Mecanica Classica - Modelagem Newtoniana, Lagrangeana e Hamiltoniana

Modelagens newtoniana, lagrangeana e

hamiltoniana de sistemas mecanicos

discretos

Ricardo M. S. Rosa

Departamento de Matematica Aplicada, Instituto de Matematica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Caixa Postal 68530 Ilha do

Fundao, Rio de Janeiro RJ 21945-970, Brasil

Conteudo

Introducao 5

Capıtulo 1. Modelagem newtoniana 71. Princıpios da modelagem newtoniana 72. Exemplos de modelagem newtoniana 8

Capıtulo 2. Modelagem lagrangeana 111. Princıpios da modelagem lagrangeana 112. Exemplos de modelagem lagrangeana 133. Modelagem lagrangeana com restricoes implıcitas 14

Capıtulo 3. Formulacao Hamiltoniana 171. Formulacao hamiltoniana a partir das equacoes de Newton 172. Formulacao hamiltoniana a partir do lagrangeano 193. Exemplos de modelagem hamiltoniana a partir da lagrangeana 214. Transformada de Legendre 225. Colchete de Poisson e estruturas simpleticas 246. Variaveis acao-angulo 25

Capıtulo 4. Conservacao de energia, simetrias e o teorema de Nother 311. Conservacao de energia 312. Simetrias 323. Quantidades conservadas e o teorema de Nother 36

Capıtulo 5. Potenciais de Forcas 411. Sistemas microscopicos e macroscopicos 412. Forcas potenciais 423. Forca gravitacional 424. Campos eletrostaticos 435. Atracoes magneticas 436. Campos eletromagneticos 457. Forcas elasticas 478. Modelagem molecular 479. Corpos rıgidos 4810. Movimentos relativısticos 54

3

4 CONTEUDO

Capıtulo 6. Outros exemplos de modelagem 571. Pendulo em rotacao 572. Sistema massa-mola-pendulo tridimensional 593. Osciladores acoplados e vibracoes de polımeros 614. Movimento de uma bola sobre um relevo 625. Pendulo de uma bola dentro de uma roda sobre um relevo 646. Forca centrıfuga 647. Forca de Coriolis 658. Movimento de um haltere girante 669. Movimento de um cilindro dentro de outro 6710. Pendulo magnetico 7011. Partıcula carregada eletricamente em um campo magnetico uniforme 7112. Pendulo relativıstico 7213. Movimento de um satelite 7314. Movimentos de dois e tres corpos 7415. Movimento restrito de tres corpos 75

Bibliografia 79

Introducao

Vamos comparar as modelagens newtoniana, lagrangeana e hamiltoniana de sis-temas mecanicos discretos. Em geral teremos um sistema idealizado de N ∈ N

partıculas pontuais de massa mi > 0 e posicao xi ∈ R3, i = 1, . . . , N . Vamos,

ver, tambem, casos de corpos rıgidos, onde o momento angular tambem deve sermodelado. Mas sistemas contınuous como gases, lıquidos e solidos elasticos, assimcomo sistemas mecanicos quanticos nao serao vistos. Esses necessitam de uma teoriade campos “contınua”, nao mais discreta.

Vamos nos preocupar em grande parte com a influencia de restricoes na geometria,como nos casos de um pendulo que esta restrito a um movimento circular e de umabola se movendo sobre um dado relevo. Veremos que, nesses casos, a modelagemlagrangeano e bem mais apropriada que a newtoniana para nos revelar as equacoesde movimento do sistema.

A teoria sera ilustrada com diversos exemplos. O objetivo e introduzir essesconceitos para estudantes avancados de matematica que nao tiveram um curso demecanica e gostariam de entender as modelagens por detras de diversas equacoesdiferenciais que servem de exemplo na teoria de sistemas dinamicos.

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CAPıTULO 1

Modelagem newtoniana

1. Princıpios da modelagem newtoniana

Na modelagem newtoniana, o princıpio fundamental e o da segunda lei de Newton,que afirma, no caso de massa constante, que forca e igual a massa vezes aceleracao.Assim, buscamos analisar todas as forcas que agem em cada partıcula e igualar aresultante Fi ao produto da massa mi com a aceleracao d2xi/dt

2. Um notacao comumem mecanica para as derivadas temporais e um ou mais pontos acima da variavel,como xi = dx/dt e xi = d2x/dt2. A relacao forca igual a massa vezes aceleracao paracada partıcula, nos da um sistema de equacoes

mixi = Fi, i = 1, . . . , N.

Observe que este e um sistema de 3N equacoes, visto que para cada partıcula temostres coordenadas para a posicao e tres para a forca. Vale ressaltar, tambem, que aforca Fi pode depender do tempo t, da posicao das outras partıculas, Fi = Fi(t,x).Em certos casos, como em eletrodinamica, a forca pode, tambem, depender da ve-locidade, Fi = Fi(t,x, x).

Podemos reescrever esse sistema na forma vetorial completa

M x = F(t,x, x)

onde M e uma matriz de “massas” apropriada. Essa matriz e diagonal.No caso sistemas macroscopicos tratados pontualmente so que com massa variavel,

como no caso em que a queima de combustıvel e significativa para o lancamento deum foguete, devemos usar a lei de Newton na sua forma mais geral, que implica emque a variacao de momento e igual a forca. O momento de cada partıcula e mxi,assim temos

d

dt(mixi) = Fi(t,x, x), i = 1, . . . , N.

Em certos casos em que alguma simetria esta presente, podemos reduzir o numerode coordenadas necessarias para descrever as posicoes xi e a forcas Fi. Por exemplo,o movimento de um corpo caindo verticalmente em queda livre pode ser descritoapenas pela altura do corpo em relacao a ao solo; o movimento de uma massa presa auma extremidade de uma mola, com a outra extremidade fixa, e apresentado apenasum movimento unidimensional, longitudinal a mola, pode ser representado apenaspelo comprimento da mola; um pendulo com movimento planar pode ser descrito porapenas o angulo que o pendulo faz com o eixo vertical; um pendulo nao restrito a um

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8 1. MODELAGEM NEWTONIANA

movimento planar pode ser descrito por dois angulos, como nas coordenadas esfericascom o raio fixo; etc. Em geral, podemos representar por q as coordenadas levandoem consideracao a geometria, com as coordenadas gerais dadas por uma funcao deq, da forma x = X(q). A restricao tambem pode variar com o tempo, sendo dotipo x = X(t,q). A dificuldade, porem, e que nao basta usarmos a regra da cadeiapara acharmos uma equacao para q a partir de M x = F(t,x, x). As restricoes impoescertas forcas virtuais (tensao, centrıfuga, de Coriolis, etc.) que precisam ser reobtidas,levando a um novo sistema da forma

Mrq = Fr(t,q, q).

As coordenadas q sao chamadas de posicoes ou coordenadas generalizadas, enquantoque os termos q e q sao chamados de velocidades e aceleracoes generalizadas. Emgeral, porem, a obtencao dessa nova forca sob restricoes um pouco complicadas, podeser bastante difıcil e que, nesses casos, a modelagem lagrangeana e bem mais apro-priada.

Vejamos alguns exemplos concretos de modelagem newtoniana.

2. Exemplos de modelagem newtoniana

PSfrag replacements

eixo h

h = h(t)

h = 0

F = −mg

Figura 1. Corpo em queda livre, com altura h(t) em relacao ao soloe forca gravitacional F = −mg.

2.1. Corpo em queda livre. No caso de um corpo pontual de massa m emqueda livre, denotamos por h = h(t) a altura do objeto no instante de tempo t emrelacao a um plano horizontal representando o solo (figura 1). No corpo, age umaforca gravitacional vertical descendente de magnitude mg, onde g ≈ 9, 2m s−1 e aaceleracao da gravidade. A velocidade vertical do objeto e h(t) e a aceleracao, h(t).Pela lei de Newton, temos

mh = −mg.

O sinal a direita e devido ao fato de que a forca gravitacional age no sentido dedecrescimento da altura.

2. EXEMPLOS DE MODELAGEM NEWTONIANA 9

2.2. Pendulo planar. No caso do pendulo planar, temos uma massa presa emuma extremidade de uma haste rıgida considerada de massa desprezıvel. A outraextremidade fica presa a uma estrutura que permite que a haste descreva movimentosrestritos a um plano perpendicular ao solo. Por exemplo, a estrutura pode ser umaoutra haste paralela ao solo e presa a outras duas hastes verticais e os movimentospossıveis da haste com a massa sao perpendiculares a essa estrutura (figura 2).

Podemos utilizar o angulo θ que a haste faz com o eixo perpendicular ao solo,com θ = 0 indicando a posicao em que a massa esta na extremidade inferior da haste.Assim, θ aumenta em modulo quando a massa se afasta do solo, pelo menos enquantouma meia volta nao e completada, ou seja, enquanto θ estiver estritamente entre −πe π.

l

PSfrag replacements

θ

F

Fn

F t

T

Figura 2. Pendulo com um objeto de massa m na ponta, preso poruma haste de comprimento l e massa desprezıvel. O peso da massa temmagnitude mg e gera uma forca vertical F com componente tangencialdada por F t = mg sin θ. A componente normal F n e balanceada pelatensao T na haste.

A velocidade angular do pendulo e θ, enquanto que a aceleracao angular e θ. Sendol o comprimento da haste, lθ e o comprimento de arco descrito em relacao a posicaode equilıbrio, enquanto que a velocidade tangencial e lθ e a aceleracao tangencial elθ. A forca gravitacional que age no pendulo tem magnitude mg e e vertical, podendoser decomposta em duas componentes, uma normal a circunferencia de raio l que opendulo descreve e outra, tangencial a essa circunferencia. A componente normale balanceada pela tensao T na haste, que e rıgida. A componente tangencial temmagnitude mg sin θ. Assim, pela lei de Newton,

mlθ = −mg sin θ,

10 1. MODELAGEM NEWTONIANA

O sinal de menos se deve ao fato de que no caso em que θ e positivo, sin θ e positivoe a forca gravitacional age no sentido de decrescimento de θ, devendo a resultanteser negativa. Por outro lado, no caso em que θ e negativo, sin θ e negativo e a forcagravitacional age no sentido de crescimento de θ.

As simetrias impostas nesse modelo fazem com que as outras duas coordenadasespaciais do pendulo sejam constantes. A resultante das forcas nas outras coordenadasse anula e essas coordenadas nao aparecem explicitamente na equacao.

CAPıTULO 2

Modelagem lagrangeana

1. Princıpios da modelagem lagrangeana

Na formulacao lagrangeana, o princıpio fundamental e o princıpio da menor acao.A acao e definida como a integral no tempo de uma funcao chamada lagrangeano edefinido como sendo a energia cinetica menos a energia potencial do sistema. No casode um sistema nao-restrito de N partıculas,

L(x, x) = K(x) − V (t,x, x) =1

2

N∑

i=1

mi|xi|2 − V (t,x, x),

onde | · | denota a norma Euclidiana e V (t,x, x) a energia potencial.Caso alguma restricao da forma x = X(t,q) seja imposta, ou mais explicitamente

xi = Xi(t,q1, . . . ,qd), i = 1, . . . , N,

com X = (Xi)i : RN → R

d, 1 ≤ d ≤ N , o lagrangeano toma a forma

Lr(t,q, q) = Kr(t,q, q) − Vr(t,q, q),

onde o indıce r significa termos nas novas variaveis restritas. Como

xi = ∇qXi(q) · qi + ∂tXi(q),

a nova energia cinetica Kr(t,q, q) pode, de fato, depender tanto de q como de q et. A restricao x = X(t,q) e uma restricao explıcita. Restricoes implıcitas, comoG(t,x) = 0, requerem o uso de “multiplicadores de Lagrange” e serao vistas emseguida.

Mesmo no caso de restricoes explıcitas, o princıpio da menor acao e valido e, emcada intervalo de tempo [0, T ], o sistema percorre o caminho q = q(t), 0 ≤ t ≤ T ,entre certos pontos q(0) = q0 e q(T ) = qT , que minimiza a acao, dada por

A(q(·),q0,qT , T ) =

∫ T

0

Lr(t,q(t), q(t)) dt.

Assim, o caminho correto e o de menor acao, o que pode ser escrito da forma

A(q(·),q0,qT , T ) = minq∈Q

A(q(·),q0,qT , T )

onde Q indica o conjunto de todos os caminhos q possıveis iniciados em q(0) =q0 e terminados em q(T ) = qT . Nessa minimizacao, as variaveis q0, qT e T saomantidas fixas e, por isso, vamos simplificar a notacao, escrevendo apenas A(q(·)) =

11

12 2. MODELAGEM LAGRANGEANA

A(q(·),q0,qT , T ) Podemos, tambem, “transladar” Q para estar centrado no mınimoq e escrever

A(q(·)) = minq∈Q0

A(q(·) + q(·)),

onde Q0 indica o conjunto de todos os caminhos q possıveis iniciados em q(0) = 0 eterminados em q(T ) = 0, de modo que q(0) + q(0) = q0 e q(0) + q(T ) = qT .

Para acharmos os mınimos da acao, procuramos os seus pontos crıticos, ou seja,os pontos em que o “gradiente” se anula. So que a acao nao e uma funcao vetorial, elae uma funcao de outra funcao, q(·) Isso torna as coisas um pouco mais complicada.Mas, essencialmente, vamos assumir que podemos formalmente derivar sob o sinal deintegracao e, ainda, escrever

∇A(q(·)) · q =

∫ T

0

(

∇qLr(t,q(t), q(t)) · q(t) + ∇qLr(t,q(t), q(t)) · ˙q(t))

dt.

Observe que a acao depende de q(·) enquanto que o lagrangeano depende de q(t)e de q(t). Isso faz sentido, porque, de fato, q(t) e q(t) sao funcoes de q(·), saovalores instantaneos relativos a funcao q(·) definida no intervalo [0, T ]. Alem disso,em relacao a notacao, ∇qLr denota apenas o gradiente de Lr em relacao a segundavariavel, que e apenas “calculada” em q(t). Isso e, de fato, um abuso de notacao, mase a convencao. Para sermos mais precisos, deverıamos ter definido Lr = Lr(t,q,v),sem ter feito inicialmente uma relacao direta entre v e q, de modo que ∇qLr seriasimplesmente ∇vLr.

Integrando por partes o segundo termo da acao e usando as condicoes de contornoq(0) = 0 e q(T ) = 0, temos

∇A(q(·)) · q =

∫ T

0

(∇qLr(t,q(t), q(t)) · q(t) − ∂t∇qLr(t,q(t), q(t)) · q(t)) dt.

Como isso vale para qualquer q ∈ Q0, necessariamente o integrando deve se anular e

d

dt∇qLr(t,q(t), q(t)) −∇qLr(t,q(t), q(t)) = 0.

Essa e a equacao de Euler-Lagrange para a acao. Esta equacao coincide com a equacaoobtida pela lei de Newton, mas a sua formulacao e totalmente diferente. Veremos al-guns exemplos em seguida. Antes, podemos fazer uma conexao direta com as equacoesde Newton introduzindo o momento generalizado

p(t,q, q) = ∇qLr(t,q(t), q(t)).

e considerando o termo

F(t,q, q) = ∇qLr(t,q(t), q(t)).

como representando as forcas agindo no sistema restrito, incluindo as (pseudo-)forcasde restricao (forcas centrıfuga, de Coriolis, etc.) Assim, as equacoes de Euler-Lagrange

2. EXEMPLOS DE MODELAGEM LAGRANGEANA 13

podem ser escritas na forma da equacao de Newton:

dp

dt= F.

2. Exemplos de modelagem lagrangeana

2.1. Corpo em queda livre. Nesse caso, colocando o eixo z no caminho daqueda do corpo, temos a sua posicao x = (0, 0, h), com h = h(t). Nesse caso d = 1,q = h e x = X(h) = (0, 0, h). A energia cinetica e

K(x) = Kr(h) =1

2mh2.

A energia potencial eV (x) = Vr(h) = mgh.

Assim,

Lr(h, h) =1

2mh2 −mgh.

Derivando o lagrangeano temos

∇hLr(h, h) = −mg, ∇hLr(h, h) = mh.

Assim, as equacoes de Euler-Lagrange tem a forma

d

dt(mh) +mg = 0,

ou seja,mh = −mg,

que coincide com a equacao obtida via segunda lei de Newton.

2.2. Pendulo planar. No caso do pendulo, colocando o plano xz no plano deoscilacao do pendulo, temos x = (x, 0, z) e a energia cinetica tem a forma

K(x, z) =1

2m(x2 + z2).

Como x = l sin θ e z = −l cos θ, temos

x = lθ cos θ, z = lθ sin θ,

logo

K(x, z) = Kr(θ) =1

2ml2θ2

Nesse caso, d = 1, q = θ e x = X(θ) = (l sin θ, 0,−l cos θ). A energia potencialgravitacional e simplesmente

V (x, z) = mgz = Vr(θ) = −mgl cos θ.

Assim,

Lr(θ, θ) = Kr(θ) − V (θ) =1

2ml2θ2 +mgl cos θ,

14 2. MODELAGEM LAGRANGEANA

com as derivadas parciais

∇θLr(θ, θ) = −mgl sin θ, ∇θLr(θ, θ) = ml2θ.

A equacao de Euler-Lagrange se escreve

d

dt(ml2θ) +mgl sin θ = 0,

ou seja


que coincide com a equacao obtida via segunda lei de Newton. Observe que nessecaso simples, a formulacao lagrangeana foi ainda mais simples do que a newtoniana,que envolve a analise geometrica da decomposicao das forcas. Essa diferenca seraainda mais marcante em problemas com geometrias mais complicadas, como veremosposteriormente.

