Matemática, Probabilidade e Estatística

Matemática, Probabilidade e Estatística

banco do brasil

Probabilidade; Teorema de Bayes; Probabilidade Condicional

Livro Eletrônico

http://www.grancursosonline.com.br



JOSIMAR PADILHA

Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, telepresenciais e online de Matemá-tica Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Finan-ceira e Estatística para processos seletivos em concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é professor de Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras e palestrante.

O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.


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MATEMÁTICA, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA


Prof. Josimar Padilha

www.grancursosonline.com.br

SUMÁRIO

Probabilidade .............................................................................................4

Apresentação .............................................................................................4

Probabilidade/Chance ..................................................................................6

Probabilidade .............................................................................................7

Propriedades/Propriedades ..........................................................................8

Probabilidade com Eventos Independentes ...................................................10

Probabilidade Condicional ..........................................................................16

Probabilidade de Ocorrer a União de Eventos ................................................20

Probabilidade – Teorema de Bayes ..............................................................43

Interpretação Matemática ..........................................................................46

Questões de Concurso ...............................................................................55

Gabarito ..................................................................................................60

Desafio – Comentário ................................................................................61




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PROBABILIDADE

PROBABILIDADE: o conceito de probabilidade permite que se calcule a chance

de ocorrência de um número em um experimento aleatório, ou seja, é a chance de

ocorrer um evento favorável (desejado) em um determinado universo de eventos.

Veremos que é um assunto muito comum nas provas de concursos públicos

independente da banca, logo vamos detalhar o máximo possível para que você

consiga assimilar todo o conteúdo e ao mesmo tempo aplicar métodos, técnicas e

estratégicas eficazes, que facilitarão nas resoluções das questões.

Verificar a chance de um evento ocorrer em diversas situações. “A palavra pro-

babilidade deriva do latim probare (provar ou testar)”. Temos que a teoria da

probabilidade é muito utilizada em outros ramos da Matemática (como o Cálculo e

a Estatística), da Biologia (especialmente nos estudos da Genética), da Física (como

na Física Nuclear), da Economia, da Sociologia etc.

Neste módulo, utilizaremos alguns conceitos da “Teoria de conjuntos” para re-

solver questões com facilidade e rapidez.

ASSUNTOS ABORDADOS: noções de probabilidade, Teorema de Bayes (de

uma maneira simples, de forma prática, caso não queira o uso de fórmula) e pro-

babilidade condicional, Ok?

Apresentação

Estamos aqui mais uma vez, agora com o assunto de probabilidade, que é visto

nas matérias de matemática, estatística e raciocínio lógico. Dessa forma, daremos

continuidade aos nossos estudos com muito entusiasmo e dedicação. Este módulo é

muito importante devido à grande incidência de questões nas provas de concursos,




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independente da banca examinadora. Como de costume, gosto de citar um mate-

rial de apoio que confeccionei: RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO -Fundamentos

e Métodos Práticos, Editora Juspodivm. 2016. https://d24kgseos9bn1º.cloudfront.

net/editorajuspodivm/imagens/produtos/original/raciocinio-logico-matematico-

-fundamentos-e-metodos-praticos-2016-6179baac5d860ffed37c580c7fc26efa.png

Seguindo a mesma linha de pensamento e uma linguagem totalmente aces-

sível, clara, simples e bem objetiva iremos aprender o que é Probabilidade, seu

conceito, propriedades e aplicações em diversos casos, dando ênfase às questões

de concursos públicos.

Para que o estudo seja produtivo e dinâmico iremos apresentar além das resolu-

ções com aplicação de fórmulas, também teremos resoluções de questões com apli-

cação de fundamentos que tornarão as questões mais simples e de rápida resolução.

Nessa aula iremos abordar os seguintes assuntos:

• PROBABILIDADE: construção e aplicações dos conceitos e propriedades. Re-

soluções de questões de concursos públicos por métodos práticos e eficientes.

E, como de costume, no início de cada módulo temos mais um desafio para co-

meçarmos:

DESAFIO

Uma comunidade para lá de especial!

Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filó-

sofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora não há filósofo e não há poeta que não seja

responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente:




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a) todo responsável é artista.

b) todo responsável é filósofo ou poeta.

c) todo artista é responsável.

d) algum filósofo é poeta.

e) algum trabalhador é filósofo.

O Comentário está no final do módulo. Boa sorte!

Probabilidade/Chance

É importante, antes de qualquer coisa, entendermos os termos, as ferramentas

que utilizaremos no cálculo de probabilidade.

Vamos lá então:

1. Evento aleatório: é aquele que, quando executado repetidas vezes em

iguais condições, fornece resultados diferentes, ou seja, são resultados que estão

previstos dentro das possíveis respostas para este experimento. Isso ocorre devido

ao acaso, pois não podemos ter certeza do resultado de cada um desses eventos.

Fica fácil perceber se pensarmos assim: lançar um dado de seis faces não viciado

para cima e observar a face que ficará virada para cima, ou até mesmo escolher um

aluno dentre 50 em uma sala de aula.

Dessa forma, é importante perceber que é algo aleatório.

Vamos para o conceito importantíssimo, digo até que é o primeiro passo quando

nos deparamos com uma questão de probabilidade, que é definirmos o nosso espa-

ço amostral ou universo.




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2. Espaço amostral ou universo: é o conjunto de todos os resultados possíveis

de um experimento aleatório. É comum que a letra que representa o espaço amostral

seja S ou U. Vejamos alguns exemplos para que você possa compreender melhor.

a) Lançar uma moeda para cima e observar a face que ficará virada para cima após

a queda. O espaço amostral é {Cara ou Coroa}.

b) De uma urna com 8 bolas vermelhas (v) e 3 bolas brancas (b), retirarmos 2

bolas. O espaço amostral é {v, v; v. b ou b. v; b.b}.

Probabilidade

Agora podemos falar o que é probabilidade. Qual seria o seu conceito?

Vamos lá!

Probabilidade será o quociente entre duas situações, isto é:

P(A) = número de casos favoráveisnúmero de casos possíveis

Fique ligado(a)!

A probabilidade de um evento A, ou seja, aquilo que você deseja (sendo que A

está contido no espaço amostral) é o número real P(A), tal que:

(Número de casos favoráveis de A (o que serve)Número total de casos (tudo o que temos)).

OOs.:� se todos os elementos do Universo têm a mesma chance de acontecer, o

espaço amostral é chamado de conjunto equiprovável.

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, en-

tão a probabilidade de ocorrer um evento A é:




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Exemplo: em um lançamento de dado (não viciado), a chance de um número par

ocorrer é:

P(número par) = 3 - maneiras - diferentes - número - par6 - maneiras - prováveis - número - par = 3

6 = 0,5 = 50%

Em um espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência

de um evento A é sempre:

= =número de elementos de A n(A)

P(A)número de elementos de S n(S)

Propriedades/Propriedades

Propriedade 1. A probabilidade do evento impossível é nula.

Sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos:

p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0

Exemplo, se em uma urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar

uma bola azul (evento impossível, neste caso) é nula.

Propriedade 2. A probabilidade do evento certo é igual à unidade.

Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1

Exemplo, se em uma urna só existem bolas azuis, a probabilidade de se retirar uma

bola azul (evento certo, neste caso) é igual a 1.




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Propriedade 3. A probabilidade de um evento qualquer é um número real si-

tuado no intervalo real [0, 1].

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(A) está entre 0 (zero), um evento que não pode acontecer, e 1(um), um even-

to certo de acontecer.

Propriedade 4. A soma das probabilidades de um evento e do seu evento com-

plementar é igual à unidade.

Seja o evento A e o seu complementar A’. Sabemos que A U A’ = U.

n(A U A’) = n(U) e, portanto, n(A) + n(A’) = n(U).

Dividindo ambos os membros por n(U), vem:

n(A)/n(U) + n(A’)/n(U) = n(U)/n(U), quando conclui-se:

p(A) + p(A’) = 1.

OOs.:� esta propriedade simples é muito importante, pois facilita a solução de

muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais

fácil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade

acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento.

