Valério – Atividade de Complementar – 3º – 08/2010 1

MATERIAL COMPLEMENTAR DE MATEMÁTICA

Professor(a): Piloto

Turma: SEMI 02º Material deste professor para esta atividade

Assunto: Fenômenos Periódicos 01º Material para esta turma

Fenômenos Periódicos

A ciência estuda muitos fenômenos que são periódicos, isto é, que se repetem a cada vez que transcorre um determinado intervalo de tempo (este intervalo de tempo é chamado “período”). A variação da pressão sanguínea ou da profundidade do mar em um local conforme a maré são exemplos de fenômenos periódicos.

Podemos admitir que estes fenômenos são, razoavelmente, representados (modelados) por funções da forma:

f(x) = A + B sen(Cx + D)

ou

f(x) = A + B cos(Cx + D)

onde, caso não sejam impostas condições em contrario, adotaremos a seguinte

Convenção

B > 0; C > 0 D é o valor de menor módulo.

Assim sendo:

A B valor máximo de f(x)

A B valor mínimo de f(x)

(lembre-se: convencionamos que B > 0)

2período de f(x)

C

(lembre-se: convencionamos que C > 0) D é determinado por um “estado” da função sendo que

um “estado” é um conjunto das seguintes informações: valor de x, digamos x0 valor de f(x0) comportamento (cresc/decresc) de f(x) em x0 Exercício Descreva com uma senóide (função da forma

P(t) = A + Bsen(Ct + D)) a profundidade do mar em um dia em determinado local, sabendo que nesse dia na maré alta a profundidade do mar foi 1,6m e na maré baixa 0,2m. As marés altas ocorreram às 2h e às 14h e as marés baixas ocorreram às 8h e às 20h. Considere a contagem do tempo em horas a partir da meia noite.

Esboce o gráfico de P(t).

Testes Dicas:

a) cos(a+b) = cosa.cosb – sena.senb b) lembre-se do conceito de “amplitude” adotado em

física.

01) Considerando a função posição

x(t) 2cos 0,4 t6

, com x dado em centímetros e

t em segundos, de um corpo em movimento harmônico simples, assinale o que for correto.

01) Nas mesmas unidades acima, podemos também

expressar x(t) na forma

3 cos(0,4 t) sen(0,4 t) , em que t 0.

02) O período do movimento é 2

segundos

04) O primeiro instante t em que x(t) = 2cm é

55t

12 segundos.

08) A amplitude do movimento é 2cm. 16) No intervalo de tempo [0,6], o corpo passa

somente duas vezes pela posição em que x(t) = 0.

02) Suponha que a expressão P = 100 + 20 sen(2πt)

descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é de 120 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste.

a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em

t = 0s; t = 0,75s. b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a

pressão sanguínea atingiu seu mínimo?

Valério – Atividade de Complementar – 3º. – 08/2010 2

03) (Unifesp) O eletrocardiograma é um dos exames mais comuns da prática cardiológica. Criado no início do século XX, é utilizado para analisar o funcionamento do coração em função das correntes elétricas que nele circulam. Uma pena ou caneta registra a atividade elétrica do coração, movimentando-se transversalmente ao movimento de uma fita de papel milimetrado, que se desloca em movimento uniforme com velocidade de 25 mm/s. a figura mostra parte de uma fita de um eletrocardiograma.

Sabendo que a cada pico maior está associada uma

contração do coração, e que a distância entre dois picos consecutivos é de 20mm, a frequência cardíaca dessa pessoa, em batimentos por minuto, é:

a) 60. d) 95 b) 75 e) 100 c) 80

04) (Mack-SP) Uma partícula realiza um MHS (movimento

harmônico simples), segundo a equação

x 0,2 cos t2 2

, no SI. A partir da posição de

elongação máxima, o menor tempo que esta partícula gastará para passar pela posição de equilíbrio é:

a) 0,5s. d) 4s. b) 1s. e) 8s. c) 2s.

05) (UFG-GO) O gráfico mostra a posição em função do

tempo de uma partícula em movimento harmônico simples (MHS) no intervalo de tempo entre 0 e 4s. A equação da posição em função do tempo para este movimento harmônico é dada por x = Acos(ωt + φ). A

partir do gráfico, encontre as constantes A, ω e φ.

