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4 Matemática • •• Alexander dos Santos Dutra • Ingrid Regina Pellini Valenço Professor
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4Matemática ••• Alexander dos Santos Dutra • Ingrid Regina Pellini Valenço
A Matemática e a Arquitetura
A Arquitetura é uma área profissional que alia conhecimento técnico e arte, a fim de proporcionar soluções para as mais diversas situações humanas.
Desde tempos remotos, a humanidade tem arquitetado e construído as mais incríveis estruturas
que deixam perplexos seus observadores. Quem nunca se maravilhou diante da magnitude das pirâmides do Egito, erigidas há milhares de anos, ou diante de grandes edifícios como o Sears Tower, de 108 andares e 442 metros de altura, ou de grandes pontes como a Rio–Niterói?
Aparentemente essas grandes obras da Arquitetura desafiam a lógica humana. Saiba, porém, que não foi mágica, mas a Matemática e a Geometria, que você acabou de estudar, que permitiram tais proezas arquitetônicas.
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Módulo 10
Progressão aritmérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Sequências numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Progressão aritmética (PA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Agora é a sua vez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
De olho no vestibular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Módulo 11
Progressão geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1. Classificação de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Termo geral de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Interpolação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Soma dos termos de uma PG finita . . . . . . . . . . . . . . 17
5. Soma dos termos de uma PG infinita . . . . . . . . . . . . 18
Agora é a sua vez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
De olho no vestibular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Módulo 12
Geometria plana 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1. Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2. Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3. Circunferência inscrita e circunscrita
a polígonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4. Áreas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Agora é a sua vez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
De olho no vestibular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Referências bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
SUMÁRIO
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10 Progressão aritmética
Ao observar os fatos do dia a dia, é possível descobrir padrões numéricos em várias situações: a numeração das casas de uma rua – de um lado, os números pares,
e do outro, os ímpares; as fases da Lua; as estações do ano; as eleições presidenciais; a Copa do Mundo; as Olimpíadas. Esses padrões se chamam sequências quando obedecem a uma determinada ordem.
Sequência ou sucessão numérica: qualquer con junto de números dispostos ordenadamente. De modo geral, é representada como A = (a
1, a
2, a
3, a
4, a
5, ..., a
n, ...), em que a
1 é o primeiro
termo, a2 é o segundo termo, a
3 é o terceiro e assim
por diante. O an é o enésimo termo (ou elemento),
também conhecido como termo geral da sequência.
1. SequênciaS numéricaS
Os meses do ano podem ser escritos como um conjunto: A = {março, janeiro, dezembro, ...}, sem necessariamente
obedecer a uma ordem; porém, a sequência “meses do ano”, obrigatoriamente, precisa estar em ordem. Assim, numa sequência ou sucessão, os elementos são dispostos em ordem, separados por vírgula ou ponto e vírgula e entre parênteses. A sequência “meses do ano” será:
A = (janeiro, fevereiro, março, abril, ..., novembro, dezembro)
Essa é uma sequência finita.
Os números primos formam uma sequência numérica. A sucessão desses números pode ser representada da seguinte forma:
P = (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...)
Essa é uma sequência infinita.
Para algumas sequências, existe uma lei de formação pela qual podese encontrar qualquer um de seus elementos, quando conhecida sua posição.
exercícios resolvidos
1. Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida pela lei a
n = n – 2, com n ∈ N*.
Resolução
Para n = 1, temse: a1 = 1 – 2 = –1
Para n = 2, temse: a2 = 2 – 2 = 0
Para n = 3, temse: a3 = 3 – 2 = 1
Para n = 4, temse: a4 = 4 – 2 = 2
Para n = 5, temse: a5 = 5 – 2 = 3
Portanto, os cinco primeiros termos da sequência são:
–1, 0, 1, 2 e 3
2. Escreva a sequência dada por a1 = –2 e a
n = a
n – 1 + 3,
com n ∈ N e n > 1.
Resolução
Para n = 1, já se sabe que a1 = –2
Se n = 2, então: a2 = a
2 – 1 + 3 = a
1 + 3 = –2 + 3 = 1
Se n = 3, então: a3 = a
3 – 1 + 3 = a
2 + 3 = 1 + 3 = 4
Se n = 4, então: a4 = a
4 – 1 + 3 = a
3 + 3 = 4 + 3 = 7, e assim
por diante.Logo, a sequência é:
(–2, 1, 4, 7, ...)
3. Escreva a sequência dada por a1 = a
2 = 1 e a
n = a
n – 1 +
an – 2
, com n ∈ N e n > 2.
