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MECÂNICA DOS SÓLIDOS II

(RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II)

Bibliografia:

Ferdinand Beer, E. Russel Johnston – Resistência dos Materiais Timoshenko – Mecânica dos Sólidos William Nash – Resistência dos Materiais Vladimir Arrivabene – Resistência dos Materiais

Professor: Eduardo Moura Lima

Versão 01/02/2015

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Cap I: Análise de tensões e deformações

1. Estado Tri-Axial de tensões:

Notação: σi – tensão normal na direção i

τji – tensão tangencial no plano j, direção i

Colocamos todas as tensões normais e tangenciais possíveis em cada face visível. Nas faces opostas (invisíveis) teremos as mesmas tensões, com mesmos módulos e sentidos opostos. Em torno de um ponto, num mesmo

P X

Z

X

Y

dx

dy

dz

σx

σy

σz

τyz

τyx τxy

τzy

τzx

τxz

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plano, as tensões normais sempre atuam em duplas, e as tangenciais, em quatro.

Outros estados de tensão:

Bi-axial ou plano: tensões em duas direções Uni-axial: tensões em uma direção

2. Estado Plano de tensões – método analítico: a. Introdução:

Estado mais comum de ocorrer. Teremos tensões apenas no plano XY. Eliminaremos todas as tensões fora deste plano.

A visualização pode ser simplificada, com todas as tensões num único plano, eliminando-se a terceira dimensão (Z). E a notação das tensões tangenciais também poderá ser simplificada, por não existir a direção Z, e τxy = τyx (provaremos mais tarde).

Notação: σi – tensão normal na direção i

τj – tensão tangencial no plano j

X

Y

dx

dy

dz

σx

σy

τyx

τxy

Z

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Então, podemos visualizar assim: Ou por uma forma mais simplificada:

Diagonal de corte: sobre ela convergem as tensões tangenciais

Convenção de sinais:

b. Tensões em um plano qualquer perpendicular ao plano XY (σα e τα):

σx σx

σy

σy

τx τx

τy

τy

Diagonal

de corte

X

Y

X

Y

τx

τy

σy

σx

\\=\\=\\=

|| =

|| =

\\=\\=\\=

σ > 0 σ < 0

\\=\\=\\=

τ < 0 τ > 0

σx τx

σy

τy X

Y

dx

dy

σα

τα

α

α

α

α

dL

Y

X

Z

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Estudo do equilíbrio das FORÇAS que atuam no prisma:

Projeção das forças na direção de σα:

σα = ((σx + σy) / 2) + (((σx - σy) /2). cos 2α) + τx . sen 2α (A)

Projeção das forças na direção de τα:

τα = - ((σx - σy) /2). sen 2α + τx . cos 2α (B)

c. Tensões normais máximas:

Deriva-se a equação (A) e iguala-se a ZERO:

dσα / dα = (-2 . ((σx – σy) / 2) . sen 2α) + 2 τx . cos 2α = 0

= - (σx – σy) . sen 2α + 2 τx . cos 2α = 0

= - ((σx – σy)/2) . sen 2α + τx . cos 2α = 0

τα

Conclusão: quando as tensões normais são máximas, as tangenciais são NULAS.

Resolvendo-se a equação acima tg 2 αI,II = 2 τx / (σx – σy) (C)

Se: σx > σy direção I (tensão máxima)

σx < σy direção II (tensão mínima)

E se σx = σy ?

Sabendo-se o valor da tangente (C), são conhecidos os valores do seno e do cosseno. Façamos a substituição na equação (A):

σI,II = (σx + σy)/2 ± (1/2) . √ (σx – σy)2 + 4(τx)2 (D) (tensões principais)

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d. Tensões tangenciais máximas:

Deriva-se a equação (B) e iguala-se a ZERO:

dτα / dα = (-2 . ((σx – σy) / 2) . cos 2α) - 2 τx . sen 2α = 0

tg 2α’3 = -(σx – σy) / (2 τx) (E) tg 2αI . tg 2α’3 = -1

Como: tg 2 αI = 2 τx / (σx – σy) (C)

Pela relação trigonométrica: tg (a – b) = (tg a – tg b) / (1 + tg a . tg b), tem-se:

tg (2αI - 2α’3) = (tg 2αI – tg 2α’3) / ( 1 + tg 2αI . tg 2α’3) = ∞

2αI - 2α’3 = 90º αI - α’3 = 45º.

Sabendo-se o valor da tangente (E), são conhecidos os valores do seno e do cosseno. Façamos a substituição na equação (B):

τmáx, mín = ± (1/2) . √ (σx – σy)2 + 4(τx)2 (F)

σI,II = (σx + σy)/2 ± τmáx (G)

Substituindo-se os valores de sen 2α’3 e cos 2α’3 em (A):

σα’3 = σα’’3 = (σx + σy) / 2 (H)

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Representação esquemática de todas as tensões descritas acima, e também com seus planos:

e. Tensões em planos ortogonais: Normais:

σα = ((σx + σy) / 2) + (((σx - σy) /2). cos 2α) + τx . sen 2α (A)

σα+π/2 = ((σx + σy) / 2) + (((σx - σy) /2). cos 2(α+π/2)) + τx . sen 2(α+π/2) =

= ((σx + σy) / 2) - (((σx - σy) /2). cos 2α) - τx . sen 2α

σα + σα+π/2 = σx + σy = σI + σII = σα’3 + σα’’3 = θ invariante característico

X

Y

\\=\\=\\=

|| =

|| =

σx

τx

τy

αI

αII

I σI

α’'3

α'3

α’'3

α'3

45º

σα’3

σy II

σII

σα’’3

τmin

τmax

8

Tangenciais:

τα = - ((σx - σy) /2). sen 2α + τx . cos 2α (B)

τα+π/2 = - ((σx - σy) /2). sen 2(α+π/2) + τx . cos 2(α+π/2) =

= ((σx - σy) /2). sen 2α - τx . cos 2α

τα + τα+π/2 = 0 τα = - τα+π/2

f. Cisalhamento puro: θ = 0

σx + σy = 0 σx = - σy

σI,II = (σx + σy)/2 ± τmáx = τmáx

σα’3 + σα’’3 = 0 σα’3 = σα’’3 = 0

τmáx = (1/2) . √ (σx – σy)2 + 4(τx)2 = √ σx2 + τx

2

g. Ponto isotrópico:

Quando σI = σII todas as direções são principais

τ = 0 em todas as direções

h. Tensões com a direção I (um particular x):

De (A): σβ = ((σI + σII) / 2) + (((σI – σII) /2). cos 2β) (I)

De (B): τβ = - ((σI – σII) /2). sen 2β (J)

De (F): τmáx, mín = ± (1/2) . (σI – σII)

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3. Estado Plano de tensões – método gráfico – Círculo de Mohr:

Dados: σx, σy e τx (no exemplo, positivos, e com σx > σy)

Marcar: OE = σx, OF = σy, EM = τx e FN = τy (escolher uma escala adequada)

a. Centro do círculo (ponto C):

OC = (OE + OF) / 2 = (σx + σy) / 2 = θ / 2

b. Raio do círculo:

R = CM = √ (CE)2 + (EM)2 = √ ((OE – OF) / 2)2 + (EM)2 =

= √ (((OE – OF)2 + 4(EM)2)) / 4 = (1/2) . √ (σx - σy)2 + 4 τx2 = τmax

c. Tensões principais:

OB = OC + CB = (σx + σy) / 2 + τmax = σI

OA = OC - AC = (σx + σy) / 2 - τmax = σII

d. Planos principais:

tg ECM = (EM) / (EC) = τx / ((σx - σy) / 2) ECM = 2αI BAM = αI

τ (-)

σ (+) O

A B C E

M

N

F

S

R

2αI αI

x

y

II

I

α

α

K

G

α'3

α''3

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e. Tensões em um plano qualquer α:

σα = OG τα = - KG

f. Tensões tangenciais máximas e tensões normais nos planos:

τmax = CR e τmin = - CS

σα’3 = σα’’3 = OC = (σx + σy) / 2

4. Estado Plano de deformações – método analítico

Lei de Hooke: σ = Eε

ε' = -με

μ = 1/m ε' = -ε/m

a. Deformações nas direções principais:

εI = σI/E σI/E - σII/Em =

- σII/Em = (1/E) (σI - σII/m)

εII = (1/E) (σII - σI/m)

b. Deformação na direção z:

