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Diagnóstico do ModeloAnálise de Resíduos

A decomposição da variabilidade das observações na Análise de Variância é puramente algébrica

No entanto, para realizar os testes estatísticos de igualdade das médias algumas suposições têm que satisfeitas:

1. As observações são descritas pelo modelo:

2. , ou seja, os erros são normais e independentes, com média 0 e variância σ2 constante.

Na prática, nem sempre essas suposições são válidas

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Análise de ResíduosNão se deve confiar nos resultados da

Análise de Variância até que as suposições sejam validadas

Isso pode ser feito atráves da Análise de Resíduos

O resíduo para a j-ésima observação no i-ésimo tratamento é definido como:

em que é uma estimativa do observação , obtida da seguinte forma

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Análise de ResíduosOs resíduos contém informação sobre a

variabilidade não explicada pelo modeloSe as suposições são válidas, os resíduos

não devem apresentar nenhuma tendência. Eles devem ser:

1. aparentemente normais

2. independentes

3. variância constante, ou seja, a variabilidade dos resíduos não deve mudar com os níveis do fator

Essas características são verificadas através dos Gráficos dos Resíduos

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Gráficos dos Resíduos

1. Gráfico de Probabilidade Normal

◦ resíduos versus os quantis teóricos de uma variável normal

◦ visualmente os pontos devem estar sob uma linha reta

◦ também útil para detectar outliers

2. Resíduos versus Ordem dos Dados

◦ útil para detectar correlação entre os resíduos

◦ qualquer tendência indica não independência

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Gráficos dos Resíduos

3. Resíduos versus Valores Ajustados◦ se o modelo está correto, esse gráfico

não deve apresentar nenhuma tendência

◦ serve para detectar variância não constante

4. Resíduos versus Níveis do Fator◦ detectar se a variância é constante

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Exemplo da Fibra Sintética

%Algod

ão

Resíduos ( )

1 2 3 4 5

15−2.8

(7)

−2.8

(7)

5.2(15

)

1.2(11

)

−0.8

(9)9.8

20−3.4(12)

1.6(17

)

−3.4

(12)

2.6(18

)

2.6(18

)15.4

25−3.6(14)

0.4(18

)

0.4(18

)

1.4(19

)

1.4(19

)17.6

30−2.6(19)

3.4(25

)

0.4(22

)

−2.6

(19)

1.4(23

)21.6

35−3.8

(7)

−0.8

(10)

0.2(11

)

4.2(15

)

0.2(11

)10.8

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Exemplo da Fibra Sintética

Usando a função lm do R:

> dados <- read.table(“DadosAlgodao.txt”, header=TRUE)

> fit <- lm(Obs ~ factor(Algodao), data=dados)

> anova(fit)

Analysis of Variance Table

Response: Obs

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

factor(Algodao) 4 475.76 118.94 14.757 9.128e-06 ***

Residuals 20 161.20 8.06

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

> plot(fit, col=“red”, pch=15)

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Gráficos de Probabilidade Normal

Resíduos Resíduos Padronizados

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Resíduos PadronizadosOs resíduos padronizados são dados por:

Aproximadamente N(0, 1), então um resíduo padronizado maior que 3 ou 4 é um potencial outlier

No Exemplo da Fibra Sintética, o maior resíduopadronizado é:

Então não temos indicação de outliers

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Gráfico dos Resíduos vs Ordem dos Dados

Nenhuma tendência aparente nesse exemplo

Então não há suspeita de violação da hipótese de independência

Isso é sinal de que a aleatorização foi feita de forma correta

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Gráfico dos Resíduos vs Valores Ajustados

Nenhuma tendência aparente nesse exemplo

Se o gráfico apresentar o formato de um cone, temos indicação de variância não constante

Nesse caso, transforma-se os dados para estabilizar a variância

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Gráfico dos Resíduos vs Níveis do Fator

Usado para checar a hipótese de igualdade de variância dentro dos tratamentos

No nosso exemplo, parece razoável assumir que as variâncias são iguais

Podemos usar o teste de Bartlett para testar formalmente a igualdade de variância

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Teste de BartlettHomogeneidade das VariânciasHipóteses

Estatística do Teste

onde

é a variância amostral do i-ésimo tratamento e a variância agrupada (MSE)

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Teste de BartlettHomogeneidade das Variâncias

Quando as a amostras referentes aos tratamentos são normais e independentes, a distribuição amostral de se aproxima de uma distribuição

O valor q é grande quando os s diferem muito e igual a zero quando são todos iguais

Portanto, rejeita-se H0 para também grande, ou seja,

Alerta: O Teste de Bartlett é muito sensitivo à normalidade. Então, não devemos utilizá-lo se a suposição de normalidade não for validada

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Teste de BartlettExemplo da Fibra Sintética

As variâncias para cada tratamento são:

Exercício: Encontrar a estatística do teste . Qual a conclusão dado que ?

No R> bartlett.test(Obs ~ factor(Algodao), data=dados)Bartlett test of homogeneity of variancesdata: Obs by factor(Algodao) Bartlett's K-squared = 0.9331, df = 4, p-value = 0.9198

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Exemplo: Controle da Ansiedade

Pesquisadores querem testar um novo medica-mento no combate a ansiedade

Eles irão testar três dosagens (0mg, 50mg e 100mg)

21 pacientes participa-ram do estudo e foram divididos igualmente

entre os três grupos

Depois de tomar a medi-cação, os pacientes dão uma nota de 1 – 10 para o nível de ansiedade

Pergunta: Existe diferen-ça entre as dosagens da medicação no controle da ansiedade?

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Exemplo: Controle da Ansiedade

Dosagem

(mg)

Nível de Ansiedade

( )

Total

Média1 2 3 4 5 6 7

0 9 8 7 8 8 9 8 57 8.14

50 7 6 6 7 8 7 6 47 6.71

100 4 3 2 3 4 3 2 21 3

=125

=5.95

Exercício Faça a Análise de Variância para esse exemplo e responda a pergunta dos pesquisadores Faça a Análise dos Resíduos (use o R para obter os gráficos)

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Para relembrar as fórmulas... Tabela ANOVA com Um Fator

E as SS podem ser simplificadas como: