Matémática Módulo 4r Vol 1 - canal.cecierj.edu.br
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Matemática e suas Tecnologias · Matemática 5
Volume 1 • Módulo 4 • Matemática • Unidade 1
Análise Combinatória 1 André Luiz Cordeiro dos Santos, Gabriela dos Santos Barbosa, Josemeri Araujo Silva
Rocha (coordenadora) e Luciane de Paiva Moura Coutinho
Introdução A parte inicial da unidade 1 do material do aluno traz situações cotidianas
que envolvem o conceito de Análise Combinatória. São usados como exemplos
as possibilidades de criação de senhas, de escolha de roupas, os possíveis resulta-
dos de um lançamento de dados, etc.
Com o intuito de ampliar as opções de exploração do tema em suas aulas,
preparamos para você um material complementar. A ideia é que os recursos e
atividades apresentados sejam utilizados para enriquecer a abordagem dos obje-
tivos do módulo do aluno, que reapresentamos a seguir:
•Calcularofatorialdenúmerosnaturais;
•Utilizaroprincípiofundamentaldacontagem;
•Calcularpermutaçãosimples;
A nossa sugestão é que a primeira aula dessa unidade se inicie com uma
atividade disparadora e, para isso, trazemos quatro propostas. Na atividade “Mu-
dando o celular”, os alunos lerão dois textos relacionados ao acréscimo de um
dígitononúmerodecelulare,emseguida,farãoumacorrelaçãoentreesseas-
sunto e o tema Análise Combinatória. Já na atividade “Caixeiro viajante”, os alunos
ouvirão um áudio relacionado ao problema do caixeiro viajante e deverão orde-
narpercursospossíveisparatrêscidadesfictícias.Aatividade“Acartomante”,co-
meça com os alunos assistindo a um vídeo em que uma cartomante usa a análise
combinatóriaparaexplicarseuofícioàsobrinha.Emseguida,elesdeverãofazer
umasíntese,destacandoasprincipaiscaracterísticasediferençasentrearranjo,
permutaçãoe fatorial.Alémdisso,hátambémaatividade“Jogocombinatório”,
emqueosalunosfarão,demaneiraintuitiva,atividadesonlinerelacionadasaos
conceitosdearranjo,permutaçãoecombinação.Escrevemos,ainda,aatividade
“ApresentandoahistóriadaAnáliseCombinatória”,queconvidaosalunosafaze-
rem uma apresentação no Power Point a partir de uma pesquisa sobre a história
da Análise Combinatória.
Ma
te
ria
l d
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ro
fe
ss
or
6
Para dar sequência ao estudo dessa unidade, disponibilizamos alguns recursos complementares, também vin-
culadosaoconteúdodomaterialdidáticodoaluno.Sugerimosquesejamutilizadosnasaulassubsequentesàaula
inicial,deacordocomarealidadedasuaturma.Émuitoimportantequevocêfaçaalteraçõeseadaptaçõesnestes
recursos sempre que julgá-las necessárias.
Aseção1écontempladapelaatividade“Demalasprontas”,elaboradaapartirdeumvídeoquemostraumfun-
cionário de uma empresa aérea utilizando conceitos combinatórios para ajudar Raquel a colocar suas roupas na mala.
Temos, também, a atividade “Memória dos Fatoriais”, cuja ideia central é a mesma do jogo da memória tradicional.
Porém,ascartasqueformamparesnãosãoasidênticas,masasquecorrespondemadiferentesrepresentaçõespara
expressõesnuméricasenvolvendofatoriais.
Para a seção 2, propomos a atividade O princípio multiplicativo e os modos de se vestir,que permite a resolução
deproblemasrelacionadosaoprincípiomultiplicativoeaatividadeUmaencenaçãoparaoprincípiomultiplicativo,em
que os alunos são convidados a escrever e a encenar uma peça de teatro que envolva a tomada de decisões sucessivas
e a contagem das maneiras como isso pode se dar.
Naseção3,temosaatividade”Fotografandopermutações”,queconvidaosalunosarefletirsobreasdiversas
maneirasqueumgrupode5pessoastemdeseorganizarparatirarumafotografialadoalado.Temostambémaati-
vidade “As permutações num passeio de automóvel pelo Rio”, onde os alunos poderão vivenciar as várias maneiras de
que um grupo de 5 pessoas dispõe para se acomodar num automóvel de 5 lugares.
Porfim,aconselhamosqueaúltimaauladestaunidadesejadivididaemdoismomentos.Oprimeirodedica-
do a uma revisão geral do estudo realizado durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da
retomada de questões que surgiram durante o processo. Já o segundo momento consiste numa avaliação do estu-
dante,priorizandoquestionamentosreflexivosquecomplementemasatividadeseexercíciosresolvidosduranteas
aulas.
Umadescriçãodestassugestõesestácolocadanastabelasaseguir,eseudetalhamentonotextoquesegue.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 7
Apresentação da unidade do material do aluno
Caroprofessor,apresentamos,abaixo,asprincipaiscaracterísticasdestaunidade:
Disciplina Volume Módulo UnidadeEstimativa de aulas para
essa unidade
Matemática 1 4 1 4 aulas de 2 tempos
Titulo da unidade Tema
Análise Combinatória 1 Análise Combinatória
Objetivos da unidade
Calcularofatorialdenúmerosnaturais
Utilizaroprincípiofundamentaldacontagem
Calcular permutação simples
SeçõesPáginas no material do
aluno
Para início de conversa... 5 e 7
Seção1–Fatorialdeumnúmero 7 a 9
Seção 2 – Princípio Fundamental da Contagem 9 a 18
Seção 3 – Permutação simples 18 a 21
Resumindo 21
Veja ainda... 22
O que perguntam por aí? 25 a 26
Emseguida,serãooferecidasasatividadesparapotencializarotrabalhoemsaladeaula.Verifiqueacorrespon-
dênciadiretaentrecadaseçãodoMaterialdoAlunoeoMaterialdoProfessor.
Seráumconjuntodepossibilidadesparavocê,caroprofessor.
Vamos lá!
Recursos e ideias para o Professor
Tipos de Atividades
Paradarsuporteàsaulas,seguemosrecursos,ferramentaseideiasnoMaterialdoProfessor,correspondentes
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àUnidadeacima:
Atividades em grupo ou individuais
Sãoatividadesquesãofeitascomrecursossimplesdisponíveis.
Ferramentas
Atividadesqueprecisamdeferramentasdisponíveisparaosalunos.
Applets
São programas que precisam ser instalados em computadores ou smart-phones disponíveis
para os alunos.
Avaliação
Questõesoupropostasdeavaliaçãoconformeorientação.
Exercícios
Proposições de exercícios complementares
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 9
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Mudando o
celular
Computador
com Datashow
eacessoà
internet
Os alunos lerão dois tex-
tos relacionados ao tema
Acréscimo de um dígito no
númerodecelulare,emse-
guida,farãoumacorrelação
entre esse assunto e o tema
Análise Combinatória
Grupos de 4
alunos40 minutos
Aspectos operacionais
Professor,projeteparaaturmaostextosqueestãonosendereçosaseguir.Peçaparaqueseusalunosoleiam.