εz = - σI/Em - σII/Em = - (1/Em) (σI + σII) = - (1/Em) (σx + σy)

I

II

σI

σII

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c. Deformação de uma fibra de direção qualquer no plano solicitante: OA = Lβ

ΔLβ = AA1 = AC + CA1 = AC + BD =

= Δa.cosβ + Δb.senβ

εβ = ΔLβ / Lβ =

= (Δa.cosβ + Δb.senβ)/ Lβ =

= Δa.cosβ/ Lβ + Δb.senβ/ Lβ

a = Lβ. cosβ Lβ = a/ cosβ b = Lβ. senβ Lβ = b/ senβ

εβ = (Δa/a).cos2β + (Δb/b).sen2β = εI. cos2β + εII. sen2β

Como: cos2β = (1 + cos2β)/2 e sen2β = (1 – cos2β)/2

εβ = εI. (1 + cos2β)/2 + εII. (1 – cos2β)/2 =

= εI/2 + εI. cos2β/2 + εII/2 - εII. cos2β/2

εβ = (εI + εII)/2 + ((εI - εII)/2). cos2β

Compare com a equação I: σβ = ((σI + σII) / 2) + (((σI – σII) /2). cos 2β)

d. Rotação de uma fibra qualquer:

OA1 . δβ = A1A’1

(Lβ + ΔLβ). δβ = A’1D – A1D = A’1D – BC = Δb.cosβ – Δa.senβ

δβ = (Δb.cosβ – Δa.senβ)/( Lβ + ΔLβ) = Δb.cosβ/ Lβ - Δa.senβ/ Lβ =

= (Δb.cosβ)/(b/ senβ) - (Δa.senβ)/( a/ cosβ) =

= εII. senβ. cosβ - εI. senβ. cosβ = - εI. senβ. cosβ + εII. senβ. cosβ

Como sen2β = 2 senβ. cosβ δβ = - εI. sen2β/2 + εII. sen2β/2

δβ = - ((εI – εII) /2). sen 2β τβ = - ((σI – σII) /2). sen 2β

I

II

O

Δb

Δa

b

a

A B

β

δβ

C C’

D

A1

A’1

β

β

0

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Conclusão: existe uma correlação entre as equações das tensões e deformações. σ ε e τ δ

Estado plano de tensões (σ,τ) Estado plano de deformações(ε,δ) σα = ((σx + σy) / 2) + (((σx - σy) /2). cos 2α) + τx . sen 2α

εα = ((εx + εy) / 2) + (((εx - εy) /2). cos 2α) + δx . sen 2α

τα = - ((σx - σy) /2). sen 2α + τx . cos 2α

δα = - ((εx - εy) /2). sen 2α + δx . cos 2α

σI,II = (σx + σy)/2 ± (1/2) . √ (σx – σy)2 + 4(τx)2

εI,II = (εx + εy)/2 ± (1/2) . √ (εx – εy)2 + 4(δx)2

tg 2 αI,II = 2 τx / (σx – σy) tg 2 αI,II = 2 δx / (εx – εy) τmáx, mín = ± (1/2) . √ (σx – σy)2 + 4(τx)2

δmáx, mín = ± (1/2) . √ (εx – εy)2 + 4(δx)2

τmáx, mín = ± (1/2) . (σI – σII) δmáx, mín = ± (1/2) . (εI – εII) σx + σy = σI + σII = constante εx + εy = εI + εII = constante

Para converter de um estado para outro εx = (1/E) (σx – (σy/m)) εI = (1/E) (σI – (σII/m)) εy = (1/E) (σy – (σx/m)) εII = (1/E)(σII – (σI/m)) δα = ((m + 1)/(Em)).τα com m = 1/μ

5. Estado Plano de deformações – método gráfico – círculo de Mohr

Análogo ao círculo das tensões: σ ε e τ δ

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6. Utilização do mesmo círculo para determinação de tensões e deformações

a. Tensão Deformação

K – módulo de desenho para tensão

Por exemplo: escala: 100 kgf/cm2 – 1cm K = 0,01

K’ – módulo de desenho para deformação

Por exemplo: escala: 0,2 x 10-3 – 1 cm K’ = 1 / (0,2 x 10-3)

