matrizes ifrn

MATEMTICA PROF.: FERNANDO MATRIZES

1

Exerccios de Matrizes

1) (UFPB ) Seja A = (aij)3 x 3 uma matriz quadrada de ordem 3

definida por:

aij =

,

,

,

j

i

ji

se

se

se

ji

ji

ji

Escreva os elementos de A.

2) (Ufsm 2011)

O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada

de um determinado ecossistema. As setas indicam a espcie

de que a outra espcie se alimenta.

Atribuindo valor 1 quando uma espcie se alimenta de outra e

zero, quando ocorre o contrrio, tem-se a seguinte tabela:

Urso Esquilo Inseto Planta

Urso 0 1 1 1

Esquilo 0 0 1 1

Inseto 0 0 0 1

Planta 0 0 0 0

A matriz ij 4x4A (a ) , associada tabela, possui a seguinte

lei de formao:

a) ij

0, se i ja

1, se i j

b) ij

0, se i ja

1, se i j

c) ij

0, se i ja

1, se i j

d) ij

0, se i ja

1, se i j

e) ij

0, se i ja

1, se i j

3) O digrama abaixo representa um mapa rodovirio

mostrando as cidades 1,2,3 e 4

A matriz A = (aij) 4x4 associado a esse mapa definida da

seguinte forma:

j. com direta ligao temno iou j i se 0,

j. com direta ligao com est i se 1,ija

Sabendo que i e j referem-se s cidades do mapa e variam

no conjunto {1,2,3,4}, construa a matriz A.

4) (Supra) Um tringulo eqiltero de lado 1 tem seus vrtices

numerados como mostra a figura. A matriz 3x3, na qual cada

termo aij representa a distncia entre seus vrtices de nmeros

i e j, :

a)

000

000

000 c)

011

101

110

b)

222

222

222

d)

333

333

333

5) (AFA) Uma figura geomtrica tem quatro vrtices: A1, A2,

A3 e A4. Forma-se uma matriz (aij), onde aij = distncia(Ai,Aj),

com 1 i, j 4, obtendo-se:

0111

1011

1101

1110

Podemos afirmar, ento que tal figura um:

a) quadrado b) losango c) trapzio d) tetraedro

6) Um conglomerado composto por cinco lojas, numeradas

de 1 a 5. A tabela a seguir apresenta o faturamento em dlares

de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro:

Cada elemento aij dessa matriz o faturamento da loja i no

dia j.

a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2?

b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3?

c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias?

7) (UFRJ) Antnio, Bernardo e Cludio saram para tomar um

chope, de bar em bar, tanto no sbado como no Domingo. As

3

1 2

4

3 2

1


2

matrizes ressumem quantos chopes cada consumiu e como a

despesa foi dividia:

513

020

414

S e

312

030

355

D

onde S, refere-se s despesas de sbado e D s de domingo.

Cada elemento aij nos d o nmero de chopes que i pagou

para j, sendo Antnio do n 1, Bernardo o n 2 e Cludio o n 3.

a) Quem bebeu mas chopes no final de semana?

b) Quantos chopes Cludio ficou devendo para Antnio?

8) (UFRJ) Uma confeco vai fabricar 3 tipos de roupas

utilizando materiais diferentes. Considere a matriz A = (aij)

abaixo onde, aij representa quantas unidades do material j, sero empregadas para fabricar uma roupa do tipo i.

124

310

205

A

a) Quantas unidades do material 3 sero empregados na

confeco de uma roupa do tipo 2.

b) Calcule o total do material 1 que ser empregado para

fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro do tipo 2 e duas roupas

do tipo 3.

9) (UNESP) Considere trs lojas, L1, L2 e L3, e trs tipos de

produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a quantidade

de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de

dezembro. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do

produto Pi vendido pela loja Lj, i, j = 1, 2, 3.

Analisando a matriz, podemos afirmar que:

a) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2

11.

b) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja L3

11.

c) a soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos

pelas trs lojas 40.

d) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos

pelas lojas Li, i = 1, 2, 3 52.

e) a soma das quantidades dos produtos do tipo P1 e P2

vendidos pela lojas L1 45.

10) (Uesc 2011) O fluxo de veculos que circulam pelas ruas

de mo dupla 1, 2 e 3 controlado por um semforo, de tal

modo que, cada vez que sinaliza a passagem de veculos,

possvel que passem at 12 carros, por minuto, de uma rua

para outra. Na matriz

0 90 36

S 90 0 75

36 75 0

cada termo ijS

indica o tempo, em segundos, que o semforo fica aberto,

num perodo de 2 minutos, para que haja o fluxo da rua i para

a rua j.

Ento, o nmero mximo de automveis que podem passar da

rua 2 para a rua 3, das 8h s 10h de um mesmo dia,

a) 432 b) 576 c) 900 d) 1080 e) 1100

11) (UFPE) Um grupo de alunos dos cursos 1, 2 e 3 solicita

transferncia para outro curso, escolhido entre os mesmos 1, 2

e 3. A matriz abaixo representa o resultado obtido aps as

transferncias:

132 7 8

12 115 13

14 15 119

- para i j, na interseo da linha i com a coluna j, encontra-

se o nmero de estudantes do curso i que se transferiram

para o curso j;

- para i = j, na interseo da linha i com a coluna j, encontra-

se o nmero de estudantes do curso i que permaneceram no

curso i.

Admitindo que cada aluno pode se matricular em apenas um

curso, analise as afirmaes seguintes, de acordo com as

informaes acima.

( ) Antes das transferncias, existiam 147 alunos no curso

1.

( ) Aps as transferncias, existem 137 alunos no curso 2.

( ) Foram transferidos 26 alunos para o curso 3.

( ) O total de alunos transferidos 69.

( ) O total de alunos nos cursos 1, 2 e 3 de 363 alunos.

12) (Ufop-MG) Observe a matriz

y

x

00

40

421

. Chama-se de

trao de uma matriz quadrada soma dos elementos de sua

diagonal principal. Determine x e y na matriz acima de tal

forma que seu trao valha 9 e x seja o triplo de y .

13) Em um supermercado, um cliente empurra seu carrinho de

compras passando pelos setores 1, 2 e 3, com uma fora de

mdulo constante de 4N, na mesma direo e mesmo sentido

dos deslocamentos. Na matriz A abaixo, cada elemento aij

indica, em joules, o trabalho da fora que o cliente faz para

deslocar o caminho do setor i para o setor j, sendo i e j

elementos do conjunto {1, 2,3}.

(

)

Ao se deslocar do setor 1 ao 2, do setor 2 ao 3 e, por fim,

retornar ao setor 1, a trajetria do cliente descreve o permetro

de um tringulo. Nessas condies, o cliente percorreu, em

metros, a distncia de:

a) 35 b) 40 c) 45 d) 50


3

14) (UFRN 2009) Uma companhia de aviao pretende fazer manuteno em trs de seus avies e, para isso, definiu

o perodo de 4 dias, a contar da aprovao das propostas, para

a concluso do servio. Os oramentos (em milhares de reais)

das trs empresas que apresentaram propostas esto indicados

na matriz A3x3 abaixo, onde cada aij corresponde ao oramento

da empresa i para a manuteno do avio j .

Como cada uma dessas empresas s ter condies de efetuar,

no prazo estabelecido, a manuteno de um avio, a

companhia ter que escolher, para cada avio, uma empresa

distinta. A escolha que a companhia de aviao dever fazer

para que sua despesa seja a menor possvel ser:

A) empresa 1: avio 1; empresa 2: avio 3 e empresa 3:

avio 2.

B) empresa 1: avio 1; empresa 2: avio 2 e empresa 3:

avio 3.

C) empresa 1: avio 3; empresa 2: avio 2 e empresa 3:

avio 1.

D) empresa 1: avio 2; empresa 2: avio 3 e empresa 3:

avio 1.

15) (Fatec-SP) Sejam,

2

2

24

22

aa

aaX e

28

42Y , onde IRa . Se YX , ento:

a) 2a b) 2a c) 2

1a d)

2

1a e) n.d.a.

16) (IFPR) Uma pesquisa de preo resultou nas seguintes

tabelas:

I) Preo dos automveis nas linhas esto as agncias A, B e C e nas colunas os carros Levott, S-corro e Vodemil (na

ordem citada).

159001499012990

159901590012990

159901499013900

II) Preo dos seguros dos automveis nas linhas esto as

seguradoras , e e nas colunas os carros Levott, S-carro e Vodemil (na ordem citada).

115011001050

120010501150

120012001000

Sabe-se que a agncia A s utiliza a seguradora , a agncia

B s usa a seguradora e agncia C s usa a seguradora ; assim, a diferena entre p maior e o menor preo do

conjunto carro + seguro :

a) R$ 3050,00 d) R$ 315,00

b) R$ 3150,00 e) R$ 306,00

c) R$ 3060,00

17) (IBMEC) Determine a matriz C = A x B, sendo

A = (aij)3x2, aij = 2i j, B = (bij)2x2 e bij = i + j

18) (Fuvest-SP) Dadas as matrizes:

I) 74)( ijaA , definida por .

II) 97)( ijbB , definida por .

III) ABCcC ij ),(

O elemento 63c :

a) 112 b) 18 c) 9 d) 112 e) no existe

18) (AFA) Se 32)( xijaA e 43)( xijbB , a expresso

para encontrar o elemento 23c , onde )( ijcAB , igual a:

a) 332332223121 bababa c) 332323221321 bababa

b) 313321321131 bababa d) 3223ba

19) (Unifor-CE) Considere a seguinte sentena envolvendo

matrizes:

45

2011

41

02

12

5x

O valor de x que torna a torna verdadeira : a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

20)(PUC-RS) O valor de x + y, para que o produto das

matrizes

2 2-

2- 2 B e

1y

x1A

seja a matriz nula,

a) - 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4

21) (UFF) Um dispositivo eletrnico, usado em segurana,

modifica a senha escolhida por um usurio, de acordo com o

procedimento descrito abaixo.

A senha escolhida 4321 SSSS , deve conter quatro dgitos,

representados por 4321 ,, SeSSS . Esses dgitos so, ento,

transformados nos dgitos 4321 ,, MeMMM , da seguinte

forma:

2

1

2

1

S

SP

M

M e

4

3

4

3

S

SP

M

M,

Onde

01

10P .

Se a senha de um usurio, j modificada, 0110, isto ,

0,1,1,0 4321 MMMM , pode-se afirmar que a

senha escolhida pelo usurio foi:

a) 0011 b) 0101 c) 1001 d) 1010 e) 1100

22) (UFRGS) A matriz fornece, em reais o custo das pores

de arroz, carne salada usados num restaurante. A matriz

fornece o nmero de pores de arroz, carne e salada usados

na composio dos pratos desse restaurante.


4

salada

carne

arroz

C

2

3

1

3

2

1

022

121

112

Pprato

Pprato

Pprato

P

saladacarnearroz

A matriz que fornece o custo de produo, em reais, dos

pratos :

a)

8

9

7 b)

4

4

4 c)

4

11

9 d)

8

6

2 e)

4

2

2

23) (UFRJ) Uma fbrica de guarda-roupas utiliza trs tipos

de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-

roupas em mogno e cerejeira, nos modelos bsico, luxo e

requinte. A tabela 1 mostra a produo de mveis durante o

ms de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de

fechaduras utilizadas em cada tipo de armrio no mesmo ms.

A quantidade de fechaduras usadas nos armrios do modelo

requinte nesse ms foi de

a) 170. b) 192. c) 120. d) 218. e) 188.

24) (Fatec-SP) Sabe-se que as ordens das matrizes A , B e

C so respectivamente 3 x r, 3 x s e 2 x t. Se a matriz

CBA )( de ordem 3 x 4, ento r + s + t igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

25) (FUVEST-SP-ADAPTADA) dada a matriz

10

11P .

a) Calcule 432 , PePP .

b) Intuitivamente, qual a expresso de )( INnPn ?

26) (EEAR-2002) O elemento 2,3X da matriz soluo da

equao matricial

80

162

410

86

42

11

X3

a) 0 b) 2 c) 3 d) 1

27) (UNIFESP) Uma indstria farmacutica produz,

diariamente p unidades do medicamento X e q unidades do

medicamento Y, ao custo unitrio de r e s reais,

respectivamente. Considere as matrizes M, 12, e N, 21:

A matriz produto MN representa o custo da produo de

a) 1 dia. b) 2 dias. c) 3 dias. d) 4 dias. e) 5 dias.