Sugerimos uma leitura coletiva, onde cada aluno pode ler uma parte do texto.Os endereços são http://www.anatel.
gov.br/Portal/exibirPortalNoticias.do?acao=carregaNoticia&codigo=27685e http://www.brasil.gov.br/infraestrutu-
ra/2012/07/acrescimo-de-um-digito-em-numeros-de-celulares-de-sao-paulo-vai-dobrar-capacidade
Apósaleitura,peçaaseusalunosparadestacaremnostextosapresentadosostrechosondeidentificarama
presençadetemasrelacionadosàanálisecombinatória.
Aspectos pedagógicos
Professor,essaatividadetemtrêsobjetivos.OprimeiroéabordaroassuntoAnáliseCombinatóriademaneirain-
trodutória e correlacionada ao cotidiano. O segundo é ressaltar a importância da leitura de jornais, revistas, reportagens
eminternet,etc.,mostrandoqueoincentivo,oresgateeoestímuloàleituranãodevemserestringiràsmatériasdelin-
guagens e códigos,mas ocupar um espaço de destaque também nas matérias de ciências exatas e da natureza. A leitura
de textos diários, de certo, permite ressaltar de maneira natural a relação entre a Matemática e os assuntos do cotidiano.
Outroobjetivodessaatividadeéfazercomqueosalunosconsigamperceber,nostextosdados,aanálisecom-
binatóriaentrelaçadacomumassuntocorriqueiro.Éimportanteverificarseaturma,apósaleitura,conseguiuperce-
berqueainclusãodeumnovodígitovaiajudararesolveroproblema,umavezquegeraráumagamadenovosnú-
meros. Caso os alunos não consigam perceber essa situação, tente dar exemplos, como o que apresentamos a seguir:
Imagineonúmerofictício8456–7867.Comanovadeterminaçãoeleviraria98456-7867,oque,aparente-
mente,nãogerarianovasalternativas. Masalerteaosalunosque,aoadicionaronúmero9comoprimeirodígito,
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poderemosgeraronúmero93546-7810,queseriaaversãonovadonúmero3546–7810,característicodeumalinha
fixa.Amesmacoisavaleriaparaosnúmerosquecomeçassempor2,4e5.Vocêpodepediraosalunosquepensem,
apartirdotexto2,emoutrosexemplosdenúmerosqueestariamimpossibilitadosdeseremusadoseque,comessa
mudança,ficariamdisponíveisparaautilização.
Nessemomento,nãoéconvenientequesefaçaocálculoparasaberonúmerodetelefonesamaisquepo-
derão ser gerados com esse acréscimo. Você pode pedir apenas para que os alunos imaginem ou tentem criar alter-
nativas para chegar ao resultado, deixando o cálculo em aberto e retornando a esse assunto nas seções posteriores.
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Caixeiro
viajante
Computador
com Datashow
eacessoà
internet
Os alunos ouvirão um áudio
relacionado ao problema
docaixeiroviajante.Emse-
guida, eles deverão ordenar
percursos possíveis para 3
cidadesfictícias
Grupos de 4
alunos40 minutos
Aspectos operacionais
Professor,primeiramente reproduzaoáudiodisponível emhttp://www.uff.br/sintoniamatematica/grandestemase-
problemas/grandestemaseproblemas-html/audio-caixeiro-br.html. Peça, então, para que os alunos se dividam em grupos.
Emseguida,peçaparaquecadagrupocrie3cidadesfictícias,listeeordeneasmaneiraspossíveisdepercorrê-las.
Aspectos pedagógicos
Professor,osalunossempresesentemmuitomotivadosquandorelacionamosoestudodaMatemáticaagran-
destemaseproblemas,mesmoaquelesqueaindanãoforamresolvidos.Quemsabe,comessanossaatividade,estare-
mosestimulandograndestalentos,comoomatemáticoAndrewWiles?Wiles,queresolveuoúltimoTeoremadeFermat,
foiapresentadoaoproblemaquandoaindaestavanaescolae,apesardemuitojovem,fezdaresoluçãodesseproblema
um objetivo de vida.Caso a turma se interesse, que tal propor um seminário abordando esses temas interessantes? Você
podeencontrarmaisalgunstemasemhttp://www.uff.br/sintoniamatematica/grandestemaseproblemas/grandestema-
seproblemas-html/grandestemaseproblemas-br.html ou recomendar ainda a leitura de O Último Teorema de Fermat,
escritoporSimonSinghepublicadopelaEditoraRecord.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 11
EmrelaçãoàAnáliseCombinatória,nesteproblemaintrodutório,podemosfazerumapermutaçãosimplesainda
demaneiraintuitiva,semanecessidadededefinirpermutaçãoouaapresentaçãodefórmulas.Essaformaderesolução
prévia de um problema sem a apresentação da metodologia tradicionalpermite ao aluno criar suas próprias estratégias.
Issoajuda-emuito!-adesmistificaroassunto.
É importanteverificar seos alunos, ao criaremas cidades fictíciasA,BeC, conseguirammontaros6
seguintes percursos:
A-B–C,A-C-B,B-A–C,B-C–A,C-A–BeC-B-A.
Comoestratégia,vocêpodemontarumaárvoredepossibilidadesparafacilitaravisualizaçãodoresul-
tado pela turma.
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
A cartomante
Computador
com Datashow
eacessoà
internet.
Os alunos assistirão a um
vídeo em que uma cartoman-
te usa a análise combinatória
para explicar sua atividade
àsobrinha.Emseguida,os
alunosdeverãofazerumasín-
tese destacando as principais
característicasediferenças
entre os conceitos depermu-
tação, arranjo e combinação
Grupos de 4
alunos40 minutos
Aspectos operacionais
Professor,essaatividadeserácompostapor3etapas:
1a etapa: Primeiramente, exiba o vídeo disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1065.
2aetapa:Apósaexibição,peçaparaqueosgruposfaçamumabrevesíntesesobreosconceitosde:
� Permutação;
� Arranjo;
� Combinação
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Assíntesesdevemdestacarasprincipaisdiferençasentreastrêssituaçõeseoscasosemquepodemosutilizá-las.
3aetapa:Porfim,peçaparaquecadagrupoapresenteparaaturmaasdefiniçõeselaboradas.
Aspectos pedagógicos
Oobjetivodessaatividadeéfazercomqueosalunospesquisempreviamenteoconteúdoqueseráaprofun-
dadonasseçõesseguintes.Dessamaneira,nasfuturasaulas,oaprendizadopoderáserrealizadoemparceria,em
vezdeconsistirnumaviaúnicadoprofessorparaoaluno.Alémdisso,pretendefacilitaroentendimentodaAnálise
Combinatória de maneira teórica.
Por isso, na pesquisa é importante que os alunos destaquem:
� .Arranjo:Arranjodepelementos,nan,éonúmerodeconjuntosdenelementosquesepodefazercomosp elementos. Nesses conjuntos, a ordem dos elementos é importante. Por exemplo, nas situações em que 10 corredores disputam o 1o, 2o e 3o lugares.