3. Modelagem lagrangeana com restricoes implıcitas

A grande vantagem da formulacao lagrangeana e no tratamento de restricoes.Nao precisamos nos preocupar com a decomposicao das forcas que agem em cadapartıcula e na reacao causada por tensoes com partes rıgidas, como hastes e relevos.Isso vale tanto para restricoes explıcitas, como para implıcitas. E podemos ter ambasao mesmo tempo. Por exemplo, uma primeira restricao explıcita

x = X(t,q)

pode ser seguida de uma restricao implıcita

G(t,q) = 0.

Observe que a restricao explıcita tambem pode ser tratada como uma restricaoimplıcita, mas isso nao e vantagem.

Com essas restricoes o problema de minimizacao com restricao se torna um prob-lema de multiplicadores de Lagrange. Busca-se, assim, minimizar a acao dada pelolagrangeano

Lλ(t,q, q) = L(t,q, q) − λ · G(t,q).

A razao disso e que, ao buscarmos o mınimo da nova acao, estaremos buscando um“ponto” onde o gradiente da acao original e um multiplo da acao da restricao. Assim,o gradiente da acao original e perpendicular a curva de nıvel da restricao, de modoque a acao original nao vai, necessariamente, aumentar em uma direcao e diminuirna direcao oposta, nos dando, assim, um ponto crıtico (figura 1).

A partir do momento que temos o novo lagrangeano Lλ, podemos obter as equacoesde Euler-Lagrange da acao correspondente. Podemos ilustrar isso refazendo o prob-lema do corpo em queda livre, primeiro com a restricao explıcita

x = (x, 0, z)

3. MODELAGEM LAGRANGEANA COM RESTRICOES IMPLICITAS 15

Figura 1. Curvas de nıvel (linhas finas) e a restricao (linha grossa),com os vetores gradientes ilustrados em dois pontos, um em que elessao transversais e o ponto nao e ponto crıtico e o outro em que eles saocolineares e o ponto e o ponto crıtico procurado.

e, em seguida, com a restricao implıcita

G(x, z) = x = 0.

Com isso, o lagrangeano e

Lλ(x, z) =1

2m(x2 + z2) −mgz − λx.

Observe que dessa maneira, d = 2 e q = (x, z). Assim, os gradientes ∇qLλ e ∇qLλsao de fato vetores, dados por

∇qLλ = (∂xLλ, ∂zLλ) = (−λ,−mg),

e∇qLλ = (∂xLλ, ∂zLλ) = (mx,mz)

As equacoes de Euler-Lagrange em conjunto com a restricao levam a um sistema deequacoes

mx = −λ,

mz = −mg,

x = 0,

que se reduz amz = −mg.

Este foi um caso simples. Veremos, posteriormente, casos mais interessantes.Veremos, tambem, a seguir, como essa ideia de multiplicadores de Lagrange pode serusada para relacionar a formulacao lagrangeana com a hamiltoniana.

CAPıTULO 3

Formulacao Hamiltoniana

Uma formulacao mais explıcita das equacoes de movimento e a hamiltoniana, maisela nao e obtida tao diretamente. Na verdade essa formulacao depende fortementedas formulacoes anteriores. Mas uma vez obtida a formulacao hamiltoniana, elanos permite um tratamento melhor. Ha certas estruturas matematicas que estaodiretamente ligadas a essa formulacao.

1. Formulacao hamiltoniana a partir das equacoes de Newton

Dada uma equacao newtoniana na forma

M x = F(x),

podemos passar isso para a forma de um sistema ampliado de primeira ordem,{

x = y,

y = M−1F(x).

No caso em que −M−1F(x) seja uma funcao potencial, isto e

M−1F(x) = −∇V (x),

para alguma funcao potencial V = V (x), entao esse sistema se torna equivalente a{

x = ∇yH(x,y),

y = −∇xH(x,y),

onde

H(t,x,y) =1

2|y|2 + V (x)

Essa funcao H(x,y) e chamada hamiltoniano do sistema. Ela e uma quantidadeconservada do sistema, pois, ao longo de cada solucao (x,y) = (x(t),y(t)),

d

dtH(x(t),y(t)) = Hx · x +Hy · y = Hx ·Hy −Hy ·Hx = 0.

Observe ainda que, nesse caso, (1/2)|y|2 e essencialmente a energia cinetica dosistema (so estao faltando as massas), V (x) e essencialmente a energia potenciale, portanto, H(x,y) e essencialmente a energia total do sistema. Mas quando harestricoes, a historia nao e mais tao simples.

17

18 3. FORMULACAO HAMILTONIANA

No caso do corpo em queda livre, temos

mh = −mg,

logo{

h = v,

v = −g.

Nesse caso, g e a derivada de V (h) = gh, de modo que o hamiltoniano e

H(h, v) =1

2v2 + gh.

No caso do pendulo, temos


logo{

θ = ψ,

ψ = −g sin θ.

Nesse caso, g sin θ e a derivada de V (θ) = −g cos θ, de modo que o hamiltoniano tomaa forma

H(θ, ψ) =1

2ψ2 − g cos θ.

As equacoes de Newton para o corpo em queda e para o pendulo planar saoexemplos de equacoes escalares de primeira ordem da forma

q + g(q) = 0,

Nesses casos, e trivial obter o hamiltoniano, que sera sempre da forma

H(q, p) =1

2p2 +G(q),

onde G(q) e uma primitiva qualquer de g. Mais geralmente, para um sistemas bidi-mensional da forma

{

q = f(q, p),

p = g(q, p),

uma condicao para que ele seja hamiltoniano e que o divergente do campo (f, g) sejanulo:

fq(q, p) + gp(q, p) = 0.

Para que isso seja uma condicao suficiente, e preciso que o domınio de definicao de fe g seja simplesmente conexo. Sob essas duas condicoes, podemos reduzir a equacaopara uma de primeira ordem, fazendo

dp

dq=p

q=g(q, p)

f(q, p),

2. FORMULACAO HAMILTONIANA A PARTIR DO LAGRANGEANO 19

e que pode ser posta na forma

−g(q, p) + f(q, p)dp

dq= 0.

A condicao de divergencia nula de (f, g) e a condicao de Euler para a equacao acimaser exata. Com o metodo de resolucao de equacoes exatas, podemos achar umaprimitiva H(q, p) satisfazendo Hq(q, p) = f(q, p) e Hp(q, p) = −g(q, p). Essa primitivae o hamiltoniano do sistema. Um exemplo desse tipo de sistema e o do modelo depredador-presa de Lotka-Volterra.

Porem, nos casos de maior dimensao e em que F(x) depender de x e/ou de t,nao podemos obter essa formulacao tao facilmente. Nesses casos, que aparecem comfrequencia em sistemas com restricoes nao triviais, pode nao ser nada imediado acharuma integral H(x,y) cujo sistema seja equivalente a

{

x = ∇yH(x,y),

y = −∇xH(x,y),

Mas isso ainda pode ser feita via lagrangeano, de modo bastante geral, como veremosa seguir.

2. Formulacao hamiltoniana a partir do lagrangeano

Vamos partir de um lagrangeano da forma

L(t,q, q),

que pode ter sido obtido com restricoes explıcitas e/ou implıcitas ou ate sem restricoes.A ideia e olhar a condicao

v = q

como uma nova restricao e minimizar a acao de L(t,q,v) restrita a condicao v = q.Assim, um novo lagrangeano deve ser considerado da forma

L(t,q,v) − λ · (v − q).

Um detalhe delicado e que, agora, a restricao nao e mais “pontual”, mas sim “fun-cional”, pois a funcao q(·) deve ser igual a funcao v(·). Nesse caso, o multiplicadorde Lagrange tambem sera uma funcao λ = λ(·). (Podemos pensar da seguinte forma:no caso de uma unica condicao algebrica, o multiplicador de lagrange e um escalar;no caso de n condicoes algebricas, o multiplicador de Lagrange e um vetor de n co-ordenadas; e no caso de “infinitas condicoes”, como y(·) = q(·), o multiplicador deLagrange tem “infinitas coordenadas” λ(·).)

Por motivacoes fısicas, o multiplicador sera posteriormente interpretado como ummomento generalizado. Por esse motivo, vamos usar a letra p para denotar o multi-plicador de Lagrange, ao inves de λ. Assim, vamos considerar o novo lagrangeano

Lp(t,q,v) = L(t,q,v) − p · (v − q).


Observe, ainda, que a minimizacao, agora, e em relacao a q e v e nao apenas a q.Assim, a variavel estendida (q,v) faz o papel da antiga variavel q, assim como (q, v)faz o papel de q. Temos, portanto, as derivadas parciais

∇(q,v)Lp = (∇qLp,∇vLp) = (∇qL,∇vL− p)

e

∇(q,v)Lp = (∇qLp,∇vLp) = (∇qL, 0).

Assim, as equacoes de Euler-Lagrange

d

dt∇(q,v)Lp + ∇(q,v)Lp = 0,

com a restricao v = q, se tornam

ddt∇qL−∇qL = 0

−∇vL+ p = 0,

q = v.

Vamos olhar com mais cuidado para a segunda equacao, que e uma equacao“estacionaria”, pois nao inclui derivada temporal explicitamente. Incluindo todasas variaveis, temos

p = ∇vL(t,q,v).

Podemos esperar que haja uma solucao da forma v = V(t,q,p), com

p = ∇vL(t,q,V(t,q,p)),

para todo t, p, q. Veremos, nos exemplos, que isso e bem natural. De fato, observeque, em certos casos, ∇V e apenas mv e estaremos apenas trocando mv por p.Isso justifica a definicao de p como um momento generalizado, ou momentos, poisestamos tratando de um sistema de varias partıculas. Podemos, tambem, obter, doteorema da funcao implıcita, uma condicao para a existencia da funcao V(q,p), asaber, que a diferencial de ∇vL(t,q,v) seja inversıvel ao longo da solucao q = q(t),com v(t) = q(t). Essa diferencial e a matriz segunda derivada

D2vL(t,q,v) =

(

∂2

∂vi∂vjL(t,q,v)

)d

i,j=1

.

Ha apenas um pequeno abuso de notacao acima, pois cada vi ainda pode ser umvetor.

Assim, assumindo a existencia de uma funcao V = V(t,q,p) satisfazendo

p = ∇vL(t,q,V(t,q,p)),

podemos definir o hamiltoniano

H(t,q,p) = p · V(t,q,p) − L(t,q,V(q,p)).

3. EXEMPLOS DE MODELAGEM HAMILTONIANA A PARTIR DA LAGRANGEANA 21

As suas derivadas parciais satisfazem

∇qH(t,q,p) = p ·DqV(t,q,p) −∇qL(t,q,V(q,p))

−∇vL(t,q,V(q,p)) ·DqV(t,q,p)

= (p −∇vL(t,q,V(q,p))) ·DqV(t,q,p) −∇qL(t,q,V(t,q,p))

= −∇qL(t,q,V(t,q,p)),

∇pH(t,q,p) = V(t,q,p) + p ·DpV(t,q,p)) −∇vL(t,q,V(t,q,p)) ·DpV(t,q,p)

= V(t,q,p) + (p −∇vL(t,q,V(t,q,p))) ·DpV(t,q,p)

= V(t,q,p).

ComoV(t,q,p) = v = q,

temos∇pH(t,q,p) = q.

E como

p = ∇vL,d

dt∇qL−∇qL = 0, v = q,

temos

p =d

dt∇qL = ∇qL = −∇qH.

Assim, chegamos a um sistema em q e p:{

q = ∇pH(t,q,p)

p = −∇qH(t,q,p).

Essas equacoes levam o nome de equacoes de Hamilton. Conforme mencionado acima,as coordenadas q e p sao chamadas de posicoes e momentos generalizados, respecti-vamente.

3. Exemplos de modelagem hamiltoniana a partir da lagrangeana

3.1. Corpo em queda livre. Nesse caso, o lagrangeano e

L(h, v) =1

2mv2 −mgh.

Observe que h faz o papel de q e v, o de v. A equacao para a definicao do momentogeneralizado p = p e

p = Lv(h, v) = mv

que e, na verdade, o proprio momento. Resolvendo essa equacao para v, temos

v = V (h, p) = V (p) =p

m.

Assim, o Hamiltoniano toma a forma

H(h, p) = pV (p) − L(h, V (p)) =1

mp2 −

1

2mp2 −mgh =

1

2mp2 +mgh


e as equacoes de Hamilton sao{

h =p

mp = −mgh

Como p = mv, observe que esse sistema coincide com{

h = v,

v = −gh,

obtido via equacao de Newton.

3.2. Pendulo planar. Nesse caso, o lagrangeano e

L(θ, ψ) =1

2ml2ψ2 +mgl cos θ.

A equacao para a definicao do momento generalizado, que agora denotaremos por π,e

π = ∇ψL(θ, ψ) = ml2ψ.

Resolvendo essa equacao para ψ, temos

ψ = V (π) =1

ml2π.

Assim, o Hamiltoniano e

H(θ, π) = πV (π)− L(θ, V (π)) =1

ml2π2 −

1

2ml2π2 −mgl cos θ =

1

2ml2π2 −mgl cos θ,

com as equacoes de Hamilton{

θ =π

ml2,

π = −mgl cos θ.

Como π = ml2ψ, esse sistema coincide com{

θ = ψ

ψ =g

lcos θ

obtido via modelagem Newtoniana.

4. Transformada de Legendre

A transformacao do lagrangeano no hamiltoniano pode ser pensado em termos deuma funcao chamada de transformada de Legendre. Vamos comecar com uma funcaoconvexa g que seja de continuamente diferenciavel e cuja derivada g ′ seja bijetiva emR. A transformada de Legendre (ou dual) g∗ de g e definida por

g∗(s) = sr(s) − g(r(s)), onde r = r(s) e a inversa de g ′(s), dada por s = g′(r(s)).

4. TRANSFORMADA DE LEGENDRE 23

A interpretacao de g∗(s) e como o maximo da diferenca entre a reta u = sr e a funcaou = g(r), em um plano ru, onde s passa a ser um parametro. Esse maximo ocorrequando a derivada g′(r) tem a mesma inclinacao que a reta r 7→ sr, ou seja, quandos = g′(r) (figura 1)

PSfrag replacements

r

u u = g(r)

u = srg∗(s)

Figura 1. Ideia geometrica da transformada de Legendre.

Vamos ver que ao tomarmos o segundo dual, voltamos para g∗∗(r) = g(r). Emprimeiro lugar, observe que

g∗′(s) = r(s) + sr′(s) − g′(r(s))r′(s) = r(s) + (s− g′(r(s))r′(s) = r(s)

e a solucao de g∗′(s) = r e a inversa de r = r(s). Logo, g∗∗(r(s)) toma a forma

g∗∗(r(s)) = rs− g∗(s)

Por outro lado, da definicao de g∗(s), temos

g(r(s)) = sr(s) − g∗(s).

Sendo r(s) sobrejetiva, temos g = g∗∗.A caracterizacao de g∗(s) como o maximo da diferenca entre a reta u = sr e a

funcao u = g(r) pode ser tornada mais explıcita pela relacao

g∗(s) = supr∈R

(sr − g(r)).

A vantagem dessa caracterizacao e que ela pode ser tomada como definicao da trans-formada de lagrange no caso em que g seja apenas convexa e satisfaca a propriedade

lim|r|→∞

g(r)

|r|→ ∞.

A transformada g∗ tambem e convexa e satisfaz

lim|s|→∞

g∗(s)

|s|→ ∞.


Em termos da passagem do lagrangeano para o hamiltoniano, podemos pensarque para cada q fixo, p 7→ H(t,q,p) e a transformada de legendre de q 7→ L(t,q, q).Nao mencionamos convexidade nessa passagem, mas, de fato, exigimos que a equacao

p = ∇qL(t,q, q)

possa ser resolvida para q. Essa equacao e a versao da equacao s = g ′(r) nessecontexto. Vemos, tambem, com esse formalismo, que o lagrangeano L(t,q, q) e atransformada de Legendre do hamiltoniano H(t,q,p) na variavel p. Isto segue darelacao g∗∗(r) = g(r) vista no contexto acima. Isso pode ser obtido diretamenteda definicao da transformada de Legendre do hamiltoniano visto que ja provamosanteriormente que

q = ∇pH(t,q,p).

5. Colchete de Poisson e estruturas simpleticas

Uma notacao que revela estruturas e generalizacoes importantes da formulacaohamiltoniana e obtida atraves do colchete de Poisson. Para funcoes diferenciaveisF = F (q,p), G = G(q,p), o colchete de Poisson e definido por

{F,G} = ∇qF · ∇pG−∇qF · ∇pG =∑

i

(

∂F

∂qi

∂G

∂pi−∂F

∂pi

∂G

∂qi

)

.

Com essa notacao, as equacoes de Hamilton se escrevem{

qi = {qi, H},

pi = {pi, H}.

onde H = H(t,q,p) e o hamiltoniano do sistema.Observe que

{qi, qj} = 0, {pi, pj} = 0, {qi, pj} = δi,j, ∀i, j,

onde δij e o delta de Kronecker. Para uma mudanca de variaveis preservando essaestrutura, as equacoes tambem sao preservadas. Mais precisamente, se uma mudancade variaveis q = q(q,p), p = p(q,p) satisfaz

{qi, qj} = 0, {pi, pj} = 0, {pi, qj} = δi,j, ∀i, j,

definimos um novo colchete para funcoes F = F (q, p), G = G(q, p) por

{F , G}˜ = ∇qF · ∇pG−∇qF · ∇pG =∑

i

(

∂F

∂qi

∂G

∂pi−∂F

∂pi

∂G

∂qi

)

e e possıvel verificar que

{F , G}˜ = {F,G},

6. VARIAVEIS ACAO-ANGULO 25

para toda F,G e F , G relacionadas por F (q, q) = F (q,p), G(q, p) = G(q,p). Alem

disso, para o hamiltoniano transformado H(t, q, p) = H(t,q,p), temos o sistema{

˙qi = {qi, H}˜,˙pi = {pi, H}˜.

