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EXERCICIOS DE ALGEBRA LINEAR

PEDRO MATIAS

Conteudo

Prefacio 3

Parte 1. Sistemas de equacoes lineares 4

Parte 2. Matrizes 10

Parte 3. Determinantes 16

Parte 4. Geometria analıtica 18

Parte 5. Espacos lineares 23

Parte 6. Transformacoes lineares 33

Parte 7. Valores proprios e vectores proprios 44

Bibliografia 47

1

Prefacio

Esta colectanea de exercıcios pretende reunir num documento unico as

varias listas de exercıcios utilizadas nas aulas praticas da disciplina de

Algebra Linear, leccionada por mim na Faculdade de Engenharia da Uni-

versidade Catolica Portuguesa (FE UCP) durante os anos lectivos 2006/07

e 2007/08.

Convem referir que a grande maioria dos exercıcios foi retirada do livro

Elementary Linear Algebra dos autores H. Anton e C. Rorres, o qual cons-

titui a referencia principal adoptada na disciplina.

Sendo esta a primeira versao da colectanea, ela contem certamente al-

gumas gralhas. O autor agradece que estas lhe sejam comunicadas, assim

como esta receptivo a todo o tipo de sugestoes que permitam melhorar o

documento.

Pedro Matias

[email protected]

Faculdade de Engenharia, UCP

Lisboa, 23 de Julho de 2008

3

Parte 1. Sistemas de equacoes lineares

1. Diga, justificando, quais das seguintes equacoes sao lineares:

(a) x + 7−1

3 y −√

5 z = 1

(b) 5x + xy − z = 0

(c) x = −π y + 2

3w −

√3z

(d) x2

5 + 8y − 5z = 71

3

2. Determine a solucao geral de cada uma das seguintes equacoes lineares:

(a) 7x − 5y = 3

(b) 3x − 5y + 4z = 7

(c) −8x + 2y − 5z + 6w = 1

(d) 3v − 8w + 2x − y + 4z = 0

3. Escreva a matriz aumentada correspondente a cada um dos seguintes

sistemas de equacoes lineares (SELs):

(a)

3x1 − 2x2 = −1

4x1 + 5x2 = 3

7x1 + 3x2 = 2

(b)

2x1 + + 2x3 = 1

3x1 − x2 + 4x3 = 7

6x1 + x2 − x3 = 0

(c)

x1 + 2x2 − x4 = 1

3x2 + x3 = 2

x3 + 7x4 = 1

4. Escreva o SEL correspondente a cada uma das seguintes matrizes aumen-

tadas:

(a)

2 0 0

3 −4 0

0 1 1

(b)

3 0 −2 5

7 1 4 −3

0 −2 1 7

(c)

[

7 2 1 −3 5

1 2 4 0 1

]

4

5. Use o metodo de eliminacao de Gauss para resolver cada um dos seguintes

SELs:

(a)

x1 + x2 + 2x3 = 8

−x1 − 2x2 + 3x3 = 1

3x1 − 7x2 + 4x3 = 10

(b)

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0

−2x1 + 5x2 + 2x3 = 1

8x1 + x2 + 4x3 = −1

(c)

x − y + 2z − w = −1

2x + y − 2z − 2w = −2

−x + 2y − 4z + w = 1

3x − 3w = −3

(d)

− 2b + 3c = 1

3a + 6b − 3c = −2

6a + 6b + 3c = 5

(e)

2x1 − 3x2 = −2

2x1 + x2 = 1

3x1 + 2x2 = 1

(f)

3x1 + 2x2 − x3 = −15

5x1 + 3x2 + 2x3 = 0

3x1 + x2 + 3x3 = 11

−6x1 − 4x2 + 2x3 = 30

(g)

4x1 − 8x2 = 12

3x1 − 6x2 = 9

−2x1 + 4x2 = −6

(h)

10y − 4z + w = 1

x + 4y − z + w = 2

3x + 2y + z + 2w = 5

−2x − 8y + 2z − 2w = −4

x − 6y + 3z = 1

5

6. Use o metodo de eliminacao de Gauss para resolver cada um dos seguintes

SELs:

(a)

{

5x1 − 2x2 + 6x3 = 0

−2x1 + x2 + 3x3 = 1

(b)

x1 − 2x2 + x3 − 4x4 = 1

x1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2

x1 − 12x2 − 11x3 − 16x4 = 5

(c)

2x1 + x2 + 3x3 = 0

x1 + 2x2 = 0

x2 + x3 = 0

(d)

{

3x1 + x2 + x3 + x4 = 0

5x1 − x2 + x3 − x4 = 0

(e)

2x + 2y + 4z = 0

w − y − 3z = 0

2w + 3x + y + z = 0

−2w + x + 3y − 2z = 0

(f)

2x − y − 3z = 0

−x + 2y − 3z = 0

x + y + 4z = 0

7. Determine a solucao geral dos SELs em funcao dos parametros a, b, c ∈ R.

(a)

{

2x + y = a

3x + 6y = b(b)

x1 + x2 + x3 = a

2x1 + 2x3 = b

3x2 + 3x3 = c

8. Considere o seguinte SEL:

{

x + 2y = 3

αy = β

Determine os valores dos parametros α, β ∈ R que tornam o SEL

(a) possıvel e determinado;

(b) possıvel e indeterminado;

(c) impossıvel.

6


x + 2y − 3z = 4

3x − y + 5z = 2

4x + y + (a2 − 14)z = a + 2

Determine os valores do parametro a ∈ R que tornam o SEL

(a) possıvel e determinado;

(b) possıvel e indeterminado;

(c) impossıvel.


ax + y − z = 1

y + z = b

x + 2y = 0

cx + 2y + 2z = b − 1

(a) Determine os valores dos parametros a, b, c ∈ R que tornam o SEL

(i) possıvel e determinado;

(ii) possıvel e indeterminado;

(iii) impossıvel.

(b) Resolva o SEL para (a, b, c) = (−1,−1, 0).

11. Diga, justificando, para que valores do parametro λ ∈ R o SEL{

(λ − 3)x + y = 0

x + (λ − 3) y = 0

tem solucoes nao triviais.

12. Mostre que o SEL

x + y + 2z = 2

2x − y + 3z = 2

5x − y + az = 6

e possıvel e determinado se e so se a 6= 8. Determine a solucao geral do

SEL para a = 8.

13. Diga para que valores de α, β ∈ R o SEL

x + y + z = 2

x − y + z = 2

αx − z = −2

3x + y + βz = 6

e possıvel e indeterminado.7

14. Mostre que o SEL

x + y + 2z = a

x + z = b

2x + y + 3z = c

e possıvel se e so se a + b = c.

15. A curva y = ax2 + bx + c passa nos pontos (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3).

Mostre que os coeficientes a, b, c ∈ R sao solucao do SEL 3×3 cuja matriz

aumentada e

x21 x1 1 y1

x22 x2 1 y2

x23 x3 1 y3

.

16. Determine quais das seguintes matrizes sao em escada de linhas e/ou em

escada de linhas reduzidas:

(a)

1 2 0 3 0

0 0 1 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

(b)

1 0 0 5

0 0 1 3

0 1 0 4

(c)

[

1 0 3 1

0 1 2 4

]

(d)

[

1 −7 5 5

0 1 3 2

]

(e)

1 3 0 2 0

1 0 2 2 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

(f)

0 0

0 0

0 0

8

17. Aplique o metodo de eliminacao de Gauss-Jordan para transformar a

matriz

2 1 3

0 −2 −29

3 4 5

na sua forma em escada de linhas reduzida.

18. Aplique o metodo de eliminacao de Gauss de duas maneiras diferentes

para mostrar que a matriz[

1 3

2 7

]

admite formas em escada de linhas distintas.

19. Mostre que, se ad − bc 6= 0, entao a matriz em escada de linhas reduzida

de[

a b

c d

]

e[

1 0

0 1

]

20. Use o exercıcio anterior para mostrar que o SEL{

ax + by = k

cx + dy = l

e possıvel e determinado se ad − bc 6= 0.

9

Parte 2. Matrizes

1. Determine a matriz A de dimensao 6 × 6 e entradas aij satisfazendo a

condicao especificada. Escreva as respostas na forma mais geral possıvel,

colocando letras nas entradas nao nulas.

(a) aij = 0 se i 6= j

(b) aij = 0 se i > j

(c) aij = 0 se i < j

(d) aij = 0 se |i − j| > 1

2. Determine a matriz B de dimensao 4 × 4 e entradas bij satisfazendo a

condicao especificada.

(a) bij = i + j

(b) bij = ij−1

(c) bij =

1 se |i − j| > 1

−1 se |i − j| ≤ 1

3. Sejam A, B, C, D e E matrizes com as seguintes dimensoes:

A B C D E

(4 × 5) (4 × 5) (5 × 2) (4 × 2) (5 × 4)

Determine quais das seguintes operacoes estao bem definidas e, em caso

afirmativo, determine a dimensao da matriz resultante.

(a) BA (b) AC + D (c) AE + B (d)AB + B

(e) E(A + B) (f) E(AC) (g) ET A (h) (AT + E)D

4. Considere as matrizes

A =

3 0

−1 2

1 1

, B =

[

4 −1

0 2

]

, C =

[

1 4 2

3 1 5

]

,

D =

1 5 2

−1 0 1

3 2 4

, E =

6 1 3

−1 1 2

4 1 3

.