Propriedade 5. Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:

p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

Observe que, se A ∩ B = Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o

conjunto vazio), então, p(A U B) = p(A) + p(B).

Conforme a Teoria dos Conjuntos, n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).




http://www.paulomarques.com.br/arq1-1.htm

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ProOaOilidade com Eventos Independentes

Dizemos que E1 e E2 e... En-1, En são eventos independentes quando a probabili-

dade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não ocorrido.

Fórmula da proOaOilidade dos eventos independentes:

P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En) = P(E1).P(E2).P(E3)...P(En)

Observe que a relação entre os eventos é o “e”, ou seja, E1 e E2 e E3 e E4 e...

O “e”, como visto em análise combinatória, tem a função de multiplicação (X).

Sendo assim, multiplicaremos os eventos da seguinte maneira: “regra do produto”

P(E1).P(E2).P(E3)...P(En).

1. (QUESTÃO INÉDITA) Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis.

Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a

probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?




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4/9

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira

retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada

condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na

primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada é 20/30. Daí, usando

a regra do produto, temos:

P = 1030 x 20

30 = 29

Observe que na segunda retirada foram consideradas todas as bolas, pois houve

reposição. Assim, P(B/A) = P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira

retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela já havia sido reposta na urna.

OOs.:� se a questão não tivesse estipulado uma ordem, deveríamos pensar que os

eventos poderiam ser: a primeira vermelha e a segunda azul, ou a primeira

azul e a segunda vermelha.

VA ou AV

Sendo assim, o resultado de 2/9 deverá ser multiplicado por dois, uma vez que

serve em qualquer ordem:

P = 29 x 2 = 4

9

2. (FUNIVERSA/ADAPTADA) De um recipiente que contém 10 cubos azuis e 5 cubos

vermelhos, serão retirados, aleatoriamente e com reposição, 3 cubos. Nessa situa-




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ção, a probabilidade de o primeiro cubo ser azul, o segundo cubo ser vermelho e o

terceiro cubo ser azul é igual a:

4/9

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair azul na primeira reti-

rada e vermelho na segunda retirada e azul na terceira retirada é igual ao produto

das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e V e A) = P(A).P(V). P(A). Ora,

a probabilidade de sair azul na primeira retirada é 10/15 e a de sair vermelho na

segunda retirada é 5/15 e de sair azul na terceira retirada é 10/5. Daí, usando a

regra do produto, temos:

P = 1015 x 5

15 x 1015 = 500

375 = 427 , observe que na segunda e terceira retiradas

foram considerados todos os cubos, pois houve reposição.

OOs.:� se a questão não tivesse estipulado uma ordem, deveríamos pensar que os

eventos poderiam ser em qualquer ordem da seguinte maneira:

� cubos nas cores: AVA, AAV e VAA (podemos considerar uma permutação

com repetição, em que temos 3 maneiras distintas).

Devemos, então, multiplicar o resultado por 3:

P = 1015 x 5

15 x 1015 = 500

375 = 427 x 3 = 12

27 = 49

3. (CESGRANRIO/ADAPTADA) Dois dados comuns, “honestos”, são lançados si-

multaneamente. A probabilidade de que a soma dos dois resultados seja igual a

7 ou 10 é:




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0,25 ou 25%.

Determinar o espaço amostral: 36 jogadas é o número de casos possíveis, verifique

com a tabela de possibilidades abaixo:

P(7 ou 10) = número de casos favoráveisnúmero de casos possíveis

A questão indica que os dados são honestos, ou seja, a chance de sair qualquer

uma das faces é a mesma.

P(7) = são as jogadas que a soma dos resultados seja igual a 7.

P(10) = são as jogadas que a soma dos resultados seja igual a 10.

P(7 ou 10) = P(7) + P(10)

P(7 ou 10) = 636 +

336 =

936 =

14 = 0,25

4. (CESGRANRIO/ADAPTADA) Dois dados comuns, “honestos”, são lançados simul-

taneamente. A probabilidade de que saia pelo menos 5 é igual a:




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11/36

Determinar o espaço amostral: 36 jogadas é o número de casos possíveis, verifique

com a tabela de possibilidades abaixo:

P(5) = número de casos favoráveis = células que estão sombreadasnúmero de casos possíveis = todas as células

A questão indica que os dados são honestos, ou seja, a chance de sair qualquer

uma das faces é a mesma.

P (pelo menos um cinco) = 1166

5. (QUESTÃO INÉDITA) Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 deseja-se formar

números de quatro algarismos, não sendo permitida a repetição de algarismos em

um número. Escolhendo-se um desses ao acaso, a probabilidade de ele ser múltiplo

de 5 é:




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0,125.

Determinar o espaço amostral:

Para calcular a quantidade de números de quatro algarismos distintos, será feito o

arranjo de oito elementos tomados quatro a quatro.

An,p = n!(n-p)!

A8,4 = 8!(8-4)!

A8,4 = 8!4!

= 8 x 7 x 6 x 5 x 4!4!

A8,4 = 1.680

Espaço amostral: 1.680 números de casos possíveis.

Determinar o evento:

Pelo princípio multiplicativo, calcularemos a quantidade de números múltiplos de 5

de quatro algarismos distintos:

Calculando, temos:

7 x 6 x 5 x 1 = 210 números de casos favoráveis.




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P(5) = número de casos favoráveisnúmero de casos possíveis =

números múltiplos de cincotodos os números

P(m(5)) = 2101680 =0,125

Probabilidade Condicional

A realização de um experimento é condicionada, sendo necessário que já tenha

alguma informação sobre o evento, isto é, um termo que indica a condição. Nesse

caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocor-

rência alterada.

Observe que a relação entre os eventos é o “e”, ou seja, P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En)

O “e”, como visto em análise combinatória, tem a função de multiplicação (X).

Sendo assim, iremos multiplicar os eventos, da seguinte maneira: “regra do produto”

P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e...En-1)

6. (FUNCAB/INVESTIGADOR DE POLÍCIA CIVIL/PC-PA/2016) Uma investigadora e

um escrivão às vezes viajam durante suas férias. Estando de férias, a probabilida-

de de ela viajar para o Rio de Janeiro é de 0,54; de viajar para a Bahia é de 0,32;

a probabilidade viajar para o Rio de Janeiro e para a Bahia é 0,18. Estando ele de

férias, a probabilidade de ele viajar para São Paulo é de 0,51; de viajar para Minas

Gerais é de 0,38; a probabilidade de viajar para São Paulo e para Minas Gerais é

de 0,16. Portanto, a probabilidade de, durante as férias deles, a investigadora não

viajar (nem para o Rio de Janeiro e nem para a Bahia) e do escrivão viajar (para

São Paulo ou viajar para Minas Gerais), é igual a:




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a) 85.32%

b) 49.64%

c) 34,68%

d) 23.36%

e) 80.85%

Letra d.

Questão interessante, pois temos a aplicação de teoria de conjuntos juntamente

com probabilidade. Vamos interpretar as situações para os dois personagens da

questão:




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A probabilidade de, durante as férias deles, a investigadora não viajar (nem para

o Rio de Janeiro e nem para a Bahia) será igual a 0,32 e do escrivão viajar (para

São Paulo ou para Minas Gerais) é igual a 0,73. Porém, a questão solicita os dois

eventos “e”, princípio multiplicativo, sendo assim teremos:

0,32 x 0,73 = 0,2336 x 100(%) = 23,36%.

7. (QUESTÃO INÉDITA) Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis.

Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a

probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

20/87

O espaço amostral/Universo é S = 30 bolas.

Ao considerarmos os seguintes eventos, temos:

V: vermelha na primeira retirada e P(V) = 1030 , sabendo que uma bola que já foi

retirada da urna é vermelha.

A: azul na segunda retirada e P(A) = 2029 , o espaço amostral diminuiu, uma vez que

não houve reposição.

