Mecânica dos Sólidos III

2o Semestre de 2003

Eduardo Lenz Cardoso

Jun Sérgio Ono Fonsecacontato: edlenz@koiter.mecanica.ufrgs.br

Sumário

1 Introdução 41.1 Planejamento da disciplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 41.2 Referências principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 51.3 Pré requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 61.4 Requisitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 61.5 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Materiais Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 7

1.6.1 Áreas de Estudo no Tópico Materiais Compostos . . . . . . . .. . . . . . 71.6.2 Classificação e Características dos Materiais Compostos. . . . . . . . . . 8

2 Deformações 102.1 Descrição do movimento. Coordenadas materiais e espaciais . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Exemplos de movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112.2 Medidas de deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 12

2.2.1 Deformações infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 152.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18

3 Tensões 193.1 Tensor Tensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19

3.1.1 Exemplos de campos de tensão: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 223.2 Rotação do Tensor Tensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 24

3.2.1 Exemplo de rotação do tensor tensão . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 253.3 Equações do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 26

3.3.1 Princípio da conservação da quantidade de movimento .. . . . . . . . . . 263.3.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Tensões principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 273.5 Tensões de Piola-Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29

3.5.1 Equações de equilíbrio na formulação lagrangiana . . .. . . . . . . . . . 313.5.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Relações Constitutivas 334.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 334.2 Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 34

4.2.1 Elasticidade Linear Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 354.3 Rotação de Tensores de Quarta Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 364.4 Simetrias constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 37

4.4.1 Isotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4.1.1 Simetria Monoclínica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4.1.2 Simetria Ortotrópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4.2 Dilatação térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44

2

4.4.3 Modelos constitutivos para borrachas . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 444.5 Elastoplasticidade e outras relações constitutivas . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5.1 Elastoplasticidade isotrópica . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 464.5.2 Viscoelasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 46

4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47

5 Propriedades Elásticas de Materiais Compostos 495.1 Teoria de misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 49

5.1.1 Valores Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .515.1.2 Métodos auto-consistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 525.1.3 Homogeinização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Técnicas empíricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 525.2.1 Fórmulas empíricas para materiais reforçados por fibras - Halpin-Tsai . . . 52

5.2.1.1 Análise limte dos valores das equações de Halpin-Tsai. . . . . . 53

6 Laminados 546.1 Estado Plano de Tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 54

6.1.1 Rotação do tensor Constitutivo Bidimensional . . . . . . . . .. . . . . . . 576.1.2 Propriedades de alguns materiais compostos . . . . . . . .. . . . . . . . . 57

6.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 586.3 Teoria de Placas Finas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 58

6.3.1 Modelo de Kirchhoff-Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 586.3.2 Extensão para carregamentos transversais . . . . . . . . .. . . . . . . . . 64

6.4 Placas laminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 666.5 Inversão da Relação Esforços-Deformações . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 68

7 Falhas em Materiais Compostos 697.1 Critérios de falha para materiais isotrópicos . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 697.2 Ensaios de materiais compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 717.3 Critérios Quadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 727.4 Critério de Hashin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 737.5 Critério Quadrático no Espaço das Deformações . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 757.6 Rotação dos Parâmetros F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 767.7 Resistência de um laminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 77

8 Exemplo - Análise de uma placa fina laminada 78

Capítulo 1

Introdução

Este texto está sendo preparado como um auxílio ao ensino da terceira disciplina de Mecânicados Sólidos do curso de Engenharia Mecânica da UniversidadeFederal do Rio Grande do Sul -UFRGS. A Mecânica dos Sólidos III devota seu conteúdo a uma breve introdução ao estudo docomportamento mecânico de materiais não estudados na Mecânica dos Sólidos I e II, as quais serestringiram aos materiais elásticos isotrópicos sob deformações infinitesimais. O objetivo da dis-ciplina é fornecer ferramentas ao engenheiro para que problemas com materiais compostos possamser corretamente formulados, embora os métodos de solução em si pertençam ao escopo de outrasdisciplinas (Análise Estrutural Avançada e Mecânica dos Sólidos para a pós-graduação). Este textosegue o esforço dos professores da área de Mecânica Aplicadaem solidificar o conhecimento daárea de Mecânica dos Sólidos a partir da Mecânica dos Meios Contínuos.

A razão principal da introdução desta disciplina optativa é, evidentemente, o mercado. Aspressões da maior competitividade do mercado está forçandoas indústrias a reduzir constatementeo custo das estruturas, utilizando cada vez mais materiais compostos e poliméricos ao invés dosmetais tradicionamente empregados. Obviamente, isto põe uma pressão tremenda sobre os ombrosdo projetista, pois o estudo destes materiais não consta da formação habitual de um engenheiro.A proliferação de programas de cálculo de estruturas por métodos numéricos está permite análisesprecisas destes materiais, desde que o engenheiro conheça bem a formulação dos modelos físicos.Daí a insistência desta disciplina nos conceitos básicos para se compreender bem o fenômenofísico e sua modelagem.

1.1 Planejamento da disciplina

A disciplina Mecânica dos Sólidos III é uma disciplina de 3 créditos semanais. No entanto, nomínimo 6 horas semanais de estudo devem ser dedicadas ao conteúdo, além das 3 horas em sala deaula. O sistema de avaliação será dividido em provas e trabalhos, da seguinte maneira:A disciplinaserá dividida em duas áreas principais, com uma prova para cada area e um exame final englobandotoda a matéria. Ao final de cada capítulo uma lista de exercícios deverá ser entregue pelo aluno, deforma individual. Cada lista valerá 10 pontos, sendo que ao final de cada área a média das notasdos trabalhos irá contribuir com 30% da nota da área a qual os trabalhos se referem. Os trabalhosdeverão ser entregues dentro do prazo estipulado pelo professor. Cada semana de atraso implicano desconto de 30% da nota, de forma acumulativa.

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1.2 Referências principais

O leitor deste material deve estar familiarizado com a Mecânica dos Sólidos básica. Há boaspublicações de nível introdutório de Mecânica dos Sólidos,até mesmo em nossa língua, tais como:

• Popov, E.:Introdução à Mecânica dos Sólidos, Blücher, 1978.

• Timoshenko, S.P. e J.E. Gere:Mecânica dos Sólidos, LTC, 1983.

• Beer, F.P. e E.R. Johnston:Resistência dos Materiais, McGraw-Hill, 1982.

• Masuero, J.R. e G.J. Creus:Introdução à Mecânica Estrutural, UFRGS, 1998.

Já para tópicos mais avançados da Mecânica dos Sólidos, não há muitos livros em Português; oleitor deve se referir a literatura em língua estrangeira, tais como

• Boresi, A. P., R. J. Schmidt e O. M. Sidebottom:Advanced Mechanics of the Materials,Wiley, 1993.

• Boresi, A. P. e K. Chong:Elasticity in Engineering Mechanics, Elsevier, 1987.

• Atkin R. J. e N. Fox:An Introduction to the Theory of Elasticity, Longman, 1980.

• Dym, C. L. e I. H. Shames:Energy and Finite Element Methods in Structural Mechanics,McGraw-Hill, 1996.

• Spencer, A. J. R.:Continuum Mechanics, Longman, 1980.

• Malvern, L.: Introduction to the Mechanics of a Continuum Medium, Prentice-Hall, 1969.

• Fung, Y. C.:A First Course in Continuum Mechanics, Prentice-Hall, 1977

• Taborda Garcia, L. F. e S. F. Villaça:Introdução à Elasticidade Não-Linear, COPPE/UFRJ,1995.

Para o tópico específico da mecânica de materiais compostos epoliméricos, a literatura é escassamesmo em inglês; este material se baseia nos seguintes livros:

• Jones, R.M.:Mechanics of Composite Materials, McGraw-Hill, 1975.

• Agarwal B. D. e L. J. Broutman,Analysis and Performance of Fiber Composites, Wiley,1990.

• Christensen R.M.,Mechanics of Composite Materials, Wiley, 1979.

• Sanchez-Palencia, E. e Sanchez-Hubert, J.:Introduction aux Méthodes Asymptotiques et al’Homogénéisation, Masson, Paris, 1992.

• Reddy, J.N.,Mechanics of Laminated Composite Plates - Theory and Analysis, CRC, 1997.

• Lambie, J.,Composite Contruction for Homebuilt Aircraft, 1995.

• Calcote, Lee., R.,The Analysis of Laminated Composite Structures, Van Nostrand ReinholdCompany, 1969

1.3 Pré requisitos

Este curso requer conhecimento prévio dos seguintes tópicos:

• Álgebra Linear básica: vetores, matrizes, espaços vetoriais, autovalores e autovetores.

• Geometria Analítica básica: sistemas de coordenadas, transformação de coordenadas, veto-res, cossenos diretores, planos no espaço.

• Cálculo: derivadas ordinárias e parciais, equações diferenciais ordinárias e parciais, trans-formação de coordenadas

• Mecânica: cinemática e dinâmica de sistemas de partículas:leis de Newton; trabalho eenergia.

• Mecânica dos Sólidos básica: tração, compressão, torção, flexão, barras, vigas, flambagem,tensões, deformações.

O apêndice contém uma breve revisão de alguns assuntos.

1.4 Requisitos básicos

Nós consideraremos os materiais como sendo continuamente distribuídos sobre uma determinadaregião do espaço. Em qualquer instante do tempo, cada ponto desta região está sendo ocupadapor uma partícula do material, e os diferentes materiais sãoconsiderados simplesmente como umamudança das propriedades destas partículas. Estas hipóteses qualificam a mecânica dos sólidoscomo parte da mecânica dos meios contínuos. Obviamente, problemas microscópicos envolvendoas interfaces entre diferentes materiais ou discontinuidades na microestrutura de cada material nãopodem ser abordados diretamente por esta formulação. Por outro lado, é inviável se estudar ocomportamento macroscópico de uma estrutura se formos considerar o comportamento de cadacristal de um metal.

Há muitas justificativas para a hipótese do meio contínuo. Muitos pesquisadores chegaramàs equações da mecânica dos meios contínuos a partir de hipóteses sobre o arranjo cristalino dosátomos, enquanto outros a encontram através da Mecânica Estatística, ou mesmo de elaboradasexpansões assintóticas das equações das forças interatômicas. Mas a maior justificativa é o fato dedar bons resultados, e estar sendo utilizada com sucesso pormuito tempo.

1.5 Notação

Este texto utiliza uma notação mista, entre a notação clássica dos eixosx, y e z e a notação pu-ramente indicial de eixos numeradosx1, x2 e x3. Não se utiliza a soma implícita e os somatóriosserão todos especificados. Haverá somatórios sobre os eixoscoordenados, que deve ser tomadocomo variando sobrex, y ez.

Este texto utiliza apenas as coordenadas cartesianas. Se por acaso se fizer necessário outrosistema de cordenadas, haverá uma menção explícita no texto.

Tentar-se-á neste texto manter uma notação consistente de escalares preferencialmente em le-tras gregas minúsculas normais, vetores em letras latinas minúsculas em negrito, matrizes emlatinas ou gregas maiúsculas em negrito. Mas a mente é fraca,e pode haver excessões...

Um símbolo importante da notação indicial aqui utilizado é odelta de Kronecker

δi j =

0 se i 6= j1se i= j

1.6 Materiais Compostos

Materiais compostos consistem em dois ou mais materiais quesão combinados para formar ummaterial propriedades desejáveis que seriam impossíveis de se conseguir em um único material.Restringe-se adicionalmente esta definição requerendo-se que os materiais estejam combinadosem uma escala macroscópica, para excluir as misturas microscópicas, normalmente estudadas pelaEngenharia de Materiais. Esta distinção é no entanto artificial, uma vez que muitos dos métodosutilizados independem da escala da mistura.

Entre as propriedades que se buscam melhorar com a mistura demateriais temos:

• resistência mecânica,

• rigidez,

• resistência à corrosão,

• resistência ao desgaste,

• estética,

• resistência à fadiga,

• comportamento em diversas temperaturas,

• condutividade térmica e

• isolamento acústico.

Obviamente, nem todas as propriedades acima podem ser melhoradas ao mesmo tempo, o quenormalmente não é desejável ou necessário.

Os materiais compostos têm uma longa história de uso, que se perde no tempo. Já na antigaBabilônia, usava-se palha para reforçar tijolos e construções de argila, e no Egito dos faraós já seconhecia as boas propriedades da madeira compensada, como aresistência mecânica, resistênciaà dilatação térmica e ao inchamento com a umidade. Na idade média, na Europa e na Ásia secontruíam armaduras com camadas laminadas, e os mongois inventaram os arcos de compostos.Mais recentemente, os compostos de resina reforçada por fibras se tornaram indispensáveis no setoraeroespacial, onde a economia de peso é importante, graças asua grande relação entre rigidez/pesoe resistência/peso.

1.6.1 Áreas de Estudo no Tópico Materiais Compostos

O estudo de materiais compostos se divide em diferentes tópicos, tais como processos de fabricaçãoestudo das equações da elasticidade anisotrópica, teoriasde falha para materiais anisotrópicos,teorias estruturais e modelos analíticos e numéricos para asolução destas equações. Obviamente,um estudo detalhado de todos estes tópicos é uma tarefa que excede o tempo desta disciplina (ouaté mesmo o de uma vida). Por este motivo, os tópicos realmente indispensáveis para o estudo demateriais compostos serão abordados. Do conhecimento destes conceitos básicos, o aluno poderá,na sua vida profissional, ter capacidade de estudar e aplicarconceitos mais avançados no tópico

materiais compostos.

Estudodemateriais compostos

FabricacaoTeoriasde f alha∗Macromecanica∗Micromecanica∗

Modelosestruturais∗Metodosdesolucao

......

O estudo da elasticidade anisotrópica, uma extensão dos conceitos abordados na disciplina deMecânica dos Sólidos I, fornece ao aluno o ferramental básico para a compreensão dos tópicosmais avançados. Por este motivo, o primeira parte da disciplina será devotada a uma apresenta-ção geral dos conceitos da mecânica do contínuo de uma forma geral, de forma a permitir a suaaplicação para materiais anisotrópicos.

1.6.2 Classificação e Características dos Materiais Compostos

Há várias maneiras de se classificar os materiais compostos.Segue-se aqui a classificação deA.G.H. Dietz conforme a geometria da mistura. Há três grandes grupos de materiais compostos

1. materiais fibrosos, que consistem em fibras dentro de uma matriz,

2. materiais laminados, que consistem em camadas de diferentes materiais e

3. materiais particulados, que consistem em partículas em suspensão em uma matriz.

Materiais FibrososOs materiais fibrosos se beneficiam das propriedades excelentes das fibras longas e extraordi-

nárias das fibras curtas. As fibras, normalmente fabricadas com diamêtros próximos do tamanhodo grão cristalino, se beneficiam do alinhamento da estrutura cristalina com a direção da fibra eprincipalmente da redução das discordâncias dos retículo cristalino. Por exemplo, o vidro sólidotem resistência a tração na ordem de 50MPa, enquanto as fibras de vidro resistem a mais de 5GPa.As fibras curtas conseguem resistir muito mais que as fibras longas, devido a concentração dedefeitos cristalinos ser menor. Por exemplo, fibras curtas de ferro puro monocristalino chegam aresistir a 13GPa, enquanto os melhores aços liga não passam de 70MPa.

Estas propriedades magníficas não servem para nada se estas fibras não forem conectadas comalgum material. Este material normalmente é escolhido comoalgo bastante leve e resistente, e daía popularidade das resinas. Desta maneira, pode-se criar materiais compostos leves e resistentes.Um exemplo típico são as resinas epóxi, cuja densidade é cerca de 1100kg/m3, e com resistênciaa tração de cerca de 29MPa e módulo de elasticidade de 3.9GPa.Outros compostos usam metaisleves como matriz, tal como o alumínio.

Materiais LaminadosOs materiais compostos laminados consiste em camadas de diferentes materiais combinadas

para obter as melhores propriedades possíveis. Há vários tipos comuns de compostos laminados,tais como

• Bimetais: lâminas bimetálicas são extensivamente usadas para aproveitar a diferença dedilatação térmica para gerar deformação. Exemplos típicossão lâminas de cobre e aço paratermostatos.

• Metais plaqueados (“clad”): revestindo-se um material comoutro, pode-se combinar as me-lhores características de ambos. Por exemplo, os alumíniosmais resistentes mecanicamentesão susceptíveis a corrosão; desta forma, eles são revestidos com alumínio comum. Outroexemplo comum é os fios transmissores de energia elétrica de alumínio recoberto com co-bre, para baratear o custo. Ou o recobrimento estético com ouro ou prata de metais menosnobres...

• Vidro laminado: pode-se aumentar a resistência de parabrisas de automóveis através de umsanduíche de placas de vidros com um polímero tenaz; desta forma o vidro não se fratura empedaços pequenos.

• Materiais saturados com plásticos: muitos materiais melhoram suas propriedades de resis-tência ao meio ambiente quando embebidos em plásticos. A Fórmica é um composto la-minado de papel Kraft embebida em um plástico superposta comuma camada decorativaque por sua vez e recoberta por uma camada de celulosa embebida em plástico transparente.Tecidos de vidro embebidos em plásticos são usados para resistir ao calor e tecidos de nylonou kevlar saturados de plástico resistem ao impacto.

• Materiais laminados reforçados por fibras: combinando-se as características dos materiais fi-brosos com os laminados, pode-se criar uma série de lâminas,cada uma com uma orientaçãode fibras. Este materiais são o objeto de estudo desta disciplina.

Materiais ParticuladosHá muitos exemplos de materiais particulados utilizados amplamente na indústria, sendo o

mais notável o concreto, uma mistura de partículas de areia erochas conectadas com cimento eágua. O concreto armado pode ser considerado um composto particulado e fibroso.

Uma classe especial de materiais particulados são os materiais reforçados por flocos (ou pla-quetas). Flocos são componentes bidimensionais com a espessura na ordem de grandeza do grãocristalino, e tem propriedades melhores que os materiais sólidos, embora piores que as fibras. Àsvezes é possível conseguir um composto de flocos mais rígido que um composto fibroso, devido aofato de se conseguir maior proporção de flocos do que de fibras na matriz; no entanto, a resistênciafinal normalmente é pior que a de um composto fibroso. Normalmente se usam flocos de micaou vidro em uma matriz de plástico, para aumentar a resistência mecânica, impermeabilidade eisolamento térmico e elétrico.

Metais tambem são usados em materiais particulados. Flocosde alumínio em uma resinatransparente cria a tinta de alumínio, e pó metálico em um plástico pode torná-lo condutor deeletricidade. Certas cerâmicas podem ficar mais dúteis com partículas metálicas. O metal podeser a matriz também, como no caso de pastilhas de corte, cuja base é um metal relativamentedútil reforçado com partículas de cerâmica ou metal mais resistente à abrasão e aos esforços dausinagem.

