materiais-compositos-011

Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia MecnicaGrupo de Anlise e Projeto Mecnico

CURSO DE PROJETO ESTRUTURAL COM

MATERIAIS COMPOSTOS

Prof. Jos Carlos Pereira

SUMRIO

1 ASPECTOS GERAIS DOS MATERIAIS COMPOSTOS............................................5

1.1 Definio...........................................................................................................................5

1.2 Componentes constituintes de um material composto................................................5

1.2.1 Fibras...............................................................................................................5

1.2.2 Matrizes...........................................................................................................5

1.3 Interesse dos materiais compostos................................................................................7

1.4 Aplicaes dos materiais compostos............................................................................7

1.5 Propriedades fsicas principais....................................................................................11

1.6 Caractersticas da mistura reforo-matriz...................................................................13

1.7 Processos de fabricao..............................................................................................15

1.7.1 Moldagem sem presso.................................................................................16

1.7.2 Moldagem por projeo simultnea...............................................................17

1.7.3 Moldagem a vcuo.........................................................................................17

1.7.4 Moldagem por compresso a frio..................................................................18

1.7.5 Moldagem por injeo....................................................................................19

1.7.6 Moldagem em contnuo.................................................................................20

1.7.6 Moldagem por centrifugao.........................................................................20

1.7.7 Bobinamento circunferencial..........................................................................21

1.7.7 Bobinamento helicoidal..................................................................................22

1.7.8 Bobinamento polar.........................................................................................23

1.8 Arquitetura dos materiais compostos..........................................................................24

1.8.1 Laminados.....................................................................................................24

1.8.2 Sanduiche......................................................................................................25

1.9 Determinao experimental das constantes elsticas de uma lmina....................27

2 CONSTANTES ELSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS...............................29

2.1 Equaes constitutivas para materiais compostos....................................................29

2.2 Efeito da temperatura...................................................................................................33

3 CONSTANTES ELSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS NUMA DIREO

QUALQUER...................................................................................................................35

3.1 Equaes constitutivas dos materiais compostos numa direo qualquer.............35

4 COMPORTAMENTO MECNICO DE PLACAS LAMINADAS.................................42

4.1 Teoria clssica de laminados......................................................................................42

4.1.1 Comportamento em membrana.....................................................................42

4.1.2 Comportamento em flexo.............................................................................49

4.1.3 Efeito da temperatura....................................................................................58

5 CRITRIOS DE RUPTURA .....................................................................................62

5.1 Critrio de tenso mxima...........................................................................................62

5.2 Critrio de deformao mxima..................................................................................63

5.3 Comparao entre os critrios de tenso mxima e de deformao mxima........64

5.4 Critrios interativos.......................................................................................................66

5.4.1 Reviso do critrio de Von Mises..................................................................66

5.4.2 Critrio de Hill................................................................................................69

5.4.3 Critrio de Tsai-Hill........................................................................................71

5.4.4 Critrio de Hoffman........................................................................................71

5.4.5 Critrio de Tsai-Wu........................................................................................72

6 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO AOS MATERIAIS

COMPOSTOS................................................................................................................82

6.1 Campo de deslocamentos...........................................................................................82

6.2 Energia de deformao elementar..............................................................................83

6.3 Energia cintica elementar..........................................................................................88

6.4 Trabalho realizado pelas foras externas..................................................................90

6.5 Problema esttico princpio dos trabalhos virtuais.................................................90

6.5.1 Determinao das tenses............................................................................91

6.6 Problema dinmico equaes de lagrange.............................................................92

6.6.1 Freqncias naturais e modos de vibrao...................................................92

6.6.2 Resposta no tempo........................................................................................93

6.7 Tcnicas de programao...........................................................................................93

6.8 Exemplos de aplicao................................................................................................94

6.8.1 Placa laminada anti-simtrica em trao.......................................................94

6.8.2 Placa laminada simtrica em flexo.............................................................95

6.8.3 Tubo laminado simtrico pressurizado..........................................................95

6.8.4 Vaso de presso laminado simtrico.............................................................96

6.8.5 Mola da suspenso traseira de veculos utilitrios.........................................97

6.8.6 Bandeija da suspenso de veculos................................................................98

REFERNCIAS .............................................................................................................99

Curso de projeto estrutural com materiais compostos 5

1 ASPECTOS GERAIS DOS MATERIAIS COMPOSTOS

1.1 Definio

Um material composto formado pela unio de dois materiais de naturezas

diferentes, resultando em um material de performance superior quela de seus

componentes tomados separadamente. O material resultante, um arranjo de fibras,

contnuas ou no, de um material resistente (reforo) que so impregnados em uma

matriz de resistncia mecnica inferior as fibras.

1.2 Componentes constituintes de um material composto

1.2.1 Fibras

A(s) fibra(s) o elemento constituinte que confere ao material composto suas

caractersticas mecnicas: rigidez, resistncia ruptura, etc. As fibras podem ser

curtas de alguns centmetros que so injetadas no momento da moldagem da pea, ou

longas e que so cortadas aps a fabricao da pea.

Os tipos mais comuns de fibras so: de vidro, de aramida (kevlar), carbono, boro,

etc. As fibras podem ser definidas como sendo unidirecionais, quando orientadas

segundo uma mesma direo; bidimensionais, com as fibras orientadas segundo duas

direes ortogonais (tecidos), Fig. 1.1 e Fig. 1.2, ou com as fibras orientadas

aleatriamente (esteiras), Fig. 1.3; e tridimensionais, quando as fibras so orientadas

no espao tridimensional (tecidos multidimensionais).

1.2.2 Matrizes

As matrizes tem como funo principal, transferir as solicitaes mecnicas as

fibras e proteg-las do ambiente externo. As matrizes podem ser resinosas (polyester,

epxi, etc), minerais (carbono) e metlicas (ligas de alumnio).

Aspectos gerais dos materiais compostos6

Figura 1.1 Tecido - padro 1

Figura 1.2 Tecido - padro 2

Figura 1.3 Esteira (fibras contnuas ou cortadas)


A escolha entre um tipo de fibra e uma matriz depende fundamentalmente da

aplicao ao qual ser dado o material composto: caractersticas mecnicas elevadas,

resistncia a alta temperatura, resistncia a corroso, etc. O custo em muitos casos

pode tambm ser um fator de escolha entre um ou outro componente. Deve ser

observada tambm a compatibilidade entre as fibras e as matrizes.

1.3 Interesse dos materiais compostos

O interesse dos materiais compostos est ligado a dois fatores: econmico e

performance. O fator econmico vem do fato do material composto ser muito mais leve

que os materiais metlicos, oque implica numa economia de combustvel e

consequentemente, num aumento de carga til (aeronutica e aeroespacial). A reduo

na massa total do produto pode chegar a 30 % ou mais, em funo da aplicao dada

ao material composto. O custo de fabricao de algumas peas em material composto

pode ser tambm sensvelmente menor se comparado com os materiais metlicos.

O fator performance est ligado a procura por um melhor desempenho de

componentes estruturais, sobretudo no que diz respeito as caractersticas mecnicas

(resistncia a ruptura, resistncia ambientes agressivos, etc.). O carter anisotrpico

dos materiais compostos o fator primordial para a obteno das propriedades

mecnicas requeridas pelo componente.

A leveza juntamente com as excelentes caractersticas mecnicas faz com que

os materiais compostos sejam cada vez mais utilizados dentro de atividades esportivas.

1.4 Aplicaes dos materiais compostos

A aplicao dos materiais compostos surgiu inicialmente na rea aeronutica

devido ne1cessidade de diminuio de peso, preservando a robustez dos

componentes estruturais. Atualmente uma grande variedade de peas em materiais

compostos podem ser encontradas nos avies em substituio aos materiais metlicos:

fuselagem, spoilers, portas de trem de aterrissagem, portas internas, etc., Figura 1.4.

Em muitos destes componentes, sua concepo foge da definio dada inicialmente

para materiais compostos, pois nestes casos os componentes so fabricados


normalmente em placas de baixa densidade, contra-placadas por placas finas de alta

resistncia. Esta configurao normalmente dita sanduiche. De uma forma mais

ampla, estas configuraes so tambm consideradas materiais compostos, pois

combinam diferentes materiais.

Figura 1.4 Componentes em material composto em avies-caa

Dentro da rea aeronautica, os helicpteros possuem tambm vrios

componentes em material composto: ps da hlice principal, hlice traseira, rvore de

transmisso, fuselagem, etc, Figura 1.5.

Figura 1.3 Componentes em material composto em helicpteros


A utilizao dos materiais compostos dentro da industria automobilstica bem

mais recente do que na rea aeronutica. Inicialmente, eram produzidos somente para-

chques e tetos de automveis. Atualmente, o material composto utilizado para a

fabricao de capots, carters de leo, colunas de direo, rvores de transmisso,

molas laminadas, painis, etc., Figura 1.6.

Uma das grandes vantagens trazidas para o meio automobilstico pelos materiais

compostos , alm da reduo do peso, a facilidade em confeccionar peas com

superfcies complexas.

