Matriz alunos
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Organizando e analisando dadosO colégio Tales distribui, durante o ano
letivo, 100 pontos por matéria. O quadro a seguir mostra os totais de pontos obtidos por Ana, Carlos e Pedro, em Matemática nos anos de 2006 e 2007.
Ana Carlos Pedro
2006 80 75 72,5
2007 76 82,5 78 Quadros como esses ajudam a organizar
dados. Fica mais fácil analisá-los, combiná-los com outros.
Matrizes – Conceitos iniciais
Foi o matemático inglês, James Joseph, Sylvester, quem usou pela primeira vez esta forma de trabalhar com um conjunto de informações, dispondo-as em linhas e colunas em uma tabela.
A um quadro desse tipo, damos o nome de Matriz. Cada número que o constitui é um elemento da matriz.
O quadro apresentado é uma matriz 2 x 3, isto é, possui 2 linhas e 3 colunas.
MatrizPodemos dizer que uma matriz é uma
tabela com colunas (vertical) e linhas (horizontal). Então chamamos de matriz toda tabela m x n sendo que m e n podem assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo que m é o número de linhas e n o número de colunas. Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, chaves ou entre duas barras duplas, veja alguns exemplos:
Representando matrizes
Para nomear matrizes, usamos letras latinas maiúsculas. Seus elementos ficam dentro de parênteses ou colchetes.
Exemplo
80 75 72,5
76 82,5 78
80 75 72,5
76 85,2 78ou A =
A =
Representando matrizesNossa matriz tem 2 linhas e 3 colunas.
Dizemos que ela é do tipo 2 x 3 (dois por três) ou, simplesmente, uma matriz 2 x 3.
80 75 72,5
76 82,5 78
A =→ 1ª linha
→ 2ª linha
1ª coluna 2ª coluna
3ª colunaNossa matriz é indicada por
A2x3.
Observe que em cada matriz dos exemplos à esquerda, tem ao lado indicando o número de linhas e o de colunas da matriz, o primeiro exemplo esta indicado 2 x 3 que lê assim a matriz é de ordem dois por três.
Se pegarmos uma matriz qualquer de ordem m x n, como iríamos representá-la? Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Dada a matriz de ordem 3 x 2:
Representando elementos de uma matriz
De maneira geral, indicamos um elemento de uma matriz por uma letra minúscula, acompanhada de dois índices, que definem sua posição na matriz.
Um elemento genérico da matriz A é indicado assim:
aij
i indica a linha do elemento
j indica a coluna do elemento
a11 ; a21 ; a12 ; a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas).
Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1º coluna.
O elemento - 5 pertence a 1ª linha e a 1ª coluna. O elemento 2 pertence a 2ª linha e 2ª coluna.
Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos definidos, representamos da seguinte forma:
Definição de Matriz
Se m e n são dois números naturais positivos, chama-se matriz do tipo m x n todo quadro formado por m.n números reais, dispostos de forma ordenada em m linhas e n colunas.
Uma matriz genérica Am x n pode ser
representada assim:
amn...am3am2am1
...
a23
a13
...
...
...
.........
a2na22a21
a1na12a11
A =
De forma simplificada, temos A =
[aij]m x n
Exemplo Na matriz A representada a seguir,
cada elemento aij indica a média, em
Matemática, da turma i no bimestre j. Identificar o tipo de matriz e obter a média da turma 2 no 3.º bimestre e a média da turma 3 no 4.º bimestre.
6,2 8,3 9 7,4
8 7,3 8,7 6,5
7,2 8,1 6,9 7
A =
A3 x 2. a23 =
8,7
a34 = 7
Representando elementos de uma matriz
Na matriz A exemplificada, temos
80 75 72,5
76 82,5 78
A =
a11 =
80a12 =
75
a13 = 72,5
a21 =
76a22 = 82,5 a23 =
78
Matriz definida por seu termo genérico
Uma matriz pode ser definida, indicando-se seu tipo e uma fórmula para o cálculo de cada elemento aij, em função de i e j.
