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Esboço de Curvas
Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-‐2010_2.html
Roteiro para esboçar uma curva
A. Verifique o domínio da função
Exemplo: f(x) =1
x
{x|x �= 0}
Roteiro para esboçar uma curva
B. Intersecções com os eixos
Intersecção com o eixo y: (0, f(0))
Intersecção com o eixo x: { (x, f(x)) | f(x) = 0 }
Exemplo:
f(x) = x2-1
f(0) = 02-1 = -1 (0,-1) é intersecção com o eixo y
Exemplo:
f(x) = x - 1
f(x) = 0 x – 1 = 0 x = 1 (1, 0) é intersecção com o eixo y
Roteiro para esboçar uma curva
C. Simetria
Exemplo:
f(x) = x2
f(-x) = (-x)2 = x2 =f(x)
Funções pares: f(x) = f(-x)
Exemplo:
f(x) = x3
f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x)
Funções ímpares: f(-x) = -f(x)
Roteiro para esboçar uma curva
C. Simetria
Funções periódicas: f(x+p) = f(x), p constante.
Roteiro para esboçar uma curva
D. Assíntotas
Assíntotas horizontais:
limx→∞
f(x) = L limx→−∞
f(x) = LSe ou , y = L é assíntota horizontal.
Assíntotas verticais:
Retas do tipo x = a, onde ou limx→a−
f(x) = ±∞limx→a+
f(x) = ±∞
Roteiro para esboçar uma curva
E. Intervalos de crescimento e decrescimento
Calcule f’(x) e os intervalos onde ela é positiva e negativa
F. Valores máximos e mínimos locais
1. Encontre os pontos críticos de f { c | f’(c) = 0 ou f’(c) não existe}
2. Use o Teste da Primeira Derivada ou o Teste da Segunda Derivada
G. Concavidade e ponto de inflexão
Calcule f’’(x) e verifique seu sinal.
H. Esboce a curva
1. Coloque as assíntotas tracejadas 2. Marque as intersecções com os eixos, pontos de máximo e mínimo e inflexão
3. Desenhe a curva por esses pontos, subindo ou descendo de acordo om E e G
A. Domínio:
B. Intersecções com os eixos
f(0) = 0 (0, 0)
C. Simetria
Função par, pois f(x) = f(-x)
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
f(x) = 0 x = 0 (0, 0)
D. Assíntotas:
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
y = 2 é assíntota horizontal
Assíntotas verticais: �a| lim
x→a±f(x) = ±∞
� (a2-1) = 0 a = ±1
são as assíntotas verticais
E. Crescimento e decrescimento:
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Quando x < 0, f’(x) > 0
Quando x > 0, f’(x) < 0
f crescente
f decrescente
F. Máximos e mínimos locais:
Ponto crítico: f’(x) = 0 x = 0
Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é ponto de máximo local e f(0) = 0 é o valor máximo.
G. Concavidade:
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Não há ponto de inflexão, pois
Concavidade para cima
Concavidade para baixo
x = ±1 não faz parte do domínio de f.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Concavidade para cima
Concavidade para baixo
Domínio:
Intersecções com os eixos: (0,0)
Simétrica em relação ao eixo y
y = 2 é assíntota horizontal
são as assíntotas verticais
Quando x < 0
Quando x > 0
f é crescente
f é decrescente
x = 0 é ponto de máximo local f(0) = 0 é o valor máximo local
A. Domínio:
B. Intersecções com os eixos
f(0) = 0 (0, 0)
C. Simetria
Não há.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
f(x) = 0 x = 0 (0, 0)
D. Assíntotas:
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
limx→∞
x2
√x+ 1
= limx→∞
x2
x12�
1 + 1x
= limx→∞
x32
�1 + 1
x
= ∞
Não há assíntota horizontal.
é assíntota vertical.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
E. F. Crescimento, decrescimento, máximos e mínimos locais:
=2x(x+ 1)− 1
2x2
(x+ 1)32
=4x(x+ 1)− x2
2(x+ 1)32
2(x+ 1)32 > 0
3x+ 4 > 0 → x > −4
3
f’(x) < 0 (f decrescente) quando -1 < x < 0
f’(x) > 0 (f crescente) quando x > 0
f’(x) = 0 quando x = 0
Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é ponto de mínimo local e f(0) = 0 é o valor mínimo.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
G. Concavidade
Logo, f’’(x) > 0 para x > -1 e f sempre tem concavidade para cima
=3x2 + 4x
2(x+ 1)32
4(x+ 1)52 > 0
3x2 + 8x+ 8 > 0
(seu determinante é negativo e o coeficiente de x2 é positivo) ∆ = 82 − 4 · 3 · 8 = −32
Não há ponto de inflexão
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Domínio: x > -1 Intersecções com os eixos: (0,0)
é assíntota vertical.
f é decrescente quando -1 < x < 0
f é crescente quando x > 0
x = 0 é ponto de mínimo local e f(0) = 0 é o valor mínimo local.
f sempre tem concavidade para cima
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Domínio:
Intersecções com os eixos:
Simetria:
f(0) = 0.e0 = 0 f(x) = 0 xex = 0 x = 0
(0,0) intersecta os eixos
Não há.