Figura 1.6 Componentes em material composto em automveis

Uma atividade esportiva notria que emprega material composto a Frmula 1,

que pode ser considerada como um laboratrio para as inovaes tecnolgicas. Em

muitos casos, oque se emprega dentro dos carros de Frmula 1, ser utilizado

futuramente nos carros de passeio. Neste caso, o aumento da relao potncia/peso

fundamental para um bom desempenho do carro nas pistas. A configurao mais

frequentemente utilizada nestes carros do tipo sanduiche que utilizada para a

confeco da carroceria.

Em praticamente todas as atividades esportivas, a reduo do peso est

diretamente ligada a reduo do tempo de execuo de uma prova esportiva. Como

exemplo disto, podemos citar: barcos a vela, skis, bicicletas, etc. Em alguns casos,


oque se procura a agilidade, e a perfeio de alguns golpes, como no tnis, com suas

raquetes; no golf, com seus tacos; e no surf, com suas pranchas.

Figura 1.7 Barcos a vela Figura 1.8 Ski

Uma aplicao bem recente dos materiais compostos na rea aeroespacial so

os painis solares de satlites, confeccionados em uma configurao sanduiche, Figura

1.9, e os motores de ltimo estgio dos lanadores de satlites, confeccionados a partir

do bobinamento das fibras sobre um mandril, Figura 1.10.


Figura 1.9 Painis solares de satlite

Figura 1.10 Propulsor de ltimo estgio de lanador de satlite

1.5 Propriedades fsicas principais


Meta

is

Massa

volu

mtrica

(kg/m

3)

Mdulo

de

ela

sticidade

(MPa)

Mdulo

de

cisalh

am

ento

(MPa)

Coeficie

nte

de

poisso

n

Tens

o d

e ru

ptu

ra tra

o (M

Pa)

Alo

ngam

ento

ru

ptu

ra (%

)

Coeficie

nte

de

dila

ta

o t

rmica

(C-1)

Tem

pera

tura

limite

de u

tiliza

o(C

)

r E G n s e a Tmax

aos 7800 205000 79000 0,3 400 a1600

1,8 a10

1,3.10-5 800

ligas dealumni

o

2800 75000 29000 0,3 450 10 2,2.10-5 350

ligas detitnio

4400 105000 40300 0,3 1200 14 0,8.10-5 700

Cobre 8800 125000 48000 0,3 200 a500

1,7.10-5 650

Fibra

s

Massa

volu

mtrica

(kg/m

3)

Mdulo

de

ela

sticidade

(MPa)

Mdulo

de

cisalh

am

ento

(MPa)

Coeficie

nte

de

poisso

n

Tens

o d

e ru

ptu

ra tra

o (M

Pa)

Alo

ngam

ento

ru

ptu

ra (%

)

Coeficie

nte

de

dila

ta

o t

rmica

(C-1)

Tem

pera

tura

limite

de u

tiliza

o(C

)

Pre

o/kg

1985

r E G n s e a Tmax $US

VidroR

2500 86000 0,2 3200 4 0,3.10-5 700 12

VidroE

2600 74000 30000 0,25 2500 3,5 0,5.10-5 700 2,8

Kevlar49

1450 130000 12000 0,4 2900 2,3 -0,2.10-5

70

GrafiteHR

1750 230000 50000 0,3 3200 1,3 0,02.10-5

>1500 70 a140

GrafiteHM

1800 390000 20000 0,35 2500 0,6 0,08.10-5

>1500 70 a140

Boro 2600 400000 3400 0,8 0,4.10-5 500 500


Matrize

s

Massa

volu

mtrica

(kg/m

3)

Mdulo

de

ela

sticidade

(MPa)

Mdulo

de

cisalh

am

ento

(MPa)

Coeficie

nte

de

poisso

n

Tens

o d

e ru

ptu

ra tra

o (M

Pa)

Alo

ngam

ento

ru

ptu

ra (%

)

Coeficie

nte

de

dila

ta

o t

rmica

(C-1)

Tem

pera

tura

limite

de u

tiliza

o(C

)

Pre

o/kg

19

85

r E G n s e a Tmax $US

termoresistentes

Epxi 1200 4500 1600 0,4 130 2 a 6 11.10-5 90 a200

6 a 20

Fenlica 1300 3000 1100 0,4 70 2,5 1.10-5 120 a200

Poliester 1200 4000 1400 0,4 80 2,5 8.10-5 60 a200

2,4

Policarbonato

1200 2400 60 6.10-5 120

TermoplsticasPolyprop

ileno900 1200 30 20 a

4009.10-5 70 a

140Poliamid

a1100 4000 70 200 8.10-5 170 6

1.6 Caractersticas da mistura reforo-matriz

As propriedades da camada (reforo+matriz) so obtidas em funo das

percentagens de cada componente na mistura.

a) Percentagem em massa do reforo.

totalmassareforodemassa

Mf =

b) Percentagem em massa da matriz.

totalmassamatrizdamassa

Mm = ou Mm = 1 - Mf

c) Percentagem em volume do reforo.

totalvolumereforodevolume

Vf =

d) Percentagem em volume da matriz.


totalvolumematrizdavolume

Vm = ou Vm = 1 - Vf

e) Massa volumtrica da camada.

totalvolumetotalmassa

=r

ou:

totalvolumematrizdamassa

totalvolumereforodomassa

+=r

mf totalvolumematrizdavolume

totalvolumereforodovolume

r+r=r

r = rf . Vf + rm . Vm

onde rf e rm so as massas volumtricas do reforo e da matriz, respectivamente.

f) Mdulo de elasticidade longitudinal El ou E1 (propriedades estimadas).

E1 = Ef . Vf + Em . Vm

ou:

E1 = Ef . Vf + Em . (1 Vf)

g) Mdulo de elasticidade transversal Et ou E2.

( )

+-=

fft

mf

m

VEE

VEE

1

12

onde Eft representa o mdulo de elasticidade do reforo na direo transversal.

h) Mdulo de cisalhamento Glt ou G12.

( )

+-=

fft

mf

m

VGG

VGG

1

112

onde Gft representa o mdulo de cisalhamento do reforo.

i) Coeficiente de poisson nlt ou n12.

n12 = nf . Vf + nm . Vm

j) Resistncia a ruptura da camada.


( )

-+s=s

f

mffrupturafruptura E

EVV 11

ou:

frupturafruptura V.s=s1

k) Propriedades mecnicas de algumas misturas mais comumente utilizadas.

As propriedades na tabela abaixo correspondem a uma mistura de fibras

unidirecionais+resina epxi com 60 % do volume em fibras.

vidro kevlar carbono

Massa volumtrica (kg/m3) 2080 1350 1530

sruptura em trao na direo 1 (Xt) (MPa) 1250 1410 1270

sruptura em compresso na direo 1 (Xc) (MPa) 600 280 1130

sruptura em trao na direo 2 (Yt) (MPa) 35 28 42

sruptura em compresso na direo 2 (Yc) (MPa) 141 141 141

t12 ruptura em cisalhamento (S12) (MPa) 63 45 63

truptura em cisalhamento interlaminar (MPa) 80 60 90

mdulo de elasticidade longitudinal E1 (MPa) 45000 85000 134000

mdulo de elasticidade transversal E2 (MPa) 12000 5600 7000

mdulo de cisalhamento G12 (MPa) 4500 2100 4200

coeficiente de poisson n12 0,3 0,34 0,25

Coef. de dilatao trmica longitudinal a1 (C-1) 0,4 a

0,7.10-5-0,4.10-5 -0,12.10-

5

Coef. de dilatao trmica transversal a2 (C-1) 1,6 a

2.10-55,8.10-5 3,4.10-5

1.7 Processos de fabricao

Muitas peas ou estruturas em material composto so geralmente produzidas por

uma composio de camadas sucessivas, chamadas de estruturas estratificadas. Os


processos de fabricao so inmeros e devem ser selecionadas segundo requisitos

como: dimenses, forma, qualidade, produtividade (capacidade de produo), etc.

As operaes bsicas para a obteno da pea final tm a seguinte sequncia:

1.7.1 Moldagem sem presso

O molde primeiramente revestido de um delmoldante e porteriormente de uma

resina colorida. A seguir as fibras so depositadas sobre o molde e em seguida

impregnadas com resina e compactadas com um rolo. O processo se segue para as

camadas sucessivas, Fig. 1.11. A polimerizao (solidificao) ou cura da resina pode

ser feita com ou sem o molde, isto em funo da geometria da pea. A cura da resina

pode ser feita em temperatura ambiente ou ser acelerada se colocada em uma estufa a

uma temperatura entre 80 C e 120 C. Aps a cura da resina e a desmoldagem, a

pea finalizada: retirada de rebarbas, pintura, etc.