Resolução
Sabese que a1 = a
2 = 1
Para n = 3:a
3 = a
3 – 1 + a
3 – 2 = a
1 + a
2 = 1 + 1 = 2
Para n = 4:a
4 = a
4 – 1 + a
4 – 2 = a
3 + a
2 = 1 + 2 = 3
Para n = 5:a
5 = a
5 – 1 + a
5 – 2 = a
4 + a
3 = 3 + 2 = 5
Para n = 6:a
6 = a
6 – 1 + a
6 – 2 = a
5 + a
4 = 5 + 3 = 8
Assim, a sequência é:
(1, 1, 2, 3, 5, 8, ...)
A partir do terceiro elemento, cada termo é igual à soma dos dois anteriores, ou seja, o termo a
7 = 13 é a
soma dos dois anteriores (5 + 8 = 13) e assim sucessivamente. Essa sequência é conhecida como sequência de Fibonacci.
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2. PROGRESSÃO ARITMÉTICA PA
De forma semelhante a Fibonacci, vamos resolver o se-guinte problema: construir triângulos utilizando 23 canudi-nhos de refrigerante.
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Utilizando 23 canudinhos, é possível formar quantos triângulos?
A quantidade de canudinhos usada para construir mais um triângulo forma a seguinte sequência: (3, 5, 7, 9, ...).
Portanto, são necessários 2 novos canudos para obter mais um triângulo. O novo elemento da sequência pode ser obtido assim:
3 5 7 9 11
+2 +2 +2 +2
O diagrama acima ressalta o fato de que cada novo ele-mento é obtido com a soma de um fator (no caso, 2) ao
elemento anterior. A esse número, que se soma para obter um novo elemento da sequência, dá-se o nome de razão, e esse tipo de sequência é chamada de progressão arit-mética (PA).
Progressão aritmética: toda sequência em que, a partir do segundo termo, cada termo é obtido so-mando-se uma constante (um número fi xo) ao ele-mento anterior. Essa constante é chamada de “razão da PA”, representada pela letra r (r ∈ �).
Retornando ao problema original, a sequência com a quantidade de canudos na construção dos triângulos fi ca assim: (3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ...).
Nessa sequência, o número 23 é o 11o elemento. Isso signifi ca que, com 23 canudinhos, é possível formar 11 triângulos.
Ao resolver problemas dessa natureza, é importante asso-ciar a posição do elemento da progressão ao seu valor. Para isso, adota-se a seguinte notação: PA (a
1, a
2, a
3, a
4, ..., a
n – 1, a
n, ...).
Nesse caso, a1 é o primeiro termo, a
2 é o segundo ter-
mo, e assim sucessivamente. Também é importante conhe-cer a razão da PA. Para isso, nota-se, no exemplo anterior, que: 2 = 5 – 3 = 7 – 5 = ...
Sequência de Fibonacci
Fibonacci, que signifi ca “fi lho de Bonaccio”, foi um grande matemático da Idade Média, cujo nome era
Leonardo de Pisa. Ele viveu nos anos 1200 e publicou o Liber abaci (“livro do cálculo”), no qual propôs o seguinte pro-blema: “Um casal de coelhos torna-se produtivo depois de dois meses de vida. A partir de então, produz um novo ca-sal a cada mês. Começando com um único casal de coelhos recém-nascidos, quantos casais haverá no fi m de dois anos?”
Para solucionar o problema proposto por Fibonacci, observe o diagrama a seguir.
número de casais
1
1
2
3
5
Para esse resultado é dado o nome de sequência de Fibonacci, que pode ser defi nida por meio da função:
f : �* → � tal que f nn
f n f n n( )
( ) ( )=
≤− + − >
1 2
1 2 2
para
para
Usando essa função, obtém-se:
f(1) = 1f(2) =1f(3) = f(1) + f(2) = 1 + 1 = 2f(4) = f(2) + f(3) = 1 + 2 = 3f(5) = f(3) + f(4) = 2 + 3 = 5f(6) = f(4) + f(5) = 3 + 5 = 8f(7) = f(5) + f(6) = 5 + 8 = 13f(8) = f(6) + f(7) = 8 + 13 = 21f(9) = f(7) + f(8) = 13 + 21 = 34... ... ...
1
0 1
2
2
3
3 4
5
5 6 ...
f(n)
(n)
8
...
Dessa forma, chega-se à seguinte sequência: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...), que representa a quantidade de casais de coelhos ao longo dos meses. Ao término de dois anos haverá 46 368 coelhos.
Essa sequência tem aplicações na natureza, em análi-ses do mercado fi nanceiro e em computação, sendo mui-to útil em diversas áreas.
Saiba mais
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Então:
r = a2 – a
1 = a
3 – a
2 = ... = a
n – a
n – 1
ou
r = an – a
n – 1
classificação da Pa
Uma PA pode ser classificada como:• crescente: quando a razão é positiva ( r > 0).Exemplo: a sequência (2, 8, 14, 20, ...) é uma progressão
aritmética crescente de razão r = 6.
