Nome:_______________________________________ Turma:____________

Regra de sinais da adição e subtração de números inteiros:

4) Calcule:

a) -3 + 5 = b) + 43 – 21 = c) - 9 – 24 =

d) – 25 + (- 32) = e) + 5 – 14 = f) + 7 + (- 4) =

g) – 19 – (-15) = h) + 7 – (- 2) = i) – 9 – 1 – 2 =

Adição:

● A soma de dois números positivos é um número positivo. (+3) + (+4) = + 7, na prática eliminamos os

parênteses. + 3 + 4 = + 7, também podemos escrever os números positivos sem o sinal (+): 3 + 4 = 7

● A soma de dois números negativos é um número negativo. (-3) + (-4) = - 7, na prática eliminamos os

parênteses. – 3 – 4 = - 7

● Para adicionarmos dois números de sinais diferentes, subtraímos seus valores absolutos e damos o

sinal do número que tiver o maior valor absoluto. (- 4) + (+ 5) = + 1, na prática eliminamos os parênteses.

- 4 + 5 = 1 assim, 6 – 8 = - 2.

Subtração:

● Para subtrairmos dois números inteiros, adicionamos ao primeiro o oposto do segundo.

a) (+ 5) – (+ 2) = (+ 5) + (- 2) = + 3, na prática eliminamos os parênteses escrevendo o oposto do segundo

número, então: + 5 – 2 = + 3 o oposto de +2 é - 2, o oposto de – 3 é +3 e o oposto de + 5 é - 5.

b) (- 9) – ( - 3) = - 9 + 3 = - 3

c) (- 8) – (+ 5) = - 8 – 5 = - 13

Em resumo, na adição e subtração, quando os sinais forem iguais somamos os números e

conservamos o mesmo sinal e quando os sinais forem diferentes diminuímos os números e

conservamos o sinal do maior valor absoluto.

Regra de sinais da multiplicação e divisão de números inteiros:

5) Calcule os produtos e os quocientes:

a) (- 9) × (- 3) = b) 4 ÷ (- 2) = c) – 6 × 9 = d) (- 4) ÷ (- 4) =

e) 12 ÷ ( - 6) = f) -1 × (- 14) = g) (+ 7) × (+ 2) = h) (- 8) ÷ (- 4) =

Regra de sinais da potenciação de números inteiros

Multiplicação e divisão:

● Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais positivos, o resultado é um número

positivo.

Ex: a) (+ 3) × (+ 8) = + 24 b) ( +12) ÷ (+ 2) = + 6

● Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais negativos, o resultado é um número

positivo.

Ex: a) ( - 6) × ( - 5) = + 30 b) ( - 9) ÷ ( - 3) = + 3

● Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números de sinais diferentes, o resultado é um número

negativo.

Ex: a) ( - 4) × ( + 3) = - 12 b) ( + 16) ÷ ( - 8) = - 2

Em resumo, quando os sinais forem iguais o resultado é ( + ) e quando os sinais forem diferentes o

resultado é ( - ).

● Expoente par com parênteses: a potência é sempre positiva.

Ex: a) (- 2)4 = 16, porque (-2) × (- 2) × (- 2) × (- 2) = + 16 b) (+2)

2 = 4, porque (+ 2) × (+ 2) = + 4

●Expoente ímpar com parênteses: a potência terá o mesmo sinal da base

Ex: a) ( - 2)3 = - 8, porque (-2) × (- 2) × (- 2) = - 8

b) (+ 2)5 = + 32, porque (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) × (+ 2) = + 32

●Quando não tiver parênteses, conservamos o sinal da base independente do expoente.