Mudancas de variaveis com essas propriedades sao ditas simpleticas. O colchetede Poisson e uma estrutura simpletica no espaco euclidiana. Outras variedades difer-enciaveis tambem possuem estruturas simpleticas. Sistemas de equacoes diferenciaiscomo acima sao ditos sistemas simpleticos. As transformacoes simpleticas preservamessas estruturas e sistemas.

6. Variaveis acao-angulo

Buscamos transformacoes que sejam simpleticas e que simplifiquem o hamiltoni-ano e, com isso, facilitem o entendimento do sistema. Idealmente, buscamos trans-formacoes simpleticas que transformem o hamiltonino em um novo hamiltoniano queindependa de uma ou mais das novas variaveis transformadas. Mais especificamente,buscamos uma transformacao simpletica q = q(q,p), p = p(q,p) para a qual o novo

hamiltoniano H(t, q, p) = H(t, p, q) seja independente de, digamos, qd, onde d e adimensao de q. Nesse caso, a equacao para pd e

˙pd = {pd, H}˜ = −∂H

∂qd= 0.

Com isso, pd e uma constante de movimento, digamos pd(t) ≡ Id. Alem disso, aequacao para qd e

˙qd = {qd, H}˜ =∂H

∂pd

∣

∣

∣

∣

∣

pd=Id

.

Com isso, o lado direito da equacao para ˙qd depende apenas de qi, pi, para i =1, . . . , d−1. Isso tem como consequencia a reducao do sistema para 2(d−1) variaveis.

A existencia de transformacoes para as quais o novo hamiltoniano seja indepen-dente de uma das variaveis e fundamentada na existencia de quantidades conservadasdo sistema. Caso hajam mais quantidades conservadas do sistema, podemos achartransformacoes para as quais o novo hamiltoniano independa de mais variaveis.

Idealmente, buscamos um hamiltoniano H que seja independe de todas as posicoesgeneralizadas q. Assim,

˙p = −∇qH = 0

e cada pi e constante, digamos pi(t) ≡ Ii, i = 1, . . . , d. Para cada i,

˙qi =∂H

∂pi

∣

∣

∣

∣

∣

˜p1=I1,...,pd=Id

= ωi(I1, . . . , Id),


para funcoes ωi dependentes apenas de I1, . . . , Id. Como ωi independe de t, temos

qi = qi(0) + ωit, pi ≡ Ii.

Assim, o sistema e completamente integravel nas novas variaveis I, θ, dadas porI = (I1, . . . , In) e θ = θ0 + (ω1t, . . . , ωdt). Essas variaveis sao chamadas de coor-denadas acao-angulo. Em aplicacoes, I corresponde a variaveis radiais enquanto queθ corresponde a variaveis cıclicas (“periodicas”), justificando a nomenclatura.

A existenca das coordenadas acao-angulo (ou seja, das transformacoes simpleticasapropriadas que tornam o novo hamiltoniano independente de novas coordenadasgeneralizadas) para sistemas com um numero suficiente de quantidades conservadase baseada na resolucao de uma certa equacao a derivadas parciais, chamada deHamilton-Jacobi, que veremos adiante. A obtencao das variaveis acao-angulo napratica nao e nada explıcita. Mas vamos desenvolver um dos casos mais simplespossıveis para ilustrar a ideia.

6.1. Coordenadas acao-angulo para o sistema massa-mola harmonico.Vamos considerar um sistema massa-mola cuja equacao de Newton tem a forma

mx = −κx,

onde x e o deslocamento da mola a partir do comprimento de equilıbrio, m e a massado objeto preso a uma das extremidades da mola e κ e o coeficiente de elasticidadeda mola, que tem a sua extremidade fixa. A forma hamiltoniana da equacao e

{

x = y,

y = −γx,

onde γ = κ/m, com o hamiltoniano

H(x, y) =1

2y2 +

γ

2x2.

Pensando na forma das solucoes, que (pelo fato do hamiltoniano ser uma quantidadeconservada) sabemos serem elipes da forma x2 + (y/γ1/2)2 = c, para constantes c,podemos tentar uma mudanca de variaveis para (r, θ) dados por

{

x = r cos θ,

y = −γ1/2r sin θ.

O sinal negativo em y foi escolhido apenas para alterar a orientacao das solucoes, queoriginalmente nao estao no sentido trigonometrico.

Segundo essa transformacao, o novo hamiltoniano tem a forma

H ′(r, θ) =1

2(−γ1/2r sin θ)2 +

γ

2(r cos θ)2 =

γ

2r2.


Esse hamiltoniano e, de fato, independente da variavel angulo θ. Porem, esse naoe o hamiltoniano das equacoes transformadas. De fato, derivando a definicao datransformacao:

{

x = r cos θ − rθ sin θ,

y = −γ1/2r sin θ − γ1/2rθ cos θ.

Usando o sistema de equacoes diferenciais, chegamos a{

r cos θ − rθ sin θ = −γ1/2r sin θ,

−γ1/2r sin θ − γ1/2rθ cos θ = −γr cos θ.

Resolvendo esse sistema para r e θ, obtemos{

r = 0,

θ = γ1/2.

cujo hamiltoniano nao e H ′, mas sim, −γ1/2r.Para obtermos uma transformacao simpletica, e motivados pelo fato do novo

hamiltoniano ter de ser linear em r, vamos considerar a transformacao{

x = αr1/2 cos θ,

y = βr1/2 sin θ.

Para verificar que a transformacao e simpletica, devemos ter

{r, r} = 0, {θ, θ} = 0, {r, θ} = 1.

Para evitar invertermos a transformacao, podemos verificar a relacao inversa

{x, x}˜ = 0, {y, y}˜= 0, {x, y}˜ = 1.

onde as derivadas sao em relacao a r e θ. Temos

{x, x} = {αr1/2 cos θ, αr1/2 cos θ} = 0,

{y, y} = {βr1/2 sin θ, βr1/2 sin θ} = 0,

{x, y} = {αr1/2 cos θ, βr1/2 sin θ} =αβ

2.

Portanto, essa transformacao e simpletica se αβ = 2. Quanto ao hamiltoniano, temos

H(r, θ) = H(αr1/2 cos θ, βr1/2 sin θ) =β2r

2sin2 θ +

γα2r

2cos2 θ.

Para que esse hamiltoniano seja independente de θ, devemos ter β2 = γα2. Resolvendoo sistema

{

αβ = 2,

β2 = γα2,


achamos

α =21/2

γ1/4, β = 21/2γ1/4.

Portanto, a transformacao

x =21/2

γ1/4r1/2 cos θ,

y = 21/2γ1/4r1/2 sin θ.

e uma transformacao simpletica que leva o sistema{

x = y,

y = −γx,

com hamiltoninano

H(x, y) =1

2y2 +

γ

2x2.

no sistema{

r = 0,

θ = −γ,

com hamiltoniano

H(r, θ) = γr.

As coordenadas (r, θ) sao as coordenadas acao-angulo para o sistema massa-mola.

6.2. Transformacoes canonicas e a equacao de Hamilton-Jacobi. Trans-formacoes para coordenadas acao-angulo podem ser buscadas em uma certa formaparticular. Suponha que tenhamos coordenadas originais (p,q). Suponha, ainda,que procuremos uma coordenada p(p,q) dada implicitamente pela equacao

p =∂S(p,q)

∂q,

para alguma funcao S(P,q). Entao, definindo uma nova coordenadas q por

q =∂S(p,q)

∂p,

temos que a transformacao de (p,q) em (p, q) e simpletica. Isso pode ser visto apenasusando derivacao implıcita. Deixamos esses calculos para o leitor. Transformacoesdessa forma sao chamadas de transformacoes canonicas e a funcao S(p,q), de funcaogeratriz da transformacao. Funcoes geratrizes podem ser, tambem, da forma S(p,p),S(q,p), S(q,q), mas sao sempre funcoes de uma variavel antiga e uma nova.

Seja, agora, S(I,q) a funcao geratriz de uma transformacao entre variaveis (q,p)e variaveis acao-angulo (I, θ). Queremos achar condicoes em S(I,q) para que essa


transformacao seja, de fato, para coordenadas acao-angulo. Podemos usar o fato deque

p =∂S(I,q)

∂q

para escrever o novo hamiltoniano na forma

H(I,ω) = H

(

q,∂S(I,q)

∂q

)

.

Suponde que (I,ω) sejam, de fato, coordenadas acao-angulo, entao mantendo I fixo

e variando ω as solucoes irao se manter em uma curva de nıvel de H e, logo, de H.Assim, para cada I fixo,

H

(

q,∂S(I,q)

∂q

)

= E,

para algum nıvel E. Esta e uma equacao diferencial parcial na variavel q. Estaequacao e conhecida como equacao de Hamilton-Jacobi. Estudando as solucoes dessaequacao e relacionando as diversas constantes de integracao que aparecem nas solucoescom funcoes de I, podemos descobrir S(I,q).

Por exemplo, no caso do sistema massa-mola, temos

H(x, y) =1

2y2 +

γ

2x2.

Fazendo

y =∂S(I, x)

∂x,

chegamos a equacao de Hamilton-Jacobi

1

2

∣

∣

∣

∣

∂S(I, x)

∂x

∣

∣

∣

∣

2

+γ

2x2 = E.

Podemos escrever∂S(I, x)

∂x= ±

√

2E − γx2,

As solucoes da equacao

g′(x) = ±√

2E − γx2

formam uma famılia parametrizada

g(x) = C0 + g0(x),

onde g0(x) e uma das primitivas da equacao. Considerando o parametro C0 como fun-cao da variavel momento I, podemos considerar as solucoes da equacao de Hamilton-Jacobi

S(I, x) = h(I) + g0(x).


Isso ilustra a forma que equacao de Hamilton-Jacobi toma no problema. Para achar-mos a variavel angulo, devemos considerar

θ =∂S(I, x)

∂I= h′(I).

Finalmente, h′(I) pode ser encontrado forcando que (I, θ) sejam as coordenadas acao-angulo.

CAPıTULO 4

Conservacao de energia, simetrias e o teorema de Nother

1. Conservacao de energia

A minimizacao da acao esta diretamente ligada a conservacao de energia totalatraves de simetrias de invariancia por translacao no tempo. Para vermos isso, va-mos precisar da estrutura da energia cinetica do sistema livre. Assim, assumimosque a energia cinetica e da forma Kr(p, q) = K(DX(q)q), onde x = X(q) e umarestricao explıcita e K(y) = (1/2)M |y|2 e a energia cinetica livre do sistema com ve-locidade y = x. A restricao pode ser da forma x = X(q) e a energia potencial, Vr(q).Dependencias no tempo nao sao permitidas, pois significariam uma inclusao ou ex-clusao de energia por forcas externas. Alem disso, para fins dessa analise, restricoesimplıcitas podem, em geral, ser localmente transformadas em restricoes explıcitas,pelo teorema da funcao implıcita, e resolvidas conforme faremos abaixo.

Assim, o lagrangeano tem a forma

Lr(q, q) = Kr(q, q) − Vr(q) = K(DX(q)q) − Vr(q)

e a energia total e

Er(q, q) = Kr(q, q) + Vr(q) = K(DX(q)q) + Vr(q).

Com as restricoes acima, vamos ver que podemos escrever

Kr(q, q) =1

2p · q,

onde p e o momento generalizado

p = ∇qL(q, q).

De fato, observe, primeiro, que, como K(y) = (1/2)M |y|2,

∇K(y) = My.

Com isso

p · q = ∇qL(q, q) · q = ∇qK(DX(q)q)q = MDX(q)q ·DX(q)q

= 2K(X(q)q) = 2Kr(q, q).

Portanto, podemos reescrever a energia total na forma

Er(q, q) = p · q − Lr(q, q) = ∇qL(q, q)q − Lr(q, q).

31

32 4. CONSERVACAO DE ENERGIA, SIMETRIAS E O TEOREMA DE NOTHER

Podemos, agora, derivar em relacao ao tempo e mostrar que o resultado e zero.De fato,

d

dtEr(q, q) =

d

dt(∇qL · q − L)

=

(

d

dt∇qL

)

· q + ∇qL · q −∇qL · q −∇qL · q =

(

d

dt∇qL

)

· q −∇qL · q.

onde na ultima passagem reconhecemos as equacoes de Euler-Lagrange, nos dando

d

dtEr(q, q) =

(

d

dt∇qLr(q, q) −∇qLr(q, q)

)

· q = 0.

2. Simetrias

Quantidades conservadas estao diretamente ligadas a simetrias no sistema. Issoesta relacionado ao teorema de Nother, que veremos a seguir. Antes, vamos solidificara ideia de simetria.

Simetrias agem modificando as variaveis (t,q, q). Isso pode ser representado poruma transformacao

(t,q, q) 7→ G(t,q, q) = (t, q, ˙q).

Onde ˙q e a derivada de q em relacao a t.Por exemplo, podemos ter uma translacao no tempo por um instante τ :

(t,q, q) 7→ (t+ τ,q, q);

uma translacao no espaco por um vetor q0:

(t,q, q) 7→ (t,q + q0, q);

e um movimento uniforme com velocidade v:

(t,q, q) 7→ (t,q + vt, q + v).

Podemos, tambem, ter um rotacao no espaco, que pode ser representada por um vetorθ cujo modulo indica o angulo de rotacao, a direcao indica o eixo de rotacao e o sentidoindica o sentido de rotacao, dado pela regra da mao direita. Essa transformacao podeser indicada por

(t,q, q) 7→ (t, R(θ)q, R(θ)q).

As transformacoes ditas galilelianas sao dadas por combinacoes das transformacoesmencionadas acima. Elas sao caracterizadas por preservar as distancias no espaco(t,q), segundo a norma euclidiana.

Um sistema mecanico representado por um lagrangeano L(t,q, q) tem um certasimetria quando ele e invariante por uma transformacao de simetria. Mais precisa-mente, quando

L(G(t,q, q)) = L(t,q, q).

2. SIMETRIAS 33

para alguma simetria G. Isso tem certas consequencias nas equacoes de movimentoe, em particular, em suas solucoes, que tambem terao certas simetrias.

2.1. Tipos de simetrias. Podemos classificar as simetrias em dois tipos. Umenvolvendo explicitamente o tempo e outro, nao. As que nao envolvem explicitamenteo tempo, agem primordialmente em q e podem ser escritas na forma G(q). Isso temconsequencias na derivada temporal de q, que deve ser transformada para

d(G(q))(t)

dt= DG(q)q.

Podemos escrever essas operacoes no espaco (t,q, q) na forma G(t,q, q), onde G podeser decomposto em suas coordenadas

G(t,q, q) = (Gt(t,q, q), Gq(t,q, q), Gq(t,q, q)) = (t, G(q), DG(q)q) .

No segundo caso, em que a simetria envolve explicitamente t, temos um operadorlevando (t,q) em G(t,q). Isso leva a um operador que leva (t,q, q) em G(t,q, q).Fazendo a decomposicao nas coordenadas, temos

G(t,q, q) = (Gt(t,q, q), Gq(t,q, q), Gq(t,q, q)),

com a relacao de compatibilidade

Gq(t,q, q) =d

dtGq(t,q, q).

No caso particular de translacoes no tempo, temos apenas Gt(t,q, q) = t + s,

Gq(t,q, q) = q e Gq(t,q, q) = q.

2.2. Grupos de simetrias. Geralmente, temos famılias de transformacoes desimetrias ao inves de apenas uma. Por exemplo, podemos fazer translacoes no tempopor varios intervalos τ . Isso pode ser representado por uma famılia de transformacoes

Gτ (t,q, q) = (t+ τ,q, q).

Translacoes no espaco tambem podem ser representadas por uma famılia

Gq0(t,q, q) = (t,q + q0, q),

assim como movimentos uniformes

Gv(t,q, q) = (t,q + vt, q + v)

e rotacoesGθ(t,q, q) = (t, R(θ)q, R(θ)q).

Observe, ainda, que essas famılias de transformacoes tem certas estruturas. Porexemplo, translacoes satisfazem

Gτ1+τ2 = Gτ1 ◦Gτ2 = Gτ2 ◦Gτ1 .

Isso da uma estrutura de grupo abeliano (ou comutativo) a {Gτ}τ∈R. Movimentos uni-formes tambem formam grupos abelianos. Rotacoes sobre um mesmo eixo tambem.


Mas rotacoes sobre eixos diferentes nao comutam e geram um grupo nao-abeliano(composicao de rotacoes ainda e uma rotacao, mas nao basta somar os vetores derotacao, a menos que eles sejam colineares). Em geral, vamos denotar um grupo desimetria por uma famılia {Gs}s, com parametro s.

Algumas simetrias sao discretas, ou seja, quando s e discreto. Esse e o caso, porexemplo, de simetrias por reflexao em torno de um eixo ou da origem, ou por rotacoespor multiplos de um angulo especificado. Para a relacao com leis de conservacao,no entanto, vamos considerar simetrias contınuas, ou seja, em que o parametro desimetria s pertence a algum subconjunto conexo de um espaco Euclidiano (ou algumavariedade diferenciavel, mais geralmente) . Por exemplo, no caso de translacoes notempo, s ∈ R; no caso de translacoes no espaco, s ∈ R

3; no caso de rotacoes em tornodo eixo z, s ∈ R (ou, mais precisamente, o cırculo unitario S1).

2.3. Simetrias associadas a translacoes no tempo. A translacao no tempode um instante τ e a transformacao (t,q) → (t + τ,q). Nesse caso, a translacaonao afeta a variavel q. Com isso, ela tambem nao altera q. Essa translacao podeser formalizada atraves de um operador Gτ no espaco (t,q, q) que leva (t,q, q) em

Gτ (t,q, q) = (t + τ,q, q). Esse operador pode ser decomposto em suas coordendasGtτ (t,q, q) = t+ τ , Gq

τ (t,q, q) = q e Gqτ (t,q, q) = q.

