 ·

[1/10

1− (1/10)

]=

13.

Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.



0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1100

+ 3 · 11000

+ · · ·

= 3 · 110

+ 3 · 1102 + 3 · 1

103 + · · ·

= 3 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 3 ·

[1/10

1− (1/10)

]=

13.




0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

•

4.375



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

•

4.375

0 1



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

•

4.375

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

•

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

•

4

0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

•

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

•

4

0.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.4



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

•

4

0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

•

4

0.33 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.34



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

•

4

0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34



0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·

E assim por diante. . .

0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34



0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1100

+ 9 · 11000

+ · · ·

= 9 · 110

+ 9 · 1102 + 9 · 1

103 + · · ·

= 9 ·

[1

10+

(1

10

)2

+

(110

)3

+ · · ·

](∗)= 9 ·

[1/10

1− (1/10)

]= 1.




0.9 = 1

Moral:existem números reais que possuemduas expressões decimais diferentes!


Expansões decimais

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Expansões decimais

Exploraremos mais esse assunto posteriormente!


Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é um corpo


Números reais algebricamente (axiomaticamente)

A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):

um corpo ordenado completo.

Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.


R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a,b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a,b ∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a,b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.


R é um corpo










Observações

A notaçãoab

significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).

O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.

Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:

~a =

[1 11 0

], ~b =

[1 10 1

], ~a · ~b 6= ~b · ~a.


Observações

A notaçãoab




~a =

[1 11 0

], ~b =

[1 10 1

], ~a · ~b 6= ~b · ~a.


Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

Todas as proposições abaixo são verdadeiras!

O elemento neutro da adição é único. [PA01]O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]−a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07](1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]−(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10](b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R. [PA11]a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12](−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R. [PA14](−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]




a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA18]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}. [PA19]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b ∈ R. [PA21]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]




1a/b

=ba

, ∀a,b ∈ R− {0}. [PA23]

a/bc/d

=ab· d

c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}. [PA24]


[PA01]

O elemento neutro da adição é único.

Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:

0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).


[PA01]



0′ (1)= 0′ + 0 (2)

= 0 + 0′ (3)= 0,



[PA02]

O elemento neutro da multiplicação é único.

Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:

1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,



[PA02]



1′ (1)= 1′ · 1 (2)

= 1 · 1′ (2)= 1,



[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.

Demonstração. Temos que:

0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,

onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).


[PA03]

0 + a = a, ∀a ∈ R.


0 + a (1)= a + 0 (2)

= a,



[PA04]

1 · a = a, ∀a ∈ R.


1 · a (1)= a · 1 (2)

= a,



[PA05]

Cada número real possui um único elemento simétrico.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que

a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).


[PA05]



a′ (1)= 0 + a′ (2)

= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)

= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)

= a′′,



[PA06]

Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.

Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a 6= 0. Temos que

a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,

onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].


[PA06]



a′ (1)= a′ · 1 (2)

= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)

= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)

= a′′,



[PA07]

−a + a = 0, ∀a ∈ R.

Demonstração. Exercício.


[PA07]

−a + a = 0, ∀a ∈ R.



[PA08]

(1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}.



[PA09]

−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora

− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,



[PA09]



− a + a (1)= a + (−a) (2)

= 0,



[PA10]

1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).

Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora

(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,



[PA10]



(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)

= 1,



[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.

Demonstração. Temos que

(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,



[PA11]

(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a,b, c ∈ R.


(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)

= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,



[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,

onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.


[PA12]

a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.


0 (1)= a · 0− a · 0 (2)

= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0

(4)= a · 0 + (a · 0− a · 0) (5)

= a · 0 + 0 (6)= a · 0,



[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.

Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que

a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,

onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.


[PA13]

(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.


a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)

= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)

= 0,



[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.

Demonstração. Para a primeira igualdade:

− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,

onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:

− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),

onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).


[PA14]

−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a,b ∈ R.


− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)

= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,


− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)

= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)

= (−b) ·a (8)= a · (−b),



[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.


(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,

onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].


[PA15]

(−a) · (−b) = a · b, ∀a,b ∈ R.


(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)

= −(−(a · b)) (3)= a · b,



[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.


a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.


[PA16]

a · bc

= a · bc=

ac· b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.


a · bc

(1)= (a · b) · 1

c(2)= a ·

(b · 1

c

)(3)= a · b

c,



[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a

,

onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,

onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).


[PA17]

−1a=−1a

=1−a

, ∀a ∈ R− {0}.


− 1a

(1)= (−1) · 1

a(2)=−1a

,


(−a) · −1a

(3)= (−a) ·

(−1

a

)(4)= a · 1

a(5)= 1,



[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.

Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:

(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).


[PA18]

1a · b

=1a· 1

b, ∀a,b ∈ R− {0}.


(a·b)·(

1a· 1

b

)(1)= (b·a)·

(1a· 1

b

)(2)=

(b ·(

a · 1a

))·1b

(3)= (b·1)·1

b(4)= b·1

b(5)= 1,



[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,

onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.


[PA19]

a · bc · d

=ac· b

d, ∀a,b,∈ R, ∀c,d ∈ R− {0}.


a · bc · d

(1)= (a · b) ·

(1

c · d

)(2)= (a · b) ·

(1c· 1

d

)(3)= (a · b) ·

(1d· 1

c

)(4)= a ·

(b · 1

d

)· 1

c(5)= a · b

d· 1

c(6)= a · 1

c· b

d(7)=

ac· b

d,



[PA20]

a + bc

=ac+

bc

, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.



[PA21]

−(a + b) = −a− b, ∀a,b,∈ R.



[PA22]

−a + bc

=−a− b

c, ∀a,b,∈ R, ∀c ∈ R− {0}.



[PA23]

1ab

=ba

, ∀a,b ∈ R− {0}.



[PA24]

abcd

=ab· d

c, ∀a ∈ R, ∀b, c,d ∈ R− {0}.



[PA25]

∀a,b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.

Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.


[PA25]




[PA26]

∀a,b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c 6= 0⇒ a = b.

Demonstração. Observe:

a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,

onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c 6= 0, então existe 1/c. Logo:

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,

onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).


[PA26]





a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c(6)⇒ a · (c · 1

c) = b · (c · 1

c)

(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,



Observação

Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever

a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,

no lugar de simplesmente

a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.

Note que a condição c 6= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!


Observação


a · c = b · c e c 6= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c,


a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1

c.



[PA27]

∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.

Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].


[PA27]

∀a,b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.



[PA28]

∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.



[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a 6= 0, então existe 1/a e, portanto,

a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,

onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a 6= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.


[PA29]

∀a,b ∈ R, a · b = 0⇔ a = 0 ou b = 0.

Demonstração.



a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)

=⇒ b · a · 1a= 0 · 1

a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)

=⇒ b = 0,



[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.

(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.

(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c 6= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.


[PA30]

∀a,b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.

Demonstração.




[PA31]

ab=

cd⇔ a · d = b · c, ∀a, c ∈ R, ∀b,d ∈ R− {0}.



[PA32]

ab+

cd

=a · db · d

+b · cb · d

=a · d + b · c

b · d, ∀a, c ∈ R, ∀b,d ∈ R− {0}.



Usando os axiomas e as propriedadesde números reais para resolver

equações


Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!

2 · x − 5 = 9

[PA27]

⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 = 14

(C5)

⇐⇒ 2 · x = 14

[PA28]

⇐⇒ 12· (2 · x) = 1

2· 14

(C3)

⇐⇒(

12· 2)· x =

12· 14

[PA08]

⇐⇒ 1 · x =12· 14

[PA04]

⇐⇒ x = 7.



2 · x − 5 = 9

[PA27]

⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 = 14

(C5)

⇐⇒ 2 · x = 14

[PA28]

⇐⇒ 12· (2 · x) = 1

2· 14

(C3)

⇐⇒(

12· 2)· x =

12· 14

[PA08]

⇐⇒ 1 · x =12· 14

[PA04]

⇐⇒ x = 7.



2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5

(C3)

⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 = 14

(C5)

⇐⇒ 2 · x = 14

[PA28]

⇐⇒ 12· (2 · x) = 1

2· 14

(C3)

⇐⇒(

12· 2)· x =

12· 14

[PA08]

⇐⇒ 1 · x =12· 14

[PA04]

⇐⇒ x = 7.



2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5

[PA07]

⇐⇒ 2 · x + 0 = 14

(C5)

⇐⇒ 2 · x = 14

[PA28]

⇐⇒ 12· (2 · x) = 1

2· 14

(C3)

⇐⇒(

12· 2)· x =

12· 14

[PA08]

⇐⇒ 1 · x =12· 14

[PA04]

⇐⇒ x = 7.



2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14

(C5)

⇐⇒ 2 · x = 14

[PA28]

⇐⇒ 12· (2 · x) = 1

2· 14

(C3)

⇐⇒(

12· 2)· x =

12· 14

[PA08]

⇐⇒ 1 · x =12· 14

[PA04]

⇐⇒ x = 7.