10

Verifique se as seguintes operacoes estao bem definidas e, em caso afir-

mativo, efectue o calculo.

(a) D + E (b) 5A (c) 2B − C

(d) − 3(D + 2E) (e) tr(D − 3E) (f) 2AT + C

(g) DT − ET (h) BT + 5CT (i) B − BT

(j) (2ET − 3DT )T (k) AB (l) BA

(m) (AB)C (n) A(BC) (o) CCT

(p) (DA)T (q) (CT B)AT (r) tr(4ET − D)

(s) tr(CT AT + 2ET ) (t) (2DT − E)A (u) (4B)C + 2B

(v) (−AC)T + 5DT (w) (BAT − 2C)T (x) BT (CCT − AT A)

5. Sejam A e B duas matrizes.

(a) Mostre que, se AB e BA sao operacoes bem definidas, entao AB e

BA sao matrizes quadradas.

(b) Mostre que, se A e uma matriz m× n e A(BA) e uma operacao bem

definida, entao B e uma matriz n × m.


A =

2 −1 3

0 4 5

−2 1 4

, B =

8 −3 −5

0 1 2

4 −7 6

, C =

0 −2 3

1 7 4

3 5 9

e os escalares a = 4, b = −7. Mostre que:

(a) A + (B + C) = (A + B) + C (b) (AB)C = A(BC)

(c) (a + b)C = aC + bC (d) a(B − C) = aB − aC

(e) a(BC) = (aB)C = B(aC) (f) A(B − C) = AB − AC

(g) (B + C)A = BA + CA (h) a(bC) = (ab)C

(i) (AT )T = A (j) (A + B)T = AT + BT

(k) (aC)T = aCT (l) (AB)T = BT AT

11

7. Resolva a seguinte equacao matricial:

[

a − b b + c

3d + c 2a − 4d

]

=

[

8 1

7 6

]

.

8. Uma matriz quadrada A diz-se simetrica se AT = A e anti-simetrica

se AT = −A. Mostre que, se B e uma matriz quadrada, entao

(a) BBT e B + BT sao simetricas.

(b) B − BT e anti-simetrica.

9. Mostre que, se A e uma matriz quadrada, entao (An)T = (AT )n para

todo o n ∈ N.

10. Mostre que, se A e uma matriz quadrada e k ∈ R, entao (kA)n = knAn

para todo o n ∈ N.

11. Mostre que, se A e uma matriz invertıvel e AB = AC, entao B = C.

12. Sejam A e B duas matrizes quadradas com as mesmas dimensoes.

(a) De um exemplo onde (A + B)2 6= A2 + 2AB + B2.

(b) Complete a seguinte igualdade (A+B)2 = , valida para todas

as matrizes A e B.

(c) De um exemplo onde (A + B)(A − B) 6= A2 − B2.

(d) Complete a seguinte igualdade (A + B)(A − B) = , valida

para todas as matrizes A e B.

13. Sejam A e B duas matrizes quadradas. Indique, justificando, se as se-

guintes afirmacoes sao sempre verdadeiras ou as vezes falsas.

(a) (AB)2 = A2B2

(b) (A − B)2 = (B − A)2

(c) (AB−1)(BA−1) = I

(d) AB 6= BA

14. Supondo que todas as matrizes sao quadradas e invertıveis, resolva a

seguinte equacao em ordem a D:

ABCTDBATC = ABT .


A =

[

0 1

0 2

]

, B =

[

a b

c d

]

.

Determine a forma geral de B tal que

(a) AB = 02×2

(b) BA = 02×2

12

16. Condidere as matrizes

A =

[

2 −1

−2 3

]

, B =

[

7 6

8 8

]

.

Determine as matrizes C e D, ambas de dimensao 2 × 2, tais que

(a) AC = B

(b) DA = B

17. Diga, justificando, quais das seguintes matrizes sao elementares.

(a)

[

1 0

−5 1

]

(b)

[

−5 1

1 0

]

(c)

[

1 0

0√

3

]

(d)

1 1 0

0 0 1

0 0 0

(e)

1 0 0

0 1 9

0 0 1

(f)

2 0 0 2

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

18. Determine uma operacao elementar que transforma cada uma das seguin-

tes matrizes elementares na matriz identidade respectiva.

(a)

[

1 0

−3 1

]

(b)

1 0 0

0 1 0

0 0 3

(c)

0 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0


A =

3 4 1

2 −7 −1

8 1 5

, B =

8 1 5

2 −7 −1

3 4 1

, C =

3 4 1

2 −7 −1

2 −7 3

.

Encontre matrizes elementares E1, E2, E3, e E4 tais que

(a) E1A = B;

(b) E2B = A;

(c) E3A = C;

(d) E4C = A.

20. Considere a matriz

A =

[

1 0

−5 2

]

.

(a) Encontre matrizes elementares E1 e E2 tais que E2E1A = I2.

(b) Escreva A−1 como o produto de duas matrizes elementares.

(c) Escreva A como o produto de duas matrizes elementares.

13


B =

1 0 −2

0 4 3

0 0 1

.

(a) Encontre matrizes elementares E1, E2 e E3 tais que E3E2E1B = I3.

(b) Escreva B como o produto de matrizes elementares.

22. Determine, caso existam, as inversas das seguintes matrizes:

(a)

[

1 4

2 7

]

(b)

[

−3 6

4 5

]

(c)

3 4 −1

1 0 3

2 5 −4

(d)

−1 3 −4

2 4 1

−4 2 −9

(e)

1 0 1

0 1 1

1 1 0

(f)

2 6 6

2 7 6

2 7 7

(g)

1 0 1

−1 1 1

0 1 0

(h)

1

5

1

5−2

5

1

5

1

5

1

10

1

5−4

5

1

10

(i)

1 2 2

2 −1 1

1 3 2

(j)

−8 17 2 1

3

4 0 2

5−9

0 0 0 0

−1 13 4 2

(k)

0 0 2 0

1 0 0 1

0 −1 3 0

2 1 5 −3

(l)

1 0 0 0

1 3 0 0

1 3 5 0

1 3 5 7

23. Determine, caso existam, as inversas das seguintes matrizes:

(a)

k1 0 0 0

0 k2 0 0

0 0 k3 0

0 0 0 k4

(b)

0 0 0 k1

0 0 k2 0

0 k3 0 0

k4 0 0 0

(c)

k 0 0 0

1 k 0 0

0 1 k 0

0 0 1 k

,

onde k1, k2, k3, k4 e k sao parametros reais nao nulos.

24. Mostre que, se

C =

1 0 0

0 1 0

a b c

e uma matriz elementar, entao ab = 0 e c 6= 0.

25. Resolva a seguinte equacao matricial:

1 −1 1

2 3 0

0 2 −1

X =

2 −1 5 7 8

4 0 −3 0 1

3 5 −7 2 1

.

14

26. Resolva os seguintes SELs a partir da inversao da matriz dos coeficientes.

(a)

{

x1 + x2 = 2

5x1 + 6x2 = 9

(b)

{

4x1 − 3x2 = −3

2x1 − 5x2 = 9

(c)

x1 + 3x2 + x3 = 4

2x1 + 2x2 + x3 = −1

2x1 + 3x2 + x3 = 3

(d)

− x − 2y − 3z = 0

w + x + 4y + 4z = 7

w + 3x + 7y + 9z = 4

−w − 2x − 4y − 6z = 6


A =

2 1 2

2 2 −2

3 1 1

e x =

x1

x2

x3

.

(a) Mostre que a equacao Ax = x pode escrever-se na forma (A−I3)x =

0 e use este resultado para resolver a equacao Ax = x.

(b) Resolva a equacao Ax = 4x.

28. Seja Ax = 0 um SEL n×n homogeneo com solucao unica trivial. Mostre

que o SEL homogeneo Akx = 0 tambem tem solucao unica trivial para

todo o k ∈ N.

29. Sejam Ax = 0 um SEL n×n homogeneo e Q uma matriz n×n invertıvel.

Mostre que Ax = 0 tem solucao unica trivial se e so se (QA)x = 0 tem

solucao unica trivial.

15

Parte 3. Determinantes


A =

1 −2 3

6 7 −1

−3 1 4

.

(a) Determine todos os menores de A.

(b) Determine todos os cofactores de A.

(c) Determine a matriz adjunta de A.

(d) Use a alınea anterior para calcular A−1.

2. Repita o exercıcio anterior para a matriz

B =

4 −1 1 6

0 0 −3 3

4 1 0 14

4 1 3 2

.

3. Use a formula

A−1 =1

det(A)adj(A)

para calcular a inversa das seguintes matrizes:

(a)

2 5 5

−1 −1 0

2 4 3

(b)

2 0 3

0 3 2

−2 0 −4

(c)

2 −3 5

0 1 −3

0 0 2

4. Mostre que a matriz

A =

cos θ sin θ 0

− sin θ cos θ 0

0 0 1

e invertıvel para todo o θ ∈ R e determine A−1.

5. Mostre que, se A e uma matriz cujas entradas sao numeros inteiros e

det(A) = 1, entao A−1 e tambem uma matriz cujas entradas sao numeros

inteiros.

6. Mostre que a equacao de uma recta no plano que passa nos pontos (a1, b1)

e (a2, b2) pode escrever-se como

det

x y 1

a1 b1 1

a2 b2 1

= 0.

