2 fluxo bidimensional novo
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Fluxo bidimensional
Profa. M.Sc. Maria Valéria Mello Vieira Toniazzo
Fluxo Permanente Bidimensional
Por que estudar percolação de água?
Importante para o dimensionamento de barragens
Obtenção da Rede de Fluxo:
• Gradientes hidráulicos (potencial de piping)
• Poropressão
• Vazão
Fluxo Permanente Bidimensional
Quando o fluxo de água ocorre sempre na mesma
direção, como no caso dos permeâmetros diz-se que o
fluxo é unidimensional. Sendo uniforme a areia, a
direção do fluxo e o gradiente são constantes em
qualquer ponto.
Nos fluxos unidirecionais (vertical ou horizontal), para
calcular a vazão de percolação através de um solo
aplica-se diretamente a lei de Darcy:
Q = v ×A = k × i × A
Fluxo Permanente Bidimensional
Quando as partículas de água se deslocam segundo
qualquer direção, o fluxo é tridimensional. A migração
de água para um poço é um exemplo de fluxo
tridimensional de interesse para a engenharia.
Quando as partículas de água seguem caminhos
curvos, mas paralelos, o fluxo é bidimensional (caso
da percolação pelas fundações de uma barragem).
Fluxo Permanente Bidimensional
Equação de Laplace
Onde: kx, ky, kz = Coeficiente de permeabilidade nas respectivas
direções;
ht = carga total no ponto considerado;
x,y,z = direção de fluxo;
e = índice de vazios;
S = grau de saturação;
t = tempo.
t
eS
t
Se
ez
hk
y
hk
x
hk t
zt
yt
x1
122
2
22
2
22
2
Equação de Laplace
A equação da Laplace é muito conhecida no meio
matemático e conseqüentemente na engenharia. A
solução da equação de Laplace são dois grupos de
curvas ortogonais entre si.
No caso de Fluxo:
Curvas – Linhas de fluxo;
Curvas – Linhas equipotenciais.
O conjunto das linhas de fluxo e equipotenciais é
denominado de rede de fluxo.
Rede de Fluxo
A rede de fluxo é a solução gráfica da
equação de Laplace, composta de dois
grupos de curvas perpendiculares entre si,
formando quadrados curvilíneos.
Dados extraídos da Rede de Fluxo
Determinação da vazão total em uma região de fluxo.
lf
lf
lf
lf
lf
l.e. l.e. l.e. l.e. l.e. l.e.
Canal de Fluxo
dQ
dQ
dQ
dQ
Q
Dh Dh Dh Dh Dh
h
Linhas equipotencias
Linhas de fluxo
Dados extraídos da Rede de Fluxo Q = dQ . Nf
Onde:
Q = vazão total
dQ = Vazão em cada um canal de fluxo;
nf = número de canais de fluxo.
dQ = Q / Nf
h = Dh . Nd
Onde:
h = Diferença de carga total;
Dh = diferença de carga entre equipotenciais;
Nd = número de regiões entre equipotenciais.
Dados extraídos da Rede de Fluxo
Pela lei de Darcy a vazão em um canal é
dQ = k (Dh/l)A
dQ = k.(Dh/l)b.l
Substituindo
Q/Nf = k (h / Nd l).b.l (para l = b temos)
Q = k (h) Nf/Nd
b
l
Diferença de carga
entre equipotenciais
Dados extraídos da Rede de Fluxo
Determinação da carga total em um ponto
qualquer.
ht = ht início do fluxo – Dh * número de regiões
entre equipotenciais até o ponto.
Rede de fluxo • É a trajetória percorrida pela água no interior do maciço de solo.
Linhas de Fluxo = trajetória do fluxo
Equipotenciais = pontos com igual carga total
Linhas de Fluxo Limites = AEC/FG
Linhas Equipotenciais Limites = BA/CD
Traçado da rede de fluxo – Método Gráfico A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas e a vazão
entre duas linhas de fluxo consecutivas devem ser constantes.
Lei de Darcy no elemento i:
Conceito de rede:
Rede composta por regiões formando “quadrados”: (kv = kh = isotropia)
Exemplos de rede de fluxo
Exemplos de rede de fluxo
Exemplos de rede de fluxo
Exemplos de rede de fluxo
Exercício – Determinar a vazão que passa
no sistema
40
0
90
30
0
100
k = 0,001 cm/seg
Linha equipotencial ht cte
1x30.100
40)-(90 0,001 .A
L
htf)(htikQ
Exercício – Determinar a vazão que passa
no sistema
extensãode/cm/
3cm015,0Q s
Exercício – Determinar a vazão que passa
no sistema
40
0
90
30
0
100
k = 0,001 cm/seg
Dividir como quero mas
sempre em quadrados.