28) Dadas as matrizes A =

2- 5

1 3e

B =

2- 1

y- xyx, determine x e y para que A = B

t.

29) Resolva a equao matricial:

2 2 4

3 5 1

2 5 3

2- 1- 1

7 2 0

5 4 1

= x +

5 9 1

3- 1- 8

2 7 2

.

30) So dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = 3i + 4j e bij = - 4i 3j. Se C = A + B, ento C

2 igual a:

a)

10

01 c)

01

10 e)

11

11

b)

10

01 d)

01

10

31) (UFRS) Uma matriz A dita simtrica se tAA .

Sabendo-se que a matriz

63

54

21

z

x

y

simtrica, qual o

valor de zyx ?

32) (Santa Casa - SP) Se uma matriz quadrada A tal que

AAt , ela chamada de anti-simtrica. Sabe-se que M anti-simtrica e que:

82

2

4

23

1312

ccb

aba

aaa

M

Os termos 12a , 12a e 12a valem, respectivamente:

a) 4, 2 e 4 c) 4, 2 e 4 e) n.d.a. b) 4, 2 e 4 d) 2, 4 e 2

33) (Escola Naval) Nas proposies abaixo A, B e C so

matrizes quadradas de ordem n e At a matriz transposta de

A. Coloque V na coluna direita quando a proposio for

verdadeira e F quando for falsa.

I. Se AB = AC ento B = C ( )

II. (AB)t = A

tB

t quaisquer que sejam A e B ( )


5

III. (A+B)t = A

t + B

t quaisquer que sejam A e B ( )

Lendo a coluna de cima para baixo encontramos:

a) V, F, V b) F, F, F e) F, V, F

c) F, F, V d) V, V, F

34) (AFA) Se os elementos da matriz A3x4 so definidos por

aij = 2i - j, ento, o elemento b23 da matriz B = 2-1

A.At :

a) 1. b) 7. c) 10. d) 13.

35) Sendo

169

534

053

123

312

031

BeA ,

Determine a matriz X tal que (X + A)t = B.

36) Determine a inversa de cada matriz, caso exista:

a)

20

32 b)

21

42

37) (Ibmec) A inversa da matriz

41

31 a matriz

1

3

. Logo, podemos afirmar que igual a:

a) 1 b) 4 c) 4

1 d) 5 e) 0

38) (AFA) So dadas as matrizes A e B, quadradas, de ordem

n e inversveis. A soluo da equao (BAX)t = B, em que

(BAX)t a transposta da matriz (BAX), a matriz X tal que:

a) t1BABX b) 1t ABBX

c) t1BBAX d) 1t BABX

39) (Fatec) A matriz inversa da matriz em destaque, mostrada

adiante :

40) (IME) Determine uma matriz no singular P que satisfaa

equao matricial

10

06.1 AP , onde

45

21A .

41) (ITA) Considere a matriz

642781

16941

4321

1111

A

A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa

de A :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

42) So dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = 3i + 4j e bij = - 4i 3j. Se C = A + B, ento C

2 igual a:

a)

10

01 b)

10

01 c)

01

10

d)

01

10 e)

11

11

43) So dadas as matrizes A e B, quadradas, de ordem n e

invertveis. A soluo da equao A X-1

B-1

= In, onde In a

matriz identidade de ordem n, a matriz X tal que

a) X = A-1

B c) X = B-1

A e) X = B-1

A-1

b) X = B A-1

d) X = A B-1

44) (Puccamp) Em um laboratrio, as substncias A, B e C

so a matria-prima utilizada na fabricao de dois

medicamentos. O Mariax fabricado com 5g de A, 8g de B e

10g de C e o Luciax fabricado com 9g de A, 6g de B e 4g de

C. Os preos dessas substncias esto em constante alterao

e, por isso, um funcionrio criou um programa de computador

para enfrentar essa dificuldade. Fornecendo-se ao programa

os preos X, Y e Z de um grama das substncias A, B e C,

respectivamente, o programa apresenta uma matriz C, cujos

elementos correspondem aos preos de custo da matria-

prima do Mariax e do Luciax. Essa matriz pode ser obtida de

45) (UFG-2010) Para transmitir dados via satlite, dentre

outros processos da rea de telecomunicaes, utiliza-se

atualmente o Cdigo de Hamming. Ele pode garantir que, por

meio de um canal de comunicao, uma mensagem chegue ao

seu destinatrio sem erros, sem rudos, ou com possibilidade

de correo. Ao transmitir uma mensagem, usa-se um Cdigo

de Hamming de redundncia r =n - k , sendo k um parmetro.