2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14

(C5)⇐⇒ 2 · x = 14

[PA28]

⇐⇒ 12· (2 · x) = 1

2· 14

(C3)

⇐⇒(

12· 2)· x =

12· 14

[PA08]

⇐⇒ 1 · x =12· 14

[PA04]

⇐⇒ x = 7.



2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14

(C5)⇐⇒ 2 · x = 14

[PA28]⇐⇒ 1

2· (2 · x) = 1

2· 14

(C3)

⇐⇒(

12· 2)· x =

12· 14

[PA08]

⇐⇒ 1 · x =12· 14

[PA04]

⇐⇒ x = 7.



2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14

(C5)⇐⇒ 2 · x = 14

[PA28]⇐⇒ 1

2· (2 · x) = 1

2· 14

(C3)⇐⇒

(12· 2)· x =

12· 14

[PA08]

⇐⇒ 1 · x =12· 14

[PA04]

⇐⇒ x = 7.



2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14

(C5)⇐⇒ 2 · x = 14

[PA28]⇐⇒ 1

2· (2 · x) = 1

2· 14

(C3)⇐⇒

(12· 2)· x =

12· 14

[PA08]⇐⇒ 1 · x =

12· 14

[PA04]

⇐⇒ x = 7.



2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5

(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5

[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14

(C5)⇐⇒ 2 · x = 14

[PA28]⇐⇒ 1

2· (2 · x) = 1

2· 14

(C3)⇐⇒

(12· 2)· x =

12· 14

[PA08]⇐⇒ 1 · x =

12· 14

[PA04]⇐⇒ x = 7.


Resolvendo equações. . .

x · x = x

[PA27]

⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)

⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)

⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)

⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x

[PA27]

⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)

⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)

⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)

⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)

⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)

⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)

⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)

⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)

⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)

⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0


(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0


(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0


(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1[PA07]⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0


(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1[PA07]⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)⇐⇒ x = 0 ou x = 1


O que está errado neste argumento?

x = 1

⇐⇒

x2 = x

⇐⇒

x2 − 1 = x − 1

⇐⇒

(x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒

(x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒

x + 1 = 1

⇐⇒

x = 0

É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.

Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒

x2 − 1 = x − 1

⇐⇒

(x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒

(x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒

x + 1 = 1

⇐⇒

x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒

(x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒

(x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒

x + 1 = 1

⇐⇒

x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒

(x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒

x + 1 = 1

⇐⇒

x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒

x + 1 = 1

⇐⇒

x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒ x + 1 = 1

⇐⇒

x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒ x + 1 = 1

⇐⇒ x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



Verdadeiro ou falso?

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐=

2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

=⇒

2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐=


2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

=⇒

2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

=⇒

2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0


2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

=⇒

2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0


2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0


2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!


Cuidado com as implicações e equivalências!

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

=⇒

2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒

x · (2 · x − 5) = 0

=⇒

x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒

x = 0 ou x =52

Cuidado!

Toda solução de2 · x2 − 5 · x

x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,

mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x

x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒

x · (2 · x − 5) = 0

=⇒

x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒

x = 0 ou x =52

Cuidado!


x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,


x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒

x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒

x = 0 ou x =52

Cuidado!


x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,


x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒

x = 0 ou x =52

Cuidado!


x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,


x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒ x = 0 ou x =52

Cuidado!


x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,


x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒ x = 0 ou x =52

Cuidado!

Você pode usar implicações (⇒) para resolver equações, mas

nem todo número obtido no final pode ser solução da equação original.



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒ x = 0 ou x =52

Cuidado!

É preciso tirar a “prova real”!

x = 0 não é solução da equação2 · x2 − 5 · x

x − x3 = 0!



Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

⇐⇒

x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0

⇐⇒

x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0

⇐⇒

[x = 0 ou x =

52

]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1

]

⇐⇒

x =52




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

⇐⇒

x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0

⇐⇒

x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0

⇐⇒

[x = 0 ou x =

52

]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1

]

⇐⇒

x =52




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

⇐⇒

x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0

⇐⇒

x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0

⇐⇒

[x = 0 ou x =

52

]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1

]

⇐⇒

x =52




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0

⇐⇒

x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0

⇐⇒

[x = 0 ou x =

52

]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1

]

⇐⇒

x =52




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0

⇐⇒

[x = 0 ou x =

52

]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1

]

⇐⇒

x =52




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0

⇐⇒[x = 0 ou x =

52

]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1

]

⇐⇒

x =52




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0

⇐⇒[x = 0 ou x =

52

]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1

]⇐⇒ x =

52


Matemática Básica...Expansões decimais: exemplo 2 0:3 = 0:333::: = 0:3 +0:03 +0:003 + = 3 1 10 +3...

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