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Parte integrante da apostila do NUCE. Todos os direitos reservados ao Professor Eliton Mendes – email: [email protected] © Copyright. Proibida a reprodução total ou parcial desta obra.

Matemática

Com a evolução da humanidade, o homem, como ser racional e dominador do meio, sentiu a necessidade de contar e atribuir números a tudo que via. Essa necessidade fez com que a ciência dos números, a matemática, alcançasse uma evolução incrível e hoje tudo que vemos se explica através dela. O que pretendemos aqui é mostrar como essa ciência tão nobre fará com que seus sonhos se tornem realidade.

NÚMEROS NATURAIS

Os números Naturais surgiram com a necessidade das civilizações antigas em contar os rebanhos.

,5,4,3,2,1,0N

A ausência do algarismo zero ( 0 ) dá origem ao subconjunto dos números Naturais.

,5,4,3,2,1* N

Obs.: à representação dos números chamamos de numeral, por exemplo: 18 é o numeral representado pelos algarismos 1 e 8. O sucessor de um número Natural é o número que vem imediatamente após. Ex.: 4 é o sucessor de 3 O antecessor de um número Natural é o número que vem imediatamente antes. Ex.: 4 é o antecessor de 5 No geral, um sucessor de um número n é (n + 1) e o antecessor do número n é (n – 1). Operação de adição a + b = c a e b são as parcelas e c é a soma. Ex.: Comprei um objeto em quatro prestações. O

valor da 1ª prestação é de R$ 29,00 e nas demais prestações haverá, todo mês, um aumento de R$ 3,50 em relação ao mês anterior. Quanto pagarei pelo objeto?

Sabemos o valor da primeira prestação (R$ 29) e também sabemos que em cada prestação há um acréscimo de R$ 3,50. Com isso dá para montar uma sequência que indica o valor de cada parcela. Veja: primeira parcela 29 segunda parcela 29,00 + 3,50 = 32,50

terceira parcela 32,50 + 3,50 = 36,00 quarta parcela 36,00 + 3,50 = 39,50 Somando todas as parcelas: 29,00 + 32,50 + 36,00 + 39,50 = 137,00 Propriedades da adição a) Fechamento: a soma de dois números naturais é

um número natural. Ex.: 15 + 12 = 27 b) Comutativa: a ordem das parcelas não altera a

soma.

Ex.: 4 5 5 4 9 4 5

9 5 4

c) Elemento Neutro: o número zero. Ex.: 5 + 0 = 5 ou 0 + 5 = 5 d) Associativa: a adição de três números naturais

pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as duas últimas parcelas.

Ex.: 5) (3 2 5 3) (2 10 8 2 5) (3 2

10 5 5 5 3) 2(

Operação de Subtração

diferençaou resto c

subtraendo b

minuendo a

c b - a

Ex.: Angelina, Dilma e Célia colecionam cartões telefônicos e possuem juntas 13700. Se elas não contassem os cartões de Angelina, a coleção somaria 9700 e se não contassem os cartões de Dilma, somaria 7200. Quantos cartões cada amiga possui? A soma das quantidades de cartões das três amigas é 13700 e se não contassem os cartões de Angelina teria somente a soma dos cartões de Dilma e Célia que é de 9700, logo: 13700 – 9700 = 4000 Angelina possui 4000 cartões. Se não contassem os cartões de Dilma, somaria apenas os cartões de Angelina e Célia que é de 7200, logo: 13700 – 7200 = 6500 Dilma possui 6500 cartões. Como Dilma e Célia possuem juntas 9700



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cartões, temos: 9700 – 6500 = 3200 Célia possui 3200 cartões. Operação de Multiplicação

produto c

fatores b a, c b a

Propriedades da Multiplicação

a) Fechamento: o produto de dois números naturais é um número natural.

Ex.: 5

. 3 = 15

b) Comutativa: a ordem dos fatores não altera o

produto

Ex.: 2 7 7 2 14 2 7

14 7 2

c) Elemento Neutro: o número um. Ex.: 8

. 1 = 8 ou 1

. 8 = 8

d) Associativa: a multiplicação de três números

naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores.

Ex.: 5) (4 3 5 4) (3 60 20 3 5) (4 3

60 5 12 5 4) 3(

e) Distributiva em Relação à Adição: na

multiplicação de uma soma por um número natural, multiplica-se cada um dos termos por esse número.