• decrescente: quando a razão é negativa ( r < 0).Exemplo: a sequência (12, 9, 6, 3, 0, –3) é uma progressão
aritmética decrescente de razão r = –3.
• estacionária: quando a razão é nula ( r = 0).Exemplo: a sequência (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...) é uma progres
são constante ou estacionária.
Fórmula do termo geral
Supõese que seja calculado quantos canudos são necessários para construir 100 triângulos usando o mesmo método já apresentado. Nesse caso, usase uma maneira mais eficiente do que ficar somando 2 até achar o termo desejado.
Desse modo, reconstróise a sequência do exemplo, desta vez assim:
a1 = 3
a2 = 3 + 2 = 5
a3 = 5 + 2 = 3 + 2 + 2 = 3 + 2 · 2 = 7
a4 = 7 + 2 = 3 + 2 · 2 + 2 = 3 + 3 · 2 = 9
a5 = 9 + 2 = 3 + 3 · 2 + 2 = 3 + 4 · 2 = 11
.
.
.a
n = a
n – 1 + r = a
1 + (n – 1) · r
Ao obter um novo termo da PA (an), o número de vezes
que é somada a razão ao primeiro termo (a1) é sempre 1 a
menos (n – 1) que a sua posição (n). Portanto, uma expressão para o termo geral de uma PA é:
an = a
1 + (n – 1) · r
Em que:
a
an ==
termo geral ou o enésimo termo
primeir1 oo termo
número de termos da PA
razão da
n
r
== PPA
Para resolver esse problema, calculase o centésimo elemento (a
100) da PA, em que a
1 = 3 e r = 2, ou seja:
a100
= a1 + (100 – 1) · r
a100
= 3 + 99 · 2 = 201
Portanto, serão necessários 201 canudinhos para construir 100 triângulos.
Podese entender a razão do nome progressão aritmé-tica observando, através de um exemplo, uma de suas propriedades:
(2, 8, 14, 20, 26)
8 20
214
+=
2 14
28
+=
Qualquer termo central de uma PA pode ser escrito como a média aritmética entre o termo anterior e o termo posterior, ou seja:
aa a
aa a
aa a
nn n
21 3
32 4 1 1
2 2 2= + = + = +− +, , ...
Uma PA pode também ser entendida como uma função em que a variável é composta por números naturais positivos. No exemplo usado até aqui, a PA (3, 5, 7, 9, ...) pode ser escrita como uma função:
f : N* → R tal que f(x) = 2(x – 1) + 3 ou f(x) = 2x + 1Dessa forma, a razão corresponde ao coeficiente angular (2).
Essa sequência pode ser representada de forma gráfica por:
1
1
2
2
3
3 4
5
f
x
8
4
6
7
9
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exercícios resolvidos
1. Determine x de modo que (3x – 1, x + 3, x + 9) seja uma PA.
Resolução
xx x
x x x
x
+ = − + + ⇒ + = + ⇒ = −
∴ = −
33 1 9
24 8 2 6 2 2
1
S = {–1}
2. Dada a PA (1, 4, 7, 10, 13, ...), escreva o seu termo geral e o 10° termo dessa progressão.
Resolução
a a n r
a
a
n n
r
n
n
= + −
==
== − =
111
1
4 1 3
( )
termo geral
an = 1 + (n – 1) · 3 = 1 + 3n – 3
∴ an = 3n – 2
Para n = 10, temsea
10 = 3(10) – 2
∴ a10
= 28
3. Calcule o número de termos da PA (–4, –1, 2, ...,128).
Resolução
a a n r
a
a
n
r
n
n
= + −
== −
== − − − =
111
128
4
1 4 3
( )?
( )
= − + − ⋅ ⇒ − = ⇒⇒ =128 4 1 3 3 3 132
3 135
( )n n
n
∴ n = 45
4. Numa PA, temse a6 = 18 e a
10 = 54. Obtenha a razão
dessa sequência.
Resolução
Observe que, pelo termo geral:a
n = a
k + (n – k)r
Então: a10
= a1 + (10 – 1)r = a
1 + 9r = a
2 + 8r = a
3 + 7r = ...
Assim: an = a
k + (n – k)r
a10
= a6 + 4r ⇒ 54 = 18 + 4r ⇒
⇒ 4r = 54 – 18
∴ r = 9
5. Encontre o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 23 e 621.
Resolução
23, 25, ...., 620, 621 ⇓ ⇓ a
1 a
n
an = a
1 + (n – 1) · 5 ⇒ 620 = 25 + 5n – 5 ⇒
⇒ 5n = 620 – 20 ∴ n = 120
6. Numa PA crescente, a2 + a
6 = 20 e a
4 + a
9 = 35. Escreva a PA
correspondente.
