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MÓDULO DE

GEOMETRÍA VECTORIALFRANCISCO JAVIER CÓRDOBA GÓMEZ PABLO FELIPE ARDILA ROJO

Córdoba Gómez, Francisco Javier Módulo de geometría vectorial / Francisco Javier Córdoba Gómez, Pablo Felipe Ardila Rojo.--1a ed. – Medellín : Fondo Editorial ITM, 2014. 149 p. -- (Colección Textos académicos)

Incluye referencias bibliográficas ISBN 978-958-8743-52-3

1. Geometría vectorial 2. Vectores I. Ardila Rojo, Pablo Felipe II. Tít. III. Serie

516.182 SCDD 21 ed.

Catalogación en la publicación - Biblioteca ITM

Módulo de geometría vectorial © FRANCISCO JAVIER CÓRDOBA GÓMEZ© PABLO FELIPE ARDILA ROJO© Fondo Editorial ITM

Edición: octubre 2014ISBN: 978-958-8743-52-3

Hechos todos los depósitos legales

RectoraLUZ MARIELA SORZA ZAPATA

EditoraSILVIA INÉS JIMÉNEZ GÓMEZ

Secretaria TécnicaVIVIANA DÍAZ

Correctora de EstiloLILA MARÍA CORTÉS FONNEGRA

DiagramadorALFONSO TOBÓN BOTERO

ImpresiónEDICIONES DIARIO ACTUALEditado en Medellín, ColombiaFondo Editorial ITMInstituto Tecnológico MetropolitanoCalle 73 No. 76A 354Tel.: (574) 440 5197www.itm.edu.co

Las opiniones, originales y citaciones del texto son de la responsabilidad de los autores. El ITM salva cualquier obligación derivada del libro que se publica. Por tanto, ella recaerá ´única y exclusivamente sobre los autores.

Resumen

Introducción ........................................................................................................................................ 13

1. Vectores geométricos

1.1 Aproximación al concepto .................................................................................................... 15

1.2 Vectores geométricos ............................................................................................................. 161.3 Álgebra de vectores ................................................................................................................ 19

1.3.1 Suma y métodos para sumar vectores ....................................................................... 191.3.1.1 Método del triángulo ............................................................................................ 191.3.1.2 Método del polígono ............................................................................................ 191.3.1.3 Método del paralelogramo ................................................................................... 21

1.3.2 Vector nulo ................................................................................................................... 261.3.3 Vector unitario o versor .............................................................................................. 261.3.4 Ángulo entre dos vectores ......................................................................................... 261.3.5 Vectores paralelos (primera parte) ............................................................................. 27 1.3.6 Opuesto o inverso aditivo de un vector ................................................................... 271.3.7 Resta y métodos para la resta ..................................................................................... 281.3.8 Propiedades de la suma de vectores .......................................................................... 291.3.9 Producto de un vector por escalar ............................................................................ 291.3.10 Vectores paralelos (segunda parte) ......................................................................... 301.3.11 Propiedades del producto de un vector por un escalar ....................................... 301.3.12 Normalización de un vector ..................................................................................... 31

1.4 Combinación lineal de vectores ........................................................................................... 31

1.5 Independencia lineal .............................................................................................................. 32

1.6 Base para el plano................................................................................................................... 321.6.1 Teorema de la base para el plano ............................................................................... 321.6.2 Teorema de la proporción ........................................................................................... 34

1.7 Demostraciones vectoriales .................................................................................................. 37

1.8 Ejercicios ................................................................................................................................. 40

2. Vectores coordenados en el plano (R2)

2.1 Vector coordenado y vector de posición ........................................................................... 432.1.1 Magnitud de vectores coordenados ........................................................................... 45 2.1.2 Dirección de vectores coordenados .......................................................................... 46 2.1.3 Igualdad de vectores coordenados ............................................................................. 46

2.2 Álgebra de vectores coordenados ................................................................................. 47 2.2.1 Suma ............................................................................................................................... 47

2.2.1.1 Vector nulo (vector cero) ..................................................................................... 482.2.1.2 Inverso u opuesto aditivo .................................................................................... 48

2.2.2 Resta .............................................................................................................................. 482.2.3 Vector entre dos puntos ............................................................................................. 50

Contenido

2.2.4 Producto de un vector por un escalar ...................................................................... 522.2.5 Normalización de un vector coordenado ................................................................ 532.2.6 Teorema de la base para el plano ............................................................................... 54

2.3 Ejercicios ................................................................................................................................. 57

3. Vectores algebraicos o coordenados en el espacio (R3)

3.1 Vector algebraico o coordenado en R3 ............................................................................... 593.1.1 Magnitud de un vector coordenado ........................................................................... 613.1.2 Dirección de un vector coordenado en R3 ............................................................... 623.1.3 Cosenos directores ....................................................................................................... 633.1.4 Igualdad de vectores coordenados en el espacio ..................................................... 643.1.5 Operaciones con vectores en el espacio ................................................................... 64