Ponto O: origem do círculo de tensões

Ponto O’: origem do círculo de deformações

O’ sempre entre O e C

K’ = (K.m.E)/(m + 1)

2 OC / (m + 1)

b. Deformação Tensão

K = K’.(m + 1) / (m.E)

2 O’C / (m - 1)

X X X O O’ C

X X X O O’ C

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7. Resolução de exercícios pelo método gráfico: a. Exercício 1 da apostila:

Escolha de uma escala adequada: 1 cm 50 kgf/cm2

σx – OE (8 cm) ; σy – OF (4 cm) ; τx – EM (6 cm)

σI = 616 kgf/cm2 (OB = 12,36 cm)

σII = -16 kgf/cm2 (OA = 0,32 cm)

τmax = 316 kgf/cm2 (CR = 6,32 cm)

σ’3 = σ’’3 = 300 kgf/cm2 (OC = 6 cm)

E O

F σ

τ (-)

M

C A

B I

II

x

y

αI = 36º

α'3

α'3 = -9º

R

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b. Dados:

σx = 500 kgf/cm2; σy = -200 kgf/cm2; τx = 100 kgf/cm2

μ = 0,25 m = 4; E = 2 x 106 kgf/cm2

Determinar as deformações principais e δmax

Escala: 1 cm = 50 kgf/cm2 k = 0,02 k’ = (0,02x4x2 x 106)/(4+1)=32000

OO’ = (2/(4+1)) OC = (2/5) OC

εI = (O’B)/k’ = 0,275 x 10-3

εII = (O’A)/k’ = -0,175 x 10-3

δmax = (CR)/k’ = 0,225 x 10-3 rad

σ

τ (-)

O F E

M

C O’

δ (-)

B A

R

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c. Dados:

εx = 0,2 x 10-3; εy = -0,4 x 10-3; δx = 0,4 x 10-3 rad;

m = 4; E = 2 x 106 kgf/cm2

Determinar tensões principais e τmax

Escala: 1 cm = 0,05 x 10-3 k’ = 20000 k = (20000x5)/(4x2 x 106) = 0,01250

OO’ = (2/(4 – 1)) O’C = (2/3) O’C

δ (-)

ε O’ E F C A B

R

II

I

M x

αI

O

τ (-)

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σI = (OB)/k = 533,3 kgf/cm2

σII = (OA)/k = -1066,7 kgf/cm2

τmax = (CR)/k = 800 kgf/cm2

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Polo: Ponto da circunferência tal que, se traçarmos por ele uma paralela a um plano, esta reta cortará a circunferência num ponto cujas coordenadas são as tensões no plano.

O ponto P é obtido traçando paralelas a 2 planos ortogonais a partir dos pontos correspondentes no círculo de Mohr.

F O σ

τ

E C

N

M

σx – OF > 0

σy – OE > 0

τy – FN > 0

A B

x

I αI

P

//=//

||

||

αI

I

Y II

// ao plano x

// ao plano y

// ao plano I

// ao plano II

plano x

plano y

plano I plano II

II

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Cap II: Flexão Simples Oblíqua

1. Flexão Simples Reta:

σ= (M.y)/ JLN

Sinais das tensões:

M+ M-

OU

Simples: ocorrem Q e M na seção reta

Reta: ES coincide com um dos dois eixos centrais principais de inércia da seção. A LN será o outro.

Na LN as tensões normais são NULAS

X = LN Y = ES

Z

M

M C T

C T

M -

-

+

+

ES

LN - -

+ +

-

+

σC

σT

DTN

M CG

CG

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2. Flexão Simples Oblíqua: Oblíqua: ES não coincide com nenhum dos dois eixos centrais principais de inércia

α – ângulo entre o ES e o eixo X

MX = M.senα

MY = M.cosα

Sinais das tensões:

Tensões normais: σ = (MX.y)/ JX + (MY.x)/ JY

Posição da LN: Como na LN a tensão normal é ZERO σ = 0

(MX.y)/ JX + (MY.x)/ JY = 0 (M.senα.y)/ JX + (M.cosα.x)/ JY = 0

y = - (JX / JY).cotgα.x equação da LN y = - tg β. x

Então: - (JX / JY).cotgα = - tg β tgα . tgβ = JX / JY

Equação do ES: y = tg α. x

Z

MX

MX

Y X

MY

MY

Y

X MX

MY

CG

CG

M ES

α α

X X

Y Y

MX

MY

- -

+ + -

-

+

+ LN

-

+

σC

σT

DTN

β

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Cap III: Flexão Composta (Reta e Oblíqua)

1. Flexão Composta com tração: Reta: ES coincide com um dos dois eixos principais de inércia da seção Oblíqua: ES não coincide com um dos dois eixos principais de inércia da seção

Visão tri-dimensional da seção reta:

C.A. = Centro de Ataque

Z MX

Y X

MY

CG

N

N

Y

X CG

N

N

yC

xC C.A.

