Geometria dos sólidosGeometria dos sólidos

PRISMAS RETOSPRISMAS RETOS

• UmUm prisma prisma é um sólido geométrico limitado por é um sólido geométrico limitado por duas bases (polígonos iguais) situadas em duas bases (polígonos iguais) situadas em planos paralelos e várias faces laterais planos paralelos e várias faces laterais (retângulos).(retângulos).

• A designação do polígono da base vai dar o A designação do polígono da base vai dar o nome ao prisma nome ao prisma

Elementos de um prisma:Elementos de um prisma:

ÁREA LATERAL E TOTALÁREA LATERAL E TOTALPara determinar a área da superfície de um prisma reto, devemos planificá-lo.Para determinar a área da superfície de um prisma reto, devemos planificá-lo.

Exemplo: Prisma triangularExemplo: Prisma triangular

ASSIM EM UM PRISMA A ÁREA LATERAL (AL) SERÁ SEMPRE IGUAL A

ÁREA DO RETÂNGULO DA FACE MULTIPLICADA PELO NÚMERO DE ARESTAS DA BASE.

A ÁREA TOTAL (AT) SERÁ SEMPRE IGUAL A ÁREA LATERAL MAIS A

ÁREA DAS DUAS BASES, OU SEJA:

AT = AL + 2. AB

AL

AB

AB

VOLUMEVOLUME

EM UM PRISMA O VOLUME É DADO PELA EM UM PRISMA O VOLUME É DADO PELA FÓRMULA:FÓRMULA:

V = AB . h

Onde:

AB é a área do polígono que está na base do prisma.

h é a altura do prisma ou seja, a distância entre as bases

EXEMPLOSEXEMPLOS

SÓLIDOSÓLIDO Polígonos das faces do Polígonos das faces do sólidosólido

Áreas e VolumeÁreas e Volume

PrismaPrisma

triangulartriangular

3 retângulos e3 retângulos e

2 triângulos2 triângulos

ALATERAL = 3 . ARETÂNGULO

ATOTAL = AL + 2 . ATRIÂNGULO

V = A3 . h

Prisma Hexagonal

6 retângulos

2 hexágonos

ALATERAL = 6. ARETÂNGULO

ATOTAL = AL + 2 . AHEXÁGONO

V = A6 . h

SólidoSólido Polígonos das faces Polígonos das faces do sólido geométricodo sólido geométrico

Áreas e VolumeÁreas e Volume

PRISMAS ESPECIAISPRISMAS ESPECIAIS

CuboCubo

ParalelepípedoParalelepípedo

6 quadrados6 quadrados

6 retângulos: iguais 2 a 2

a

a a

a

AT = 6 . a2

V = a3

c

ba c c b

a

cb

V = abc

ALATERAL = 4 . AQUADRADO

ATOTAL = AL + 2 . AQUADRADO

AATOTAlTOTAl = 2ac + 2bc +2ab = 2ac + 2bc +2ab

CILINDROSCILINDROS

São sólidos limitados por dois círculos São sólidos limitados por dois círculos congruentes, situados em planos paralelos, e por uma congruentes, situados em planos paralelos, e por uma superfície curva que pode ser planificada.superfície curva que pode ser planificada.

ELEMENTOS DO CILINDROELEMENTOS DO CILINDRO

BASES

GERATRIZ

ALTURA

ÁREA LATERAL E ÁREA TOTALÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL

Para calcular as áreas de um cilindro devemos Para calcular as áreas de um cilindro devemos planificá-lo:planificá-lo:

AL

Assim teremos: AL = 2.π.r.h

AB = π. r2

Como: AT = AL + 2. AB

Temos que: AT = 2.π.r.h + 2. π. r2

AB

AB

VOLUMEVOLUME

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. área da base pela altura.

