MECÂNICA DOS FLUIDOS I

Engenharia MecânicaIFES CAMPUS ARACRUZ

2016Prof. Hermes Vazzoler Junior

Capitulo 4 –Assuntos Abordados

1. Leis Básicas na forma Integral para um Sistema

2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de

Controle (TTR - Teorema do Transporte de Reynolds)

3. Aplicação do TTR a Conservação de Massa

4. Aplicação do TTR ao princípio da Quantidade de Movimento Linear

5. Equação de Bernoulli

6. Aplicação do TTR ao princípio da Quantidade de Movimento Angular

7. Aplicação do TTR a 1ª Lei da Termodinâmica

8. Aplicação do TTR a 2ª Lei da Termodinâmica

Capitulo 4 –Aula 01

1. Leis Básicas para um Sistema:

• Conservação de Massa

• O Princípio da Quantidade de Movimento Linear (2ª Lei de Newton)

• O Princípio da Quantidade de Movimento Angular

• A Primeira Lei da Termodinâmica

• A Segunda Lei da Termodinâmica

4.1 Leis Básicas para um Sistema

𝑑𝑀

𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡

= 0

𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡

ρ 𝑑V

Conservação da Massa de um Sistema: Como um sistema é, por definição, uma porção

arbitrária de matéria de identidade fixa, ele é constituído da mesma quantidade de matéria

em todos os instantes. A massa do sistema é constante, daí:

4.1 Leis Básicas para um SistemaQuantidade de Movimento Linear de um Sistema: Para um sistema movendo-se em relação a

um referencial fixo, a soma de todas as forças externas agindo sobre ele é igual à taxa de

variação da quantidade de movimento linear.

𝐹 =𝑑𝑃

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑃𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑉 𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑉 ρ𝑑V

4.1 Leis Básicas para um SistemaQuantidade de Movimento Angular de um Sistema: a taxa de variação da quantidade de

movimento angular de um sistema é igual a soma de todos os torques atuando no sistema.

𝑇 =𝑑𝐻

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡

𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑟 × 𝑉𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑟 × 𝑉 ρ𝑑V

Define-se Torque como

𝑇𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑟 × 𝐹𝑠 + 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑟 × 𝑔𝑑𝑚 + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜

Torque oriundo

de forças de

superfície

Torque oriundo de

forças de campo

(gravidade)

Torque oriundo do

movimento de eixos que

atravessam a fronteira do

sistema

Onde

4.1 Leis Básicas para um Sistema1ª Lei da Termodinâmica: Conservação de energia para um sistema.

𝑑𝐸

𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡

= 𝑄 − 𝑊

𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑒 𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑒 ρ𝑑𝑉

𝑒 = 𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧

𝑸 = Taxa de Transferência de Calor

“+” calor adicionado ao sistema

“-” calor retirado do sistema

𝑾 = Taxa de realização de Trabalho

“+” trabalho realizado pelo sistema

“- ” trabalho realizado sobre o sistema

𝒖 = Energia interna específica

V = Velocidade linear

z = Altura de um elemento de massa dmOnde:

𝑑𝑢 = 𝑐𝑣𝑑𝑇

Energia

Mecânica

𝑑𝐸 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝑊

4.1 Leis Básicas para um Sistema2ª Lei da Termodinâmica: A variação da entropia de um sistema é governada por

𝑑𝑆 𝑠𝑖𝑠𝑡 ≥𝛿𝑄

𝑇

𝑆𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑠 𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑠 ρ𝑑V

Ou, em uma base de taxa de

variação no tempo

𝑑𝑆

𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡

≥1

𝑇 𝑄

Exemplo 1 (Exercício 4.4 Fox)

Um jato comercial BOEING 777-200 pesa, totalmente carregado, 325.000kg. O piloto leva as duas

turbinas ao empuxo máximo de decolagem de 450kN cada uma, antes de liberar os freios.

Desprezando as resistências aerodinâmicas e de rolamento, estime o comprimento de pista e o

tempo mínimo necessário para este avião atingir a velocidade de decolagem de 225km/h. Considere

que o empuxo das turbinas permaneça constante durante o trajeto da aeronave no solo.

𝐹 = 𝑚 𝑎

Equação de Governo:

Exemplo 2 (Exercício 4.2 Fox)

Uma forma de cubos de gelo contendo 250 ml de água fria a 15ºC é colocada no freezer a -5ºC.

Determine a variação de energia interna (kJ) e a de Entropia (kJ/K) da água quando ela for

congelada.