MX

MY

ES

α LN

y0

x0

β

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Seção reta vista de frente:

tg α = yC/xC

Coordenadas do CA: xC e yC

Mx = N.yC

My = N.xC

Tensões num ponto qualquer da seção: σ = Mx.y/Jx + My.x/Jy + N/S

Na LN: σ = 0 Mx.y/Jx + My.x/Jy + N/S = 0

N.yC.y/Jx + N.xC.x/ Jy + N/S = 0 (dividindo por N/S)

yC.y.S/ Jx + xC.x.S/ Jy + 1 = 0

Como o raio de giração i2 = J/S ix2 = Jx/S e iy2 = Jy/S

yC.y/ ix2 + xC.x/ iy2 + 1 = 0 equação da LN

Para x = 0 y = y0 yC.y0 = - ix2

Qual o significado do sinal negativo?

Para y = 0 x = x0 xC.x0 = - iy2

Y

X

X N

xC

yC

X CG N

MX

MY M

ES

α

β

LN

y0 x0

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tg β = y0/x0 = (- ix2/yC) / (- iy2/xC) = (Jx/(S.yC)) / (Jy/(S.xC)) = (Jx/Jy).(xC/yC)=

= (Jx/Jy)/tg α tg α . tg β = Jx/Jy

2. Núcleo Central:

Região central de uma seção reta, na qual qualquer CA nela colocada produzirá somente tensões de um sinal (tração ou compressão) na seção.

x

y

A

yCA

yCB

y0A

y0B

B

D C xCC xCD

x0C x0D

x

y

A

yCA

y0A

B

y0B

yCB

D C xCC xCD

x0C x0D

E

x0E xCE

F

xCF x0F

yCE=yCF

y0E=y0F

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3. Flexão Composta Sem Tração:

AR = Área Reagente

N = ∫ σ dS

N. yC’ = ∫ σ dS. r'

σ/r’ = σ/ e σ = σ.r’/ e

N = ∫ (σ.r’/ e).dS N = (σ / e) ∫ r’ dS N = (σ / e).MLN’

N.yC’ = ∫ (σ.r’/ e).dS. r' N.yC’ = (σ / e). ∫ r’2 dS N.yC’ = (σ / e).JLN’

(σ / e).MLN’ . yC’ = (σ / e).JLN’ yC’ = JLN’ / MLN’

ES

X CA

LN’

Área inerte

e dS

yC' r'

_

σ

σ

AR

N

AR

AR AR

AR AR

25

Seção Retangular:

JLN’ = (b.e3) / 3

yC' = 2e/3

MLN’ = (b.e). (e/2) = (b.e2)/2

yC' + m = e m = e/3 => e = 3m

N = (σ / e).MLN’ σ = (N.e) /(b.e2/2) σ = (2N)/(be)

x

y

LN’

h

b

_

σ

e

X CA

yC'

m

26

Cap IV: Flambagem

1. Introdução:

Peça real – flamba devido à carga atuante (excentricidade de carga, falta de homogeneidade, instabilidade de forma, falta de retilinidade)

Peça ideal – rígida e retilínea, sem excentricidade de carga, constituída de material homogêneo.

A flambagem se dá em torno do eixo de Jmínimo, se a carga for aplicada no CG da seção reta.