Assim:

P(V e A) = P(V) . P(A/V) = 1030 x 20

29 = 2087

8. (FUNIVERSA) De um recipiente que contém 10 cubos azuis e 5 cubos vermelhos,

serão retirados, aleatoriamente e sem reposição, 3 cubos. Nessa situação, a pro-

babilidade de o primeiro cubo ser azul, o segundo cubo ser vermelho e o terceiro

cubo ser azul é igual a:




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a) 9/91.

b) 15/91.

c) 3/5.

d) 1/3.

e) 1/5.

Letra O.

O espaço amostral/Universo é: S = 15 cubos.


A: azul na primeira retirada e P(A) = 1015 , sabendo que um cubo já foi retirado da

urna e este foi azul.

V: vermelho na segunda retirada e P(V) = 514 , o espaço amostral diminuiu, uma

vez que não houve reposição (14). Sabendo que o outro cubo foi retirado e este foi

vermelho.

A: azul na terceira retirada e P(A) = 913 , o espaço amostral diminuiu, devido à

segunda retirada. O caso favorável diminui, uma vez que não houve reposição.

Assim:

P(A e V e A) = P(A) . P(V/A) . P(A/ AeV) = 1015 x 5

14 x 913 = 15

91

9. (ESAF) Em uma sala de aula estão 10 crianças, sendo 6 meninas e 4 meninos.

Três das crianças são sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de

as três crianças sorteadas serem do mesmo sexo é:




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a) 15%.

b) 20%.

c) 25%.

d) 30%.

e) 35%.

Letra O.

Esta questão solicita que sejam formados grupos, logo, para que isto venha a acon-

tecer, não pode haver reposição.

Quando a questão exige que os grupos sejam do mesmo sexo, podemos ter a

seguinte interpretação:

3 meninos(Me) ou 3 meninas(Ma)


3 meninos: P(Me e Me e Me ) = 410 x 3

9 x 28 = 1

30

Ou (+)

3 meninas: P(Ma e Ma e Ma ) = 610 x 5

9 x 48 = 1

63 meninos: P(Me e Me e Me ) ou 3 (três) meninas: P(Ma e Ma e Ma)

130 x 1

6 = 15 = 20%

ProOaOilidade de Ocorrer a União de Eventos

Fórmula da proOaOilidade de ocorrer a união de eventos:

P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 e E2)




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Caso existam elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados

no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos

P(E1 e E2), ou seja, devemos retirar a interseção.

E1 E2

Exemplo 1. Um baralho é composto de 52 cartas, distribuídas em quatro naipes:

ouros, copas, espadas e paus. De cada naipe, existem treze cartas: A (ás), 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (valete), Q (dama) e K (rei). Sorteando ao acaso uma carta

desse baralho, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma carta de paus?

Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52

cartas. Considere os eventos:

R: sair uma carta rei é P(R) = 452

P: sair uma carta paus é P(P) = 1352

R P

Assim, P(R ou P) =




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Note que P(R e P) = 152 , pois uma carta pode ser paus e rei ao mesmo tempo, em

que devemos subtrair para que não some a mesma carta duas vezes.

P(R∪P) = P(R) + P(P) – P(R∩P)

Fórmula de proOaOilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente

exclusivos:

P(E1 ou E2 ou E3 ou... ou En) = P(E1) + P(E2) +... + P(En)

E1 E2

Exemplo 2. Um baralho é composto de 52 cartas, distribuídas em quatro naipes:

ouros, copas, espadas e paus. De cada naipe, existem treze cartas: A (ás), 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9, 10, J (valete), Q (dama) e K (rei). Se retirarmos aleatoriamente uma

carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 9 ou um Valete?

Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52

cartas. Considere os eventos:

A: sair uma carta 9 é P(A) = 452

B: sair uma carta valete é P(B) = 452




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9 valete

Assim, P(A ou B) = 452 + 4

52 - 0 = 852 = 2

13

Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 9 e valete ao mesmo tempo.

Quando isso ocorre, dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

Em uma repartição com 40 funcionários, trabalham analistas de recursos humanos,

analistas de sistemas e outros profissionais que exercem vários tipos de atividades.

Sabe-se que desses funcionários 20 são analistas de recursos humanos, 18 são

analistas de sistemas e 5 exercem as duas atividades: analista de recursos huma-

nos e analista de sistemas.

Com base nas informações acima, julgue os itens que se seguem.

10. (CESPE) Escolhendo-se ao acaso um dos funcionários da repartição, a probabi-

lidade de ele ser apenas analista de recursos humanos é superior a 40%.

Errado.

Nessa questão, vimos que interseção não é vazia, ou seja, iremos construir o dia-

grama para evitar contar funcionários mais de uma vez e para melhor visualização.

Tomando:

RH analistas de recursos humanos.




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SIST analistas de sistemas.

A probabilidade de ser apenas analista de recursos humanos (15 funcionários):

P = 1540 = 0,375 = 37,5%

11. (CESPE) A probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso exercer outra

atividade que não seja a de analista de recursos humanos nem a de analista de

sistemas é superior a 20%.

Errado.

A probabilidade de exercer outra função, ou seja, o que está fora dos diagramas (7

funcionários):

P = 740 = 0,175 = 17,5%

12. (CESPE). Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em

acidentes de trânsito ocorridos em quatro Estados Brasileiros, de janeiro a junho

de 2003.




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Estado em que ocorreu o acidenteTotal de vítimas fatais

Sexo masculino Sexo feminino

Maranhão 225 81

Paraíba 153 42

Paraná 532 142

Santa Catarina 188 42

A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada

uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as

condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens

que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados.

A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente

ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,2.

Certo.

Determinar o espaço amostral: 1.405 relatórios é o número de casos possíveis.

Determinar o evento: “225 + 81=306” número de casos favoráveis.

P(M) = número de casos favoráveisnúmero de casos possíveis

= 3061405

= 0,2177

13. (CESPE) A chance de que esse relatório escolhido corresponda a uma vítima do

sexo feminino é superior a 23%.

Errado.





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Determinar o evento: “81 + 42 + 142 + 42 = 307” número de casos favoráveis.

P(F) = número de casos favoráveisnúmero de casos possíveis

= 3071405

= 0,218... = 21,8%

14. (CESPE) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do

sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido

no Estado do Paraná é superior a 0,5.

Errado.

Determinar o espaço amostral condicional “os relatórios que correspondam a

uma vítima do sexo masculino”: 225 +153 + 532 + 188 = 1.098 é o número de

casos possíveis.

Determinar o evento Estado do Paraná (relatórios masculinos): 532 é o número de

casos favoráveis.

P(M) = número de casos favoráveis número de casos possíveis = 532

1098 = 0,484...

15. (CESPE) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de

acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo mas-

culino e de que o acidente tenha ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,27.

Certo.

Determinar o espaço amostral condicional “uma vítima de acidente que não ocorreu

no Paraná”: 1.405 – 674 = 731 casos possíveis.




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Determinar o evento: “do sexo masculino” e de que “o acidente tenha ocorrido no

Estado do Maranhão”: 225 é o número de casos favoráveis.

P(P) = número de casos favoráveis número de casos possíveis = 225

731 = 0,307...

16. (CESPE) A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do

sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos Estados da região Sul do Brasil

listados na tabela é inferior a 70%.

Errado.


Determinar o evento “uma vítima do sexo feminino (SF)” ou “a um acidente ocorri-

do em um dos Estados da região Sul do Brasil (RS)” listados na tabela:

Ou por diagrama:




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P(P) = número de casos favoráveis número de casos possíveis = 1027

1405 = 0,73... (aproximadamente 73%)

17. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2009). De acordo com o jornal espanhol El País, em

2009 o contrabando de armas disparou nos países da América Latina, tendo cresci-

do 16% nos últimos 12 anos. O crime é apontado como o principal problema des-

ses países, provocando uma grande quantidade de mortes. O índice de homicídios

por 100.000 habitantes na América Latina é alarmante, sendo, por exemplo, 28 no

Brasil, 45 em El Salvador, 65 na Colômbia, 50 na Guatemala.

Internet: <www.noticias.uol.com.br>.

Tendo como referência as informações apresentadas no texto acima, julgue o item

que se segue.