3.1.5.1 Suma ......................................................................................................................... 643.1.5.2 Vector nulo (vector cero) ...................................................................................... 653.1.5.3 Opuesto o inverso aditivo ..................................................................................... 653.1.5.4 Resta ......................................................................................................................... 653.1.5.5 Vector entre dos puntos ........................................................................................ 653.1.5.6 Producto de un escalar por un vector coordenado ........................................... 66

3.1.6 Base canónica para el espacio ..................................................................................... 693.1.7 Ángulo entre vectores coordenados .......................................................................... 703.1.8 Propiedades del producto escalar ............................................................................... 73

3.2 Demostraciones vectoriales usando el producto punto ................................................... 783.2.1 Teorema del coseno ..................................................................................................... 783.2.2 Triángulo rectángulo .................................................................................................... 793.2.3 Triángulo inscrito en una circunferencia ................................................................... 79

3.3 Ejercicios ................................................................................................................................. 82

3.4 Proyecciones de un vector .................................................................................................... 82

3.5 Producto vectorial o cruz en R3 ........................................................................................... 91 3.5.1 Propiedades del producto vectorial ........................................................................... 933.5.2 Propiedades geométricas del producto vectorial ..................................................... 943.5.3 Otros productos vectoriales ........................................................................................ 973.5.3.1 Triple producto escalar o producto mixto en R3 .................................................. 973.5.3.2 Propiedades geométricas del triple producto escalar .......................................... 983.5.3.3 Triple producto vectorial ........................................................................................ 101

3.6 Aplicaciones del producto cruz ......................................................................................... 102

3.7 Ejercicios ............................................................................................................................... 105

3.8 Rectas en el espacio .............................................................................................................. 1073.8.1 Ecuación vectorial de la recta ................................................................................... 1083.8.2 Ecuaciones paramétricas de la recta ........................................................................ 1093.8.3 Ecuaciones simétricas de la recta ............................................................................. 110

3.8.3.1 Ángulo entre dos rectas ....................................................................................... 1153.8.3.2 Posiciones relativas entre rectas ......................................................................... 1153.8.3.3 Distancia de un punto a una recta ..................................................................... 1173.8.3.4 Distancia entre dos rectas ................................................................................... 119

3.9 Ejemplos rectas .................................................................................................................... 121

3.10 Ejercicios ............................................................................................................................. 127

3.11 Planos en el espacio ........................................................................................................... 1273.11.1 Ecuación normal del plano ..................................................................................... 1293.11.2 Ecuación cartesiana del plano ................................................................................ 1303.11.3 Ecuación vectorial del plano ................................................................................... 1323.11.4 Ecuaciones paramétricas del plano ........................................................................ 1343.11.5 Representación del plano en el espacio ................................................................. 1353.11.5.1 Posiciones relativas entre planos ......................................................................... 1403.11.5.2 Distancia de un punto a un plano ....................................................................... 1433.11.5.3 Posiciones relativas entre planos y rectas .......................................................... 146

3.12 Ejercicios ............................................................................................................................. 150

Referencias Bibliográficas

Introducción

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CAPÍTULO 1Vectores geométricos

MÓDULO DE GEOMETRÍA VECTORIAL

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FRANCISCO JAVIER CÓRDOBA GÓMEZ PABLO FFELIPE ARDILA ROJO

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Referencias bibliográficas

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Francisco Javier Córdoba Gómez

Ingeniero de Minas y Metalurgia, Licenciado en Matemáticas. Magíster en Educación y Maestro en Ciencias en Matemática Educativa. Profesor Asistente Facultad de Ciencias Exactas y Aplicadas del ITM. Ha participado en diferentes eventos nacionales e internacionales en el ámbito de la educación matemática. Ha publicado algunos textos en el Fondo Editorial del ITM, entre los cuales se destacan: Desarrollo y uso didáctico de Geogebra (2013), Función lineal, cuadrática y volúmenes y Guía para docentes (2012). Se desempeña como Director del Instituto GeoGebra de Medellín desde el año 2012.

Pablo Felipe Ardila Rojo

Matemático de la Universidad Nacional. Magíster en Ciencias Matemáticas. Profesor Asistente de la Facultad de Ciencias Exactas y Aplicadas del ITM. Trabaja en el área de álgebra abstracta en la línea de Teoría de Nudos. Ha participado como ponente en varios eventos internacionales de matemáticas puras y educación matemática. Es miembro del Grupo de Investigación Da Vinci y coordina uno de sus semilleros.


Este libro se terminó de imprimir en Ediciones Diario Actual

en el mes de noviembre de 2014.

La carátula se imprimió en propalcote 300 gramos,

las páginas interiores en bond 90 gramos.

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