SUMRIO1 - CLCULO DAS REAES...................................................................... 51.1 - Tipos de Suportes (ou Apoios) ................................................................ 51.2 - Tipos de carregamentos.......................................................................... 61.3 - Classificao de Vigas............................................................................ 71.4 - Clculo das Reaes nas vigas ............................................................... 82 - DIAGRAMAS DE FORA AXIAL, CORTANTE E DE MOMENTOS......................................................................................................................... 102.1 - Mtodo direto ....................................................................................... 102.1.1 - Aplicao de mtodo das sees ........................................................................ 102.1.2 - Fora cortante nas vigas (V) .............................................................................. 102.1.3 - Fora axial nas vigas (P) .................................................................................... 112.1.4 - MomentoFletor (M)......................................................................................... 112.1.5 - Diagramas de foras cortante e axial e do momento fletor.................................. 112.2 - Mtodo do somatrio. ........................................................................... 242.2.1 Equaes diferenciais de equilbrio ................................................................... 243 TENSO................................................................................................... 313.1 - Definio de Tenso ............................................................................. 313.2 - Tensor de Tenses ................................................................................ 313.3 - Tenses em membros com carregamento axial ..................................... 323.3.1 - Carga axial......................................................................................................... 323.3.2 - Carga Axial; Tenso de apoio............................................................................ 333.3.3 - Tenso mdia de cisalhamento........................................................................... 333.4 - Tenses Admissveis; Fator de segurana............................................. 373.5 - Projeto de membros e pinos com carregamento axial........................... 374 - DEFORMAO....................................................................................... 464.1 - Significado fsico da deformao.......................................................... 464.2 - Definio matemtica de deformao................................................... 464.3 - Leis de tenso-deformao linear e energia de deformao ................. 474.3.1 - Coeficiente de poisson para materiais isotrpicos .............................................. 474.3.2 - Lei de Hooke para materiais isotrpicos (Estado triaxial de tenses).................. 484.4 - Energia de deformao elstica para tenso uniaxial........................... 504.5 - Energia de deformao elstica para tenses de cisalhamento............. 504.6 - Energia de deformao para estados de tenso multiaxial ................... 514.7 - Deformao de membros carregados axialmente ................................. 515 - TORO................................................................................................... 585.1 - Aplicao do mtodo das sees........................................................... 585.2 - Premissas Bsicas ................................................................................ 585.3 - A frmula da toro.............................................................................. 595.4 - Observaes sobre a frmula de toro................................................ 605.5 - Projeto de membros circulares em toro ............................................ 625.6 - ngulo de toro de membros circulares.............................................. 635.8 - Membros macios no circulares ......................................................... 716 - TENSES DE FLEXO EM VIGAS...................................................... 726.1 - Premissa cinemtica bsica.................................................................. 726.2 - Frmula da flexo elstica ................................................................... 736.3 - Reviso centride de uma rea............................................................. 736.4 - Clculo do momento de inrcia de uma rea (segundo momento) ........ 756.5 - Flexo pura de vigas com seo assimtrica ........................................ 776.6 Tenses de flexo em vigas com diferentes materiais (Mtodo da rigidezequivalente) .................................................................................................. 807 - TENSES DE CISALHAMENTO EM VIGAS ..................................... 857.1 - Preliminares ......................................................................................... 857.2 - Frmula da tenso de cisalhamento em vigas....................................... 857.3 Distribuio das tenses de cisalhamento em vigas ............................. 877.4 Tenses de cisalhamento em vigas com diferentes materiais (Mtodo darigidez equivalente)....................................................................................... 907.5 - Fluxo de cisalhamento.......................................................................... 958 TENSES COMPOSTAS...................................................................... 1018.1 Superposio e suas limitaes .......................................................... 1018.2 Flexo oblqua ................................................................................... 1048.3 Membros com carregamento excntrico............................................. 1068.3 Superposio de tenses de cisalhamento .......................................... 1089 - TRANSFORMAO DE TENSO...................................................... 1129.1 Equaes para transformao de tenso plana.................................. 1129.2 - Crculo de tenses de Mohr ................................................................ 1139.3 Construo do crculo de tenses de Mohr ........................................ 1159.4 - Importante transformao de tenso................................................... 1209.5 Tenses principais para o estado geral de tenses............................. 1229.6 Crculo de Mohr para o estado geral de tenses ................................ 123CRITRIOS DE ESCOAMENTO E DE FRATURA................................ 1259.7 Observaes preliminares.................................................................. 1259.8 Teoria da mxima tenso de cisalhamento (Tresca) (mat. dcteis) .... 1259.9 Teoria da mxima energia de distoro (von Mises) (mat. dcteis).... 1279.10 Teoria da mxima tenso normal (mat. frgeis)............................... 130Bibliografia- Introduo Mecnica dos Slidos, Egor P. Popov, Edgard Blcher Ltda.- Mechanics of Materials, Gere and Timoshenko, Chapman and Hall.- Mechanics of Materials, R.C Hibbeler, Prentice Hall.- Resistncia dos Materiais, William A. Nash, Schaum Mcgraw-HillCurso de Mecnica dos Slidos I 51 - CLCULO DAS REAES1.1 - Tipos de Suportes (ou Apoios)a) Articulao: (Resiste a uma fora em apenas uma direo)b) Rolete: (Resiste a uma fora em apenas uma direo)c) Pino: (Resiste a uma fora que age em qualquer direo) =d) Engastamento: (Resiste a uma fora que age em qualquer direo e a um momento)RAy ARAxMARBpinos A B vigaRArolete A vigaRAroletes A viga90RAy ARAxRAypino ARAx=Clculo das reaes61.2 - Tipos de carregamentosa)Foras concentradasb) Carga uniforme distribuda =Para o clculo das reaes de apoio, a carga uniforme distribuda substituda por uma foraconcentradaequivalenteWigualareadafigurageomtricadacargaequepassapeloseucentride: W= p . Lc) Carga uniformemente varivelRAyRAxRB w(kgf/m) L carga ABRAyRAxRB PW P ABW= carga A BRAyRAxRBw (kgf/m) L=Curso de Mecnica dos Slidos I 7Paraoclculodasreaesdeapoio,acargauniformevarivelsubstitudaporumaforaconcentradaequivalenteWigualareadafigurageomtricadacargaequepassapeloseucentride: W= (p . L) /2d) Momento Concentrado 1.3 - Classificao de Vigasa) Simplesmente apoiadasb) Bi-engastada (fixa)c) Engastada- Apoiada P Lw (kgf/m) L P L P L PA B WW dRAyRAxRBM = W.d=Clculo das reaes8d) Em Balanoe) Em balano nas extremidades1.4 - Clculo das Reaes nas vigasEquaesdeequilbrioesttico(forasaplicadasemumplano):0 Fx ,0 Fy e0 MB ou Aou 0 Fx,0 MA e0 MB Ex:Calcular as reaes nos apoios da viga. Desprezar o peso da viga.Diagrama de corpo livre (D.C.L.): L w (kgf/m) w (kgf/m) L P0,5 m100 kgf 0,5 m160 kgf 0,5 m0,5 m200 kgf.m A B100 kgf 0,5 m160 kgf 0,5 m0,5 m 0,5 m200 kgf.m A BRAyRAxRBCurso de Mecnica dos Slidos I 9 0 Fx RAx = 0 0 MA ,200 + 100 . 1+160 . 1,5 RB . 2 = 0 RB = 270 kgf0 Fy , RAy - 100 - 160 + 270= 0 RAy = - 10 kgfVerificao: 0 MB - 10 . 2 + 200 - 100 . 1-160 . 0,5= 0OKArticulaes:Nenhummomentotransmitidoporumajuntaarticulada,apenasasforashorizontais e verticais so transmitidas.Diagrama de corpo livre (D.C.L.): P La A B L/2 C articulao P L A B L/2 P/2P/2a C P/2 P/2 Mc = P/2.aDiagramas de Fora Axial, Cortante e Momento102 - DIAGRAMAS DE FORA AXIAL, CORTANTE E DE MOMENTOS2.1 - Mtodo direto2.1.1 - Aplicao de mtodo das seesO mtodo das sees estabelece procedimentos para a determinao das foras internas aolongo do comprimento da viga.O conceito de equilbrio das partes de um corpo utilizado quando o corpo com um todoest em equilbrio. V:foracortanteP: fora axialM: Momento fletor2.1.2 - Fora cortante nas vigas (V)AforacortanteV,perpendicularaoeixodaviga,deveserintroduzidanaseo:A-Apara satisfazer a equao de equilbrio0 Fy .A fora cortante definida positiva quando girar a seo no sentido anti-horrio.P1w2w1 A BRAyP2RAxRB a a P VMP2P1w2w1 A BRAyPRAxRB V M+V +VaabbCurso de Mecnica dos Slidos I 112.1.3 - Fora axial nas vigas (P)AforaaxialP,paralelaaoeixodavigaequepassapelocentridedaseo,deveserintroduzida na seo A-A para satisfazer a equao de equilbrio0 Fx .Aforaaxialdefinidapositivaoudetraoquandoagirdedentroparaforadaseoenegativa ou de compresso em caso contrrio.2.1.4 - MomentoFletor (M)O momento fletor M, que gira em torno de um eixo perpendicular ao plano que contm aviga,deveserintroduzidonaseoA-Aparasatisfazeraequaodeequilbrio. 0 Mz Para isto, o momento provocado pelas foras normalmente calculado em torno do ponto deinterseo de V e P.Omomentofletordefinidopositivoquandotracionaraparteinteriordavigaecomprimir a parte superior da viga , e negativo em caso contrrio.2.1.5 - Diagramas de foras cortante e axial e do momento fletorTais diagramas so traados para se determinar a evoluo das foras cortante e axial e domomento fletor ao longo da viga, respectivamente.Ex:Traarosdiagramasdeforascortante,foraaxialedemomentofletorparaavigaabaixo, sujeita fora inclinada de P = 5 t . Desprezar o peso da viga.+P+Paabb+M +MaabbABP = 5 t345 m 5 mDiagramas de Fora Axial, Cortante e Momento121 - Determinar as reaes de apoio.Diagrama de corpo livre (D.C.L.):0 Fx ,RAx 3 = 0,RAx = 3 t0 MB ,RAy . 10 4 . 5= 0,RAy = 2 t 0 Fy ,2 4 + RAB = 0,RB = 2 tVerificao:

AM= 4 . 5 2 . 10= 0OK2 - Determinar as foras cortante e axial e o momento fletor em sees entre duas forasconcentradas.Seo c-c(0 < GJrT1max, > < GJr T1maxSubstituindoarelacoacimanarelaoqueforneeadeformaoangularnumaposio qualquer , tem-se que:> < GJTFinalmente,substituindoarelacoacimanaleideHookeparacisalhamentotemosafrmula da tenso da toro para eixos circulares com diferentes materiais:> < GJTGi iEx: Um eixo circular feito pela compresso de um tubo de alumnio em uma barra de lato,para formar uma seo de dois materiais, que ento agem como uma unidade. (a) Se, devido aplicaodeumtorqueT,aparecerumatensodecisalhamentode7kgf/mm2nasfibrasexternasdoeixo,qualamagnitudedotorqueT?(b)Seoeixotem1mdecomprimento,qual ser o ngulo de toro devido ao torque T? Para o alumnio E = 7 . 103 kgf/mm2,G=2,8 . 103 kgf/mm2 e para o lato E = 11,2 . 103 kgf/mm2, G = 4,28 . 103 kgf/mm2.a)> < GJTGi i( )4 4 343al al lat lat150 25032.. 10 . 8 , 232150 .. 10 . 2 , 4 J . G J . G GJ + + > < = 1,14 . 1012 kgf/mm2alumnio150 mmlato250 mmCurso de Mecnica dos Slidos I 71> < GJTGal al ,12510 . 14 , 1T10 . 8 , 2 7123 , T = 22,8 . 106 kgf.mmb) 123 610 . 14 , 110 . 1 . 10 . 8 , 22GJL . T> < , = 0,02 rad5.8 - Membros macios no circularesPremissas enunciadas para membros circulares no so vlidas para este caso.2maxc bT ,G c bL T3 b/c 1,0 1,5 2,0 3,0 6,0 10,0 0,208 0,231 0,246 0,267 0,299 0,312 0,333 0,141 0,196 0,229 0,263 0,299 0,312 0,333cbmaxTenso de Flexo em Vigas726 - TENSES DE FLEXO EM VIGASAlgumas limitaes importantes da teoriaAteoriadetensesdeflexonasvigasseaplicaparavigasadmitidascomsuficienteestabilidadelateralemvirtudedesuasproporesousuficientementereforadasnadireotransversal.6.1 - Premissa cinemtica bsicaHiptesefundamentaldateoriadaflexo:Asseesplanasdeumaviga,tomadasnormalmenteaseueixo,permanecemplanasapsavigasersubmetidaflexo.Hiptesevlidaquandoomaterialsecomportaelasticamenteouplasticamente,desdequearelaoespessura/comprimento da viga seja pequena.dxduxulim0 x , = b y,com b = constante.ADDabusuperfcieneutraBCCcfx-ycentrideA DB Cx xMMADBCO = raio de curvaturaCurso de Mecnica dos Slidos I 736.2 - Frmula da flexo elsticaConsiderando o material elstico linear, a Lei de Hooke se aplica: EComo:y bx y B y b Ex Das condies de equilbrio:1) 0 Fx ,0 dAAx ,0 dA y BAComo B = constante,0 dA yA. De acordo com a equao para determinar a posiodocentride0dAdA yyAA .Assim,oeixoneutropassapelocentridedareadaseotransversal.6.3 - Reviso centride de uma reaAAdAdA zz ,AAdAdA yyyz zyyz M y x max c eixoneutro z y +y dAcentrideTenso de Flexo em Vigas74dA zA,dA yA: Primeiros momentos de rea com relao aos eixos y e z, respectivamente.Ex: Determine a posio do centride da figura abaixo.21 ii21 ii iAA zz ,cm 010 . 2 3 . 8) 10 . 2 ( . 0 ) 3 . 8 ( . 0z ++21 ii21 ii iAA yy , cm 55 , 810 . 2 3 . 8) 10 . 2 ( . 5 ) 3 . 8 ( . ) 5 , 1 10 (y ++ +Ex: Determine a posio do centride da figura abaixo.yz10 cm3 cm2 cm8 cmy12yz10 cm3 cm2 cm8 cm12zyCurso de Mecnica dos Slidos I 7521 ii21 ii iAA zz ,cm 410 . 2 3 . 8) 10 . 2 ( . 4 ) 3 . 8 ( . 4z ++21 ii21 ii iAA yy , cm 45 , 110 . 2 3 . 8) 10 . 2 ( . ) 5 ( ) 3 . 8 ( . 5 , 1y + +2)0 Mneutroeixo ,0 y dA MAx +, dA y B MA2 dA yA2 = I = Momento de inrcia da seo transversal em relao ao eixo que passa pelocentride.Logo:IMB . Comoy Bx :Iy Mx (analogia com toro de eixos) JT Para y positivo Tenso de compressomomento positivoPara y negativoTenso de trao6.4 - Clculo do momento de inrcia de uma rea (segundo momento)dA z IA2y , dA y IA2z ,y zA2I I dA J + zyzyTenso de Flexo em Vigas76Os eixos z e y so chamados de eixos principais de inrcia quando passam pelocentride. ( 0 dA z yA).Teorema dos eixos paralelos:( ) A d y dA y y 2 dA y dA y y IA2A A2A2' z + + + ,A y I I2z ' z + De maneira anloga:A z I I2y ' y + , A J J2C 0 + Ex: Determine o momento de inrcia da seco transversal retangular abaixo.