16

7. Calcule o determinante das seguintes matrizes elementares sem recorrer

a formula de Laplace.

(a)

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −5 0

0 0 0 1

(b)

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

(c)

1 0 0 0

0 1 0 −9

0 0 1 0

0 0 0 1

8. Sabendo que

det

a b c

d e f

g h i

= −6,

calcule

(a) det

d e f

g h i

a b c

(b) det

3a 3b 3c

−d −e −f

4g 4h 4i

(c) det

a + g b + h c + i

d e f

g h i

(d) det

−3a −3b −3c

d e f

g − 4d h − 4e i − 4f


A =

a b c

d e f

g h i

.

Sabendo que det(A) = −7, calcule

(a) det(3A);

(b) det(A−1);

(c) det(2A−1);

(d) det((2A)−1);

10. Determine os valores de k ∈ R que tornam as seguintes matrizes nao

invertıveis.

(a)

[

k − 3 −2

−2 k − 2

]

(b)

1 2 4

3 1 6

k 3 2

11. Sejam A e B duas matrizes n × n. Mostre que, se A e invertıvel, entao

det(B) = det(A−1BA).

12. Mostre que uma matriz quadrada e invertıvel se e so se AT A e invertıvel.

17

Parte 4. Geometria analıtica

1. Determine tres numeros c1, c2, c3 ∈ R tais que

c1(−3, 1, 2) + c2(4, 0,−8) + c3(6,−1,−4) = (2, 0, 4).

2. Mostre que nao existem c1, c2, c3 ∈ R tais que

c1(−2, 9, 6) + c2(−3, 2, 1) + c3(1, 7, 5) = (0, 5, 4).

3. Determine todos os numeros c1, c2, c3 ∈ R tais que

c1(1, 2, 0) + c2(2, 1, 1) + c3(0, 3, 1) = (0, 0, 0).

4. Sejam u, v e w tres vectores arbitrarios em R2 ou R

3 e sejam α, β ∈ R.

Mostre analiticamente que:

(a) u + v = v + u;

(b) (u + v) + w = u + (v + w);

(c) u + 0 = 0 + u = u;

(d) u + (−u) = 0;

(e) α(βu) = (αβ)u;

(f) α(u + v) = αu + αv;

(g) (α + β)u = αu + βu;

(h) 1u = u,

Estas oito propriedades conferem aos espacos R2 e R

3 a estrutura algebrica

de espaco linear.

5. Mostre que ||αu|| = |α|||u|| para todo o vector u em R2 ou R

3 e todo o

α ∈ R.

6. Sejam u = (2,−2, 3), v = (1,−3, 4) e w = (3, 6,−4). Calcule

(a) ||u + v||(b) ||u|| + ||v||(c) ||−2u|| + 2||u||(d) ||3u − 5v + w||(e) 1

||w||w

(f)∣

∣

∣

∣

∣

∣

1

||w||w

∣

∣

∣

∣

∣

∣

7. Determine todos os valores de α ∈ R tais que ||α(−1, 2, 5)|| = 4.

8. Mostre que

||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||

para quaisquer vectores u,v em R2 ou R

3. Esta desigualdade e conhecida

por desigualdade triangular.

9. Mostre que, se v e um vector nao nulo, entao 1

||v||v e um vector unitario.

18

10. Use o resultado do exercıcio anterior para

(a) encontrar um vector unitario com a mesma direccao do vector (3, 4).

(b) encontrar um vector unitario com o sentido oposto ao vector (−2, 3,−6).

11. Calcule a projeccao ortogonal do vector u no vector a, onde

(a) u = (6, 2), a = (3,−9)

(b) u = (3, 1,−7), a = (1, 0, 5)

12. Calcule ||proja u||, onde

(a) u = (1,−2), a = (−4,−3)

(b) u = (3, 0, 4), a = (2, 3, 3)

13. Sejam u, v e w vectores arbitrarios em R2 ou R3 e α ∈ R. Mostre as

seguintes propriedades do produto interno:

(a) u · v = v · u(b) u · (v + w) = u · v + u · w(c) α(u · v) = (αu) · v = u · (αv)

(d) v · v > 0 se v 6= 0

14. Considere os vectores u = (3, 4), v = (5,−1) e w = (7, 1). Calcule

(a) u · (7v + w)

(b) ||(u · v)w||(c) ||u||(v · w)

(d) (||u||v) · w15. Mostre que os pontos A(3, 0, 2), B(4, 3, 0) e C(8, 1,−1) sao os vertices de

um triangulo rectangulo. Determine em qual dos vertices se encontra o

angulo recto.

16. Considere os vectores p = (2, k) e q = (3, 5). Determine o parametro

k ∈ R tal que

(a) p e q sejam paralelos.

(b) p e q sejam perpendiculares.

(c) o angulo entre p e q seja π/3.

(d) o angulo entre p e q seja π/4.

17. Mostre que

||u + v||2 + ||u − v||2 = 2||u||2 + 2||v||2


3. Esta equacao e conhecida

por lei do paraleologramo pois afirma que a soma dos quadrados dos

comprimentos das diagonais do paralelogramo definido por u e v e igual

a soma dos quadrados dos comprimentos dos lados do mesmo paralelo-

gramo.19

18. Mostre que

u · v =1

4||u + v||2 − 1

4||u − v||2


3.

19. Considere os vectores u = (3, 2,−1), v = (0, 2,−3) e w = (2, 6, 7). Cal-

cule

(a) v × w

(b) u × (v × w)

(c) (u × v) × w

(d) (u × v) × (v × w)

(e) u × (v − 2w)

(f) (u × v) − 2w

20. Sejam u, v e w vectores arbitrarios em R3 e seja α ∈ R. Mostre as

seguintes propriedades do produto externo:

(a) u · (u × v) = 0

(b) v · (u × v) = 0

(c) ||u × v||2 = ||u||2 ||v||2 − (u · v)2 (identidade de Lagrange)

(d) u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w

(e) (u × v) × w = (u · w)v − (v · w)u

(f) u × v = −v × u

(g) u × (v + w) = (u × v) + (u × w)

(h) (u + v) × w = (u × w) + (v × w)

(i) α(u × v) = (αu) × v = u × (αv)

(j) u × 0 = 0 × u = 0

(k) u × u = 0

21. Simplifique a expressao (u + v) × (u − v).

22. Use o produto externo para encontrar o seno do angulo entre os vectores

u = (2, 3,−6) e v = (2, 3, 6).

23. Seja u um vector com ponto de aplicacao numa recta r e ponto extre-

midade num ponto P exterior a recta e seja v um vector director de r.

Mostre que a distancia de P a r e dada por

d =||u × v||||v|| .

Sugestao: use a identidade de Lagrange.

24. Use o resultado da alınea anterior para calcular a distancia entre o ponto

P (−3, 1, 2) e a recta que passa nos pontos A(1, 1, 0) e B(−2, 3,−4).20

25. Sejam u e v dois vectores arbitrarios em R3 tais que u · v 6= 0. Mostre

que

tan θ =||u × v||

u · v ,

onde θ e o angulo entre u e v.

26. Determine uma equacao geral do plano que passa nos pontos P (−4,−1,−1),

Q(−2, 0, 1) e R(−1,−2,−3).

27. Determine se os seguintes planos sao paralelos:

(a) 4x − y + 2z = 5 e 7x − 3y + 4z = 8

(b) x − 4y − 3z − 2 = 0 e 3x − 12y − 9z − 7 = 0

28. Determine se a recta r e o plano π sao paralelos:

(a) r : x = −5 − 4t, y = 1 − t, z = 3 + 2t; π : x + 2y + 3z − 9 = 0

(b) r : x = 3t, y = 1 + 2t, z = 2 − t; π : 4x − y + 2z = 1

29. Determine se os seguintes planos sao perpendiculares:

(a) 3x − y + z = 4 e x + 2z = −1

(b) x − 2y + 3z − 4 = 0 e −2x + 5y + 4z + 1 = 0

30. Determine se a recta r e o plano π sao perpendiculares:

(a) r : x = −2 − 4t, y = 3 − 2t, z = 1 + 2t; π : 2x + y − z = 5

(b) r : x = 2 + t, y = 1 − t, z = 5 + 3t; π : 6x + 6y − 7 = 0

31. Encontre equacoes parametricas para a recta que passa nos pontos (5,−2, 4)

e (7, 2,−4).

32. Encontre equacoes parametricas para a recta que resulta da interseccao

dos planos 7x − 2y + 3z = −2 e −3x + y + 2z + 5 = 0.

33. Mostre que a recta de equacoes parametricas x = 0, y = t, z = t

(a) esta contida no plano de equacao 6x + 4y − 4z = 0.

(b) e paralela ao plano de equacao 5x − 3y + 3z = 1.

34. Determine uma equacao geral para o plano que passa no ponto (−2, 1, 7)

e e perpendicular a recta x − 4 = 2t, y + 2 = 3t, z = −5t.

35. Determine uma equacao geral para cada um dos planos coordenados.

36. Determine a interseccao do plano 2x − 3y + 4z + 7 = 0 com a recta

x − 9 = −5t, y + 1 = −t, z − 3 = t.

37. Determine uma equacao geral para o plano que passa no ponto (2, 4,−1)

e contem a recta que resulta da interseccao dos planos x − y − 4z = 2 e

−2x + y + 2z = 3.