Ex.: 3 4 5 4 3) (5 4 32 12 20 3 4 5 4

32 8 4 3) (5 4

Ex.: A cantina de uma escola oferece sanduíches com dois tipos de pães: pão francês e pão de forma. As opções para o recheio são quatro: presunto, queijo, salame e mortadela. Um aluno quer comer um sanduíche formado por um tipo de pão e um tipo de recheio. Quantas opções de sanduíches ele tem para sua escolha? Observe que para montar esse sanduíche é preciso escolher um dentre as duas opções de pães e escolher uma dentre quatro opções de recheio, veja: para escolher o pão: 2 opções

para escolher o recheio: 4 opções Logo, 2 x 4 = 8 opções de sanduíches Operação de Divisão

resto r

quociente q

divisor d

dividendo D

r q d Dou d | q r

D

Chamamos a equação r q d D de algoritmo de

Euclides, em homenagem ao grande matemático Euclides de Alexandria. Obs.: uma divisão é exata, quando o resto é igual a zero.

10 0

12 | 120

O maior resto possível em uma divisão não exata é (d – 1).

15 11

12 | 191 observe que o resto 11 é o maior resto

possível, ou seja, (12 – 1) onze. Ex.: Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é uma unidade maior que o divisor e o resto, o maior possível. Qual é o valor do dividendo? O divisor é 12: d = 12 O quociente uma unidade maior que o divisor: q = 13 O resto é o maior possível: r = 12 – 1 = 11 Utilizando o algoritmo de Euclides, temos: D = d x q + r → D = 12 x 13 + 11 = 156 + 11 D = 167 Ex.: Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi de 1400 reais e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo-se que o preço do ingresso foi de 10 reais e que cada sócio pagou a metade desse valor, o número de sócios presentes ao show foi de quanto? Observe que se todas as 200 pessoas presentes no show não fossem sócios, então o valor arrecadado seria de: 200 . 10 = 2000 reais



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Porém, o valor arrecadado foi de 1400, logo uma baixa de: 2000 – 1400 = 600 Essa baixa foi provocada por quem? Respondo eu: “pelos sócios é claro!” Como sabemos o quanto cada sócio pagou (5 reais), podemos descobrir quantos sócios provocaram essa baixa de 600 reais, veja: 600 : 5 = 120 sócios

EXERCÍCIOS

01) (Câmara Federal) A soma de quatro números consecutivos é 206. Qual é o maior deles ? a) 50 b) 53 c) 51 d) 52 e) 54 02) (Câmara Federal) A leitura correta de 2.500.204 é: a) dois milhões e quinhentos mil, duzentos e quatro b) dois milhões e quinhentos mil e duzentos e quatro c) dois milhões, quinhentos mil, duzentos e quatro d) dois milhões, quinhentos mil e duzentos e quatro 03) (Atendente Judiciário – Esaf) Numa eleição em que dois candidatos disputaram o mesmo cargo, votaram 2.150 eleitores. O candidato vencedor obteve 148 votos a mais que o candidato derrotado. Sabendo-se que houve 242 votos nulos, quantos votos obteve cada candidato ? a) 1.149 e 1.001 b) 1.100 e 952 c) 1.223 e 1.075 d) 1.028 e 880 e) 1.001 e 907 04) (Atendente Judiciário – Esaf) Uma torneira despeja 180 litros de água em 9 minutos. Quantos litros despejará em 2 horas e 15 minutos ? a) 2.345 b) 1.800 c) 1.890 d) 2.360 e) 2.700 05) A idade de uma mãe, atualmente, é 28 anos a mais que a de sua filha. Em dez anos, a idade da mãe será o dobro da idade da filha. Indique a soma

das idades que a mãe e a filha têm hoje. (Observação: as idades são consideradas em anos.) a) 61 b) 62 c) 63 d) 64 e) 65

01) 06) Uma empresa de exportação de gasolina comunicou à ANP o desaparecimento de 7,2 milhões de litros de gasolina dos seus depósitos. Se um caminhão tanque tem capacidade de 32 m

3 e a cada m

3 temos mil litros, quantos

caminhões seriam necessários para transportar a gasolina desaparecida?

a) 205 b) 210 c) 215 d) 220 e) 225 07) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da pesquisa indicaram que: 310 pessoas compram o produto A;

220 pessoas compram o produto B; 110 pessoas compram os produtos A e B; 510 pessoas não compram nenhum dos dois produtos.