dz dy y I2b2b2a2a2z 2b2b32a2a z3yz I12b aI3z De maneira anloga: 12a bI3y Ex: Determine o momento de inrcia da rea abaixo.zyzyyzyzc z y dy dzb/2b/2a/2a/2 yCurso de Mecnica dos Slidos I 773 z 2 z 1 z zI I I I + + 231 z2 . 3 . 1121 3I + ,Iz1 = 12,25 cm4123 1I32 z, Iz2 = 2,25 cm4233 z2 . 3 . 1121 3I + , Iz3 = 12,25 cm4Iz = 26,75 cm43 y 2 y 1 y yI I I I + + , 123 1121 3123 1I3 3 3y+ + , Iy = 4,75 cm4Importante:Omomentodeinrciarepresentaaresistnciadeumaseotransversalgirarem torno de um eixo. A seo acima gira mais facilmente em torno do eixo y que do eixo z.6.5 - Flexo pura de vigas com seo assimtricaNadiscussoanteriorforamanalisadassomentevigascomseestransversaissimtricas,pormoequacionamentovlidoparaseesquaisquerdesdequeseuseixossejam os eixos principais de inrcia.yz1 cm3 cm1 cm3 cm1231 cmTenso de Flexo em Vigas78Como visto anteriormente: x = B yAyyz dA y B M ,AyydA z y B MSeyezsoeixosprincipaisdeinrcia,0 dA z yA.Logo,Myy=0easequaesdeduzidas anteriormente se aplicam a uma viga de seo transversal qualquer.Ex: Determine a tenso de flexo mxima para a viga com o carregamento abaixo:1 Clculo das reaes de apoio 0 MB ,RA .6 30 . 3 = 0,RA = 15 kN2 Clculo do momento mximo M y x x eixoneutro z y y dAcentridezRAyRB 5 kN/m 6 m BA 30 kN 250 mm 20 mm 20 mm 150 mm 150 mm 20 mm 2 3 1yCurso de Mecnica dos Slidos I 790 M ,0 M2xx 5 x 15 + + x 15 x25M2+ (kN.m)Mmax:15 x 5 0dxdM+ ,x = 3 m , Mmax (x=3) = 22,5 kN.m3 Clculo do momento de inrciaIz = Iz1 + Iz2 + Iz31]1

+1]1

+ 123 , 0 02 , 016 , 0 . 02 , 0 . 25 , 01202 , 0 . 25 , 02 I323z, Iz = 301,3 . 10 6 m463zmaxmax10 . 3 , 301) 170 , 0 .( 10 . 5 , 22Ic . M ,max = 12,7 MPa2UmavigaestruturalemaodotipoTusadaembalano,carregadadaformamostradanafigura.CalcularamagnitudedacargaPqueprovocaumadeformaolongitudinalnoponto C de +527 x 10 6mm/mm(alongamento)eumadeformaolongitudinalnopontoDde -73 x 10 6 mm/mm (encurtamento). (I = 2000 cm4 e Eao = 21 x 103 kgf/mm2).15x5 xVM x1,25 m P Ponto C AB175 mm 25 mm Ponto DD D CC175 mm25 mmyTenso de Flexo em Vigas80Por semelhana de tringulos:25 y y 175D C,mm 25 , 43 y 0 M ,M + P . 1,5 = 0,M = -1,5 P (kgf . m)CCC. EIy . M , ( )6 34310 . 527 . 10 . 2110 . 200025 , 43 175 . 10 . 25 , 1 . PP = 1344 kgf6.6 Tenses de flexo em vigas com diferentes materiais (Mtodo da rigidezequivalente)Asvigascomdoismateriaissocomumentechamadasvigascompostasesoprojetadasde forma a desenvolver maneiras mais eficientes para resistir as cargas aplicadas.Comoafrmuladaflexo Iy Mx foidesenvolvidaparaocasodemateriaishomogneos,estafrmulanopodeseraplicadadiretamenteparadeterminarastensesemvigascompostas.Paraestudarestescasosdeviga,considereavigaabaixocompostadediferentes materiais.PM1,25 m 1 2xyzdzdybhMCurso de Mecnica dos Slidos I 81Supondo que E1 > E2:Sabe-sequeaevoluodasdeformaesdaforma=by,equeastensesemcadamaterial i da forma i = Ei . Logo, das condies de equilbrio, temos:1) 0 Fx , 0 dAA ,0 dA EAi ,0 dA y b EAiComo b constante,0 dA y EAi.Analogamentecomonocasodeumavigahomognea,aequaoacimausadaparadeterminar a posio do eixo neutro (centride) da seo transversal com diferentes materiaisda seguinte maneira: i ii i iAiAiA EA y EdA EdA y Eyonde Ei o mdulo de elasticidade do material, yi o centride da rea de material i e Ai area de material i.2) 0 Mneutroeixo, 0 M y dAA + ,0 M y dA EAi + ,0 M dA y b E2Ai +Como b constante: y x x 1 2 M Elstico-linearx = E x y x 2 1 2 M 1Tenso de Flexo em Vigas82> < EIMdA y EMb2AiA integraldA y E2Ai dita, rigidez equivalente e pode ser determinada da forma: > < onde i a tenso a ser determinada no material i, Ei o mdulo de elasticidade no material i,Momomentofletornaseoanalisada,arigidezequivalenteeyaposiodoponto situado no material i onde se deseja determinar a tenso.Ex: A viga composta abaixo est sujeita um momento fletor de M = 2 kN.m. Determine pelomtododarigidezequivalenteastensesnospontosBeCseEao=200GPaeEmad=12GPa.1 - Determinar a posio do centridey:aomadeira150 mm150 mmM20 mmBCCurso de Mecnica dos Slidos I 83150 . 20 . 10 . 200 150 . 150 . 10 . 12150 . 20 . 10 . 10 . 200 150 . 150 . 95 . 10 . 12A EA y Ey9 99 921 ii i21 ii i i++ ,mm 38 , 36 y 2 - Determinar a rigidez equivalente :( )1]1

++11]1

,_

+ + > < C = 7,78 N/mm2 = 7,78 MpaPonto B:1233B mad B10 . 87 , 1) 38 , 36 20 150 ( 10 . 2000 .10 . 12 yEIME + > < B = -1,71 MpaEx: Se o momento mximo no ski abaixo 77,78 N.m, determine as tenses de flexo no aoe na madeira se a seo transversal do ski como apresentado abaixo. Tome Eao = 200 GPa eEmad = 12 GPa. P1 m0,5 m0,5 m1 mwwA BDECTenso de Flexo em Vigas841 Clculo da rigidez equivalente :1]1

+11]1

,_

+ + > < , A = -24,05 MpaPonto B (ao):933B ao B10 . 14 , 65 , 7 . 10 . 78 , 7710 . 200 yEIME > < ,B = -18,99 MpaPonto C (madeira):933C mad C10 . 14 , 65 , 7 . 10 . 78 , 7710 . 12 yEIME > < , C = -1,14 Mpa 100 mm madeira ao ao 2 mm 2 mm 15 mm y z A C(madeira)B(ao)Curso de Mecnica dos Slidos I 857 - TENSES DE CISALHAMENTO EM VIGAS7.1 - PreliminaresConsidere a seo transversal de uma viga carregada transversalmente.Justificativa do surgimento das tenses de cisalhamento longitudinais.7.2 - Frmula da tenso de cisalhamento em vigasConsidere a viga carregada transversalmente:VABCA0B=0C=0 w(x)dx y F1 F2 x M1 M2P 0 = 0Tenso de Cisalhamento em Vigas86Considerando somente as foras axiais, temos:Aplicando a equao de equilbrio na direo axial, tem-se: 0x ,( ) 0 dx t dA dA' A ' A + ( ) 0 dx . t dA yIdM MdA yIM' A ' A + ,_