Caso o lagrangeano seja independente t, ou seja, caso ele seja da forma

L(t,q,p) = K(q, q) − V (q, q),

entao

L(t,q, q) = L(t + τ,q, q).

Em termos do operador translacao Gτ , podemos escrever

L(Gτ (t,q, q)) = L(t,q, q),

para todo τ ∈ R. Isso significa dizer que o lagrangeano e invariante pela simetria Gτ

ou, no caso, invariante por translacao no tempo.Caso as restricoes envolvessem explicitamente o tempo, o sistema nao seria mais

invariante por translacao. Um exemplo e em relacao a algum sistema em que a ra-diacao solar seja modelada atraves de uma forca externa, que necessariamente deveradepender do tempo, pois a radiacao solar varia com a hora do dia e com a epoca doano. Por outro lado, poderıamos incluir o sol no sistema e a radiacao solar dependeriada distancia e da posicao relativa da Terra em relacao ao Sol; nesse caso, o variacaoda radiacao solar estaria implıcita e a invariancia ainda seria valida.

2.4. Simetrias associadas a translacoes no espaco. Outra simetria impor-tante e a de translacao no espaco. Podemos fazer uma translacao que leva q emq + q0. Como q0 e constante, temos que a derivada temporal d(q + q0)/dt = qtambem nao se altera. Assim, podemos considerar a translacao no espaco que leva(t,q, q) em (t,q + q0, q).

2. SIMETRIAS 35

Podemos reescrever essa translacao com a ajuda do operador Gq0(q) = q + q0.

Temos, tambem, d(Gq0(q))/dt = q. No caso do lagrangeano ser independente ex-

plicitamente de t, podemos simplificar, introduzindo um operador translacao apenasem (q, q) e dado por Gq0

(Gq0(q), d(Gq0

(q))/dt)) = (q + q0, q). No caso do corpoem queda livre, temos uma simetria do problem em relacao a translacoes apenas noplano xy. De fato, para q = (x, y, z), o potencial e V (x, y, z) = mgz e o lagrangeanotem a forma

L(x, y, z, x, y, z) = K(x, y, z) −mgz.

Tomando q0 = (x0, y0, 0), vemos que

L(x + x0, y + y0, z) = L(t, x, y, z).

Em termos do operador translacao, temos

L(Gq0(q, q)) = L(q, q),

expressando a invariancia do lagrangeano por translacoes no plano xy.A quebra de simetria em relacao ao eixo z vem do fato de que estamos considerando

a Terra fixa e movendo apenas o objeto, afastando-o da superfıcie da Terra e alterandoa forca de atracao. Caso considerassemos a Terra como parte do sistema, como e feitoem sistemas planetarios, translacoes em qualquer direcao moveriam todos os objetos,sem alterar a distancia entre eles e, com isso, sem alterar as forcas de atracao. Dessaforma, translacoes em todas as direcoes seriam permitidas sem quebrar a simetria.

No caso do lagrangeano tambem depender explicitamente de t, podemos consideraro operador Gq0

(t, bq, q) = (t,q + q0, q). Caso o sistema possua uma simetria emrelacao a translacoes no espaco, isso sera expresso pela relacao

L(Gq0(t,q, q)) = L(t,q, q),

2.5. Simetrias associadas a rotacoes. Finalmente, vamos considerar rotacoesem torno de um eixo. Digamos, rotacoes em torno do eixo z por um angulo θ nosentido trigonometrico. Podemos escrever isso atraves da matriz de rotacao

R(θ) =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

Assim, a rotacao no espaco de fase e a transformacao (t,q, q) 7→ (t, R(θ)q, q). Issopode ser escrito com a ajuda do operador rotacao Gθ que leva q em Gθ(q) = R(θ)q.Em termos da derivada temporal, temos

dGθ(q)

dt=

dR(θ)q

dt= R(θ)q.

No espaco (t,q, q), isso pode ser representado pelo operador que leva (t,q, q) emGθ(t,q, q) = (t, R(θ)q, R(θ)q)

O problema do corpo em queda livre, por exemplo, satisfaz essa simetria, ja quea rotacao nao altera a coordenada z, que e a unica coordenada que aparece apos


simetria quantidade conservadatranslacao no tempo energia totaltranslacao no espaco momento linearrotacoes no espaco momento angular

Tabela 1. Simetrias e quantidades conservadas associadas.

as restricoes. Da mesma forma, o problema do pendulo em rotacao, que sera vistoposteriormente, tambem possui essa simetria, pois a energia cinetica (m/2)(x2 + y2 +z2) nao e alterada sob rotacoes em nenhum dos eixos, enquanto que a energia potencialnao e alterada sob rotacoes em torno do eixo z. Para ambos os lagrangeanos, podemosescrever

L(Gθ(t,q, q)) = L(t,q, q),

para todo θ. Mas se a simetria fosse em relacao a outro eixo diferente de z, a coorde-nada z seria alterada e, com isso, a energia potencial e o lagrangeano seriam modi-ficados. Nesse caso, o lagrangeano nao seria invariante. Ja em sistemas planetarios,levando todos os planetas relevantes em consideracao, rotacoes em relacao a qualquerum dos eixos sao permitidas, sem alterar as distancias relativas entre os planetas e,com isso, sem alterar o lagrangeano.

Caso o lagrangeano seja independente explicitamente de t, podemos considerarsimplesmente Gθ(q, q) = (R(θ)q, q) e a simetria sera expressa por

L(Gθ(q, q)) = L(q, q),

para todo θ.

3. Quantidades conservadas e o teorema de Nother

Conforme mencionado acima, o teorema de Nother esta por tras de um princıpioque relaciona simetrias a quantidades conservadas e vice-versa. Exemplos dessarelacao aparecem na tabela 1.

Nos exemplo acima, vimos como escrever a invariancia por simetria na forma

L(Gs(t,q, q)) = L(t,q, q),

em relacao a alguma variavel s, para algum operador Gs agindo no espaco de faseformado pelas coordenadas (t,q, q).

A ideia e que podemos obter certas quantidades conservadas a partir de umasimetria desse tipo. Mas essas quantidades conservadas nao sao novas informacoessobre o sistema. As informacoes possıveis estao todas implıcitas nas equacoes deEuler-Lagrange. Mas as simetrias tornam explıcitas certas informacoes. Por exem-plo, no caso do lagrangeano independer explicitamente de t, as solucoes das equacoesde Euler-Lagrange satisfazem o princıpio da conservacao de energia, como vimos an-teriormente. Mas esse resultado nao era obvio. Da mesma forma, outras propriedades

3. QUANTIDADES CONSERVADAS E O TEOREMA DE NOTHER 37

como conservacao de momento linear e de momento angular podem estar implıcitasnas equacoes de Euler-Lagrange e podem ser trazidas a tona com o princıpio maisgeral do teorema de Nother. O teorema de Nother revela quantidades conservadas apartir das simetrias.

Lembremos que as equacoes de Euler-Lagrange aparecem a partir da minimizacaoda acao em relacao a todos os caminhos possıveis ligando dois pontos q(0) = q0 eq(T ) = qT em instantes diferentes. Representamos isso da forma

A(q(·)) = minq∈Q0

A(q(·) + q(·)),

onde Q0 indica o conjunto de todos os caminhos q possıveis iniciados em q(0) = 0 eterminados em q(T ) = 0, de modo que q(0) + q(0) = q0 e q(0) + q(T ) = qT .

A ideia por tras do princıpio de Nother e minimizar apenas em relacao a certos ca-minhos possıveis. Isso nos dara menos informacoes que as equacoes de Euler-Lagrangenos dao, mas isso revelara informacoes que nao estavam explıcitas nessas equacoes.Os possıveis caminhos a serem tomados sao os caminhos associados ao operador desimetria.

3.1. Quantidades conservadas por simetrias espaciais. Vimos simetriasque envolvem ou nao o tempo. Vamos considerar esses dois tipos separadamente.No caso de nao envolver o tempo, temos um Lagrangeano da forma L(q, q) e umasimetria que leva q em Gs(q).

As equacoes de Euler-Lagrange aparecem da minimizacao da acao, o que passapor achar os seus pontos crıticos, dados por

∇A(q(·)) · q =

∫ T

0

(

∇qLr(q(t), q(t)) · q(t) + ∇qLr(q(t), q(t)) · ˙q(t))

dt.

Substituindo ∇qLr a partir das equacoes de Euler-Lagrange e usando que o minımoe ponto crıtico da acao, temos

∫ T

0

((

d

dt∇qLr(q(t), q(t))

)

· q(t) + ∇qLr(q(t), q(t)) · ˙q(t)

)

dt = 0.

Agora, vamos considerar apenas caminhos na direcao das simetrias, ou seja,

q =d(Gs(q))

ds, com ˙q =

d ˙(Gs(q))

ds.

Com isso,

∫ T

0

((

d

dt∇qLr(q(t), q(t))

)

·d(Gs(q))(t)

ds

+∇qLr(q(t), q(t)) ·d ˙(Gs(q))(t)

ds

)

dt = 0.


Devido a simetria, podemos escrever

∫ T

0

((

d

dt∇qLr(Gs(q), ˙(Gs(q)))

)

·d(Gs(q))(t)

ds

+∇qLr(Gs(q), ˙(Gs(q))) ·d ˙(Gs(q))(t)

ds

)

dt = 0.

Finalmente, observe que o integrando e uma derivada exata:(

d

dt∇qLr(Gs(q), ˙Gs(q)))

)

·d(Gs(q))(t)

ds

+ ∇qLr(Gs(q), ˙(Gs(q))) ·d ˙(Gs(q))(t)

ds

=d

dt

(

∇qLr(Gs(q), ˙(Gs(q))) ·d ˙(Gs(q))(t)

ds

)

.

Portanto,

∇qLr(Gs(q), ˙Gs(q))) ·d ˙(Gs(q))

dse constante ao longo do tempo. Usando, novamente, a simetria, podemos ver que

∇qLr(q, q) ·d(Gs(q))

ds= constante

e uma quantidade conservada do sistema.Vejamos o que e esse quantidade no caso de simetria em relacao a translacoes no

espaco. Nesse caso, podemos tomar, em particular Gs(q) = q + sei, onde s ∈ R e{ei}

di=1 e uma base para o espaco de configuracoes R

d. Assim,

d(Gs(q))

ds= ei.

Inserindo isso na expressao para a quantidade conservada, temos

∇qLr(q, q) · ei = constante

Como ja interpretamos ∇qLr como o momento p, a quantidade conservada e a i-esimacoordenada do momento

pi = constante.

Se a simetria por translacao valer apenas em algumas direcoes, apenas as coordenadascorrespondentes do momento serao conservadas. Se a simetria valer em todas asdirecoes, todo o vetor momento p sera conservado.

No caso de simetrias por rotacoes, se a rotacao e em torno de um vetor unitarioe de um angulo θ segundo a regra da mao direita, temos Gθ(q) = q + θe× q +O(θ2)

3. QUANTIDADES CONSERVADAS E O TEOREMA DE NOTHER 39

e, com isso,d(Gθ(q))

dθ

∣

∣

∣

∣

θ=0

= e × q

Portanto, a quantidade conservada e

(e × q) · p = e · (q × p).

Esta e a projecao na direcao e do momento angular q× p. Caso a simetria valha emqualquer direcao e, o proprio momento angular q × p e invariante.

3.2. Conservacao a partir da simetria de translacao no tempo. Esse casoja foi essencialmente feito acima. Mas vamos considerar um Lagrangeano L = L(q, q)sem nos preocuparmos com a estrutura dele. Vimos que a quantidade conservada e

∇qL · q − L.

De fato, derivando em relacao ao tempo e usando que L independe explicitamente det, temos

d

dt(∇qL · q − L) =

(

d

dt∇qL

)

· q + ∇qL · q −∇qL · q −∇qL · q

=

(

d

dt∇qL

)

· q −∇qL · q = 0

que se anula gracas as equacoes de Euler-Lagrange. Como vimos acima, a expressaoconservada e exatamente a energia total no caso da energia potencial ser independentede q. No caso geral,

E = ∇qL · q − L

deve ser interpretado como a energia total generalizada.Caso o lagrangeano seja da forma L = L(t,q, q), ou seja, dependa explicitamente

de t, sem simetria por translacao no tempo, entao a quantidade acima nao e maisconservada. Mas temos a equacao

d

dt(∇qL · q − L) =

(

d

dt∇qL

)

· q + ∇qL · q −

(

∂L

∂t

)

· q −∇qL · q −∇qL · q

=

(

d

dt∇qL

)

· q −∇qL · q − ∂tL · q = 0.

Ou seja,dE

dt=

(

∂L

∂t

)

· q.

O termo a direita pode ser interpretado como uma potencia generalizada sendo apli-cada ao sistema.

CAPıTULO 5

Potenciais de Forcas

1. Sistemas microscopicos e macroscopicos

Nas formulacoes acima, assumimos invariavelmente que as forcas eram do tipopotencial. Vamos discutir um pouco isso. Primeiro, observe que podemos dividiro sistemas em microscopicos e macroscopicos. No primeiro caso, temos sistemasformados por particulas elementares (bosons e fermions), que sofrem a acao das forcasfundamentais, que sao, pelo que conhecemos ate agora, de quatro tipos: forte, fraca,eletromagnetica e gravitacional.

No segundo caso, temos sistemas macroscopicos, formados por aglomerados enor-mes de moleculas. Em certos casos, esses sistemas podem ser tratados como pontuaisou como interacoes de um numero moderado de subsistemas macroscopicos tomadoscomo pontuais. Por exemplo, uma articulacao de dois pendulos pode ser tratada comoum sistema de duas massas pontuais. Em outros casos, porem, o sistema macroscopicodeve ser tratado como uma colecao de sistemas microscopicos e onde o movimento decada parte microscopica interage com as outras partes. Isso vale para lıquidos, gases,solidos deformaveis e conjuntos de partıculas elementares interagindo atraves de forcaseletromagneticas, fracas e, ou, fortes. Esses casos, porem, requerem um tratamentode teoria de campos, o sistema nao e mais discreto nem finito. Nao entraremos nessescasos. Neste texto, vamos considerar apenas sistemas microscopicos ou macroscopicosdiscretos que podem interagir entre si ou com outros campos possivelmente contınuousmas conhecidos e dados a priori. Por exemplo, vamos estudar a formulacao dasequacoes de movimento de uma partıcula em um campo eletromagnetico, mas naovamos estudar a formulacao das equacoes que regem o proprio campo eletromagnetico,que, no caso, sao as equacoes de Maxwell.

Um terceiro caso macroscopico que esta entre esses dois e o de corpos rıgidos.Sendo rıgidos, a interacao entre as diversas partes microscopicas do sistema e irrel-evante. Porem, a distribuicao de massa entre essas partes pode ser relevante para omovimento do corpo todo. Nao interessa apenas o movimento do centro de massado corpo, mas tambem rotacoes em torno do seu eixo e a direcao do eixo. Para in-teracoes a distancia, como o movimento planetario, essas rotacoes podem nao ser taoimportantes e o corpo pode ser tratado pontualmente. Mas em outros casos, comono movimento de um piao, rotacoes sao fundamentais. Ainda assim, o movimentode corpos rıgidos e dado por sistemas discretos finitos, pois nao precisamos escreverequacoes individuais para cada elemento microscopico que compoe o corpo.

41

42 5. POTENCIAIS DE FORCAS

Um outro caso a ser destacado e o de moleculas e macro-moleculas, que podemtanto ser tratadas quanto como conjuntos de partıculas pontuais, ou como aglom-erados delas formando uma unidade e interagindo com outras moleculas. Moleculasde agua, que formam pontes de hidrogenio (interacoes eletrostaticas com cargas po-larizadas fracionarias, ou parciais) entre si, podem ser modeladas como uma unicapartıcula ou, mais comumente, como formada por dois atomos de hidrogenio e umde oxigenio. E macro-moleculas imersas em fluidos podem ser modeladas em con-junto com as diversas moleculas do fluido, ou sem levar em consideracao as moleculasindividuais do fluido, considerando apenas os seus efeitos na reducao das forcas deligacao entre os atomos das macro-moleculas devida a interacao delas com o meioaquoso polarizado.

Em sistemas macroscopicos, alem das forcas elementares que agem diretamenteentre os corpos considerados, ha tambem, a acao de forcas nao-fundamentais, reflexosda aglomeracao de certas forcas fundamentais das partes microscopicas, como a forcade restituicao de uma mola, forcas de atrito entre superfıcies solidas, forcas de arrastoda interacao fluido-solido e tensoes com outras partes rıgidas.

2. Forcas potenciais

Forcas potenciais F(x) classicas sao do tipo gradiente, F(x) = −∇V (x), paraalgum potencial V (x). Nem todas as forcas sao potenciais. Um exemplo tıpico e o deforcas de atrito. Lembre-se que forcas potenciais levam a sistemas com conservacaode energia total, enquanto que a experiencia nos diz que o atrito causa uma perdade energia. Em nıvel molecular, ha apenas uma transferencia de energia, mas emnıvel macroscopico, ha perda de energia. Campos eletromagneticos nao sao potenciaisnesse sentido classico, mas um campo potencial vetorial apropriado para a formulacaolagrangeana pode ser obtido.

3. Forca gravitacional

A forca gravitacional e potencial tanto para sistemas microscopicos quanto paramacroscopicos. Essa forca e inversamente proporcional ao quadrado da distancia,com potencial

V (x) =G

2

∑

i6=j

mimj

|xj − xi|=∑

i<j

mimj

|xj − xi|,

onde mi e a massa da partıcula de coordenada (do centro de massa) xi, que podeser microscopico ou macroscopico, e G e a constante universal gravitacional. A forcaexercida na i-esima partıcula e

Fi(x) = −∇xiV (x) = G

∑

j 6=i

mimj

|xj − xi|(xj − xi).