V = AV = ABB × h × h

Se a base é um círculo de raio r, então:

V = π.r2. h

CILINDRO EQUILÁTEROCILINDRO EQUILÁTERO

Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por: usar as fórmulas, dadas por:

AL = 4. π. r²

AB = π.r²

AT = AL + 2 AB = 6. π.r²

Volume = AB.h = π.r².2r = 2. π.r³

Secção meridiana do cilindroSecção meridiana do cilindro

Chamamos secção meridiana de um cilindro, a interseção Chamamos secção meridiana de um cilindro, a interseção do cilindro com um plano que contém seu eixo.do cilindro com um plano que contém seu eixo.

No cilindro equilátero a secção meridiana é um quadrado

PIRÂMIDEPIRÂMIDE

É um poliedro em que uma das É um poliedro em que uma das faces é um polígono qualquer, a que se faces é um polígono qualquer, a que se chama chama basebase; as outras faces são triângulos ; as outras faces são triângulos que têm um vértice comum, chamado que têm um vértice comum, chamado vértice vértice da pirâmideda pirâmide.  .  

VÉRTICE

BASE

ELEMENTOS DE UMA PIRÂMIDEELEMENTOS DE UMA PIRÂMIDE

BASE

VÉRTICE

altura

Arestas as pirâmide

Faces triangulares

APÓTEMASAPÓTEMAS

app

apb

app

app é o apótema da pirâmide e também a

altura do triângulo da face.

apb é o apótema da base da pirâmide

ÁREA LATERAL E ÁREA TOTALÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL

Planificando a pirâmide encontraremos triângulos, portanto para o cálculo da área lateral, basta encontrar a área de um destes e multiplicar pelo número de arestas da base.

A área da base será determinada pela área do polígono que está na base.

A área total da pirâmide será dada então por:

AT = AL + AB

VOLUMEVOLUME

Para encontrarmos o volume de uma pirâmide basta fazer um terço da área da base vezes a altura.

EXEMPLOSEXEMPLOS

SÓLIDOSÓLIDO Polígonos das faces do Polígonos das faces do sólidosólido

Áreas e VolumeÁreas e Volume

PirâmidePirâmide

triangulartriangular

3 triângulos iguais3 triângulos iguais

1 triângulo diferente (base)1 triângulo diferente (base)

4 triângulos

1 quadrado

AALL = 3 . A = 3 . A33

AABB = A = A33

Pirâmide Pirâmide QuadrangularQuadrangular

AALL = 4 . A = 4 . A33

AABB = A = A44

3

h.AV 3

3

h.AV 4

TETRAEDROTETRAEDRO

É uma pirâmide formada por quatro regiões triangulares congruentes e eqüiláteras. Nele, qualquer uma das faces pode ser considerada base. O tetraedro é um caso particular de pirâmide regular.

Planificação:

CONE CONE

Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana R (delimitada por uma curva suave, a base).

ELEMENTOS DE UM CONEELEMENTOS DE UM CONE

BASE

VÉRTICE

GERATRIZ

ALTURA

ÁREA LATERAL E ÁREA TOTALÁREA LATERAL E ÁREA TOTALPara calcular as áreas de um cone devemos Para calcular as áreas de um cone devemos planificá-lo:planificá-lo:

área lateral (AL): área do setor circular

área da base (AB):área do circulo do raio R

área total (AT):soma da área lateral com a área da

base

VOLUMEVOLUME

Para encontrarmos o volume de um cone basta fazer um terço da área da base vezes a altura.

Secção meridiana do coneSecção meridiana do cone

É a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura abaixo, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.

Pelo teorema de Pitágoras, temos que:

g2 = r2 + h2

CONE EQUILÁTEROCONE EQUILÁTERO

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

ESFERASESFERAS

Esfera é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R.

Área da superfície esférica e volume Área da superfície esférica e volume

da esferada esfera A área da superfície esférica de raio R é dada por:

O volume da esfera de raio R é dado por:

Secção de uma esferaSecção de uma esfera

OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R determina como seção plana um círculo de raio R’.