Mecanica dos Fluidos IAula pratica 14

(Semana de 10 a 14 de Dezembro de 2007)

EXERCICIO 1 A sustentacao produzida pelas asas e devida ao facto de apressao media na face superior (extradorso) ser menor que na face inferior (in-tradorso) da asa. Tal diferenca de pressao, provoca vortices nas extremidadesdas asas, com o sentido de rotacao representado na figura: o fluido escoa-se daspressoes mais altas para as pressoes mais baixas.

(Adaptado de um desenho de Bart van Goethem, tirado da Internet).

1. Comece por analisar o voo horizontal do aviao, longe do solo. Considereque, na esteira do aviao, o escoamento longitudinal e o escomento no planovertical ortogonal sao aproximadamente independentes. Deste modo, e pos-sıvel estudar os vortices libertados na ponta das asas como um escoamentobidimensional nesse plano vertical, perpendicular ao movimento do aviao.

Vendo o aviao de tras, como no esquema acima, designemos por +Γ a in-tensidade do vortice na asa direita e −Γ a intensidade do vortice na asaesquerda. A envergadura (distancia entre as extremidades das asas) do A320representado na figura e 34,09 m. Calcule o movimento dos dois vortices,admitindo que eles estao exactamente centrados na ponta das asas.

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Sugestoes:Tenha em conta que o escoamento tem uma linha de simetria, alinhada com oplano medio da fuselagem. Note que o escoamento de dois vortices e simetricoquando eles tem sinal contrario (no caso de fontes ou pocos, a imagem tem omesmo sinal). Escolha um referencial centrado num ponto conveniente da linhade simetria.

2. Analise o movimento dos dois vortices libertados na ponta das asas quan-do o aviao voa junto a pista. Com o aviao estacionado, a zona media daponta da asa esta a cerca de 11,20 m acima do solo: tome essa altura comorepresentativa da distancia do centro do vortice ao solo.

Sugestao:Agora, o escoamento tem mais uma linha de simetria.

Procure resolver este problema antes de consultar as solucoes.

Solucoes:Quando o aviao voa longe do chao, existem apenas dois vortices simetricos, deintensidade +Γ e −Γ, a distancia de L = 34, 09 m um do outro, como se mostrana figura.

A velocidade de cada vortice deve-se a velocidade induzida pelo outro, a qual sotem componente vertical descendente: vx = 0, vy = −Γ/(2 π L) = −0, 00467 Γ(usando um referencial em que y e vertical e x e a direccao horizontal). Portanto,em voo longe do chao, a menos de algumas outras pequenas influencias, os vorti-ces deslocam-se verticalmente, mantendo a distancia entre si.

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Na proximidade do chao, formam-se duas imagens, simetricas, como se mostrana figura a seguir.

A distancia horizontal entre os vortices a mesma cota e L = 34, 09 m; a distanciavertical entre duas fiadas de vortices e 2 h = 2× 11, 20 = 22, 40 m. A velocidadeinduzida sobre o vortice da ponta direita da asa e a soma de tres contribuicoes:

do vorticeda asa esquerda (−L/2 + i h): vx = 0, vy =

−Γ

2 π L;

da imagem do vorticeda asa direita (+L/2− i h): vx =

+Γ

2 π (2 h), vy = 0;

da imagem do vorticeda asa esquerda (−L/2− i h): vx =

−Γ L

2 π [L2 + (2 h)2], vy =

+Γ (2 h)

2 π [L2 + (2 h)2].

Substituindo valores, o vortice da asa direita tera uma velocidade com compo-nentes:

vx =Γ

2 π

[1

2 h− L

L2 + (2 h)2

]= +0, 00384 Γ

vy =Γ

2 π

[−1

L+

2 h

L2 + (2 h)2

]=−0, 00253 Γ

O vortice libertado na ponta da asa esquerda desloca-se com a mesma componentevertical e uma componente horizontal simetrica:

vx = −0, 00384 Γ, vy = −0, 00253 Γ.

Acompanhando as influencias recıprocas dos dois vortices e das suas imagens, amedida que se deslocam no plano ortogonal a direccao do movimento do aviao,verificar-se-ia que (a menos de outras pequenas influencias) os vortices se deslo-cam ao longo de hiperboles cujas assımptotas sao a linha do chao e a linha verticalde simetria do aviao, como se mostra esquematicamente na figura seguinte.

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