𝑑𝑆 ≥𝛿𝑄

𝑇

Equações de Governo:

𝑑𝑢 = 𝑐𝑣𝑑𝑇

𝑑𝐸 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝑊

𝑐𝑣 ≅ 4000 J/(kg.K)

Adotar para todo o

processo:

Capitulo 4 –Aula 02

2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação

para Volume de Controle: Dedução do Teorema do Transporte

de Reynolds (TTR)

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

Comumente classificamos as propriedades de interesse a mecânica dos fluidos em intensivas ou

extensivas.

As propriedades intensivas são aquelas que são independentes do tamanho do sistema, tais como a

temperatura, a pressão e a densidade. (podem ser funções da posição e do tempo)

Pelo contrário, os valores das propriedades extensivas dependem do tamanho (ou extensão) do sistema.

A massa, o volume e a energia total, são alguns exemplos. (podem variar somente com o tempo)

Propriedade Extensiva Propriedade Intensiva

Energia Mecânica E Energia Mecânica Específica e

Volume V Volume específico ϑ

Quantidade de Movimento mV Velocidade V

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

• A massa do conjunto, assim como o volume, é equivalente a soma das

partes (propriedades extensivas).

• No entanto, a temperatura não é a soma da temperatura das partes; é a

mesma para cada parte (propriedade intensiva).

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

Propriedade extensiva do sistema:

Propriedade intensiva:

Para a conservação da massa:

Para a quantidade de movimento linear:

Para a primeira lei da termodinâmica:

Para quantidade movimento angular:

Para a segunda lei da termodinâmica:

𝑁

η =𝑁

𝑚

η =𝑚

𝑚= 1𝑁 = 𝑚

η =𝑃

𝑚=𝑚𝑉

𝑚= 𝑉𝑁 = 𝑃

η =𝑒𝑚

𝑚= 𝑒𝑁 = 𝐸

SistemaSistema VM

Sistema dVdmN

η =𝑠𝑚

𝑚= 𝑠𝑁 = 𝑆

η =𝐻

𝑚=𝑚 𝑟 × 𝑉

𝑚= 𝑟 × 𝑉𝑁 = 𝐻

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

Região I e II: juntas formam o VC

Região III : junto com II delimita o Sistema no instante 𝑡0 + ∆𝑡

Streamlines = linhas de corrente

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

Nosso objetivo é relacionar a taxa de variação da qualquer propriedade extensiva arbitrária, N, do

sistema com quantidades associadas ao V.C. Da definição de derivada temos:

Da figura:

t

NN

dt

dN tSttS

t

S

00

0lim

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

t

NN

dt

dN tSttS

t

S

00

0lim

II IIII

Sub 1

Sub 3SVC

0

00

000

000)()()(

tVCtVCtS

ttIIIttIttVC

ttIIIIVCttIIIIItts

VdNN

e

VdVdVd

NNNNNN

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

Substituindo na definição de derivada do sistema:

t

NN

dt

dN tSttS

t

S

00

0lim

t

VdVdVdVdtVCttIttIIIttVC

t

0000

0lim

Como o limite da soma é igual a soma dos limites:

t

Vd

t

Vd

t

VdVd

dt

dN ttI

t

ttIII

t

tVCttVC

t

S

0000

000 limlimlim

Termo 1 Termo 3Termo 2

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

t

Vd

t

Vd

t

VdVd

dt

dN ttI

t

ttIII

t

tVCttVC

t

S

0000

000 limlimlim

O Termo 1 é simplesmente a derivada :

VCVd

t

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

t

Vd

t

Vd

t

VdVd

dt

dN ttI

t

ttIII

t

tVCttVC

t

S

0000

000 limlimlim

Para se calcular a integral (em toda a região III) do Termo 2,

considere a sub-região 3 assinalada, que tem fronteira esquerda

como parte da SC (por onde pode passar massa), fronteira direita

como parte do Sistema (não pode passar massa) e fronteiras laterais

formadas por linhas de fluxo. Com isso, todo o material que está na

Região III atravessou a fronteira esquerda, no intervalo de tempo ∆t.