Proximo a superfıcie da Terra, podemos considerar a forca gravitacional comosendo simplesmente da forma −mg. O potencial, no caso, e V (h) = mgh, onde h e a

5. ATRACOES MAGNETICAS 43

altitude do objeto, ou, mais simplificadamente, a distancia ao solo. Para um foguetebuscando escapar do campo gravitacional da Terra, podemos considerar a forca

F(z) = −GmM

(R + z)2,

onde z e m sao a altitude e a massa do foguete e R e M sao o raio e a massa daTerra, respectivamente.

4. Campos eletrostaticos

A forca eletrostatica e semelhante a gravitacional, tendo o potencial de Coulomb

V (x) = −∑

i6=j

qiqj|xi − xj|

,

onde qi e a carga eletrica da partıcula microscopica centrada em xi, no caso departıculas elementares. A influencia de estruturas macroscopicas no movimento departıculas carregadas nao precisa ser modelado microscopicamente. Ele pode ser rep-resentada por um campo eletrico, dado por um campo de vetores E = E(x) e tal quea forca eletrica exercida em uma partıcula de carga q e dada por

F(x) = qE(x).

Para campos eletrostaticos, temos a existencia de um potencial V (x), tal que E(x) =−∇V (x). No caso de duas placas planas paralelas de cargas contrarias, por exemplo,como no caso de um capacitor plano, temos um campo eletrico uniforme (pelo menoslonge das bordas do capacitor), que pode ser representado por um vetor tridimensionalconstante E0, apontando no sentido da placa negativamente carregada para a placapositivamente carregada. Uma partıcula de carga q nesse campo eletrico sofre a acaode uma forca eletrica da forma F = qE0. O potencial tem a forma V (x) = −qE0 · x.

5. Atracoes magneticas

A forca de atracao magnetica e bastante semelhante a eletrostatica. Certos corposmagneticos (que podem adquirir propriedades magneticas) e magnetizantes (que japossuem propriedades magneticas, produzidas natural ou artificialmente) podem seatrair ou se repelir, dependendo de suas naturezas e orientacoes.

Um corpo magnetizante aparece sempre na forma de um dipolo, com seus polossendo classificados como norte e sul, por convencao. Dois corpos magnetizantes po-dem se atrair, caso o polo norte de um esteja mais proximo do polo sul do outro,ou se repelir, caso polos iguais estejam mais proximos. Quando os dipolos estaoprecisamente alinhandos, a forca de atracao ou de repulsao entre esses polos temum magnitude bem definida, expressa pela formula tambem conhecida como lei deCoulomb para massas magneticas:

F = hm1m2

r2,


onde h e uma constante dependente do meio, m1 e m2 sao as massas magneticas decada corpo, que podem ser positivas ou negativas, dependendo das orientacoes dospolos, e r e a distancia entre os polos. O potencial associado a essa forca e e

V (r) = hm1m2

r.

A atracao total exercida entre as massas e a combinacao linear das forcas deatracao e repulsao em relacao a cada polo. Essa atracao pode ser representada atravesde um campo magnetico idealizado B = B(x), representando as forcas em um objetofictıcio contendo apenas um polo norte. As forcas de atracao nesse objeto pode serilustrado geometricamente pela figura 1.PSfrag replacements

N S

P

+m0 −m0

fN

fS

B

Figura 1. Campo magnetico gerado por um dipolo, com polos nortee sul indicados como N e S e com massas magneticas m0 e −m0, re-spectivamente. O corpo P de massa positiva unitaria (representandoapenas o polo norte de um objeto fictıcio) sofre uma forca repulsiva apartir do polo norte do dipolo e uma forca atrativa em direcao ao polosul, resultando no campo magnetico B.

Limalhas de ferro dispostas em volta do ıma se magnetizam formando pequenosdipolos. As forcas de atracao e de repulsao em cada polo de cada limalha se equi-libram, fazendo com eles se alinhem com o campo magnetico, formando caminhoscomo ilustrados nos dois arcos tracejados da figura 1. Mas as limalhas mais proximasa cada um dos polos do ıma tendem a se aproximar dos respectivos polos, pois aforca de atracao em um dos dipolos acaba ganhando da forca de repulsao, no polooposto, mais distante do polo do ıma. A limalha de ferro e um exemplo de materialparamagnetico.

Dentre os materiais magneticos, temos os paramagneticos e os diamagneticos. Osparamagneticos, como o ferro e o alumınio, na presenca de um outro corpo magne-tizante, tendem a se magnetizar formando dipolos com uma orientacao tal que eleseja atraıdo pelo material magnetizante caso esteja proximo a ele. Os diamagneticos,como o cobre, tendem a formar dipolos com a orientacao contraria, de tal forma queeles sejam repelidos pelo corpo magnetizante.

O campo magnetico B = B(x) pode ser gerado por um ou mais corpos mag-netizantes. Um material magnetico nesse campo adquire um dipolo com massas

6. CAMPOS ELETROMAGNETICOS 45

magneticas +m e −m e se alinha as linhas do campo, com o seu centro de massasofrendo uma forca dada por

F(x) = mB(x + r) −mB(x − r).

O vetor r e um vetor tangente ao campo B e que liga o centro de massa a um dospolos, sendo esse polo determinado pela natureza do material. Se paramagnetico, rapontara para o polo sul, se diamagnetico, para o polo norte.

A forca agindo em uma carga eletrica em um campo magnetico tem uma formadiferente, como veremos a seguir. Alem disso, a inclusao de correntes eletricas alterasignificativamente o campo magnetico.

6. Campos eletromagneticos

Campos eletricos estaticos sao sempre potenciais. Mas caso o campo eletrico naoseja estatico, ele nao sera mais potencial no sentido classico e teremos, tambem, apresenca de um campo magnetico, logo um campo eletromagnetico. Do ponto de vistanewtoniano, um campo eletromagnetico (E,B), exerce uma forca em uma particulade carga q e chamada de forca de Lorentz e que tem a forma

F(q) = q(E + x × B).

Campos eletromagneticos sao regidos pelas leis de Maxwell:

ε∂E

∂t+ j = µ∇× B,

∂B

∂t= −∇× E,

∇ · B = 0,

ε∇ · E = ρ,

onde ρ e a densidade de carga eletrica, j e a densidade de corrente e ε e µ saoparametros que podem depender do meio, se no vacuo ou em meio eletromagneticosisotropicos. As formas integrais dessas equacoes sao conhecidas, respectivamente,como lei de Ampere, lei de Faraday, ausencia de monopolos magneticos e lei deGauss.

Campos eletromagneticos estaticos satisfazem as equacoes estacionarias:

µ∇× B = j,

∇× E = 0,

∇ · B = 0,

ε∇ · E = ρ.

Observe que mesmo um campo magnetico uniforme e estatico, como em um acele-rador de partıculas do tipo cıclotron, nao e potencial no sentido classico, pois o seurotacional nao se anula.


Contudo, a acao de forcas eletromagneticas pode ser modelada via lagrangeanocom a ajuda do potencial vetorial magnetico A = A(t,x), que e um campo vetorialdado, em cada instante de tempo, por B = ∇×A, que e consequencia de ∇·B = 0. Opotencial A pode ser diretamente relacionado a corrente j por uma integral de volume.Alem disso, A esta determinado a menos de uma adicao com um campo gradiente. Ocampo magnetico e invariante por transformacoes da forma A 7→ A −∇φ, chamadade transformacao de calibre (gauge, em ingles). O campo eletrico E = −∇V tambeme invariante pela transformacao de calibre V 7→ V + c.

Observe, ainda que, pela segunda equacao do sistema de Maxwell nao-estatico (leide Faraday),

∇×

(

E +∂A

∂t

)

= ∇× E +∂∇× A

∂t= ∇× E +

∂B

∂t= 0.

Portanto, o campo E + ∂tA e potencial, digamos

E(t,x) +∂A(t,x)

∂t= −∇V (t,x).

onde V e chamado campo eletrostatico.Considerando, entao, uma partıcula de carga q neste campo eletromagnetico, to-

mamos como potencial eletromagnetico o campo

V (t,x, x) = q(V (t,x) − x · A(t,x)),

Considerando m como a massa da partıcula e considerando um movimento nao-relativıstico, temos o lagrangeano

L(t,x, x) =1

2m|x|2 − q(V (t,x) − x ·A(t,x))),

As equacoes de Euler-Lagrange sao

d

dt(mx + qA(t,x)) + q∇V (t,x) + q∇(x ·A(t,x)) = 0

Devemos levar em consideracao que a derivada temporal de A e ao longo do caminhox = x(t), portanto

d

dtA(t,x(t)) =

∂A(t,x(t))

∂t+ (x · ∇)A(t,x(t)).

Logo,mx = qE(t,x) + q(∇(x ·A(t, x)) − (x · ∇)A(t,x)).

Para concluir, observe a identidade vetorial

x × B = x × (∇× A) = ∇(x · A) − (x · ∇)A.

Assim, as equacoes de Euler-Lagrange tomam, finalmente, a forma

mx = q(E + x × B),

coincidindo com as equacoes de Newton para o problema.

8. MODELAGEM MOLECULAR 47

7. Forcas elasticas

Sistemas elasticos tambem podem tratados com campos de forca. Em certossistemas elasticos, a forca de restituicao e proporcional ao deslocamento em relacaoao equilıbrio. Assim, a forca e da forma F (d) = −κd, onde d e o deslocamento, e opotencial e

V (d) =1

2κd2.

Este e chamado de potencial harmonico. Em muitos casos, porem, a forca F (d) naoe harmonica e depende do deslocamento de forma nao linear. De qualquer maneira,sendo unidimensional, o potencial e uma primitiva V (d) de F (d). Por exemplo, achamada mola macia tem F (d) = −κ1d + κ2d

3, enquanto que a mola dura temF (d) = −κ1d− κ2d

3, com, respectivamente,

V (d) =1

2κ1d

2 −1

4κ2d

4 e V (d) =1

2κ1d

2 +1

4κ2d

4.

8. Modelagem molecular

Alguns dos efeitos quanticos em modelagem molecular tambem podem ser aproxi-mados por forcas classicas. Um exemplo importante e o do potencial 6/12 de Lennard-Jones:

V (x) = −γ

r6+

λ

r12,

onde r e a distancia entre dois atomos considerados na modelagem. O primeiro termo,de atracao, corresponde ao potencial de van der Waals. O segundo termo e incluıdocom o objetivo de modelar uma forca de repulsao entre as nuvens de eletrons causadapelo princıpio de exclusao de Pauli, assim como forcas de repulsao entre os nucleos; apotencia 12 e uma aproximacao. Uma aproximacao melhor e dada pelo potencial deBuckingham:

V (x) = −γ

r6+ λ1e

λ2r.

A forca de van der Waals esta associada a flutuacoes na densidade de distribuicao deeletrons em torno do nucleo, gerando dipolos eletricos transientes. Esta e uma forcamais fraca que a eletrostatica e que as pontes de hidrogenio, mas e importante entremoleculas em equilıbrio eletrostatico. Por exemplo, a eficiencia de uma enzima podedepender de uma grande quantidade de ligacoes do tipo van der Waals entre atomosda enzima e atomos do substrato (a macromolecula em que a enzima deve agir).

Ligacoes quımicas ionicas e covalentes tambem costumam ser tratadas com forcaselasticas, como molas vibrando em torno de uma posicao de equilibrio. Essas ligacoespodem gerar estruturas unidimensionais (uma ligacao ionica ou covalente entre doisatomos) ou multidimensionais, com formacao de angulos (duas ligacoes covalentesconsecutivas), e efeitos de torsao (tres ligacoes covalentes consecutivas), por exem-plo. As vibracoes dos angulos e das torsoes tambem sao modeladas como molas. A


modelagem pode ser atraves de potenciais harmonicos ou de potencias polinomiaisde ordem mais alta ou ate exponenciais, como atraves do potencial de Morse:

V (s) = δ(1 − e−σ(s−s0)),

onde s pode ser a distancia entre dois atomos, o angulo entre duas ligacoes covalentes,ou o angulo diedral entre tres ligacoes covalentes, dependendo do caso, e s0, a posicaode equilibrio.

9. Corpos rıgidos

A posicao de um corpo rıgido pode ser determinada a partir da posicao de seucentro de massa e de uma rotacao do corpo em relacao a algum eixo passando pelocentro de massa. Vamos imaginar o corpo como sendo formado por diversas partıculasde massa mi localizadas em pontos xi. Tomamos um ponto de referencia x0 relativoao corpo, que tanto pode ser um ponto do corpo, ou nao. Em certos casos, sera inter-essante considerar x0 como o centro de massa do corpo rıgido, mas nao assumiremosisso de inıcio. Sendo o corpo rıgido, o vetor posicao relativa xi − x0 tem o mesmocomprimento, independente da posicao do objeto. Apenas a orientacao de xi − x0

pode ser alterada. Essa alteracao pode ser representada por uma rotacao de um certoangulo em torno de um certo eixo. Isso pode ser representado por um vetor θ cujadirecao indica o eixo de rotacao e a sua magnitude, a rotacao, seguindo a convencaoda regra da mao direita.

Sendo o corpo rıgido, as posicoes relativas xi−xj entre duas partıculas quaisquertambem tem a mesma magnitude. Dessa forma, se uma partıcula e movimentada detal forma que a posicao em xi−x0 em relacao ao ponto de referencia e determinada poruma rotacao por θ, entao todos as outras partıculas tambem sofrerao um movimentorepresentado pela rotacao de xj − x0 pelo mesmo θ.

Com isso, podemos considerar como coordenadas generalizadas de um corpo rıgidoas variaveis (x0, θ). O grau de liberdade para o movimento de um corpo rıgido e,portanto, seis. O movimento de cada partıcula x1 pode ser dado em funcao de (x0, θ)pela expressao

xi(x0, θ) = x0 +R(θ)ri,

onde ri sao vetores fixos representando as posicoes relativas das partıculas em uminstante dado a priori (digamos, ri = xi(0) − x0(0)). Temos,

xi = x0 + θ × R(θ)ri.

Assim, a energia cinetica do sistema todo e

K(x0, θ) =1

2

∑

i

mi|xi|2 =

1

2

∑

i

mi|x0 + θ × R(θ)ri|2.

Sob a acao de uma forca potencial Fi(x) = −∇xiV (x) agindo em cada partıcula,

onde x = (xj)j temos o potencial

V (x0, θ) = V ((x0 +R(θ)rj)j).

9. CORPOS RIGIDOS 49

e, com isso, o lagrangeano

L(x0, θ, x0, θ) =1

2

∑

i

mi|x0 + θ ×R(θ)ri|2 − V ((x0 +R(θ)rj)j).

Para escrevermos as derivadas do lagrangeano, vamos estudar o operador derotacao R(θ). Para uma pequena variacao da rotacao por um vetor rotacao δθ,e possıvel ver que, para um vetor qualquer r,

R(θ + δθ)r− R(θ)r = δθ × R(θ)r + O(|δθ|2).

As derivadas direcionais nas direcoes canonicas sao, entao,

lims→0

R(θ + sei)r − R(θ)r

s= ei × R(θ)r, i = 1, 2, 3.

Assim, a derivada direcional de R(θ)r na direcao de um vetor s satisfaz

D(R(θ)r)s = s × R(θ)r.

para vetores r, s quaisquer. Lembremos, ainda, que o vetor (a·(ej×c)))j=1,2,3 coincidecom o vetor c × a, para quaisquer a, c. Com isso, o gradiente de qualquer funcaocomposta g(R(θ)r) da rotacao R(θ)r) em relacao a θ e

∇θ(g(R(θ)r)) = (R(θ)r) ×∇g(R(θ)r).

Vamos usar, tambem, que o vetor (a · (b × (ej × c)))j=1,2,3 coincide com o vetorc × (a × b), para quaisquer a,b, c

Assim, podemos encontrar, usando a regra da cadeia, as derivadas

∇(x0,θ)L(x0, θ, x0, θ) =∑

i

mi

(

x0 + θ × R(θ)ri, R(θ)ri × (x0 + θ ×R(θ)ri))

e

∇(x0,θ)L(x0, θ, x0, θ) =∑

i

(F(x0 +R(θ)ri),

miR(θ)ri · ((x0 + θ × R(θ)ri) × θ) +R(θ)ri × Fi((x0 +R(θ)rj)j).

Mas observe que, no gradiente ∇(x0,θ)L, os termos da forma R(θ)ri · (θ×R(θ)ri)× θ)se anulam. Logo,

∇(x0,θ)L =∑

i

(F(x0 +R(θ)ri), miR(θ)ri · x0 +R(θ)ri × Fi((x0 +R(θ)rj)j)).

Portanto, as equacoes de Euler-Lagrange se expressam

d

dt

∑

i

mi

(

x0 + θ × R(θ)ri

)

=∑

i

F(x0 +R(θ)ri)

d

dt

∑

i

mi

(

R(θ)ri × (x0 + θ × R(θ)ri))

=∑

i (miR(θ)ri · x0 +R(θ)ri × Fi((x0 +R(θ)rj)j)) .


Podemos reconhecer a quantidade

P(x0, θ, x0, θ) =∑

i

mi(x0 + θ × R(θ)ri) =∑

i

mixi

como o momento linear do sistema de partıculas e a primeira equacao pode ser escritana forma

d

dtP(x0, θ, x0, θ) =

∑

i

Fi((xj(x0, θ)j),

que e a equacao para a evolucao do momento linear.Podemos reconhecer, tambem, a quantidade

A(x0, θ, x0, θ)

=∑

i

mi

(

R(θ)ri × (x0 + θ ×R(θ)ri))

=∑

i

mi (R(θ)ri × xi(x0, θ))

como o momento angular do corpo rıgido em relacao a x0 e a segunda equacao acimae a da variacao de momento angular, que pode ser escrita na forma

d

dtA(x0, θ, x0, θ) =

∑

i

R(θ)ri × (mix0 + Fi((x0 +R(θ)rj)j)) .