� .Permutação:Permutaçãodepelementoséonúmerodearranjosquesepode fazercomessespele-mentos, trocando a ordem deles. Por exemplo, nas situações em que 3 corredores disputam o 1o, 2o e 3o lugares.
� .Combinação:Combinaçãodepelementos,nan,éonúmerodeconjuntosdenelementosquesepodefazercomospelementos.Nessasituação,aordemdesseselementosnosconjuntosformadosnãoéimpor-tante.Porexemplo,formargruposde8estudantesemumaturmade40alunos.
Nessemomento,éimportantequeosalunoscompreendamasdefiniçõesdearranjo,permutaçãoecombina-
çãonãosóparaperceberemassemelhançasediferençasentreelas,mastambémparaentenderememquaissitua-
çõescadaumadelasdeveráserutilizada.Nãoéfundamental,pelomenosporenquanto,aapropriaçãodefórmulas.
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Jogo
combinatório
Computador
com Datashow
eacessoà
internet /
Laboratório de
informática
Osalunosfarão,demaneira
intuitiva, atividades online
relacionadas a arranjo, per-
mutação e combinação
Duplas ou con-
formeadispo-
nibilidade de
computadores
na escola
40 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 13
Aspectos operacionais
Professor,dividaaturmaemduplasouconformeadisponibilidadedecomputadoresdo laboratóriode
informáticadesuaescola.Casonãosejapossívelutilizarolaboratóriodesuaescola,projeteasimagensdocom-
putadorcomoDatashowevádiscutindocomaturmaaspossíveisrespostasparacadadesafio.Permitaqueeles
façamsuascolocações,indague-osquantoaoqueestásendoproposto.
Peçaparaosalunosacessaremoendereçohttp://sites.unifra.br/rived/ObjetosPedagógicos/Matemática/
tabid/428/language/pt-BR/Default.aspx
A atividade está dividida em 3 etapas:
1ª etapa: Primeiramente, peçaparaqueos alunos cliquemna atividade relacionada a arranjo. Em se-
guida,peçaparaclicarememAtividadesedepoislevaremocursoratéoBancoDindin,clicandosobreaporta.
Agora, basta que eles respondam a questão proposta.
Quantassenhasde3algarismosdistintosvocêpoderáformarcomosalgarismos0,1,2,3,4?
A dupla ou grupo pode continuar explorando os problemas que surgem pela cidade, clicando em cima
dos pontos sinalizados, como no carro amarelo, por exemplo.
2ª etapa:Emseguida,peçaparaqueosalunoscliquemnaatividaderelacionadaàcombinação.Oriente
os alunos a clicarem em Atividades e depois, na seta para começar o jogo. Peça para que os alunos cliquem nos
ciclistas e respondam a questão proposta.
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Quantasduplasdiferentesvocêpoderáformarcomumgrupode6ciclistas?
3ª etapa:Por fim,peçaparaqueosalunoscliquemnaatividaderelacionadaàpermutação.Orienteos
alunos a clicarem em Atividades e depois na seta para começar o jogo. Peça para que os alunos cliquem na placa
"Pare e respondam a questão proposta”.
Quantosanagramassãoformadoscomapalavra"Pare"?
Aspectos pedagógicos
As atividades disponíveis no endereço que sugerimos permitem a resolução de problemas relacionados
aarranjo,permutaçãoecombinaçãosemautilizaçãodefórmulas.Issofunciona,novamente,comoumaprévia
doconteúdoepermitequeosalunossefamiliarizemcomosassuntosdaspróximasseções,facilitandooenten-
dimento da Análise Combinatória de maneira prática.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 15
Essesexercíciosfuncionamdemaneirabemlúdica,umavezqueépossívelqueosalunosgerem,na1ª
atividade, exemplos de senhas de banco.
Alguns exemplos vêm explicitados no canto esquerdo e o aluno usar o teclado do jogo para gerar outras
senhas,comofoifeitonoexemploacimaforamgeradas123e401.Quandooalunoencontrararespostaequiser
saber se acertou, é só colocar no espaço reservado e dar ok.
Jánaatividade2,épossívelformarasváriasduplasdeciclistas.
Cadaciclistatemumnúmeroquevaide1a6.Aoclicarnosciclistas,osnúmerosaparecemnoquadrofor-
mardupla,comonoexemploacima(foramgeradasduplascomosciclistas1e4ecomosciclistas1e2).Quando
oalunosouberoresultado,bastacolocarovalornoquadrodestinadoaonúmerodeduplasedarok.Vocêpode
aproveitarepedirparaqueosalunospensemeconcluamqueadupla2-1correspondeàmesmadupla1-2.
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Porfim,éecriarpossíveisplacasaopermutarasletrasna3aatividade.
Nessaatividade,bastaarrastarasletraseordená-lasnanovaplaca.Naimagemusadacomoexemplo,foi
geradaaplacaAERPeestásendogeradaaplacaARPE.Quandooalunosouberoresultado,bastacolocarovalor
no quadro destinado a respostas e dar ok.
Atividade Inicial
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Apresentando
a história
da Análise
Combinatória
Osalunosfarão
uma apresenta-
ção sobre a his-
tória da Análise
Combinatória
A atividade propõe um
jogo de bingo, onde serão
estudadas algumas pro-
priedades e operações com
logaritmos.
Grupos de 4
alunos40 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 17
Aspectos operacionais
Divida a turma em grupos de 4alunos e peça para que cada grupo escolha um dos temas a seguir. Se achar mais
conveniente,façaumsorteio.Ostemaspodemserepetir,dependendodonúmerodealunosquevocêtemnaturma.
1. Arquimedes
2. Niccolo Tartaglia
3. Girolamo Cardano
4. PierreFermateBlaisePascal
5. Gian Carlo Rota
Emseguida,váparaolaboratóriodeinformáticadaescolaepeçaparaqueosgrupospesquisemdeforma
sucinta a vida e as contribuições desses Matemáticos para análise combinatória.
Peça para que os alunos montem 3 apresentaçõesnoPower Point com:
� Vida
� Contribuições para a análise combinatória
� Fontes
Peçaparaqueosalunosenviemparaoseuemailasapresentações.Façaumacorreçãodoportuguêsedasinfor-
maçõesemonteumúnicoarquivocomaspesquisas.Façaumslidedeintroduçãoeumdefinalização,comasfontes
pesquisadas.Insiratambémumslideosnomesdosalunos(divididosporgrupos)eotemaquecadagrupopesquisou.
Exibao resultado finalparaa turma.Seaescola tiversiteoublog,vocêtambémpodedisponibilizaro
resultado por lá.
AlgunsalunospodemencontrardificuldadesemmontarasapresentaçõesnoPowerpointporfaltadehabi-
lidadecomosoftware.Nestecaso,paraqueoresultadofinaldaturmasejahomogêneo,peçaatodosquefaçamo
trabalho em cartolina. Organize uma exposição com esse material.