Resolução
Considerandose a2 = a
1 + r; a
6 = a
1 + 5r; a
4 = a
1 +3r;
a9 = a
1 + 8r, escrevese os termos em função de a
1 e r:
a a a r a r a r
a a2 6 1 1 1
4 9
20 5 2 6 20
35
+ = ⇒ + + + = + =+ = ⇒
( ) ( )
(aa r a r a r1 1 13 8 2 11 35+ + + = + = ) ( )
Resolvendose o sistema:
2 6 20
2 11 35
2 6 20
2 11 31
1
1
1
a r
a r
a r
a r
+ =+ =
⇒− − = −
+ = 553 11
⇒ = =r ae
Logo, a PA será:
(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, ...)
Interpolação aritmética
Interpolar é o mesmo que inserir – nesse caso, inserir números reais entre dois números conhecidos, formando uma progressão aritmética. Para entender a ideia, considere o seguinte problema:
Fern
ando
Lim
a
radar
rodovia
radar
km 35 ?a
1a
2a
3a
4a
5a
6a
7
? ? ? ? km 173
5 radares
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Um departamento de trânsito deseja distribuir 5 sensores de velocidade numa rodovia estadual, entre os quilômetros 35 e 173, onde já existem radares fixos instalados. Em que pontos da rodovia esses equipamentos devem ser instalados de forma que a distância entre eles seja igual?
Distribuir 5 novos radares equidistantes entre os quilômetros 35 e 173 equivale a inserir 5 meios aritméticos entre 35 e 173, ou seja:
35, , , , , , 173⇓ ⇓a
1 a
7 → n = 7
Assim: a
7 = a
1 + 6r ⇒
⇒ 173 =
35
+ 6r
⇒ 6r = 138 ⇒ r = 23
Conhecendose o primeiro termo (35 km) e a razão ou distância entre os radares (23 km), é possível descobrir a sequência com a posição dos demais radares:
(35, 58, 81, 104, 127, 150, 173)Matematicamente, 5 meios aritméticos foram interpola
dos entre 35 e 173.
Soma e produto de termos consecutivos de uma Pa
Existem algumas situações em que é útil representar uma PA de forma alternativa:
• PA de 3 termos ⇒ (x – r, x, x + r)• PA de 4 termos ⇒ (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r)• PA de 5 termos ⇒ (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
Carl Friedrich Gauss (17771855) era filho de um jardineiro muito simples que não via utilidade nos estudos. Apesar disso, sua genialidade foi logo percebida por sua mãe e seu tio (Friedrich).
Contase que seu professor, Butner, solicitou que os alunos efetuassem a soma 1 + 2 + 3 + ... + 100. Assim, talvez pudesse deixálos ocupados e em silêncio por um tempo. Em pouquíssimo tempo Gauss, na época com 10 anos, solucionou o problema,
encontrando 5 050 como resposta. O professor achou que era brincadeira e pediu que ele mostrasse o que havia feito.
Gauss foi até a lousa e escreveu a soma duas vezes, uma vez na ordem crescente e outra na ordem decrescente, e apresentou o seguinte raciocínio:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 97 + 98 + 99 + 100
+ S = 100 + 99 + 98 + 97 + .... + 4 + 3 + 2 + 1
2S = 101 + 101 + 101 + 101 + .... + 101 + 101 + 101 + 101
Como são 100 números e o resultado dos termos das duas somas foi sempre igual, ele concluiu:
2 101 100101 100
2101 50 5 050S S= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ =
O professor ficou tão abismado com a ideia do garoto que lhe comprou uma coleção de aritmética e o encaminhou a outro professor, que julgava ser mais habilidoso com os números.
Apesar de não ser tão habilidoso com a Matemática, esse velho mestre reconheceu a genialidade de seu aluno e deu o impulso necessário ao seu crescimento. Gauss se tornou um dos mais brilhantes matemáticos do século XIX.
Vikk
i Han
sen/
SXC
curiosidades
exercícios resolvidos
1. Encontre três números em PA crescente, sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.
Resolução
a x r
a x
a x r
1
2
3
= −== +
( )
( )
Assim, os termos da PA são:
( ) ( )
( )
x r x x r
x r x x
− + + + =− + +
15 (soma dos termos)
++ = ⇒ = ∴ =
− ⋅ ⋅ + =
r x x
x r x x r
15 3 15 5
105( ) ( ) (produto ddos termos)
±( ) ( )5 5 5 105 25 21 22− ⋅ ⋅ + = ⇒ − = ∴ =r r r r
Como a PA é crescente, então r = 2 e x = 5.
Assim: a
a
a
1
2
3
5 2 3
5
5 2 7
= − === + =
PA (3, 5, 7)
2. Interpole ou insira sete meios aritméticos entre 2 e 34.
Resolução
Para encontrar o segundo até o oitavo termos, é necessário achar a razão da PA.