O termo a direita representa a torcao em relacao ao ponto de referencia x0.

9.1. Equacoes de movimento de um corpo rıgido em relacao ao centrode massa. Podemos simplificar ainda mais as equacoes escolhendo x0 como o centrode massa do corpo. Fazendo isso, temos x0 dado por

x0 =

∑

imixi∑

imi.

Lembremos que xi = x0 +R(θ)ri. Assim,∑

i

miR(θ)ri =∑

i

mi(xi − x0) = 0.

Alem disso, o momento linear se escreve apenas em relacao ao centro de massa:

P(x0) =∑

i

mi(x0 + θ ×R(θ)ri) =∑

i

mix0 = M x0,

onde M =∑

imi e a massa total.Quanto ao momento angular, observe que o primeiro termo se anula:

∑

i

miR(θ)ri × x0 = 0.


Em relacao ao segundo termo, usando a identidade a × b × c = (a · c)b − (a · b)c,para vetores quaisquer a, c, escrevemos

A(θ, θ) =∑

i

mi

(

R(θ)ri × (θ × R(θ)ri))

=∑

i

mi

(

|R(θ)ri|2θ − (θ ·R(θ)ri)R(θ)ri

)

.

Portanto, escolhendo x0 como o centro de massa do sistema, as equacoes de Euler-Lagrange se reduzem ao sistema

d

dtP(x0) = F(x0, θ),

d

dtA(θ, θ) = T(x0, θ),

onde P e A sao os momentos linear e angular do sistema,

F(x0, θ) =∑

i

Fi((xj(x0, θ))j)

e a resultante das forcas aplicadas em cada partıcula do sistema e

T(x0, θ) =∑

i

R(θ)ri × Fi((xj(x0, θ))j)

e o torque total aplicado ao sistema em relacao ao centro de massa, resultante dostorques correspondentes em cada partıcula.

9.2. Momentos de inercia. Vimos, acima, como escrever o momento angularna forma

A(θ, θ) =∑

i

mi

(

R(θ)ri × (θ × R(θ)ri))

=∑

i

mi

(

|R(θ)ri|2θ − (θ ·R(θ)ri)R(θ)ri

)

.

Podemos evidenciar θ escrevendo

A(θ, θ) = I(θ)θ,

onde I(θ) = (Ij,k(θ))j,k e a matriz de coeficientes

Ij,k(θ) = (I(θ)ek) · ej =∑

i

mi

(

|R(θ)ri|2ek · ej − (ek ·R(θ)ri)(R(θ)ri · ej)

)

.

A matriz I(θ) e uma matrix simetrica, portanto, diagonalizavel. Os seus autoespacossao chamados de eixos principais do corpo rıgido e os seus autovalores, os momentosprincipais de inercia. Podemos ver que os autovalores sao independentes de θ e os


autovetores “rodam” com θ. Mais precisamente, observe que para vetores u e w emR

3

I(θ)R(θ)u ·R(θ)w

=∑

i

mi

(

|R(θ)ri|2R(θ)u ·R(θ)w − (R(θ)u ·R(θ)ri)(R(θ)ri ·R(θ)w)

)

=∑

i

mi

(

|ri|2u · w − (u · ri)(ri · w)

)

= I(θ(0))u ·w.

Portanto, se temos um autovetor u de I(θ(0)) associado a um autovalor λ, entao

λR(θ(t))u ·R(θ(t))w = λu ·w

= I(θ(0))u · w = I(θ(t))R(θ(t))u ·R(θ(t))w.

Como isso vale para todo w, temos que

I(θ(t))R(θ(t))u = λR(θ(t))u.

Portanto, os autovalores de I(θ(t)) sao preservados ao longo do movimento e osautovetores sao rodados por θ(t). Essa decomposicao pode ser escrita na forma

I(θ) = I1R(θ)E1 + I2R(θ)E2 + I3R(θ)E3,

onde E1, E2, E3 sao as projecoes ortogonais nos autoespacos de I(θ(0)) associados aosautovalores I1, I2, I3, respectivamente.

No caso de uma esfera, temos todos os autovalores iguais, I1 = I2 = I3 = I0, equalquer direcao forma um autoespaco. Nesse caso,

A(θ, θ) = I(θ)θ = I0θ.

No caso em que dois autovalores coincidem, digamos I1 6= I2 = I3 = I0, e alem disso,o eixo de rotacao do sistema coincide com o eixo principal associado a I1, temos E1

perpendicular a θ e, assim,

A(θ, θ) = I(θ)θ = I0θ.

Esse e o caso de um cilındro girando em torno de seu eixo longitudinal. ou de um piaocomum sem precessao (ou seja, tambem girando em torno de seu eixo longitudinal).

Em geral, porem, a relacao entre A, θ e θ e complicada. Mas dependendo dassimetrias do problema, e possıvel determinar essa relacao e obter um sistema explici-tamente em termos apenas de x0, θ e suas derivadas. Veja mais adiante, por exemplo,o sistema de um cilindro se movendo dentro de outro.

9.3. Equacoes de movimento de um corpo rıgido em relacao ao centrode massa e sob a acao de forcas gravitacionais e/ou eletrostaticas. Essasequacoes ainda podem ser simplificado caso as forcas entre as partıculas do propriocorpo sejam do tipo gravitacional ou eletrostatico. Nesses casos, a atracao ou repulsaoentre duas partıculas quaisquer do proprio corpo se anulam quando somadas. Mais


precisamente, considere duas partıculas de massas mi, mj, cargas qi e qj e localizadasem xi e xj. As forcas gravitacional e eletrostatica exercidas pela j-esima partıcula nai-esima partıcula somadas sao

Fi,j =Gmimj − qiqj

|xj − xi|(xj − xi).

Da mesma forma, as forcas exercidas pela i-esima partıcula na j-esima e

Fj,i =Gmimj − qiqj

|xi − xj|(xi − xj).

Logo,

Fi,j + Fj,i = 0.

Como isso vale para cada par de partıculas no corpo rıgido, a resultante das forcasentre as partıculas do corpo e nula. Apenas as interacoes entre partıculas do corpo ecampos externos sao relevantes. Podemos representar isso escrevendo o potencial naforma

V(x) = Vint(x) +∑

Vexti (xi)

onde as componentes externas dependem individualmente em cada partıcula. Asforcas externas individuais sao

Fexti (xi) = −∇Vext

i (xi).

Assim,∑

i

Fi((xj(x0, θ))j) =∑

i

Fexti (xi).

Analogamente,∑

i

R(θ)ri × Fi((xj(x0, θ))j) =∑

i

R(θ)ri × Fexti (xi).

Dessa forma, para campos gravitacionais e eletrostaticos, podemos escrever as equa-coes de Euler-Lagrange na forma

d

dtP(x0) = Fext(x0, θ),

d

dtA(x0, θ, θ) = Text(x0, θ),

onde P e A sao os momentos linear e angular do sistema,

Fext(x0, θ) =∑

i

Fexti (xi(x0, θ))

e a resultante das forcas externas aplicadas em cada partıcula do sistema e

Text(x0, θ) =∑

i

R(θ)ri × Fexti (xi(x0, θ)))


e o torque externo total aplicado ao sistema em relacao ao centro de massa, resultantedos torques externos correspondentes em cada partıcula. Observe que se nao houverforca externa nem torque externo os momentos lineares e angulares serao conservados.

O lagrangeano pode ser tomado como sendo

L(x0, θ, x0, θ) =1

2

∑

i

mi|x0 + θ ×R(θ)ri|2 −

∑

i

V ext(x0 +R(θ)ri).

10. Movimentos relativısticos

Todas as modelagens acima sao para o caso de movimentos nao-relativısticos.Caso as velocidades sejam muito grandes, modificacoes devem ser feitas. Em relativi-dade geral, uma mudanca esta na geometria do problema, que deixa de ser Euclidiana.Mas a forca gravitacional, por exemplo, continua sendo potencial. Mas nao vamosadentrar esse caminho.

Em relatividade restrita, a mudanca e apenas no momento, que toma a formap = m(v)v, onde v = x e a velocidade, a massa m(v), agora, depende do modulo davelocidade v = |v|, na forma

m(v) =m0

√

1 −v2

c2

e onde m0 e a massa de repouso. Assim,

p =m0v

√

1 −|v|2

c2

=m0x

√

1 −|x|2

c2

.

Vamos partir do princıpio de que a energia cinetica K(v) deve satisfazer a relacao

dK

dt= F · v,

onde F representa as forcas agindo na partıcula. A lei de movimento relativıstico e

p = F.

Assim, temos, apos alguns calculos,

dK

dt= F · v = p · v =

d

dt

m0v√

1 −|v|2

c2

· v

=m0

(

1 −|v|2

c2

)3/2

((

1 −|v|2

c2

)

dv

dt+

1

2

v

c2d

dt|v|2)

· v =

m0

2

d

dt|v|2

(

1 −|v|2

c2

)3/2.

10. MOVIMENTOS RELATIVISTICOS 55

Observe, entao, que a energia cinetica deve ser da forma

K(v) =m0c

2

(

1 −|v|2

c2

)1/2+ C0.

onde C0 e uma constante de integracao. Em repouso, a energia cinetica deve ser nula,logo, a constante de integracao acima deve ser

C0 = −m0c2.

Assim, temos

K(v) = c2

m0(

1 −|v|2

c2

)1/2−m0

= c2(m(v) −m0).

A expressao E = m(v)c2 e a energia total do sistema na ausencia de forcas externas.Porem, o lagrangeano nao e obtido da energia cinetica. Vamos supor uma partıcula

relativıstica livre, sem a acao de nenhuma forca. Vamos denotar o lagrangeano porL(x). Esse termo deve satisfazer

∇xL(x) = p.

A razao disso e para que as equacoes de Euler-Lagrange

d

dt∇xL(x).

coincidam com p = 0.Para que

∇xL(x) = p =m0x

√

1 −|x|2

c2

,

devemos ter

L(x) = −m0c2

√

1 −|x|2

c2.

Uma razao mais fundamentada para essa derivacao esta ligada a invariancia portransformacoes de Lorentz e a sua consequencia para a relacao entre um intervalode tempo proprio t′2 − t′1 de uma partıcula em movimento e o intervalo de tempot2 − t1 decorrido em um referencial ao qual o movimento se da relativamente, que e,exatamente,

t′1 − t′0 =

∫ t1

t0

√

1 −|v|2

c2dt ou dt′ =

√

1 −|v|2

c2dt.


No referencial proprio, e como se a energia cinetica fosse zero e a energia potencial,m0c

2, de modo que o lagrangeano seria −m0c2. A acao nesse referencial seria

∫ t′1

t′0

−m0c2 dt′ =

∫ t1

t0

−m0c2

√

1 −|v|2

c2dt,

o que equivale a tomar o lagrangeano

L(x) = −m0c2

√

1 −|x|2

c2

no referencial externo. Desse ponto de vista, temos, da mesma forma, a energia totalE = mc2, com m = m(v).

Sob a acao de um campo eletromagnetico (E,B), o movimento de uma partıcularelativıstica com massa de repouso m0 e carga q e dada pelas equacoes de Euler-Lagrange associadas ao lagrangeano

L(t,x, x) = −m0c2

√

1 −|x|2

c2− q(V (t,x) − x · A(t,x))),

onde V e o potencial eletrostatico e A o potencial vetorial magnetico. As equacoesde movimento nesse caso sao, novamente,

dp

dt= q(E + x × B).

Para a conservacao de energia, vamos agora considerar o caso de forcas potenciaisestaticas, ou seja,

L(x, x) = −m0c2

√

1 −|x|2

c2− V (x).

A conservacao de energia que segue da simetria de invariancia por translacao notempo desse lagrangeano e para a funcao energia

E = ∇xL · x − L =m0|x|

2

√

1 −|x|2

c2

+m0c2

√

1 −|x|2

c2+ V (x)

=m0c

2

√

1 −|x|2

c2

+ V (x) = m(|x|)c2 + V (x).

que e exatamente o esperado, conforme deduzido acima.

CAPıTULO 6

Outros exemplos de modelagem

1. Pendulo em rotacao

PSfrag replacements

(a) (b)

ϕ

ω

Figura 1. Dois exemplos de pendulo em rotacao.

Nesse exemplo, uma massa esta presa a uma haste rıgida e tal que a outra ex-tremidade da haste esta presa a uma barra que gira transversalmente com velocidadeangular dada ω (figura 1). Esse e um caso em que o Lagrangeano nos da a equacaode modo muito mais facil do que atraves da lei de Newton.

A simetria nos leva a representacao por coordenadas esfericas

(x, y, z) = (l sinϕ cos θ, l sinϕ sin θ,−l cosϕ),

com

θ = ω

dado, de modo que

(x, y, z) = (l sinϕ cos(θ0 + ωt), l sinϕ sin(θ0 + ωt),−l cosϕ),

onde θ0 pode ser tomado como um parametro definido a priori.

57

58 6. OUTROS EXEMPLOS DE MODELAGEM

Temos

x = lϕ cosϕ cos θ − lω sinϕ sin θ,

y = lϕ cosϕ sin θ + lω sinϕ cos θ,

z = lϕ sinϕ,

onde θ = θ0 + ωt.O lagrangeano se reduz, entao, a

L(ϕ, ϕ) =1

2m(x2 + y2 + z2) −mgz =

1

2ml2(ϕ2 + ω2 sin2 ϕ) +mgl cosϕ.

Observe que a restricao x = X(t,q) acima inclui uma dependencia temporal explıcita,mas essa dependencia acabou sendo eliminada no lagrangeano restrito devido a iden-tidade cos2(θ0 + ωt) + sin2(θ0 + ωt) = 1.

As derivadas parciais sao

∇ϕL(ϕ, ϕ) = ml2ω2 sinϕ cosϕ−mgl sinϕ, ∇ϕL(ϕ, ϕ) = ml2ϕ.

Com isso, a equacao de Euler-Lagrange que rege o movimento do pendulo em rotacaoe

ml2ϕ−ml2ω2 sinϕ cosϕ+mgl sinϕ = 0.

Para achar o sistema hamiltoniano associado podemos simplesmente introduzira velocidade ψ = ϕ′ e, nesse caso, o hamiltoniano fica claro. Mas vamos obter ohamiltoniano atraves do lagrangeano, introduzindo o momento generalizado

π = ml2ψ.

com o lagrangeano na forma

L(ϕ, ψ) =1

2ml2(ψ2 + ω2 sin2 ϕ) +mgl cosϕ.

Temos, assim,

ψ = V (π) =π

ml2

e o hamiltoniano

H(ϕ, π) = πV (π) − L(ϕ, V (π)) =π2

2ml2−

1

2ml2ω2 sin2 ϕ−mgl cosϕ.

O sistema hamiltoniano toma a forma{

ϕ =π

ml2

π = ml2ω2 sinϕ cosϕ−mgl sinϕ.

2. SISTEMA MASSA-MOLA-PENDULO TRIDIMENSIONAL 59

��

��PSfrag replacements

rϕ

θ

Figura 2. Massa presa a uma mola.

2. Sistema massa-mola-pendulo tridimensional

Vamos considerar um sistema de um objeto de massam preso em uma extremidadede uma mola com massa considerada nula e cuja outra extremidade esta fixa. Osistema esta livre para se movimentar no espaco tridimensional. A mola e consideradaharmonica, com coeficiente de elasticidade κ. (figura 2).

Nesse sistema, nao consideramos restricoes, propriamente, mas uma mudanca devariaveis para coordenadas esfericas:

X = (x, y, z) = (r sinϕ cos θ, r sinϕ sin θ,−r cosϕ)

com q = (r, θ, ϕ), onde o “sul” corresponde ao angulo ϕ = 0. As velocidades tem aforma

x = r sinϕ cos θ + rϕ cosϕ cos θ − rθ sinϕ sin θ,

x = r sinϕ sin θ + rϕ cosϕ sin θ + rθ sinϕ cos θ,

z = −r cosϕ+ rϕ sinϕ.

A energia cinetica se escreve

K(r, ϕ, r, θ, ϕ) =m

2(r2 + r2ϕ2 + r2θ2 sin2 ϕ).

O potencial gravitacional tem a forma mgz = −mgr cosϕ e o potencial elasticotem a forma −κ(r − r0), onde r0 e o comprimento de equilıbrio da mola. Assim, olagrangeano toma a forma

L(r, ϕ, r, θ, ϕ) =m

2(r2 + r2ϕ2 + r2θ2 sin2 ϕ) +mgr cosϕ+

κ

2(r − r0)

2.

O gradiente de L em relacao as variaveis (r, θ, ϕ) e

∇(r,θ,ϕ)L = (mrϕ2+mrθ2 sin2 ϕ+mg cosϕ+κ(r−r0), 0, mr2θ2 sinϕ cosϕ−mgr sinϕ).


O gradiente em relacao a (r, θ, ϕ) e

∇(r,θ,ϕ)L = (mr,mr2θ sin2 ϕ,mr2ϕ).

As equacoes de Euler-Lagrange sao dadas por

d

dt∇(r,θ,ϕ)L−∇(r,θ,ϕ)L = 0

e, portanto, tomam a forma

mr = mrϕ2 +mrθ2 sin2 ϕ+mg cosϕ+ κ(r − r0),

mr2θ sin2 ϕ+ 2mrrθ sin2 ϕ = 0,

mr2ϕ+ 2mrrϕ = mr2θ2 sinϕ cosϕ−mgr sinϕ.