Capítulo 2

Deformações

Nesta seção discutiremos como a posição de cada partícula pode ser especificada em cada momentoe definiremos medidas da mudança de forma e tamanho de elementos infinitesimais deste corpo.Estas medidas são chamadas de deformação, sendo essenciaispara a dedução das equações daelasticidade.

2.1 Descrição do movimento. Coordenadas materiais e espaci-ais

Discutiremos a mecânica de um corpo constituído de vários materiais diferentes.Corpoé ideali-zado como um conjunto departículasde tal modo que cada partícula do conjunto ocupa um pontode uma região fechadaC f em um espaço euclidiano tridimensional e, de forma recíproca, cadaponto desta região seja ocupado por somente uma partícula. DefinimosC f como a configuraçãofinal do corpo.

Para descrever o movimento do corpo, ou seja, para especificar a posição de cada partícula,necessita-se de uma maneira conveniente de identificá-las.Seleciona-se uma determinada confi-guraçãoC 0 como a configuração de referência. O conjunto de coordenadas

(

x0,y0,z0)

, o vetorposiçãox0 de um ponto deC 0 determina unicamente a partícula de um corpo e pode ser usadopara identificá-la em qualquer instante. Referir-se-á a uma partículax como sendo a partícula queocupava a posiçãox0 na configuraçãoC 0. O movimento do corpo pode ser descrito então comosendo a posição finalx da partícula genérica, através de uma equação

x = χ(

x0) (2.1)

ou seja, conhecendo-se a posição incial de uma partícula e a lei de transformação, podemos deter-minar a sua posição em um determinado instante (configuração). De forma inversa, conhecendo-sea posição do corpo em uma determinada configuração e a lei de transformação podemos determinara configuração inicial

x0 = χ−1(x) . (2.2)

Existem diversas maneiras de se descrever o movimento de umapartícula. A mais utilizada emmecânica dos sólidos é a descrição material ou Lagranjeana,onde representamos o movimento docorpo baseado em uma configuração inicial ou de referência, de acordo com a equação (2.1). Estadescrição é chamada de material pois basicamente seguimos cada partícula do corpo ao longo domovimento. Outra descrição bastante utilizada em mecânicados fluidos é a descrição Euleriana,onde fixamos nossa atenção a uma determinada região do espaçoe observamos as partículas quepassam por esta região. Portanto, utilizamos como referência uma configuração já deformada de

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Figura 2.1: Movimento de um ponto material.

acordo com a equação (2.2). Esta descrição é chamada de descrição espacial, pois fixamos nossaatenção em uma região do espaço.

2.1.1 Exemplos de movimentos

• Seja um corpo originalmente ocupando a região[0, l1]× [0, l2]× [0, l3] em R3 que sofrauma deformação de tal forma que a nova posiçãox de um ponto do corpo seja descrito por

x = Kx0

y = y0 (2.3)

z = z0

Este caso corresponde a uma extensão na direçãox. Uma translação sem deformação emxseria descrita como

x = k+x0

y = y0 (2.4)

z = z0

• Seja um movimento de um corpo dado por

x = x0+Vxαt(

y0)2

y = y0 (2.5)

z = z0

O movimento é uma translação sem deformação como velocidadeconstanteVx na direçãodex.

• Seja um movimento descrito como

x = x0+αty0

y = (1+β t)y0 (2.6)

z = z0

A velocidade de cada partícula é dada por

v(

x0)=∂x(

x0)

∂ t=

αy0

βy0

0

(2.7)

e a aceleração é dada por

a=∂v(

x0)

∂ t= 0 (2.8)

Este resultado por diferenciação direta só é possível na descrição lagrangiana; na descriçãoEuleriana utilizada na Mecânica dos Fluidos deve-se utilizar o conceito de Derivada Mate-rial. Em todos os exemplos acima a descrição Lagrangeana foiutilizada. Para a descriçãoEuleriana, o primeiro movimento seria descrito na forma

x0 =1K

x0

y0 = y (2.9)

z0 = z

2.2 Medidas de deformação

Há muitas maneiras de se medir as deformações em um corpo. O vetor deslocamento de cadaponto não é uma medida de deformação, uma vez que o deslocamento em um ponto de um corpopode ser resultante de uma deformação em outro parte ou de um movimento de corpo rígido.Uma medida de deformação deve expressar a variação do deslocamento em um ponto do corpo;adicionalmente, esta variação deve abranger todas as direções possíveis. Desta forma, a medida dedeformação será um tensor de segunda ordem, já que se deseja medir a variação de uma medidavetorial (o deslocamento) em todas as direções indicadas por um vetor normal. A medida maissimples de deformações é o tensor gradiente de deformações,definido por

Fi j =∂xi

∂x0j

(2.10)

F =

∂x∂x0

∂x∂y0

∂x∂z0

∂y∂x0

∂y∂y0

∂y∂z0

∂z∂x0

∂z∂y0

∂z∂z0

= ∇x (2.11)

que é conhecido, também, como matriz jacobiana da transformação de coordenadas. Apesar de suasimplicidade, esta medida é pouco utilizada no entanto, devido ao fato da matriz não ser simétricae pelo fato de não ser invariante com movimentos de corpo rígido, isto é, o tensor muda quandoo corpo gira sem se deformar. Uma característica muito importante deste tensor é o fato de que odeterminante deF fornece alguns dados sobre o movimento. O determinante deF deve ser sempremaior do que zero, pois um valor nulo significa que o corpo, após o movimento, desapareceu o quenão é fisicamente possível. Valores do determinante no intervalo(0,1) indicam que a configuraçãofinal possui um volume menor do que a configuração de referência. Um valor unitário significaque o volume se manteve constate e valores maiores do que 1 indicam que o volume final é maiordo que o volume da configuração de referência.