Exemplos Construir a matriz A = (aij)3x2, em
que aij = 3i – j.
a32a31
a22a21
a12a11
A =
aij = 3i – j
a11
=
3.1 – 1
= 2 a12
=
3.1 – 2
= 1
a21
= 3.2 –
1= 5 a22
= 3.2 –
2= 4
a31
= 3.3 –
1= 8 a32
=
3.3 – 2
= 7
2 1
5 4
8 7
A =
Exemplos Construir a matriz B = (bij)2x2, tal que
b2
2
b2
1
b1
2
b1
1B =
b11 = 2.1 + 1 = 3b12 = 21 =
2b21 = 2.2 + 1 = 5b22 = 2.2 + 2 = 6
3 2
5 6B =
bij
=
2i + j, se i ≥ jji , se i < j
Exemplo: Escreva a matriz A = (aA matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim:
( i j)2 x 3 tal que aij = 2i + j.
Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da equação dada no enunciado: aij = 2i + j. Então iremos calcular cada elemento sabendo que: i é a linha que o elemento pertence. j é a coluna que o elemento pertence.
a11 = 2 . 1 + 1 a21 = 2 . 2 + 1 a11 = 3 a21 = 5
a12 = 2 . 1 + 2 a22 = 2 . 2 + 2 a12 = 4 a22 = 6 a13 = 2 . 1 + 3 a23 = 2 . 2 + 3 a13= 5 a23 = 7
1 – Uma rede é composta por cinco lojas, numeradas de 1 a 5.A tabela a seguir apresenta o faturamento, em dólares, de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro:
Cada elemento aij dessa matriz é o faturamento da loja i no dia j.
a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2?b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia
3?c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias?
4 – Determine quantos elementos possui uma matriz do tipo:a) 1 x 6 b) 4 x 1 c) 3 x 3 d) 3 x 5
5 – É dada a matriz , Identifique os elementos da: a) 1ª linha b) 3ª linha c) 4ª linha d) 2ª coluna
6 – Considere a matriz
Determine o valor dos seguintes elementos:a) b11 b) b21 c) b12
d) b23 e) b32 f) b22
7 – Uma matriz possui quatro elementos. Quais os tipos possíveis para essa matriz?
10 – Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3.i – j2 +3.
8 – Determine a matriz A = (aij)2x3 , tal que:a) aij = i + 2.j c) aij = 2.i – j b) aij = i2 + j d) aij = j – 2.i
9 – Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que:
a) aij = 1, se i = j c) aij = i + j, se i = j
0, se i ≠ j - i – j, se i ≠ j
b) aij = 2, se i = j d) aij = i2 , se i = j - 1 , se i ≠ j j2 , se i ≠ j
Matriz Linha e matriz Coluna
Uma matriz que tem apenas uma linha é chamada de matriz linha. Uma matriz que tem somente uma coluna é denominada de matriz coluna.
Exemplos–1 2 5 É uma matriz linha 1 x
3.
36
É uma matriz coluna 2 x 1.
Matriz quadrada É Toda matriz quadrada possui duas
diagonais:• A principal, composta por elementos aij tais que i=j, isto é:
Toda matriz cujo numero de linhas é igual ao numero de colunas. Assim, chamamos matriz quadrada de ordem n toda matriz do tipo n x n. Exemplos:
A secundária, em que os elementos aij são tais que, i+j = n+1. veja como são as diagonais de uma matriz quadrada do tipo 3×3.
Matriz quadradaChama-se matriz quadrada toda
matriz em que o número de linhas é igual ao de colunas. O número de linhas (ou colunas) é a ordem da matriz.0 3
–2 5
3 0 –3
7 2 –5
1 4 0
é matriz quadrada de ordem 2.
é matriz quadrada de ordem 3.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Matriz quadrada
Numa matriz quadrada A =[aij], de ordem n,
chama-se Diagonal principal o conjunto dos
elementos aij em que i = j;
Diagonal secundária o conjunto dos elementos aij em que i + j = n + 1;
Diagonal secundária (i + j = 4)
Diagonal principal (i = j)
Matriz nula É toda matriz do tipo m x n cujos elementos são todos nulos. Para indicar uma matriz nula utiliza-s a notação:
Tipos de MatrizesMatriz Nula
Uma matriz que tem os seus elementos iguais a zero é chamada matriz nula. Existe uma matriz nula de cada tipo. A matriz nula pode
ser indicada por Om x n.0 0 0
0 0 0É uma matriz nula 2 x
3.