38. Mostre que as rectas x = 3−2t, y = 4+t, z = 1−t e x = 5+2t, y = 1−t,

z = 7 + t sao paralelas e encontre uma equacao geral para o plano que

elas definem.21

39. Determine uma equacao geral para o plano que contem o ponto (1,−1, 2)

e a recta x = t, y = t + 1, z = −3 + 2t.

40. Mostre que o plano que intersecta os eixos coordenados em x = a, y = b

e z = c tem equacao geral

x

a+

y

b+

z

c= 1.

22

Parte 5. Espacos lineares

1. Determine quais dos seguintes conjuntos tem estrutura de espaco linear

relativamente as operacoes algebricas dadas.

(a) V = R3 com as operacoes (x, y, z)+ (x′, y′, z′) = (x+x′, y +y′, z + z′)

e α(x, y, z) = (αx, y, z).

(b) V = R2 com as operacoes (x, y)+(x′, y′) = (x+x′, y +y′) e α(x, y) =

(2αx, 2αy).

(c) V = {(x, 0) ∈ R2 | x ∈ R} com as operacoes usuais de soma de

vectores e multiplicacao de vectores por numeros reais em R2.

(d) V = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0)} com as operacoes usuais de soma de

vectores e multiplicacao de vectores por numeros reais em R2.

(e) V = {(x, . . . , x) ∈ Rn | x ∈ R} com as operacoes usuais de soma de

vectores e multiplicacao de vectores por numeros reais em Rn.

(f) V =

{[

x 1

1 y

]

∈ M2×2 | x, y ∈ R

}

com as operacoes usuais de soma

de matrizes e multiplicacao de matrizes por numeros reais.

(g) V = {f ∈ F (R) | f(1) = 0} com as operacoes usuais de soma de

funcoes e multiplicacao de funcoes por numeros reais.

(h) V = {(1, y) ∈ R2 | y ∈ R} com as operacoes (1, y)+(1, y′) = (1, y+y′)

e α(1, y) = (1, αy).

(i) V = R+ com as operacoes x + y = xy e αx = xα.

2. Mostre que o conjunto

V =

{[

x 1

1 y

]

∈ M2×2 | x, y ∈ R

}

com as operacoes

[

x 1

1 y

]

+

[

x′ 1

1 y′

]

=

[

x + x′ 1

1 y + y′

]

α

[

x 1

1 y

]

=

[

αx 1

1 αy

]

e um espaco linear. Qual e o vector zero de V ?

3. Considere o conjunto

V =

{[

x y

z w

]

∈ M2×2 | x, y, z, w ∈ R

}

23

com as operacoes

[

x y

z w

]

+

[

x′ y′

z′ w′

]

=

[

x y

z w

] [

x′ y′

z′ w′

]

α

[

x y

z w

]

=

[

αx αy

αz αw

]

.

Determine, justificando, se V e um espaco linear.

4. Seja V um espaco linear real, u ∈ V e α ∈ R. Use os axiomas de espaco

linear para mostrar que

(a) 0u = 0

(b) α0 = 0

(c) (−1)u = −u

(d) se αu = 0 entao α = 0 ou u = 0

5. Mostre que qualquer recta em R3 que passa na origem e um subespaco

linear de R3.

6. Mostre que qualquer plano em R3 que passa na origem e um subespaco

linear de R3.

7. Determine quais dos seguintes conjuntos sao subespacos lineares de R3.

(a) W = {(x, y, z) ∈ R3 | y = z = 0}

(b) W = {(x, y, z) ∈ R3 | y = z = 1}

(c) W = {(x, y, z) ∈ R3 | y = x + z}(d) W = {(x, y, z) ∈ R

3 | y = x + z + 1}

8. Determine quais dos seguintes conjuntos sao subespacos lineares de M2×2.

(a) W =

{[

x y

z w

]

∈ M2×2 | x, y, z, w ∈ Z

}

(b) W =

{[

x y

z w

]

∈ M2×2 | x + y + z + w = 0

}

(c) W =

{[

x y

z w

]

∈ M2×2 | xw − yz = 0

}

(d) W =

{[

x y

0 w

]

∈ M2×2 | x, y,w ∈ R

}

9. Determine quais dos seguintes conjuntos sao subespacos lineares de P3.

(a) W = {a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 ∈ P3 | a0 = 0}(b) W = {a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 ∈ P3 | a0 + a1 + a2 + a3 = 0}

(c) W = {a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 ∈ P3 | a0, a1, a2, a3 ∈ Z}(d) W = {a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 ∈ P3 | a2 = a3 = 0}24

10. Determine quais dos seguintes conjuntos sao subespacos lineares de F (R).

(a) W = {f ∈ F (R) | f(x) ≤ 0, ∀x ∈ R}(b) W = {f ∈ F (R) | f(0) = 2}(c) W = {f ∈ F (R) | f(x) = k, onde k ∈ R}(d) W = {f ∈ F (R) | f(x) = k1 + k2 sin(x), onde k1, k2 ∈ R}

11. Determine quais dos seguintes conjuntos sao subespacos lineares de Mn×n.

(a) W = {A ∈ Mn×n | tr(A) = 0}(b) W = {A ∈ Mn×n | AT = −A}(c) W = {A ∈ Mn×n | o SEL Ax = 0 admite so a solucao trivial}(d) W = {A ∈ Mn×n | AB = BA para uma matriz fixaB ∈ Mn×n}

12. Mostre que o conjunto solucao de um SEL m×n nao homogeneo Ax = b

nao e um subespaco linear de Rn.

13. Considere o conjunto S = {(0,−2, 2), (1, 3,−1)}. Quais dos seguintes

vectores sao uma combinacao linear de elementos de S?

(a) (2, 2, 2)

(b) (3, 1, 5)

(c) (0, 4, 5)

(d) (0, 0, 0)

14. Considere o conjunto S = {(2, 1, 4), (1,−1, 3), (3, 2, 5)}. Escreva os se-

guintes vectores como uma combinacao linear de elementos de S.

(a) (−9,−7,−15)

(b) (6, 11, 6)

(c) (0, 0, 0)

(d) (7, 8, 9)

15. Considere o conjunto S = {2+x+4x2, 1−x+3x2, 3+2x+5x2}. Escreva

os seguintes polinomios como uma combinacao linear de elementos de S.

(a) −9 − 7x − 15x2

(b) 6 + 11x + 6x2

(c) 0

(d) 7 + 8x + 9x2

16. Considere o conjunto

S =

{[

4 0

−2 −2

]

,

[

1 −1

2 3

]

,

[

0 2

1 4

]}

.

Determine quais das seguintes matrizes sao uma combinacao linear de

elementos de S.

(a)

[

6 −8

−1 −8

]

(b)

[

0 0

0 0

]

(c)

[

6 0

3 8

]

(d)

[

−1 5

7 1

]

25

17. Determine se cada um dos seguintes conjuntos gera R3.

(a) S = {(2, 2, 2), (0, 0, 3), (0, 1, 1)}(b) S = {(2,−1, 3), (4, 1, 2), (8,−1, 8)}(c) S = {(3, 1, 4), (2,−3, 5), (5,−2, 9), (1, 4,−1)}(d) S = {(1, 2, 6), (3, 4, 1), (4, 3, 1), (3, 3, 1)}

18. Determine se o conjunto S = {1−x+2x2, 3+x, 5−x+4x2,−2−2x+2x2}gera P2.

19. Considere o conjunto S = {(2, 1, 0, 3), (3,−1, 5, 2), (−1, 0, 2, 1)}. Deter-

mine quais dos seguintes vectores pertencem ao conjunto Span(S).

(a) (2, 3,−7, 3)

(b) (0, 0, 0, 0)

(c) (1, 1, 1, 1)

(d) (−4, 6,−13, 4)

20. Quais dos seguintes conjuntos sao linearmente independentes?

(a) S = {(−1, 2, 4), (5,−10,−20)}(b) S = {(3,−1), (4, 5), (−4, 7)}(c) S = {3 − 2x + x2, 6 − 4x + 2x2}

(d) S =

{[

−3 4

2 0

]

,

[

3 −4

−2 0

]}

21. Quais dos seguintes conjuntos sao linearmente dependentes?

(a) S = {(3, 8, 7,−3), (1, 5, 3,−1), (2,−1, 2, 6), (1, 4, 0, 3)}(b) S = {(0, 0, 2, 2), (3, 3, 0, 0), (1, 1, 0,−1)}(c) S = {(0, 3,−3,−6), (−2, 0, 0,−6), (0,−4,−2,−2), (0,−8, 4,−4)}(d) S = {(3, 0,−3, 6), (0, 2, 3, 1), (0,−2,−2, 0), (−2, 1, 2, 1)}

22. Quais dos seguintes conjuntos sao linearmente dependentes?

(a) S = {2 − x + 4x2, 3 + 6x + 2x2, 2 + 10x − 4x2}(b) S = {3 + x + x2, 2 − x + 5x2, 4 − 3x2}(c) S = {6 − x2, 1 + x + 4x2}(d) S = {1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x − x2}

23. Determine todos os valores do parametro λ ∈ R que tornam o conjunto

S =

{(

λ,−1

2,−1

2

)

,

(

−1

2, λ,−1

2

)

,

(

−1

2,−1

2, λ

)}

linearmente dependente.