Aspectos pedagógicos
Éimportantequeaspesquisasrealizadaspelosalunosfaçamreferênciaaosseguintesaspectos.
� A análise combinatória surge da necessidade de cálculos seguros para jogos de azar.
� Arquimedes(Grego,287a.C.-212a.C.).ElaborouoStomachion,aparentementeumjogoconstituídodequatorzepeçasquedevemserencaixadasparaformarumquadrado.
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Emdezembrode2003,ohistoriadordeMatemáticaRevielNetzpublicouumtrabalhoafirmandoqueoStoma-
chionnãoeraummeropassatempo,masumobjetodesenvolvidoporArquimedesparafinsdeAnáliseCombinatória.
� NiccoloTartaglia(Italiano,1500-1557)foiumdosprimeirosadesenvolverestudossobreonúmerodecom-binaçõespossíveisparaumdeterminadofenômeno.Elaborouumatabelacontendoonúmerodecombi-nações possíveis no lançamento de dois dados.
� GirolamoCardano(Italiano,1501-1576)fezestudosimportantessobrejogosdeazar.Alémdecontribuircomelementosbásicosaocálculodeprobabilidades,Cardanodesenvolveumaisprofundamenteastécni-cas de contagem de combinações.
� BlaisePascal(Francês,1623-1662)ePierredeFermat(Francês,1601-1665)desenvolveramemseustraba-lhos teorias de contagem que vieram representar as primeiras grandes sistematizações da Análise Combi-natória e constituiras bases do estudo probabilidades.
� GianCarloRota(ItalianonaturalizadonosEstadosUnidos,1932-1999)ajudouaformalizaroestudodaAnálise Combinatória.
Seção 1–FatorialdeumnúmeroPáginas no material do aluno
7 a 9
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
De malas
prontas
Cópiasdafo-
lha de ativida-
des, compu-
tador com
Datashow e
acessoàinter-
net, cartolina,
calculadora,
caneta pilot
Os alunos assistirão a um
vídeo, que mostra um
funcionáriodeumaempresa
aérea utilizando conceitos
de análise combinatória para
ajudarumapassageiraafazer
a mala. Depois de assistir o
vídeo, a turma irá elaborar um
cartazcomcálculosfatoriais
Grupos de 4 25 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 19
Aspectos operacionais
Exibaovídeodisponívelemhttp://m3.ime.unicamp.br/recursos/1083.Sugiraaosgruposquerealizemosse-
guintescálculosfatoriais.Seacharconveniente,peçaqueosalunosutilizemcalculadora,quepodeseradocelular.
1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10!
Emseguida,peçaparaqueaturmaorganizeumcartazcomoscálculosrealizadoseexponhaessecartazna
saladeaula.Issofacilitaráarealizaçãodospróximosexercícios.
Aspectos pedagógicos
Professor,ocálculofatorialéimportanteparaoestudodaAnáliseCombinatória.Porisso,antesdaatividade,
vocêpodecomeçardefinindofatorialdeumnúmeron,representadoporn!,comooprodutodetodosos inteiros
positivosmenoresouiguaisanefazerumexemploparaaturma.
Exemplo:Calcular12!
12! = 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 479 001 600
Sefornecessário,façaoutrosexemplos.Emseguida,peçaparaosgruposfazeremoscálculos.Seencontrarem
dificuldadesnesteprocesso,poderãousaracalculadora.
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040
8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320
9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362 880
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800
Mostreaelesque,serespeitaremaordemdada,ocálculodeumdadofatorialficaráfacilitadopelocálculodo
exemplo anterior.
Naelaboraçãodocartaz(quepoderáserumúnicoporturma)peçabastantecapricho,umavezquesuaexpo-
siçãoemsalafacilitaráoscálculosnecessáriosparaaresoluçãodosproblemasdaspróximasseções.Aorganização
docartazpodeserfeitadeacordocomasugestãodosalunos,masépossívelsugerirosnúmerosdecoresdiferentes
(todosos1comamesmacor,os2comoutracor,etc)eosresultadosempreto.Serãonecessárias11coresdistintas.
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Seção 1–FatorialdeumnúmeroPáginas no material do aluno
7 a 9
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Memória dos
fatoriais
Umconjunto
de cartas para
cada dupla,
feitasapartir-
do modelo dis-
ponibilizado
no pendrive /
DVD
Nesta atividade, a ideia é a
mesma do jogo da memória
tradicional, porém as cartas
queformamparesnãosãoas
idênticas,mas as que corres-
pondemadiferentesrepre-
sentações para expressões
numéricas que envolvem.
Duplas 40 minutos
Aspectos operacionais
Semelhantementeaoquefoipropostoemoutrasunidades,recomendamosaquiumjogodamemória.Como
mencionamos nas ocasiões anteriores, no jogo da memória tradicional, os participantes arrumam as cartas viradas
sobre a mesa, de modo que não seja possível ver o que está desenhado ou escrito em cada uma. Cada jogador desvira
duascartaseobservaseusconteúdos.Seestesforemdiferentes,ascartassãoviradasnovamenteeéavezdooutro
jogadorfazeromesmo. Porém,seosconteúdosdascartasforemidênticos,ojogadorrecolheparasiasduascartas
edesviraoutrasduas.Ganhaojogoojogadorquetiveromaiornúmerodeparesdecartasidênticas.
Nestaatividade,aideiaéamesmadojogodamemóriatradicional,masocritérioparaaformaçãodepares
édiferente:ascartasqueformamparesnãosãoasidênticasesimasquecorrespondemadiferentesrepresentações
paraexpressõesnuméricasenvolvendofatoriais.
Paracomeçar,professor,vocêpodedistribuirumconjuntodecartas,comoasdisponibilizadasnopendrive,
para cada dupla. É necessário recortá-las. Na dupla, um será adversário do outro. Peça-lhes que observem atentamen-
teascartase,antesdeiniciaremojogo,identifiquemosparescorrespondentes.Senecessário,façaumapequena
revisãosobreos fatoriaisdeumnúmeroeaspossibilidadesdesimplificaçãodefraçõesquepossuemfatoriaisno
numerador e no denominador. Você pode ainda propor aos alunos que criem novas cartas, incrementando o jogo. Ao
final,peçaqueosalunosexponhamosraciocínioseestratégiasqueusaramparajogar.
Aspectos pedagógicos
Repetindo o que ressaltamos nas outras situações em que sugerimos um jogo como recurso didático, é
importanteque,alémdejogar,osalunostenhamoportunidadederefletirsobreaspropriedadesdosconceitos
trabalhados no jogo. Por isso pedimos que você solicitasse aos alunos a exposição dos raciocínios e estratégias que
empregaram enquanto jogaram.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 21
Aprimeirapropriedadedosfatoriaisqueojogopermiteperceberéaigualdadeentre0!e1!.Aigualdadeentre
estesfatoriaispodecausarcertoestranhamentoumavezque0édiferentede1.Outrapropriedadeserefereàmulti-
plicaçãodeumnúmeronaturalpelofatorialdeoutronúmero-porexemplo,algunsalunospodempensarque2x5!