Ex: a) – 22 = - 4 b) – 2

3 = - 8 c) + 3

2 = 9 d) + 5

3 = + 125

6) Calcule as potências:

a) 32 = b) (- 3)2 = c) – 32 = d) (+ 5)3 = e) (- 6)2 =

f) – 43 = g) ( - 1)2 = h) (+ 4)2 = i) ( -5)0 = j) – 72 =

k) (– 2,1)2= l) – 1,13

7) Aplique seus conhecimentos e calcule o valor das expressões numéricas. Observe as operações indicadas, a existência de sinais de associação e tenha cuidado com as potências.

a) (- 1 – 2 – 3 – 4 -5) ÷ (+ 15) = b) (8 + 10 ÷ 2 – 12) ÷ (- 4 + 3) =

c) 103 – (- 10)2 – 100 = d) (- 1)8 + 60 – [15 + (- 40) ÷ (- 2)3] =

e) – 3 – {- 2 – [(- 35) ÷ 25 + 22]} = f) 64 - 22 - 2 – 20 =

8) Se x = - 6, então x2 + 20 é:

a) 8 b) 15 c) 56 d) 23

9) Se x = - 3 então x3+ x2 + x + 1 é:

a) -5 b) -10 c) – 4 e) – 20

Conjunto dos números racionais (Q).

Simplificação de frações:

11) Simplifique as frações, aplicando a regra de sinais da divisão:

a) 50

75 b)

83

48 c)

2

36 d)

15

10

A relação entre as frações decimais e os números decimais

● Para simplificar uma fração, divide-se o numerador e o denominador da fração por um mesmo número.

Ex: a) 7

3

2

2

14

6 b)

3

10

2

2

6

20

2

2

12

40 ou

3

10

4

4

12

40

● Quando o numerador é divisível pelo denominador efetua-se a divisão e se obtém um número inteiro.

Ex: a) 425

100 b) 13

23

299

● Para transformar uma fração decimal em número decimal, escrevemos o numerador da fração e o

separamos com uma vírgula deixando tantas casas decimais quanto forem os zeros do denominador.

Ex: a) 8,410

48 b) 65,3

100

365 c) 098,0

1000

98 d) 8,67

10

678

● Para transformar um número decimal em uma fração decimal, colocamos no denominador tantos zeros

quanto forem os números depois da vírgula do número decimal.

Ex: a) 43,7 = 10

437 b) 96,45 =

100

9645 c) 0,04 =

100

4 d) 4,876 =

1000

4876

Adição e subtração de frações

1

12) Calcule o valor das expressões e simplifique quando for possível:

a) 10

5

2

5

10

2

4

3 b)

4

12

3

7 c)

4

3

6

5

2

1

3

1

d) 6

1)3,0(

2

1 e) 0,4 +

5

3 f) 3 –

4

11,0

2

1

1 Professora: Cristina Ferreira Cruz

Adição e subtração de frações com o mesmo denominador

● Sendo os denominadores iguais, basta somar ou diminuir os numeradores.

Ex: a) 3

13

6

26

6

26

6

9

6

4

6

21ndosimplifica b) 1

4

4

4

3

4

1

Adição e subtração de frações com denominadores diferentes

● Sendo os denominadores diferentes é preciso encontrar frações equivalentes às frações dadas de modo

que os denominadores sejam iguais, uma maneira prática é encontrando o m.m.c. dos denominadores, veja:

5

4

3

2 o m.m.c. de 3 e 5 é 15. Para encontrar os novos numeradores, dividi-se o m.m.c.(15) pelo

denominador da primeira fração e multiplica o resultado da divisão pelo seu numerador: 15 ÷ 3 = 5 × 2 = 10 e

assim procedemos com as demais frações, então:

5

4

3

2=

15

12

15

10Observe que a fração

15

10é equivalente à fração

3

2 e a fração

15

12 é equivalente a fração

5

4.

Por fim, efetuamos o cálculo indicado entre 15

12

15

10

15

2.

Multiplicação e divisão de frações

13) Efetue e simplifique quando for possível:

a) 5

2

7

4 b)

3

2

4

3

2

1 c) (- 4)

5

3

d) 54

2 e)

3

1

6

3

7

11

f)

2

1

8

● Para multiplicar frações, basta multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si também.

Ex: 10

3

20

6

4

3

5

2ndosimplifica

● Para dividir frações, basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.