Fibras Resina

Impregnao (mistura)

Colocao da mistura sobre omolde/mandril

Polimerizao (estufa)

Desmoldagem

Acabamento


Figura 1.11 Moldagem sem presso

1.7.2 Moldagem por projeo simultnea

Este processo consiste em projetar simultaneamente fibras cortadas

impregnadas em resina sobre o molde. A camada de fibras impregnadas em seguida

compactada por um rolo e novas camadas podem ser sucessivamente depositadas,

Fig. 1.12. Um contra-molde pode eventualmente ser utilizado para a obteno de faces

lisas e para proporcionar uma melhor compactao entre as camadas. A vantagem

deste processo com relao ao anterior permitir uma produo em srie das peas,

no entanto, as caractersticas mecnicas das peas so mdias devido ao fato das

fibras serem cortadas.

1.7.3 Moldagem a vcuo

Neste processo as fibras podem ser colocadas manualmente como na moldagem

sem presso, ou automaticamente por projeo simultnea. Neste caso um contra-

molde e uma bomba a vcuo so utilizados para permitir uma melhor compactao e

evitar a formao de bolhas, Fig. 1.13.

molde

rolo

fibras

resina


Figura 1.12 Moldagem por projeo simultnea

Figura 1.13 Moldagem a vcuo

1.7.4 Moldagem por compresso a frio

Neste processo a resina injetada sob presso no espao entre o molde e

o contra-molde. A cura pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma estufa. H

fibra

fibracortadae resina

pistola

Bomba avcuo

fibras

resina

contramolde


casos onde o molde e o contra-molde so aquecidos, sendo este processo chamado de

compresso a quente. Neste caso a cura da resina feita no prprio molde.

Figura 1.14 Moldagem por compresso a frio

1.7.5 Moldagem por injeo

O processo por injeo consiste em injetar as fibras impregnadas a partir de um

parafuso sem fim no molde aquecido.

Figura 1.15 Moldagem por injeo

molde

resin

contra-molde

moldeaquecido

Contra-

moldeFibrapr-impregnadaaquecido


1.7.6 Moldagem em contnuo

Este processo permite produzir placas e painis de grande conprimento.

As fibras (unidirecionais, tecidos ou esteira) juntamente com a resina so depositadas

entre dois filmes desmoldantes. A forma da placa e a cura da resina so dadas dentro

da estufa.

Figura 1.16 Moldagem de placas contnuas

Figura 1.17 Moldagem de placas onduladas contnuas

1.7.6 Moldagem por centrifugao

estufa

faca

rolos

fibras

resina

filmedesmoldante

filmedesmoldante

resina

faca

fibrascortadas

filmedesmoldante

filmedesmoldante

rolos

estufa


Este processo utilizado na produo de peas de revoluo. Dentro do molde

em movimento de rotao injetado as fibras cortadas juntamente com a resina. A

impregnao da resina nas fibras e a compactao feita pelo efeito de centrifugao.

A cura da resina pode ser feita a temperatura ou em uma estufa. Este processo

utilizado em casos onde no se exige homogeneidade das propriedades mecnicas da

pea.

Figura 1.18 Moldagem por centrifugao

Outros processos de fabricao de peas de revoluo podem ser empregados

quando se exige homogeneidade das propriedades mecnicas da pea. Nestes

processos fibras so enroladas (bobinadas) sobre um mandril que dar a forma final da

pea. Este processo permite a fabricao industrial de tubos de diversos dimetros e

grandes comprimentos de alta performance.

Para atender a estas necessidades de projeto, o bobinamento das fibras pode

ser feito da seguinte maneira: bobinamento circunferencial, bobinamento helicoidal e o

bobinamento polar.

1.7.7 Bobinamento circunferencial

No bobinamento circunferencial, as fibras so depositadas em um mandril

rotativo, com um ngulo de deposio de 90em rela o ao eixo de rotao, Figura

1.19. Este tipo de bobinamento resiste aos esforos circunferenciais.

resina

fibra

molde


Figura 1.19 - Bobinamento circunferencial

1.7.7 Bobinamento helicoidal

No bobinamento helicoidal, as fibras so depositadas em um mandril rotativo

com um ngulo de deposio aem rela o ao eixo de rotao, Figura 1.20. Este tipo de

bobinamento resiste aos esforos circunferenciais e longitudinais.

Figura 1.20 - Bobinamento helicoidal

fibras

resina

mandril

guia


Figura 1.21 - Bobinamento helicoidal contnuo

1.7.8 Bobinamento polar

No bobinamento polar, o reforo depositado no mandril de forma a tangenciar

as duas aberturas dos domos, traseiro e dianteiro, Figura 1.22. O ngulo de deposio

varia de ao, constante na regio cilndrica, at 90nas duas aberturas dos domos. O

bobinamento polar resiste preferencialmente aos esforos longitudinais.

A fabricao de vasos de presso bobinados consiste de dois tipos de

bobinamento, como o caso da Fig. 1.10. Nos domos traseiro e dianteiro, o

bobinamento do tipo polar [(q], enquanto que na regio cilndrica, os bobinamentos

circunferencial e polar podem se intercalam [(90/q].

fibras

mandril

fibrasimpregnadas

estufa


Figura 1.22 - Bobinamento polar

1.8 Arquitetura dos materiais compostos

1.8.1 Laminados

Os laminados, ou estruturas laminadas, so constituidos de sucessivas camadas

de fibras impregnadas em resina segundo uma orientao, Figura 1.23. A designao

dos laminados efetuada segundo a disposio das camadas e a orientao da

camada com relao ao eixo de referncia, Figura 1.24.


Figura 1.23 Constituio de um laminado

Figura 1.24 Designao de um laminado

1.8.2 Sanduiche

O princpio da tcnica de estruturas do tipo sanduiche consiste em colocar um

material leve (geralmente com boas propriedades em compresso) entre duas contra-

placas com alta rigidez. Este princpio concilia leveza e rigidez estrutura final.

4545 090903045

045

909030

[45/0/45/902/30]


Figura 1.25 Sanduiche de alma plena

Figura 1.26 Sanduiche de alma oca

Placas rgidas (ao,placas laminadas, etc)

alma de baixopeso (espuma,resina, etc)

Placas rgidas (ao,placas laminadas, etc)

Alma de madeira

Sentido das fibras damadeira

colmia

alma ondulada


1.9 Determinao experimental das constantes elsticas de uma lmina

Para a determinao das constantes elsticas de placas unidirecionais em

fibra/resina, necessrio cortar dois corpos de prova padronizados, sobre os quais so

colados dois extensmetros dispostos ortogonalmente como mostrado abaixo.

Os corpos de prova so ensaiados numa mquina de trao e as deformaes

so medidas pelos extensmetros.

Como exemplo, se for aplicado uma tenso de trao sx = 20 MPa, as

deformaes medidas pelos extensmetros no primeiro corpo de prova so: e1x = 143e-

6 e e1y = - 36e-6. Assim:

11 EE

x

x

xx

s=

s=e ,

614320

11 -

=es

=e

Ex

x , E1 = 139860 MPa

xxxyy 11211 en-=en-=e , x

y

1

112 e

e-=n ,

6143636

12 --

=ne

e , n12 = 0,25

Anlogamente, se for aplicado uma tenso de trao sx = 20 MPa, as

deformaes medidas pelos extensmetros no segundo corpo de prova, no qual as

fibras formam um ngulo de 20 com o eixo x, so: e2x = 660e-6 e e2y = - 250e-6. Assim

x

y sx

20 x

y sx


de [1], pag. 332:

x

xx E

s=e2 (1)

n-++=

1

12

12

22

2

4

1

4

211

EGsc

Es

Ec

Ex (2)

xx EGsc

Es

Ec

s

n-++=e

1

12

12

22

2

4

1

4

2 21

(3)

x

xxyy E

sn-=e2 (4)

onde c = cos 20 e s = sen 20. Como1

12

2

21

EEn

=n

e x

xy

y

yx

EE

n=

n:

( )

-+++

n-=

n-

1221

2244

2

21 111GEE

scscEE x

xy (5)

Substituindo (5) em (4):

( ) xy GEEscscE s

-+-+

n-=e

1221

2244

1

122

111 (6)

De (3) e (6) temos:

4692132501

212

-=+ e.E.

G , 41441

11

212

-=- e.EG

A soluo :

E2 = 7320 Mpa , G12 = 3980 Mpa e n21 = 0,013


2 CONSTANTES ELSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS

2.1 Equaes constitutivas para materiais compostos

A anisotropia dos materiais compostos mais facilmente trabalhada doque nos

casos mais gerais de materiais anisotrpicos, como por exemplo a madeira. Para os

materiais compostos, pode-se definir um sistema de eixos ortogonais, dentro do qual as

propriedades mecnicas so identificadas. Um eixo designado 1 (ou l) colocado

longitudinalmente as fibras, um outro designado 2 (ou t) colocado transversalmente as

fibras e um outro designado 3 (ou t) colocado ortogonalmente aos dois anteriores,

Figura 2.1.