II IIII

Sub 1

Sub 3

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

A quantidade dN3 contida na sub-região

3 é dada por :

tttt dAldN 00

)]cos([)3

Para a Região III inteira, tem-se então :

ttSCesqdAl

0

cos

Observando uma vista ampliada da

sub-região 3 :

tttt VddN 00

][)3

𝑑𝑁3 𝑡0+∆𝑡 = 𝜂 𝜌 𝑉. 𝑑𝐴 ∆𝑡

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

II IIII

Sub 1

Sub 3

A integral na SCesq indica a quantidade total que entrou na região III durante o

intervalo de tempo Δt e portanto o Termo 2 pode ser escrito como :

AdVdAt

l

t

dAl

t

Vd

esqesq

esq

SCSCt

ttSC

t

ttIII

t

coscoslim

cos

limlim

0

0000

De modo análogo pode-se calcular o Termo 3, considerando a

sub-região 1 e toda a quantidade N que ingressou na região I

no intervalo de tempo Δt :

dAV

dA α

Como o ângulo α é maior do que 90° , o

cosα será negativo. O Termo 3 será dado

então pela integral na SCesq,complementar :

arcomplementesqarcomplementesq

arcomplementesq

SCSCt

SC

t

ttI

t

AdVdAt

l

t

dAl

t

dV

,,

,0

coscoslim

cos

limlim

0

00

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

II IIII

Sub 1

Sub 3

Como a soma do Termo 2 com o Termo 3 resulta na integral

em toda a superfície de controle, obtém-se:

)(

cos

AdVVdtdt

dN

AdVVdtdt

dN

SCVCSist

SCVCSist

Equação Geral do Teorema

de Transportes de Reynolds

(TTR)

Ou seja,

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

Interpretação Física:

)( AdVVdtdt

dN

SCVCSist

“O TTR relaciona a taxa de variação de qualquer propriedade

extensiva arbitrária, N, de um Sistema com variações dessa

propriedade associadas com o VC no instante em que o

Sistema e o VC coincidem.”

Vazão volumétrica:

AdVQÁrea

Fluxo de massa:

AdVmÁrea

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

Sistdt

dN

Taxa de variação de qualquer propriedade extensiva do sistema

Taxa de variação com o tempo da propriedade extensiva arbitrária N

dentro do volume de controle

:

Vd:

É a propriedade intensiva correspondente a N;

É um elemento de massa contido no V.C.

VCVd: É a quantidade total da propriedade extensiva N contida

dentro do V.C.

VCVd

t

4.2 Relações Integrais entre Sistema e Volume de Controle

)( AdVSC

Taxa líquida de fluxo da propriedade extensiva N através da S.C.

)(: AdV

Taxa de fluxo de massa através do elemento de área por

unidade de tempo.

)(: AdV

Taxa de fluxo da propriedade extensiva N através do

elemento de área.

V

:Vetor velocidade medido em relação à superfície do V.C. Em geral,

o vetor velocidade faz um ângulo com dA (vetor elemento de área),

o sentido de dA é o da normal à superfície para fora do elemento.

Capitulo 4 –Aula 03

2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação

para Volume de Controle: Aplicações do Teorema do

Transporte de Reynolds a Conservação da Massa

4.3 Aplicações do TTR a Conservação da Massa

Conservação da massa: aplicamos a relação entre as formulações integrais de sistema e de V.C. ao

princípio de conservação da massa, onde a massa de um sistema permanece constante.

𝑑𝑀

𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡

= 0

η = 1𝑁 = 𝑀 𝝏

𝛛𝒕 𝑽𝑪

𝛒𝒅𝑽 + 𝑺𝑪

𝛒 (𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎

Taxa líquida de fluxo

massa através da SC

(vazão)

Taxa de variação de

massa no VC

EQUAÇÃO DA

CONTINUIDADE

)( AdVVdtdt

dN

SCVCSist

𝑽. 𝒅𝑨

Cuidado com

4.3 Aplicação do TTR a Conservação da Massa

Casos Especiais:

a) Para Escoamento em Regime Permanente

𝑺𝑪

𝝆(𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎

b) Para Escoamento Incompressível 𝜌 = 𝑐𝑡𝑒

𝝏

𝛛𝒕 𝑽𝑪

𝒅𝑽 + 𝑺𝑪

𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎

𝝏

𝛛𝒕 𝑽𝑪

𝛒𝒅𝑽 + 𝑺𝑪

𝛒 (𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎

𝑺𝑪

𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎

c) Para Escoamento incompressível e em Regime Permanente

Se os fluxos de massa que entram

ou saem do VC ocorrem por áreas

fixas e com velocidades constantes:

𝒇𝒍𝒖𝒙𝒐𝒔

𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎

Exemplo 3Considere o escoamento permanente de água na junção apresentada.

𝐴1 = 0,2 𝑚2

𝐴2 = 0,2 𝑚2

𝐴3= 0,15 𝑚2

𝑄4= 0,1 𝑚3 𝑠

𝑉1= 5 𝑚 𝑠

𝑉3= 12 𝑚 𝑠

𝜌 = 999 𝑘𝑔 𝑚3

Determine a velocidade do escoamento na seção 2.