Considerando a translação de corpo rígido, dada pela relação

x = K1+x0

y = K2+y0 (2.12)

z = K3+z0

podemos calcular o tensorF,

F =

1 0 00 1 00 0 1

= I (2.13)

para quaisquer valores deK1, K2e K3. Assim, podemos afirmar que esta medida de deformação éinsensível ao movimento de translação de corpo rígido. No entanto, se considerarmos o movimentode rotação de corpo rígido em torno do eixo coordenadoZ,

x = x0cosθ −y0sin θy = x0sinθ +y0cos θ (2.14)

z z0

verificamos que o tensorF assume a forma

F =

cosθ −sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1

= R (2.15)

ondeR é a própria matriz de rotação que deu origem ao movimento de corpo rígido. Assim,verificamos que esta medida de deformação é sensível a movimentos de rotação de corpo rígido, oque não a qualifica como uma medida de deformação valida. No entanto, do conhecimento de queo produto entre duas matrizes ortogonais (como é o caso da matriz de rotação), na forma

RTR = I (2.16)

resulta na matriz identidade permite definir medidas de deformação que não sejam sensíveis amovimentos de corpo rígido.

Medidas de deformação devem ser simétricas e invariantes emrelação aos movimentos decorpo rígido, como os tensores de Cauchy-Green. O tensor de deformação deCauchy-Green àdireita é definido por

C = FTF (2.17)

ou

Ci j = ∑k=x,y,z

FkiFk j = ∑k=x,y,z

∂xk

∂x0i

∂xk

∂x0j

(2.18)

e representa uma medida lagrangiana de deformação. Os tensores de Cauchy-Green são unitários(matriz identidade) se não houver deformação.

Em engenharia, prefere-se utilizar otensor de deformação de Green, que se anula quando nãohá deformações. A definição é deste tensor é

E =12(C− I) (2.19)

ou

Ei j =12

(

Ci j −δi j)

=12

(

∑k=x,y,z

∂xk

∂x0i

∂xk

∂x0j

−δi j

)

. (2.20)

Este tensor é normalmente definido em termos do vetor deslocamentou, isto é, a diferença entreas posições inicial e final do corpo.

u = x−x0 (2.21)

Ei j =12

[

∑k=x,y,z

∂(

uk+x0k

)

∂x0i

∂(

uk+x0k

)

∂x0j

−δi j

]

(2.22)

Ei j =12

[

∑k=x,y,z

(

∂uk

∂x0i

+δki

)

(

∂uk

∂x0j

+δk j

)

−δi j

]

(2.23)

Ei j =12

(

∂ui

∂x0j

+∂u j

∂x0i

+ ∑k=x,y,z

∂uk

∂x0i

∂uk

∂x0j

+ ∑k=x,y,z

δkiδk j −δi j

)

(2.24)

Ei j =12

(

∂ui

∂x0j

+∂u j

∂x0i

+ ∑k=x,y,z

∂uk

∂x0i

∂uk

∂x0j

)

(2.25)

expandindo as componentes obtemos

Ex =∂ux

∂x+

12

[

(

∂ux

∂x

)2

+

(

∂uy

∂x

)2

+

(

∂uz

∂x

)2]

(2.26)

Ey =∂uy

∂y+

12

[

(

∂ux

∂y

)2

+

(

∂uy

∂y

)2

+

(

∂uz

∂y

)2]

Ez =∂uz

∂z+

12

[

(

∂ux

∂z

)2

+

(

∂uy

∂z

)2

+

(

∂uz

∂z

)2]

Exy =12

[

∂ux

∂y+

∂uy

∂x+

∂ux

∂x∂ux

∂y+

∂uy

∂x

∂uy

∂y+

∂uz

∂x∂uz

∂y

]

Exz=12

[

∂ux

∂z+

∂uz

∂x+

∂ux

∂x∂ux

∂z+

∂uy

∂x

∂uy

∂z+

∂uz

∂x∂uz

∂z

]

Eyz=12

[

∂v∂z

+∂w∂y

+∂u∂y

∂u∂z

+∂v∂y

∂v∂z

+∂w∂y

∂w∂z

]

.

Como exemplo, vamos calcular as medidas de deformação para o movimento que tem comoposição final

x = x0

y = y0−αz0 (2.27)

z = z0+αy0

ondeα > 0 é uma constante. Os tensores de deformação são

F =

1 0 00 1 −α0 α 1

(2.28)

C = FTF =

1 0 00 1+α2 00 0 1+α2

(2.29)

E =12(C− I) =

12

0 0 00 α2 00 0 α2

(2.30)

ou seja, temos deformações normais nas direções Y e Z. Não temos deformações cisalhantes.

2.2.1 Deformações infinitesimais

Analisamos o caso agora de deformações infinitesimais. Vamos supor que os deslocamentos sejambastante pequenos. Definindo umε como um número bem pequeno, podemos dizer que

u= O (ε)

e por consequência os tensores de deformação apresentarão as seguintes características:

Fi j =∂xi

∂x0j

=∂ui

∂x0j

+δi j (2.31)

Ci j = FikFk j =∂ui

∂x0j

+∂u j

∂x0i

+ ∑k=x,y,z

∂uk

∂x0i

∂uk

∂x0j

+ ∑k=x,y,z

δkiδk j (2.32)

Ci j =∂ui

∂x0j

+∂u j

∂x0i

+δi j +O(

ε2) (2.33)

e

Ei j =12

(

∂ui

∂x0j

+∂u j

∂x0i

)

+O(

ε2) (2.34)

Desprezando-se os termos de alta ordem, definimos o tensor dedeformações infinitesimaisε como

εi j =12

(

∂ui

∂x0j

+∂u j

∂x0i

)

=12

(

Fi j +Fji)

−δi j . (2.35)

Expandindo as componentes

εxx =∂ux

∂x

εyy =∂uy

∂y

εzz=∂uz

∂z

εxy =12

(

∂ux

∂y+

∂uy

∂x

)

εyz=12

(

∂uy

∂z+

∂uz

∂y

)

εzx=12

(

∂uz

∂x+

∂ux

∂z

)

Esta é a definição de deformação mais comumente usada na engenharia, sendo que a figura 2.2ilustra o significado geométrico das posições do tensor infinitesimal. No entanto, deve-se fazer aressalva que esta medida é inadequada para problemas com grandes deslocamentos. Por exemplo,é impossível se prever fenômemos não lineares como a flambagem e outras instabilidades geo-métricas. Ainda, conforme já foi apresentado, o tensorF não é invariante com o movimento derotação de corpo rígido. Assim, pequenos deslocamentos comgrandes rotações também não sãocorretamente descritos por esta medida de deformação.