Qual o número de consumidores entrevistados? a) 820 b) 890 c) 930 d) 950 e) 1040

08) Se hoje é domingo, qual será o dia da semana, passados 100 dias a partir de hoje? a) terça-feira b) quarta-feira c) quinta-feira d) sexta-feira e) segunda-feira 09) Um reservatório é alimentado por duas torneiras: a primeira dá 38 litros por minuto e a segunda, 47. A saída da água é por um orifício que deixa passar 21 litros por minuto. Deixando abertas as torneiras e o orifício, o reservatório se enche em 680 minutos. Qual é a sua capacidade? a) 43520 b) 43500 c) 44000 d) 44500 e) 45000



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10) A distância de João Pessoa a Catolé do Rocha é de 451 km. Fazendo-se esse percurso num automóvel que consome 1 litro de gasolina a cada 11 km, e sabendo-se que o litro desse combustível custa R$ 3,00, gastar-se-á com combustível nessa viagem: a) R$ 120,00 b) R$ 123,00 c) R$ 126,00 d) R$ 129,00 e) R$ 132,00

MÚLTIPLOS E DIVISORES

Dados os números naturais A e B, dizemos que A é múltiplo de B, se e somente se, a divisão de A por B for exata, ou seja, deixar resto zero. Então dizemos que A é múltiplo de B. Em contra partida B é divisor de A. Ex.: 6 é múltiplo de 2 e 2 é divisor de 6. Obs.: O número zero (0) é múltiplo de qualquer número, mas não é divisor, pois não existe divisão por zero. O QUE É NÚMERO PRIMO? Um número natural é primo quando só possui dois divisores, 1 e ele mesmo. Caso ele tenha mais de dois divisores, então esse número é chamado de número composto.

O número 1 não é primo nem composto.

,...23,19,17,13,11,7,5,3,2P aqui temos alguns

números primos.

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Um número será divisível por: a) Dois, quando for par, ou seja, terminar em 0, 2,

4, 6, 8; 60, 86, 92, 1298 b) Três, quando a soma de seus algarismos for um

número divisível por 3; 123 (1+2+3=6), 702(7+0+2=9), 1836(1+8+3+6=18) c) Quatro, quando seus dois últimos algarismos

formarem um número divisível por 4; 104 (04 é divisível por 4) 524 (24 é divisível por 4) 1384 (84 é divisível por 4) d) Cinco, quando terminar em zero ou em cinco;

100, 625, 1005 e) Seis, quando for divisível por dois e por três

simultaneamente; 102, 324, 82314 f) Sete, quando a diferença entre o dobro do

último algarismo e o número formado pelos algarismos restantes for um número divisível por sete;

238 (8 x 2 = 16 → 23 – 16 = 7: como 7 é divisível por 7, 238 também é divisível.) 693 (3 x 2 = 6 → 69 – 6 = 63; 63: 3 x 2 = 6; 6 – 6 = 0: como 0 é divisível por 7, 693 também é divisível)

g) Oito, quando os três últimos algarismos formar um número divisível por oito;

12240, é divisível por 8 pois 240 é divisível por 8 95880, é divisível por 8, pois 880 é divisível por 8 h) Nove, quando a soma dos algarismos for um

número divisível por nove; 567 (5 + 6 + 7 = 18 é divisível por 9) 2124 (2 + 1 + 2 + 4 = 9 é divisível por 9) i) Dez, quando terminar em zero; 10, 100, 120, 2490 j) Onze, quando a diferença entre a soma dos

algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar for um número divisível por onze.

7.973.207 S(ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23; S(ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12 diferença = 11 DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Todo número natural maior que 1, pode ser escrito como um produto de fatores primos. Decompor em fatores primos, significa escrever o número como um produto de fatores primos.

Ex.: Decompor os números 16, 40, 240, 108. Temos que começar dividindo o número pelo menor número primo caso esse seja divisível e continuamos dividindo por ele até que não seja mais divisível e assim passamos para o próximo primo que seja divisor do quociente.



