Matrizes determinantes-sistemaslineares
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MATRIZESMATRIZES
Uma matriz do tipo m x n , é uma tabela formada por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas . As matrizes são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ] ou através de barras duplas || ||
EXEMPLOS
−−
=
12
36
28
13
02
A
−−
=313
524B
5x22x3
A = (a ij) mxn
Notação Condensada• Construir a matriz A = (a ij)3x2, em que
aij = 3i – j.
a32a31
a22a21
a12a11
A =
� aij = 3i – j
a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1
a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4
a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7
78
45
12
A =
TIPOS DE MATRIZES
MATRIZ QUADRADA (A n)
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
DIAGONAL PRINCIPAL
i = j
DIAGONAL SECUNDÁRIA
i + j = n + 1
TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de ordem n x m obtida, trocando-se de forma ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por A t
049
132A2x3 = A t
3x2 =
01
43
92
085
813
532A =
SIMÉTRICA
A = A t
08-5
803-
5-30A =
ANTI SIMÉTRICA
A = - A t
MATRIZ IDENTIDADE (I n)
100
010
001
DIAGONAL PRINCIPAL IGUAL A UM
DEMAIS ELEMENTOS IGUAIS A ZERO
I3 =
ASSINALE V OU F
O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48.
UFSC - 2003 ( )F
UFSC - 2005 V( )
UFSC - 2009 ( )V
UFSC - 2006 V( ) Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a
soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(L t).NEUTRA NA MULTIPLICAÇÃO
DE MATRIZES
A.I = AB.I = BC.I = C
ASSINALE V OU F UFSC - 2005
( )F
OPERAOPERAÇÇÕESÕESADIADIÇÇÃO E SUBTRAÃO E SUBTRA ÇÇÃOÃO
nxmnxmnxmCBA =±
−+
124
016
842
123
=
926
139
� Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
� Comutativa: A + B = B + A
� (A + B)t = At + Bt
MULTIPLICAMULTIPLICA ÇÇÃO ÃO DE UM NDE UM NÚÚMERO MERO POR UMA MATRIZPOR UMA MATRIZ
23
1–2M =
3.M =3.23.3
3.13.–2
=69
3–63.M
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OPERAOPERAÇÇÕES COM MATRIZESÕES COM MATRIZES
PRODUTO DE MATRIZES
pxmpxnnxm CB.A =
nn=
OPERAOPERAÇÇÕESÕES
4
1
–22
0–3
6–2
53
2–1
B =A =
–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6
4
1
–22
0–3
6–2
53
2–1
B =A =
–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6
2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –2 .6
−=
1214
16A.B
PRODUTO DE MATRIZES
pxmpxnnxm CB.A =nn=
Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A ≠ 0 B ≠ 0.
.00
11
=
−10
10 0 0
0 0
Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou seja, geralmente A.B ≠≠≠≠ B.A .
A.I = I.A = A
A2 = A.A
OPERAOPERAÇÇÕESÕES
( UEPG – 2010 ) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p, respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é d o tipo 3 x 6, assinale o que for correto.
01. n.r = m.p02. m = r + 104. p = 2m08. n = r16. n + r = p + m
GABARITO: 18
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DETERMINANTES DETERMINANTES -- CCÁÁLCULOLCULO
DETERMINANTESDETERMINANTESCÁLCULO – 2ª ORDEM
a22
a12
a21
a11= a11 . a22 – a12 . a21
15
32� det A = = 2.1 – 3.5 = 2 – 15 = –13
4–1
2–5� det B = = (–5).4 – 2.(–1) = –18
GABARITO: 05
DETERMINANTESDETERMINANTESCÁLCULO – 3ª ORDEM
a33a32a31
a23
a13
a22a21
a12a11
a32a31
a22a21
a12a11
Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32
– a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33
31–2
0
2
24
–31
A =
31–2
0
2
24
–31
1–2
24
–31
6 + 0+ 8 + 8 – 0 + 36
det A = 58
det A =
( UEL – 2010 – SEGUNDA FASE ) O determinante da matriz
−
x0x
0x2
021
é positivo se:
a) x > −4b) x < 0c) x < 2d) x < −4 ou x > 0e) x > −2 ou x < −6
CÁLCULO – 3ª ORDEM
a33a32a31
a23
a13
a22a21
a12a11
a32a31
a22a21
a12a11
Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32
– a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33
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DETERMINANTES DETERMINANTES -- PROPRIEDADESPROPRIEDADES
1) CASOS ONDE O DETERMINANTE É NULO
0 3 9
0 8 3
0 4 1
0− =
0
241
2104
152
=
0
141
383
939
=−
0
743
189
431
=−
Fila de elementos Igual a zero
2 Filas paralelasIguais
2 Filas paralelas proporcionais
Uma das filas é a soma de duas outras
2) Se trocarmos a posição de duas filas paralelas, o det erminantetrocará de sinal.
