MC1: A Estrutura do Universo e SU(6) Prof. Dr. Paulo Laerte Natti Departamento de Matemática...

MC1: A Estrutura do Universo MC1: A Estrutura do Universo e SU(6)e SU(6)

Prof. Dr. Paulo Laerte NattiProf. Dr. Paulo Laerte NattiDepartamento de MatemáticaDepartamento de Matemática

Universidade Estadual de LondrinaUniversidade Estadual de Londrina

Minicurso apresentado durante a Minicurso apresentado durante a XXV Semana da Matemática - Maio/2009XXV Semana da Matemática - Maio/2009

Colisão de Galáxias

MC1: A Estrutura do Universo e MC1: A Estrutura do Universo e SU(6)SU(6)

ApresentaçãoApresentação

Primeira AulaPrimeira AulaTeoria dos grupos.Teoria dos grupos.Grupo de rotações SO(3) e grupo SU(2)Grupo de rotações SO(3) e grupo SU(2)

Segunda AulaSegunda AulaModelo dos quarks e SU(3)Modelo dos quarks e SU(3)O Universo e SU(6)O Universo e SU(6)

Nebulosa Helix


Bibliografia da 1ª aulaBibliografia da 1ª aula

• Texto: Introdução enxuta à Teoria dos Grupos: capítulo 5 Professor João C. V. Sampaio – DM/UFSCAR – DM/UFSCAR Em http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/capitulo5.PDF

• Vídeo: Introdução à Teoria de Grupos e suas aplicações à Física: aula 6

Professor: João C. A. Barata - - DFMA/IFUSP/USPDFMA/IFUSP/USP

Em http://video.if.usp.br/node/240


Bibliografia da 2ª aulaBibliografia da 2ª aula

MODELO DE QUARKS E SISTEMAS MULTIQUARKS

Autores: Cristiane Oldoni da Silva e Paulo Laerte NattiCristiane Oldoni da Silva e Paulo Laerte Natti Publicado em Publicado em Revista Brasileira de Ensino de Física, Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 29, p. 175-187, 2007.v. 29, p. 175-187, 2007.

Em Em http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/060705.pdfhttp://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/060705.pdf

1 – Teoria dos grupos1 – Teoria dos grupos1.1 - Introdução1.1 - Introdução

• Grupos são usados na Matemática Grupos são usados na Matemática e nas ciências em geral para e nas ciências em geral para descrever uma simetria que está descrever uma simetria que está normalmente associada com normalmente associada com alguma propriedade invariante do alguma propriedade invariante do objeto estudado.objeto estudado.

• A teoria de Galois, que é a origem A teoria de Galois, que é a origem histórica do conceito de grupo, histórica do conceito de grupo, procura descrever as simetrias das procura descrever as simetrias das equações satisfeitas pelas equações satisfeitas pelas soluções de uma equação soluções de uma equação polinomial.polinomial.

Cometa Halley

Aplicações da Teoria de GruposAplicações da Teoria de Grupos

• Grupos abelianos estão presentes em várias Grupos abelianos estão presentes em várias estruturas, tais como estruturas, tais como anéis, corpos e módulos..

• Na topologia algébrica, grupos são usados para Na topologia algébrica, grupos são usados para descrever os invariantes de espaços topógicos.descrever os invariantes de espaços topógicos.

• Os grupos de Lie (em homenagem ao Os grupos de Lie (em homenagem ao matemático Sophus Lie) é importante no estudo matemático Sophus Lie) é importante no estudo de equações diferenciais em variedades de equações diferenciais em variedades (supefície). (supefície).


Aplicações da Teoria de GruposAplicações da Teoria de Grupos

• Na Física, ela é utilizada para descrever as simetrias Na Física, ela é utilizada para descrever as simetrias que as leis da Física devem obedecer. que as leis da Física devem obedecer.

• Neste minicurso, veremos como certas invariâncias Neste minicurso, veremos como certas invariâncias (simetrias) na Físicas das partículas do Universo (simetrias) na Físicas das partículas do Universo permitiu uma descrição da matéria em termos do permitiu uma descrição da matéria em termos do Grupo SU(6).Grupo SU(6).

• Em Química, grupos são utilizados para classificar Em Química, grupos são utilizados para classificar estruturas cristalinas e a simetrias das moléculas. estruturas cristalinas e a simetrias das moléculas.