Figura 2.1 Sistema de eixos de ortotropia

A lei de comportamento do material composto que relaciona deformao/tenso

pela matriz de flexibilidade, dentro do sistema de eixos de ortotropia (1, 2, 3), contm 9

constantes elsticas independentes, e da seguinte maneira:

1

2

3

Constantes elsticas dos materiais compostos30

tttsss

n-n-

n-n-

n-n-

=

gggeee

12

13

23

3

2

1

12

13

23

32

23

1

13

3

32

21

12

3

31

2

21

1

12

13

23

3

2

1

100000

010000

001000

0001

0001

0001

G

G

G

EEE

EEE

EEE

(2.1)

onde:

eii = deformaes normais na direo i

gij = deformaes angulares no plano ij

sii = tenses normais na direo i

tij = tenses de cisalhamento no plano ij

nij = coeficiente de poisson (deformao causada na direo j devida uma solicitao na

direo i).

Ei = mdulo de elasticidade na direo i

Gij = mdulo de cisalhamento no plano ij

Como a matriz de comportamento simtrica tem-se que:

1

12

2

21

EEn

=n

, 1

13

3

31

EEn

=n

, 2

23

3

32

EE

n=

n (2.2)

Para a demonstrao da simetria da matriz de comportamento, considere uma

placa unidirecional de dimenses a, b e espessura e:

1

2

b

a


Deformaes devidas a s1 (na direo longitudinal):

( )1

11 Eb

bll

s=

D=e , ( ) ( )

1

1121122 Ea

al

ll

sn-=en-=

D=e (2.3)

Deformaes devidas a s2 (na direo transversal):

( )2

2222 Ea

a s=

D=e , ( ) ( )

2

2212221

221 Eb

b sn-=en-=

D=e (2.4)

Considerando a energia acumulada devida ao carregamento s1 e depois a s2,

mantendo s1:

212211 21

21

b)ea(a)eb(b)ea(W Ds+Ds+Ds= (2.5)

Considerando agora a energia acumulada devida ao carregamento s2 e depois a

s1, mantendo s2:

121122 21

21

a)eb(b)ea(a)eb('W Ds+Ds+Ds= (2.6)

Sendo a energia final a mesma, W = W:

1221 a)eb(b)ea( Ds=Ds , aEebb

Eea

sn-s=

sn-s

1

1122

2

2211 (2.7)

1

12

2

21

EEn

=n

(2.8)

Em alguns casos, possvel considerar que as propriedades mecnicas nas

direes 2 e 3 so idnticas, j que, como mostrado pela Figura 2.1, estas direes so

direes perpendiculares a direo 1. Para este caso de materiais, ditos isotrpicos

transversos, a matriz de comportamento se simplifica, necessitando somente de 5

constantes elsticas independentes:


tttsss

n+

n-n-

n-n-

n-n-

=

gggeee

12

13

23

3

2

1

12

12

2

2

22

2

1

12

2

2

21

12

2

21

2

21

1

12

13

23

3

2

1

100000

010000

0012000

0001

0001

0001

G

G

E)(

EEE

EEE

EEE

(2.9)

onde:

n2 = coeficiente de poisson no plano de isotropia transversa

Nota-se que, devida a isotropia transversa, 2

2

23

121E

)(G

n+= .

A relao tenso/deformao dada pela matriz constitutiva do material, inversa

da matriz de flexibilidade dada na eq. (2.1):

gggeee

=

tttsss

12

13

23

3

2

1

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

151514131211

12

13

23

3

2

1

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

(2.10)

onde os termos no nulos so:

126631

31123223

21

211233

315532

32213113

31

311322

234432

23312112

32

322311

1

1

1

GCEE

CEE

C

GCEE

CEE

C

GCEE

CEE

C

=Dnn+n

=D

nn+=

=Dnn+n

=D

nn+=

=Dnn+n

=D

nn+=

(2.11)

com 321

133221311332232112 21

EEE

nnn-nn-nn-nn+=D


Considerado somente o estado plano de tenso (placas laminadas com s33 = 0,

t23 = 0 e t13 = 0), a matriz de rigidez do material composto pode ser frequentemente

encontrada da seguinte forma:

gee

=

tss

12

2

1

66

2212

1211

12

2

1

00

0

0

Q

QQ

QQ

(2.12)

onde:

1266

2112

12112

2112

222

2112

111

1

1

1

GQ

)(EQ

)(EQ

)(EQ

=nn-

n=

nn-=

nn-=

(2.13)

2.2 Efeito da temperatura

Quando deseja-se levar em considerao os efeitos de variao de temperatura

em estruturas compostas, na lei de comportamento do material deve ser considerado

as deformaes devido a este efeito:

aaa

D+

tttsss

n-n-

n-n-

n-n-

=

gggeee

0

0

0

100000

010000

001000

0001

0001

0001

3

2

1

12

13

23

3

2

1

12

13

23

32

23

1

13

3

32

21

12

3

31

2

21

1

12

13

23

3

2

1

T

G

G

G

EEE

EEE

EEE

(2.14)

onde a1 o coeficiente de dilatao trmica das fibras, a2 o coeficiente de dilatao

trmica da resina e a3 o coeficiente de dilatao trmica da resina.

A forma inversa da relao anterior colocada de maneira compacta :


{ } [ ]{ }1111 tC e-e=s (2.15)

onde e1t a deformao trmica.


3 CONSTANTES ELSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS NUMA DIREO

QUALQUER

3.1 Equaes constitutivas dos materiais compostos numa direo qualquer

Para a anlise do comportamento mecnico de placas laminadas necessrio

definir um sistema de eixos de referncia (x, y, z) para o conjunto de lminas e

expressar as constantes elsticas de cada lmina neste sistema de referncia. Para isto

considerado uma lmina sobre a qual esto definidos os eixos de ortotropia (1, 2, 3).

O sistema de eixos de referncia girado em torno do eixo 3 do ngulo q, Figura 3.1.

Figura 3.1 Sistema de eixos de ortotropia e de referncia

Uma das maneiras de determinar a matriz de transformao, que relaciona as

tenses dadas no sistema de eixos de referncia com as tenses no sistema de eixos

de ortotropia, fazendo o balano de foras nas direes x e y sobre um elemento

plano, conforme mostrado na figura abaixo.

1

2

3, z

x

y

q

Constantes elsticas dos materiais compostos numa direo qualquer36

Aplicando as equaes de equilbrio esttico:

0= xF ,

0122

121

=qqt-qqs

-qqt-qqs-scossendAsensendA

sencosdAcoscosdAdAx (3.1)

qqt+qs+qs=s sencossencosx 122

22

1 2 (3.2)

1

2

x

y

+ q

s1

s2

s12

s21

s12

s21

s2

s1

+ q

A

B

Cq

sx dA txy dA

t12 dA senq

s1 dA cosq x

y

q

s2 dA senq

t21 dA cosq

sx txy

t12

t21

s2

s1 x

y

q

dA


0= yF ,

0122

121

=qqt+qqs

-qqt-qqs+t

sensendAcossendA

coscosdAsencosdAdAxy (3.3)

)sen(coscossensencosxy q-qt+qqs+qqs-=t22

1221 (3.4)

A tenso normal syy obtida fazendo q = q + 90 na equao para sxx.

qqt-qs+qs=s sencoscosseny 122

22

1 2 (3.5)

Considerando o elemento abaixo, podemos determinar a tenso sxz:

0= zF ,02313 =qt-qt-t sendAcosdAdAxz (3.6)

qt+qt=t cossenxz 1323 (3.7)

A tenso syz obtida fazendo q = q + 90 na equao para sxz.

qs-qs=s sencosyz 1323 (3.8)

txz

t13 t23

1

x

yq

dA z


A matriz de transformao [T], pode ento ser escrita da forma:

{ } [ ]{ }1

12

13

23

3

2

1

22

22

22

000

0000

0000

000100

2000

2000

s=s

tttsss

--

-

-

=

tttsss

Tou

scscsc

cs

sc

sccs

scsc

x

xy

xz

yz

z

y

x

(3.9)

O tensor de deformaes medido no sistema de referncia tem a mesma forma

que o tensor de tenses dado no sistema de referncia (x, y, z), ou seja:

{ } [ ]{ }1

12

13

23

3

2

1

22

22

22

000

0000

0000

000100

2000

2000

e=e

gggeee

--

-

-

=

gggeee

Tou

scscsc

cs

sc

sccs

scsc

x

xy

xz

yz

z

y

x

(3.10)

Considerando o comportamento elstico linear, a lei de comportamento do

material composto expressa no sistema de eixos de referncia (x, y, z) da seguinte

forma:

{ } [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { }xx TCTCTT e=e=s=s -11111 (3.11)

Logo, a matriz de rigidez ou matriz constitutiva [Cx], dada no sistema de eixos de

referncia (x, y, z) :

[ ] [ ] [ ][ ] 11 -= TCTCx (3.12)

Considerado somente o estado plano de tenso (placas laminadas com s33 = 0,

t23 = 0 e t13 = 0), a matriz de rigidez do material composto obtida no sistema de eixos

de referncia frequentemente encontrada da seguinte forma:


gee

=

tss

xy

y

x

xy

y

x

QQQ

QQQ

QQQ

666263

262221

161211

(3.13)

com:

( ) ( )( ) ( )