3) Se multiplicarmos uma fila por um número real, o determ inante serámultiplicado por esse número.
4) Seja k, um número real e A uma matriz de ordem n
det (k.A) = k n. det A
Gabarito: -48
5) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de su atransposta.
6) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produt o dos elementos da diagonal principal.
Gabarito: 70
7) Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinan te do produto de A por B é o produto dos determinantes da matriz A pelo d eterminante da matriz B, ou seja:
det(A.B) = det(A).det(B)
Gabarito: 70
IFSC - 2013
Após assistir a uma aula sobre determinantes de matri zes, Pedro decidiu codificar sua senha bancária. A senha é composta pelos números A, B, C e D, justapostos nessa ordem e codificados através d os determinantes abaixo:
10000
01000
00400
00020
00003
D
20168
1284
3342
2021
C
1000
11200
32830
25171
B
121
213
421
A−
−
=
−−−−−−
=−−
==
Sobre a senha de Pedro, assinale no cartão-resposta o número correspondente àproposição correta ou à soma das proposições correta s.
01. A senha possui dois dígitos nulos.02. A senha possui seis dígitos.04. O último dígito da senha é zero.08. Os dígitos da senha estão em ordem crescente.16. A + B +C + D = 45 .32. Os dois primeiros dígitos da senha são 1 e 5.
Gabarito: 50
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MATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSA
MATRIZ INVERSA
A . A -1 = In
detA1
detA 1 =−
• Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de invers ível.
• Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular.
ASSINALE V OU F UFSC - 2001
( )F
UFSC - 2004
( )V
UFSC - 2013 ( )V
MATRIZ INVERSA
A . A -1 = In
detA1
detA 1 =−
• Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível.
• Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular.
ASSINALE V OU F UFSC - 2011 ( )V
UFSC - 2011
( )F
UEL – 2010
UDESC – 2009
Regra de Chió Abaixamento de ordem de
um determinante
A =
1 2 4 2
3 7 5 6
1 10 4 5
3 8 2 3
−
7 (3.2) 5 (3.4) 6 (3.2)
10 (1.2) 4 (1.4) 5 (1.2)
8 (3.2) 2 (3.4) 3 (3.2)
− − − − − − − − − −
det A= (-1)1+1
1 7 0
8 8 3
2 10 3
− − − −
det A = - 4
1) Procurar o elemento 1 na matriz. 2) Eliminamos a linha e a coluna em que se encontra o número 1.
3) Formamos uma nova matriz com os elementos restantes.
4) De cada elemento restante subtrai-se o produto dos números da linha e da coluna eliminada, que estão nos pés das perpendiculares traçadas desses elementos.
5) O determinante é o produto do número (-1)i + j pelo determinante da matriz resultante
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SISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARES
REGRA DE CRÄMER
x = y = z = ∆∆∆∆x∆∆∆∆s
∆∆∆∆y
∆∆∆∆s∆∆∆∆z∆∆∆∆s
Resolver o sistema abaixo usando a regrade Crämer
=−
=+
7y2x
142y3x
∆s = ∆x = ∆y =17
214
−12
23
− 72
143
∆S = - 7 ∆x = - 28 ∆y = - 7
y = ∆∆∆∆y∆∆∆∆s
x = ∆∆∆∆x∆∆∆∆s
147
7
7
28
==−−=
−−=
yx
yx
Solução: {(4,1)}
=−
=+
712(4)
142(1)3(4)
De fato:
x = y = z = ∆∆∆∆x∆∆∆∆s
∆∆∆∆y
∆∆∆∆s∆∆∆∆z∆∆∆∆s
Determine as raízes do sistema
S =
=+−=+−
−=−+
3zy2x
1zy
32zyx
112
110
211
−−
−∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x == - 2
113
111
213
−−
−−
= - 2
132
110
23-1 −∆∆∆∆y = ∆∆∆∆z == - 4
312
110
311
−−
−= - 6
y = ∆∆∆∆y∆∆∆∆s
x = ∆∆∆∆x∆∆∆∆s
3212
6
2
4
2
2
===−−=
−−=
−−=
zyx
zyx
Solução: {(1,2,3)}
z = ∆∆∆∆z∆∆∆∆s
PUC – PR
A figura a seguir mostra os cartazes da loja de ele trodomésticos “PREÇO BOM”, que está fazendo uma promoção de venda “casada” para vender dois eletrodomésticos. Com base nos dados fornecidos pel os cartazes, determine o valor, em reais, da décima parte do preço do forno de microondas.