𝒇𝒍𝒖𝒙𝒐𝒔

𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎

Equação de Governo:

Exemplo 4O escoamento a montante da placa é uniforme com velocidade 𝑉 = 𝑈 𝑖; 𝑈 = 30 𝑚 𝑠. A distribuição

de velocidade dentro da camada limite ao longo de cd é aproximada por 𝑢 𝑈 = 2 𝑦 𝛿 − 𝑦 𝛿 2.

A espessura da camada limite é de 5mm. O fluido é o ar. Supondo a largura da placa

perpendicular ao papel igual a 0,6 m, calcula a vazão em massa através da superfície bc do VC

abcd.

𝑺𝑪

𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎

Equação de Governo:

Exemplo 5Um tanque, com volume de 0,05m³, contém ar a 800kPa (pressão absoluta) e 15ºC. Em t=0s, ar

começa a escapar do tanque por meio de uma válvula com área de escoamento de 65mm². O ar

passando pela válvula tem velocidade de 300m/s e massa específica de 6kg/m³. Determine a taxa

instantânea de variação da massa específica do ar no tanque em t=0s.

Tanque

𝝏

𝛛𝒕 𝑽𝑪

𝛒𝒅𝑽 + 𝑺𝑪

𝛒 (𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎

Equação de Governo:

Capitulo 4 –Aula 04

2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação

para Volume de Controle: Aplicações do Teorema do

Transporte de Reynolds a Quantidade de Movimento Linear

4.4 Aplicação do TTR ao princípio da Quantidade de Movimento Linear

𝐹 =𝑑𝑃

𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡

2ª Lei de Newton

Força Resultante𝐹 = 𝐹𝑆 + 𝐹𝐵 + 𝐹𝐸

O TTR aplicado a

quantidade de

movimento linear)( AdVVVdV

tFFF

SCVCEBS

)( AdVVdtdt

dN

SCVCSist

Onde 𝐹𝑆, 𝐹𝐵 𝑒 𝐹𝐸 são as

forças resultantes de

superfície (pressão), de corpo

(gravidade) e outras forças

externas aplicadas a SC

4.4 Aplicação do TTR ao princípio da Quantidade de Movimento Linear

A equação da quantidade de movimento é vetorial, com 𝑉 = 𝑢, 𝑣, 𝑤 . Logo, pode ser

escrita em função de suas componentes escalares:

𝑭𝑺𝒙 + 𝑭𝑩𝒙 + 𝑭𝑬𝒙 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝒖𝝆𝒅𝑽 +

𝑺𝑪

𝒖𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨

𝑭𝑺𝒚 + 𝑭𝑩𝒚 + 𝑭𝑬𝒚 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝒗𝝆𝒅𝑽 +

𝑺𝑪

𝒗𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨

𝑭𝑺𝒛 + 𝑭𝑩𝒛 + 𝑭𝑬𝒛 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝒘𝝆𝒅𝑽 +

𝑺𝑪

𝒘𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨

Exemplo 6 (Exercício 4.15 Fox)

Obtenha expressões para a vazão volumétrica e para o fluxo de quantidade de movimento

através da seção transversal (1) do volume de controle mostrado no diagrama (este volume de

controle encontra-se limitado por duas placas planas).

Equações de Governo:

𝐹𝑄𝑀 =

𝑠𝑒çã𝑜 1

𝑢𝜌(𝑉 ∙ 𝑑𝐴

𝑄 =

𝑠𝑒çã𝑜 1

𝑉. 𝑑 𝐴

placas

Exemplo 7

𝐴𝐵 = 0,01 𝑚2

𝑉𝐴 = 15 𝑚/𝑠

A água sai de um bocal estacionário e atinge a placa plana, conforme figura. A água deixa o

bocal a 15 𝑚 𝑠; a área do bocal é 0,01 𝑚2. Admitindo que a água é dirigida normal à placa e

que escoa totalmente ao longo da placa, determine a força horizontal sobre o suporte.

Equação de Governo:

𝑭𝑺𝒙 + 𝑭𝑩𝒙 + 𝑭𝑬𝒙 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝒖𝝆𝒅𝑽 +

𝑺𝑪

𝒖𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨

Exemplo 8Um recipiente de metal, com o,61 metros de altura e seção reta interna de 0,09m², pesa 22,2N quando

vazio. O recipiente é colocado sobre uma balança e a água escoa para o seu interior por uma abertura

centralizada em seu topo e para fora por meio de duas aberturas iguais nas laterais, conforme ilustrado

na figura. Sob condições de escoamento permanente a altura da agua no interior do tanque é h=0,58m.