2, , , , , , , , 34⇓ ⇓a
1 a
9 → n = 9
an = a
1 + (n – 1)r ⇒ a
9 = a
1 + 8r ⇒ 34 = 2 + 8r ⇒
⇒ 8r = 32 ⇒ r = 4
∴ PA (2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34)
7
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Soma dos termos de uma PA finita
Em toda PA finita, a soma de dois termos equidistantes é igual à soma do primeiro e último termo. Veja o exemplo a seguir:
2 8 14 20 26 32 38 44 5020 + 32 = 5214 + 38 = 528 + 44 = 522 + 50 = 52
Ou seja:a
1 + a
n = a
2 + a
n – 1 = a
3 + a
n – 2 = ... = a
1 + p + a
n – p
O argumento usado por Gauss serve para aplicar a soma de termos de uma progressão aritmética finita qual-quer. Pode-se entender a razão matemática por raciocínio, verificando uma importante propriedade das progressões aritméticas.
Exercícios resolvidos
1. Qual é a soma dos 40 primeiros termos da PA (2, 8, ...)?
Resolução
Sa a n
a
a a r
n
S
nn= + ⋅
== + = + ⋅ =
=
( )1
1
40 1
22
39 2 39 6 236
40
440
401 40 40
22 236 20
=
= + ⋅ = + ⋅
?
( )( )S
a a
S40
= 4 760
2. Sendo a PA (1, 2, 3, 4, ...), encontre a soma dos n primeiros termos dessa PA.
Resolução
Sa a n
a
a n n
n n
S
nn
n
n
= + ⋅
== + − ⋅ =
==
( )
( )
?
1
1
21
1 1 1
= + ⋅ ∴Sn n
n
( )12
3. Sabendo que o primeiro termo da equação 1 + 7 + ... + x = 280 forma uma PA, encontre a solução da equação.
Sn n
n = + 2
2
Resolução
Sa a n
a
a x
n a n x n
nn
n
n
= + ⋅
==
= → = + − ⋅ → = −
( )
? ( )
1
1
21
1 1 6 6 555
6280
2801
56
→ = +
=
=+ ⋅ +
nx
S
xx
n
( ) ⇒ = + ⋅ +
⇒
⇒ + − == −
2560 1
56
6 3 355 02 1
( )xx
x xx 661
552x =
Como a PA é crescente, então: x = 55 S = {55}
4. A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn = 2n2.
a) Calcule a soma dos 4 primeiros termos dessa PA.b) Determine a
5.
Resolução
a) n = 4 → S4 = 2(4)2 – 1 = 2 · 16 = 32
b) a5 = S
5 – S
4 = [2 · 52 – 2 · 42] = 50 – 32 = 18
5. Calcule a soma *
31
16
kk =∑
Resolução
33 1 3 16 16
23 48 8
1
16
16k Sk
( )( )
=∑ = = ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ =
408
*Utilizado para representar soma. Assim: 3 + 6 + 9 + ... + 48 = 31
16
kk =∑
Com isso, repete-se o raciocínio de Gauss considerando uma PA qualquer. Para isso, chama-se de S
n a soma dos n
primeiros termos dessa progressão. Assim:
Sn = a
1 + a
2 + a
3 + ... + a
n – 2 + a
n – 1 + a
n
Sn = a
n + a
n – 1 + a
n – 2 + ... + a
3 + a
2 + a
1
Então, somando as duas linhas: 2S
n = (a
1 + a
n) + (a
2 + a
n – 1) + (a
3 + a
n – 2) + ... + (a
n – 2 + a
3) +
(an – 1
+ a2) + (a
n + a
1)
Usando a propriedade anterior:2S
n = (a
1 + a
n) + (a
1 + a
n) + (a
1 + a
n) + ... + (a
1 + a
n) +
(a1 + a
n) + (a
1 + a
n)
Como há n fatores iguais somados:
Sa a n
nn= + ⋅( )1
2
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| | | | agora é a sua vez | | | | 1. Encontre os seis primeiros termos da sequência, cujo ter
mo geral é an = 2n + 3.
A sequência é (5, 7, 9, 11, 13, 15).
2. Calcule a soma dos quatro primeiros termos da sequência definida por a
n = 2n + 3.
a1 = 21 + 3 = 5
a2 = 22 + 3 = 7
a3 = 23 + 3 = 11
a4 = 24 + 3 = 19
Soma = 5 + 7 + 11 + 19 = 42
3. Escreva as sequências definidas pelos termos gerais a seguir (considere n ∈ N e n ≥ 1).
a) an = n²
(1, 4, 9, 16, 25, 36, ...)
b) an = (–1)n · 2n
(–2, 4, –8, 16, –32, ...)