Assíntotas horizontais:
Aplicando a Regra de L’Hospital:
y = 0 é assíntota horizontal.
Não há assíntota vertical.
limx→−∞
xex = −∞ · 0
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Crescimento e decrescimento:
ex > 0 para todo x
x > -1 f’(x) > 0 f crescente
x < -1 f’(x) < 0 f decrescente
Máximos e mínimos locais:
f’(x) = 0 (x+1)ex = 0 x = -1
Pelo Teste da Primeira Derivada, x = -1 é ponto de mínimo local e f(-1) = -e-1 é o mínimo local.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Concavidade:
Ponto de inflexão:
ex > 0 para todo x
x > -2 f’’(x) > 0 concavidade para cima
x < -2 f’’ (x) < 0 concavidade para baixo
(-2, f(-2)) = (-2, -2e-2)
Domínio:
Intersecções com os eixos: (0,0)
Quando x < -1
Quando x > -1
f é decrescente
f é crescente
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
y = 0 é assíntota horizontal.
(-1, -e-1) é mínimo local.
x > -2: concavidade para cima
x < -2: concavidade para baixo
Ponto de inflexão: (-2, -2e-2)
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Domínio:
Intersecções com os eixos: f(0) = 2 cos (0) + sen (2.0) = 2 f(x) = 0
eixo y: 2 cosx+ sin 2x = 0 2 cosx+ 2 sinx cosx = 0eixo x:
cosx = 0 x =π
2+ k · π , k inteiro.
sinx = −1
2 cosx · (1 + sinx) = 0
(1 + sinx) = 0 x =3π
2+ 2kπ , k inteiro.
No intervalo [0, 2π], temos os pontos de intersecção:
(0, 2) , �π2, 0�
, �3π
2, 0
�.
Simetria: Par? Ímpar?
f(x+2π) = f(x). Função periódica.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Assíntotas horizontais: Não há.
Assíntotas verticais:
limx→±∞
f(x) =?
Não há número a tal que limx→a±
f(x) = ±∞
Não há.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Crescimento e decrescimento:
f �(x) = 0 → 2 sin(x)− 1 = 0 ou sin(x) + 1 = 0
sin(x) =1
2
x =π
6ou x =
5π
6
sin(x) = −1
ou x =3π
2
crescendo decrescendo crescendo
crescendo
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Mínimos e Máximos Locais
f �(x) = 0 → 2 sin(x)− 1 = 0 ou sin(x) + 1 = 0
sin(x) =1
2
x =π
6ou x =
5π
6
sin(x) = −1
ou x =3π
2
crescendo decrescendo crescendo
crescendo
x =π
6é máximo local é mínimo local x =
5π
6
Pelo Teste da Primeira Derivada:
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Concavidade:
= −2 cosx− 4 · 2 sinx cosx
= −2 cosx(1 + 4 sinx)
cos x = 0 x = π/2 ou x = 3π/2
1 + 4 sen x = 0 sen x = -1/4
x = α1 ou x = α2
(0, π/2)
(π/2, α1)
(α1, 3π/2)
(3π/2, α2)
(α2, 2π)
f’’(x) < 0
f’’(x) > 0
f’’(x) < 0
f’’(x) > 0
f’’(x) < 0
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Concavidade: (0, π/2)
(π/2, α1)
(α1, 3π/2)
(3π/2, α2)
(α2, 2π)
f’’(x) < 0
f’’(x) > 0
f’’(x) < 0
f’’(x) > 0
f’’(x) < 0
concavidade para baixo
concavidade para baixo
concavidade para baixo
concavidade para cima
concavidade para cima
Pontos de inflexão: x = π/2, α1, 3π/2 e α2
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
(0, π/2)
(π/2, α1)
(α1, 3π/2)
(3π/2, α2)
(α2, 2π)
f’’(x) < 0
f’’(x) > 0
f’’(x) < 0
f’’(x) > 0
f’’(x) < 0
concavidade para baixo
concavidade para baixo
concavidade para baixo
concavidade para cima
concavidade para cima
Pontos de inflexão: x = π/2, α1, 3π/2 e α2
crescendo decrescendo crescendo
crescendo
(0, 2) , �π2, 0�
, �3π
2, 0
�.