24. Determine quais dos seguintes conjuntos sao bases de R2.

(a) {(2, 1), (3, 0)}(b) {(4, 1), (−7,−8)}(c) {(0, 0), (1, 3)}

26

25. Determine quais dos seguintes conjuntos sao bases de R3.

(a) {(1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)}(b) {(3, 1,−4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)}(c) {(2,−3, 1), (4, 1, 1), (0,−7, 1)}

26. Determine quais dos seguintes conjuntos sao bases de P2.

(a) {1 − 3x + 2x2, 1 + x + 4x2, 1 − 7x}(b) {4 + 6x + x2,−1 + 4x + 2x2, 5 + 2x − x2}(c) {1 + x + x2, x + x2, x2}

27. Mostre que o conjunto{[

3 6

3 −6

]

,

[

0 −1

−1 0

]

,

[

0 −8

−12 −4

]

,

[

1 0

−1 2

]}

e uma base de M2×2.

28. Explique porque e que os seguintes conjuntos nao sao bases dos respecti-

vos espacos lineares.

(a) {(1, 2), (0, 3), (2, 7)} em R2

(b) {(−1, 3, 2), (6, 1, 1)} em R3

(c) {1 + x + x2, x − 1} em P2

(d)

{[

1 1

2 3

]

,

[

6 0

−1 4

]

,

[

3 0

1 7

]

,

[

5 1

4 2

]

,

[

7 1

2 9

]}

em M2×2

29. Para cada uma das alıneas, determine as coordenadas do vector w em

relacao a base B = {v1,v2} de R2.

(a) w = (3,−7), v1 = (1, 0), v2 = (0, 1)

(b) w = (1, 1), v1 = (2,−4), v2 = (3, 8)

30. Para cada uma das alıneas, determine as coordenadas do vector w em

relacao a base B = {v1,v2,v3} de R3.

(a) w = (2,−1, 3), v1 = (1, 0, 0), v2 = (2, 2, 0), v3 = (3, 3, 3)

(b) w = (5,−12, 3), v1 = (1, 2, 3), v2 = (−4, 5, 6), v3 = (7,−8, 9)

31. Para cada uma das alıneas, determine as coordenadas do polinomio p(x)

em relacao a base B = {p1(x), p2(x), p3(x)} de P2.

(a) p(x) = 4 − 3x + x2, p1(x) = 1, p2(x) = x, p3(x) = x2

(b) p(x) = 2 − x + x2, p1(x) = 1 + x, p2(x) = 1 + x2, p3(x) = x + x2

32. Determine as coordenadas da matriz

A =

[

2 0

−1 3

]

em relacao a base

B =

{[

−1 1

0 0

]

,

[

1 1

0 0

]

,

[

0 0

1 0

]

,

[

0 0

0 1

]}

⊂ M2×2.

27

33. Determine bases para cada um dos seguintes subespacos lineares de R3 e

indique as respectivas dimensoes.

(a) o plano 3x − 2y + 5z = 0

(b) o plano x − y = 0

(c) a recta x = 2t, y = −t, z = 4t

(d) todos os vectores da forma (x, y, z), onde y = x + z

34. Determine bases para cada um dos seguintes subespacos lineares de R4 e

indique as respectivas dimensoes.

(a) todos os vectores da forma (x, y, z, 0)

(b) todos os vectores da forma (x, y, z, w), onde w = x + y e z = x − y

(c) todos os vectores da forma (x, y, z, w), onde x = y = z = w

35. Determine a dimensao do subespaco linear de P3 formado por todos os

polinomios da forma a0 + a1x + a2x2 + a3x

3, onde a0 = 0.

36. Determine uma base para o espaco de solucoes dos seguintes SELs ho-

mogeneos e indique as respectivas dimensoes.

(a)

x1 + x2 − x3 = 0

−2x1 − x2 + 2x3 = 0

−x1 + x3 = 0

(b)

{

3x1 + x2 + x3 + x4 = 0

5x1 − x2 + x3 − x4 = 0

(c)

{

x1 − 4x2 + 3x3 − x4 = 0

2x1 − 8x2 + 6x3 − 2x4 = 0

(d)

x1 − 3x2 + x3 = 0

2x1 − 6x2 + 2x3 = 0

3x1 − 9x2 + 3x3 = 0

(e)

2x1 + x2 + 3x3 = 0

x1 + 5x3 = 0

x2 + x3 = 0

(f)

x1 + x2 + x3 = 0

3x1 + 2x2 − 2x3 = 0

4x1 + 3x2 − x3 = 0

6x1 + 5x2 + x3 = 0

28

37. Determine bases para o espaco das linhas, espaco das colunas e nucleo de

cada uma das seguintes matrizes.

A =

1 −1 3

5 −4 −4

7 −6 2

B =

2 0 −1

4 0 −2

0 0 0

C =

1 4 5 2

2 1 3 0

−1 3 2 2

D =

1 4 5 6 9

3 −2 1 4 −1

−1 0 −1 −2 −1

2 3 5 7 8

E =

1 −3 2 2 1

0 3 6 0 −3

2 −3 −2 4 4

3 −6 0 6 5

−2 9 2 −4 −5

38. Para cada uma das matrizes do exercıcio anterior, determine uma base

para o espaco das linhas constituıda unicamente por vectores das linhas

das respectivas matrizes.

39. Determine uma base para os seguintes subespacos lineares de R4.

(a) W = Span{(1, 1,−4,−3), (2, 0, 2,−2), (2,−1, 3, 2)}(b) W = Span{(−1, 1,−2, 0), (3, 3, 6, 0), (9, 0, 0, 3)}(c) W = Span{(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (−2, 0, 2, 2), (0,−3, 0, 3)}

40. Considere os seguintes subespacos lineares de R4:

U = Span{(1, 0, 1, 1), (−3, 3, 7, 1), (−1, 3, 9, 3), (−5, 3, 5,−1)},

V = Span{(1,−2, 0, 3), (2,−4, 0, 6), (−1, 1, 2, 0), (0,−1, 2, 3)}.

(a) Determine um subconjunto dos geradores de U e V que formam uma

base para cada um destes espacos lineares.

(b) Escreva os restantes geradores como combinacao linear dos vectores

da base respectiva.

41. Seja

A =

0 1 0

1 0 0

0 0 0

e considere o sistema de coordenadas em R3 definido pelos eixos dos xx,

yy e zz. Mostre que o nucleo de A coincide com o eixo dos zz e o espaco

das colunas de A coincide com o plano xy.29

42. Use o exercıcio anterior para encontrar uma matriz 3 × 3 cujo nucleo

coincida com o eixo dos xx e cujo espaco das colunas coincida com o

plano yz.

43. Determine uma matriz 3 × 3 cujo nucleo seja

(a) um ponto

(b) uma recta

(c) um plano

(d) todo o espaco

44. Mostre que o conjunto formado pelos vectores linha de uma matriz n×n

invertıvel e uma base de Rn.

45. Considere a seguinte tabela:

Alıneas (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

Dimensao de A 3 × 3 3 × 3 3 × 3 5 × 9 9 × 5 4 × 4 6 × 2

car(A) 3 2 1 2 2 0 2

Para cada uma das alıneas, determine a dimensao de Lin(A), Col(A),

Ker(A) e Ker(AT ).

46. Determine o valor maximo de car(A) e o valor mınimo de nul(A) se

(a) A e uma matriz 4 × 4

(b) A e uma matriz 3 × 5

(c) A e uma matriz 5 × 3

(d) A e uma matriz m × n

47. Determine a caracterıstica e a nulidade das seguintes matrizes.

A =

1 −1 3

5 −4 −4

7 −6 2

B =

2 0 −1

4 0 −2

0 0 0

C =

1 4 5 2

2 1 3 0

−1 3 2 2

D =

1 4 5 6 9

3 −2 1 4 −1

−1 0 −1 −2 −1

2 3 5 7 8

E =

1 −3 2 2 1

0 3 6 0 −3

2 −3 −2 4 4

3 −6 0 6 5

−2 9 2 −4 −5

30

48. Use os resultados obtidos no exercıcio anterior para verificar, em cada um

dos casos, o teorema da dimensao para matrizes.

49. Considere a seguinte tabela:

Alıneas (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

Dimensao de A 3 × 3 3 × 3 3 × 3 5 × 9 5 × 9 4 × 4 6 × 2

car(A) 3 2 1 2 2 0 2

car([A|b]) 3 3 1 2 3 0 2

Para cada uma das alıneas, determine se o SEL Ax = b e possıvel. Em

caso afirmativo, determine o numero de parametros que aparecem na

solucao geral.

50. Seja Ax = b um SEL m × n possıvel (determinado ou indeterminado)

e seja xp uma solucao particular. Mostre que qualquer solucao do SEL

Ax = b pode escrever-se na forma x = xp + x0, onde x0 e uma solucao

do correspondente SEL homogeneo Ax = 0.

51. Determine a solucao geral dos seguintes SELs nao homogeneos e use os

resultados obtidos para escrever a solucao geral dos respectivos SELs

homogeneos.