4. Obtenha os cinco primeiros termos da sequência defini
da por a
a an n
1
1
2
3
= −= +
+
, sendo n ∈ N e n ≥ 1.
a1 + 1
= a1 + 3 = –2 + 3 = 1
a2 + 1
= a2 + 3 = –1 + 3 = 2
a3 + 1
= a3 + 3 = 2 + 3 = 5
a4 + 1
= a4 + 3 = 5 + 3 = 8
A sequência é (–2, –1, 2, 5, 8).
5. Uma sequência tem 6 termos, e sua lei de formação é dada por a
n = 5n – 4, n ∈ N*. Calcule a soma dessa se
quência considerando como termos apenas os que são números ímpares.
Para n = 1, a1 = 5 · 1 – 4 = 1
Para n = 2, a2 = 5 · 2 – 4 = 6
Para n = 3, a3 = 5 · 3 – 4 = 11
Para n = 4, a4 = 5 · 4 – 4 = 16
Para n = 5, a5 = 5 · 5 – 4 = 21
Para n = 6, a6 = 5 · 6 – 4 = 26
Para n = 7, a7 = 5 · 7 – 4 = 31
Para n = 8, a8 = 5 · 8 – 4 = 36
Para n = 9, a9 = 5 · 9 – 4 = 41
Para n = 10, a10
= 5 · 10 – 4 = 46
Para n = 11, a11
= 5 · 11 – 4 = 51
A sequência é (1, 11, 21, 31, 41, 51).Soma = 1 + 11 + 21 + 31 + 41 + 51 = 156
6. A soma dos n primeiros termos de uma sequência é dada por S
n = 2n2 + n, n ≥ 1. Determine o terceiro e o
quarto termos dessa sequência.
a1 = S
1 = 2(1)² + 1 = 3
a3 = S
4 – S
3 = [2(4)² + 4] – [2(3)² + 3] = 36 – 21 = 15
a4 = S
5 – S
4 = [2(5)² + 5] – [2(4)² + 4] = 55 – 36 = 19
7. Qual é o 200o número natural par?
PA (0, 2, 4, 6, 8, ...)
a a n r
a
a
n
r
a
n = + −
==
== − =
1
200
1
2
10
200
2 0 2
( )
?
000
200
0 200 1 2 199 2 398
398
= + − ⋅ = ⋅ =∴ =
( )
a
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8. Um ourives possui 5 barras, e os pesos dessas barras estão em progressão aritmética. A segunda e quarta barras mais pesadas pesam, respectivamente, 350 g e 250 g. Qual a barra mais pesada?
a2 = a
1 + r = 350
a4 = a
1 + 3r = 250
a1 = 400 e r = –50
A barra mais pesada (a1) pesa 400 g.
9. Qual é o 57o número natural ímpar?
an = 2n – 1 ⇒ a
57 = 2 · 57 – 1 = 114 – 1
a57
= 113
10. Escreva o termo geral e determine o 15° termo da progressão (2, –1, –4, ...).
a a n r
a
a
n n
r
a
n
n
n
= + −
==
== − − = −
=
111
2
1 2 3
2
( )
?
++ − ⋅ − = − + ∴ = −=
( ) ( )n n a n
n an1 3 2 3 3 5 3
15Se , então 115
15
5 3 15 40
40
= − = −∴ = −
( )
a
11. Determine o 41° termo da PA (–4, 1, 6, ...).
a a n r
a
a
n
r
n = + −
== −
== − − =
1
41
114
41
1 4 5
( )
?
( )
aa a r
a41 1
41
40 4 40 5 196
196
= + ⋅ = − + ⋅ =∴ =
12. Quantos múltiplos de 3 podemos escrever com 4 algarismos?
PA =
= + −
( , , ..., )
( )
1002 1005 9 999
11a a n r
a
n
n ===
==
= + − ⋅
9 999
1002
3
1002 1
1
?
( )
a
n
r
a nn 33 9 999 1002 3 3
3 9 000
3 000
⇒ = + − ⇒⇒ =∴ =
n
n
n
13. Num auditório, a primeira fila tem 17 assentos; a segunda, 21; a terceira, 25; e assim sucessivamente. Quantos assentos tem a 24o fila?
PA (17, 21, 25, ..., a24
)
a a n r
a
a
n
r
a
n
n
= + −
==
== − =
11
2
117
24
21 17 4
( )
?
44
24
17 24 1 4 17 92 109
109
= + − ⋅ = + =∴ =
( ) ( )
a
14. As raízes da equação x2 – 8x + 12 = 0 são o primeiro e o segundo termos de uma PA decrescente. Determine o 12o termo dessa progressão.
As raízes da equação são 2 e 6. Sendo a PA
decrescente, então (6, 2, ...).
a a n r
a
a
n
r
a
n
n
= + −
==
== − = −
=
11
12
16
12
2 6 4
( )
?