Equação de Euler:

M1 = P.e

= =

Mtotal na seção S = - P.y – M1 = -P.y – P.e = -P (y + e)

Equação da elástica: E.J.y” = M y” = M / (E.J)

d2y/dx2 = -P(y + e) / (E.J) = -P.y / (E.J) - P.e / (E.J)

d2y/dx2 + P.y / (E.J) = - P.e / (E.J)

Sendo k2 = P / (E.J) d2y/dx2 + k2.y = - k2.e

Solução da equação diferencial: y = C1.senkx + C2.coskx - e

\\=\\=\\

P

P

e

P M1

P M1

y

x

S

27

2. Peças com cargas centradas (e = 0)

Solução: y = C1.senkx + C2.coskx

Peça bi-rotulada

Condições iniciais:

x = 0 y = y0 dy/dx = 0

dy/dx = k.C1. cos kx - k.C2. sen kx

0 = k.C1. cos 0 - k.C2. sen 0 = K.C1 – k.C2. 0

k.C1 = 0

Como k ≠ 0 C1 = 0

A solução fica: y = C2.coskx

Se x = 0 y = y0 y0 = C2. cos 0 C2 = y0

Solução: y = y0. cos kx

Se x = L/2 y = 0 0 = y0. cos (kL/2)

Como y0 ≠ 0 cos (kL/2) = 0 kL/2 = π/2 kL = π k = π/L

K2 = π2/L2

Como k2 = P / (E.J) P / (E.J) = π2/L2 Pfl = π2.E.J / L2

Como o cálculo foi feito para a peça bi-rotulada, generalizando teremos:

Pfl = π2.E.J / Lfl2 , onde Lfl = γ.L

comprimento de flambagem coeficiente de extremidade

\\=\\=\\

L/2

L/2

y0

x

y

P

28

Coeficientes de extremidade

γ = 1 γ = 0,5 γ = 0,7 γ = 2

bi-rotulada bi-engastada rotulada e engastada mono-engastada

Concluindo:

Pfl = π2.E.J / Lfl2 com Lfl = γ.L

σfl = Pfl/S (tensão de flambagem)

i2 = J/S (raio de giração em torno do Jmínimo)

λ = Lfl / i (coeficiente de esbeltez)

σfl = Pfl/S = π2.E.J / S.Lfl2 = π2.E. i2 / Lfl

2 = π2.E/ λ2 σfl = π2.E/ λ2

Representando a equação num gráfico:

σE – limite de elasticidade

λE – esbeltez limite

\\=\\=\\

P

L

\\=\\=\\

P

\\=\\=\\

\\=\\=\\ \\=\\=\\

P P

0,5L

0,7L

σfl

λ

λE

σE

Região elástica

(equação de Euler)

Região não

elástica

(equações

empíricas)

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Verificou-se que a equação só chegava a valores que correspondiam aos valores obtidos na prática a partir de um determinado λ (λE, que recebeu o nome de esbeltez limite) (região elástica). O σ corresponte a este λE foi o limite de elasticidade do material (σE). Como σfl = π2.E/ λ2

σE = π2.E/ λE2 λE = π √ E/σE

Então:

Se λ ≥ λE Região elástica

Valem as equações de Euler:

Pfl = π2.E.J / Lfl2 ou σfl = π2.E/ λ2

Se λ < λE Região não elástica

Valem fórmulas empíricas para a obtenção de tensões

Alguns valores de λE :

Aço doce: λE = 100

Ferro fundido: λE = 80

Madeira: λE = 60 a 100

Concreto: λE = 85

30

Algumas fórmulas empíricas:

a. Gordon-Rankine: σfl

* = σ0 / (1 + β.λ2) onde: σ0 = tensão limite de resistência à compressão

β = coeficiente do material, obtido em laboratório

β ϵ [0,8 a 1,5] x 10-4 (aço doce)

β ϵ [5,0 a 6,0] x 10-4 (ferro fundido)

β ϵ [1,0 a 1,5] x 10-4 (madeiras rijas)

Coeficiente de segurança usual: 2 a 3,5

b. Tetmayer: σfl

* = σ0 – a.λ + b.λ2 onde: a, b = coeficientes do material

Coeficiente de segurança usual:

Aço: 2 a 3 Madeira e ferro fundido: 3 a 5

c. Johnson:

σfl* = σS – a.λ2 onde:

σS = tensão de escoamento do material na compressão

31

3. Peças com cargas excêntricas (e > 0)

Equação diferencial: d2y/dx2 + k2.y = - k2.e

Solução: y = C1.senkx + C2.coskx - e

Para x = 0 y = 0

0 = C1.sen 0 + C2.cos 0 – e C2 = e

Solução:

y = C1.senkx + e.coskx - e

Para x = L y = 0:

0 = C1.senkL + e.coskL - e

C1.senkL = e (1 – coskL) C1 = e (1 – coskL) / senkL Como senkL = 2.sen (kl/2). cos (kl/2) e 1 – cos kl = 2 sen2(kl/2) C1 = e.( 2 sen2(kl/2)) / (2.sen (kl/2). cos (kl/2)) C1 = e. tg (kl/2) y = e. tg (kl/2).senkx + e.coskx – e y = e [tg (kl/2).senkx + coskx – 1] O valor da deflexão máxima (ymáx) é calculado para x = L/2: ymax = e [tg (kl/2).sen(kL/2) + cos(kL/2) – 1] = = e [(sen (kl/2)/cos(kl/2).sen(kL/2) + cos(kL/2) – 1] = = e [((sen2 (kl/2)+cos2(kl/2))/cos(kL/2)) – 1] = = e [(1/cos(kL/2)) – 1] = e [ sec (kL/2) – 1] ymax = e [ sec (kL/2) – 1]

\\=\\=\\

L/2

L/2

ymax

x y

P

P.e

32

Como k2 = P / (EJ) k = √ P/(EJ) ymax = e [ sec (√ P/(EJ) . L/2) - 1)] ymax = e [ sec (√ Pfl/(EJ) . Lfl/2) - 1)] em radianos

A tensão máxima σmax ocorrerá na seção da coluna onde o momento fletor é máximo (onde y = ymax)

Mmax = P.ymax + P.e = P (ymax + e)

σmax = Mmax . c / J + P/S = (compressão)

= (P (ymax + e)) . c / J + P/S =

= (P (ymax + e)) . c.S / (J.S) + P/S =

= (P (ymax + e)) . c / (i2.S) + P/S =

= P/S [1 + ((ymax + e).c / i2)]

σmax = P/S [ 1 + ]

\\=\\=\\

L/2

L/2

ymax

P

P.e

Seção reta e

c

X

Mmax

e. sec (√ Pfl/(EJ) . Lfl/2).c i2

33

Pfl / S = (fórmula da secante)

Para valores muito pequenos de λ (λ = Lfl / i) para valores muito pequenos de Lfl sec 0 ≈ 1

Pfl / S =

1 + e.c.sec (√ Pfl/(EJ) . Lfl/2)/i2

σmax

σmax

1 + e.c/i2

34

Cap V: Fadiga

1. Introdução:

Recordemos o diagrama σ x ε, visto na Mecânica dos Sólidos I.

a. Diagrama característico de material dúctil, com região de escoamento (aço estrutural)

Em 4: limite de escoamento. b. Diagrama característico de material dúctil, sem região de

escoamento (alumínio)

Em 4: limite de escoamento

σ

ε X

X X

X

X

X

1

0

2

3

4

5

Retas paralelas

Tensão atingida

εP εE

σ

0

Retas paralelas

1 X

X 4

0,2% convencional

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c. Diagrama característico de material frágil (ferro fundido, vidro, pedra)

Observaçao:

Material dúctil: apresenta grandes deformações antes do rompimento (aço ou alumínio)

Material frágil: deforma-se relativamente pouco antes do rompimento (ferro fundido e concreto)

2. Fadiga: Na Mecânica dos Sólidos I vimos que, se a tensao aplicada não ultrapassar o limite de elasticidade do material, este volta às condições iniciais quando o carregamento é retirado. Somos levados a concluir que um carregamento pode ser repetido inúmeras vezes, desde que as tensões permaneçam dentro do regime elástico. Tal conclusão é correta para um número de repetições da ordem de dezenas ou centenas, mas para um número da ordem de milhares ou milhões, deixa de ser válida. Neste caso, a ruptura ocorre num valor de tensão abaixo da tensão de ruptura obtida com o carregamento estático. Tal fenômeno é a fadiga. A falha por fadiga começa com pequena fissura, tão pequena que pode ser imperceptível a olho nu. A fissura ocorre num ponto de descontinuidade do material (mudança de seção reta, rasgo de chaveta ou um furo).