Definição 1: Definição 1: Seja Seja AA um conjunto não vazio e seja ¤ uma um conjunto não vazio e seja ¤ uma

operação em operação em AA. A estrutura algébrica (. A estrutura algébrica (A; A; ¤) é denominada ¤) é denominada

um grupo se ¤ é uma operação associativa em um grupo se ¤ é uma operação associativa em AA, se tem um , se tem um

elemento neutro , e cada elemento é invertível elemento neutro , e cada elemento é invertível

na operação ¤. Se ¤ é também uma operação comutativa na operação ¤. Se ¤ é também uma operação comutativa

em em AA, então dizemos que o grupo é abeliano., então dizemos que o grupo é abeliano.

• Exemplo: O grupoExemplo: O grupo ((ZZ; +) é um grupo abeliano, de ; +) é um grupo abeliano, de elemento neutro 0, sendo o elemento inverso (inverso elemento neutro 0, sendo o elemento inverso (inverso aditivo) de cada inteiro aditivo) de cada inteiro o seu oposto .o seu oposto .

1 – Teoria dos grupos1 – Teoria dos grupos1.2 - Definição1.2 - Definição

Ae Aa

Za Za

Definição 2: Definição 2: Uma estrutura algébrica (Uma estrutura algébrica (GG; ¤) é um grupo se ; ¤) é um grupo se

satisfaz as seguintes propriedades:satisfaz as seguintes propriedades:

(P1) ¤ é uma operação associativa, isto é,(P1) ¤ é uma operação associativa, isto é,

tem-se que (tem-se que (xx ¤ ¤ yy) ¤ ) ¤ zz = = xx ¤ (y ¤ ¤ (y ¤ zz););

(P2) ¤ tem elemento neutro, isto é, existe tal que(P2) ¤ tem elemento neutro, isto é, existe tal que

xx ¤ ¤ ee = = ee ¤ ¤ x = x x = x para cada ;para cada ;

(P3) cada elemento de G é invertível na operação ¤, ou (P3) cada elemento de G é invertível na operação ¤, ou seja, para cada , existe (chamado seja, para cada , existe (chamado inverso de inverso de xx na operação ¤), tal que na operação ¤), tal que xx ¤ ¤ x’x’ = = x’x’ ¤ ¤ x=ex=e ..


GeGx

Gzyx ,,

Gx Gx

Definição da ordem do grupo: Definição da ordem do grupo: Sendo (Sendo (GG; ¤) um grupo, ; ¤) um grupo,

dizemos que a ordem de dizemos que a ordem de GG é igual a n, e denotamos por é igual a n, e denotamos por

se se GG é um conjunto finito de n elementos. é um conjunto finito de n elementos.

Exemplo: Seja o grupo de permutações de n elementos Exemplo: Seja o grupo de permutações de n elementos

denotado por . A ordem de é denotado por . A ordem de é


nG

nS nS

!nSn

• O grupo (O grupo (ZZ; +) e o grupo de permutação são ; +) e o grupo de permutação são grupo dito discretos, pois seus elementos “variam” de grupo dito discretos, pois seus elementos “variam” de forma descontínua.forma descontínua.

• Considere a composição de rotações. Compondo duas Considere a composição de rotações. Compondo duas rotações resulta em outra rotação; cada rotação tem rotações resulta em outra rotação; cada rotação tem uma única rotação inversa; e a função identidade uma única rotação inversa; e a função identidade satisfaz a definição de uma rotação, sendo o elemento satisfaz a definição de uma rotação, sendo o elemento neutro da rotação. Apropriando-se das propriedades neutro da rotação. Apropriando-se das propriedades acima, o conjunto de todas as rotações é um acima, o conjunto de todas as rotações é um grupogrupo sob sob a operação de composição.a operação de composição.

1 – Teoria dos grupos1 – Teoria dos grupos1.3 – Grupo de rotação - SO(3)1.3 – Grupo de rotação - SO(3)

nS

Explosão na coroa Solar

• Uma rotação geral em é uma transformação linear Uma rotação geral em é uma transformação linear que pode ser representada matricialmente comoque pode ser representada matricialmente como

onde são vetores e onde são vetores e RR é uma matriz de rotação. é uma matriz de rotação.


rrR

z

y

x

z

y

x

R

ou

3

3r

• Como uma rotação geral preserva o comprimento dos Como uma rotação geral preserva o comprimento dos vetores, então:vetores, então:

• Portanto, as matrizes de rotação têm a propriedadePortanto, as matrizes de rotação têm a propriedade


22 rr

rRRrrRRrrRrRrrrr TTTTTTT

TT RRIdRR 3

Matrizes com tal propriedade são chamadas Ortogonais

Rotação em torno do eixo zRotação em torno do eixo z


x

y

x’

y’

z

y

x

z

y

x

xyy

yxx

rsenry

rrx

ry

rx

ry

rx

100

0cossen

0sen-cos

'

'

'

Enfim,

sencos'

sencos'

sencoscos'

sensencoscos'

sen'

cos'

sen

cos

Definimos as matrizes de rotações emDefinimos as matrizes de rotações em

1- Uma rotação geral tem 3 parâmetros.1- Uma rotação geral tem 3 parâmetros.