(a)

{

x1 − 3x2 = 1

2x1 − 6x2 = 2

(b)

x1 + x2 + 2x3 = 5

x1 + x3 = −2

2x1 + x2 + 3x3 = 3

(c)

x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = −1

2x1 − 4x2 + 2x3 + 4x4 = −2

−x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = 1

3x1 − 6x2 + 3x3 + 6x4 = −3

(d)

x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 4

−2x1 + x2 + 2x3 + x4 = −1

−x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 3

4x1 − 7x2 − 5x4 = −5

52. Seja A uma matriz 3× 3 tal que Ker(A) e uma recta em R3 que passa na

origem. Diga, justificando, se Lin(A) e Col(A) podem ser ambos rectas

em R3 que passam na origem.

31

53. Considere o seguinte SEL 5 × 3:

x1 − 3x2 = b1

x1 − 2x2 = b2

x1 + x2 = b3

x1 − 4x2 = b4

x1 + 5x2 = b5

onde b1, b2, b3, b4, b5 sao parametros reais. Determine as condicoes que

b1, b2, b3, b4, b5 tem de satisfazer de forma a que o SEL seja possıvel.

54. Considere as seguintes matrizes:

A =

1 1 α

1 α 1

α 1 1

, B =

α 3 −1

3 6 −2

−1 −3 α

,

onde α ∈ R. Determine car(A) e car(B) em funcao de α.

55. Considere a seguinte matriz

C =

1 0 0

0 r − 2 2

0 s − 1 r + 2

0 0 3

onde r, s ∈ R. Determine car(C) em funcao de r, s.

56. Considere o seguinte SEL 3 × 3 homogeneo:

x + y + αz = 0

x + αy + z = 0

αx + y + z = 0

onde α ∈ R. Determine os valores de α de forma a que a solucao geral

do SEL seja

(a) a origem

(b) uma recta

(c) um plano

(d) todo o espaco

32

Parte 6. Transformacoes lineares

1. Diga, justificando, quais das seguintes aplicacoes sao transformacoes li-

neares.

(a) T : R2 → R

2 dada por T (x1, x2) = (x1 + 2x2, 3x1 − x2)

(b) T : R3 → R

2 dada por T (x1, x2, x3) = (2x1 − x2 + x3, x2 − 4x3 + 1)

(c) T : R3 → R dada por T (u) = ||u||

(d) T : R3 → R

3 dada por T (u) = u × a, onde a ∈ R3 esta fixo

(e) T : M2×2 → M2×3 dada por T (A) = AB, onde B ∈ M2×3 esta fixa

(f) T : Mn×n → R dada por T (A) = tr(A)

(g) F : Mm×n → Mn×m dada por F (A) = AT

(h) T : M2×2 → R dada por T

([

a b

c d

])

= 3a − 4b + c − d

(i) T : M2×2 → R dada por T

([

a b

c d

])

= a2 + b2

(j) T : P2 → P2 dada por T (a0 +a1x+a2x2) = a0 +a1(x+1)+a2(x+1)2

(k) T : P2 → P2 dada por T (a0 + a1x + a2x2) = (a0 + 1) + (a1 + 1)x +

(a2 + 1)x2

(l) T : F (R) → F (R) dada por T (f(x)) = 1 + f(x)

(m) T : F (R) → F (R) dada por T (f(x)) = f(x + 1)

2. Sejam B = {v1,v2} = {(1, 1), (1, 0)} uma base de R2 e T : R

2 → R2

uma transformacao linear tal que T (v1) = (1,−2) e T (v2) = (−4, 1).

Determine uma formula para T (x1, x2).

3. Sejam B = {v1,v2} = {(−2, 1), (1, 3)} uma base de R2 e T : R

2 → R3

uma transformacao linear tal que T (v1) = (1,−2, 0) e T (v2) = (0,−3, 5).

Determine uma formula para T (x1, x2).

4. Sejam B = {v1,v2,v3} = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} uma base de R3

e T : R3 → R

3 uma transformacao linear tal que T (v1) = (2,−1, 4),

T (v2) = (3, 0, 1) e T (v3) = (−1, 5, 1). Determine uma formula para

T (x1, x2, x3).

5. Sejam B = {v1,v2,v3} = {(1, 2, 1), (2, 9, 0), (3, 3, 4)} uma base de R3 e

T : R3 → R

2 uma transformacao linear tal que T (v1) = (1, 0), T (v2) =

(−1, 1) e T (v3) = (0, 1). Determine uma formula para T (x1, x2, x3).

6. Sejam v1, v2 e v3 tres vectores num espaco linear V e seja T : V → R3

uma transformacao linear tal que T (v1) = (1,−1, 2), T (v2) = (0, 3, 2) e

T (v3) = (−3, 1, 2). Calcule T (2v1 − 3v2 + 4v3).

33

7. Seja B = {v1, . . . ,vn} uma base num espaco linear V e seja T : V → W

uma transformacao linear. Mostre que, se T (v1) = . . . = T (vn) = 0,

entao T e a transformacao nula.

8. Seja B = {v1, . . . ,vn} uma base num espaco linear V e seja T : V → V

uma transformacao linear. Mostre que, se T (v1) = v1, . . . , T (vn) = vn,

entao T e a transformacao identidade.

9. Recorde que, dada uma transformacao linear T : V → W , podemos

representa-la matricialmente se fixarmos uma base B = {v1, . . . ,vn} no

espaco de partida V e uma base C = {w1, . . . ,wm} no espaco de chegada

W . A matriz TCB, de dimensao m × n, cujas colunas sao formadas

pelos n vectores (T (v1))C , . . . , (T (vn))C ∈ Rm diz-se a representacao

matricial de T em relacao as bases ordenadas B e C. Esta matriz

satisfaz a equacao

(T (v))C = TCB (v)B , (1)

para todo o v ∈ V . Seja T : P2 → P3 a transformacao linear definida por

T (p(x)) = xp(x).

(a) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases canonicas

de P2 e P3.

(b) Verifique a formula (1).

10. Seja T : P2 → P1 a transformacao linear definida por

T (a0 + a1x + a2x2) = (a0 + a1) − (2a1 + 3a2)x.


de P2 e P1.


11. Seja T : P2 → P2 a transformacao linear definda por

T (a0 + a1x + a2x2) = a0 + a1(x − 1) + a2(x − 1)2.

(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base canonica

de P2.


12. Sejam B = {(1, 1), (−1, 0)} e T : R2 → R

2 a transformacao linear definida

por

T (x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2).

(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base B.


34

13. Seja T : R2 → R

3 a transformacao linear definida por

T (x1, x2) = (x1 + 2x2,−x1, 0).

(a) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases B =

{(1, 3), (−2, 4)} de R2 e C = {(1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0)} de R

3.


14. Seja T : R3 → R


T (x1, x2, x3) = (x1 − x2, x2 − x1, x1 − x3).

(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base B =

{(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} de R3.


15. Seja T : M2×2 → M2×2 a transformacao linear definida por

T

([

a b

c d

])

=

[

2c a + c

b − 2c d

]

.


de M2×2.


16. Seja S : M2×2 → M2×2 a transformacao linear definida por

S(X) = XT .

(a) Determine a representacao matricial de S em relacao a base canonica

de M2×2.



T (X) =

[

1 1

0 0

]

X + X

[

0 0

1 1

]

.


de M2×2.



T (p(x)) = p(2x + 1).


de P2.

(b) Use a matriz obtida na alınea (a) para calcular T (2 − 3x + 4x2).

(c) Verifique o resultado obtido na alınea (b) calculando directamente

T (2 − 3x + 4x2).35


T (p(x)) = xp(x − 3).


de P2 e P3.

(b) Use a matriz obtida na alınea (a) para calcular T (1 + x − x2).

(c) Verifique o resultado obtido na alınea (b) calculando directamente

T (1 + x − x2).

20. Sejam B = {(1, 3), (−1, 4)} uma base de R2 e

TBB =

[

1 3

−2 5

]

a representacao matricial da transformacao linear T : R2 → R

2 em relacao

a base B.

(a) Determine (T (1, 3))B e (T (−1, 4))B .

(b) Determine T (1, 3) e T (−1, 4).

(c) Encontre uma formula para T (x1, x2).

(d) Use a formula da alınea (c) para calcular T (1, 1).

21. Sejam

B = {(0, 1, 1, 1), (2, 1,−1,−1), (1, 4,−1, 2), (6, 9, 4, 2)},

C = {(0, 8, 8), (−7, 8, 1), (−6, 9, 1)}

duas bases de R4 e R

3, respectivamente e

TCB =

3 −2 1 0

1 6 2 1

−3 0 7 1

a representacao matricial da transformacao linear T : R4 → R

3 em relacao

as bases B e C.

(a) Determine (T (0, 1, 1, 1))C , (T (2, 1,−1,−1))C , (T (1, 4,−1, 2))C e

(T (6, 9, 4, 2))C .

(b) Determine T (0, 1, 1, 1), T (2, 1,−1,−1), T (1, 4,−1, 2) e T (6, 9, 4, 2).

(c) Encontre uma formula para T (x1, x2, x3, x4).

(d) Use a formula da alınea (c) para calcular T (2, 2, 0, 0).

22. Sejam B = {3x + 3x2,−1 + 3x + 2x2, 3 + 7x + 2x2} uma base de P2 e

TBB =

1 3 −1

2 0 5

6 −2 4

36

a representacao matricial da transformacao linear T : P2 → P2 em relacao

a base B.

(a) Determine (T (3x+3x2))B , (T (−1+3x+2x2))B , (T (3+7x+2x2))B .

(b) Determine T (3x + 3x2), T (−1 + 3x + 2x2), T (3 + 7x + 2x2).