Para detectar um erro na transmisso, efetua-se a operao

matricial Hvt , na qual H uma matriz de ordem r n , o

comprimento do cdigo 2 1rn e, neste caso, vt uma matriz coluna, transposta da matriz v , que representa a

mensagem enviada. A transmisso ser bem-sucedida se essa

multiplicao resultar em uma matriz nula. Com base nestas

informaes, um cdigo de redundncia r =3 pode detectar


6

erros de transmisso de mensagens cuja matriz v ,

necessariamente, uma matriz

a) linha, de ordem 17

b) coluna, de ordem 31

c) linha, de ordem 13

d) identidade, de ordem 33

e) nula, de ordem 37

46) (UFMT2004) Uma maneira para codificar uma mensagem utilizar a multiplicao de matrizes. Para tanto,

associam-se as letras do alfabeto e alguns smbolos aos

nmeros, segundo a correspondncia a seguir:

Nesse exemplo, o smbolo # indica um espao entre as

palavras. A mensagem codificada a ser enviada.

63 20 42 12 113 44 15 32 11 84

est representada pela matriz

8411321544

11312422063N obtida do produto entre

a matriz

12

13A e a matriz M que contm a mensagem

original decodificada (N = AM). Para decodificar a

mensagem, multiplica-se a matriz inversa de A pela matriz N

obtendo-se a matriz M (M = A -1

N). Assim sendo, a

mensagem, aps decodificada, ser:

a) Ame o bem. c) Viva a paz.

b) Sonhe alto. d) Seja feliz.

47) Pode-se utilizar matrizes e suas inversas para codificar

uma mensagem.Uma proposta para aquisio de um

determinado equipamento, ser enviada pela Internet. Por

segurana, esse valor ser transmitido pela matriz

4144

105112BA . A mensagem recebida dever ser

decodificada atravs da relao BBAA 1 em que B a matriz original da mensagem. Com base no texto e em seus conhecimentos, considerando que a matriz codificadora

da mensagem

21

53A e que o valor da proposta

dado pela soma dos elementos da matriz original, correto

afirmar que essa quantia, em mil reais, igual a

a) 11. d) 13.

b) 49. e) 15.

c) 47.

48) (UFPB) Num livro muito velho e em pssimo estado de

conservao, Maria notou que existia em um exerccio, uma

matriz 3x3 rasurada,

3

5

1

M , na qual se podia

ler apenas os trs elementos indicados em M. No enunciado

do exerccio, constava que a matriz M era simtrica e que a

soma dos elementos de cada linha era igual soma dos

elementos da diagonal principal. Qual o valor dessa soma

49) (UDESC SC/2008) Sejam X e Y matrizes de ordem

dois por dois tais que

1 2

4 3 Y X e

11 6

21 Y -X ;

logo, a soma dos elementos da diagonal principal da matriz

X :

a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8

50) (UERJ/1999) Joo comeu uma salada de frutas com a,

m e p pores de 100 g de abacaxi, manga e pra,

respectivamente, conforme a matriz X. A matriz A

representa as quantidades de calorias, vitamina C e

clcio, em mg, e a matriz B indica os preos, em reais,

dessas frutas em 3 diferentes supermercados. A matriz C

mostra que Joo ingeriu 295,6 cal, 143,9 mg de

vitamina C e 93 mg de clcio.

Considerando que as matrizes inversas de A e B so

A1

e B

1, o custo dessa salada de frutas, em cada

supermercado, determinado pelas seguintes

operaes:

a) B . A1

. C

b) C . A1

. B

c) A1

. B1

. C

d) B1

. A1

. C

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