O =
0 0
0 0O = É uma matriz nula 2 x
2.
Matriz diagonal É toda matriz quadrada em que os elementos não pertencentes à diagonal principal são todos nulos. Por exemplo:
Matriz Diagonal É uma matriz quadrada onde aij =
0, para i ≠ j, isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.
Matriz DiagonalToda matriz quadrada em que todos os
elementos fora da diagonal principal são iguais a zero é chamada matriz diagonal.
Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal.
3 0
0 –5
½ 0 0
0 0 0
0 0 2
M = N =
Traço de M é –2. Traço de N é 3/2.
Exemplo
Calcule o traço da matriz quadrada A abaixo, sabendo que ela é matriz diagonal.
x – 2y x – y + 6
x + 2y x + yA =
x + 2y = 0
x – y + 6 = 0
⇒ x = –4
⇒x + 2y = 0
2x – 2y + 12 = 0x (2)+
3x + 12 = 0
e y = 2
O traço da matriz é: x – 2y + x + y = 2x – y = –10
Matriz IdentidadeChama-se matriz identidade de ordem n a matriz
quadrada indicada In tal que.
Os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1;
Todos os outros elementos são iguais a 0;
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
é matriz identidade de ordem 2.
é matriz identidade de ordem 3.
I2 =
I3 =
Matriz Transposta (At)
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At.
Matriz TranspostaVeja como podemos apresentar os
dados referente à tabela da introdução de matrizes.
Ana Carlos Pedro
2006 80 75 72,5
2007 76 82,5 78
2006 2007
Ana 80 76
Carlos 75 82,5
Pedro 72,5 78
80 75 72,5
76 82,5 78A =
7872,5
82,575
7680B =⇒
Matriz TranspostaSe A é uma matriz do tipo m x n, chama-se
transposta de A (simbolicamente At), a matriz do tipo n x m, obtida de A, trocando-se de posição linhas com colunas, de forma que
A = (aij)m x n ⇒ At = (aji)n x m
2 –1 1
3 0 –5A =
–510
–1
32At =⇒
Matriz simétrica matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13
= a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre a ij = a ij.
Matriz SimétricaToda matriz quadrada que é igual a sua transposta é chamada matriz simétrica.
1 –3 5–3 2 –15 –1 6
N =
A é simétrica ⇔ A = At
Exemplo
Exemplo Obtenha m, n, e p, para que seja
simétrica a matriz.3 m + n 2
–1 1 5
m – 2n p + 2 0
P =
m + n = –1
m – 2n = 2⇒
m + n = –1
m – 2n = 2
p + 2 = 5
⇒2m + 2n = –2
m – 2n = 2+
3m = 0
⇒ m = 0 e n = –1 ⇒ p = 3
Matriz Anti-SimétricaToda matriz quadrada que é igual à oposta de sua transposta é chamada matriz anti-simétrica.
0 3 –5–3 0 –15 1 0
N =
A é anti-simétrica ⇔ A = –At
Exemplo
Exemplo
Complete a matriz para que ela seja anti-simétrica.
.... .... 5–2 .... 3.... .... ....
Q =0
0
0
2
–5
–3
Matriz OpostaChama-se oposta de uma matriz A a
matriz representada por –A, cujos elementos são os opostos dos elementos de mesma posição em A.
0 3–2 5
A oposta da matriz A = , é a matriz
–A =
0 –3
2 –5
Operações com Matrizes
Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem, são iguais se, e somente se, aij = bij.
Igualdade de matrizes
Dizemos que duas matrizes A e B são iguais só se elas são do mesmo tipo e cada elemento de uma delas é igual ao elemento de mesma posição da outra.
Se alguma das condições anteriores falhar, dizemos que A e B são matrizes diferentes.