66 12 1 4 6 44 38
3812
+ − ⋅ − = − = −∴ = −
( ) ( )
a
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15. O cometa Halley pode ser visto aqui da Terra a cada 76 anos. A última vez que isso aconteceu foi em 1986. Descubra se o Halley foi visto no ano 1000 e, depois do ano 3000, quando o cometa fará sua aparição.
a a n r
a
a
n
r
n
n
= + −
==
==
111
1986
1000
76
1
( )?
( ) ( )
,
986 1000 1 76
13 97
= + − ⋅∴ = ∉
n
n N
(Como n não é natural, concluise que o cometa não
foi visto no ano 1000.)
a a n r
a
a
n
r
n
n
= + −
==
==
111
3 000
1986
76
3
( )?
( )
,
000 1986 1 76
14 34
= + − ⋅∴ =
n
n
Considerase n = 15 para descobrir em que ano, após
3000, o cometa aparecerá:
a15
= 1 986 + 14 · 76
∴ a15
= 3 050
O cometa aparecerá no ano 3050.
16. Três números estão em PA, de tal forma que a soma entre eles é 18, e o produto é 66. Calcule os três números.
PA (x – r, x, x + r)
x r x x r x x
x r x x r
− + + + = ⇒ = ∴ =− ⋅ ⋅ + =
18 3 18 6
66( ) ( )
(6 – r) · 6 · (6 + r) = 66
36 – r2 = 11 ⇒ r2 = 25 ⇒ r = 5 ou r = –5
Para x = 6 e r = 5, temos:
(6 – 5, 6, 6 + 5) = (1, 6, 11)
Para x = 6 e r = –5, temos:
[6 – (–5), 6, 6 + (–5)] = (11, 6, 1)
Os números são 1, 6 e 11.
17. Escreva os dez primeiros termos de uma PA, sabendo que o primeiro termo é 5 e o décimo é 50.
a a n r
a
a
n
r
r
n = + −
==
==
= +
1
10
11
50
5
10
50 5 9
( )
?
⇒⇒ = ∴ =9 45 5r r
(5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50)
18. Interpole sete meios aritméticos entre –3 e 29.
a a n r
a
a
n
r
r
n = + −
== −
==
= − +
1
9
11
29
3
9
29 3 8
( )
?
⇒⇒ = ∴ =8 32 4r r
PA (–3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29)
19. A soma de três números em PA crescente é 21, e a soma dos seus quadrados é 165. Encontre os três números.
PA (x – r, x, x + r)
x r x x r x x
x r x x r
− + + + = ⇒ = ∴ =
− + + + = 21 3 21 7
1652 2 2( ) ( )
(7 – r)2 + 72 + (7 + r)2 = 165
49 – 14r + r2 + 49 + 49 + 14r + r2 = 165
2r2 = 165 – 147 ⇒ r2 = 9
∴ r = 3 ou r = –3
Como a PA é crescente, considere r = 3 e x = 7.
Assim:
PA (7 – 3, 7, 7 + 3) = (4, 7, 10)
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20. Encontre três números em PA crescente, sabendo que o seu produto é igual à soma dos três e que o maior vale a soma dos dois menores.
PA (x – r, x, x + r)
( ) ( )x r x x r x r x x r
x r x x r x r
− ⋅ ⋅ + = − + + ++ = + − ⇒ =
2
(2r – r) · 2r · (2r + r) = 2r – r + 2r + 2r + r
r · 2r · 3r = 6r
6r³ – 6r = 0
6 1 0
0r r
r( )
(− =
= não convém, pois a PA é cresceente)
r = 1
Se x = 2r e r = 1, então x = 2.
Assim:
PA (2 – 1, 2, 2 + 1) = (1, 2, 3)
21. Determine cinco números em PA crescente, sabendo que o produto dos extremos é 13 e a soma dos outros três é 21.
Numa PA de 5 termos, os números são (x – 2r, x – r, x,
x + r, x + 2r)
Pelo enunciado temos:
( ) ( )x r x r x r
x r x x r x
− ⋅ + = ⇒ − =− + + + = ⇒ =
2 2 13 4 13
21 3 2
2 2
11 7
7 4 132 2
∴ =
= − =
x
x x rSubstituindo em te, mmos:
Como a PA é crescente,
7 4 13 32 2− = ⇒ = ±r r
r ==
− ⋅ −
3
7 2 3 7 3 7
.
( , ,
Portanto, os números são:
,, , )
( )
7 3 7 2 3+ + ⋅1, 4, 7, 10, 13
22. Um estudante selecionou 100 exercícios de Matemá-tica. No primeiro dia, ele resolveu somente 1 exercício; no segundo dia, 3 exercícios; no terceiro, 5; e assim por diante, até o final de todos os exercícios. Quantos dias ele levou para resolver todos os exercícios?
PA (1, 3, 5, ...)
Sn = 100
Sa a n
a
a n n
n
S
nn
n
n
= + ⋅
== + − ⋅ = −
==
( )
( )
?