Intersecção com eixos:
x =π
6é máximo local
é mínimo local x =5π
6
f(π
6) =
3√3
2
f(5π
6) = −3
√3
2
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Domínio:
Intersecções com os eixos:
f(0) = ln 4
f(x) = 0
eixo y:
eixo x: ln (4 – x2) = 0 4-x2 = 1
x = ±√3
Simetrias: função par: ln(4 – x2) = ln(4 – (-x)2) função simétrica em relação ao eixo y
Assíntotas horizontais: Não há.
Assíntotas verticais:
x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Crescimento e decrescimento:
-2 < x < 2 4-x2 > 0
x < 0 f’(x) > 0 f crescendo
x > 0 f’(x) < 0 f decrescendo
Ponto crítico: x = 0
Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é ponto de máximo local e f(0) = ln(4) é o valor máximo.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Concavidade:
f’’(x) < 0 para todo x em (-2, 2).
f tem concavidade para baixo.
Não existem pontos de inflexão.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
f tem concavidade para baixo.
Não existem pontos de inflexão.
Domínio:
Intersecções com os eixos:
(0, ln 4) , (±√3, 0)
Função simétrica em relação ao eixo y
x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais
x < 0 f’(x) > 0 f crescendo
x > 0 f’(x) < 0 f decrescendo
(0, ln 4) é máximo local
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
f tem concavidade para baixo.
Não existem pontos de inflexão.
Domínio:
Intersecções com os eixos:
(0, ln 4) , (±√3, 0)
Função simétrica em relação ao eixo y
x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais
x < 0 f’(x) > 0 f crescendo
x > 0 f’(x) < 0 f decrescendo
(0, ln 4) é máximo local
Assíntotas oblíquas
A distância vertical entre uma reta y = mx + b e y = f(x) se aproxima de 0 no infinito.
Ocorre em funções racionais quando o grau do numerador é um a mais que o grau do denominador.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Domínio:
Intersecções com os eixos:
f(0) = 0
f(x) = 0
eixo y:
eixo x: x = 0
Simetrias:
função ímpar: f(x) = - f(-x)
Assíntotas horizontais:
Não há, pois o denominador nunca se anula. Assíntotas verticais:
limx→±∞
= ±∞Não há, pois
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Assíntotas oblíquas:
−x3 − x
−x
x3 = x · (x2 + 1)− x
x3
(x2 + 1)= x− x
(x2 + 1)
f(x) = x− x
(x2 + 1)
quando
é assíntota oblíqua, pois , m = 1, b = 0.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Crescimento e decrescimento
f’(x) > 0 para todo x f sempre cresce.
Não há máximos e mínimos locais.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Concavidade
f’’(x) = 0 x = 0 ou
Pontos de inflexão: , (0, 0) ,
=x4 + 3x2
(x2 + 1)2
CB CC CB CC
(−√3,−3
√3
4) (
√3, 3
√3
4)
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Pontos de inflexão: , (0, 0) ,
CB CC CB CC
(−√3,−3
√3
4) (
√3, 3
√3
4)
Domínio:
Intersecções com os eixos: (0, 0)
função ímpar
assíntota oblíqua:
f sempre cresce Pontos de inflexão
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Domínio:
Intersecções com os eixos:
f(0) = 1
f(x) = 0
eixo y:
eixo x: ex = x (não há solução)
Simetrias: Não há.
Assíntotas verticais: Não há.
Assíntotas horizontais:
, pois:
Não há.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Assíntotas oblíquas:
limx→±∞
[ex − x− (mx+ b)] = 0
Tome m =-1, b = 0 e x → −∞
limx→−∞
[ex − x+ x)] = limx→−∞
ex = 0
A reta y = -x é assíntota oblíqua.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Crescimento e decrescimento:
f �(x) = ex − 1
f’(x) > 0 ex > 1 x > 0 f crescendo
x < 0 f decrescendo
Ponto crítico: x = 0
Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é ponto de mínimo e f(0) = 1 é o valor mínimo.
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Concavidade
f’’(x) = ex
ex > 0 para todo x. f tem concavidade sempre para cima
Não há ponto de inflexão.
f �(x) = ex − 1
Exemplo: Use o roteiro para esboçar a curva
Domínio:
Intersecções com os eixos: (0, 1)
Assíntota oblíqua: y = -x
x > 0 f crescendo
x < 0 f decrescendo
(0, 1) é mínimo local
f tem concavidade sempre para cima
limx→−∞
[ex − x+ x)] = 0