(c) Encontre uma formula para T (a0 + a1x + a2x2).

(d) Use a formula da alınea (c) para calcular T (1 + x2).

23. Mostre que, se T : V → W e a transformacao nula, entao a representacao

matricial de T em relacao a quaisquer bases de V e W e a matriz nula.

24. Mostre que, se T : V → V e a transformacao linear definida por T (v) =

av, onde a ∈ R, entao a representacao matricial de T em relacao a qual-

quer base de V e dada por a vezes a matriz identidade.

25. Seja T : V → V a transformacao linear definida por

T (v1) = v2

T (v2) = v3

T (v3) = v4

T (v4) = v1,

onde B = {v1,v2,v3,v4} e uma base de V . Determine a matriz TBB .

26. Seja T : R2 → R


T (x1, x2) = (x1 − 2x2,−x2)

e sejam B = {(1, 0), (0, 1)} e B′ = {(2, 1), (−3, 4)} duas bases de R2.


(b) Determine as matrizes de mudanca de base PBB′ e PB′B.

(c) Use as duas alıneas anteriores para calcular a representacao matricial

de T em relacao a base B′.

27. Seja T : R2 → R


T (x1, x2) = (x1 + 7x2, 3x1 − 4x2)

e sejam B = {(2, 2), (4,−1)} e C = {(1, 3), (−1,−1)} duas bases de R2.


C de R2.

(b) Determine as matrizes de mudanca de base PCB e PCC .

(c) Use as duas alıneas anteriores para calcular TCB .

28. Seja T : R3 → R


T (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3,−x2, x1 + 7x3)37

e sejam B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e B′ = {(1, 0, 0), (1, 1, 0)(1, 1, 1)}duas bases de R

3.


(b) Determine as matrizes de mudanca de base PBB′ e PB′B.

(c) Use as duas alıneas anteriores para calcular a representacao matricial

de T em relacao a base B′.


T (p(x)) = p(x + 1)

e sejam B = {6 + 3x, 10 + 2x} e C = {2, 3 + 2x} bases de P1.


C de P1.

(b) Determine as matrizes de mudanca de base PCB e PCC .

(c) Use as duas alıneas anteriores para calcular TCB .

30. Seja T : R2 → R


T (1,−1) = 2(1, 1, 1)

T (1, 1) = (1, 1, 1) − (1, 1, 0),

onde B = {(1,−1), (1, 1)} e C = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} sao bases de

R2 e R

3, respectivamente.

(a) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases B e C.

(b) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases canonicas

de R2 e R

3.

(c) Calcule T (x1, x2).


T (p(x)) = p(x) + (1 + x2)p′(x).


de P1 e P2.

(b) Use as matrizes de mudanca de base apropriadas para calcular a

representacao matricial de T em relacao as bases B = {2, 3 + 2x} de

P1 e C = {1 + x, 1 + x + x2, 1 − x2} de P2.

32. Caracterize as transformacoes lineares S ◦ T , onde

(a) T (x, y) = (2x, 3y) e S(x, y) = (x − y, x + y)

(b) T (x, y) = (x − 3y, 0) e S(x, y) = (4x − 5y, 3x − 6y)

(c) T (x, y) = (2x,−3y, x + y) e S(x, y, z) = (x − y, y + z)

(d) T (x, y, z) = (x − y, y + z, x − z) e S(x, y, z) = (0, x + y + z)

38

33. Sejam T : M2×2 → R e S : M2×2 → M2×2 as transformacoes lineares

definidas por T (A) = tr(A) e S(A) = AT , respectivamente.

(a) Calcule (T ◦ S)(A), onde A =

[

a b

c d

]

.

(b) Diga, justificando, se e possıvel calcular (S ◦ T )(A).

34. Sejam T : Pn → Pn e S : Pn → Pn as transformacoes lineares definidas

por T (p(x)) = p(x − 1) e S(p(x)) = p(x + 1), respectivamente. Calcule

(T ◦ S)(p(x)) e (S ◦ T )(p(x)).

35. Sejam T : V → W uma transformacao linear e k ∈ R.

(a) Mostre que a aplicacao kT : V → W definida por (kT )(v) = kT (v) e

uma transformacao linear.

(b) Calcule (3T )(x, y) sabendo que T : R2 → R

2 e dada por T (x, y) =

(2x − y, x + y).

36. Sejam T : V → W e S : V → W duas transformacoes lineares.

(a) Mostre que a aplicacao T + S : V → W definida por (T + S)(v) =

T (v) + S(v) e uma transformacao linear.

(b) Calcule (T + S)(x, y) sabendo que T : R2 → R

2 e S : R2 → R

2 sao

dadas, respectivamente, por T (x, y) = (2y, 3x) e S(x, y) = (y, x).

37. Sejam T : P1 → P2 e S : P2 → P2 as transformacoes lineares definidas

por T (p(x)) = xp(x) e S(p(x)) = p(2x + 1), respectivamente.

(a) Calcule (S ◦ T )(p(x)).

(b) Use a formula da alınea (a) para calcular a representacao matricial

de S ◦ T em relacao as bases canonicas de P1 e P2.

(c) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases canonicas

de P1 e P2.

(d) Determine a representacao matricial de S em relacao a base canonica

de P2.

(e) Use os resultados obtidos nas alıneas (c) e (d) para verificar o resul-

tado obtido na alınea (b).


por T (a0+a1x) = 2a0−3a1x e S(a0+a1x+a2x2) = 3a0x+3a1x

2+3a2x3,

respectivamente.

(a) Calcule (S ◦ T )(a0 + a1x).

(b) Use a formula da alınea (a) para calcular a representacao matricial

de S ◦ T em relacao as bases canonicas de P1 e P3.

(c) Determine a representacao matricial de T em relacao as bases canonicas

de P1 e P2.

39

(d) Determine a representacao matricial de S em relacao as bases canonicas

de P2 e P3.

(e) Use os resultados obtidos nas alıneas (c) e (d) para verificar o resul-

tado obtido na alınea (b).

39. Seja T : R2 → R


T (x, y) = (2x − y,−8x + 4y).

(a) Verifique se os vectores (1,−4), (5, 0) e (−3, 12) pertencem a Ker(T ).

(b) Determine uma base para Ker(T ).

(c) Verifique se os vectores (5, 10), (3, 2) e (1, 1) pertencem a Im(T ).

(d) Determine uma base para Im(T ).

(e) Verifique o teorema da dimensao para T .

40. Seja T : R4 → R


T (x1, x2, x3, x4) = (4x1 +x2−2x3−3x4, 2x1+x2+x3−4x4, 6x1−9x3+9x4).

(a) Verifique se os vectores (3,−8, 2, 0), (0, 0, 0, 1) e (0,−4, 1, 0) perten-

cem a Ker(T ).


(c) Verifique se os vectores (0, 0, 6), (1, 3, 0) e (2, 4, 1) pertencem a Im(T ).




T (p(x)) = xp(x).

(a) Verifique se os polinomios p1(x) = x2, p2(x) = 0 e p3(x) = 1 + x

pertencem a Ker(T ).


(c) Verifique se os polinomios p1(x) = x + x2, p2(x) = 1 + x e p3(x) =

3 − x2 pertencem a Im(T ).



42. Seja T : V → V a transformacao linear definida por T (v) = 3v. Deter-

mine Ker(T ) e Im(T ).

43. Determine a nulidade de T em cada um dos casos seguintes:

(a) T : R5 → R

7, onde car(T ) = 3.

(b) T : P4 → P3, onde car(T ) = 1.

(c) T : R6 → R

3, onde Im(T ) = R3.

(d) T : M2×2 → M2×2, onde car(T ) = 3.

40

44. Seja T : Mn×n → R a transformacao linear definida por T (A) = tr(A).

Determine a dimensao de Ker(T ).

45. Seja T : P3 → P2 a transformacao linear definida por T (p(x)) = p′(x).

Determine o nucleo de T .

46. Seja T : R4 → R


T (e1) = (1, 2, 1)

T (e2) = (0, 1, 0)

T (e3) = (1, 3, 0)

T (e4) = (1, 1, 1),

onde {e1,e2,e3,e4} e a base canonica de R4.

(a) Determine bases para Ker(T ) e Im(T ).

(b) Indique a caracterıstica e a nulidade de T .


T (X) =

[

1 1

0 0

]

X + X

[

0 0

1 1

]

.

(a) Determine o nucleo e a imagem de T .

(b) Determine a caracterıstica e a nulidade de T .

48. Use a informacao dada para determinar se a transformacao linear T e

injectiva.

(a) T : Rm → R

m, onde nul(T ) = 0

(b) T : Rm → R

m, onde car(T ) = m − 1

(c) T : Rm → R

n, onde n < m

(d) T : Rm → R

m, onde Im(T ) = Rm

49. Determine se a transformacao linear T : P2 → P2 definida por T (p(x)) =

p(x + 1) e injectiva.

50. Seja A uma matriz n × n tal que det(A) = 0. Diga, justificando, se a

transformacao matricial T : Rn → R

n definida por T (x) = Ax e injectiva.

51. Indique se a transformacao linear T e invertıvel e, em caso afirmativo,

caracterize T−1.