06) Dada a função trigonométrica f(x) = acos(bx + c), para a qual se sabe que o valor máximo de f (x) é 6,

f(0) = −6, o período de f é igual a , e que a, b e c são

constantes positivas com c menor que 2 , assinale a(s) alternativa(s) correta(s).

01) O valor de a é 6 . 02) O valor de b é 1.

04) O valor de c é 2 . 08) O valor mínimo de f (x) é -6.

16) f(x) = f(x + ) para todo x real. 07) Uma bomba de água aspira e expira água a cada três

segundos. O volume de água da bomba varia entre um mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre as alternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para o volume (y) de água na bomba, em função do tempo (t).

a) y = 2 + 2sen t3

b) y = 2 + 2sen 2

t3

c) y = 3 + sen t3

d) y = 3 + sen 2

t3

e) y = - 3 + 2sen t3

08) Considere uma partícula realizando um MHS com

função horaria x(t) = A. cos(φ + ωt). Desta forma, x(t) representa a posição assumida pela partícula em função do instante t, a partir de t0 = 0, A representa a

amplitude do movimento φ, sua fase inicial e ω sua pulsação. Na figura temos o gráfico dessa função horária, segundo um certo referencial.

Ache valores positivos para as constantes A, φ e ω.

09) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo

tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções

C(x) = 2 – cos X

6e V(x) = 3 2 .sen

X

12;

0 ≤ x ≤ 6. O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é:

a) 500 d) 2.000 b) 750 e) 3.000 c) 1.000

10) No hemocentro de um certo hospital, o número de

doações de sangue tem variado periodicamente. Admita que, neste hospital, no ano de 2006, este número, de janeiro (t = 0) a dezembro (t = 11), seja dado, aproximadamente, pela expressão

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S(t) = A – cos t 1

6 com A uma constante

positiva, S(t) em milhares e t em meses, 0 ≤ t ≤ 11. Determine:

a) a constante A, sabendo que no mês de fevereiro

houve 2 mil doações de sangue. b) em quais meses houve 3 mil doações de sangue.

11) Utilizando um pequeno bastão e uma tigela com água,

uma pessoa produz na superfície da água ondas circulares.

Sabendo que a distancia entre duas cristas consecutivas das ondas produzidas é de 2 cm, e a amplitude das ondas é de 0,3cm, obtenha uma função relacionando a altitude h da superfície da água (em relação ao nível da água em repouso) para o momento que em x = 0 temos h = 0 e a função seja crescente em x = 0.

Atenção! Parece mas não é!

12) O crescimento de plantas é afetado pela luz solar e,

portanto, as taxas de crescimento de plantas não são constantes durante um período normal de 24 horas. Analisando dados empíricos, o crescimento de uma certa espécie de planta em ambiente controlado foi

modelado por uma função h(t) = 0,2t + 0,03 sen( 2 t ),

em que h é a altura da planta em polegadas, t é o tempo em dias medido a partir de t = 0 (meia noite) de uma certa data. Em relação ao exposto, assinale o que for correto.

01) O gráfico de h, em um sistema ortogonal de

coordenadas, é uma semirreta no primeiro quadrante partindo da imagem.

02) A planta não ultrapassa a altura de 10 polegadas.

04) A sequência dos números h1

k4

, obtida

fazendo k = 1, 2, 3, ..., é uma progressão aritmética de razão 0,2.

08) h (t + 1) = h(t) + 0,2, para todo t real não-negativo.

16) Em 72 h, a planta cresce 0,6 polegadas.

Atenção! Parece mas não é! 13) Considerando a função f(x) = 2

-x/12cos x, com

0≤ x ≤ 12 , assinale a(s) alternativa(s) correta(s).

01) A função f é periódica com período .

02) As raízes da função f são também raízes da função g(x) = cosx.

04) Para x > 12, tem-se que 1

f(x)2

.

08) O valor máximo de f é 1. 16) O valor mínimo de f é -1.

Gabarito:

01) 13 02) a) P(0) = 100; P(0,75) = 80

b) em t = 0,75s 03) B 04) D

05) A = 2; 2

06) 25 07) D 08) Conforme as condições impostas pelo problema:

3x(t) 0,1cos t

2 2

Conforme convencionamos seria

x(t) 0,1cos t2 2

09) C 10) a) A = 3

b) em maio e em novembro 11) h(x) = 0,3sen(π.x) 12) 12 13) 14