Observe que no caso em que r e constante igual a r0 e θ e constante igual a zero,o sistema se reduz ao do pendulo planar, enquanto que no caso em que θ e ϕ saoconstantes iguais a zero, o sistema se reduz ao de massa-mola vertical (com a acaoda gravidade).

O sistema massa-mola-pendulo planar pode ser obtido fazendo θ constante. Nessecaso, o sistema fica reduzido a

{

mr = mrϕ2 +mg cosϕ+ κ(r − r0),

mr2ϕ+ 2mrrϕ = −mgr sinϕ.

Vamos obter o hamiltoniano apenas no caso planar. Para isso, podemos escreverp = (s, ψ) e v = (r, ϕ) e resolver a equacao vetorial

(s, ψ) = ∇vL(q,v) = (mr,mr2ϕ)

para r e ϕ. Isso nos da imediatamente

v = (r, ϕ) =

(

s

m,ψ

mr2

)

.

Podemos assumir r > 0 pois nao faz sentido uma mola ser comprimida a esse ponto.O hamiltoniano tem a forma

H(r, ϕ, s, ψ) = (s, ψ) ·

(

s

m,ψ

mr2

)

− L

(

r, ϕ,s

m,ψ

mr2

)

e, com isso,

H(r, ϕ, s, ψ) =s2

2m+

ψ2

2mr2+mgr cosϕ + κ2(r − r0).

As equacoes de Hamilton podem, entao, ser facilmente obtidas.O potencial elastico harmonico serve muito bem para pequenas oscilacoes. Mas

para grandes oscilacoes, ele nao evita que o comprimento r se torne nulo, ou atenegativo, o que nao e natural. Para grandes oscilacoes, correcoes devem ser feitas nopotencial elastico. Um potencial que se aproxime do infinito quando r vai para zeroevita isso. Tambem nao e natural que possamos esticar a mola indefinidamente. Ela

3. OSCILADORES ACOPLADOS E VIBRACOES DE POLIMEROS 61

deve ter um comprimento a partir do qual ou a mola perde elasticidade ou se quebra.E antes disso, dependendo do material, ela pode ser ser extremamente resistente agrandes deformacoes. Essas situacoes podem ser modeladas modificando a forma dopotencial para r grande. Deixamos para o leitor pensar nas modificacoes necessarias.Finalmente, caso usemos um elastico de borracha ao inves de uma mola helicoidaltıpica, a situacao fica bem mais complicada. A estrutura contınua do elastico deveser levada em consideracao e nos levara a uma equacao a derivadas parciais. Pode-mos, tambem, aproximar a estrutura contınua por conjuntos consecutivos de molas,gerando um sistema de varias equacoes do tipo massa-mola-pendulo tridimensional.Em nıvel molecular, essa e uma aproximacao ate mais fiel da realidade, so o que graude liberdade do sistema se torna absurdamente grande devido a enorme quantidadede moleculas que devem ser consideradas.

3. Osciladores acoplados e vibracoes de polımeros

Em varias situacoes podemos ter osciladores acoplados, como no caso de umelastico visto como uma cadeia de moleculas ou de outros polımeros como uma cadeiade DNA. Polietileno, por exemplo, representado pela formula CH3-(CH2)n-CH3, ecomposto por m moleculas de CH2, alinhadas e acopladas a uma molecula de CH3,em cada extremo (figura 3). Para simplificar, porem, vamos considerar apenas umacadeia X-Yn-X de n atomos iguais de massa M , acopladas a atomos de massa m emcada extremo, assumindo que eles assumam uma conformacao linear (a dificuldade,na pratica, e que, nos extremos, havera uma tendencia a uma formacao de um angulodiferente de 180o entre as duas ligacoes).

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� � � � � � � � � �

��

Figura 3. Acima, um polımero como CH3-(CH2)5-CH3 e, abaixo,um como X-Y5-X.

Para representar o sistema, vamos denotar por xi a distancia do (i+1)-esimo atomodo polımero a um ponto qualquer colinear a cadeia, com x0 e xn+1 representando osextremos de massa m. O vetor posicao e, simplesmente, x = (x0, x1, . . . , xn+1). A ma-triz de massa e diagonal, com o primeiro e ultimo elementos da diagonal iguais am e osoutro elementos da diagonal iguais a M . O vetor velocidade e x = (x0, x1, . . . , xn+1).


A energia cinetica e, simplesmente,

K(x) =1

2(M x) · x =

mx20

2+M

2

n∑

i=1

x2i +

mx2n+1

2.

A energia potencial e a energia elastica de cada ligacao, que pode ser harmonica ounao e que pode diferir da ligacao X−Y para a ligacao Y −Y . Assim, vamos assumirdois potenciais Vxy(r) e Vyy(r), respectivamente, onde r e a distancia entre os atomosem questao. No caso de potencial harmonico, temos

Vxy(r) =κxy2

(r − rxy)2, Vyy(r) =

κyy2

(r − ryy)2,

mas nao necessariamente precisamos assumir isso.A energia potencial pode ser escrita na forma

V (x) = Vxy(x1 − x0) +

n∑

i=2

Vyy(xi − xi−1) + Vxy(xn+1 − xn).

Assim, o lagrangeano tem a forma

L(x, x) =1

2(M x) · x − Vxy(x1 − x0) −

n∑

i=2

Vyy(xi − xi−1) − Vxy(xn+1 − xn).

As equacoes de Euler-Lagrange nos dao

mx0 = V ′xy(x1 − x0),

Mx1 = −V ′xy(x1 − x0) + Vyy(x2 − x1),

......

...

Mxi = V ′yy(xi − xi−1) + Vyy(xi+1 − xi),

......

...

Mxn = −V ′yy(xn − xn−1) + Vyx(xn+1 − xn),

mxn+1 = −V ′xy(xn+1 − xn).

4. Movimento de uma bola sobre um relevo

Nese caso, temos uma bola sob a acao gravitacional mas que esta restrita a umrelevo dado por z = h(x) e sem variacao na terceira coordenada y, digamos y = 0(figura 4). Esse e um caso em que a modelagem newtoniana pode nos levar a umaequacao errada se nao for feita com cuidado. Mas a modelagem lagrangeana e trivial.Vejamos.

Como z = h(x), temos z = h′(x)x, e o lagrangeano tem a forma

L(x, x) =1

2m(x2 + y2 + z2) −mgz =

1

2mx2(1 + h′(x)2) −mgh(x)

5. PENDULO DE UMA BOLA DENTRO DE UMA RODA SOBRE UM RELEVO 63

��

��

PSfrag replacements

z = h(x)

Figura 4. Movimento de uma bola sobre um relevo dado por z = h(x),com y = 0.

Assim,

∇xL(x, x) = mx2h′(x)h′′(x) −mgh′(x), ∇xL(x, x) = mx(1 + h′(x)2).

Nesse caso,

d

dt∇xL(x, x) = mx(1 + h′(x)2) + 2mx2h′(x)h′′(x),

e a equacao de Euler-Lagrange para o movimento da bola e

mx(1 + h′(x)2) +mx2h′(x)h′′(x) +mgh′(x) = 0.

O hamiltoniano, por outro lado, nao e tao facil de obter apenas introduzindo v = xe tentando advinhar H. Mas podemos seguir a receita do lagrangeano e introduzir omomento generalizado

p = mv(1 + h′(x)2).

Resolvendo para v, temos

v = V (x, p) =p

m(1 + h′(x)2).

O hamiltoniano toma a forma

H(x, p) = pV (x, p) − L(x, V (x, p)) =p2

2m(1 + h′(x)2)+mgh(x).

O sistema hamiltoniano fica sendo, entao,

x =p

m(1 + h′(x)2),

p =p2h′(x)h′′(x)

m(1 + h′(x)2)2−mgh′(x).

E facil verificar, derivando a primeira equacao, que esse sistema e equivalente aequacao de Euler-Lagrange obtida acima.


z

Figura 5. Movimento de um sistema bola-roda, com a bola dentro daroda e a roda deslizando ao longo de um relevo.

5. Pendulo de uma bola dentro de uma roda sobre um relevo

Uma combinacao interessante de um pendulo em um relevo pode ser obtidafazendo um roda percorrer um relevo e dentro do roda, uma bola. Vamos simpli-ficar assumindo que a bola dentro do pneu so pode percorrer trajetorias ao longo dopneu, sem “quicar” dentro dele. Podemos modelar o centro de massa do pneu comcoordendas (x, 0, z), sendo que a altura esta restrita a um relevo z = h(x) + r, onder e o raio do pneu. A bola dentro do pneu pode ser descrita em coordenadas polarescom a origem no centro de massa do pneu. O pneu tem massa M e a bola, m. Assim,as coordenadas generalizadas do sistema sao q = (x, θ). O centro de massa do pneue o da bola sao dados por

(x, 0, z) = (x, 0, h(x) + r), (x, 0, z) = (x + r cos θ, h(x) + r(1 + sin θ)).

A partir daqui, podemos prosseguir como nos outros casos e chegar nas equacoes deEuler-Lagrange. Deixamos isso como exercıcio para o leitor.

6. Forca centrıfuga

A forca centrıfuga e uma forca fictıcia que aparece em referenciais nao inerciaisassociada a movimentos circulares. Para ilustrar, vamos considerar o movimento deuma mola girante. Uma das extremidades da mola esta fixa em um eixo que giracom velocidade angular ω. A outra extremidade contem uma bola de massa m, cujaposicao, em um referencial girante, sera dada em funcao do comprimento r da mola:

x = (x, y, z) = X(r) = (r cosωt, r sinωt, 0).

A energia cinetica e

Kr(r) =1

2m(x2 + y2) =

1

2m(r2 + r2ω2).

A energia potencial e dada pelo potencial elastico harmonico

V (r) =1

2κ(r − r0)

2,

onde r0 e o comprimento de equilıbrio da mola.

7. FORCA DE CORIOLIS 65

O lagrangeano toma a forma

L(r, r) =1

2m(r2 + r2ω2) −

1

2κ(r − r0)

2.

TemosLr = mrω2 − κ(r − r0), Lr = mr

e as equacoes de Euler-Lagrange

mr = mrω2 − κ(r − r0).

Para a mola se manter com um comprimento r∗ constante, e necessario tomar umvelocidade angular ω∗ = κ(r∗−r0)/mr

∗. Por outro lado, dada uma velocidade angularω∗, o comprimento de equilıbrio e dado por r∗ = κr0/(κ−mω∗2)

O primeiro termo do lado direito da equacao de movimento e a chamada forcacentrıfuga, que so aparece no referencial girante. De fato, se tivessemos consideradocoordenadas (x, y), terıamos o lagrangeano

L(x, y, x, y) =1

2m(x2 + y2) −

1

2κ(√

x2 + y2 − r0)2.

Com isso,

∇(x,y)L = −κ(√

x2 + y2 − r0)2 (x, y)√

x2 + y2, ∇x,yL = m(x, y).

Assim, as equacoes de Euler-Lagrange se escreveriam

mx = −κ(√

x2 + y2 − r0)2 x√

x2 + y2,

my = −κ(√

x2 + y2 − r0)2 y√

x2 + y2,

onde apenas a forca elastica aparece.

7. Forca de Coriolis

PSfrag replacements

ω

Figura 6. Movimento de um inseto sobre um prato em rotacao.

Suponha que um inseto de massa m esteja sob um prato que gira em torno doseu centro de massa com velocidade angular ω (figura 6). O prato esta paraleloa superfıcie da Terra, de modo que a forca potencial acaba sendo balanceada pela


forca normal ao prato. A restricao, impondo um referencial nao inercial girante comvelocidade angular ω, e

x = (x, y, z) = X(t, r, θ) = (r cos(ωt+ θ), r sin(ωt+ θ), 0)

O Lagrangeano e

L(r, θ) =1

2m(x2 + y2 + z2) −mgz =

1

2m(r2 + r2(ω + θ)2).

Temos

∇(r,θ)L(r, θ) = (mr(ω + θ′)2, 0), ∇(r,θ)L(r, θ) = (mr,mr2(ω + θ)).

As equacoes de Euler-Lagrange sao

(mr, 2mrr(ω + θ) +mr2θ) − (mr(ω + θ)2, 0) = (0, 0),

o que da o sistema{

mr = mr(ω + θ)2 = mrω2 + 2m(ω + θ)rθ,

mr2θ = −2mrr(ω + θ).

Os diversos termos representam as seguintes forcas fictıcias

mrω2 = forca centrıfuga da rotacao do prato;

2m(ω + θ)rθ = forca de Coriolis na direcao radial;

− 2m(ω + θ)rr = forca de Coriolis na direcao rotacional.

Observe que do jeito que o problema foi formulado devemos pensar, na verdade, nomovimento de uma bola rolando sobre o prato. O movimento de um inseto deverialevar em consideracao a forca de contato com o prato, que e uma forca de atrito,para manter o inseto na posicao, se ele assim o desejar. No sistema acima, funcoesconstantes r(t) ≡ r0 e θ(t) ≡ θ0 nao sao admitidas como solucoes.

8. Movimento de um haltere girante

Considere um haltere formado por uma haste de massa desprezıvel de compri-mento 2l e duas bolas nas pontas de massas iguais m. O haltere e um corpo rıgidocom centro de massa no meio da haste, mas vamos trata-lo como um sistema de duaspartıculas com restricao. Suponho que esse centro de massa esteja preso a um eixoque gira com velocidade angular ω. Seja θ o angulo que a haste faz com o eixo vertical.Podemos representar a posicao das duas partıculas como (figura 7)

x1 = (l sin θ cosωt, l cos θ cosωt, l sin θ),

x2 = (−l sin θ cosωt,−l cos θ cosωt,−l sin θ).

9. MOVIMENTO DE UM CILINDRO DENTRO DE OUTRO 67

PSfrag replacements

x

y

z

θ

ω

ωt

Figura 7. Movimento de um haltere.

Nesse caso, θ e θ sao a posicao e a velocidade generalizadas do sistema. Temos

x1 = (lθ cos θ cosωt− lω sin θ sinωt,−lθ sin θ cosωt− lω cos θ sinωt, lθ cos θ),

x2 = −x1.

Assim, a energia cinetica do sistema pode ser calculada como sendo

K(θ, θ) = m(l2θ2 cos2 ωt+ l2ω2 sin2 ωt+ l2θ2 cos2 θ).

Os potenciais gravitacionais das duas partıculas se cancelam:

V (θ) = mgl sin θ −mgl sin θ = 0.

Portanto, o lagrangeano e

L(θ, θ) = m(l2θ2 cos2 ωt+ l2ω2 sin2 ωt+ l2θ2 cos2 θ).

Temos,

∂θL = −2ml2θ2 cos θ sin θ, ∂θL = 2ml2θ(cosωt+ cos θ).

Com isso, chegamos a equacao de Euler-Lagrange

2ml2θ(cosωt+ cos θ) − 2ml2θ(ω sinωt+ θ sin θ) + 2ml2θ2 cos θ sin θ.

Nesse sistema, o termo ∂θL representa o momento angular generalizado, enquantoque ∂θL representa o torque generalizado do sistema.

9. Movimento de um cilindro dentro de outro

Considere um cilindro de massa m e raio r dentro de outro cilindro de massa Me raio 2r que, por sua vez, esta apoiado em uma regiao plana horizontal. Escolhemosum sistema de coordendas cartesianas tais que o centro do cilindro maior esta restritoa uma reta (d, 0, 2r). O deslocamento do cilindro maior sera determinado pelo deslo-camento em d e pelo seu rolamento indicado por um angulo ϕ a partir da posicao


de equilıbrio, conforme ilustrado na figura 8. Assumindo que nao haja deslizamento,temos

d = −2rϕ.

O sinal negativo se deve ao fato de que um deslocamento para a direita acarreta emum angulo ϕ negativo.

PSfrag replacements

θ

ϕ

ψ

d

e

Figura 8. Movimento de um cilindro dentro de outro: a esquerda, oscilindros na posicao inicial, de referencia; a direita, os cilindros deslo-cados, ilustrando os diversos parametros do problema.

Vamos denotar por θ o angulo que o segundo cilindro percorreu a partir da posicaode equilıbrio e e o comprimento de arco deslocado dentro do cilindro maior. Comonao ha deslizamento do cilindro menor em relacao ao maior, temos

e = −rθ.

A linha entre os centros dos dois cilindros faz um angulo ψ com a vertical. O arco2r(ψ − ϕ) e o deslocamento e do segundo cilindro relativo ao primeiro, portanto,

θ = 2(ϕ− ψ).

Agora, imaginemos uma decomposicao dos cilindros em um numero par N demassas radiais identicas. Por exemplo, o cilindro externo pode ser escrito como umacomposicao de partes com massas Mi = M/N e centros de massa

xei = x0 + (2r sin(ϕ+ αi), 0,−2r cos(ϕ+ αi)), αi =

2πi

N, i = 1, . . . N,

onde

x0 = (d, 0, 2r)

e a posicao do centro do cilindro. O cilindro interno pode ser escrito como umacomposicao de partes com massas mi = m/N e centros de massa

xii = xψ + (r sin(θ + αi),−r cos(θ + αi)), αi =

2πi

N, i = 1, . . . N,

9. MOVIMENTO DE UM CILINDRO DENTRO DE OUTRO 69

onde xi0 e o centro do cilindro interno, dado por

xi0 = x0 + (r sinψ, 0,−r cosψ) = (d+ r sinψ, 0, 2r − r cosψ).

As coordenadas generalizadas podem ser tomadas como sendo q = (θ, ϕ). Dasrelacoes acima, podemos escrever o outro angulo ψ, os deslocamentos d e e e asposicoes de cada parte dos cilindros a partir de θ e ϕ. Temos

xei = 2r(ϕ+ sin(ϕ+ αi), 0, 1 − cos(ϕ+ αi)),

xii = r(2ϕ+ sin(ϕ− θ/2) + sin(θ + αi), 0, 2 − cos(ϕ− θ/2) − cos(θ + αi)).