( )( )[ ]( )( )[ ]66122222211223

661222

222

112

16

1244

66221122

12

6622

12221122

66

661222

224

114

22

661222

224

114

11

2

2

4

2

22

22

QQscQcQscsQ

QQscQsQccsQ

QscQQQscQ

QscQQQscQ

)QQ(scQcQsQ

)QQ(scQsQcQ

+-+--=

+----=

++-+=

-+-+=

+++=

+++=

(3.14)

onde Q11, Q22, Q12 e Q66 so dados da eq. (2.13):

A matriz de flexibilidade [S], que relaciona deformao/tenso, dada no sistema

de eixos de referncia (x, y, z) :

{ } [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { }xx TSTSTT s=s=e=e -11111 (3.15)

ou:

{ } [ ] [ ][ ] 11 -= TSTS x (3.16)

Aps a multiplicaao de matrizes, a matriz de flexibilidade pode ser expressa da

seguinte maneira [1]:


tttsss

Vmh

x

x

Vn-n-

mn-n-

hn-n-

=

gggeee

xy

xz

yz

z

y

x

xyz

z

x

y

x

x

xzyz

yz

xz

xz

yz

xy

xy

zy

yz

x

xz

xy

xy

z

zy

yx

xy

xy

xy

z

zx

y

yx

x

xy

xz

yz

z

y

x

GEEE

GG

GG

GEEE

GEEE

GEEE

100

01000

01000

001

001

001

(3.17)

Observa-se que surgem termos de acoplamento que relacionam tenses de

cisalhamento com deformaes lineares: hxy/Gxy, mxy/Gxy e zx/Gxy; e termos de

acoplamento que relacionam tenses normais com deformaes angulares hx/Ex, my/Ex,

e zz/Ez. Estes termos surgem quando, por exemplo, aplicando uma tenso normal, a

lmina se deforma da seguinte maneira:

Material isotrpico Material ortotrpico

sxsx

sxsx


3.2 - Efeito da temperatura

O efeito da temperatura sobre os materiais compostos considerado em uma

direo qualquer dado da forma:

{ } [ ]{ }1e=e Txt (3.18)

Ou seja:

aDaDaD

--

-

-

=

gggeee

0

0

0

000

0000

0000

000100

2000

2000

3

2

1

22

22

22

T

T

T

scscsc

cs

sc

sccs

scsc

txy

txz

tyz

tz

ty

tx

(3.19)

A relaco tenso/deformao considerando o efeito da temperatura, dada no

sistema de eixos de referncia (x, y, z) pode ser obtida pela eq. (2.19) e utilizando a

matriz de transformao dada pelas eqs. (3.9) ou (3.10):

[ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { }xtxt TSTCTT e-e=e-e=s -111111 (3.20)

Ou seja:

{ } [ ]{ }xtxxx C e-e=s (3.21)

A relao tenso/deformao considerando somente o estado plano de tenso

do tipo:

g-ge-ee-e

=

tss

txyxy

tyy

txx

xy

y

x

QQQ

QQQ

QQQ

332313

232212

131211

(3.22)

Comportamento mecnico de placas laminadas42

4 COMPORTAMENTO MECNICO DE PLACAS LAMINADAS

Os materiais compostos so na maioria dos casos utilizados na forma de

laminados, onde as lminas so coladas umas sobre as outras com orientaes e

espessura das fibras podendo ser diferentes uma das outras. No caso de placas, uma

dimenso muito pequena com relao as outras duas. Em consequncia disto, a

tenso normal na direo da espessura da placa considerada desprezvel (sz = 0).

As deformaes so determinadas em funo do campo de deslocamentos

definido para o laminado. Na teoria clssica de laminados, na definio do campo de

deslocamentos, o cisalhamento transverso considerado nulo (sxz = syz = 0). Na teoria

de primeira ordem, na definio do campo de deslocamento, o cisalhamento transverso

considerado no nulo (sxz 0, syz 0), porm constante ao longo da espessura da

placa.

4.1 Teoria clssica de laminados

Da definio do campo de deslocamento na teoria clssica de laminados, o

cisalhamento transverso considerado nulo, oque resulta num estado plano de tenso,

onde as nicas tenses no nulas so: sx, sy e sxy.

4.1.1 Comportamento em membrana

No estudo do comportamento em membrana dos materiais compostos,

considerado um laminado de espessura total h com n camadas (ou lminas) de

espessura ek cada uma. As solicitaes no plano do laminado so denotadas Nx, Ny

(foras normais por unidade de comprimento transversal); Txy e Tyx (foras cortantes por

unidade de comprimento transversal). Os eixos x, y, e z so eixos de referncia,

conforme visto no item 3.

Os esforos Nx, Ny, Txy e Tyx so determinados da seguinte maneira:


=-

=-

=-

s=s==

s=s=

s=s=

n

kkkxy

/h

/hxyxyyx

n

kkky

/h

/hyy

n

kkkx

/h

/hxx

e)().dz(.T.T

e)().dz(.N

e)().dz(.N

1

2

2

1

2

2

1

2

2

111

11

11

(4.1)

Considerando que os deslocamentos na direo x e y so u e v,

respectivamente, as deformaes lineares e angular correspondentes a estas

solicitaes so:

h

z

ek tenses

y

z

x

Ny dx

Nx dy

Txy dx

Txy dy

dx

dy

z


xv

yu

yvxu

yx

y

x

+

=g

=e

=e

(4.2)

As tenses sx, sy e sxy so obtidas no sistema de eixos de referncia x, y, e z, e

esto relacionadas com as deformaes pela matriz de ridigez, eq. (3.13), considerando

somente os esforos de membrana, os esforos Nx, Ny, e Txy so determinados em

funo das constantes elsticas de cada camada:

{ }=

g+e+e=n

kkxy

ky

kx

kx eQQQN

1161211 (4.3)

que de maneira mais compacta pode escrito:

xyyyxxx AAAN g+e+e= 161211 (4.4)

onde:

=

=

=

=

=

=

n

kk

k

n

kk

k

n

kk

k

eQA

eQA

eQA

11616

11212

11111

(4.5)

De maneira anloga:

xyyyxxy AAAN g+e+e= 262221 (4.6)

com:

=

=n

kk

kjj eEA

122 (4.7)


xyyxxy AAAT g+e+e= 666261 (4.8)

com:

=

=n

kk

kjj eEA

166 (4.9)

Exprimindo os esforos Nx, Ny, e Txy em forma matricial, temos:

gee

=

xy

y

x

xy

y

x

AAA

AAA

AAA

T

N

N

666261

262221

161211

(4.10)

com:

=

=n

kk

kijij eEA

1

(4.11)

Observaes:

- As expresses acimas so independentes da ordem de empilhamento das

camadas.

- Os termos de acoplamento A16, A26, A61 e A62 se anulam quando o laminado

simtrico (mesmo nmero de camadas de mesma espessura na direo +q e -q).

A partir dos esforos Nx, Ny, e Txy, pode-se determinar as tenses globais (fictcias),

considerando o laminado como sendo homogneo:

h

Th

Nh

N

xyxy

yy

xx

=s

=s

=s

(4.12)

A lei de comportamento em membrana do laminado homogneo da seguinte

forma:


gee

=

sss

xy

y

x

xy

y

x

AAA

AAA

AAA

h666261

262221

1612111

(4.13)

Os componentes da matriz de comportamento acima podem tambm ser

apresentados em termos de porcentagem de camadas numa mesma orientao em

relao a espessura total.

=

=n

k

kkijij h

eEA

h 1

1 (4.14)

Da inverso da matriz de comportamento acima, obtm-se as constantes

elsticas aparentes ou homogeneizados do laminado:

tss

mh

mn-

hn-

=

gee

xy

y

x

xyx

y

x

x

xy

xy

yx

xy

xy

xy

y

yx

x

xy

y

x

GEE

GEE

GEE

1

1

1

(4.15)

A partir destas constantes elsticas, conhecido o carregamento do laminado (Nx,

Ny e Txy), possvel deteminar as deformaes.

Exemplo 4.1 Considere o laminado simtrico (+45/-45/-45/+45) em vidro/epxi.

Determine as constantes elsticas do laminado se cada lmina tem espessura 0,5 mm.

Tome: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, n12 = 0,30.

A matriz constitutiva das lminas no sistema de ortotropia (1, 2, 3), eq. (2.12),

da seguinte forma:

[ ] MPa,

,,

,,

Q 310

5400

031273

073146

= (4.16)


Para as lminas orientadas +45, a matriz constitutiva das lminas no sistema

de referncia (x, y, z), eq. (3.13), da forma:

[ ] MPa,,,

,,,

,,,

Q 345 10

812468468

468021911

458911920

0

=+ (4.17)

Para as lminas orientadas -45, a matriz constitutiva das lminas no sistema

de referncia (x, y, z), eq. (3.13), da forma:

[ ] MPa,,,

,,,

,,,

Q 345 10

812468468

468021911

458911920

0

----

=- (4.18)

A matriz [A] que representa a rigidez em membrana do laminado, eq. (4.10) :

[ ]mmN

,

,,

,,

A 310

512500

091418923

089238741

= (4.19)

A lei de comportamento em membrana do laminado considerado homogneo, eq.