éiguala10!.Paradesfazerestaideiaequivocada,recomendamosquevocêdesenvolvaasduasexpressõeseefetue
oscálculos,preferencialmentenumacalculadora,comprovandoqueos resultadossãodiferentes.Entretanto,vale
lembrarque,mesmofazendoisso,nasimplificaçãodefrações,equívocosdestetipopodemserepetir.Nãoseespante
se,inicialmente,algumalunoassociarascartaseàcarta1!.Sendoassim,maisumavez,vocêdeveinsistirnodesen-
volvimentodasexpressõeseefetuaroscálculos.
Professor,aconselhamosqueassimplificaçõesdestacadassejambastanteanalisadasequetodasasdúvidas
arespeitodelassejamsanadas.Afinal,osalunosterãoquelidarcomelasnoestudodosarranjosedascombinações.
Seassituaçõesdascartasnãoforemsuficientes,vocêpodeproporoutras.Acriaçãodenovascartaspelosalunos
tambémpodeserútilnessesentido.Estimule-os!
Seção 2–PrincípiofundamentaldacontagemPáginas no material do aluno
9 a 18
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
O princípio
multiplicativo
e os modos de
se vestir
Cópias da
folhadeativi-
dades
Atividade de resolução de
problemas relacionados ao
princípio multiplicativo
Duplas 40 minutos
Aspectos operacionais
Estaéumaatividadederesoluçãodeproblemasrelacionadosaoprincípiomultiplicativo.Antesdeiniciá-la,é
interessante que você dialogue com seus alunos sobre as diversas circunstâncias do dia a dia em que temos mais de
umamaneiradetomardecisõeseprecisamoscontá-las.Emseguida,professor,vocêpodeentregarumafichacomo
aqueestáemanexoparacadaduplaler,interpretaretentarresolverassituaçõesproblemapropostas.Aofinal,su-
gerimosquevocêeseusalunosfaçamumagranderodaparaqueosproblemassejamdebatidos.Durantetodoeste
processo,estejaatentoaosprocedimentosempregadosporeles,àssuasformasdeinterpretaçãoelembre-se:não
bastaoferecerrespostasprontas,éfundamentalestimularatrocadeideiaseaexposiçãodosmodosdepensar.
22
Aspectos pedagógicos
Analisandoosproblemaspropostosnaficha,vocêperceberáquesetratadeumasituaçãocorriqueira,muito
recorrentenoslivrosdidáticosemuitousadapelamaioriadosprofessoresquandointroduzoprincípiomultiplicativo.
Nossa intenção ao colocá-la é privilegiar os conhecimentos adquiridos pelos alunos, uma vez que, certamente, a maioria
delesnãoterádificuldadesnaresoluçãodecadaitem.Acreditamosquerefletindosobresituaçõesquejádominame
sobre os procedimentos que empregaram para resolvê-las, os alunos conseguirão aprimorar suas capacidades de com-
pararsituaçõesproblemaemgeraleidentificaraquelasque,apesardeaparentementedistintas,podemserresolvidas
com o emprego de um mesmo tipo de raciocínio ou princípio. Sendo assim, aconselhamos que você, ao longo da ativi-
dade,procurefazerestetipodecomparação.Vocêpode,porexemplo,compararasituaçãodafichaemqueénecessário
contartodasaspossibilidadesqueumapessoatemdesearrumar,dispondodecertonúmerodepeçasderoupa,com
aquela em que a pessoa está num restaurante e pretende saber de quantas maneiras distintas ela pode compor uma
bandeja colocando um prato quente, uma salada e uma sobremesa. É importante que os alunos percebam que apesar
deosenredosdassituaçõesseremdistintos-umfalasobremodosdesevestireooutrofalasobremodosdesealimen-
tar - o princípio multiplicativo pode ser empregado na solução das duas. As duas situações requerem a obtenção do
númerodemaneirasdesetomartrêsdecisõessucessivamente,tendocomopontodepartidaonúmerodemaneiras
desetomarcadadecisãoseparadamente.Nessesentido,éaconselhávelquevocêinsistanaidentificaçãodasdecisões
aseremtomadasemcadasituação.Nocasodasituaçãodaficha,podemosdizerqueaescolhadosapatoéaprimeira
decisão, a escolha da calça é a segunda e a escolha da camisa é a terceira. Se existem, respectivamente, 3, 2 e 6 maneiras
de tomá-las, então existem 36 modos distintos da pessoa se arrumar, como mostra o esquema a seguir:
Jáseficarestabelecidoqueapessoavestiráacamisarosa,elasóteráentãoqueescolherosapatoeacalça.
Terá, portanto, 6 maneiras de se arrumar:
Professor, como jádissemosanteriormente, apesardea situação ser simplesebastanteconhecida, alguns
alunospodemterdificuldadesparaconcluirqueaoperaçãoaserefetuadaéamultiplicação.Se issoacontecer,é
adequado recorrer a outras representações para a mesma situação. O desenho de uma árvore de possibilidades ou de
umatabeladeduplaentrada(noscasosemqueasituaçãosóexigiratomadadeduasdecisões)podeajudarmuito.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 23
Porfim,noúltimoitemdaficha,invertemosonúmerodecamisasedecalçasparapromoverumareflexãomais
amplasobreasaplicaçõesdosconhecimentosmatemáticosnocotidiano.Noteque,apesardeonúmerodemaneiras
queapessoatemdesearrumarseromesmodasituaçãoanterior,navidaprática,amaioriadaspessoasprefereter
2calçase6camisasdoqueter6calçase2camisas.Questioneseusalunossobreoqueelespreferemeascausasde
suaspreferências.Nãodeixepassaraoportunidadede,maisumavez,trazerodiaadiaparaasaladeaula.
Seção 2–PrincípiofundamentaldacontagemPáginas no material do aluno
9 a 18
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Uma
encenação
para o
princípio
multiplicativo
Cópias da
folhadeativi-
dades,folhas
de rascunho e
sucatas
A proposta desta atividade é
que os alunos, divididos em
grupos, escrevam e atuem
em cenas curtas que envol-
vam a tomada de decisões
sucessivas e a contagem dos
modos como isso pode se dar
Grupos com 5
a 6 alunos2 tempos de 40 minutos
Aspectos operacionais
Apropostadestaatividadeéqueseusalunos,divididosemgrupos,escrevamefaçampequenasencenações.
Não se trata de uma encenação qualquer, mas de cenas que envolvam a tomada de decisões sucessivas e a contagem
dosmodoscomoissopodesedar.Emoutraspalavras,ascenasdevemabordarumasituaçãoproblemaqueenvolva
o princípio multiplicativo na sua solução.
Paracomeçar,professor,vocêpodepediraosalunosqueseorganizememgrupoe,nestecaso,sugerimosque
estaorganizaçãoocorracombasenasafinidadespessoais.Afinal,numasituaçãoemqueelesprecisarãoseexpor
maisdoqueestãoacostumados,éprecisoqueestejamàvontadee,entreamigos,tudosetornamaisfácil.