ε

σ

0

36

Iniciada a fissura, o efeito de concentração de tensões torna-se maior e a fissura progride mais depressa. A zona da fratura assemelha-se muito à fratura de um material frágil (como o ferro fundido), que tenha falhado à tração, mesmao para um material dúctil. As tensões que originaram a fadiga podem ser de tração, compressão, cisalhamento, fleão, torção, ou combinações destas tensões. Limite de fadiga: É obtido colocando-se um corpo de prova individualmente submetido a uma tensão específica cíclica até sua falha. Repetindo-se o processo para n tensões diferentes, podemos traçar o gráfico denominado de diagrama σ-N (diagrama tensão – número de ciclos). Veja o exemplo obtido para 2 materiais dúcteis (aço e alumínio): Ksi – kilolibra por polegada ao quadrado

N (106)

σ (ksi)

0

10 -

20 -

30 -

40 -

50 -

0,1 1 |

10 |

100 |

500 |

1.000 |

aço

alumínio

37

Cap VI: Plasticidade

1. Flexão no regime plástico:

A equação para determinação das tensões normais devidas à flexão é válida se o comportamento do material for elástico linear (σ = (My)/JLN).

Se o momento fletor aplicado causar o escoamento do material, uma análise plástica deverá ser feita para a determinação da distribuição das tensões.

Tanto no comportamento elástico quanto no plástico, devemos lembrar que, para a flexão de elementos retilíneos, 3 condições devem ser satisfeitas (vide Mecânica dos Sólidos I).

Distribuição linear das deformações específicas normais: varia sempre linearmente de zero na L.N. da seção transversal até o valor máximo na fibra mais afastada desta L.N.

Força resultante nula: a força resultante causada pela distribuição das tensões normais deve ser nula. σ ds = 0 (equação 1) Com esta operação podemos determinar a localização da L.N.

Momento fletor resultante: M = σ ds. y (equação 2)

Façamos o estudo para uma seção retangular:

⌠ ⌡S

⌡S

⌠

h

b

M

38

Momento fletor elástico máximo:

Suponhamos que o momento fletor aplicado na seção (MY) coloque o material na iminência de apresentar as deformações específicas plásticas nas superfícies superior e inferior da viga.

Assim, os pontos mais afastados da L.N. estarão com as tensões com os valores da tensão de escoamento (σY) σY = [MY. (h/2)] / [(bh3)/12]

σY = (6MY)/(bh2) MY = (σY.bh2)/6 (equação 3)

MY momento fletor na seção reta que gera tensões normais, nos pontos mais afastados da L.N., iguais às tensões de escoamento

Visão plana do DTN

Momento plástico:

Seja o momento fletor na seção igual a M > MY. O material nas superfícies superior e inferior começará a escoar, de fora para dentro da seção.

Visão tri-dimensional do DTN

-

+

σY

σY

-

+

yY

yY

h/2

h/2

σY

σY

b

C2

C1

T1

T2

39

C1 força de compressão resultado das tensões ocorrentes no trecho de regime elástico comprimido

C2 força de compressão resultado das tensões ocorrentes no trecho de regime plástico comprimido

T1 força de tração resultado das tensões ocorrentes no trecho de regime elástico tracionado

T2 força de tração resultado das tensões ocorrentes no trecho de regime plástico tracionado

Da equação 1:

C1 = T1 volume da região do diagrama no trecho de regime elástico comprimido/tracionado

C2 = T2 volume da região do diagrama no trecho de regime plástico comprimido/tracionado

C1 = T1 = (σY.yY.b) / 2

C2 = T2 = σY.(h/2 - yY). b

Da equação 2:

M = T1 . (2/3 . yY) + C1 . (2/3 . yY) + T2 . [yY + ½.(h/2 – yY)]

+ C2 . [yY + ½.(h/2 – yY)]

M = 2.( ½. σY.yY.b)( 2/3 . yY) + 2.[ σY.(h/2 - yY). b][ ½.(h/2 + yY)]

M = ¼ . bh2. σY . [ 1 – 4/3 . (yY2/h2)]

M = 3/2 . MY . [ 1 – 4/3 . (yY2/h2)]

Nesta situação geral, temos 2 regiões de escoamento plástico e um núcleo elástico.

40

Para termos a plastificação total, yY = 0 MP = 3/2. MY

MP = ¼ bh2.σY momento fletor plástico

Visão plana do DTN

-

+

h/2

h/2

σY

σY