Se, em cada grupo de 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade de que um

cidadão desse grupo seja assassinado é 30 vezes menor que essa mesma proba-

bilidade para habitantes de El Salvador ou da Guatemala, então, em cada 100.000

habitantes da Europa, a probabilidade referida é inferior a 10-5.

Errado.

De acordo como texto, temos que o índice de homicídios por 100.000 habitantes na

América Latina é alarmante, sendo, por exemplo, 28 no Brasil, 45 em El Salvador,

65 na Colômbia, 50 na Guatemala.

Representamos a probabilidade de homicídios por 100.000 habitantes nos países/

continente pelas respectivas letras: Brasil(B); El Salvador (EL); Guatemala (GU);




http://www.noticias.uol.com.br

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Colômbia (CO) e Europa (EU). Podemos representar a afirmativa: “em cada grupo

de 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade de que um cidadão desse grupo

seja assassinado é 30 vezes menor que essa mesma probabilidade para habitantes

de El Salvador ou da Guatemala” por:

Obs.: o termo “ou” significa uma soma.EU30 < EL + GU

EU30 < 45 + 50

EU < 30 x 95

EU < 2850, lembrando que 2.850 são divididos por 100.000.

EU < 2,85-4

O item afirma que, em cada 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade referida

é inferior a 10-5, logo está errado, uma vez que 2,85–4 não é inferior a 10-5.

18. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2009) Considerando que, em um torneio de bas-

quete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para formar

o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que se segue.

Considerando que cada equipe tenha 10 jogadores, entre titulares e reservas, que

os uniformes de 4 equipes sejam completamente vermelhos, de 3 sejam completa-

mente azuis e de 4 equipes os uniformes tenham as cores azul e vermelho, então

a probabilidade de se escolher aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja so-

mente vermelho ou somente azul será inferior a 30%.

Errado.

A questão considera 11 equipes, com 10 jogadores cada, e afirma que os unifor-

mes de 4 equipes são completamente vermelhos, de 3 equipes são completamente




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azuis e as outras 4 equipes possuem uniformes com as duas cores. Logo após, a

questão afirma que a probabilidade de se escolher aleatoriamente um jogador cujo

uniforme seja somente azul ou somente vermelho será inferior a 30%.

Denotando por P(V) a probabilidade de escolher aleatoriamente um jogador de

camisa somente vermelha; P(A) a probabilidade de escolher aleatoriamente um

jogador de camisa somente azul e P(AV) a probabilidade de escolher um jogador

com a camisa contendo as duas cores.

Considerando que os três conjuntos (A, V e AV), e sabendo que não há interseção,

a probabilidade de encontrar um jogador somente de camisa azul ou somente de

camisa vermelha será dado por:

P(A) + P(V) - P(A^V),

onde P(A^V) é a probabilidade da interseção dos dois conjuntos, ou seja, a proba-

bilidade de achar um jogador somente com a camisa vermelha e somente com a

camisa azul que será igual a zero.

Logo, P(A) + P(V) - P(A^V) = P(A) + P(V) = 30/110 + 40/110 = 7/11 = 63,63 %

> 30%.

19. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2012) Dez policiais federais – dois delegados, dois

peritos, dois escrivães e quatro agentes – foram designados para cumprir mandado

de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O

grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja com-

posta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.

Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independente-

mente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma

equipe com a exigência inicial será superior a 20%.




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Errado.

Probabilidade = Casos favoráveisCasos possíveis

P = C2, 1.C2, C2, 1.C4,2C10,5

P = 48252 = 0,1904...=19,04%

20. (CESPE/ANALISTA/INSS/2016) Uma população de 1.000 pessoas acima de 60

anos de idade foi dividida nos seguintes dois grupos:

A: aqueles que já sofreram infarto (totalizando 400 pessoas); e

B: aqueles que nunca sofreram infarto (totalizando 600 pessoas).

Cada uma das 400 pessoas do grupo A é ou diabética ou fumante ou ambos

(diabética e fumante).

A população do grupo B é constituída por três conjuntos de indivíduos: fumantes,

ex-fumantes e pessoas que nunca fumaram (não fumantes).

Com base nessas informações, julgue o item subsecutivo.

Se, no grupo B, a quantidade de fumantes for igual a 20% do total de pes soas do

grupo e a quantidade de ex-fumantes for igual a 30% da quanti dade de pessoas

fumantes desse grupo, então, escolhendo-se aleatoria mente um indivíduo desse

grupo, a probabilidade de ele não pertencer ao conjunto de fumantes nem ao de

ex-fumantes será inferior a 70%.




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Errado.

Neste item temos 03(três) conjuntos disjuntos, ou seja, não temos ele mentos que

pertencem a mais de um conjunto simultaneamente, logo os conjuntos podem ser

representados da seguinte forma:

(120) Fumantes + (36) Ex-fumantes (444) + Não fumantes = 600

P (n) =444/600 (X100) = 74%

21. (CESPE/PREFEITURA DE SÃO PAULO/2016) Considere a seguinte informação:

a Prefeitura do Município de São Paulo (PMSP) é subdividida em 32 subprefeituras

e cada uma dessas subprefeituras administra vários distritos.

A tabela a seguir, relativa ao ano de 2010, mostra as populações dos quatro distri-

tos que formam certa região administrativa do município de São Paulo.

Distrito População (em 2010)

Alto de Pinheiros 43.000

Itaim Bibi 92.500

Jardim Paulista 89.000

Pinheiros 65.500

Total 290.000




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Considerando-se a tabela apresentada, é correto afirmar que, se, em 2010, um

habitante dessa região administrativa tivesse sido selecionado ao acaso, a chance

de esse habitante ser morador do distrito Jardim Paulista seria:

a) inferior a 21%.

b) superior a 21% e inferior a 25%.

c) superior a 25% e inferior a 29%.

d) superior a 29% e inferior a 33%.

e) superior a 33%.

Letra d.

Temos uma questão simples de probabilidade, em que podemos res ponder da se-

guinte forma:

N(u): TOTAL DE PESSOAS NOS QUATRO DISTRITOS

N(a): TOTAL DE PESSOAS NO DISTRITO DE Jardim Paulista.

Sabemos que probabilidade P(n) é o quociente entre os casos favoráveis e casos

possíveis, logo temos que:

P(n) = N(a)/N(u)

P(n) = 89000/ 290.000

P(n) = 0,3068 (x100)

P(n) = 30,68%

22. (CESPE/STJ/2015) Determinada faculdade oferta, em todo semestre, três dis-




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ciplinas optativas para alunos do quinto semestre:

Inovação e Tecnologia (INT); Matemática Aplicada (MAP); Economia do Mercado

Empresarial (EME).

Neste semestre, dos 150 alunos que possuíam os requisitos necessários para cursar

essas disciplinas, foram registradas matrículas de alunos nas seguintes quantidades:

– 70 em INT;

– 45 em MAP;

– 60 em EME;

– 25 em INT e MAP;

– 35 em INT e EME;

– 30 em MAP e EME;

– 15 nas três disciplinas.

Com base nessas informações, julgue o item que se segue.

Ao se escolher um aluno ao acaso, a probabilidade de ele estar matriculado em

apenas duas das três disciplinas será maior que a probabilidade de ele estar matri-

culado apenas em INT.

Certo.

150




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A probabilidade de ele estar matriculado em apenas duas das três disciplinas:

P(n) = 45/150

A probabilidade de ele estar matriculado apenas em INT: P(n’)=25/150

P(n) > P(n’).

23. (CESPE/TRT – 7ª Região (CE)/2017). Se, na presente prova, em que cada

questão tem quatro opções de resposta, um candidato escolher ao acaso uma única

resposta para cada uma das quatro primeiras questões, então a probabilidade de

ele acertar exatamente duas questões será igual a

a) 1/2.

b) 9/16.

c) 27/128.

d) 9/256.

Letra c.

Por uma das propriedades que é apresentada no final deste capítulo, propriedade

complementar, temos que P(n) + P’(n) = 1, logo podemos resolver a questão da

seguinte forma:

A chance de acertar é 1/4 (A)

A chance de errar é 3/4(E) uma vez que temos uma alternativa certa dentre 3

erradas.