Se A1 = 0,009m² , V1 = 3m/s , A2 = A3 = 0,009m², qual será o peso medido na balança?

Equação de Governo:

𝑭𝑺𝒚 + 𝑭𝑩𝒚 + 𝑭𝑬𝒚 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝒗𝝆𝒅𝑽 +

𝑺𝑪

𝒗𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨

Exemplo 9Água escoa em regime permanente através do cotovelo redutor de 90° mostrado no diagrama. Na

entrada a pressão é 220𝐾𝑃𝑎 e a área transversal é 0,01𝑚2. Na saída, a área é 0,0025𝑚2 e a velocidade

média é 16 𝑚 𝑠. O cotovelo descarrega para atmosfera. Determine a força necessária para manter o

cotovelo estático.

DADOS:

P1, A1

A2, V2𝑭𝑺𝒙 + 𝑭𝑩𝒙 + 𝑭𝑬𝒙 =

𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝒖𝝆𝒅𝑽 +

𝑺𝑪

𝒖𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨

𝑭𝑺𝒚 + 𝑭𝑩𝒚 + 𝑭𝑬𝒚 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝒗𝝆𝒅𝑽 +

𝑺𝑪

𝒗𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨

Equações de Governo:

Exemplo 10

DADOS:

𝑉𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎𝑉𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎𝑄𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎𝜌𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎

Uma correia transportadora horizontal movendo-se a 𝑉𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎 recebe areia de uma

carregador. A areia cai verticalmente sobre a correia com velocidade 𝑉𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎 e vazão 𝑄𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎, a

massa específica é 𝜌𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎. A correia transportadora está inicialmente vazia e vai se enchendo

gradativamente com areia. Se o atrito do sistema de acionamento e nos roletes for

desprezível, determine a força de tração necessária para puxar a correia enquanto é

carregada.

Capitulo 4 –Aula 05

2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação

para Volume de Controle: Equação de Bernoulli

4.5 Equação de BernoulliApliquemos as equações da continuidade e da quantidade de movimento a um escoamento

permanente, incompressível e sem atrito ao longo de uma linha de corrente, conforme

figura abaixo:

VC diferencial fixo no

espaço e limitado

pelas linhas de

corrente

4.5 Equação de BernoulliSendo o VC limitado pelas linhas de corrente, escoamentos cruzando a SC ocorrem somente

nas seções transversais. Aplicando a Equação da Continuidade, temos:

𝝏

𝛛𝒕 𝑽𝑪

𝛒𝒅𝑽 + 𝑺𝑪

𝛒𝑽. 𝒅𝑨 = 𝟎

0 (regime permanente)

−𝜌𝑉𝑠𝐴 + {𝜌 𝑉𝑠 + 𝑑𝑉𝑠 𝐴 + 𝑑𝐴 } = 0

𝜌 𝑉𝑠 + 𝑑𝑉𝑠 𝐴 + 𝑑𝐴 = 𝜌𝑉𝑠𝐴

𝑉𝑠 𝑑𝐴 + 𝐴 𝑑𝑉𝑠 + 𝑑𝐴 𝑑𝑉𝑠 = 0

Muito pequeno

𝑉𝑠 𝑑𝐴 + 𝐴 𝑑𝑉𝑠 = 0

4.5 Equação de BernoulliAplicando a componente da Equação da Quantidade de Movimento na direção da linha de

corrente para um escoamento sem atrito, temos:

𝑭𝑺𝒔 + 𝑭𝑩𝒔 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝒖𝒔𝝆𝒅𝑽 +

𝑺𝑪

𝒖𝒔𝝆𝑽 ∙ 𝒅𝑨

0 (hipótese de regime permanente)

Como não há atrito, a força de

superfície terá três termos devido

somente a pressão:

𝐹𝑆𝑠 = 𝑝𝐴 − 𝑝 + 𝑑𝑝 𝐴 + 𝑑𝐴 + 𝑝 +𝑑𝑝

2𝑑𝐴

Pressão sobre as faces

Pressão atuando na direção s (𝐹𝑆𝑏) = pressão média na superfície do tubo

4.5 Equação de BernoulliSimplificando a equação da Força de Superfície, temos:

𝐹𝑆𝑠 = −𝐴 𝑑𝑝 −1

2𝑑𝑝 𝑑𝐴

A componente da força de campo (gravidade)

na direção s é:

𝐹𝐵𝑠 = 𝜌 −𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐴 +𝑑𝐴

2𝑑𝑠

𝐹𝐵𝑠 = 𝜌 𝑔𝑠 𝑑∀

Mas 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑠 = 𝑑𝑧, de modo que:

𝐹𝐵𝑠 = −𝜌𝑔 𝐴 +𝑑𝐴

2𝑑𝑧

4.5 Equação de BernoulliDividindo por 𝜌𝐴 e notando que os termos com produtos de diferenciais são desprezíveis em

relação aos demais, obtemos:

−𝒅𝒑

𝝆− 𝒈 𝒅𝒛 = 𝑽𝒔 𝒅𝑽𝒔 = 𝒅

𝑽𝒔𝟐

𝟐

𝒅𝒑

𝝆+ 𝒅

𝑽𝒔𝟐

𝟐+ 𝒈𝒅𝒛 = 𝟎

𝒑

𝝆+

𝑽𝒔𝟐

𝟐+ 𝒈𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

Equação

de

Bernoulli

Considerações:

• Escoamento em regime permanente;

• Fluido incompressível;

• Sem atrito (escoamento suposto não viscoso)

• Escoamento se dá ao longo de uma linha de corrente.

𝑑𝒑

𝝆+

𝑽𝒔𝟐

𝟐+ 𝒈𝒛 = 0

4.5 Equação de Bernoulli

𝒑𝟏𝝆

+𝑽𝟏𝟐

𝟐+ 𝒈𝒛𝟏 =

𝒑𝟐𝝆

+𝑽𝟐𝟐

𝟐+ 𝒈𝒛𝟐

Outras formas úteis de reescrever a

equação de Bernoulli:

𝒑𝟏 + 𝝆𝑽𝟏𝟐

𝟐+ 𝝆𝒈𝒛𝟏 = 𝒑𝟐 + 𝝆

𝑽𝟐𝟐

𝟐+ 𝝆𝒈𝒛𝟐

𝒑𝟏𝝆𝒈

+𝑽𝟏𝟐

𝟐𝒈+ 𝒛𝟏 =

𝒑𝟐𝝆𝒈

+𝑽𝟐𝟐

𝟐𝒈+ 𝒛𝟐

𝒑𝟏γ

+𝑽𝟏𝟐

𝟐𝒈+ 𝒉𝟏 =

𝒑𝟐γ

+𝑽𝟐𝟐

𝟐𝒈+ 𝒉𝟐

Ou mais

comumente

𝒑

𝝆+

𝑽𝒔𝟐

𝟐+ 𝒈𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

Bastante aplicada no estudo

de bombas e operações de

bombeamento

4.5 Equação de Bernoulli

• A Eq. de Bernoulli é uma relação poderosa entre pressão, velocidade e

elevação, embora baseada em inúmeras hipóteses simplificadoras.

Consiste de satisfatória solução, mesmo que aproximada, para muitos

casos particulares de escoamento em curtas distâncias.

• Imagine, por exemplo, um escoamento horizontal e sem atrito. A única

força horizontal que uma partícula fluida neste escoamento pode

experimentar é aquela devido à força líquida de pressão. A única forma

dessa tal partícula se acelerar (aumentar sua velocidade) é movendo-se de

uma região de pressão mais alta para outra de pressão mais baixa.

4.5.1 Equação de Bernoulli: Medição de Pressão por meio de Tubos

(a) Tubo piezométrico (b) Tubo de Pitot (b) Tubo de Pitot Estático

𝑝2 = 𝑝1 + 𝜌𝑉2

2𝑝2 − 𝑝1 = 𝜌

𝑉2

2

4.5.2 Equação de Bernoulli: Escoamentos a pequenas distâncias

A Equação de Bernoulli é aplicada bastante aplicada a escoamentos internos onde as

distâncias de interesse são pequenas. Nestes casos os efeitos viscosos do fluido podem

ser desprezados. São casos de escoamentos considerados não viscosos aquele que

ocorre através de uma redução de seção (a) e de um tanque pressurizado (b).

4.5.3 Equação de Bernoulli: Aerodinâmica

A asa de um avião é mais curva na parte de

cima. Isto faz com que o ar passe mais rápido

na parte de cima do que na de baixo. De

acordo com a equação de Bernoulli, a pressão

do ar em cima da asa será menor do que na

parte de baixo, criando uma força de empuxo

que sustenta o avião no ar.

Var

4.5.4 Equação de Bernoulli: Vaporizadores

Uma bexiga de borracha quando comprimida faz com

que o ar seja empurrado paralelamente ao furo que

localiza-se no extremo superior de um tubo que está

imerso em um líquido. A pressão nesse ponto diminui, e

a diferença de pressão com o outro extremo do tubo

empurra o fluido para cima, com o fluxo de liquido

ocorrendo conjuntamente com a corrente de ar.