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NÚMERO DE DIVISORES NATURAIS Admitamos que um certo número é representado na forma fatorada da seguinte maneira: N = a

x. b

y. c

z. d

w então:

n.d.n. = (x + 1).(y + 1).(z +1).(w + 1) n.d.i = 2. (x + 1).(y + 1).(z +1).(w + 1) Quantos divisores naturais possui o número 240? Primeiro fatoramos 240. Temos que: 240 = 2

4 . 3

1 . 5

1

n.d.n = (4 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 5 . 2 . 2 = 20 Então, o número 240 possui 20 divisores positivos (naturais). E por sua vez, o dobro disso ( 2 . 20 ) de divisores inteiros (positivos e negativos). 20 divisores naturais 40 divisores inteiros OBTENÇÃO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO Encontre os divisores de 108: Fatoramos o número dado.

Anotamos o número 1, que é divisor universal.

Multiplicamos o 1º fator primo pelo 1 e anotamos o

resultado.

Multiplicamos os próximos fatores pelos divisores já obtidos e anotamos os resultados.

SOMA DOS DIVISORES DE UM NÚMERO Seja N um número natural fatorado da seguinte forma:

A soma dos divisores de N é dado por:

Obtenha a soma dos divisores de 108: se fôssemos somar todos dos divisores de 108 daria um trabalho enorme, veja: 1+2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 27 + 36 + 54 + 108 = 280

Trabalhão não é mesmo? Usando a fórmula acima chegaremos mais rápido ao resultado: primeiro fatoramos 108 = 2

2 . 3

3

aplicando a fórmula:



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28040.72

80.

1

7

2

181.

1

18

2

13.

1

12

13

13.

12

12 431312

N

N

Percebeu que é menos trabalho? OK!

EXERCÍCIOS

01) Indique a alternativa falsa. Um número natural

é divisível por: a) 2 se termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. b) 3 se a soma dos seus dígitos é divisível por 3. c) 5 se a soma dos seus dígitos é divisível por

5. d) 6 se é divisível por 2 e por 3. e) 9 se a soma dos seus dígitos é divisível por 9. 02) Considere o número 313131A, onde A

representa o algarismo das unidades. Se esse número é divisível por 4, então o valor máximo que A pode assumir é:

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 03) Considere o número de 9 algarismos, dos quais o algarismo das unidades é n e todos os demais são iguais a 2, isto é, o número 22222222n. O valor de n a fim de que esse número seja divisível por 6, é: a) 2 ou 8 b) 2 ou 7 c) 0 ou 6 d) 3 ou 9 e) 4 04)Qual das afirmativas abaixo não é verdadeira, a respeito do número natural

1.2.3.4.5.6.7.8

12.13.14.15.16.17.18.19?

a) é par. b) é múltiplo inteiro de 3. c) é múltiplo inteiro de 7. d) é múltiplo inteiro de 13. e) é múltiplo inteiro de 19. 05) A soma de todos os divisores positivos de 28 é igual a: a) 11 b) 12 c) 28 d) 56

e) 60 06) Se um número n , inteiro positivo, é produto de quatro números primos distintos, o número de divisores de n é: a) 12 b) 16 c) 24 d) 32 e) 96 07) Seja P(x) o conjunto de todos os números primos positivos que são divisores de x. O número de elementos de P(12600) é: a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 08) O produto das idades de três amigos adolescentes (entre 12 e 19 anos) corresponde a 4080 anos. Qual a soma de suas idades em anos? a) 48 b) 49 c) 50 d) 51 e) 52 09) Se os números naturais a e b são tais que, a é par e b é ímpar, podemos afirmar que: a) (a + b) é par. b) (2a + b) é par. c) (a - 2b + 1) é ímpar. d) (a + b - 1) é ímpar. e) (a + 2b) é ímpar. 10) Seja N o menor inteiro positivo cujo triplo é divisível por 9, 11 e 14. Então, a soma dos algarismos de N é: a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12 11) Quantos são os divisores naturais do número 1.003.003.001 = (10

3 + 1)

3 ?

a) 64 b) 60 c) 56 d) 52 e) 48



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MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

O MDC de vários números naturais é o produto dos fatores primos comuns elevados aos seus menores expoentes. A exemplo, vamos calcular o MDC (108, 180): APLICANDO MDC A PROBLEMAS a) Tenho 84 balas de coco, 144 balas de

chocolate e 60 balas de leite. Quero formar pacotes de balas, sem misturar sabores. Todos os pacotes devem ter a mesma quantidade de balas e essa quantidade deve ser a maior possível. Quantas balas devo colocar em cada pacote? Quantos pacotes devo formar?

b) Um carpinteiro quer dividir, em partes iguais,

três vigas, cujos comprimentos são respectivamente, 30 dm , 42 dm e 54 dm, devendo a medida de cada um dos pedaços ser a maior possível. Qual a medida de cada uma das partes ? Qual a quantidade de partes iremos formar?