+ ,_

( ) 0 dx . t dA yIdM' A + , ' AdA ydxdMI . t1ComoVdxdM e ' AdA y o primeiro momento da rea A com relao ao eixoneutro, ou seja ' A' AdAdA yy . Ento:dxyM M+dMdFdFdFdFeixoneutrotdxyAdxyM M+dMACurso de Mecnica dos Slidos I 87Q ' A ' y dA y' A Logo:I . tQ . V Restries:Material trabalha dentro do regime elstico-linear,Relaoespessura/comprimentodavigapequena(hiptesefundamentaldateoriadeflexo).Mdulo de elasticidade deve ser o mesmo em trao e em compresso.7.3 Distribuio das tenses de cisalhamento em vigasConsidere a viga de seo retangular submetida um esforo cortante:I . tQ . V ,12h . bI3b ' y2h' y2h21' y ' A . ' y Q ,_

1]1

,_

+ ,b ' y4h21Q22

,_

b .12h bb ' y4h21. V322

,_

,

,_

223' y4hh bV 6Vh/2h/2y' ybTenso de Cisalhamento em Vigas88Concluses:Distribuio da tenso de cisalhamento parablica.Tenso de cisalhamento so nulas nas extremidades ( h/2, - h/2).Tenso de cisalhamento mxima no eixo neutro (y = 0). AV5 , 1h b 4V 6 Observaoimportante:Paraocasodeummaterialanisotrpicocomoporexemploamadeira, a viga se rompe ao longo do plano horizontal passando pelo eixo neutro da seo.Ex: A viga abaixo feita de duas pranchas de madeira. Determine a mxima tenso cisalhantena cola necessria para mant-las juntas.eixoneutromax CAB 6,5 kN/m 4 m 4 m 150 mm 30 mm 150 mm30 mm 2 1yyPCurso de Mecnica dos Slidos I 891 - Clculo das reaes de apoio: 0 MA,RB . 8 26 . 6 = 0 , RB = 19,5 kN 0 Fy ,RA + 19,5 - 26 = 0,RA = 6,5 kN2 Clculo do diagrama de cortante:Trecho AC (0 < x < 4):0 Fy ,6,5 + V = 0,V = -6,5 kNTrecho CB (0 < x < 4):0 Fy ,- V - 6,5.(4-x) + 19,5 = 0 V = 6,5x - 6,5(kN)p/ x = 0VC = -6,5 kNp/ x = 4VB = 19,5 kN3 - Clculo da posio do eixo neutro (centride):6,5V x RA 26 kN 6 m2 m RB19,56,5.(4-x)V x-19,5 kN-6,5 kN+Tenso de Cisalhamento em Vigas9021 ii21 ii iAA yy , 15 , 0 . 030 , 0 15 , 0 . 030 , 015 , 0 . 030 , 0 ). 15 , 0 015 , 0 ( 15 , 0 . 030 , 0 . 075 , 0y++ + ,m 12 , 0 y 4 - Clculo do momento de inrcia Iz:2323z) 12 , 0203 , 015 , 0 ( . 15 , 0 . 03 , 01203 , 0 15 , 0) 075 , 0 12 , 0 ( . 15 , 0 . 03 , 01215 , 0 03 , 0I + ++ + ,Iz = 2,7 . 10-5 m45 - Clculo de Q:' A . ' y Q 15 , 0 . 03 , 0 )203 , 012 , 0 03 , 0 15 , 0 ( Q + Q = 2,025 . 10-4 m36 - Clculo de max:03 , 0 . 10 . 7 , 210 . 025 , 2 . 10 . 5 , 19t . IQ . V54 3max , max = 4,875 MPa7.4 Tenses de cisalhamento em vigas com diferentes materiais (Mtodo darigidez equivalente)Anlogamenteaocasodevigascomdiferentesmateriaistrabalhandoemflexo,afrmula para determinar tenso de cisalhamento t IQ V nopodeseraplicadadiretamentepara determinar as tenses de cisalhamento para o caso de vigas compostas. Para estudar estescasosdevigasujeitasaocisalhamento,considereavigaabaixocompostadediferentesmateriais.yy' yCurso de Mecnica dos Slidos I 91Considerando somente as foras axiais, temos:Aplicando a equao de equilbrio na direo axial para o caso de uma viga compostade diferentes materiais em sua seco transversal, tem-se:0 Fx ,( ) 0 dx . t dA ' dA' A ' A + ( ) 0 dx . t dA yEIdM ME dA yEIME' Ai' Ai + ,_

> < w(x)dx x y F1 F2 xdxyM M+dMdFdFdFdFeixoneutrotdxyAdxyM M+dMATenso de Cisalhamento em Vigas92( ) 0 dx . t dA y EEIdM' Ai +> < , > < ' AidA y Et . EI1dxdMFazendo,VdxdM eQ A y E dA y Ei i i' Ai , temos:t . EIQ . V> < ondeatensodecisalhamentonaposioy,Vocortantenaseoanalisada,Qoprimeiro momento de rea, a rigidez equivalente e t a largura da viga na posio y.Na expresso de Q, Ei o mdulo de elasticidade do material i, yi a posio do centride darea de material i e Ai a rea do material i. A rigidez equivalente > < , D = 0,12 N/mm2Ponto C: (madeira)( ) 2 . 100 . 5 , 8 E A y E Qao i i i C ( ) 2 . 100 . 5 , 8 10 . 200 Q3C QC = 340000000 N.mm100 . 10 . 14 , 6340000000 . 200t . EIQ . V9B> < , B = 0,11 N/mm2Ponto B: (ao)QB = QC = 340000000 N.mmB = C = 0,11 N/mm2Conclusoimportante:Nainterfaceentreoaoeamadeirahcontinuidadedastensesdecisalhamento transverso (B ao = Cmad = 0,11 MPa ).Ex: Plote a distribuio de tenses de cisalhamento na seo transversal de uma viga do tipo Icom fora cortante V = 80 kN.Tenso de Cisalhamento em Vigas9412200 . 1520 . 300 . 1101220 . 3002 I323+1]1

+ , I = 1,556 . 108 mm4Ponto A:QA = 0 A = 0Ponto B:20 . 300 . 110 ' A . ' y QB , QB = 6,6 . 105 mm3300 . 10 . 556 , 110 . 6 , 6 . 10 . 8085 3B , B = 1,13 N/mm2Ponto C:QB = QC = 6,6 . 105 mm315 . 10 . 556 , 110 . 6 , 6 . 10 . 8085 3C , C = 22,62 N/mm2Ponto D:20 . 300 . 110 15 . 100 . 50 ' A . ' y ' A . ' y Q2 2 1 1 D+ + , QD = 7,35 . 105 mm315 . 10 . 556 , 110 . 35 , 7 . 10 . 8085 3D , D = 25,20 N/mm2 300 mm 20 mm 200 mm15 mmy 20 mmzABCD1,131,1322,6222,6225,2000Curso de Mecnica dos Slidos I 957.5 - Fluxo de cisalhamentoOcasionalmentenaengenharia,algunsmembrossoconstrudosapartirdauniodediferentespartesparapoderemresistirascargas.Nestescasos,auniodasdiferentespartesdomembrofeitaatravsdecola,pregos,parafusos,etc.Paraoprojetodesteselementosnecessrio o conhecimento da fora que deve ser resistida por cada um destes elementos. Sejaa viga com o carregamento abaixo, formada pela unio de dois elementos:Aplicando a equao de equilbrio na direo axial, tem-se:0 Fx ,( ) 0 dx . t dA ' dA' A ' A + ( ) 0 dx . t dA yIdM MdA yIM' A ' A + ,_