A questão solicita a chance de ele acertar exatamente duas, e as outras duas es-

tarem erradas.




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Então teremos a seguinte situação:

A A E E

1/4 x 1/4 x 3/4 x 3/4 = 9/256

É importante observar que temos o resultado para uma ordem, logo os eventos

podem ocorrer em qualquer ordem. Neste momento, iremos lançar mão dos conhe-

cimentos do capítulo anterior, isto é, análise combinatória, em que iremos calcular

a quantidade de ordens para A A E E, que será uma permutação com repetição:

4 x 3 x 2 x 1 =6

2x1 2x1

Para finalizarmos iremos multiplicar 9/256 x 6 = 27/128.

24. (FGV/PREFEITURA DE SALVADOR – BA/2017) Júlio vai lançar uma moeda ho-

nesta 4 vezes seguidas. A probabilidade de que o número de caras seja igual ao

número de coroas é de

a) 1/2.

b) 1/3.

c) 3/4.

d) 3/8

e) 5/8.

Letra d.

Como a ordem dos lançamentos não importa (não altera a natureza), iremos apli-

car uma combinação: C4,2 (casos favoráveis).




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(Eventos favoráveis) =C4,2 = 4.3/2! = 12/2 = 6

Como as moedas são lançadas 4 vezes, há 2 chances de cair em cada: Cara ou

Coroa.

(Casos Possíveis) = 2. 2. 2. 2 = 16

P = casos favoráveiscasos possíveis

6/16 = 3/8

25. (FGV/PREFEITURA DE SALVADOR – BA/2017) Abel tem uma moeda que dá

“cara” com probabilidade 1/2 e Breno tem uma moeda que dá “cara” com proba-

bilidade 1/3.

Abel e Breno lançam suas respectivas moedas, alternadamente. O primeiro que

obtiver “cara”, ganha. Abel é o primeiro a lançar, e os lançamentos são todos

independentes.

A probabilidade de Abel ganhar no seu terceiro lançamento é de

a) 1/2.

b) 1/3.

c) 1/4.

d) 1/8.

e) 1/18.

Letra e.

Abel, para ganhar o jogo, tem que tirar cara em sua terceira tentativa, uma vez que

que os dois ficam alternando as jogadas. Vejamos as jogadas alternadas:




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Abel: aqui ele tem 1/2 de chance de cara, ou seja, 1/2 de tirar coroa (queremos

que ele perca, tirar então coroa, o que na verdade não altera, mas para melhor

interpretação).

Breno: se ele tem 1/3 de tirar cara, então aqui ele tem que ter 2/3 para tirar coroa,

uma vez que queremos que o Abel ganhe na terceira tentativa.

Abel: 1/2 de tirar coroa

Breno: 2/3 de tirar coroa

Abel: aqui a gente quer que ele ganhe, então 1/2 de tirar cara.

Multiplicando as probabilidades até a terceira jogada em que Abel ganha, teremos:

1/2 x 2/3 x 1/2 x 2/3 x 1/2 = 4/72 = 1/18

26. (FGV/TÉCNICO EM INFORMAÇÕES GEOGRÁFICAS E ESTATÍSTICAS/IBGE/2016)

Cinco pessoas estão sentadas em cinco cadeiras em linha, cada uma com uma mo-

eda na mão. As moedas são todas bem equilibradas, de modo que a probabilidade

de sair cara ou coroa em cada uma delas é 1/2. Em um determinado momento, as

cinco pessoas jogam suas respectivas moedas. Aquelas que obtiverem cara conti-

nuam sentadas, e as que obtiverem coroa levantam-se. Após esse procedimento,

a probabilidade de que NÃO haja duas pessoas adjacentes, ambas sentadas ou

ambas de pé, é de:

a) 1/2;

b) 1/8;

c) 1/16;

d) 3/32;

e) 5/32.




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Letra c.

Para que não haja duas pessoas adjacentes (lado a lado) ambas em pé ou ambas

sentadas temos as seguintes possibilidades:

C: Cara

K: Coroa

Pessoa 01 e (x) Pessoa 02 e(x) Pessoa 03 e(x) Pessoa 04 e(x) Pessoa 05

Cara (C) (1/2) x Coroa(K) (1/2) x Cara (C) (1/2) x Coroa(C) (1/2) x Cara (C) (1/2)

= 1/32

Ou (+)

Coroa (K) (1/2) x Cara(C) (1/2) x Coroa (K) (1/2) x Cara(C) (1/2) x Coroa (K) (1/2)

=1/32

1/32 + 1/32 = 2/32 = 1/16

27. (CESGRANRIO/ESCRITURÁRIO/BANCO DO BRASIL/2015). Em uma determina-

da agência bancária, para um cliente que chega entre 15 h e 16 h, a probabilidade

de que o tempo de espera na fila para ser atendido seja menor ou igual a 15 min é

de 80%. Considerando que quatro clientes tenham chegado na agência entre 15 h

e 16 h, qual a probabilidade de que exatamente três desses clientes esperem mais

de 15 min na fila?

a) 0,64%

b) 2,56%

c) 30,72%

d) 6,67%

e) 10,24%




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Letra O.

Nota do Autor: no estudo de Probabilidade, temos como pré-requisito o estudo de

análise combinatória, pois em muitas situações os eventos podem ocorrer em di-

versas ordens.

Segundo o enunciado, temos que a probabilidade do tempo de espera na fila para

ser atendido, para um tempo menor ou igual a 15 min, é de 80%, logo a probabi-

lidade de um cliente esperar mais de 15 min na fila será o complementar, ou seja,

o que falta para o todo (universo) 100%.

Para um tempo menor ou igual a 15 min é igual a 80% (0,8).

Para um cliente esperar mais de 15 min na fila será de 20% (0,2).

Calculando a probabilidade de exatamente três dos quatro esperarem mais de 15

minutos na fila é dado por:

20% × 20% × 20% × 80% = 0,2 × 0,2 × 0,2 × 0,8 = 0,0064

É importante ressaltar que a situação acima pode ocorrer em qualquer ordem, logo

devemos multiplicar o resultado por 4, que é a quantidade de ordem que os even-

tos podem ocorrer.

4 x 0,0064 = 0,0256 = 2,56%

28. (CESGRANRIO/ESCRITURÁRIO/ BANCO DO BRASIL/2015) Um grupo de ana-

listas financeiros composto por 3 especialistas – X, Y e Z – possui a seguinte ca-

racterística: X e Y decidem corretamente com probabilidade de 80%, e Z decide

corretamente em metade das vezes.

Como as decisões são tomadas pela maioria, a probabilidade de o grupo tomar uma

decisão correta é:




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a) 0,16

b) 0,64

c) 0,48

d) 0,32

e) 0,80

Letra e.

Primeiramente iremos calcular os acertos e erros de cada analista utilizando a ideia

de complementar:

X – = 80% de acertos e 20% de erros

Y = 80% de acertos e 20% de erros

Z = 50% de acertos 50% de erros


decisão correta pode ocorrer a partir das seguintes possibilidades:

Primeira possibilidade: X e Y e Z acertarem:

X – Y. Z = 0,8 (acerto) 0,8 (acerto). 0,5 (acerto) = 0,32

Segunda possiOilidade: X e Y acertarem e Z errar:

X – Y. Z = 0,8 (acerto). 0,8 (acerto).0,5 (erro) = 0,32

Terceira possibilidade: X acertar e Y errar e Z acertar:

X – Y. Z = 0,8 (acerto). 0,2 (erro). 0,5 (acerto) = 0,08

Quarta possibilidade: X errar e Y e Z acertarem

Probabilidade de acerto = X. Y. Z = 0,2(erro) x 0,8(acerto) x 0,5(acerto) = 0,08

Desta forma, temos todas as possibilidades de a decisão ser correta, uma vez que




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deve ser tomada pela maioria.