UFSC – SC
Um agricultor comprou mudas de acerola, banana e maracuj á, pelos respectivos preços: R$3,00, R$2,00, R$1,00. Sabendo-s e que ele gastou um total de R$ 69,00 e que as mudas que custaram men os de R$3,00, cada uma, são num total de 4, quantas mudas ele co mprou?
a – acerolab – bananam - maracujá
3a + 2b + m= 69
b + m = 4m = 4 - b
3a + 2b + 4 – b= 693a + b = 65
3b65
a−=
0 < b < 4
b só pode ser 2
Então, a = 21
m = 4 - 2
m = 2 Portanto: a + b + m = 25
RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICA ÇÇÃO POR ESCALONAMENTO ÃO POR ESCALONAMENTO
−=+=+−
1zy
22zyx
=++=++
=++
72zyx-
204z3y2x
6zyx
=+=+
=++
52z3x
2zy-x
1zy2x
SISTEMA 1: SOLUÇÃO: S = {(5, 1, 2)}
SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO
SISTEMA 2:
=−=++
=+
1zy
1zy2x
1yx
=−=−
=+−
63z
1zy
6zyx
SOLUÇÃO: S = {(1-3k, -1-k, k)}
SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO
SISTEMA 3:
SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO
SOLUÇÃO: S = {(1, 2, 3)}
SISTEMA 4:
SISTEMA IMPOSSÍVELNÃO POSSUI SOLUÇÃO
SISTEMA 5:SOLUÇÃO: S = {(-k, k+1, k)}
SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO
=+
=+
62y2x
3yx
∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y =26
1322
11
62
31
∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0
=−
=+
7y2x
142y3x
∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y =17
214
−12
23
− 72
143
∆∆∆∆S = - 7 ∆∆∆∆x = - 28 ∆∆∆∆y = - 7
=+
=+
54y4x
3yx
∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y =45
1344
11
54
31
∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 7 ∆∆∆∆y = - 7
Soluções: {(2,1); (3,0); (4,-1)....}
Solução: {(4,1)}
Não há solução
POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
INDETERMINADO
∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0
Sistema Possível Determinado
Sistema Possível Indeterminado Sistema Impossível
RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICA ÇÇÃO POR CRAMER ÃO POR CRAMER
( UFSC ) Para que o sistema abaixo seja impossível, o valor de a é:
=++=++
=++
32zyx
2azyx
14z3yx
0
211
a11
431
= a = 2
POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
INDETERMINADO
∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0
( UEPG-PR ) O sistema linear é:
=++
=++
=++
b4z2y3x
33zyax
2zyx
01. impossível para a ≠≠≠≠ 2 e b = 502. impossível para a = 2 e b ≠≠≠≠ 504. possí vel e determinado para
a = 2 ∀∀∀∀ b ∈∈∈∈ R08. possí vel e indeterminado para
a = 2 e b = 516. possível e determinado para a ≠≠≠≠ 2
GABARITO: 26
POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
INDETERMINADO
∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0
EXERCÍCIOS UFSC – ASSINALE V ou F
( ) UFSC – 2005 O par ordenado ( 5, 2) é a única solução do sistema
=+=+
276y3x
92yxFF
( ) UFSC – 2012 FF
( ) UFSC - 2012FF
POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
INDETERMINADO
GABARITO: 09
RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICA ÇÇÃO ÃO NNººEQUAEQUAÇÇÕES ÕES ≠≠ NNººDE INCDE INCÓÓGNITASGNITAS
GABARITO: 11
SISTEMAS HOMOGÊNEOSSISTEMAS HOMOGÊNEOS
GABARITO: 09
(ACAFE – 2012.1) Dado o sistema de equação abaixo, a nalise as afirmações a seguir.
=+−+−=−−+−
=−−−−=−+++=+−+−
0aw2z3y2x2v
0wzyx3v
0wzyxv
0wzyxv
0wzyxv I. O sistema é homogêneo.II. O sistema será possível e indeterminado para qualquer valor de a.III. O sistema não admite a solução trivial.IV. O sistema será possí vel e determinado para a = - 2
GABARITO: A