Depoisqueestiveremdivididos,sorteieotemaquecaberáacadagrupo.Nossassugestõesdetemasão:a)
decisãodomododesearrumar,escolhendoumsapato,umacalçaeumacamisaentrevários;b)decisãodomodo
comomontarumabandejaparaumarefeição,sabendoqueénecessárioescolherumpratoquente,umasaladae
umasobremesaec)decisãodomodocomopodempintarumabandeiraformadaporcertonúmerodefaixas,dispon-
dodeumnúmerodecoresdistintasequenãopodemserepetir.Nãotemimportânciaseotemaserepetiremmais
de um grupo, mas você pode, ainda, pedir outras sugestões aos próprios alunos ou deixá-los livres para escolherem
asituaçãoquequiserem.Apenasreforceaideiadeque,qualquerquesejaasituação,énecessárioquesuasolução
envolva o princípio multiplicativo.
24
Dandoprosseguimento,vocêpodedistribuirasfolhasderascunhoepediraosalunosqueescrevamahistória
eafaladospersonagens.Peçatambémquerealizemumpequenoensaioantesdefazeremsuasapresentações.Se
forpreciso,avise-ospreviamentedaatividadeesugiraquetragamparaaaulavestimentas,sucataseoutrosadereços
quepoderãoservirparacomporocenárioouofigurinodascenas.
Procuredaroportunidadeparaquetodosseapresenteme,aofinaldasapresentações,analisecoletivamente
assituações,procurandoidentificarosconceitosmatemáticosqueasassemelham.
Aspectos pedagógicos
EmboraencenarnumaauladeMatemáticapareçaestranho,estatarefapodedargrandescontribuiçõesaos
processosdeconstruçãodosconceitosestudados.Acreditamosqueoesforçodecriarumasituaçãoproblema,me-
diada pelo uso da língua materna e com determinadas características conceituais (neste caso, o princípio multiplicati-
vo),levaoalunoaorganizarmentalmenteseusconhecimentossobreoassunto,fazendo-oreconheceraquiloquejá
compreende e o que está em vias de ser compreendido. Além disso, é inevitável que, na encenação, os indivíduos en-
volvidosrecorramaoutraslinguagenscomoosgestos,asexpressõesfaciais,desenhosnocenárioeoutrossímbolos
sociais.Estadiversidadedelinguagenséoutroaspectofavorávelàconstruçãodeconceitos.Comojámencionamos
em aulas anteriores, o uso de várias linguagens e a conversão, quando possível, de uma representação para outras,
levaoalunoaaprofundarseusconhecimentossobreosobjetos(matemáticosounão)queestãosendorepresenta-
dos. Por isso, uma recomendação é que você, em suas avaliações, retome as situações problema encenadas.
Vale lembrar que esta atividade permite que os alunos busquem as aplicações daquilo que estudam no
diaadiaecontribuiparaaintegraçãodaMatemáticacomaEducaçãoArtística.Seforpossível,envolvaoprofessor
destadisciplinanoseutrabalhoenãoseassustesetudofortomandoumaproporçãomaiordoqueaquelaquevocê
esperavainicialmente.Casoosalunosseinteressem,façareapresentaçõesdascenasforadasaladeaula,paraqueos
alunos de outras turmas possam assistir. Coragem!
Seção 3 – Permutação simplesPáginas no material do aluno
18 a 21
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Fotografando
permutações
Cópias da
folhadeativi-
dades
A atividade traz uma pro-
postadereflexãocomseus
alunos sobre as diversas
maneiras que um grupo de
5 pessoas tem de se orga-
nizar lado a lado para tirar
umafotografia.
Duplas 40 minutos
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 25
Aspectos operacionais
Professor,nestaatividade,apresentamosumasituaçãoproblemabaseadanoroteirodeação6,quecompõe
ocursodeformaçãocontinuadaparaprofessoresdo3ºanodoEnsinoMédio–1ºbimestre,daredeestadualdoRio
deJaneiro,emparceriacomaFundaçãoCECIERJ.Estaatividadepermitiráqueseusalunosreflitamsobreasdiversas
maneirasqueumgrupode5pessoastemdeseorganizarladoaladoparatirarumafotografia.
Paracomeçar,antesmesmodedistribuirasfichas,éinteressantequevocêestabeleçaumaconversacomatur-
ma sobre as circunstâncias do nosso cotidiano em que precisamos ordenar objetos ou pessoas. Convide um grupo
dealunosparaviràfrentedaturmaeseorganizaremfila.Peçaaosdemaisalunosqueregistremcadaorganizaçãoe
quesugiramnovasorganizações,diferentesdaqueforapresentadainicialmente.Façaosalunostrocaremdelugarna
organização,dandovidaaestassugestões.Tudoissopodeajudá-losaatribuirsignificadoàssituaçõespropostasnaficha.
Aodistribuirasfichas,éaconselhávelquevocêpeçaaosalunosqueprocuremidentificarsemelhançasentreas
situaçõesalipropostaseasqueacabaramdevivenciarcomoscolegas,àfrentedaturma.Enquantoelesresolvem,esteja
atentoaosraciocíniosempregados.Quandotodasasduplasconcluírematarefa,peça-lhesqueexponhamsuassoluções.
Aspectos pedagógicos
Pararesponderàsquestõespropostasnaficha,osalunosdevemperceberque,emcadafoto,sãonecessárias5
posiçõesdiferentes,umaaoladodaoutra.Apartirdaí,elesprecisamidentificarquecadaposiçãodeveráserocupada
porapenasumapessoadogrupoequeestapessoanãopoderáocuparoutraposiçãonamesmafoto.Estes,inclusive,
sãoaspectosquetornamsemelhantesassituaçõesdafichaeaquelasvivenciadasemaula,imediatamenteantesda
distribuiçãodasfichas.
Para resolver o item 1, eles podem usar o Principio Fundamental da Contagem. Assim temos:
Outraformaderesolveresseproblemaéverificarquesão5pessoasocupando5posiçõesequesetratade
uma permutação simples P5 5 5 4 3 2 1 120= = =! . . . . .
Pararesolveroitem3,esperamosqueseusalunosconcluamqueAna,BernardoeCarla,osalunosdahistória,
devemestardispostosalternadamentenafoto.Assimtemos:
26
Já,pararesolveroitem4,seusalunosdevemconcluirquea1ªea5ªposiçãosãodestinadasaosprofessores,
Jonas e Gabriela, e que as restantes destinam-se aos três alunos. Assim teremos:
Umencaminhamentocomumparaquestõesdestetipo,equepodeserapresentadoporalgunsalunos,édivi-
dirasituaçãoemdoiscasosepermutarapenasosalunos.Assim,umcasoéoqueoprofessorestánaprimeiraposição
eaprofessoraestánaúltimaeoutroéoqueaprofessoraestánaprimeiraposiçãoeoprofessorestánaúltima.Para
cadacaso,temos6possibilidades(númerodemaneirasqueostrêsalunospodemtrocardelugarentresi)earesposta
esperada é a soma dos resultados obtidos nos dois casos.