Uma vez que os deslocamentos são infinitesimais, há pouca diferença entre tomar as derivadasem relação às coordenadas iniciais ou finais, e a distinção entre os dois sistemas não é levada a

Figura 2.2: Siginificado geométrico das posições do tensor deformação.

sério. Em textos de elasticidade e mecânica dos sólidos muitas vezes não se faz a distinção, o queacarreta problemas sérios na hora de abordar problemas não lineares.

Seja um movimento descrito como

x = x0+αt(

y0)2

y = (1+β t)y0

z = z0

O gradiente de deformações é dado por

F =

1 2αty0 00 (1+β t) 00 0 1

(2.36)

e o tensor de Cauchy-Green por

C =

1 2αty0 00 (1+β t) 00 0 1

T

1 2αty0 00 (1+β t) 00 0 1

(2.37)

C =

1 2αty0 02αty0 4α2t2y0+1+2β t +β 2t2 0

0 0 1

(2.38)

O tensor de deformações de Green é dado por

E =12

1 2αty0 02αty0 4α2t2y0+1+2β t +β 2t2 0

0 0 1

− I

(2.39)

E =

0 αty0 0αty0 2α2t2y0+β t + 1

2β 2t2 00 0 0

(2.40)

e as deformações infinitesimais são

ε =12

1 2αty0 00 (1+β t) 00 0 1

t

+

1 2αty0 00 (1+β t) 00 0 1

− I (2.41)

ε =12

0 2αty0 02αty0 2β t 0

0 0 0

(2.42)

onde fica evidente a diferença da componente normal (yy) no tensor finito e no infinitesimal. Ob-serve que os termos de alta ordem foram descartados.

A velocidade de cada partícula é dada por

v(

x0)=∂x(

x0)

∂ t=

α(

y0)2

βy0

0

. (2.43)

Utilizando o MAPLE poderíamos escrever> restart:with(linalg):Vamos definir a posição final em termos da configuração de referência> x:=x0+alpha*t*y0^2;

x := x0 + alpha t y20> y:=(1+beta*t)*y0;

y := (1 + beta t) y0> z:=z0:O tensor gradiente de deformacoes e’> F:=matrix(3,3,[diff(x,x0),diff(x,y0),diff(x,z0),diff(y,x0),diff(y,y0),diff(y,z0),diff(z,x0),diff(z,y0),diff(z,z0)]);

[1 2 alpha t y0 0]F := [0 1 + beta t 0]

[0 0 1]Conforme foi apresentado, o determinante de F fornece algumas conclusoes interessantes> det(F);

1 + beta te como o tempo deve ser positivo, temos que beta deve ser maiorou igual a zero para que o

movimento seja válido. Se beta for nulo, o volume do corpo se mantém constante mesmo quandoo tempo varia.

De posse do tensor gradiente de deformações podemso calcular o tensor de Cauchy Green àdireita

> C:=evalm(transpose(F)&*F);[ 1 2 alpha t y0 0]

C := [2 alpha t y0 4 alpha2 t2 y20 + (1 + beta t)2 0]

[ 0 0 1]Agora podemos calcular os tensores deformação de Green e o infinitesimal> I_:=array(identity,1..3,1..3):> EG:=(1/2)*evalm(C-I_);

[0 , 2 alpha t y0 , 0]EG := 1/2 [2 alpha t y0 , 4 alpha2 t2 y2

0 + (1 + beta t)2 - 1 , 0][0 , 0 , 0]

Observe que o campo de deformações finitas tem componentes cisalhantes Exy e normal nadireção Eyy.

Vamos calcular o tensor infinitesimal> eps:=(1/2)*evalm(transpose(F)+F-2*I_);

[ 0 2 alpha t y0 0]eps := 1/2 [2 alpha t y0 2 beta t 0]

[ 0 0 0]onde fica claro que os termos de alta ordem na deformação normal (yy) são perdidos.Por fim, vamos calcular a velocidade> v:=vector(3,[diff(x,t),diff(y,t),diff(z,t)]);

v := [alpha y20 , beta y0, 0]

2.3 Exercícios

1) Calcule o campo de deslocamentos, deduza os tensores de deformação e descreva em palavras adeformação, considerando um a configuração inicial como um cubo unitário. Compare os tensoresfinitos e infinitesimais de deformação. Comente o determinante de F.

• Dilataçãoxi = αx0

i

• Rotação

x = x0

y = y0cosθ −z0sinθz = y0sinθ +z0cosθ

• Extensão simples

x = αx0

y = βy0

z = βz0

• Cisalhamento simples

x = x0+ky0

y = y0

z = z0

• Torção (considere o corpo inicialmente cilíndrico com eixoz0)

x = Rcos(

τz0+α)

y = Rsin(

τz0+α)

z = z0

ondeR=√

x0+y0 e α = arctan(

y0

x0

)

.

2) Mostre porque o movimento

x = x0

y = y0−αz0

z = z0+αy0

tem deformação infinitesimal nula mas deformação finita não-nula. Quais são os termos deE quefazem com que esta medida de deformação seja não nula ?

3) Verifique o que acontece com os tensores de deformação do exercício 1 quando:

dilatação ->α muito próximo de 1 (algo tipo 1.000001 ou 0.999999)rotação ->θ muito próximo de 0 (lembre-se, o MAPLE trabalha em radianos)cisalhamento ->k muito próximo de 0.

Capítulo 3

Tensões

O conceito de força é bastante familiar na dinâmica de partículas e corpos rígidos. A diferençaprincipal de abordagem destes campos para a mecânica dos sólidos é que consideramos as forçasdistribuídas e a interação entre regiões dentro de corpos deformáveis. A natureza das forças den-tro dos corpos consiste em complexas interações entre forças interatômicas, mas a mecânica docontínuos faz a hipótese simplificadora de que as forças em qualquer superfície do corpo podemser representadas por um campo vetorial definido sobre esta superfície. Outra simplificação con-siste em representar forças externas como a gravidade como outro campo vetorial sobre a regiãoocupada pelo corpo.

SejaΩ1 a região ocupada por uma parte de corpo em um determinado instantet eΓ1 a superfíciefechada que a delimita. Definimos o vetorn como o vetor normal apontado para o exterior dasuperfícieΓ1 e postulamos a existência de um campo vetorialt (x) sobreΓ1 um campo vetorialb(x) sobreΩ1 de tal modo que a força total seja descrita como

∫

Γ1

t (x)dΓ+∫

Ω1

ρb(x)dΩ

e o momento ao redor da origem seja∫

Γ1

x× t (x)dΓ+∫

Ω1

ρx×b(x)dΩ

O vetor t (x) é chamado devetor tração superficial(ou força de superfície) e expressa umadistribuição de força sobre a unidade de área. A dependênciaem x indica quet varia direçãoe magnitude com a posição da superfície no corpo. Na prática,as forças sobre um corpo sãoexercidas basicamente pelo contato de um outro corpo sobre sua superfície externa.