+ ,_

( ) dF dx . t dA yIdM' A , ' AdA yI1dxdMdxdFIQ Vq dxyM M+dMA w(x)dx x y F1 F2 xyzAtSeo transversalda vigaTenso de Cisalhamento em Vigas96onde q = fluxo de cisalhamento.Ex: Determine a quantidade de pregos necessria para manter os elementos da viga abaixo de3mdecomprimento,unidosquandosubmetidaaumcortantede2kN.Atensoadmissveldos pregos de dimetro d = 2 mm adm = 225 Mpa.20 . 150 . 102150' A . ' y Q ,_

+ , Q = 255000 mm3

,_

12150 . 65212190 . 150I3 3 , I = 49175000 mm449175000255000 . 2000IQ Vq , q = 10,37 N/mmFora suportada por cada prego:AVP adm ,42V2252V = P = 706,86 Nmm 16 , 6837 , 1086 , 706qP 150 mm 20 mm 150 mm20 mm 2 1y 3 20 mmPVCurso de Mecnica dos Slidos I 97Quantidade de pregos =4416 , 683000Ex.Avigabiapoiadaabaixocompostade4pranchasdemadeiraesuportaumaforaconcentrada de 550 kgf. Determine o projeto entre (a) e (b) que exige a menor quantidade depregos. Cada prego resiste a uma fora de 20 kgf. O eixo neutro paralelo ao eixo z. 0 MA ,RB . 3 550 . 1,5 = 0,RB = 275 kgf 0 Fy , RA + 275 - 550 = 0,RA = 275 kgf12200 . 20012300 . 300I3 3 ,Izz = 541666666,7 mm4Projeto (a):50 . 200 . 125 ' A . ' y Q , Q = 1250000 mm3(b) y50 mm 50 mm 50 mm200 mm 200 mm50 mm z(a)50 mm50 mm200 mm200 mm50 mm50 mm y z y z q1q1 A ' y=125 mm 1,5 m 550 kgf 1,5 m x yTenso de Cisalhamento em Vigas982 , 541666666 . 21250000 . 275I 2Q Vq ,q = 0,32 kgf/mmespaamento entre os pregos: mm / kgf 32 , 0kgf 20qFe1p1 ,e1 = 62,5 mmnmero de pregos = mm 5 , 62mm 3000eL1= 48nmero total de pregos = 4 . 48 = 192Projeto (b):50 . 300 . 125 ' A . ' y Q , Q = 1875000 mm32 , 541666666 . 21875000 . 275I 2Q Vq ,q = 0,48 kgf/mmespaamento entre os pregos: mm / kgf 48 , 0kgf 20qFe2p2 ,e1 = 41,7 mmnmero de pregos = mm 7 , 41mm 3000eL2= 72nmero total de pregos = 2 . 72 + 48 . 2 = 240Ex: A viga abaixo formada pela unio de diferentes perfis parafusados entre si. Determine amxima fora cortante que a viga pode suportar se os parafusos resistem a uma fora cortante y z q2q2 A ' y=125 mmCurso de Mecnica dos Slidos I 99de 11 kN e esto espaados de 200 mm.Perfil 305x102x46,2 kg: A = 58,8 cm2 I11 = 8214 cm4I22 = 500 cm4c = 2,66 cmPerfil 305x165x54 kg:A = 68,3 cm2I11 = 11686 cm4 I22 = 988 cm411686 8 , 58 . 66 , 2 02 , 1209 , 31500 2 I I 2 I22 1+11]1

,_

+ + + I = 35423,8 cm4 = 35423,8 . 104 mm4305x165x54 kg 2 1 1305x102x46,2 kg304,8 mm10,2 mm101,6 mm1122c1122310,9 mmTenso de Cisalhamento em Vigas1008 , 58 . 66 , 2 02 , 1209 , 31' A . ' y Q

,_

+ Q = 817,614 cm3 = 817,614 . 103 mm34310 . 8 , 3542310 . 614 , 817 . VIQ Vq , q = 2,308.10-3 . Vespaamento entre parafusos = qparafusos nos te tan cor foraV . 10 . 308 , 210 . 11 . 220033,V = 47700 NCurso de Mecnica dos Slidos I 1018 TENSES COMPOSTASNoscaptulosanterioresforamdesenvolvidosmtodosparadeterminaradistribuiode tenso em membros sujeitos esforos internos: fora axial, fora cortante, momento fletoremomentotoror.Muitofrequentemente,aseotransversaldeummembroestsujeitaavrios tipos de esforos internos simultaneamente. A tenso resultante destes esforos obtidapela superposio das tenses devido a cada esforo interno calculadas separadamente.8.1 Superposio e suas limitaesOprincpiodasuperposiopodeserusadodesdequehajaumarelaolinearentretensoecarregamento.Tambmdeveserconsideradoqueageometriadomembronodevesofrermudanasignificativaquandoascargassoaplicadas.Istodeveserasseguradodemaneiraqueatensoproduzidaporumacarganoestrelacionadacomatensoproduzidaporumaoutracarga.Nestesentido,considereavigacomocarregamentomostradoabaixo,trabalhando dentro do regime elstico linear.v = deflexo aW PPAB xW P PAB v P RAyWaVPM vTenses Compostas102 0 Ma , M P . v RAy . x + W.(x a) = 0M = RAy . x W.(x a) + P . vComoadeflexovdevidoaocarregamentoW,omomentoP.vseriadesprezadoquandodaaplicaodoprincpiodasuperposio.Istopoderiaserconsideradosomentequandoadeflexovforpequena.Portanto,noscasosondeasdeformaessopequenas,oprincpiodasuperposiopodeseraplicadaseparadamenteparacadaforaaplicadanomembro.Tenso devido a fora P:AP'x Tenso devido ao momento M:Iy M' 'x Tenso devido ao cortante V:t IQ Vyx xy O tensor de tenses para este caso bidimensional: eixoneutro M P VCurso de Mecnica dos Slidos I 103( )1]1

+ 1]1

+1]1

+1]1

0' ' '000 00 ' '0 00 'xyxy x xyxxy x xEx: Calcule o tensor de tenses no ponto c da viga retangular de seo transversal b = 50 mme h = 250 mm.5 , 22cos , 5 , 25 , 1sen 0 Ma , 0 75 , 0 .5 , 25 , 1. 125 5 .5 , 22. 125 5 , 1 .5 , 25 , 1. R 6 .5 , 22. RB B +RB = 97,59 kN0 Fy , 0 R5 , 22. 1255 , 22. 59 , 97Ay + RAy = 21,93 kN 0 Fx , 05 , 25 , 1. 59 , 975 , 25 , 1. 125 RAx + RAx = 16,45 kN21,931.5 m16,45 V Mc Px y50 kN/mBA2,5 m4 m2 mRBxRByRB1,5 m125 kN125 mm1,5 mCRAyRAxTenses Compostas1040 Fx ,0 P 45 , 16 +,P = -16,45 kN 0 Fy ,0 V 93 , 21 +V = -21,93 kN 0 M ,0 M 5 , 1 . 93 , 21 + M = 32,90 kN.mTenso devido a fora P:AP'C ,x = - 1,316 MPaTenso devido ao momento M: Iy M' 'c , C = - 63,168 MPaTenso devido ao cortante V:t IQ Vc = 01]1