2- O grupo de rotações não é Abeliano:2- O grupo de rotações não é Abeliano:

3- 3-


100

0cossen

0sen-cos

R

cos0sen-

010

sen0cos

R

cossen0

sen-cos0

001

R

z

yx

3

1detdetdet zyx RRR xzzx RRRR

Nomenclatura do grupo de RotaçõesNomenclatura do grupo de Rotações

• As três matrizes de rotações têm determinante As três matrizes de rotações têm determinante +1 e formam o grupo SO(3), grupo das +1 e formam o grupo SO(3), grupo das matrizes ortogonais especiais (determinante matrizes ortogonais especiais (determinante +1).+1).

• O grupo SO(3) é um caso especial do grupo O grupo SO(3) é um caso especial do grupo O(3) onde .O(3) onde .


1det

Geradores Infinitesimais de RotaçãoGeradores Infinitesimais de Rotação

Analogamente:Analogamente:

As matrizes abaixo são chamadas de geradores de SO(3)As matrizes abaixo são chamadas de geradores de SO(3)


zz JiIdi

i

iR 3

000

00

00

100

010

001

100

01

01

yyxx JiIdRJiIdR 33 e

000

00

00

,

00

000

00

,

00

00

000

i

i

J

i

i

J

i

iJ zyx

Rotações FinitasRotações Finitas

• No caso de rotações finitas em torno do eixo No caso de rotações finitas em torno do eixo xx

• Analogamente:Analogamente:


xiJN

xN

Nx

Nx

N

eN

JiIdLimRLimR

NLim

3

z

y

iJN

zN

Nz

Nz

iJN

yN

Ny

Ny

eN

JiIdLimRLimR

eN

JiIdLimRLimR

3

3

• Considere o grupo das matrizes Unitárias 2X2, com Considere o grupo das matrizes Unitárias 2X2, com determinante +1, denotado como SU(2)determinante +1, denotado como SU(2)

• Observe que os parâmetros Observe que os parâmetros aa e e b,b, complexos, complexos, satisfazem um vínculo satisfazem um vínculo 3 parâmetros livres 3 parâmetros livres

1 – Teoria dos grupos1 – Teoria dos grupos1.4 – Grupo de spin - SU(2)1.4 – Grupo de spin - SU(2)

1 com

1det 22

**2

ba

ab

baU

U

IdUUUU

Espaço-tempo em buraco negro

• As matrizes As matrizes U U transformam os spinores , vetores transformam os spinores , vetores bidimensionais complexos, ou seja, bidimensionais complexos, ou seja,

• Transformação de spinores sob SU(2):Transformação de spinores sob SU(2):

• Transformação de operadores sob SU(2). Seja Transformação de operadores sob SU(2). Seja OO um um operador:operador:


2

1

UOUUUO

U

Relação entre SO(3) e SU(2)Relação entre SO(3) e SU(2)

Temos queTemos que

Suponha que Suponha que


12

*1

*2

211

ab

baU

2

2

12

1

21

22

21

21

22

z

y

x


A partir de (1), calculando obtemos: A partir de (1), calculando obtemos:

Supondo que satisfaz Supondo que satisfaz


...........................................................................................................'

..........................................................................................................'22

1' **2*22*22*22*2

z

y

zabbaybbaai

xbbaax

21

2

2

2

1 ,,

0,2/ bea i 122 ba


Calculando, obtem-se:Calculando, obtem-se:

que uma rotação de um ângulo em torno do eixo z. Temos então que uma rotação de um ângulo em torno do eixo z. Temos então

a seguinte correspondência entre SU(2) e SO(3):a seguinte correspondência entre SU(2) e SO(3):


zz

yxy

yxx

'

cossen'

sencos'

100

0cos

0cos

0

02/

2/

sen

sen

Re

eU zi

i


• Em termos de gerador dos grupos temos:Em termos de gerador dos grupos temos:

ondeonde

• Note que uma rotação de um ângulo de um vetor, Note que uma rotação de um ângulo de um vetor, corresponde a uma rotação de um ângulo para um spinor.corresponde a uma rotação de um ângulo para um spinor.


100

0cos

0cos

0

02/

2/2/ sen

sen

eRe

eeU zz Ji

zi

ii

2/

0

0,

01

10,

10

01

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izxz

Matrizes de Pauli

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