Deixamosoitem2paracomentarporúltimo,poisacreditamosqueelesejaodemaisdifícilcompreensãopara
os seus alunos. Nossa experiência tem mostrado que, para questões deste tipo, os alunos geralmente tratam o grupo
quedevepermanecerjuntocomoumúnicoindivíduo.Destaforma,ostrêsalunosseriamumindivíduoaserpermutado
comosdoisprofessores,oqueresultaem6possibilidades(3!).Porém,comoostrêsalunospodemtrocardelugarentre
si, cada uma destas possibilidades se desdobra em outras seis e a resposta da questão é, então, 6 x 6 = 36 possibilidades.
Quandoosalunosexpuseremseusraciocínios,procureidentificarospontosemcomumentreasváriasduplas
e,seforpreciso,listealgumaspossibilidadesquecontemplemasrestriçõesimpostasemcadaitem:osalunosfica-
remalternados,osprofessoresestaremnasextremidades,osalunospermaneceremjuntos,etc.Lembre-sederefletir
comseusalunosque,quandonãohárestrições,onúmerodepossibilidadesaumenta.Desenhetambémasárvores
depossibilidades.Emboravocêtenhaavançadonoassuntoejáestejaabordandoumafórmulaparapermutações
simples,muitosalunosaindapoderãoprecisardeexemplosederepresentaçõesgráficasparafazergeneralizações.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 27
Seção 3 – Permutação simplesPáginas no material do aluno
18 a 21
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
As
permutações
num passeio
de automóvel
pelo Rio
Cópias da
folhadeativi-
dades
Os alunos poderão vivenciar
as várias maneiras de que
um grupo de 5 pessoas dis-
põe para se acomodar num
automóvel de 5 lugares
Duplas 2 tempos de 40 minutos
Aspectos operacionais
Nestaatividade,professor,tambémapresentamosumasituaçãoproblemaadaptadadoroteirodeação6,que
compõeocursodeformaçãocontinuadaparaprofessoresdo3ºanodoEnsinoMédio–1ºbimestre,daredeestadualdo
RiodeJaneiro,emparceriacomaFundaçãoCECIERJ.Nela,vocêeseusalunospoderãovivenciarasváriasmaneirasdeque
um grupo de 5 pessoas dispõe para se acomodar num automóvel de 5 lugares.
Para começar, aconselhamos novamente que você estabeleça uma conversa com a turma sobre as situações do
nosso cotidiano em que precisamos ordenar objetos ou pessoas. Sugerimos ainda que você desenhe no quadro o esboço
deumautomóvelsemelhanteaoqueécitadonafichaeescrevaonomede5alunos,oquepreencherátodososlugares
disponíveis.Emseguida,convideoutrosalunosaviraoquadroparadesenharnovosesboços,queatribuamnovoslugares
aosmesmosocupantes.Éimportantequecadaesboçofiqueregistrado,paraquevocêpossaanalisá-losemconjunto
comseusalunos.Nestaanálise,procurecompararcadaorganizaçãoeestabelecerrestriçõesquepermitamàturmaagru-
pá-las.Umexemploseriaogrupodasorganizaçõesquetêmdeterminadapessoacomomotoristaou,ainda,ogrupodas
organizaçõesquetêmdeterminadapessoacomomotoristaeoutrapessoaespecíficanocarona–queseriaumsubgrupo
do primeiro exemplo. Se julgar necessário, em vez de desenhar um esboço do automóvel, pegue as cadeiras da sala de
aula, organize-as de maneira a simular a disposição dos assentos e peça a 5 alunos para se sentarem e trocarem de lugar
entresi.Insistimosnestasações,poisacreditamosqueelaspodemajudarseusalunosaatribuirsignificadoàssituações
propostasnaficha.
Sugerimosque,somenteapósestavivênciacomaturma,vocêdistribuaasfichasepeçaaosalunosqueidenti-
fiquemassemelhançasentreassituaçõesalipropostaseasqueacabaramdevivenciar.Enquantoelesresolvem,esteja
atentoaosraciocíniosempregados.Quandotodasasduplasconcluírematarefa,peça-lhesqueexponhamsuassoluções.
Aspectos pedagógicos
Professor,naapresentaçãodestaatividade,apresentamosorientaçõessobreamaneiradevivenciar,comseus
alunosemsala,umasituaçãosemelhanteàpropostanaficha.Nossaintençãoétornarasituaçãoomaisfamiliarpos-
28
sível,facilitandoassimsuainterpretação.Novamente,vocêpodeadequarnossasorientaçõesàsnecessidadesdasua
turma.Enquantoparaalgunsalunos,estavivênciapodeserdesnecessária,paraoutros,podeservircomoexcelente
recurso no caminho da abstração das ideias.
Pararesolverositenspresentesnaficha,esperamosqueosalunospercebamquecadalugardoautomóvel
refere-seaumaposiçãodiferente.Teremos,portanto,5posiçõesdiferentes,sendo2nafrentee3atrás.Apartirdaí,
elesprecisamidentificarquecadapessoasópoderáocuparumlugarnoautomóvel.Combasenestasobservações,
facilmenteconcluirãoque,nãohavendorestriçãoparaomotoristaouparaocarona,há5!-ouseja,120maneiras-de
o grupo ocupar o automóvel.
No item 2, os alunos precisam perceber que, se somente Jonas puder ocupar o lugar do motorista, então só há
uma possibilidade de ocupação deste lugar e cada um dos outros lugares poderá ser ocupado por qualquer um dos
outros 4 membros do grupo. Assim teremos:
Seguindo a mesma linha de raciocínio, no terceiro item, tendo as restrições de que o motorista será Jonas e que
Gabriela ocupará o lugar do carona, os alunos devem reconhecer que só há uma possibilidade para ocupação destes
lugaresequecadaumdosoutrospoderáserocupadoporqualquerumdosalunos,ficando:
Aquidestacamosquevocêpodeaproveitarestasoluçãopararefletircomseusalunossobrearesoluçãodo
item seguinte, o item 4, em vez de iniciar isoladamente o estudo da situação. No item 4, Gabriela e Jonas podem trocar
delugarentresieissoconduzàduplicaçãodas6possibilidadesqueacabamosdeobter,permitindoconcluirquehá,
neste caso, 12 possibilidades.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 29
Porfim,noitem5,temos:
Nestasituação,érecomendávelalertarseusalunosque,apesardeosgruposdeprofessoresedealunosserem
abordadosseparadamenteparaasposiçõesdemotoristaedecarona,paraaocupaçãodasposiçõesdetrás,oprofes-
sorquenãofoiescolhidoparamotoristasejuntaaosdoisalunosquenãosentaramnaposiçãodocarona.Issonosdá
3possibilidadesparaaocupaçãodadireita,2paraomeioe1paraaesquerda.Nãodeixederefletirtambémque,em
problemas como estes, mesmo que não saibamos quem vai ocupar uma posição, é possível contar as possibilidades
de ocupação das demais posições. Muitas vezes, isto não é uma ideia simples para alguns alunos, que insistem em
querer listar os casos para contá-los.