(a) T (x, y) = (5x + 2y, 2x + y)

(b) T (x, y, z) = (x + 5y + 2z, x + 2y + z,−x + y)

(c) T (x, y, z) = (x + z, y + z, x + y)

(d) T (x, y) = (x − 2y, 2x − 4y,−3x + 6y)

(e) T (x, y, z, w) = (x + 3y + 5z + 7w, 2x − y + 2z + 4w,−x + 3y)

(f) T (x, y) = (4x − 2y, x + 5y, 5x + 3y)

41

52. Seja T : Rn → R

n a transformacao linear definida por

T (x1, . . . , xn) = (a1x1, . . . , anxn),

onde a1, . . . , an sao constantes reais.

(a) Determine as condicoes que os coeficientes a1, . . . , an tem de satisfazer

de forma a que T seja invertıvel.

(b) Assumindo que essas condicoes se verificam, caracterize T−1.

53. Indique se a transformacao linear T e invertıvel e, em caso afirmativo,

caracterize T−1.

(a) T (x1, x2, . . . , xn) = (0, x1, x2, . . . , xn−1)

(b) T (x1, x2, . . . , xn) = (xn, xn−1, . . . , x2, x1)

(c) T (x1, x2, . . . , xn) = (x2, x3, x4, . . . , xn, x1)

54. Indique se a transformacao linear T : M2×2 → M2×2 e invertıvel e, em

caso afirmativo, caracterize T−1.

(a) T

([

a b

c d

])

=

[

a 0

0 d

]

(b) T

([

a b

c d

])

=

[

a c

b d

]

(c) T

([

a b

c d

])

=

[

d −b

−c a

]

55. Sejam T : R2 → R

2 e S : R2 → R

2 as transformacoes lineares definidas

por T (x, y) = (x+ y, x− y) e S(x, y) = (2x+ y, x− 2y), respectivamente.

(a) Mostre que T e S sao injectivas.

(b) Caracterize T−1, S−1 e (S ◦ T )−1.

(c) Mostre que (S ◦ T )−1 = T−1 ◦ S−1.


por T (p(x)) = xp(x) e S(p(x)) = p(x + 1), respectivamente.

(a) Mostre que T e S sao injectivas.

(b) Caracterize T−1, S−1 e (S ◦ T )−1.

(c) Mostre que (S ◦ T )−1 = T−1 ◦ S−1.

57. Seja T : P1 → R2 a aplicacao definida por T (p(x)) = (p(0), p(1)).

(a) Calcule T (1 − 2x).

(b) Mostre que T e uma transformacao linear.

(c) Mostre que T e injectiva.

(d) Caracterize T−1.

58. Seja T : P2 → R3 a aplicacao definida por T (p(x)) = (p(−1), p(0), p(1)).

(a) Calcule T (6 + 5x + x2).

(b) Mostre que T e uma transformacao linear.42

(c) Mostre que T e injectiva.

(d) Caracterize T−1.

59. Seja T : R2 → R


T (x, y) = (x + ky,−y),

onde k e um parametro real.

(a) Mostre que T e injectiva para todo o k ∈ R.

(b) Mostre que T−1 = T .

60. Mostre que, se V e W sao espacos lineares tais que dim W < dim V , entao

nao existem transformacoes lineares injectivas T : V → W .

61. Mostre que, se V e W sao espacos lineares tais que dim W > dim V , entao

nao existem transformacoes lineares sobrejectivas T : V → W .

62. Seja T : R3 → R


T (x, y, z) = (x − y, y − x, x − z).

(a) Determine a representacao matricial de T em relacao a base B =

{(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}.(b) Diga, justificando, se T e injectiva e, em caso afirmativo, determine

a representacao matricial de T−1 em relacao a base B.


T (p(x)) = (2x + 1).


de P4.

(b) Diga, justificando, se T e injectiva e, em caso afirmativo, determine

a representacao matricial de T−1 em relacao a base canonica de P4.

64. Sejam x1, x2 e x3 tres numeros reais fixos tais que x1 < x2 < x3 e seja

T : P2 → R3 a aplicacao definida por T (p(x)) = (p(x1), p(x2), p(x3)).

(a) Mostre que T e uma transformacao linear.

(b) Mostre que T e injectiva.

(c) Mostre que, T−1(a, b, c) = ap1(x) + bp2(x) + cp3(x), onde

p1(x) =(x − x2)(x − x3)

(x1 − x2)(x1 − x3),

p2(x) =(x − x1)(x − x3)

(x2 − x1)(x2 − x3),

p3(x) =(x − x1)(x − x2)

(x3 − x1)(x3 − x2).

43

Parte 7. Valores proprios e vectores proprios

1. Seja A uma matriz 6×6 com equacao caracterıstica λ2(λ−1)(λ−2)3 = 0.

(a) Quais sao os valores proprios de A?

(b) Quais sao as respectivas multiplicidades algebricas?

(c) Quais sao as possıveis dimensoes dos espacos proprios de A?


A =

[

3 0

8 −1

]

, B =

[

10 −9

4 −2

]

, C =

[

1 0

0 1

]

.

(a) Determine os valores proprios de A, B e C.

(b) Determine os espacos proprios de A, B e C associados a cada valor

proprio.

(c) Diga, justificando, se as matrizes A, B e C sao diagonalizaveis e, em

caso afirmativo, determine a matriz diagonalizante.


D =

4 0 1

−2 1 0

−2 0 1

, E =

4 2 −1

−6 −4 3

−6 −6 5

, F =

5 6 2

0 −1 −8

1 0 −2

.

(a) Determine os valores proprios de D, E e F .

(b) Determine os espacos proprios de D, E e F associados a cada valor

proprio.

(c) Diga, justificando, se as matrizes D, E e F sao diagonalizaveis e, em



G =

0 0 2 0

1 0 1 0

0 1 −2 0

0 0 0 1

, H =

−2 0 0 0

5 −2 0 0

0 0 3 1

0 0 1 3

.

(a) Determine os valores proprios de G e H.

(b) Determine os espacos proprios de G e H associados a cada valor

proprio.

(c) Diga, justificando, se as matrizes G e H sao diagonalizaveis e, em


5. Mostre que, se A e uma matriz diagonalizavel com matriz diagonalizante

S, entao Ak = SDkS−1 para todo o k ∈ N, onde D e a matriz diagonal

constituıda pelos valores proprios de A. Sugestao: use o metodo de

inducao matematica.44

6. Use o exercıcio anterior para calcular Ak, onde

A =

3 −1 0

−1 2 −1

0 −1 3

.


K =

4 0 1

2 3 2

1 0 4

.

(a) Determine os valores proprios de K.

(b) Para cada valor proprio λ, determine a caracterıstica da matriz K −λI.

(c) Diga, justificando, se K e diagonalizavel e, em caso afirmativo, de-

termine a matriz diagonalizante.

8. Mostre que a equacao caracterıstica de uma matriz A de dimensao 2 × 2

pode escrever-se como λ2 − tr(A)λ + det(A) = 0.

9. Use o resultado do exercıcio anterior para mostrar que, se

A =

[

a b

c d

]

,

entao as solucoes da equacao caracterıstica sao

λ1 =1

2

[

(a + d) +√

(a − d)2 + 4bc]

,

λ2 =1

2

[

(a + d) −√

(a − d)2 + 4bc]

.

Daqui concluimos que:

• A tem dois valores proprios reais distintos se (a − d)2 + 4bc > 0;

• A tem um valor proprio real se (a − d)2 + 4bc = 0.

• A nao tem valores proprios reais se (a − d)2 + 4bc < 0.

10. Seja

A =

[

a b

c d

]

.

Mostre que, se (a − d)2 + 4bc > 0 e b 6= 0, entao os vectores (−b, a − λ1)

e (−b, a − λ2) sao vectores proprios correspondentes aos valores proprios

λ1 e λ2, respectivamente.

11. Mostre que, se λ e um valor proprio da matriz invertıvel A e x e um

vector proprio correspondente, entao 1

λe um valor proprio de A−1 e x e

tambem um vector proprio correspondente.45

12. Mostre que, se λ e um valor proprio de A, x e um vector proprio corres-

pondente e α e um parametro real, entao λ − α e um valor proprio de

A − αI e x e tambem um vector proprio correspondente.

13. Mostre que, se A e uma matriz quadrada, entao A e AT tem os mesmos

valores proprios.


T (a + bx + cx2) = (5a + 6b + 2c) − (b + 8c)x + (a − 2c)x2.

(a) Determine os valores proprios de T .

(b) Determine os espacos proprios associados a cada valor proprio de T .

(c) Diga, justificando, se T e diagonalizavel e, em caso afirmativo, deter-

mine a matriz diagonalizante.


T

([

a b

c d

])

=

[

2c a + c

b − 2c d

]

.






T (A) = A + AT .





46

Bibliografia

• H. Anton e C. Rorres, Elementary Linear Algebra, Wiley, 2005.

• L. T. Magalhaes, Algebra Linear como Introducao a Matematica

Aplicada, Texto Editora, 1992.

• T. M. Apostol, Calculo, Vols. 1 e 2, Editorial Reverte, S. A., 1999.

• F. D. Agudo, Introducao a Algebra Linear e a Geometria Analıtica,

Escolar Editora, 1996.

• S. Lipschutz, Algebra Linear, McGraw Hill, 1994.

Faculdade de Engenharia, Universidade Catolica Portuguesa, Estrada Oc-

tavio Pato, 2635-631 Rio de Mouro, Portugal

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