Exemplos Verificar se as matrizes A e B abaixo
são iguais.
2 1
5 4
8 7
A =2 1
8 4
5 7
B =
As matrizes são do mesmo tipo (3 x 2) e têm os mesmos elementos. Elas são diferentes pois os elementos 5 e 8 ocupam posições diferentes.
Calcular x, y, z e t para que ocorra a igualdade.
2x –1
y + 1 34 x + z
5 t – y=
2x = 4y + 1 =
5x + z = –1t – y = 3
⇒ 2x = 22
⇒ x = 2⇒ y = 4
⇒ 2 + z = –1
⇒ z = –3⇒ t – 4 =
3
⇒ t = 7
1 – Determine a, b, c e d para que se tenha
2 – Determine x, y e z que satisfaçam;
3 – Em cada item determine, caso exista, o número real m que satisfaz a igualdade:
4 – seja A = (aij)2x3, em que aij = i + j. Determine m, n e p em B =
, a fim de que tenhamos A = B.5 – Determine os valores de a, b, c, d, e e f que tornam verdadeira a igualdade:
Operações com Matrizes
Em certos casos surge a necessidade de efetuar operações com matrizes.
Adição;
Subtração;
Multiplicação de uma constante real por uma matriz;
Multiplicação.
DefiniçõesSendo A e B matrizes de mesmo tipo e k
uma constante real, definem-se as seguintes operações:
Adição de matrizes: A + B é a matriz em que cada elemento é a soma dos elementos de mesma posição em A e B.
Subtração de matrizes: A – B = A + (–B), é a soma de A com a oposta de B.
Multiplicação de um número por uma matriz: kA é a matriz obtida multiplicando-se, por k, cada um dos elementos de A.
Adição e subtração de Matrizes
A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem é uma matriz C = (aij)mxn tal que C = aij + bij.
A subtração de matrizes é dada pela sentença:
A + B = C
Produto de um Número Real por uma
Matriz
Se é um número real, o produto desse número por uma matriz A = (aij)mxn é uma matriz B = (bij)mxn tal que bij = . aij
Exemplo Calcule:
2 –1
1 3
4 5
–5 –2+ =
2 + 4 –1 + 5
1 – 5 3 – 2
3 -7 10
-1 8 -5
0 4 -2
N =
9 -21 30
-3 24 -15
0 12 6
3N =
6 4
–4 1=
1 – Calcule:
2 – Sejam A = , B = e C =
Determine as matrizes:a) A + B + C b) A – B + C c) A – (B + C) d) B – C + A
9 – Em cada caso determine o valor de elemento a22, se existir:
10 – Escreva a matriz A = (aij)3x4, em que aij = 3.i – 2j +1
11 – Determine a matriz B = (bij)4x3, em que bij = 2 + i2 + j
14 – Seja A = (aij)3x4, em que aij = 2i + 3j2. Escreva a matriz At.
15 – Qual é o elemento a46 da matriz A = (aij)8x8, em que aij = ( - 1)i + j. ?
16 – Seja a matriz A = (aij)3x3, em que aij = i.j. Forneça os elementos que pertencem às diagonais principal e secundária de A.
17 – Dê a matriz A = (aij)4x3, em que: aij =
.
18 – Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando A = At. a) Sabendo-se que a matriz é simétrica, qual é o valor dex + 2y – z ?
b)Uma matriz quadrada A é dita antissimétrica quando A = - At . determine os valores de x e y a fim de que a matriz seja antiassimétrica
19 – Sejam as matrizes A = (aij)10x12, em queaij = 2i – j, e B = (bij)10x12, em que bij = i + j. Seja C = A + B, em que cij = aij + bij. Determine os elementos:a) c78 b) c1012
19 – Em um fim de semana, registrou-se o número de fregueses que fizeram compras em uma padaria, bem como o período (manhã, tarde ou noite) da visita.Na matriz a seguir, o elemento aij indica o número de fregueses que foram à padaria no dia i e no período j.