A energia cinetica do sistema e a soma das energias cineticas de cada parte doscilindros. Temos

xei = 2r(ϕ+ ϕ cos(ϕ+ αi), 0, ϕ sin(ϕ+ αi));

xii = r(2ϕ+ (ϕ− θ/2) cos(ϕ− θ/2) + θ cos(θ + αi), 0,

(ϕ− θ/2) sin(ϕ− θ/2) + θ sin(θ + αi)).

Calculando o quadrado das normas,

|xei |

2 = 8r2ϕ2(1 + cos(ϕ+ αi)),

|xii|

2 = 4r2ϕ2 + r2(θ + ϕ/2)2 + r2θ2 + 4r2ϕ(ϕ− θ/2)2 cos(ϕ− θ/2)

+ 4r2ϕθ cos(θ + αi)

+ 2r2θ(ϕ− θ/2)(cos(ϕ− θ/2) cos(θ + αi) + sin(ϕ− θ/2) sin(θ + αi).

A simetria dada pela rotacao paralela ao eixo dos cilindros ajuda a simplificar osistema, eliminando os parametros αi. De fato, somando as varias partes de cadacilindro, os senos e cossenos que envolvem αi se cancelam, resultando na seguinteenergia cinetica de cada cilindro:

1

2M |xe|2 =

1

2

∑

i

Mi|xei |

2 = 4Mr2ϕ2;

1

2m|xi|2 =

1

2

∑

i

mi|xii|

2 = 2mr2ϕ2 +1

2mr2(ϕ− θ/2)2 +

1

2mr2θ2

+ 2mr2ϕ(ϕ− θ/2)2 cos(ϕ− θ/2).

A energia cinetica total e a soma da energia cinetica de cada cilindro, sendo,portanto,

K(ϕ, θ, ϕ, θ) = 4Mr2ϕ2 + 2mr2ϕ2 +1

2mr2(ϕ− θ/2)2 +

1

2mr2θ2

+ 2mr2ϕ(ϕ− θ/2)2 cos(ϕ− θ/2)


A energia potencial de cada parte dos cilindros e

V ei = Mig(1 − cos(ϕ+ αi));

V ii = mig(2 − cos(ϕ− θ/2) − cos(θ + αi).

Somando as partes, achamos a energia total

V (ϕ, θ) = 2rMg +mgr(2 − cos(ϕ− θ/2)).

Como era de se esperar pela restricao que mantem a posicao vertical do primeirocilindro fixa, o primeiro termo nao contribui para as equacoes de movimento, pois econstante. Apenas a energia potencial do segundo cilindro, que pode variar de altura,e relevante. Assim, o lagrangeano do sistema pode ser escrito na forma

L(ϕ, θ, ϕ, θ) = 4Mr2ϕ2 + 2mr2ϕ2 +1

2mr2(ϕ− θ/2)2 +

1

2mr2θ2

+ 2mr2ϕ(ϕ− θ/2)2 cos(ϕ− θ/2) − 2rMg −mgr(2 − cos(ϕ− θ/2)).

A partir desse lagrangeano, as equacoes de movimento podem ser obtidas com umpouco de calculo diferencial.

10. Pendulo magnetico

Vamos considerar um pendulo magnetico de comprimento l, com uma bola deferro de massa m na ponta inferior, proximo a dois ımas alinhados em um mesmoplano perpendicular a posicao de equilıbrio do pendulo, conforme ilustrado na figura9. Os polos dos ımas estao situados a uma distancia 2r entre si e equidistantes daposicao de equilıbrio do pendulo. Os dois ımas tem a mesma massa magnetica M .

l

PSfrag replacements

θ

2r

BB

P

Figura 9. Pendulo em um campo magnetico.

A energia cinetica do sistema e como no caso do pendulo planar:

Kr(θ) =1

2ml2θ2.

A forca potencial inclui o potencial gravitacional Vg = mgz = −mgl cos θ e opotencial magnetico. O potencial magnetico nao tem uma forma muito simples,

11. PARTICULA CARREGADA ELETRICAMENTE EM UM CAMPO MAGNETICO UNIFORME71

mas podemos considerar algumas aproximacoes. Vamos condiderar que na regiaode interesse para o movimento do pendulo o campo magnetico e horizontal e comos polos opostos dos ımas bem longe, de tal forma que a componente horizontal docampo magnetico e

B = −hM

r2e

+hM

r2d

,

onde re e a distancia entre o pendulo e o ıma esquerdo, rd, entre o pendulo e o ımadireito e h e um parametro dependente do meio.

Denotando por µ > 0 a massa magnetica do pendulo, chegamos ao potencialmagnetico do sistema:

Vm(θ) = −hµM

r + l sin θ−

hµM

r − l sin θ.

Com isso, o lagrangeano toma a forma

L(θ, θ) =1

2ml2θ2 +mgl cos θ +

hµM

r + l sin θ+

hµM

r − l sin θ.

Temos

Lθ = ml2θ, Lθ = −mgl sin θ −hµMl cos θ

(r + l sin θ)2+

hµMl cos θ

(r − l sin θ)2.

Logo, as equacoes de Euler-Lagrange sao

ml2θ = −mgl sin θ −hµMl cos θ

(r + l sin θ)2+

hµMl cos θ

(r − l sin θ)2.

11. Partıcula carregada eletricamente em um campo magnetico uniforme

Vamos supor um campo magnetico uniforme da forma B = (0, 0, B). O potencialmagnetico vetorial A que da B = ∇ × A e A = (−By, 0, 0). Assim, o lagrangeanopara uma partıcula de carga q em movimento nao-relativıstico e

L(x, y, z, x, y, z) =m

2(x2 + y2 + z2) − qByx.

Temos∇(x,y,z)L = (0,−qBx, 0), ∇(x,y,z)L = (mx− qBy,my,mz).

Portanto, as equacoes de movimento sao

mx− qBy = 0,

my + qBx = 0,

mz = 0.

A partir dessas equacoes, e possıvel ver que a partıcula se move em cırculos noplano xy. O perıodo e qB/m, que e independente do raio. Portanto, quanto maiora amplitude da oscilacao, maior deve ser a velocidade da partıcula, para manter omesmo perıodo. Esse princıpio e usado no acelerador circular de partıculas, que e


Figura 10. Ilustracao de um cıclotron, onde as setas verticais indicamo campo magnetico e a linha tracejada, o caminho percorrido pelapartıcula.

chamado de cıclotron, por causa dessa propriedade. Na verdade, em um aceleradordo tipo cıclotron, o campo so age em duas estruturas semi-circulares separadas poruma certa distancia. Entre as estruturas, nao ha campo magnetico e a partıculanao sofre deslocamento angular na trajetorio. Com isso, a cada volta, ao passarde uma estrutura para outra, a partıcula aumenta a amplitude de rotacao e, dessamaneria, aumenta a sua energia cinetica. A medida em que a partıcula se aproxima davelocidade da luz, as equacoes relativısticas devem ser consideradas, mas o princıpioe o mesmo.

12. Pendulo relativıstico

O pendulo relativıstico pode ser obtido para um eletron se movendo proximo avelocidade da luz em um acelerador de partıculas linear. Temos um campo eletricomodulado, periodico e viajante da forma E(t, x) = (A(εt) sin(ω(x/v0−t)), 0, 0), onde εe relativamente pequeno, indicando um aumento lento na amplitude, ω e a frequenciaespacial de oscilacao, v0 e a velocidade de propagacao da onda e x e a coordenadalongitudinal no acelerador linear. Colocando um sistema de coordenadas viajantes aolongo da onda, podemos escrever o campo eletrico como

E(t, x) =

(

A(εt) sin

(

ω

(

x

v0

))

, 0, 0

)

cujo potencial e

V (t, x) =v0

ωA(εt) cos

(

ω(x

v

))

,

Como o campo eletrico e da forma E(t,x) = (E(t, x), 0, 0), temos ∇ × E = 0 epodemos ver como solucao das equacoes de Maxwell um campo magnetico nulo coma corrente longitudinal ao acelerador. Assim, o lagrangeano do sistema tem a forma

L(t, x, x) = −m0c2

√

1 −x2

c2−ev0

ωA(εt) cos

(

ω(x

v

))

,

onde c e a velocidade da luz, m0, a massa de repouso do eletron e e, a carga doeletron.

13. MOVIMENTO DE UM SATELITE 73

As equacoes de movimento podem ser obtidas a partir do lagrangeano ou direta-mento da correcao relativıstica das equacoes de Newton:

d

dt

m0x√

1 − x2

c2

= eA(εt) sin

(

ω

(

x

v0

))

.

Essa equacao tem bastante semelhanca com o pendulo planar. Para A = A(·) con-stante, as solucoes sao uma versao assimetrica das solucoes do pendulo planar, coma assimetria aumentando a medida em que v0 se aproxima de c. Fisicamente, assolucoes periodicas correspondem a eletrons viajando em fase com a onda, ao passoque eletrons mais energeticos podem viajar mais rapido que a onda e eletrons menosenergeticos, mais devagar.

Para A = A(·) crescente, a medida em que a amplitude vai aumentando, a regiaode solucoes periodicas vai aumentando e eletrons com menos energia vao sendo cap-turadas para viajarem em fase com a onda. Caso A = A(·) seja periodico, eletronsmudam de comportamento de “fora de fase” para “em fase” e vice-versa. Dependendodo perıdo da modulacao, comportamentos caoticos podem aparecer.

13. Movimento de um satelite

Vamos considerar um movimento de um satelite de massa m restrito a um planopassando pelo centro da Terra. Usando coordenadas polares q = (r, θ) como coorde-nadas generalizadas, temos

(x, y, z) = x = X(q) = (r cos θ, r sin θ, 0).

A energia cinetica e

K(r, r, θ) =m

2(r2 + r2θ2).

O potencial gravitacional pode ser escrito na forma

V (r) = −GmM

r.

Assim, o Lagrangeano toma a forma

L(r, r, θ) =m

2(r2 + r2θ2) +

GmM

r.

Temos

∇(r,θ)L =

(

mrθ2 −GmM

r2, 0

)

, ∇(r,θ)L = (mr,mr2θ).

Com isso, as equacoes de Euler-Lagrange se escrevem

mr = mrθ2 −GmM

r2,

mr2θ + 2mrrθ = 0.


Observe que o fato de ∂θL ser nulo implica em que ∂θL deve ser constante ao longodo movimento. O fato da segunda equacao de Euler-Lagrange ser integravel e reflexodisso. Temos, entao, mr2θ constante para cada solucao. Fazendo

r2θ = µ,

obtemos uma unica equacao de segunda ordem para r:

r =µ2

r3−GM

r2.

Esse sistema pode ser resolvido explicitamente, tendo as conicas como solucoes. Epossıvel chegar a esse sistema a partir das equacoes cartesianos tridimensionais eusando simetrias como conservacao do centro de massa, conservacao do momentoangular e um certo plano de simetria definido pelo vetor velocidade inicial e o vetorposicao do satelite. Mas a formulacao acima simplifica bastante essas contas.

14. Movimentos de dois e tres corpos

O movimento de um satelite, considerado de massa desprezıvel em comparacaocom a da Terra, ou de qualquer outro planeta, e um dos mais simples em mecanicaceleste. Caso a massa do satelite nao seja desprezıvel, assim como na interacao entrea lua e o sol, temos o chamado problema de dois corpos. Este tambem pode serresolvido completamente. De fato, ele e da mesma forma que o problema do satelite,apenas com a massa substituıda por uma combinacao das duas massas.

Se o centro de massa for tomado como a origem do sistema, o sistema se desacoplaem dois do tipo satelite, um para cada planeta, sendo que a nova massa em cadaequacao e a massa do planeta em questao elevada ao cubo e dividida pelo quadrado dasoma das massas. Se um dos planetas for tomado como a origem de um novo sistemade coordenadas, a equacao para o movimento relativo do outro planeta e exatamentea equacao de um satelite com a massa substituıda pela soma das massas dos doisplanetas. As solucoes, portanto, sao conicas para cada planeta. Para o sistema todo,isso se reflete em solucoes periodicas ou quasi-periodicas, dependento dos perıodos derotacao de cada planeta. Sistemas de dois corpos sao ditos em ressonancia m1 : m2

quando apos m1 voltas de um planeta e m2 voltas do outro planeta o sistema se repete.Isso acontece quando os perıodos, digamos T1 e T2, sao racionalmente dependentes,com T2/T1 = m1/m2, para inteiros m1 e m2. O sistema todo e periodico de perıodom1T1 = m2T2. Casos os perıdos sejam racionalmente independentes, o sistema equasi-periodico.

Sistemas de tres corpos, por outro lado, sao extremamente complicados. O sistemainicialmente tem 18 coordenadas (nove para a posicao espacial de cada planeta e novepara as velocidades correspondentes). Esse sistema pode ser reduzido para seis, apos ouso de simetrias do campo de forcas, como as usadas para resolver o problemas de doiscorpos, que so tem exatamente 12 coordenadas. As seis coordenadas restantes daoum grau de liberdade suficiente para o sistema nao poder ser resolvido explicitamente

15. MOVIMENTO RESTRITO DE TRES CORPOS 75

e, ainda, para que os movimentos dos corpos sejam extremamente complicados. Estesistema esta, de fato, na origem da teoria que hoje chamamos de sistemas dinamicos econsiderada como tendo nascido justamente a partir dos trabalhos de Poincare sobreesse sistema. Uma serie convergente para as solucoes desse problema foi finalmenteestabelecida no final do seculo XX, mas isso nao resolveu o problema no sentido deexplicitar as solucoes do sistema. O sistema apresenta comportamentos caoticos, comsolucoes complicadas, sensıveis as condicoes iniciais e imprevisıveis a longo prazo.

15. Movimento restrito de tres corpos

Para simplificar o estudo do problema de tres corpos, foi considerado um problemaintermediario, chamado de problema restrito de tres corpos. Nesse problema, doisplanetas massivos interagem entre si, enquanto que um terceiro planeta ou satelite,de massa pequena, sofre a acao gravitacional dos outro dois mas nao influencia nomovimento deles. Dessa maneira, o movimento dos outros dois corpos sao conicas eentram como forcas externas na equacao de movimento do satelite. Como essas forcasexternas sao dependentes do tempo, a equacao do satelite se torna, de fato, bastantecomplicada, apresentando, tambem, regimes caoticos.

��

��

PSfrag replacements

r

Rθ

P1

P2

S

ω

Figura 11. Ilustracao do movimento de um satelite S sob a acaogravitacional de planetas P1 e P2, onde P2 circula em torno de P1 comdistancia R. O sistema de coordenadas (r, θ) para a posicao do satelitegira junto com P2.

Para simplificar ainda mais o problema, vamos considerar coordenadas com aorigem em um dos planetas, digamos P1, e assumir que o movimento do outro planeta,P2, e uma circunferencia de raio R e com perıodo T . Esse e o sistema restrito circularde tres corpos. Vamos considerar que o plano gerado pelo movimento de P2 em


relativo a P1 seja o plano xy, de modo que as coordenadas de P2 ao longo do temposao

(x, y, z) = (R cos(ωt), R sin(ωt), 0),

onde ω = 2π/T . Podemos usar um sistema de coordenadas generalizadas polaresq = (r, θ) que rode junto com P2, de modo que as coordenadas de P2 nesse sistemasejam sempre (R, 0). As coordenadas cartesianas do satelite podem ser representadaspor

(x, y, z) = x = X(q) = X(r, θ) = (r cos(θ + ωt), r sin(θ + ωt), 0).

Temos

x = r cos(θ + ωt) + r(θ + ω) cos(θ + ωt),

y = −r sin(θ + ωt) + r(θ + ω) sin(θ + ωt),

z = 0.

Vamos denotar por M1 e M2 as massas dos dois planetas e por m a massa dosatelite. A energia cinetica do satelite e

K(r, r, θ) =m

2(r2 + r2(θ + ω)2).

Observe, agora, que a distancia entre o planeta P2 e o satelite e

d(r, θ) = r2 +R2 − 2rR cos θ

Com isso, a energia potencial gravitacional exercida pelos dois planetas pode serescrita como

V (t, r, θ) = −GmM1

r−

GmM2

r2 +R2 − 2rR cos θ.

O lagrangeano e

L(t, r, θ, r, θ) = K(r, r, θ) − V (t, r, θ)

=m

2(r2 + r2(θ + ω)2) +

GmM1

r+

GmM2


Temos

∇(r,θ)L

=

(

mr(θ + ω)2 −GmM1

r2−

2GmM2(r −R cos θ)

(r2 +R2 − 2rR cos θ)2,−

2GmM2R sin θ

(r2 +R2 − 2rR cos θ)2

)

e

∇(r,θ)L = (mr,mr2(θ + ω)).

15. MOVIMENTO RESTRITO DE TRES CORPOS 77

Com isso, as equacoes de Euler-Lagrange tomam a forma

mr = mr(θ + ω)2 −GmM1

r2−

2GmM2(r − R cos θ)

(r2 +R2 − 2rR cos θ)2

mr2θ + 2mrr(θ + ω) = −2GmM2R sin θ

(r2 +R2 − 2rR cos θ)2.

A unica quantidade conservada desse sistema e a energia total,

E(t, r, θ, r, θ) = K(r, r, θ) + V (t, r, θ)

=m

2(r2 + r2(θ + ω)2) −

GmM1

r−

GmM2


Como e um sistema de duas equacoes de segunda ordem, suas solucoes vivem natu-ralmente em um espaco de quatro dimensoes. Com a conservacao de energia, cadasolucao esta restrita a uma “superfıcie” de tres dimensoes. As varias solucoes emcada superfıcie tem liberdade suficiente para apresentar comportamentos complica-dos, caoticos.

Bibliografia

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