Avaliação
Tipos de Atividades
Título da Atividade
Material Necessário
Descrição SucintaDivisão da
TurmaTempo
Estimado
Avaliação da
Unidade
Cópiasdafo-
lha de ativida-
des, material
do aluno
Estaatividadesugereum
instrumento avaliativo para
a unidade, dividido em duas
etapas: a primeira consiste
no registro de aprendiza-
gens e a segunda em ques-
tões objetivase dissertativas,
a serem escolhidas a critério
doprofessor
Individual 40 minutos
Aspectos operacionais
Paraomomentodeavaliação,sugerimosautilizaçãodoúltimotempodeauladestinadoàunidade1doMó-
dulo 4. A seguir, apresentamos sugestões para a avaliação das habilidades pretendidas nesta unidade. Dividiremos
nossassugestõesavaliativasemduasetapas,conformeexplicitadasaseguir.
30
Etapa 1: Registros de aprendizagens (Momento de Reflexão)
Aqui,vocêpoderáproporqueoalunoregistreindividualmente,nafolhadeatividades(disponívelpararepro-
duçãonestematerial),asaprendizagensmatemáticasadquiridascomoestudodestaunidade.Esseregistroseráfeitoa
partir de questões elaboradas por nós, e que reproduzimos a seguir. No entanto, é importante ressaltar que estas ques-
tões devem complementar as que você já usa para avaliar o desenvolvimento das habilidades matemáticas pretendidas.
1. Qualoconteúdomatemáticoestudadonestaunidade?
2. Complete a tabela a seguir:
n (n-1)! n!7 ? ?
6 120 ?
? 24 120
? 6 ?
3. Umaconcessionáriaoferececincocoresdiferentesparaomesmomodelodeveículo,alémdeduasopçõesdiferentesdekitsdeacessóriosexternos.Dequantosmodosdiferentespode-seescolherumcarronovo?
4. Otécnicode futsaldo“HabilidososEsporteClube”possuicinco jogadoresconsiderados titulares.Todosjogamemqualquerposição.Umavezescolhidasasposiçõesdosjogadoresemquadra,diz-sequeumaformaçãoestádefinida.Nestascondições,quantasformaçõessãopossíveis?
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 31
5. EscrevaapróximalinhadotriângulodePascal:
Sugerimos, também, que este material seja recolhido para uma posterior seleção de registros, a serem entre-
guesaoseuformador,duranteocursodeformaçãopresencial.Destaforma,esperamosacompanharcomvocêcomo
osalunosestãoreagindoaoscaminhosqueescolhemosparadesenvolverestetrabalhoe,semprequeforocaso,
repensá-los de acordo com as questões e sugestões apresentadas.
Etapa 2: Questões objetivas e discursivas
Para compor o instrumento avaliativo, sugerimos, nesta etapa, a escolha de pelo menos uma questão obje-
tivaeumadiscursiva.Elasdevemcontemplarumadashabilidadesquesedesejadesenvolvernestaunidade.Nosso
objetivonestaetapaéfazercomqueoalunocompreendaumasituaçãoreal,apliqueoprincípiomultiplicativoouo
conceitodepermutaçãoefaçaumareflexãomaisprofundasobreprocedimentosparacontagem.
Sugestão de questão objetiva para a avaliação:
Questão 1: (FUVEST)
Numprogramatransmitidodiariamente,umaemissoraderádiotocasempreasmesmasdezmúsicas,masnunca
namesmaordem.Paraesgotartodasasprováveissequênciasdessasmúsicasserãonecessáriosaproximadamente:
a. 10 dias
b. Umséculo
c. 10 anos
d. 100 séculos
e. 10 séculos
32
Sugestão de questão discursiva para a avaliação:
Questão 1: Dispondo-sede5coresdistintas,dequantosmodosdiferentesépossívelpintarabandeiraase-
guir, sem repetição de cores?
Gabarito
Registros de Aprendizagem
1. Análise combinatória.
2.
n (n-1)! n!7 720 5040
6 120 720
5 24 120
4 6 24
3. Primeiramente,escolhe-seacordoveículo. Istopodeser feitodecincomodosdiferentes.Emsegundolugar,escolhe-seoacessórioexterno.Istopodeserfeitodedoismodosdiferentes.Peloprincípiomultipli-cativo, há 5 x 2 = 10 modos distintos de escolher o veículo.
4. Começa-seescolhendoojogadorqueocuparáaposição1. Istopodeserfeitodecincomodosdistintos.Feitaaescolhadaposição1,paraaposição2,restamquatropossibilidadesparaaposição2.Esteraciocínioérepetidoatéaposição1.Destaforma,haverá5x4x3x2x1=5!=120formaçõesdistintas.
5. 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Resposta e comentários da questão discursiva sugerida:
Questão 1:
Você pode sugerir, inicialmente, que os alunos escolham as cores usadas para pintar a bandeira - por exemplo,
azul, verde, vermelho, rosa e marrom. Apesar de ser irrelevante para o resultado, essa escolha pode ser muito im-
portanteparaosalunos,poisajudaaconcretizarasideias.Aseguir,peçaquedeemnúmerosàsregiões:1,2,3e4(a
distribuiçãodosnúmerospelasregiõestambéméirrelevanteparaproblema).
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 33
Finalmente, você pode indicar que eles comecem pintando a região 1, perguntando de quantos modos isto
podeserfeitoerepetindooprocedimentoparaasregiõesseguintes.Lembre-osdequenãopodehaverrepetição!
Aregião1podeserpintadadecincomodosdistintos.Escolhidaacordaregião1,restamquatropossibilidades
decoresparaaregião2.Escolhidaacordaregião2,restamtrêspossibilidadesparaaregião3.Escolhidaacorda
região 3, restam duas possibilidades de cores para a região 1. Pelo princípio multiplicativo, existem 5x4x3x2 = 120
modos distintos de pintar a bandeira.
Resposta da questão objetiva sugerida
Sugere-sequevocêpergunteinicialmentesobrearelevânciadaordemdasmúsicas.Umavezqueelestenham
notadoqueé importante, induza-osacalcularonúmeroprocurado,semnecessariamente,escolherumafórmula
aseraplicada.Peça-osqueescolhamaprimeiramúsica,asegundamúsicaeassimsucessivamente.Apartirdaí,é
possívelqueelescheguemàresposta.Apesardenãosernecessário,ousodiretodafórmulaépossível,desdeque
argumentos minimamente embasados sejam apresentados.
Aprimeiramúsicapodeserescolhidade10modosdistintos;feitaestaescolha,asegundamúsicapodeser
escolhida de 9 modos distintos e assim por diante. Logo, pelo princípio multiplicativo, há 10x9x8x...x2x1 = 10! modos
distintosdeescolheralistademúsicas.Consequentemente,serãonecessários10!(fatorialde10)dias,paraesgotar
todasaspossibilidades.Vamosconverteressenúmeroemanose,paraisto,vamosdividirpor360dias(omaisexato
seriadividirpor365dias=1ano,masoproblemapedeumasoluçãoaproximada).Seguequeanos.Logo,serãone-
cessários 100 séculos para esgotar todas as possibilidades.
34