1]1

+1]1

0 00 48 , 640 00 168 , 630 00 316 , 1 (Mpa)8.2 Flexo oblquaSeja a viga abaixo sujeita a um momento inclinado com relao aos eixos principais daseo transversal da viga.A frmula da flexo elstica pode ser aplicada para cada componente do momento Myye Mzz e a tenso combinada dos dois efeitos pode ser obtida pela superposio.Seja o caso especial de uma seo transversal retangular. y z xM y z xMzz= M.cosMyy= M.senCurso de Mecnica dos Slidos I 105

zzzz' xIy M yyyy' ' xIz M+ ' ' x ' x x + A obteno da posio do eixo neutro feita fazendo x = 0.0Iz MIy Myyyyzzzz + ,( ) ( )0Iz sen MIy cos Myy zz+

,_

tgIIz yyyzzConcluso importante: O eixo neutro no perpendicular ao plano de aplicao do momento,amenosqueIzz = Iyy.Ospontosdemximatensodeflexoemtraoeemcompressoseencontram nos vrtices da seo transversal.Ex:Avigademadeiradeseo100mmx150mmmostradaabaixousadaparasuportaruma carga uniformemente distribuda de 500 kgf. A carga aplicada age em um plano que fazum ngulo de 30 com a vertical. Calcular a mxima tenso no meio do vo e localizar o eixoneutro.0 MA , RBy . 3 500 . 1,5 = 0 RBy = 250 kgfRByRAy3 m500 kgf y z x 30 yMzz y z+ y zMyy y z =Tenses Compostas106 0 F' y, RAy + 250 500 = 0 RAy = 250 kgf 0 Mc , -250 . 1,5 + 250 . 0,75 + M = 0 M = 187,5 kgf mMzz = M cos 30 = 162,4 kgf . m, Myy = M sen 30 = 93,8 kgf . m 43zzmm 2812500012150 . 100I , 43yymm 1250000012100 . 150I yyyyzzzzxIz MIy M+ Ponto (y = - 75 mm, z = 50 mm) , x = 0,808 kgf/mm2 (trao)Ponto (y = 75 mm, z = - 50 mm) , x = - 0,808 kgf/mm2 (compresso)Posio do eixo neutro: ,_

,_

30 tg12505 , 2812z tgIIz yyyzz,y = 1,3 z8.3 Membros com carregamento excntricoSeja um membro em cuja seo transversal aplicada uma fora excntrica em relaoao centride da seo.250 kgf1.5 m250 kgf V Mc y z P yo zo x y z P yo zo P P =Curso de Mecnica dos Slidos I 107Com a superposio dos efeitos, tem-se:APx' , yy0x' 'Iz z . P , zz0x' ' 'Iy . y . P zz0yy0xIy y . PIz z . PAP+ + Ex: O bloco retangular de peso desprezvel est sujeito a uma fora vertical de 40 kN, a qual aplicada em seus vrtices. Determine a distribuio de tenso normal atuando sobre a seoABCD.yyyyzzzzIz MIy MAP + Ponto A (y = 0,4 m, z = - 0,2 m):124 , 0 . 8 , 0) 2 , 0 ( . 2 , 0 . 40000128 , 0 . 4 , 04 , 0 . 4 , 0 . 400008 . 0 . 4 , 0400003 3A + , A = 62500 N/m2BACD0,8 m0,4 m40 kN z B C A D y 40 kN Mzz =40 kN.0,4 m Myy = 40 kN.0,2 m y z P y z P P z0 + y z P Py0 +Tenses Compostas108Ponto B (y = 0,4 m, z = 0,2 m):124 , 0 . 8 , 02 , 0 . 2 , 0 . 40000128 , 0 . 4 , 04 , 0 . 4 , 0 . 400008 . 0 . 4 , 0400003 3B + , B = -125000 N/m2Ponto C (y = - 0,4 m, z = 0,2 m):124 , 0 . 8 , 02 , 0 . 2 , 0 . 40000128 , 0 . 4 , 0) 4 , 0 ( . 4 , 0 . 400008 . 0 . 4 , 0400003 3C+ , C = - 875500 N/m2Ponto D (y = - 0,4 m, z = - 0,2 m):124 , 0 . 8 , 0) 2 , 0 ( . 2 , 0 . 40000128 , 0 . 4 , 0) 4 , 0 ( . 4 , 0 . 400008 . 0 . 4 , 0400003 3D+ , D=-125000N/m2Posio do eixo neutro (tenso nula):e125000e 4 , 062500e = 0,0667 mh125000h 8 , 062500h = 0,133 m8.3 Superposio de tenses de cisalhamentoEx: Achar a mxima tenso de cisalhamento no plano ABDE do eixo de 12 mm de dimetro,devido as foras aplicadas. e0,4 - e0,8 - h h B C A DDABEP = 24 kgfM = 2000 kgf mm25 mm75 mmCurso de Mecnica dos Slidos I 109Tenses devido ao momento de toro T:266 2000Jc T4max max = 5,89 kgf/mm2Tenses devido ao cortante V:t IQ Vmax ' A ' y Q

,_

,_

2c c34Q2Q = 144 mm344cm 10184cI 12 . 1018144 . 24max , max = 0,28 kgf/mm2max (Ponto E) = 5,89 + 0,28 = 6,17 kgf/mm2ABDEmaxABDE A' y24 kgf2000 kgf mmM = 24.100 kgf mmT = 2000 kgf mmV = 24 kgf100 mmTenses Compostas110Ex:Umaplacasujeitaumcarregamentouniformedevidoaoventoconformemostradoabaixo. Determine o estado de tenses nos pontos C e D situados na coluna de sustentao daplaca de 100 mm de dimetro.Feq = P . A = 1,5 . 103 . 2 . 1 , Feq = 3000 NTenses devido a M:yyyyzIx M 450 .) 50 .( 10 . 5 , 3 . 300043C , C = - 106,95 MPaD = 0Tenses devido a T:Jc TD c yz2 m1 mx3 m2 mFeq1,5 kPaDBCAyxV = 3000 NzT = 3000.1 N.mM = 3000.3,5 N.mCurso de Mecnica dos Slidos I 111250 .50 . 10 . 1 . 300043D c C = D = 15,28 MPaTenses devido a V:t . IQ . V Ponto D

,_

,_

2c .. 3c . 4' A '. y Q2,

,_

,_

250 .. 350 . 4Q2 , Q = 83333,3 mm3450 .4c .I4 4 ,I = 4908738,5 mm4100 . 5 , 49087383 , 83333 . 3000D D = 0,51 MPaPonto CQ = 0C = 0Ponto C:C = - 106,95 Mpa, C = 15,28 MPaPonto D:D = 0 Mpa, D = 15,28 + 0,51 = 15,79 MPaTransformao de Tenso1129 - TRANSFORMAO DE TENSO9.1 Equaes para transformao de tenso planaUma vez determinadas as tenses normais x e y e a tenso de cisalhamento xy, possveldeterminar as tenses normais e de cisalhamento em qualquer plano inclinado em um dado estadode tenso.Aplicando as equaes de equilbrio esttico: 0 F' x, 0 cos sen dA sen sen dAsen cos dA cos cos dA dAxy yxy x ' x (9.1) xxy xy yx y x x y dA x dA xy dA yx dA senx dA cos x yy dA senyx dA cos x y x y xy yx xy yx x x x y+ + ABCCurso de Mecnica dos Slidos I 113 + + sen cos 2 sen cosxy2y2x ' x (9.2)Sabendo-se que: cos sen 2 2 sen, 2 2sen cos 2 cos , + 2 2sen cos 1Assim:22 cos 1cos2 + , 22 cos 1sen2 Substituindo as expresses de sen 2, cos 2 e sen 2 em (9.2), tem-se; + + + 2 sen22 cos 122 cos 1xy y x ' x (9.3) + + + 2 sen 2 cos2 2xyy x y x' x (9.4)0 F' y, 0 sen sen dA cos sen dAcos cos dA sen cos dA dAxy yxy x ' y ' x + + (9.5) +