(4.13) da seguinte forma:

gee

=

sss

xy

y

x

xy

y

x

,

,,

,,

512500

091418923

089238741

21

(4.20)

Logo, invertendo o sistema dado pela eq. (4.20), as constantes elsticas podem

ser encontradas:

Ex = 14,13 103 MPa, Ey = 14,14 103 MPa, nxy = 0,5701, nyx = 0.5705,

Gxy =12,76 103 MPa

e os termos de acoplamento so:

hxy = 0.0, mxy = 0.0, hx = 0.0, my = 0.0


Exemplo 4.2 Considere o laminado anti-simtrico (+45/-45/+45/-45) em

vidro/epxi. Determine as constantes elsticas do laminado se cada lmina tem

espessura 0,5 mm. Tome: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, n12 = 0,30.

As matrizes constitutivas no sistema de eixos de ortotropia e de referncia so

idnticas s apresentadas no exemplo 4.1. A matriz [A] e a lei de comportamento em

membrana do laminado considerado homogneo, tambm so idnticas, logo as

constantes elsticas so tambm idnticas e so:


Gxy =12,76 103 MPa


hxy = 0.0, mxy = 0.0, hx = 0.0, my = 0.0

Observe que nestes dois exemplos anteriores, o laminado pode ser considerado

quase isotrpico.

Exemplo 4.3 Considere um laminado com sequncia de empilhamento aleatria

(+30/-45/-30/45) em vidro/epxi. Determine as constantes elsticas do laminado se

cada lmina tem espessura 0,5 mm. Tome: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5

GPa, n12 = 0,30.

A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia a mesma dada pela eq.

(4.16). Para as lminas orientadas +45 e -45, as matrizes constitutivas das lminas

no sistema de referncia (x, y, z) so dadas pelas eqs. (4.17) e (4.18), respectivamente.

Para as lminas orientadas +30 e -30, as matrizes constitutivas das lminas no

sistema de referncia (x, y, z) so respectivamente:

[ ] MPa,,,

,,,

,,,

Q 330 10

710753910

753614889

910889531

0

=+ (4.21)

[ ] MPa,,,

,,,

,,,

Q 330 10

710753910

753614889

910889531

0

----

=- (4.22)


A lei de comportamento em membrana do laminado considerado homogneo,

da seguinte forma:

MPa

,

,,

,,

xy

y

x

xy

y

x

gee

=

sss

452300

051358321

083213953

21

(4.23)

Logo, as constantes elsticas encontradas so:


Gxy =11,19 103 MPa


hxy = 0.0076, mxy = 0.0120, hx = 0.0128, my = 0.0136

Concluso: Os termos de acoplamento, que fazem a placa distorcer, surgem somente

em laminados onde no h simetria ou anti-simetria.

4.1.2 Comportamento em flexo

No estudo do comportamento em flexo dos materiais compostos considerado

um laminado de espessura total h com n camadas de espessura ek cada uma. As

solicitaes no laminado so denotadas Mx, My (momentos fletores por unidade de

comprimento em torno dos eixos y e x respectivamente); Mxy e Myx (momentos torores

por unidade de comprimento). Os eixos x, y, e z so novamente eixos de referncia.

Os esforos Mx, My, Mxy e Myx so determinados da seguinte maneira:

z).dz(TT

z).dz(M

z).dz(M

/h

/hxyxyyx

/h

/hyy

/h

/hxx

1

1

1

2

2

2

2

2

2

-

-

-

s==

s=

s=

(4.24)


Os deslocamentos nas direes x, y e z da superfcie neutra so uo, vo e wo e

so definidos como segue:

o

oo

oo

ww

y

wzvv

xw

zuu

=

-=

-=

(4.25)

e as deformaes normais e angulares so:

y

z

My

Myxdx

dy

sem carregamento

h

z

zk

zk-1uo

wo

yw

xMx

Mxy

yw

com carregamento


0

0

22

2

2

2

2

=g

=g

-g=g

-e=e

-e=e

yz

xz

oxyoxy

ooyy

ooxx

yxw

z

y

wz

x

wz

(4.26)

As curvaturas so normalmente escritas da forma: xo

x

wk=

-2

2

, yo

y

wk=

-2

2

,

xyo

yxw

k=

-

2

2 , logo as deformaes podem ser redefinidas como segue:

xyxyoxy

yoyy

xoxx

z

z

z

k+g=g

k+e=e

k+e=e

(4.27)

Considerando a matriz de comportamento de cada camada no sistema de eixos

de referncia, os momentos so da forma:

( ) =

g+e+e=-

n

k

z

zxy

ky

kx

kx dzzQQQM

k

k1

161211

1

(4.28)

que, levando em conta as deformaes, dadas pela eq. (4.26):

( ) ( ) ( )[ ] =

k+g+k+e+k+e=-

n

k

z

zxyoxy

kyoy

kxox

kx dzzzQzzQzzQM

k

k1

216

212

211

1

(4.29)

Se considerarmos que o laminado simtrico, as integrais do tipo -

k

k

z

z

kj dzzE

1

1 , se

anulam com as integrais --

-

1

1

k

k

z

z

kj dzzE , consideradas para as camadas simtricas com


relao a superfcie neutra, logo:

( ) ( ) ( )=

---

k-

+k-

+k-

-=n

kxy

kkky

kkkx

kkkx

zzQ

zzQ

zzQM

1

31

3

16

31

3

12

31

3

11 333 (4.30)

que de forma mais compacta, pode ser colocado:

xyyxx DDDM k+k+k= 161211 (4.31)

com:( )

=

--=n

k

kkkjj

zzED

1

31

3

11 3 (4.32)

Os momentos My e Mxy podem ser tambm obtidos de forma anloga. Assim,

colocados em forma matricial, as expresses de momentos so:

kkk

=

xy

y

x

xy

y

x

DDD

DDD

DDD

M

M

M

666261

262221

161211

(4.33)

com:( )

=

--=n

k

kkkijij

zzED

1

31

3

3 (4.34)

Observao:

- As expresses acimas dependem da ordem de empilhamento das camadas.

- Os coeficientes D16 e D26 so termos de acoplamento que torem o laminado

quando aplicados somente momentos de flexo e os coeficientes D61 e D62 so

termos de acoplamento que extendem o lamicado quando aplicados somente

momentos de toro.

Questo: possvel um laminado flexionar devido a um carregamento do tipo

membrana. Considere o campo de deformaes do laminado em flexo devido aos

esforos de membrana:


( ) =

g+e+e=-

n

k

z

zoxy

koy

kox

kx dzQQQN

k

k1

161211

1

(4.35)

( ) ( ) ( )[ ] =

k+g+k+e+k+e=-

n

k

z

zxyoxy

kyoy

kxox

kx dzzQzQzQN

k

k1

161211

1

(4.36)

Como anteriormente, se considerarmos que o laminado simtrico, as integrais

do tipo -

k

k

z

z

kj dzzE

1

1 , se anulam com as integrais --

-

1

1

k

k

z

z

kj dzzE , consideradas para as

camadas simtricas com relao a superfcie neutra, logo:

{ }=

g+e+e=n

kkoxy

koy

kox

kx eEEEN

1161211 (4.37)

Portanto, para laminados simtricos, esforos do tipo membrana no causam

deformaes de flexo.

De uma forma geral, para laminados no simtricos, as integrais -

k

k

z

z

kj dzzE

1

1 no

se anulam com as integrais --

-

1

1

k

k

z

z

kj dzzE , assim, o comportamento global de um laminado

da forma:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

kkk

gee

=

xy

y

x

oxy

oy

ox

xy

y

x

xy

y

x

DB

BA

M

M

M

T

N

N

(4.38)

onde os coeficientes da matriz [B] so da forma:

( )=

--=n

k

kkkijij

zzEB

1

21

2

2 (4.39)


Exemplo 4.4 Considere um laminado simtrico (+30/-30/-30/+30) em vidro/epxi

submetido a uma fora Nx = 1000 N/mm. Determine as deformaes e as curvaturas do

laminado se cada lmina tem espessura 0,5 mm. Tome: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa,

G12 = 4,5 GPa, n12 = 0,30.

A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia a mesma dada pela eq.

(4.16). Para as lminas orientadas +30 e -30, as matrizes constitutivas das lminas

no sistema de referncia (x, y, z) so as mesmas dadas pelas eqs. (4.21) e (4.22):

A matriz de comportamento para este laminado simtrico, dada pela eq. (4.38)

da forma:

30

0

0

10

137187455000

871719596000

4555969720000

000392100

000012297719

000077199162

0

0

0

0

0

1000

kkk

gee

=

=====

=

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

,.

,,.