Ex: a) 40

21

5

7

8

3

7

5

8

3 b)

6

5

3

5

2

1

5

3

2

1

Potenciação e radiciação de frações

14) Calcule o valor das expressões:

a) 6

2

3

1

3

22

b)4

1

3

1

7

3 c)

2

2

1

25

36

d) )3()2(

2

1)2(9

2

0

e)

3

)2(9

)4(5)10(

● Para elevarmos uma fração a uma determinada potência, determina-se a potenciação do numerador e do

denominador obedecendo as regras de sinais da potenciação.

Ex: a) 9

42

3

2 b)

64

13

4

1 c)

125

273

5

3

● Um número racional negativo não tem raiz de índice par no conjunto Q, se o índice for ímpar pode ter raiz

positiva ou negativa.

Ex: a) Q36 , porque (- 6)2 ou (+ 6)

2 = + 36 b) Q4 81 , porque ( -3)

4 ou (+ 3)

4 = + 81

● Já o índice ímpar admite raiz negativa em Q.

Ex: a) 43

64 , porque (- 4)3 = - 64 b) 2

532 , porque (- 2)

5 = - 32

Expoente negativo

17) Calcule as potências:

a)

2

8

5 b) (-5)-2 =

c)

3

3

2 d) (- 1)-5 =

Propriedades da potenciação

●Todo número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso do mesmo número

com expoente positivo.

Ex: a) 7-2

= 49

1

27

1 b) 4

-3 =

64

1

34

1 c)

4

162

2

42

4

2

1) produto de potência de mesma base: Conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Ex: a) a3 × a

4 × a

2 = a

9 b) (- 5)

2 × (- 5) = (- 5)

3 c) 3

× 3 × 3

2 = 3

4

2) Divisão de potências de mesma base: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

Ex: a) b5 ÷ b

2 = b

3 b) (- 2)

6 ÷ (- 2)

4 = (- 2)

2 c) (- 19)

15 ÷ (- 19)

5 = (- 19)

10

3) Potência de potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Ex: a) (a2)3 = a

6 b) [(- 2)

5]2 = (- 2)

10

4) Potência de um produto ou de um quociente: Multiplica-se o expoente de cada um dos elementos da

operação da multiplicação ou divisão pela potência indicada.

Ex: a) [(- 5)2 × (+3)

4]3 = (- 5)

6 × (+ 3)

12 b) [(- 2) ÷ (- 3)

4]2 = (- 2)

2 ÷ (- 3)

8

Equações do 1º grau com uma incógnita

18) Resolva as equações, sendo U = Q:

a) 16x – 1 = 12x + 3 b) 5x + 4 = 3x – 2x + 4

c) 2(3 – x) = 3(x – 4) + 15 d) 3

7

32

xxx

e) 2

2

3

1

4

32 xx

● Destacamos numa equação o 1º membro, que são os termos que estão antes da igualdade e o 2º membro,

que são os termos que estão depois da igualdade.

Na equação: - 2x + 3 – x = - 4x + 5 + 2x

► Os termos – 2x, + 3 e – x formam o primeiro membro da equação.

► Os termos – 4x + 5 e 2x formam o segundo membro da equação.

● Para resolver uma equação do 1º grau devemos separar os termos que tem incógnita no primeiro membro e

os termos independentes (sem incógnita) no segundo membro, observando as operações indicadas.

Ex: a) 2x + 5 – 5x = - 1 resolução: 2x – 5x = - 1 – 5 → - 3x = - 6 → x = 23

6

b) 3(2x – 1) = - 2 (x + 3) → 6x – 3 = - 2x – 6 → 6x + 2x = - 6 + 3 → 8x = - 3 → x = - 8

3

● Em caso de equações que apresentam denominadores determina-se o m.m.c. e procede-se como nas

frações, eliminando posteriormente os denominadores.

a) 3

22

4

3 xx →

12

8

12

24

12

9 xx → 9x = 24 + 8x → 9x – 8x = 24 → x = 24

b) 36

3

4

1 xx →

12

36

12

)3(2

12

)1(3 xx → 3x – 3 – 2x + 6 = 36 → 3x – 2x = 36 – 6 + 3 → x = 33

Proporção

19) Calcule o valor de x nas proporções:

a) 2012

2 xx b)

xx

16

1

20

c)

2

1

4

3

12 x

● Chama-se proporção a igualdade entre duas razões.

