MATRIZES

Conceitos e Operações

As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia.

Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes. Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas.

Nome Peso(kg) Idade(anos) Altura(m)

Ricardo 70 23 1,70

José 60 42 1,60

João 55 21 1,65

Pedro 50 18 1,72

Augusto 66 30 1,68

O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado elemento da matriz.

68,13066

72,11850

65,12155

60,14260

70,12370

68,13066

72,11850

65,12155

60,14260

70,12370

ou

Conceito

Uma matriz Amxn pode ser entendida como um conjunto de mxn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas

e n colunas.

• As Matrizes são representadas por letras maiúsculas e devem ser escritas com parênteses ou colchetes à esquerda e à direita.

• Seus elementos são indicados usando a mesma letra, porém minúscula, com a linha e coluna usados como índice (nesta ordem). Assim, o elemento na 2ª linha e da 3ª coluna da matriz A será a23.

• Assim, na matriz abaixo, de 2 linhas e 3 colunas, temos:

8

1

6

3

7

2A

314B

5

3

4,0

C

Exemplos:

matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)

matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)

matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)

Representação Algébrica

*

21

22221

11211

...

nemcom

aaa

aaa

aaa

mnmm

n

n

Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)n x m

aij = i linha j coluna

Exemplos:

1. Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j.

2. Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por .

7

4

1

8

5

2

A

jise

jisea

ji

ij,0

,1

011

101

110

A

Tipos de Matrizes Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual

ao de colunas.

Matriz Transposta: É a matriz que se obtém trocando

ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz dada. Se B = (bij)mxn é transposta de A = (aij)mxn, então bij = aij.

632

420

531

A

645

323

201TA

tt BABA

AAtt

ttAKAK ..

tttBABA

tttABBA ..

Propriedades da Transposta:

(K real)

( no produto de A.B, inverte a ordem)

Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos

da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero.

Ex: matriz identidade matriz identidade

de 2ª ordem de 3ª ordem

1 0 01 0

0 1 00 1

0 0 1

A B

diagonal principal

2531A

Matriz Linha:

Matriz Coluna:

5

0

1

2

B

Matriz Nula: é a matriz que tem todos os elementos iguais a zero.

000

000

000

Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da

diagonal principal são iguais a zero.

Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou

abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

613

025

004

300

050

002

600

120

354Matriz Triangular Inferior

Matriz Triangular Superior

Igualdade de Matrizes • Devem ter a mesma ordem: mesmo número de

linhas e o mesmo número de colunas.

• Os elementos devem ser iguais aos seus correspondentes.

A matriz A2x2 é igual a matriz B se, somente se, a matriz B tiver também a ordem 2x2 e os elementos a11 = b11, a21 = b21, a12 = b12 e a22 = b22.

Adição e subtração de Matrizes A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem é uma matriz C = (aij)mxn tal que C = aij+ bij. A subtração de matrizes é dada pela sentença: A – B = A + (– B )

Propriedades da adição de Matrizes

a) A + B = B + A (COMUTATIVA)

b) (A + B) + C = A + (B + C) (ASSOCIATIVA)

c) A + 0 = 0 + A = A (ELEMENTO NEUTRO)

d) A + (-A) = (-A) + A = 0 (ELEMENTO OPOSTO

Para multiplicar um número real por uma matriz basta multiplicar esse

número por cada elemento da matriz.

Formalmente: .,,.;. jiakbBAk ijij

Exemplo:

1228

062

62242

023212

64

0312

xxx

Observação:

35

12

5

610

25

2

12

2

1

610

252 XXX

Produto de uma matriz por um escalar

Exemplos:

1)Considere as matrizes e

.

Calcular:

a)A - 3B b) A + B

312

021A

131

213B

2

1

450

123A

113

024B

02BAX

Dadas as matrizes e

, determine X tal que

.

2/532/3

2/122/1X

Exemplo:

Durante a 1ª fase da Copa do Mundo de 1998 (França), o grupo

do Brasil era formado também pela escócia, Marrocos e Noruega.

Os resultados estão registrados abaixo em uma matriz A, de

ordem 4 x 3.

País Vitória Empate Derrota

Brasil 2 0 1

Escócia 0 1 2

Marrocos 1 1 1

Noruega 1 2 0

Multiplicação de Matrizes

Então:

0

1

2

1

2

1

1

0

1

1

0

2

A

A pontuação pode ser descrita pela matriz B, de ordem 3 x 1

Número de Pontos

Vitória 3

Empate 1

Derrota 0

Então:

0

1

3

B

5001231:

4011131:cos

1021130:

6011032:

Noruega

Marro

Escócia

Brasil

5

4

1

6

AB

141334 xxx ABBA

Terminada a 1ª fase a pontuação é obtida com o total de pontos

feitos por cada país. Essa pontuação pode ser registrada numa matriz

que é representada por AB (produto de A por ).

Veja como é obtida a classificação:

Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de matrizes.

Observe a relação que existe entre as ordens das matrizes:

Observe que definimos o produto AB de duas matrizes quando

o número de colunas de A for igual ao de linhas de B; além

disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas

de A e o número de colunas de B.

pmpnnm ABBA

32232

121

x

A

2312

41

32

x

B

Exemplo:

e

Calcular: a) AB b) BA 22

203

102

x

Resp. a)

Observações: - Propriedade Comutativa A.B = B.A, não é válida na multiplicação de matrizes.

- Se ocorrer AB = BA, dizemos que as matrizes se comutam. Se A e B são matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), não podemos garantir que uma delas (A ou B) seja nula.

11

11A

11

11B

Exemplo: e

A.B =

00

00

1111

1111

11

11.11

11

1212

13

32122

50

968574

938271

9

8

7

654

321

EXERCÍCIOS

1. Efetue as multiplicações: Idéia básica:

Linha vezes coluna!!!

(1)

(2)

615

103

23405310

21425112

25

41

30

12

(3)

12711

171121

233213221342

213511251145

211

324

32

15