1
1
21
1 1 2 2 1
100
= + − ⋅ ⇒ = ⇒ = ±1001 2 1
2100 102( )n n
n n
O estudante levou 10 dias para resolver todos os
exercícios.
23. Uma equipe decide viajar de balão a uma altura de 5 000 metros. Sabe-se que o balão sobe 800 metros na primei-ra hora e, em cada hora seguinte, sobe uma altura de 50 metros a menos que a hora anterior. Quantas horas o ba-lão leva para alcançar a altura escolhida para a viagem?
Altura = 800 + 750 + ... = 5 000
Sn = 5 000
a1 = 800
r = –50
an = 800 + (n – 1)(–50) = 850 – 50n
Sn n
n n
n
n =+ −[ ] =
− + ==
800 850 50
25 000
33 200 0
8
2
( )
ouu (não serve
O balão leva 8 horas par
n = 25 )
aa alcançar a altura escolhida.
24. Calcule a soma dos 100 números pares positivos e a soma dos 100 números naturais ímpares.
Soma dos números pares positivos:
Sn n
n n S
S
n = + ⋅ = + ⇒ = +
∴ =
( )2 22
100 100
10 100
2100
2
100
Soma dos números ímpares positivos:
Sn n
n S
S
n = + − ⋅ = ⇒ =
∴ =
( )1 2 12
100
10 000
2100
2
100
25. (Enem-MEC) Uma professora realizou uma atividade com os alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, em que cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada fi-gura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada uma. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.
figura 1 figura 2 figura 3
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?
a) C = 4Q b) C = 3Q + 1 c) C = 4Q – 1 d) C = Q + 3 e) C = 4Q – 2
12
Repr
oduç
ão p
roib
ida.
Art
. 184
do
Códi
go P
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e L
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de
19 d
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98.
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Proj. Gráf.
Editor(a)
Coor. Ped.
C. Q.
Dep. Arte
OP
228
39 /
228
34 E
ns. M
édio
1ºA
- 4
ºB
Fernando
mód
ulo 1
0
| | | | De olho no vestibular | | | |
1. (uEPG-PR) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 248. Entre eles serão colocados mais 6 telefones, mantendose entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Nessas condições, assinale o que for correto.
(01) A distância entre cada telefone será de 35 km.
(02) Haverá um telefone no km 108. (04) Se um motorista está no km 165,
a menor distância que ele terá que percorrer para encontrar um telefone será de 13 km.
(08) No km 73 não haverá telefone.
7 1 + 2 + 4
2. (PuC-RS) Devido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apresentação, precisouse compor uma plateia com oito filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi:
a) 384 b) 192 c) 168 d) 92 e) 80
3. (unicamp-SP) Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir, em que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo.
figura 1 figura 2 figura 3
Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Nesse caso, o número de fósforos necessários para que seja possível exibir todas as primeiras 50 figuras ao mesmo tempo é igual a:
a) 200 c) 2 000b) 1 000 d) 10 000
4. (uFF-RJ) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à Matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam essa história. Nesse papiro encontramos o seguinte problema:
Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores.
Fragmento do papiro de Rhind.
Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de:
a) 1153
pães. d) 656
pães.
b) 556
pães. e) 35 pães.
c) 20 pães.
5. (unicamp-SP) No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, podese concluir que a 10a camada de ladrilhos cinza contém:
1a camada cinza1a camada branca2a camada cinza2a camada branca3a camada cinza
a) 76 ladrilhos. b) 156 ladrilhos. c) 112 ladrilhos. d) 148 ladrilhos.
6. (uEGo) Sabendo que o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em progressão aritmética, calcule a medida do lado do quadrado.
2 2 1( ) − u.c.
7. (uFPE) Nos quilômetros 31 e 229 de uma rodovia estão instalados telefones de emergência. Ao longo da mesma rodovia e entre esses quilômetros, pretendese instalar 10 outros telefones de emergência. Se os pontos adjacentes de instalação dos telefones estão situados a uma mesma distância, qual é essa distância, em quilômetros?
A distância é de 18 km.
8. (Cesgranrio-RJ) Leia o texto a seguir:
Brasil
2000 2001 2002
5,3milhões
4,7milhões
3,8milhões
Enquanto no mundo o número de turistas cresce, no Brasil ele diminui. Essa é uma das conclusões do relatório da Organização Mundial de Turismo, divulgado recentemente.
Veja, 5 nov. 2003.Nív
el 1
(que
stõe
s 2,
5, 8
, 14,
17,
18)
Nív
el 2
(que
stõe
s 1,
3, 4
, 6, 7
, 9, 1
0, 1
1, 1
2, 1
3, 1
5, 1
6, 2
0, 2
2, 2
3, 2
4)N
ível
3 (q
uest
ões
19, 2
1)