Ex: 8

6

4

3é uma proporção. Lê-se: 3 está para 4 assim como 6 está para 8.

● Numa proporção temos os extremos e os meios, No exemplo acima os números 3 e 8 são os extremos e

os números 4 e 6 são os meios.

● Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Veja: 6 × 4 = 3 × 8, portanto para calcular o termo desconhecido em uma proporção basta multiplicar os

meios e igualar ao produto dos extremos e por fim resolver a equação.

Ex: 35

146

x→ 14x = 210 → x =

14

210 → x = 15

Regra de três simples

Regra de três composta.

● Para resolver problemas com regra de três é preciso estar atento se as grandezas são diretamente ou

inversamente proporcionais, portanto:

► Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na

mesma razão da primeira.

► Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na

mesma razão da primeira.

Ex:1) Comprei 5m de tecidos por R$ 40,00. Quanto pagarei por 12m?Grandezas diretamente proporcionais

Metros Custo

5 40

12 x solução: x

40

12

5 → 5x = 480 → x = R$ 96,00

Ex: 2) Com 12 operários podemos fazer um determinado serviço em 4 dias. Quantos dias levarão 8

operários para fazer o mesmo serviço? Grandezas inversamente proporcionais

Operários dias

12 4

8 x solução: Por ser inversa, devemos inverter a grandeza operários.

x

4

12

8 → 8x = 48 → x = 6 dias

● Para resolver problemas de regra de três composta, devemos comparar cada grandeza com aquela que

contém a incógnita x.

Ex: Uma fábrica, em 3 dias de trabalho, produz 360m de tecidos, fazendo funcionar 8 máquinas. Em quantos dias

poderá produzir 1080m de tecidos, fazendo funcionar 6 máquinas?

Dias tecidos máquinas

3 360 8 Dias e tecidos são grandezas diretamente proporcionais.

X 1080 6 Dias e máquinas são grandezas inversamente proporcionais.

Inverter os valores correspondentes a última grandeza: 8

6

1080

3603

x →

8640

21603

x simplificando a segunda

razão temos: 4

13

x → x = 12 dias

20) Resolva os problemas:

a) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para

engarrafar 4000 refrigerantes?

b) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto

tempo levará para fazer o mesmo percurso, aumentando a velocidade média para 80

km/h?

c) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de

papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia?

d) Uma cantina é construída, em 8 dias, por 9 operários que trabalham 5 horas por dia. Em

quantos dias 12 operários, trabalhando 6 horas por dia, poderiam fazer o mesmo serviço?

Porcentagem

21) Resolva os problemas:

a) Sobre um ordenado de R$ 900,00 são descontados 8% para o INSS. De quanto é o

desconto?

b) Numa turma de 30 alunos faltaram 12. Qual a taxa de alunos presentes?

● Porcentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo % (por cento).

Ex: a) 100

7= 7% b)

100

15= 15%

● Essa forma de representação 7%, 15% chama-se taxa porcentual.

Os problemas de porcentagem são resolvidos através da regra de três.

Ex: 1) Calcular 20% de R$ 700,00

Taxa R$

100% 700

20% x solução x

700

20

100 → 100x = 14000 → x = R$ 140,00

Ex: 2) Cálculo da taxa: Numa classe de 40 alunos, 36 foram aprovados. Qual foi a taxa de porcentagem dos

aprovados?

Alunos Taxa

40 100%

36 x% solução x

100

36

40 → 40x = 3600 → x = 90%

c) Comprei uma camisa com um desconto de R$6,00, que corresponde a taxa de 5%. Qual

foi o preço da camisa?

OBS: Na Matemática existe mais de um caminho para resolver situações-problemas, portanto em

alguns casos de regras desse polígrafo, existem outras possibilidades de resolução.

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Bibliografias consultadas

NAME, Miguel A. Tempo de matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 1996.

NAME, Miguel A. Vencendo com a matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2005.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2005.

RIBEIRO, Jackson. Projeto radix: Jackson & Elisabeth. São Paulo: Editora Scipione, 2005.