Somando os resultados teremos: 0,32 + 0,32 + 0,08 + 0,08 = 0,8

29. (CESPE/TRE-GO/2015) As prestações de contas das campanhas dos 3 can-

didatos a governador de determinado estado foram analisadas por 3 servido-

res do TRE desse estado. Considerando que um servidor pode analisar nenhu-

ma, uma ou mais de uma prestação de contas e que, por coincidência, cada um

dos 3 candidatos é parente de um dos 3 servidores, julgue o item que se segue.

Se as prestações de contas forem distribuídas para análise de forma aleatória e

independente, então a probabilidade de que cada servidor analise as contas de seu

parente é inferior a 1/30.

Errado.

P(n) = Número de casos favoráveis Número de casos possíveis = 1

3

Temos três eventos sucessivos e independentes, logo teremos o seguinte:

O primeiro servidor analisar a conta de seu parente: P (n) = 1/3.

O segundo servidor analisar a conta de seu parente: P (n)=1/3.

O terceiro servidor analisar a conta de seu parente: P (n) = 1/3.

Temos a probabilidade da interseção dos 3 eventos que é dado pela multiplicação

das probabilidades:

P = 13 x 1

3 x 13 = 1

27 , o resultado é superior a 1/30




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30. (FUNIVERSA/AGEPEN – GO/2015). Em um presídio com 750 detentos, sabe-se

que 130 deles foram condenados por latrocínio, 180 por estupro e 30 por latrocínio

e estupro. Nesse caso, escolhendo-se aleatoriamente um detento desse presídio, a

probabilidade de ele ter cometido estupro, mas não latrocínio é

a) inferior a 0,25.

b) superior a 0,25 e inferior a 0,30

c) superior a 0,30 e inferior a 0,35.

d) superior a 0,35 e inferior a 0,40.

e) superior a 0,40.

Letra a.

Temos uma questão que envolve teoria de conjuntos, pois temos detentos que

cometeram latrocínio e estupro, sendo assim vamos construir diagrama que nos

fornece uma interpretação concreta da situação.

P(n) = Número de casos favoráveis (somente detentos que cometeram estupro)Número de casos possíveis (todos os detentos)

P(n) = 150750 = 0,2




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ProOaOilidade – Teorema de Bayes

Uma explicação Oem engraçada que encontrei na internet, risos!

Em sua forma mais básica, trata-se apenas de uma expressão algébrica com qua-

tro variáveis – três conhecidas e uma desconhecida. Porém, apesar de sua simplici-

dade, ela pode nos conduzir a vastas percepções no âmbito das previsões. O foco

do teorema é a proOaOilidade condicionada. Ou seja, fala da probabilidade de

uma teoria ou hipótese ser verdadeira se tiver havido determinado acontecimento.

Imagine que você seja um rapaz que mora com sua namorada. Voltando de uma

viagem de negócios, você tem uma surpresa. Encontra uma cueca desconhecida na

gaveta do armário. Automaticamente, seu cérebro irá se perguntar: qual é a proba-

bilidade de eu ter sido traído? A condição encontrada é a roupa íntima encontrada;

a hipótese que você deseja considerar é uma traição. O teorema de Bayes, acredite

ou não, é a melhora forma de você abordar este constrangedor questionamento,

mas, para isto, você terá que saber algumas coisas:

• 1º: qual a probabilidade da aparição de uma roupa íntima numa condição

em que a hipótese seja verdadeira, ou seja, em que houve mesma a traição?

Se ela está traindo você, não seria difícil imaginar como a cueca foi parar na

gaveta. Então, mesmo que ela esteja te traindo, você imagina que fosse mais

cuidadosa. Digamos que a probabilidade de a cueca aparecer, como condição

para ela estar enganando, é de 50%.

• 2º: qual a probabilidade de surgimento da cueca numa condição em que a

hipótese seja falsa? Se ela não está te traindo, existe alguma explicação ino-

cente para justificar a cuecona ali? É claro que as hipóteses são mais compli-

cadas, como sua mulher decidiu agora usar cuecas, ou um amigo dela, gente




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boa, foi passar a noite com ela. Poderia ser um presente, do dia dos namo-

rados, para você que ela esqueceu de embrulhar. Nenhuma destas teorias

são insustentáveis, mas parecem um pouco as explicações sobre a Lava Jato,

então você calcula uns 5%.

• 3º: a última e mais importante, é a probabilidade prévia. Em quanto você

estimaria a probabilidade de uma traição antes de encontrar a cueca? Temos

que ser objetivos sobre esta probabilidade e esquecer a raiva momentânea.

Se conseguirmos acessar os dados disponíveis, veremos que cerca de 14,7%,

segundo um estudo do General Social Survey, das mulheres americanas tra-

em. Mas como somos brasileiros, corre uma pesquisa de que o percentual

era de 56,4%. Fico um pouco preocupado com este estudo e vou estimar um

meio a meio. Que tal considerar que 30% das mulheres traem? Pode ser?

Uma vez estimados esses números, o teorema de Bayes pode ser aplicado para

estabelecermos uma probabilidade posterior. Esse é o número que em estamos

interessados: qual a probabilidade de uma traição, levando em conta que encon-

tramos uma cueca no armário de casa?

• Estimativa inicial das chances de traição: x = 30%.

• Fato novo: cueca encontrada.

• Probabilidade de surgimento da cueca como condição para traição: y = 50%.

• Probabilidade do surgimento da cueca se não houver traição: z = 5%.

• Probabilidade Posterior.

• Estimativa revisada da probabilidade de traição, considerando que você achou

a cueca.




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P = x . y

xy + z (1-x)

P= 81%. Um valor relativamente alto.

Pelo teorema de Bayes, a probabilidade de você estar sendo traído é de 81%,

o que é, na minha opinião, é bastante alta. Neste caso, quem manda na equação

é probabilidade inicial de estar ocorrendo a traição. Se, por ventura, você encon-

trasse um estudo que estimasse a probabilidade de uma mulher trair em 4%, a

probabilidade de você estar sendo traído iria cair para 29%, o que é muito mais

confortável, se você for o homem. Porém, se adotássemos os 56,4% do estudo

que encontramos sobre as mulheres brasileiras, o número subiria para 83%, o que

não parece um aumento crucial para sua tomada de decisão. Neste mesmo estudo,

falava-se que 70% dos homens traíam. Neste caso, ao encontrar uma calcinha na

sua casa, cara leitora, se aplicar o teorema, seu marido ficará em maus lençóis.

Hoje, poderíamos aumentar a precisão de sua estimativa se fôssemos analisan-

do mais a fundo as características da sua mulher. Quanto mais apurada for a proba-

bilidade prévia, melhor será a sua assertividade na probabilidade posterior. Porém,

não quero sugerir que nossas probabilidades prévias sempre prevaleçam sobre

indícios novos ou que o teorema de Bayes produz, por si só, resultados que podem

ser contrários aos nossos instintos. Às vezes, as novas evidências são tão fortes

que ofuscam todo o resto, fazendo com que possamos passar, de forma pratica-

mente instantânea, de uma probabilidade próxima de zero a uma quase certeza.

O teorema de Bayes não é uma fórmula mágica – em sua forma simples empre-

gada aqui –, é álgebra básica. Precisamos, no entanto, abastecê-lo com informa-

ções de qualidade, em particular, nossas estimativas sobre probabilidades prévias,

para que ele nos entregue resultados úteis.




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A maior lição do teorema de Bayes é que ele nos exige que pensemos de forma

probabilística a respeito do mundo, mesmo ao lidarmos com temas que não gos-

tamos de considerar como determinados pelo acaso. Isso não significa que tenha-

mos de encarar o mundo como algo incerto de forma intrínseca ou metafisica (a lá

Montanha Mágica). Laplace, que acreditava que tudo, das órbitas dos planetas ao

comportamento das partículas, era governado por metódicas regras newtonianas,

mudou seu entendimento e teve um papel fundamental no desenvolvimento do

Teorema de Bayes. Esta é a melhor forma de lidarmos com a incerteza epistemoló-

gica, com os limites de nosso conhecimento.

Interpretação Matemática

Teorema de Bayes

É importante apresentarmos antes do teorema de Bayes a definição de proba-

bilidade condicional, para registrar a diferença entre probabilidade condicional e o

teorema de Bayes, ok?