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

O MMC de vários números naturais é o produto dos fatores primos comuns e não comuns elevados aos seus maiores expoentes. A exemplo, vamos calcular o MMC (108, 180):

APLICANDO MMC A PROBLEMAS a) Fazer lição dá uma fome... Luciana comeu

muitos doces e tomou vários refrigerantes. Era dia 1º de maio. Luciana decidiu que, a partir de então, para não engordar, só comeria doces de 4 em 4 dias e só tomaria refrigerantes de 6 em 6 dias. Em que dias do mês de maio ela voltaria a comer doces e tomar refrigerantes no mesmo dia?

b) Dois ciclistas largaram juntos numa pista,

percorrendo-a com velocidade constante. Alberto completa cada volta em 18 minutos. Barreto leva 22 minutos em cada volta. Depois de quantas horas os dois cruzarão juntos pela primeira vez o ponto de largada? E pela segunda vez?

EXERCÍCIOS

01) Sejam M e D o mínimo múltiplo comum e o

máximo divisor comum dos números 270 e 36. Comparando-se M e D, tem-se que:

a) M + D = 46 b) D = M/5 c) M = 30D d) M - D = 360 e) M . D = 927

02) Sejam a N* e b N* , dois números naturais consecutivos. Assinale a sentença FALSA.

a) a e b são números primos entre si. b) a + b é divisível por 3. c) mmc (a, b) = a.b . d) mdc (a, b) = 1. e) a.b é um número par. 03) O MDC entre os números 720, 540 e 420 é: a) 40 b) 36 c) 60 d) 42 e) 24



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04) Quais os números compreendidos entre 100 e 2000 que são múltiplos de 36, 45 e 54, simultaneamente ?

a) 540, 1260 e 1840 b) 540, 1080 e 1620 c) 450 e 1280 d) 360, 1380 e 1640 e) 450, 1260 e 1860 05) Uma enfermeira recebeu um lote de

medicamentos com 132 comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico. Deverá distribuí-los em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade possível de um único tipo de medicamento. Considerando que todos os recipientes deverão receber a mesma quantidade de medicamento, o número de recipientes necessários para essa distribuição é

a) 24

b) 16

c) 12

d) 8

e) 4

06) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes “piscam” com freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se um certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?

a) 30 b) 20 c) 15 d) 12 e) 10 07) O produto de dois números inteiros positivos,

que não são primos entre si, é igual a 825. Então o máximo divisor comum desses dois números é:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 11 e) 15 08) Um proprietário quer plantar palmeiras na

frente e na lateral de um terreno de esquina cujas medidas são 140m e 112m. A pessoa deseja que a distância entre as palmeiras seja a maior possível. Então o número de palmeiras necessárias para o plantio é:

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11 09) O número de divisores naturais do número 546

diminuído do máximo divisor comum dos números 273 e 130 é:

a) 1 b) – 1 c) 4 d) 0 e) 3 10) Pelo processo das divisões sucessivas,

encontramos quocientes 2, 1, 1, 3 e 3 respectivamente, e o mdc desses dois números 10. Calcule os números. 590 e 230

11) Numa avenida com 10 km de extensão, a cada

250 m a partir do início, há uma parada de ônibus e a cada 225 m também a partir do início da avenida, há uma parada de bonde. Há quantos metros do início da avenida coincidem pela 3a vez as paradas de ônibus e de bonde ?

a) 6.750 m b) 7.650 m c) 7.200 m d) 6.850 m e) 8.250 m 12) A Editora do livro “Como ser aprovado no

Vestibular” recebeu os seguintes pedidos de três livrarias:

Livraria Número de Exemplares A 1300 B 1950 C 3900 A Editora deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais, de tal forma que n seja o menor possível. Calcule o número n. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

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