V

tubo

4.5.5 Equação de Bernoulli: Estática de Fluidos

Fluido em repouso: V = 0

Logo: 𝑝

𝜌+ 𝑔𝑧 = 𝑐𝑡𝑒 ∴ 𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 = 𝑐𝑡𝑒

Como 𝑃𝐴= 𝑎𝑡𝑚𝑝𝐴+𝜌𝐴𝑔𝐴ℎ𝐴 = 𝑝𝐵 + 𝜌𝐵𝑔𝐵ℎ𝐵

𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 + ρ𝑔ℎ𝐴 − ρ𝑔ℎ𝐵

𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 + ρ𝑔(ℎ𝐴−ℎ𝐵

𝑝𝐵 = 𝑃𝑎𝑡𝑚+𝜌𝑔ℎ Lei de Stevin

A

B

h

z

4.5.6 Equação de Bernoulli: Teorema de Torricelli

Qual a velocidade se saída do fluido?

𝑃𝑎 = 𝑃𝑏 = 𝑃𝑎𝑡𝑚

𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ + 0 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 0 +1

2𝜌𝑉2

Da Equação de Bernoulli:

𝑉 = 2𝑔ℎ Teorema de Torricelli

patm

patm

patm

patm

A

B

Linha de

corrente

Exemplo 11Um Tubo de Pitot e um Tubo Piezométrico medem as seguintes pressões, respectivamente,

400kPa e 300kPa, conforme ilustra a figura a seguir. Determine a velocidade no ponto 1, na

linha de corrente que possui trajetória coincidente com o centro do bocal do Tubo de Pitot.

(ρ = 1000kg/m³)

Equação de Governo:

𝑝1𝜌

+𝑉12

2+ 𝑔𝑧1 =

𝑝2𝜌

+𝑉22

2+ 𝑔𝑧2

Exemplo 12Água escoa, em regime permanente, através de um bocal horizontal que a

descarrega para a atmosfera. Na entrada, o diâmetro do bocal é 𝐷1 e, na saída, 𝐷2.

Deduza uma expressão para a pressão manométrica mínima necessária na entrada

do bocal para produzir uma vazão volumétrica dada, 𝑄.

Equação de Governo:

𝑝1𝜌

+𝑉12

2+ 𝑔𝑧1 =

𝑝2𝜌

+𝑉22

2+ 𝑔𝑧2

Exemplo 13A figura a seguir esquematiza o principio de funcionamento de um Tubo de Venturi.

Conhecendo-se as áreas das seções 1 e 2, a massa específica ρ do fluido, e ainda, a

diferença de pressão Δp entre estas regiões, determine:

a) uma expressão para o calculo de 𝑣1b) uma expressão para a diferença de nível h

Equação de Governo:

𝑝1𝜌

+𝑉12

2+ 𝑔𝑧1 =

𝑝2𝜌

+𝑉22

2+ 𝑔𝑧2

𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ

Capitulo 4 –Aula 06

2. Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação

para Volume de Controle: A Primeira Lei da Termodinâmica

4.6 Aplicação do TTR a Primeira Lei da Termodinâmica

Aplicando TTR a Energia Mecânica

Como o sistema e o volume de controle coincidem no instante 𝒕𝟎:

𝒅𝑬

𝒅𝒕𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂

=𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝒆𝝆𝒅∀ +

𝑺𝑪

𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨

𝑄 − 𝑊𝑠𝑖𝑠𝑡

= 𝑄 − 𝑊𝑉.𝐶.

𝑄 − 𝑊 =𝑑𝐸

𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡

𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀 𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑒 𝑑𝑚 = ∀ 𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑒 ρ𝑑∀ 𝑒 = 𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧

Para formulação de Sistema, a Primeira Lei da Termodinâmica é expressa por

4.6 Aplicação do TTR a Primeira Lei da Termodinâmica

𝑸 − 𝑾 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝒆𝝆𝒅∀ +

𝑺𝑪

𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨

𝒅𝑬

𝒅𝒕𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂

=𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝒆𝝆𝒅∀ +

𝑺𝑪

𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨

Teremos,

𝑾𝒔 + 𝑾𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 + 𝑾𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 + 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔

𝑾𝒔 é a taxa de trabalho decorrente da movimentação de um eixo que atravessa SC; 𝑾𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 é a taxa de

trabalho realizado por tensões normais a SC; 𝑾𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 é a taxa de trabalho realizada por tensões

cisalhantes sobre a SC; e 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 é a taxa de trabalho realizada por outros meios sobre a SC.