O vetorb é chamado de vetor de força de corpo e representa a força distribuída por unidade devolume. Na maior parte das aplicações mecânicas, a única força de corpo é o pesoρg.

3.1 Tensor Tensão

A grandeza tensão é um conceito abstrato sem uma forte interpretação física direta; no entanto esteé um dos conceitos mais importantes da Mecânica dos Sólidos.Analisando um plano arbitrário,definido por um vetor normaln, no interior do corpo, no qual age uma forçaf, de acordo com afigura 3.1, definimos o vetor tração como sendo a razão

ti =fiA

(3.1)

19

com a mesma orientação e direção do vetor força, mas com magnitude diferente. O vetor traçãotem unidade de força sobre área, como por exemploN

m2 . Analisando as componentes do vetortração no plano de interesse, vemos que temos três componentes possíveis, duas representandoprojeções sobre o plano de áreaA e uma projeção sobre a normal que define o plano. A estascomponentes, chamamos de componentes de tensão. A componente relativa a projeção normaldefinimos como tensão normal ou

σn = limA→0

fnA

= limA→0

tn (3.2)

onde fn é a componente normal do vetor força. Assim, considerando o limite tendendo a zero,constatamos que a definição da componente de tensão é relativa a um ponto. A mesma definiçãopode ser feita em relação as duas projeções sobre o plano, ao qual definimos como componentescisalhantes,

σc1 = limA→0

fc1

A= lim

A→0tc1 (3.3)

σc2 = limA→0

fc2

A= lim

A→0tc2

onde os índicesc1 ec2 correspondem a direções ortogonais definidas sobre o plano de referência.Para um dado ponto, temos que podemos representar inúmeras superfícies que passam por este

ponto, com diferentes vetores normais. Isto torna a utilização das componentes isoladas de tensãodependente da escolha do plano de referência, o que não é desejável. Selecionando três planosortogonais entre si, com normais orientadas nas direções dosistema cartesiano de referência, figura3.2, teremos nove componentes de tensão, três para cada plano, sendo duas cisalhantes e umanormal, por plano. Com o limite das áreas de cada plano tendo a zero, o cubo se torna um ponto,mas as trações não se anulam, mantendo as 9 componentes. Assim, para um dado ponto, podemosrelacionar trações e normais na forma

tx = σxxnx+σxyny+σxznz

ty = σyxnx+σyyny+σyznz (3.4)

tz = σzxnx+σzyny+σzznz

ou seja, conhecidas as componentes de tensão em três planos ortogonais entre si, podemos ex-pressar todas as combinações entre os vetores (tensores de primeira ordem) tração e normal. Estarelação é dependente apenas do sistema de coordenadas nos quais as componentes foram obtidas,no caso o sistema cartesiano de referência. Como estas componentes relacionam dois tensores deprimeira ordem, fica evidente que fazem parte de um tensor de segunda ordem, ao qual chamamosde tensor tensão de Cauchy

σ =

σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz

(3.5)

Para obter o mesmo tensor em um outro sistema de referência, basta aplicar as transformaçõesadequadas a um tensor de segunda ordem, como no caso do tensortensão. Na forma indicialpodemos definir o tensortensão de Cauchycomo sendo o conjunto de grandezasσi j de tal formaque

ti (x) = ∑j=x,y,z

σi j n j

onde o primeiro inice se refere a direção da normal e o segundoa direção da componente do vetortração na face definida pela normali.

Figura 3.1: Decomposição do vetor tração em uma superfície definida pelo vetor normaln.

Figura 3.2: Trações e normais em três planos ortogonais entre si, em torno do ponto de interesse.

Um ponto importante a ser notado é que a definição da tensão de Cauchy envolve as coorde-nadas espaciais, isto é, a configuração deformada. A tensão de Cauchy é portanto uma medidaEuleriana. Existem medidas de tensão que consideram a configuração indeformada, como os doistensores de Piola-Kirchhoff, o tensor de Kirchhoff outros mais. Considerando as deformaçõescomo infinitesimais, a diferença entre as configurações é desprezível a discussão entre as formula-ções Eulerianas e Lagrangianas perdem sentido.

3.1.1 Exemplos de campos de tensão:

Cada partícula do material tem um estado de tensão particular. Por isto, determinar o estado detensões de um corpo não é uma tarefa trivial se a geometria e o carregamento do corpo em estudoforem complexos. Por este motivo, utilizamosmodelos estruturaisque são obtidos por hipóte-ses simplificativas da geometria e/ou carregamento aplicado sobre o corpo. O modelo estruturalmais simples é o modelo de barra, que é obtido pela hipótese deque o corpo possui a dimensãolongitudinal muito maior do que a dimensão transversal e de que existem carregamentos somentenas faces transversais (orientados com a normal da face - carregamentos normais). Geralmenteassuminos a seção transversal como sendo circular ou quadrada. Assim, para todos os pontos nointerior da barra, assumimos que o estado de tensões é representado por

σ =

σ 0 00 0 00 0 0

ou seja, apenas a componente x, constante. Nas faces onde estão aplicadas as forças distribuídas,temos que a força total é obtida pela integral

∫

ΓtdΓ =

∫

Γ

tx00

dΓ =

fx00

.

Como a força distribuída na face é homogênea, como a resultante posicionada sobre o baricentroda seção, não provoca momentos, de acordo com a teoria de barras. Existe muita confusão entreo conceito de tensão e o de força distribuída e o principal motivo é a interpretação equivocada domodelo de barra. Da expressão acima e levando-se em consideração a expressão (??), obtemos

tx = σnx

poisσxx é a única componente não nula. Assim a integral da tensão permite encontrar diretamentea força que atua na seção. Verifique que utilizamos um número enorme de hipóteses simplificativaspara podermos chegar a uma relação tão simples, e geralmenteeste resultado é considerado pormuitos como definição de tensão, o que está equivocado.