Definição: probabilidade condicional de B dado A é a probabilidade de ocorrer o

evento B sob a condição de ocorrer o evento A.

Indica-se por P(B|A), que se lê “probabilidade de B dado A”.

P(B|A) = P(A ∩ B)P(A)

É importante observar que A e B são dois eventos dependentes que ocorrem em

sequência. O evento A antecede o evento B.




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31. (ESAF/MPU) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cin-

co delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três

de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena

caixa de joias. Uma noite arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com

João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê,

então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a

probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras

que ganhou de João é igual a

a) 1/3.

b) 1/5.

c) 9/20.

d) 4/5.

e) 3/5.

1/3

Determinar o espaço amostral: o espaço amostral é condicional, pois no texto te-

mos que “... Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela

vê, então, que retirou uma pulseira de prata...”

P(B|A) = P(A ∩ B)P(A)

P(A) = pulseiras de prata




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P(B) = pulseira de ganhou de João.

P(A ∩ B) = pulseiras de prata que ganhou de João

P(B|A) = P(A ∩ B)P(A)

P(B|A) = 412

O espaço amostral é igual a pulseiras de prata.

Número de casos possíveis = 12 pulseiras.

Determinar o evento:

Número de casos favoráveis, ou seja, pulseiras que ganhou de João sendo elas de prata.

Número de casos favoráveis = pulseiras de prata que ganhou de João = 4 pulseiras.

Teorema de Bayes

Os símbolos P (B | A) e P (A | B) podem ter aparência similar, mas há grande

diferença no que eles representam.

Por exemplo, faça A representar ter treinamento técnico e faça B representar

executar um bom serviço.

Veja:

P (B|A) = probabilidade de “bom serviço” dado o “treinamento técnico”.

P (A|B) = probabilidade de “ter treinamento técnico” dado o “bom serviço”.




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Outro exemplo: faça A representar ser bom aluno e faça B representar ser aprova-

do no vestibular. Veja:

P(B|A) = probabilidade de “ser aprovado no vestibular” dado “ser bom aluno”.

P(A|B) = probabilidade de “ser bom aluno” dado “ser aprovado no vestibular”.

Muitos problemas envolvem um par de probabilidades condicionais. Vamos

buscar a fórmula para obter P(A | B) ou P(B|A).

P(A ∩B) = P(A) x P(B|A)

P(A ∩B) = P(B) x P(A|B)

Partindo das probabilidades condicionais acima, temos a seguinte identidade,

assim você poderá decidir qual das probabilidades pode ser calculada:

P(A) X P(B|A) = P(B) x P(A|B)

Façamos de conta que queiramos P (A | B), ou seja, a probabilidade de A, dado B.

P(A|B) = P(A) x P(B|A)P(B)

Façamos de conta que queiramos P (B | A), ou seja, a probabilidade de B, dado A.

P(B|A) = P(B) x P(B|A)P(A)




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32. (ESAF/ATA-MF/2014). Considere que há três formas de Ana ir para o trabalho: de

carro, de ônibus e de bicicleta. Em 20% das vezes ela vai de carro, em 30% das ve-

zes de ônibus e em 50% das vezes de bicicleta. Do total das idas de carro, Ana chega

atrasada em 15% delas, das idas de ônibus, chega atrasada em 10% delas e, quan-

do vai de bicicleta, chega atrasada em 8% delas. Sabendo-se que um determinado

dia Ana chegou atrasada ao trabalho, a probabilidade de ter ido de carro é igual a:

a) 20%

b) 40%

c) 60%

d) 50%

e) 30%

Letra e.

Vamos responder de 02 maneiras, sendo uma de forma mais prática, e outra pelo

teorema de Bayes.

FORMA PRÁTICA:

Resolução

Para facilitar o raciocínio, vamos considerar que Ana foi durante 100 dias para o seu

trabalho. Sendo:

20 vezes de carro

30 vezes de ônibus

50 vezes de bicicleta




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Das viagens de carro, Ana chega atrasada em 15%. Como 15% de 20 é 3, então

ela chegou atrasada 3 vezes indo de carro.

Das viagens de ônibus, Ana chega atrasada em 10%. Como 10% de 30 é igual a 3,

então ela chegou atrasada 3 vezes indo de ônibus.

Das viagens de bicicleta, Ana chega atrasada em 8%. Como 8% de 50 é igual a 4,

então ela chegou atrasada 4 vezes indo de bicicleta.

Resumindo, ela chegou atrasada 10 vezes: 3 de carro, 3 de ônibus e 4 de bicicleta.

Veja que a pergunta do enunciado: sabendo-se que um determinado dia Ana che-

gou atrasada ao trabalho, qual a probabilidade de ter ido de carro?

Sabendo que Ana chegou atrasada. Portanto, vamos descartar todos os 90 dias que

ela chegou dentro do horário. O nosso espaço amostral (casos possíveis) agora está

restrito apenas aos 10 dias que Ana chegou atrasada.

Dos 10 dias que ela chegou atrasada, 3 foram de carro.

Assim, a probabilidade pedida é 3/10.

PELO TEOREMA DE BAYES:

Queremos calcular a probabilidade de Ana ter ido de carro, sabendo que ela chegou

atrasada.

Aplicando a fórmula:

P(carro/atrasada) = P(carro e atrasada)

P(atrasada)

A probabilidade de ela ir de carro é 20%. Das vezes que vai de carro, ela chega

atrasada em 15%. Assim, a probabilidade de ela ir de carro e chegar atrasada é:

0,20 x 0,15 = 0,03




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Para calcular a probabilidade de ela chegar atrasada, devemos somar todos os ca-

sos (indo de carro, ônibus ou bicicleta): 0,03+0,03+0,04 = 0,10.

Dessa forma, podemos inferir:

P(carro

atrasada ) = 0,030,10 =

310

33. (ESAF/MI-CENAD/2012) O diagnóstico para uma grave doença que atinge 20%

da população adulta em determinada região é feito por um invasivo exame que

produz resultado positivo ou negativo. Pesquisas mostraram que esse exame pro-

duz um resultado falso positivo em 10% dos casos e produz um resultado falso

negativo em 40% dos casos. Se uma pessoa adulta desta região fizer o exame e o

resultado for negativo, indique qual a probabilidade de essa pessoa ter a doença.

a) 20%

b) 15%

c) 10%

d) 5%

e) 0%

Letra c.

FORMA PRÁTICA:

Vamos simular para ficar mais prático que a população adulta é formada por 100

pessoas. Como a doença atinge 20% da população adulta, então teremos 20 doen-

tes e 80 sadios. As pesquisas mostram que o exame produz um falso positivo em

10% dos casos. E o que significa um falso positivo? Ora, quer dizer que a pessoa é

sadia, ou seja, não tem a doença, mas o exame dá positivo. Como temos 80 pesso-




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as sadias, então o exame dá falso positivo para 8 pessoas. São 80 pessoas sadias

que fazem o exame. O resultado dá positivo para 8 delas e dá falso para as outras

72 pessoas. Conforme as pesquisas, o exame dá falso negativo em 40% dos casos.

O que significa um falso negativo? Significa que a pessoa tem a doença (20 casos)

e o exame dá negativo. Ou seja, dos 20 doentes que fizeram o exame, temos que

40% x 20 = 8 pessoas têm o resultado negativo. Dessa forma, os resultados dos

outros 12 doentes são positivos.

Dos dados da questão podemos inferir que: de 100 pessoas das quais 20 são do-

entes e 80 são sadios.

Dos 20 doentes, temos 8 com resultado negativo e 12 com resultado positivo.

Dos 80 sadios, temos 72 com resultado negativo e 8 com resultado positivo.

Agora a pergunta da questão: se uma pessoa adulta desta região fizer o exame e

o resultado for negativo, indique qual a probabilidade de essa pessoa ter a doença.

Se o resultado do exame é negativo, então o nosso espaço amostral é reduzido

(condicionado).

O total de casos possíveis é igual a 8 + 72 = 80.