4.6 Aplicação do TTR a Primeira Lei da Termodinâmica

1) TRABALHO REALIZADO POR

E𝐈𝐗𝐎 𝑾𝒔

𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑉 = 𝑇𝜔

2) TRABALHO REALIZADO POR

TENSÕES NORMAIS 𝑾𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍

𝑾𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 = − 𝑺𝑪

𝝈𝒏𝒏(𝑽 ∙ 𝒅𝑨

𝑾𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = − 𝑺𝑪

(𝝉 ∙ 𝑽 𝒅𝑨

3) TRABALHO REALIZADO POR TENSÕES

DE CISALHAMENTO 𝑾𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐

4) OUTROS TRABALHOS ( 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔)

Nesta condição encontram-se porções

de trabalho oriundos de efeitos de

campos eletromagnéticos, radares,

feixes de laser, dentre outros. Em geral, para muitas situações, 𝝈𝒏𝒏= - p

𝑾𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 = 𝑺𝑪

𝒑 𝑽 ∙ 𝒅𝑨

4.6 Aplicação do TTR a Primeira Lei da Termodinâmica

𝑸− 𝑾𝒔 − 𝑾𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 − 𝑾𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝒆𝝆𝒅∀ +

𝑺𝑪

𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨

Deste modo,

𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧

𝑸 − 𝑾𝒔 − 𝑾𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 − 𝑾𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

(𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ +

𝑺𝑪

(𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨

Esta última equação ainda pode ser desenvolvida, se a expressão do 𝑾𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 = 𝑺𝑪𝒑 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 for

aplicada diretamente ali.

4.6 Aplicação do TTR a Primeira Lei da Termodinâmica

𝑸 − 𝑾𝒔 − 𝑺𝑪

𝒑 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 − 𝑾𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

(𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ +

𝑺𝑪

(𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨

𝑸 − 𝑾𝒔 − 𝑾𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ +

𝑺𝑪

𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 +

𝑺𝑪

𝒑 𝑽 ∙ 𝒅𝑨

𝑸 − 𝑾𝒔 − 𝑾𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ +

𝑺𝑪

𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨 +

𝑺𝑪

𝒑𝝑𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨

= 1

𝑸 − 𝑾𝒔 − 𝑾𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ +

𝑺𝑪

𝑢 + 𝒑𝝑 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨

𝑸 − 𝑾𝒔 − 𝑾𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 − 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 =𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝝆𝒅∀ +

𝑺𝑪

ℎ +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝝆 𝑽 ∙ 𝒅𝑨

Entalpia h

Exemplo 14Um volume de controle fixo é ilustrado na figura a seguir. Sabe-se que o escoamento se dá em

regime permanente e as propriedades relativas ao fluxos de massa em suas seções abertas

apresentam-se na tabela. Determine: as vazões volumétricas nas três seções; os fluxos de

massa nas três seções (faça um balanço do fluxo de massa do sistema); e a taxa de variação

da energia do sistema que ocupa o volume de controle.

Seção Tipo ρ [kg/m³] V [m/s] A [m²] e [J/kg]

1 Entrada 800 5 2 300

2 Entrada 800 8 3 100

3 Saída 800 17 2 150

𝒅𝑬

𝒅𝒕𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂

=𝝏

𝝏𝒕

𝑽𝑪

𝒆𝝆𝒅∀ +

𝑺𝑪

𝒆𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑨 Equação de

Governo:

Exemplo 15Ar a 101 kPa e 21°C entra em um compressor com velocidade desprezível e é descarregado a 344

kPa e 38°C através de um tubo com área transversal de 0,09𝑚2. A vazão em massa é 9kg/s. A

potência fornecida ao compressor é 447kW. Determine a taxa de transferência de calor.

𝑄 − 𝑊𝑠 − 𝑊𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 − 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 =𝜕

𝜕𝑡

𝑽𝑪

𝑢 +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝜌𝑑∀ +

𝑺𝑪

ℎ +𝑉2

2+ 𝑔𝑧 𝜌 𝑉 ∙ 𝑑𝐴

Equação de

Governo:

𝑉1 = 0, 5𝑚/𝑠

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Livro: FOX; MCDONALD; PRITCHARD. INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS - 8ª Ed

Capítulo 4: 8, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 35, 36, 39, 40, 41, 45, 51, 52, 53, 60, 63, 65,

69, 71, 72, 73, 80, 84, 85, 91, 96, 102, 103, 203, 204, 205, 206, 207, 208.

Esse é o escoamento do exercício 4.15,

que já resolvemos em sala de aula!

P4.23

P4.89P4.85

P4.102 P4.103