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Matriz de Admitância e Cálculo de Redes
Joinville, 22 de Abril de 2013
Matriz de Admitância e Fatoração LU
Escopo dos Tópicos AbordadosMatriz de Admitância e Cálculo de Redes – Matriz de Admitância;– Eliminação de Gauss;– Fatoração LU;
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Resolução das Equações NodaisResolução via Fatoração triangular ou Fatoração LU:– Consiste em fatorar a matriz Y barra em uma matriz triangular inferior L
(de Lower) e uma matriz triangular superior (Upper):
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Resolução das Equações NodaisResolução via Fatoração triangular ou Fatoração LU:– A decomposição LU é obtida via eliminação de Gauss;– Tem como vantagem a propriedade que a decomposição de uma
matriz em matrizes triangulares superior e inferior é única. Assim, se Y barra não muda, não é necessário realizar a eliminação de Gauss novamente.
– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional;– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são
sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.
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Resolução das Equações NodaisFatoração triangular ou Fatoração LU:– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional;– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são
sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.
– Decomponha a matriz abaixo via fatoração LU:
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=Y
Resolução das Equações NodaisFatoração triangular ou Fatoração LU:– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional;– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são
sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.
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Eliminação de Gauss da coluna 1: Formação das colunas 1 e 2 de L:
=Y
=)1(Y
Resolução das Equações NodaisFatoração triangular ou Fatoração LU:– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional;– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são
sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.
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Eliminação de Gauss da coluna 2: Formação da coluna 3 de L:
==UY )2(
=)1(Y
Resolução das Equações NodaisResolvendo as equações nodais via Fatoração LU:
– A matriz Y barra é obtida decomposta em LU via eliminação de Gauss:
– Como passo intermediário, resolve-se inicialmente a equação via substituição direta:
– Em seguida a equação via substituição reversa:
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Resolução das Equações NodaisResolvendo as equações nodais via Fatoração LU:
– Como passo intermediário, resolve-se inicialmente a equação via substituição direta:
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Resolução das Equações NodaisResolvendo as equações nodais via Fatoração LU:– Em seguida a equação via substituição reversa:
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Resolução das Equações NodaisDesta forma, havendo mudanças no vetor de injeção de correntes (geração) e não havendo mudanças estruturais no sistema (na matriz Ybarra) aproveitam-se os valores da decomposição LU:
– Resolvendo a equação via substituição direta:
– Em seguida a equação via substituição reversa:
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Resolução das Equações NodaisResolução do exemplo via eliminação de Gauss extendido para a fatoração LU:– Para o exemplo dado, que possui 4 equações e 4
incógnitas, deve-se eliminar sucessivamente o número de equações e incógnitas, uma a uma, até que se chegue a um sistema de uma equação e uma variável;
– A equação final fornece o valor da respectiva incógnita da equação, que é substituída novamente no conjunto de equações a fim de se calcular o restante das incógnitas;
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Resolução das Equações NodaisResolução do exemplo via eliminação de Gauss extendido para a fatoração LU:– Iniciando pela eliminação de Gauss:
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Resolução das Equações NodaisResolução via eliminação de Gauss para o exemplo:
Passo 1) eliminar V1: divida a equação 1 pelo pivô Y11:
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Resolução das Equações NodaisResolução via eliminação de Gauss para o exemplo:
Passo 2) multipliquepor Y21, Y31 e Y41 e subtraia o resultado das
equações 2, 3 e 4:
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(1)
(2)
(3)
(4)
(2’)
Resolução das Equações NodaisReescrevendo em forma compacta:
De forma genérica:
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(2’)
(3’)
(4’)
(1’)
Resolução das Equações NodaisApós o passo 1, o nó 1 é eliminado e pode-se resolver um sistema de 3 incógnitas e 3 variáveis:Sistema original:
Sistema com V1 eliminado – resolve-se para V2, V3 e V4:
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Resolução das Equações NodaisGraficamente, após o passo 1, o nó 1 foi eliminado, resultando em um sistema equivalente de 3 nós e a referência:
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Resolução das Equações NodaisRealizando eliminações sucessivas através das equações genéricas, elimina-se V2:
Resultando no sistema:
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Resolução das Equações NodaisProsseguindo com a eliminação, elimina-se V3:
Resultando no sistema onde se obtém V4:
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Resolução das Equações NodaisPor substituição reversa, a partir do valor de V4, calcula-se V3, V2 e V1:
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Resolução das Equações Nodais
Passos que devem ser realizados para a Solução das equações via fatoração LU:
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Resolução das Equações NodaisAproveitando as colunas da eliminação de Gauss para a formação da matriz L da fatoração triangular LU:– A matriz U é obtida via eliminação de Gauss convencional; A matriz U
é dada pela última matriz da eliminação de Gauss:
– A matriz L é obtida via armazenamento das colunas que são sucessivamente eliminadas via cada passo da eliminação de Gauss.25
Resolução das Equações NodaisFormação da matriz L:Passo 1: coluna 1 de L é a coluna 1 da matriz do sistema original:
Matriz L extrutura completa: Obs - neste momento existe apenas a coluna 1 de L:
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I
Resolução das Equações NodaisFormação da matriz L:– Passo 2: coluna 2 de L é a coluna 2 da matriz obtida via eliminação do
Nó 1 via eliminação de Gauss:– Sistema com V1 eliminado – resolve-se para V2, V3 e V4:
– Coluna 2 da matriz L:
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I
Resolução das Equações NodaisFormação da matriz L:– Passo 3: coluna 3 de L é a coluna 3 da matriz obtida via eliminação do
nó 2 via eliminação de Gauss:– Elimina-se V2:
– Coluna 3 da matriz L:
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I
Resolução das Equações NodaisFormação da matriz L:– Passo 4: coluna 4 é a coluna 4 da matriz obtida via eliminação do nó 3
via eliminação de Gauss:– Elimina-se V3:
– Coluna 4 da matriz L:
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I
Resolução das Equações NodaisPasso 5: matrizes U e L estão formadas e prontas para serem utilizadas na solução do sistema:
– Matriz L:
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I
'1'
2'
3'
4
VVVV
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Resolução das Equações NodaisRelembrando: de posse das matrizes L e U encontra-s a solução do sistema ( YbarraV=I) via substituição direta e reversa
– Resolvendo a equação via substituição direta:
– Em seguida a equação via substituição reversa:
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YbarraV=I
Resolução das Equações NodaisA partir das matrizes L e U, pode-se alterar o vetor de injeção de correntes e solucionar diversos casos:– Resolvendo a equação via substituição direta a partir da matriz L:
– Em seguida, a equação via substituição reversa:
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I
Resolução das Equações NodaisResolvendo a equação via substituição reversa a partir da matriz U:
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'V
Resolução das Equações NodaisExemplo de solução a partir da fatoração LU:– Escolha de qualquer vetor de corrente – emulando um redespacho de
geração elétrica:– Uso da Matriz L para solução via substituição direta:
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