Dessas 80 pessoas, 8 são doentes. Logo, a probabilidade = 8/80 = 0,1 = 10%.

PELO TEOREMA DE BAYES:

A questão solicita o cálculo da probabilidade de a pessoa ter a doença sabendo que

o exame deu negativo.

P(tem a doença|exame negativo) = P(tem a doença e exame negativo)

P(exame negativo)

A probabilidade de uma pessoa ter a doença é 20%. Para que uma pessoa tenha a

doença e seu exame seja negativo, é necessário que o resultado seja falso negativo

(porque a pessoa tem a doença).

A probabilidade de a pessoa receber um exame falso negativo é 40%.




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Assim, a probabilidade de a pessoa ter a doença e receber um exame negativo é:

P(tem a doença e exame negativo) = 0,20 x 0,40 = 00,8

A outra possibilidade de a pessoa receber exame negativo é quando ela não tem a

doença (probabilidade de 80%) e recebe o resultado correto.

Ora, o exame dá resultado falso positivo (a pessoa não tem a doença e ocorre erro no

exame) para 10% dos casos. Assim, a probabilidade de a pessoa que não tem a do-

ença receber seu exame correto (exame negativo) é de 90%, isto é, o complementar.

Desta forma, a probabilidade de a pessoa que não tem a doença receber exame

negativo é:

P(tem a doença e exame negativo) = 0,80 x 0,90 = 0,72

Desta forma, a probabilidade total de uma pessoa receber exame negativo é:

P(exame negativo) = P(tem a doença e exame negativo) + P(tem a doença e

exame negativo)

P(exame negativo) = 0,08 + 0,72 = 0,80

Assim, a probabilidade solicitada é:

P(tem a doença|exame negativo) = P(tem a doença e exame negativo)P(exame negativo)

P(tem a doença|exame negativo) = 0,080,80

= 880

= 110

= 10%

OOs.:� na verdade é necessária interpretação para que possa resolver as questões.

Muitas vezes se torna mais prático não usar a fórmula, porém fica a seu critério.




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QUESTÕES DE CONCURSO

1. (CESGRANRIO/ESCRITUÁRIO/BANCO DO BRASIL/2015) Em uma determinada

agência bancária, para um cliente que chega entre 15 h e 16 h, a probabilidade de que

o tempo de espera na fila para ser atendido seja menor ou igual a 15 min é de 80%.

Considerando que quatro clientes tenham chegado na agência entre 15 h e 16 h,

qual a probabilidade de que exatamente três desses clientes esperem mais de 15

min na fila?

a) 0,64%

b) 2,56%

c) 30,72%

d) 6,67%

e) 10,24%

2. (CESGRANRIO/ESCRITUÁRIO/BANCO DO BRASIL/2015) Um grupo de analistas

financeiros composto por 3 especialistas – X, Y e Z – possui a seguinte caracterís-

tica: X e Y decidem corretamente com probabilidade de 80%, e Z decide correta-

mente em metade das vezes.


decisão correta é:

a) 0,16

b) 0,64

c) 0,48

d) 0,32

e) 0,80




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3. (CESGRANRIO/ECONOMISTA/CEFET-RJ/2014) Dois dados comuns, com as 6 fa-

ces igualmente prováveis, foram lançados simultaneamente, e a soma dos resulta-

dos obtidos foi igual a 8.

A probabilidade de que o resultado de um dos dados tenha sido 5, condicionada à

soma dos dois ser igual a 8, é de:

a) 10%

b) 20%

c) 30%

d) 40%

e) 50%

4. (CESGRANRIO/CONHECIMENTOS BÁSICOS/PETROBRAS/2014) Em um centro de

pesquisa trabalham 30 pesquisadores, dos quais 14 são biólogos. O diretor comunicou

aos pesquisadores que três deles seriam escolhidos para participar de um congresso.

Considerando-se que a escolha seja feita de forma aleatória, qual a probabilidade

de que exatamente dois biólogos sejam escolhidos?

a) 1/7

b) 3/14

c) 7/15

d) 52/145

e) 52/435

5. (CESGRANRIO/ESCRITUÁRIO/BANCO DO BRASIL) Sejam X o número de contra-

tos realizados, e Y o número de contratos cancelados em uma determinada agên-

cia, por dia. A distribuição conjunta de X e Y é dada por:




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Dado que pelo menos quatro contratos novos foram fechados, a probabilidade de

que três contratos sejam cancelados no mesmo dia é:

a) 2/3

b) 1/3

c) 1/10

d) 1/8

e) 1/4

6. (CESGRANRIO/ANALISTA/IBGE/2013) Dois eventos A e B, independentes, são

tais que P(A) > P(B), P(A ∩ B) = 1/3 e P(A ∪ B) = 5/ 6.

O valor de P(AC ∩ B) é dado por

a) 1/3

b) 1/2

c) 1/4

d) 1/6

e) 2/3

7. (CESGRANRIO/ADMINISTRADOR JÚNIOR/TRANSPETRO/2012) Um estádio olím-

pico possui 4 acessos: norte, sul, leste e oeste. Quatro delegações se dirigem ale-

atoriamente ao estádio.




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Qual é a probabilidade de cada uma se dirigir a um acesso diferente das demais?

a) 1/256

b) 1/64

c) 1/24

d) 3/64

e) 3/32

8. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2012) Em uma determinada região, constatou-se que

• 25% das pessoas não praticam atividade física.

• 25% das pessoas são do sexo feminino e praticam atividade física.

• 15% das pessoas que não praticam atividade física são do sexo masculino.

Seleciona-se aleatoriamente uma pessoa dessa população.

A probabilidade de que seja do sexo masculino ou que não pratique exercício fí-

sico é de

a) 15%

b) 25%

c) 72,5%

d) 75%

e) 90%

9. (CESGRANRIO/BNDES/2011) Em uma urna, são colocadas 2 bolas brancas e 4

pretas. Alberto e Beatriz retiram bolas da urna alternadamente, iniciando-se com

Alberto, até que a urna esteja vazia. A probabilidade de que a primeira bola branca

saia para Alberto é




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a) 1/2

b) 3/5

c) 5/9

d) 7/12

e) 8/15

10. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2011) Um jogo consiste em lançar uma moeda ho-

nesta até obter duas caras consecutivas ou duas coroas consecutivas. Na primeira

situação, ao obter duas caras consecutivas, ganha-se o jogo. Na segunda, ao obter

duas coroas consecutivas, perde-se o jogo. A probabilidade de que o jogo termine,

com vitória, até o sexto lance, é

a) 7/16

b) 31/64

c) 1/2

d) 1/32

e) 1/64




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GABARITO

1. b

2. e

3. d

4. d

5. e

6. d

7. e

8. d

9. b

10. b




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DESAFIO – COMENTÁRIO

De acordo com o enunciado da questão, um artista só pode ser trabalhador, filóso-

fo ou poeta, ou seja, são conjuntos disjuntos. Assim, os respectivos conjuntos (T,

F e P) interceptam o conjunto dos artistas sem deixar vazios e sem superposição,

porque um artista não pode ser mais de um desses ao mesmo tempo. O enunciado

também diz que trabalhador, filósofo e poeta são responsáveis. Denominando R o

conjunto dos responsáveis, tem-se:

T ⊆ R

F ⊆ R

P ⊆ R




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Ou seja, T, F e P são subconjuntos de R.

Analisando as respostas, temos:

Letra c.

Todo artista é responsável: correto, porque T, F e P são subconjuntos de R e o ar-

tista só pode ser um deles.

a) Errada. Todo responsável é artista: não necessariamente, porque o quantifi-

cador Universal afirmativo não aceita a propriedade comutativa, uma vez que há

elementos que são responsáveis que não trabalhadores.

O) Errada. Todo responsável é filósofo ou poeta: não. Pode ser trabalhador.

d) Errado. Algum filósofo é poeta: pode ser ou não. Os conjuntos F e P podem ter

interseção, embora não indicado na figura.

e) Errado. Algum trabalhador é filósofo: pode ser ou não, de forma similar à do

item anterior.




Matemática, Probabilidade e Estatística

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