,_

2 cos 2 sen2xyy x' y ' x (9.6)Asequaes(9.5)e(9.7)soasequaesdetransformaodetensodeumsistemadecoordenadas a outro.9.2 - Crculo de tenses de MohrSejam as equaes de transformao de tenso: + + 2 sen 2 cos2 2xyy x y x' x(9.7) + 2 cos 2 sen2xyy x' y ' x (9.8)Transformao de Tenso114Elevando ao quadrado ambas as equaes e somando-as tem-se:2xy2y x 2' y ' x2y x' x2 2 +

,_

+

,_

+ (9.9)Esta equao pode ser de maneira mais compacta:( )2 2xy2' xR a + (9.10)Aequaoacimaaequaodeumcrculoderaio 2xy2y x2R +

,_

ecentro0 b e2ay x + .OcrculoconstrudodestamaneirachamadocrculodetensodeMohr,ondeaordenada de um ponto sobre o crculo a tenso de cisalhamento xy e a abcissa a tenso normalx.Concluses importantes:Amaiortensonormalpossvel1eamenor2.Nestesplanosnoexistemtensesdecisalhamento.max2y x A(x, xy)B(x, -xy)12 = 0|min|=max2y x + 2 1

Curso de Mecnica dos Slidos I 115Amaiortensodecisalhamentomaxigualaoraiodocrculoeumatensonormalde2y x + atua em cada um dos planos de mxima e mnima tenso de cisalhamento.Se1=2,ocrculodeMohrsedegeneraemumponto,enosedesenvolvemtensesdecisalhamento no plano xy. Se x + y = 0, o centro do crculo de Mohr coincide com a origem das coordenadas - , eexiste o estado de cisalhamento puro.Sesomadastensesnormaisemquaisquerdosplanosmutuamenteperpendicularesconstante: x + y = 1 + 2 = x + y = constante.Osplanosdetensodecisalhamentomximaoumnimaformamngulosde45comosplanos das tenses principais.9.3 Construo do crculo de tenses de MohrEx: Com o estado de tenso no ponto apresentado abaixo, determine as tenses principais e suasorientaes e a mxima tenso de cisalhamento e sua orientao.x = - 20 MPa (20 x 106 N/m2) , y = 90 MPa , xy = 60 MPaProcedimento:1 Determinar o centro do crculo (a,b): x y 60 MPa 90 MPa 20 MPaPonto ATransformao de Tenso116MPa 35290 202ay x+ + ,b = 02 Determinar o Raio 2xy2y x2R +

,_

:MPa 4 , 81 60290 20R22 + ,_

3 Localizar o ponto A(-20,60):4 Tenses principais:1 = 35 + 81,4 = 116,4 MPa,2 = 35 - 81,4 = -46,4 MPa5 Orientaes das tenses principais. ,_

+ 7 , 4735 20602 tg arc 2' '1, 1 = 23,852 1 + 2 1 = 180 1 = 66,15A(-20,60)B(90, -60)max = 81,42 = 35-81,4 = -46,4 (Mpa) (Mpa)2 2

1 = 35+81,4 = 116,4 35 20 602 12 12 2

Curso de Mecnica dos Slidos I 1176 Tenso mxima de cisalhamento:max = R = 81,4 Mpa7 Orientao da tenso mxima de cisalhamento:2 1 + 2 2 = 90 2 = 21,15Ex:Paraoestadodetensoabaixo,achara)astensesnormaisedecisalhamentopara=22,5, b) as tenses principais e suas orientaes, c) as tenses mxima e mnima de cisalhamentocom as tenses associadas e suas orientaes. x y 1 = 116,4 MPa 2 1 1 = 66,15 2 = 46,4MPa x y =35 MPa x y 2 = 21,25max =81,4MPaTransformao de Tenso118x = 3 kgf/mm2 , y = 1 kgf/mm2 , xy = 2 kgf/mm2Procedimento:1 Determinar o centro do crculo (a,b):2y xmm / kgf 221 32a + + ,b = 02 Determinar o Raio 2xy2y x2R +

,_

:2 22mm / kgf 24 , 2 221 3R +

,_

3 Localizar o ponto A(3,2): x y 2 kgf/mm2 1 kgf/mm2 3 kgf/mm2Ponto A x 22,5A(3,2)B(1, -2)max = 2,242 = 2-2,24 = -0,24 (kgf/mm2) (kgf/mm2)2 2

1 = 2+2,24 = 4,24 2 3 22 1A45BCurso de Mecnica dos Slidos I 119a)Ponto A:4 , 632 32tg arc ' 21

,_

x = 2 + 2,24 cos(63,4 - 45) ,x = 4,13 kgf/mm2xy= 2,24 sen(63,4 - 45), xy = 0,71 kgf/mm2Ponto B:y = 2 - 2,24 cos(63,4 - 45) ,y = - 0,13 kgf/mm2b)1 = 4,24 kgf/mm2(trao), 2 = -0,24 kgf/mm2(compresso)2122 tg1 2 1 = 63,4 1 = 31,72 1 = 2 1 + 180 1 = 121,7 x y 4,24 kgf/mm2 0,24 kgf/mm2 1 2 1 = 31,7 1 = 121,7 x y x y = 22,50,71 kgf/mm20,13 kgf/mm24,13 kgf/mm2Ponto ATransformao de Tenso120c) max = 2,24 kgf/mm22 2 + 2 1 = 90 2 = 13,32 2 = 2 2 + 180 2 = 76,7Observe que: 1- 2 = 31.7 (-13.3) = 45 e 1- 2 = 121.7 76.7 = 459.4 - Importante transformao de tensoSejaumelementosujeitoaumestadodetensodecisalhamentopuro(casodeumeixoemtoro). x y 2,24 kgf/mm2 2 kgf/mm2 x y 2 = 13,3 2 = 76,7 x y xy xyTCurso de Mecnica dos Slidos I 121Para este caso, tem-se que x = 0 e y = 0, logo o centro do crculo de Mohr est na origemdo sistema de coordenadas - e o raio do crculo R = xy.xy21 t 12 tg ' ) compresso ( 45 135 ) trao ( 45 11.Assim: x y 1=|xy| 12 1 = 45 2 = 135 2=|xy|max = xy 1 = xy2 12 12 = -xyTransformao de Tenso1229.5 Tenses principais para o estado geral de tensesConsidereumestadodetensotridimensionaleumelementoinfinitesimaltetraedrico.Sobre o plano obliquo ABC surge a tenso principal n, paralela ao vetor normal unitrio.O vetor unitrio identificado pelos seus cosenos diretores l, m e n, onde cos = l, cos = m, cos = n. Da figura nota-se que: l2 + m2 + n2 = 1.O plano oblquo tem rea dA e as projees desta rea nas direes x, y e z so: dA.l,dA.m e dA.n. Impondo o equilbrio esttico nas direes x, y e z, temos:0 Fx ,0 n dA m dA l dA l ) dA (xz xy x n 0 Fy ,0 l dA n dA m dA m ) dA (xy yz y n x z y xy zx xy zyyz x z y x y y x z x xz xy n n y z xy yz xz yz A B C y x z Vetor unitrio m n l A Curso de Mecnica dos Slidos I 1230 Fz ,0 m dA l dA n dA n ) dA (yz xz z n Simplificando e reagrupando em forma matricial, temos:111]1

