IEPMM Prof. Aline Barcelo Matemtica 3ano/ Ensino Mdio 2bimestre/2012 (Retirado e modificado de diversos sites e livros que tratam do assunto) MATRIZES FONTE PRINCIPAL: http://www.somatematica.com.br/ Multiplicao de matrizes Considere a situao seguinte. Uma dona de casa precisa comprar alguns produtos e resolve pesquisar preos em dois supermercados. Veja a tabela com os preos pesquisados. Essa consumidora precisa de: Reunindo essas informaes, construmos a tabela produto-quantidade. Para saber em qual dos supermercados ela gastaria menos, podemos calcular: Supermercado A: Supermercado B: Tambm possvel efetuar esse clculo por meio de matrizes. Veja: A multiplicao das matrizes P (preo) e Q(quantidade) resulta na matriz C (custo da compra em cada supermercado): Os elementos de uma linha de P so multiplicados, ordenadamente, pelos correspondentes elementos da coluna de Q e, depois, os produtos so somados: Da definio, temos que a matriz produto A . B s existe se o nmero de colunas de A for igual ao nmero de linhas de B: A matriz produto ter o nmero de linhas de A (m) e o nmero de colunas de B(n): -Se A3 x 2 e B 2 x 5 , ento ( A . B ) 3 x 5

-Se A 4 x 1 e B 2 x 3, ento no existe o produto-Se A 4 x 2 e B 2 x 1, ento ( A . B ) 4 x 1 Propriedades Verificadas as condies de existncia para a multiplicao de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C ) b) distributiva em relao adio: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n Exemplo: Vimosqueapropriedadecomutativa,geralmente,novaleparaamultiplicaodematrizes.Novaletambmo anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n no implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n. Mais exemplos: Exemplo1: Vamos multiplicar a matrizpara entender como se obtm cada Cij: -1 linha e 1 coluna -1 linha e 2 coluna -2 linha e 1 coluna -2 linha e 2 colunaAssim,. Observe que: Portanto, A.BB.A, ou seja, para a multiplicao de matrizes no vale a propriedade comutativa. Exemplo2: Exemplo3: Vejamos outro exemplo com as matrizes: : Matriz inversa Exemplo 1: Exemplo 2: EXERCCIOS: 1. 2. 3. 4. 5. 6. ((

== == += + === += += += += += +((

=((

((

=((

=4 35 4 de inversa matriz a Portanto,45

1 4 30 5 434

0 4 31 5 4

1 4 30 4 30 5 41 5 4

1 00 1.4 35 4. : seja ou, identidade matriz na resulta inversa sua pela da multiplica matriz uma que Sabemos. matriz da inversa matriz a determine ,4 35 4Sendo11A Adbd bd bcac ac ad bc ad bc ad cb aI A AA A 7.Duas mquinas, I e II,produzem trs itens, A,B eC, de acordocomonmerodepeasproduzidasporhorade funcionamentoapresentadasnamatrizH.AmatrizS,por outro lado, apresenta o nmero de horas que cada mquina trabalha por dia da semana. a)D os tipos das matrizes H, S e (H.S) b)Calcule o produto H.S. Que informao ele nos d? c)Quantos itens B so produzidos na segunda-feira? d)Quantos itens C so produzidos na quinta feira? 8. 9. 10. 11.