..,

,

,,

,,

M

M

M

N

N

N

(4.40)

As deformaes e as curvaturas podem ento ser determinadas resolvendo o

sistema dado pela eq. (4.40):

e0x = 0.202e-01, e0y = -0.137E-01, g0xy = 0.0, kx = 0.0, ky = 0.0, kxy = 0.0

Exemplo 4.5 Considere um laminado anti-simtrico (+30/-30/+30/-30) em

vidro/epxi submetido a uma fora Nx = 1000 N/mm. Determine as deformaes e as

curvaturas do laminado se cada lmina tem espessura 0,5 mm. Tome: E1 = 45,0 GPa,

E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, n12 = 0,30.

A matriz de comportamento para este laminado anti-simtrico, da forma:


30

0

0

10

1371874550871455

87171959687100

455596972045500

0871455392100

87100012297719

45500077199162

0

0

0

0

0

1000

kkk

gee

=

=====

=

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

,.,,

,,.,

..,,

,,,

,,,

,,,

M

M

M

N

N

N

(4.41)

Resolvendo o sistema dado pela eq. (4. ), as deformaes e as curvaturas so:

e0x = 0,213e-01, e0y = -0,136e-01, g0xy = 0,0, kx = 0,0, ky = 0,0, kxy = -0,127e-01


(+30/-45/-30/45) em vidro/epxi submetido a uma fora Nx = 1000 N/mm. Determine

as deformaes e as curvaturas do laminado se cada Lmina tem espessura 0,5 mm.


A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatrio da

forma:

30

0

0

10

827053844520352221

0538411287352601520

8442874617221520632

0871455392100

3520520051358321

221520632083213952

0

0

0

0

0

1000

kkk

gee

-----

-

---

=

=====

=

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,

,,,,

,.,,,

M

M

M

N

N

N

(4.42)

Resolvendo a eq. (4.42), as deformaes e as curvaturas determinadas so:

e0x = 0.265e-01, e0y = -0.167e-01, g0xy = 0.337e-03, kx = -0.360e-02, ky = 0.329e-02,

kxy = -0.821e-02

Concluso: Em um laminado no simtrico com uma solicitao do tipo membrana, as

curvaturas no so nulas. Logo, o laminado pode fletir devido a uma fora Nx (kx 0, ky

0, kxy 0).


Exemplo 4.7 Considere o laminado simtrico (+30/-30/-30/+30) em vidro/epxi

submetido a um momento Mx = 1000 N. Determine as deformaes e as curvaturas do

laminado se cada camada tem espessura 0,5 mm. Tome: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0

GPa, G12 = 4,5 GPa, n12 = 0,30.

A matriz de comportamento para este laminado simtrico a mesma dada pela

eq. (4.40).

30

0

0

10

137187455000

871719596000

4555969720000

000392100

000012297719

000077199162

0

0

1000

0

0

0

kkk

gee

=

==

====

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

,.

,,.

..,

,

,,

,,

M

M

M

N

N

N

(4.43)

Assimas deformaes e as curvaturas podem ento ser determinadas

resolvendo o sistema dado pela eq. (4.43):

e0x = 0,0 , e0y = 0,0 , g0xy = 0.0, kx = 0,718e-01, ky = -0.402e-01, kxy = -0.443e-01

Exemplo 4.8 Considere o laminado anti-simtrico (+30/-30/+30/-30) em vidro/epxi

submetido a um momento Mx = 1000 N. Determine as deformaes e as curvaturas do

laminado se cada camada tem espessura 0,5 mm. Tome: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0

GPa, G12 = 4,5 GPa, n12 = 0,30.

A matriz de comportamento para este laminado anti-simtrico, a mesma dada

pela eq. (4.41):

30

0

0

10

1371874550871455

87171959687100

455596972045500

0871455392100

87100012297719

45500077199162

0

0

1000

0

0

0

kkk

gee

=

==

====

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

,.,,

,,.,

..,,

,,,

,,,

,,,

M

M

M

N

N

N

(4.44)


Resolvendo o sistema de equaes dado pela eq. (4.44), as deformaes e as

curvaturas so:

e0x = 0.0, e0y = 0.0, g0xy =-0.127e-01, kx = 0.638e-01, ky = -0.409e-01 , kxy = 0.0


(+30/-45/-30/45) em vidro/epxi submetido a um momento Mx = 1000 N. Determine

as deformaes e as curvaturas do laminado se cada camada tem espessura 0,5 mm.


A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatrio a

mesma dada pela eq. (4.42):

30

0

0

10

827053844520352221

0538411287352601520

8442874617221520632

0871455392100

3520520051358321

221520632083213952

0

0

1000

0

0

0

kkk

gee

-----

-

---

=

==

====

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,

,,,,

,.,,,

M

M

M

N

N

N

(4.45)

Resolvendo o sistema de equaes da eq. (4.45), as deformaes e as

curvaturas determinadas so:

e0x = -0.360e-02, e0x = -0.106e-02, g0xy = -0.101e-01, kx = 0.883e-01, ky = -0.471e-01,

kxy = -0.366e-01

concluso: No comportamento em flexo do laminado, mesmo sendo este simtrico, os

termos de acoplamento no so nulos (D13 0 e D23 0). A deformao do laminado

devida a um momento Mx pode ser portanto como apresentado abaixo:


4.1.3 Efeito da temperatura

O comportamento de estruturas laminadas pode ser estudado incluindo o efeito

da temperatura. Considerando o comportamento em membrana e em flexo, as

tenses nas lminas podem ser definidas da seguinte maneira:

gee

-

k+gk+ek+e

=

tss

txy

ty

tx

xyoxy

yoy

xox

xy

y

x

QQQ

QQQ

QQQ

z

z

z

QQQ

QQQ

QQQ

666261

262221

161211

666261

262221

161211

(4.46)

Os esforos de membrana e de flexo do laminado, eqs, (4,1) e (4.24)

respectivamente, podem ento ser obtidos como sendo:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

-

kkk

gee

=

txy

ty

tx

txy

ty

tx

xy

y

x

oxy

oy

ox

xy

y

x

xy

y

x

M

M

M

T

N

N

DB

BA

M

M

M

T

N

N

(4.47)

onde:

{ }=

g+e+e=n

kktxy

kty

ktx

ktx eQQQN

1161211 (4.48)

e:

placa isotrpica placa laminada


( ) =

g+e+e=-

n

k

z

ztxy

kty

ktx

ktx dzzQQQM

k

k1

161211

1

(4.49)

Os esforos Ny t, Nxy t, My t e Mxy t so obtidos por analogia.

Exemplo. 4.10 Considere um laminado simtrico (+45/-30/-30/+45) em

kevlar/epxi com espessura de 0,5 mm para cada lmin. Determine as deformaes e

as curvaturas se o laminado submetido a uma variao de temperatura de -90C

oriunda do processo de cura da resina. Tome: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0

GPa, n12 = 0,35, a1 = -0,4 x 10-5 C-1, a2 = 5,8 x 10-5 C-1.

A matriz constitutiva das lminas em kevlar/epxi no sistema de ortotropia (1, 2,

3), eq. (2.12), da seguinte forma:

[ ] MPa,

,,

,,

Q 310

0200

0555941

0941776

= (4.50)

Para as lminas orientadas +45, a matriz constitutiva no sistema de referncia

(x, y, z), eq. (3.13), da forma:

[ ] MPa,,,

,,,

,,,

Q 345 10

619817817

817523519

817519523

0

=+ (4.51)

Para as lminas orientadas -30, a matriz constitutiva no sistema de referncia

(x, y, z), eq. (3.13), da forma:

[ ] MPa,,,

,,,

,,,

Q 330 10

215797023

797110115

023115745

0

----

=- (4.52)

A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento trmico, dados

pelo eq. (4.47), so da forma:


330

0

0

10

0

0

0

030

170

340

10

6912739458000

73958146512000

45865125217000

00078340010245

000001069336734

00024567342069

0

0

0

0

0

0

-

kkk

gee

-

-

=

======

,

,

,

,,,

,,,

,,,

,,,

,,,

,,,

M

M

M

N

N

N

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

(4.53)


curvaturas obtidas so:

e0x = -0.462e-02, e0y = -0.509e-03, g0xy = 0.282e-03, kx = 0.192e-17, ky = -0.821e-18,

kxy = -0.102e-17.

Ex. 4.2: Considere um laminado com sequncia de empilhamento aleatria (+30/-45/-

30/45) em kevlar/epxi com espessura de 0,5 mm para cada lmina. Determine as

deformaes e as curvaturas se o laminado submetido a uma variao de

temperatura de -90C oriunda do processo de cura da resina. Tome: E1 = 76,0 GPa, E2

= 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, n12 = 0,35, a1 = -0,4 x 10-5 C-1, a2 = 5,8 x 10-5 C-1.