90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40
ht é uma linha
s/3
cm015,010
3.40-90 0,001
Nd
NfhkQ
Exercício – Determinar a vazão que passa
no sistema
Valida as duas equações!!!
nf = número de canais de fluxo;
nd = número de regiões entre equipotenciais.
Exemplo: Qual a seção
mais indicada
Linhas equipotenciais com
mesma carga
4 canais de fluxo e 12
regiões equipotenciais
Linhas de fluxo (da água)
Exemplo:
Rede de fluxo na fundação da barragem de concreto
Vazão é determinada
pela fórmula:
DN
hkQfN
Exemplo: Qual a seção
mais indicada
No exemplo considerado, existem 4 canais de fluxo e 12
faixas de perda de potencial. Para um k =10-4 m/s, por
exemplo, Q = 10-4 x 6 x 4/12 = 2 x 10-4 m3/s (cerca de
0,72m3/hora) por metro de comprimento de barragem.
GRADIENTES:
a diferença de carga total que provoca percolação, dividida pelo
número de faixas de perda de potencial, indica a perda de carga de
uma equipotencial para a seguinte.
No exemplo considerado, a perda de carga entre equipotenciais
consecutivas é de 6/12 = 0,5 m, Esta perda de carga dividida entre as
equipotenciais é o gradiente.
3,70m
9,00m
1,0m
K=1x10-4 m/s
Para o sistema de fluxo abaixo calcular a vazão que passa pela fundação.
ht = 12,7m
ht = 10,0m
s/3
m410x35,18
4.107,12.
410
Nh kQ
D
fN
Determinar qual a vazão através da fundação por unidade de comprimento longitudinal da barragem. Qual o valor do gradiente hidráulico no quadrado X. Qual o valor da poropressão nos pontos A, B e C. Sabe-se que o coeficiente de permeabilidade do solo da fundação é igual a 10-3 cm/s.
A seção transversal de uma barragem está mostrada na Figura 67. Determinar a
vazão sob a barragem e plotar a distribuição da subpressão na base da mesma. O
coeficiente de permeabilidade do solo da fundação é 2,5x10-5m/s.
Condições de Contorno
Essas condições estão diretamente ligadas à geometria do problema. A determinação das fronteiras dos problemas de fluxo é fator preponderante para a definição da rede de fluxo. Os problemas de fluxo podem ser classificados (em relação às fronteiras) em problemas de fluxo confinado e problemas de fluxo não-confinado.
Condições de Contorno Fluxo confinado Neste caso, as fronteiras estão bem definidas. Sabe-se que o fluxo se dará na região ABCDEFG, estando assim as condições de contorno pré-fixadas.
Condições de Contorno Fluxo confinado Neste caso, uma parte das fronteiras necessita ser pré-determinada de modo a
se resolver o problema.
A linha BCD não é conhecida a priori, devendo assim ser determinada antes da
resolução do problema.
Uma vez definidos os 2 tipos de problema (fluxo confinado e fluxo não-confinado), tem-se 4 tipos de condições de contorno geralmente encontrados: superfície impermeável superfície em contato com o líquido superfície livre de fluxo linha freática
Condições de Contorno
Assim, as linhas equipotenciais são perpendiculares à superfície impermeável. As superfícies normalmente encontradas são aquelas que delimitam os contatos solo-rocha, solo-concreto e solo-metal, além dos contatos entre solos com coeficientes de permeabilidade bastante distintos.
Superfície impermeável
As linhas ABC e DEF definem superfícies em contato com o líquido. Se para qualquer ponto a carga total é a mesma, então ABC é uma equipotencial. O mesmo se aplica para a superfície DEF. Logo, as superfícies em contato com o líquido constituem equipotenciais.
Superfície em contato com o líquido
CD define uma superfície livre de fluxo. Dessa forma, a carga total varia linearmente com a altura, portanto CD não é uma equipotencial. Como as linhas de fluxo encontram CD, então CD também não é uma linha de fluxo.
Superfície livre de fluxo
A linha freática é a fronteira superior da região por onde se processa o fluxo. É a linha de fluxo superior do meio, ao longo da qual a carga piezométrica é nula (só existe carga de elevação).
Linha freática