Sabendo que sábado e domingo correspondem, respectivamente, os índices 1 e 2 e que manhã, tarde e noite são representados pelos índices 1, 2 e 3, respectivamente, determine:•O número de clientes que a padaria recebeu sábado à tarde;O número total de clientes no domingo.
Exemplo
Dada as matrizes abaixo obter a matriz
3M – 2N + I2. –2 1
3 22 0
3 4N =M =
3.M =3.23.3
3.13.–2=
–6 3
9 6
–2.M =–2.4–2.3
–2.0–2.2=
–4 0
–6 –8
ExemploUma empresa fabrica dois produtos A e B,
que podem ser acondicionados nas
embalagens E1, E2 e E3, com 12, 24 ou 30
unidades, respectivamente. Os quadros abaixo mostram os custos de fabricação do produto e da embalagem, em cada caso.
A B
E1 2 3
E2 3 4
E3 4 6
A B
E1 60 80
E2 100 130
E3 120 160
Custo do produto (R$)
Custo da embalagem (R$)
O fabricante quer vender o produto com lucro de 50% sobre o custo do produto, mas não quer obter lucro no custo da embalagem. Qual será o preço de venda dos produtos A e B.
60 80
100 130
120 160P
=
2 3
3 4
4 6E =
O preço de venda é obtido efetuando-se a operação: 1,5 . P + E
V = 1,5 . P + E
60 80100 130120 160
P =
2 3
3 4
4 6E
=
1,5 . P = 1,5.160
1,5.120
1,5.1001,5.60
1,5.130
1,5.80
=240180
15090
195120
1,5 . P + E =
90 120
150 195
180 240+
2 3
3 4
4 6
=246184
153
92
199
123
Exemplo Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I2.
–2 1
3 22 0
3 4N =M =
3M –2N + I2 = 3.M + (–2.N) + I2
=–6 3
9 6
–4 0
–6 –8
1 0
0 1 –13
3–9
= + + =
Produto de Matrizes Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B
= (bij)mxn, o produto da matriz A pela matriz B, nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.
A matriz produto (A x B)mxn terá número de linhas de A e número de colunas de B.
Os elementos da matriz produto são obtidos multiplicando-se cada elemento das linhas da matriz A pelo correspondente elemento das colunas da matriz B e adicionando os produtos obtidos.
Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij:
Assim ,
Observe que:
Portanto , A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não
vale a propriedade comutativa.
Vejamos outro exemplo com as matrizes
Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):
Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
Encontre os valores de x e y, para que a matriz M abaixo seja nula.
x2 – 1 x2 – x – 2x2 – y2 x + y
M =
x2 – 1 = 0
x2 – x – 2 = 0
x2 – y2 = 0
x + y = 0
⇒ x = ±1
⇒ x = –1 ou x = 2
⇒ x = –1 e y = 1
⇒ x = –y
3 1
0–5
Matriz triangularToda matriz quadrada na qual são
nulos todos os elementos situados num mesmo lado da diagonal principal.
½ 7 3
0 –2 1
0 0 2
A = B =
Exemplos
Exemplo Resolver a equação 3X – A = 2B, onde
–5 0–1 4
1 –32 1
B =A =
A matriz X deve ser do mesmo tipo de A e B. x y
z tX =
3.X – A = 2B ⇒x y
z t
–5 0
–1 4
1 –3
2 13. – = 2.
EXEMPLO Resolver a equação 3X – A = 2B, onde
–5 0
–1 4
1 –3
2 1B =A =
Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem equações algébricas. Veja.
3.X – A = 2B ⇒ 3.X = A + 2B ⇒ X =1
3
A + 2B =–5 0
–1 4
2 –6
4 2+ =
63
–6–3
(A + 2B)
Exemplo Resolver a equação 3X – A = 2B, onde
–5 0
–1 4
1 –3
2 1B =A =
Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem equações algébricas. Veja.3.X – A = 2B
⇒3.X = A + 2B
⇒X = (A + 2B)13
X = =–3 –6
3 6
1
3 21–2–1
24 – Determine a matriz X, tal que ( X + A)t = B, sendo:
e
25 – Dada a matriz
, obtenha as matrizes:a) 4.A b) 1/3.A c) – 2.A