A matriz constitutiva das lminas em kevlar/epxi no sistema de ortotropia (1, 2,

3) dada pela eq. (4.50). Para as lminas orientadas +45, a matriz constitutiva no

sistema de referncia (x, y, z) dada pela eq. (4.51), e para as lminas orientadas -

45, a matriz constitutiva no sistema de referncia da forma:

[ ] MPa,,,

,,,

,,,

Q 345 10

619817817

817523519

817519523

0

----

=- (4.54)

Para as lminas orientadas -30, a matriz constitutiva no sistema de referncia

(x, y, z) dada pela eq. (4.52), e para as lminas orientadas +30, a matriz

constitutiva no sistema de referncia da forma:

[ ] MPa,,,

,,,

,,,

Q 330 10

215797023

797110115

023115745

0

=- (4.55)


A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento trmico, dados

pelo eq. (4.47), so da forma:

330

0

0

10

0140

0060

0300

0

170

340

10

59114062010101005622

40623115611005353101

201056110723622101555

101005622783400

005353101069336734

622101555067342069

0

0

0

0

0

0

-

kkk

gee

----

------

-

=

======

,

,

,

,

,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,

,,,,,

,,,,,

M

M

M

N

N

N

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

(4.56)


curvaturas obtidas so:

e0x = -0.463e-02, e0y = -0.428e-03, g0xy = 0.960e-04, kx = -0.325e-03 , ky = 0.589e-03,

kxy = -0.416e-03.

Concluso: O processo de cura da resina pode provocar flexo em um laminado no

simtrico.

Critrios de ruptura62

5 CRITRIOS DE RUPTURA

Os critrios de ruptura tm por objetivo permitir ao projetista avaliar a resistncia

mecnica de estruturas laminadas. A ruptura de estruturas laminadas em material

composto pode se dar por diferentes mecanismos: ruptura das fibras, ruptura da matriz,

decoeso fibra/matriz, delaminao (descolamento das camadas), etc.

Os critrios de ruptura podem ser classificados da seguinte maneira:

- critrio de tenso mxima,

- critrio de deformao mxima,

- critrios interativos ou critrios energticos.

5.1 Critrio de tenso mxima

O critrio de tenso mxima estipula que a resistncia mecnica da camada

analisada atingida quando umas das trs tenses as quais a camada est sendo

submetida atingir o valor da tenso de ruptura correspondente. Desta forma, o critrio

pode ser escrito da seguinte maneira:

SS

YY

XX

tc

tc


{ } [ ]{ }112

2

1

22

22

22

2

2

s=s

tss

---=

tss

Tou

scscsc

sccs

scscx

xy

y

x

(5.2)

A inversa da matriz de transformao fornece a relao das tenses medidas no

sistema de eixos (x, y, z) com as tenses nos eixos de ortotropia (1, 2, 3) utilizadas no

critrio de tenso mxima:

{ } [ ] { }xT s=s -11 (5.3)

5.2 Critrio de deformao mxima

O critrio de deformao mxima estipula que a resistncia mecnica da camada

analisada atingida quando umas das trs deformaes as quais a camada est sendo

submetida atingir o valor da deformao de ruptura correspondente. Desta forma, o

critrio pode ser escrito da seguinte maneira:

ee

ee

ee


{ } [ ]{ }112

2

1

22

22

22

2

2

e=e

eee

---=

gee

Tou

scscsc

sccs

scscx

xy

y

x

(5.5)

A inversa da matriz de transformao fornece a relao das deformaes

medidas no sistema de eixos (x, y, z) com as deformaes nos eixos de ortotropia (1, 2,

3) utilizadas no critrio de deformao mxima:

{ } [ ] { }xT e=e -11 (5.6)

5.3 Comparao entre os critrios de tenso mxima e de deformao mxima

Considere uma camada solicitada com as tenses como representadas abaixo:

Suponhamos que as propriedades da camada sejam as seguintes:

Xt = 1400 MPa, Yt = 35 MPa, S = 70 MPa

E1 = 46 GPa, E2 = 10 GPa, G12 = 4,6 GPa, n12 = 0,31

Procura-se valores de s1 e s2 para as quais a ruptura acontece. Utilizando o

critrio de tenso mxima, temos:

s1 < Xt e s2 < Yt

ou seja:

1

2

s1= 12 s2

s2

s2

s1


12 s2 < Xt, MPa11712

X t2 =


MPaXt 120

12 122 =n-


( ) ( )13322123222121

ss+ss+ssn

-s+s+s=EE

Utotal (5.8)

A energia de deformao total acima, dividida em duas partes: uma causando

dilatao do material (mudanas volumtricas), e outra causando distorses de

cisalhamento. interessante lembrar que em um material dtil, admite-se que o

escoamento do material depende apenas da mxima tenso de cisalhamento.

A fim de facilitar a compreenso, somente o estado de tenso uniaxial ser

considerado. A passagem para um estado de tenso multiaxial automtica. Desta

forma, para um estado de tenso uniaxial, as energias de dilatao e de distoro so

representadas da seguinte forma:

s1

s3

s2

Energia dedeformao total

=

s

s

s Energia de dilatao

+

s-s3

s-s1

Energia de distoro

s-s2

s1

Energia dedeformao total

=

Energia de distoro

s1

Energia de dilatao

s1/3

s1/3

s1/3

+

s1/3

s1/3

+

s1/3

s1/3


No tensor correspondente a energia de dilatao, os componentes so definidos

como sendo a tenso hidrosttica mdia:

3321 s+s+s=s (5.9)

onde s1 = s2 = s3 = p = s .

A energia de dilatao determinada substituindo s1 = s2 = s3 = p na expresso

de energia de deformao total e em seguida substituindo 3

321 s+s+s=s=p :

( )2321621

s+s+sn-

=E

Udilatao (5.10)

A energia de distoro obtida subtraindo da energia de deformao total a

energia de dilatao:

( ) ( ) ( )[ ]213232221121

s-s+s-s+s-s=G

Udistoro (5.11)

tmax = s1/3

s

t

s1/3s1/3

0

tmax = s1/3

s

t

s1/3s1/3

0

Plano 1-2 Plano 1-3


A energia de distoro em um ensaio de trao simples, onde neste caso s1 =

sesc e s2 = s3 = 0 da forma:

GU escdistoro 12

2 2s= (5.12)

Igualando a energia de distoro de cisalhamento com a energia no ponto de

escoamento trao simples, estabelece-se o critrio de escoamento para tenso

combinada.

( ) ( ) ( ) 2213232221 2 escs=s-s+s-s+s-s (5.13)ou:

11332212

32

22

1 =

ss

ss

-

ss

ss

-

ss

ss

-

ss

+

ss

+

ss

escescescescescescescescesc

(5.14)

A equao acima conhecida como sendo o critrio de Von Mises para um

estado multiaxial de tenses para materiais isotrpicos. Para um estado plano de

tenso, s3 = 0, tem-se:

12

2212

1 =

ss

+

ss

ss

-

ss

escescescesc

(5.15)

5.4.2 Critrio de Hill

A energia de distoro para um material ortotrpico onde as tenses de

cisalhamento t12, t23 e t31 so diferentes de zero, obtida de maneira anloga a obtida

por um material isotrpico. Igualando a energia de distoro de cisalhamento com a

energia no ponto de ruptura, estabelece-se o critrio de ruptura para tenso combinada

para materiais compostos.

( ) ( ) ( ) 1222 231223212213232221 =t+t+t+s-s+s-s+s-s NMLHGF (5.16)

As constantes F, G, H, L, M e N so parmetros da camada analisada e esto

ligadas as tenses de ruptura X, Y e S do material.


Colocando a equao acima sob uma outra forma, tem-se:

( ) ( ) ( )12222

22231

223

21232

312123

22

21

=t+t+t+ss-

ss-ss-s++s++s+

NMLG

HFHGGFHF

L

L (5.17)

Para um ensaio em trao (ou compresso) na direo longitudinal (1), o critrio

se reduz:

( ) 12 =+ XHF , ( )2

1

XHF =+ (5.18)

onde X a tenso de ruptura em trao (ou compresso) na direo longitudinal.

Da mesma forma, para um ensaio em trao (ou compresso) nas direes

transversais (2 e 3), o critrio se reduz:

( ) 12 =+ YGF , ( )2

1

YGF =+ (5.19)

( ) 12 =+ ZHG , ( )2

1

ZHG =+ (5.20)

onde Y e Z so as tenses de ruptura em trao (ou compresso) nas direes

transversais.

Para um ensaio de cisalhamento no plano (1,2), o critrio se reduz:

212

12

SL = (5.21)

onde S12 a tenso de ruptura no cisalhamento no plano (1,2). Analogamente:

223

12

SM = (5.22)

231

12

SN = (5.23)

Substituindo os parmetros F, G, H, L, M e N na equao do critrio de ruptura

para tenso combinada para os materiais compostos, eq. (5.17), tem-se:


1111

111111

2

31

312

23

232

12

1213222

3222221222

23

22

21

=

t+

t+

t+ss

-+-

ss

-+-ss

-+-

s+

s+

s

SSSYXZ

XZYZYXZYX

L

L

(5.24)

Para um estado plano de tenso, onde s3 = t23 = t31 = 0:

1111

2

12

1221222

22

21 =

t+ss

-+-

s+

sSZYXYX

(5.25)

5.4.3 Critrio de Tsai-Hill

No critrio de Tsai-Hill, o critrio de Hill analisado para o est

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