111]1

111]1

000nmln z yz xzyz n y xyxz xy n xComovistoanteriormente,l2+m2+n2=1,oscosenosdiretoressodiferentesdezero.Logo, o sistema ter uma soluo no trivial quando o determinante da matriz de coeficientes del, m e n for nulo.0n z yz xzyz n y xyxz xy n x A expanso do determinante fornece um poninmio caracterstico do tipo:0 III II In2n3n + onde: z y xI + + ) ( ) ( II2xz2yz2xy x z z y y x + + + + ) ( 2 II2xy z2xz y2yz x xz yz xy z y x + + + As equaes acima so invariantes, independentemente do plano oblquo que tomado notetraedro. Logo, as razes do polinmio caracterstico j so as tenses principais.9.6 Crculo de Mohr para o estado geral de tensesQualquerestadodetensotridimensionalpodesertransformadoemtrstensesprincipais que atuam em trs direes ortogonais.Transformao de Tenso124Admitindo que 1 > 2 > 3 > 0. x z y xy zx xy zyzy x z y 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2max32 1Curso de Mecnica dos Slidos I 125CRITRIOS DE ESCOAMENTO E DE FRATURA9.7 Observaes preliminaresArespostadeummaterialtensoaxialoutensodecisalhamentopuropodeserconvenientementemostradaemdiagramasdetenso-deformao.Talaproximaodiretanopossvel,entretanto,paraumestadocomplexodetensesquecaractersticodemuitoselementosdemquinaedeestruturas.Destaforma,importanteestabelecercritriosparaocomportamento dos materiais com estados de tenso combinados.Nestapartedoestudoserodiscutidosdoiscritriosparaanlisedocomportamentodastensescombinadasemmateriaisdcteiseemseguidaserapresentadoumcritriodefraturapara materiais frgeis.9.8 Teoria da mxima tenso de cisalhamento (Tresca) (mat. dcteis)Ateoriadamximatensodecisalhamento,resultadaobservaodeque,nummaterialdctil,ocorredeslizamentoduranteoescoamentoaolongodeplanoscriticamenteorientados.Issosugerequeatensodecisalhamentomximaexecuteopapelprincipalnoescoamentodomaterial.Para um teste simples de trao onde 1 = esc, 2 = 3 = 0, tem-se:material frgilrupmaterial dctilescTransformao de Tenso1262esccrtico max Considerandoumfatordeseguranan,atensodecisalhamentocrticaouadmissvelda forma:n 2esccrtico Para aplicar o critrio da mxima tenso de cisalhamento para um estado de tenso biaxialdevem ser considerados dois casos:Caso 1: Os sinais de 1 e 2 so iguais.Para |1| > |2|

|1| escPara |2| > |1|

|2| esc 1 2max = (1)/232 1max = (1)/22 = 3 1Curso de Mecnica dos Slidos I 127Caso 2: Os sinais de 1 e 2 so diferentes.2 2esc 2 1 tPara o escoamento iminente:1esc2esc1t 9.9 Teoria da mxima energia de distoro (von Mises) (mat. dcteis)Considereaenergiadedeformaototalporunidadedevolumeemummaterialisotrpico(densidade de energia de deformao) para um estado multiaxial de tenses:1/esc1.01.0 -1.0 -1.0B( -1.0, 1.0)A( 1.0, 1.0)2/esc 1 2max = |(1- 2)/2|2 1Transformao de Tenso128( ) ( )( )xz2yz2xz2x z z y y x2z2y2x totalG 21E E 21U + + + + + + + LLEsta energia de deformao total, medida nos eixos principais da forma:( ) ( )1 3 3 2 2 1232221 totalE E 21U + + + + A energia de deformao total acima, dividida em duas partes: uma causando dilatao domaterial(mudanasvolumtricas),eoutracausandodistorsesdecisalhamento.interessantelembrarqueemummaterialdtil,admite-sequeoescoamentodomaterialdependeapenasdamxima tenso de cisalhamento.Para um estado de tenso uniaxial as energias de dilatao e de distoro so representadadaseguinte forma: 1 3 2 Energia dedeformao total = Energia de dilatao + 3 1 Energia de distoro 2 1 Energia dedeformao total = Energia de distoro 1 Energia de dilatao 1/3 1/3 1/3 + 1/31/3 +1/31/3Curso de Mecnica dos Slidos I 129Notensorcorrespondenteaenergiadedilatao,oscomponentessodefinidoscomosendo a tenso hidrosttica mdia:33 2 1 + + onde 1 = 2 = 3 = p = .Aenergiadedilataodeterminadasubstituindo1=2=3=pnaexpressodeenergia de deformao total e em seguida substituindo 3p3 2 1 + + :( )23 2 1 dilataoE 62 1U + + Aenergiadedistoroobtidasustraindodaenergiadedeformaototalaenergiadedilatao:( ) ( ) ( ) [ ]21 323 222 1 distoroG 121U + + A energia de distoro em um ensaio de trao simples, onde neste caso 1 = esc e 2 =3 = 0 da forma:G 122U2escdistoromax = 1/3 1/31/30max = 1/3 1/31/30Transformao de Tenso130Igualando a energia de distoro de cisalhamento com a energia no ponto de escoamento trao simples, estabelece-se o critrio de escoamento para tenso combinada.( ) ( ) ( )2esc21 323 222 12 + + ou:1esc1esc3esc3esc2esc2esc12esc32esc22esc1

,_

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+

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+

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LLAequaoacimaconhecidacomosendoocritriodeVonMisesparaumestadomultiaxial de tenses para materiais isotrpicos. Para um estado plano de tenso, 3 = 0, tem-se:12esc2esc2esc12esc1

,_

+

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9.10 Teoria da mxima tenso normal (mat. frgeis)A teoria da mxima tenso normal estabelece que a falha ou fratura de um material ocorrequandoamximatensonormalemumpontoatingeumvalorcrtico,independentementedasoutras tenses. Apenas a maior tenso principal deve ser determinada para aplicar esse critrio.1/esc1.01.0 -1.0 -1.0B( -1.0, 1.0)A( 1.0, 1.0)2/escCurso de Mecnica dos Slidos I 131|1| ou |2| ou |3| rupEx: As tenses calculadas sobre o ski so como mostrado na figura abaixo. Utilizando critrios deruptura adequados, verifique se os pontos mostrados sobre a seo transversal do ski suportam ocarregamento abaixo. Tome escao=250Mpa,rupmad=26MPaerupmad=6,2MPacomumfator de segurana de 2.Estado de tenso nos pontos:Ponto A (ao):A = 24,05 Mpa, A = 01/rup1.01.0 -1.0 -1.0B( -1.0, 1.0)A( 1.0, 1.0)2/rup madeira ao aoABCD P1 m0,5 m0,5 m1 mwwA BDECTransformao de Tenso132Ponto B (ao):B = 18,99 Mpa, B = 0,11 MPaPonto C (madeira):C = 1,14 Mpa , C = 0,11 MpaPonto D (madeira):D = 0, D = 0,12 MPa2xy2y x y x212 2 +

,_

t + 2xy2y xminmax2 +

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t Ponto A (ao material dtil):x =A =24,05 Mpa,y =0, xy = 01 = x = 24,05 MpaPelo critrio de mxima tenso de cisalhamento:1 = 24,05 Mpa < esc = 250/2 Mpa (ok)Ponto B (ao material dtil):x =B = 18,99 Mpa,y =0, xy = B = 0,11 MPa1 = 18,99 MpaPelo critrio de mxima tenso de cisalhamento:1 = 18,99 Mpa < esc = 250/2 Mpa (ok)Ponto C (madeira material frgil):x = C = 1,14 Mpa,y =0, xy = C = 0,11 MPaPelo critrio de mxima tenso normal:1 = 1,15 Mpa < rup = 26/2 Mpa (ok)Curso de Mecnica dos Slidos I 133max = 0,11 Mpa < rup = 6,2/2 Mpa (ok)Ponto D (madeira material frgil):x = D = 0,y =0, xy = D = 0,12 MPaPelo critrio de mxima tenso normal:max = 0,12 Mpa < rup = 6,2/2 Mpa(ok)