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Matrizes Definição
Uma matriz é uma tabela com elementos dispostos em forma retangular. Se uma matriz tem m linhas e n colunas dizemos que ela é do tipo m x n. Exemplo:
Matriz 14 x 10
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Exemplo 2:
Matrizes Definição
Matriz 4 x 2
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Linhas (filas horiz.)
Panamericano 2003 - São Domingos
Linha 1Linha 2Linha 3Linha 4Linha 5
Matrizes Linhas
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Colunas (filas vert.)
COL
1
COL
2
COL
3
Linhas (filas horiz.)
Matrizes Colunas
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3227205439294256293941727481117
M
Elemento a41
LINHA 4
COL
1a41 = 29
Matrizes Elementos
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3227205439294256293941727481117
M
a52 = 27
LINHA 5COL
2
Matrizes Elementos
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Matrizes Representação dos elementos
874100245210221
3x5
a13= 2
a34= 7
Exemplo:
Cada elemento de uma matriz é representado por aij, sendo i o número da linha do elemento, e j, o da coluna.
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Matrizes Classificação
Amxn = [aij]mxn
As matrizes podem ser classificadas segundo:
II) A natureza dos elementos
I) A forma
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Matrizes Classificação
Amxn = [aij]mxnSegundo a forma em:Retangular
Quadrada
Coluna
Linha
Se o número de linhas é diferente do número de colunas.
Se o número de linhas é igual do número de colunas.
Se o número de colunas é igual a um.
Se o número de linhas é igual a um.
53
054421252043201
33
231310201
13
101
31221
Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m.
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Matrizes Classificação
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:Real:
Complexa:
Nula:
Todos os seus elementos são reais. ijij aAa :
Pelo menos um dos seus elementos é complexo.
CaAa ijij :
Todos os seus elementos são nulos0: ijij aAa
100251
10251
i
000000
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Matrizes Classificação
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Triangular Superior:
Triangular Inferior:
0: ijij ajiAa
Matriz quadrada em que os elementos abaixoda diagonal principal são nulos.
Matriz quadrada em que os elementos acimada diagonal principal são nulos.
0: ijij ajiAa
5000620003007211
5103022000250001
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Matrizes Classificação
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Diagonal:
Escalar:
0: ijij ajiAaMatriz quadrada em que os elementos não principais são nulos.
5000020000000001
Matriz diagonal em que os elementos principais são iguais.
ij
ijij
aji
ajiAa 0:
2000020000200002
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Matrizes Classificação
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Simétrica:
Densa:
Dispersa:
5740723243010211
Os elementos aij são iguais aos aji
A maioria dos seus elementos são não nulos.
A maioria dos seus elementos são nulos.
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645046633
BAC
Matrizes
Soma de MatrizesSejam A e B duas matrizes do mesmo tipo. Denomina-se soma de
342015321
A
303031312
B
A com B uma matriz C, do mesmo tipo, que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.
njmibac
BACMCMBA
ijijij
nmnm
,,1,,1;
:,
Operações com Matrizes
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Matrizes
ABBAMBA nm ,
Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Elemento neutro
Existência da matriz oposta
A soma de matrizes do mesmo tipo
)()(,, CBACBAMCBA nm
AOAMOMA nmnm :
OBAMBMA nmnm :
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Matrizes
Produto por um escalarSejam A uma matriz e um escalar.O produto de por A é uma matriz C
342015321
A
91260315963
3 A
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por
njmiac
ACMAMA
ijij
nmnm
,,1,,1;
:
Operações com Matrizes
, do mesmo tipo de A,
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Matrizes
AA
Operações com Matrizes
e os escalares e as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo
AAA )(
BABA
AA1
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Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=x3
3x3=
2x3
Operações com Matrizes
Produto de matrizes
Exemplo:
x
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Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=x3
3x3
8
2x3
Operações com Matrizes
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Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=x3
3x3
8
2x3
12
Operações com Matrizes
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Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 15
Operações com Matrizes
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Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 15
Operações com Matrizes
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Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 1515
Operações com Matrizes
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Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 1515 29
Operações com Matrizes
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Matrizes
1 2 32 5 3
2
1 2 32 5 31 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 1515 29 27
Operações com Matrizes
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Matrizes Operações com Matrizes
Produto de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo
O produto de A por B é uma matriz C do tipo
cujos elementos são dados por:
mxp
n
kjkkiji bac
1
e escreve-se C=AB.
nxp.
O produto de matrizes não é comutativo.
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Matrizes
CBACBA
Operações com Matrizes
Se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,as seguintes propriedades serão válidas:
Considere as matrizes A, B e C, e um escalar.
CBCACBA )(
CABACBA
BABABA
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Matrizes Operações com Matrizes
Transposição de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn.Denomina-se transposta de A a matriz B do tipo nxm tal que:
jiji ab mjni ,....;,..., 11
e escreve-se B=AT
53054421252043201
A
35014523452420201
TA
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Matrizes
AATT
Operações com Matrizes
Se todas as operações a seguir indicadas forem definidas,as seguintes propriedades serão válidas:
Considere as matrizes A e B e um escalar.
TTT BABA )(
TT AA
TTT ABBA