O modelo estrutural de viga longa ou viga de Euler-Bernoulli foi estudado em mecânica dossólidosI e é obtido da hipótese de que a dimensão longitudinal é maior (10x ou mais) do que asdimensões transversais. Ainda, a hipótese de carregamentofoi a de que existiam apenas momentosfletores aplicados nas extremidades. Para toda a viga, o campo de tensões obtido foi

σ(y) =

yσ 0 00 0 00 0 0

ou seja, da aplicação de momentos fletores nas extremidades da viga, resulta um estado de tensõesque varia linearmente com a coordenada que define a altura da viga, com tensão máxima de valorσ

nas fibras superiores e inferiores (compressão e tração). Devemos lembrar, ainda, que a origem doeixo y está localizada na metade da altura da viga e que o eixo xsegue ao longo do comprimento,definindo o que chamamos de linha média ou linha neutra. Destaforma, o estado de tensõesdefinido acima é simétrico em torno da linha neutra. Considerando uma face transversal retangulare o estado de tensões acima, verificamos que a força resultante aplicada em tal face é nula, pois

∫

ΓtdΓ =

∫

Γ

tx00

dΓ = b∫ h

2

− h2

yσ00

dy= 0

o que está de acordo com a hipótese de que somente momentos fletores estavam aplicados nasextremidades. Observe que a força resultante aplicada na face é nula mas existe tensão no corpo,o que explica o porque devemos evitar o conceito de que tensãoé simplesmente força sobre área.Para determinar qual o momento fletor resultante, utilizamos a sua definição

M =∫

Γx× tdΓ =

∫

Γ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j kx y z

yσ 0 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

dΓ

M =∫

Γ

[∣

∣

∣

∣

y z0 0

∣

∣

∣

∣

i−∣

∣

∣

∣

x zyσ 0

∣

∣

∣

∣

j +

∣

∣

∣

∣

x yyσ 0

∣

∣

∣

∣

k]

dΓ

M =∫

Γ

[

0i+zyσ j −y2σk]

dΓ =∫

Γ

0zyσ−y2σ

dΓ

considerando uma seção retangular e a largura da viga constante ao longo do comprimento (b),integrando na altura, obtemos

M = b∫ h

2

− h2

0zyσ−y2σ

=

00

−bσ h3

12

ou seja, verificamos que existe um momento fletor

Mz =−bσh3

12

aplicado na extremidade, o que está de acordo com a teoria. Naequação acima,σ é a tensãomáxima (fibras nas extremidades), e sabendo que a tensão varia linearmente, obtemos a conhecidarelação entre tensão normal e momentos fletores aprendida emsólidosI:

σxx =−MzyIz

.

ExercícioO modelo estrutural de torção assume que existem apenas momentos torsores aplicados nas

extremidades de um corpo cuja seção transversal é menor do que o comprimento. Para um eixocircular, sabemos que não ocorre o empenamento e que podemosrepresentar o campo de tensõespor

σ =

0 0 −τy0 0 τx

−τy τx 0

ou seja, se considerarmos a seção circular com centro na origem do sistema de coordenadas, pode-mos representar o estado de tensões por uma variação linear nas direções x e y, com valor máximoτ na superfície externa. Considerando a face com normal na direção z, positivo, podemos calcularo vetor tração nesta face,

t =

0 0 −τy0 0 τx

−τy τx 0

001

=

−τyτx0

.

O resto você ja sabe. Integrando o vetor tração na área, obtemos o vetor força que atua na superfíciedefinida pelo vetor normal considerado. Mostre que a força é nula. Para calcular os momentosque atuam nesta superfície, solucionamos a integral do produto externo do vetor tração e vetorposição (que aponta para a origem do sistema de coordenadas). Mostre que existe apenas ummomento torsor atuando na superfície em questão. Com o resultado obtido, deduza as expressõesque permitem obter as tensões cisalhantes em qualquer pontoda seção. DICAS: integrais defunções ímpares em uma área são nulas e lebre-se que o momentopolar de inércia é dado por

J0 =∫

Ax2+y2

3.2 Rotação do Tensor Tensão

Como foi visto na seção anterior, o tensor tensão é um tensor desegunda ordem, assim como otensor deformação. O tensor tensão é um tensor de segunda ordem pois permite relacionar doistensores de primeira ordem, um que define o vetor tração que aje em um planoe outro que defineo plano (vetor normal unitário). Relembrando a relação que permite descrever as componentes deum vetor em um sistema de coordenadas rotacionado em torno deum eixo é

v′ = Rv

conforme foi apresentado no apêndice 1. Como o tensor tensão relaciona dois vetores, se rota-cionarmos o sistema de coordenadas, as projeções dos dois vetores irão mudar, assim como ascomponentes do tensor. Vamos analisar a relação (??) na forma compacta

t = σn.

Utilizando esta equação, podemos rotacionar os vetores

Rt = σRn,

mas obviamente, esta equação está inconsistente, pois temos os vetores expressos em um sistemade coordenadas e o tensor em outro sistema de coordenadas. Qual deve ser o operador aplicadosobre o tensor tensão para que a expressão acima seja consistente. Observando-se que o operadorde rotação é ortogonal, podemos substituir

σ → RσRt

o que resultaria emRt = RσRtRn,

e passando a matriz que multiplica as trações para o lado direito (lembre-se que é ortogonal),obtemos

t = RtRσRtRn

Figura 3.3: Rotação de um estado bidimensional de tensões.

e comoRtR é igual a matriz identidade, temos que todos os termos da expressão estão representa-dos na mesma base. Com este pequeno algebrismo obtivemos a expressão que permite representaro tensor tensão (e qualquer outro tensor de segunda ordem) emum sistema de coordenadas ro-tacionado aθ graus no sentido anti-horário (que iremos considerar como positivo). Assim, pararepresentarmos um tensor de segunda ordem em um sistema de coordenadas rotacionado bastautilizarmos a expressão

σ ′ = RσRt .

A figura 3.3 ilustra este conceito e apresenta as equações para a rotação de um estado bidimen-sional de tensões.

3.2.1 Exemplo de rotação do tensor tensão

• Tensão e compressão uniaxial:

σ =

σxx 0 00 0 00 0 0

Fazendo-se uma rotação deπ/4 em torno dex3:

σ ′ = RσRT

σ ′ =

cosθ3 sinθ3 0−sinθ3 cosθ3 00 0 1

σ 0 00 0 00 0 0

cosθ3 sinθ3 0−sinθ3 cosθ3 00 0 1

T

σ ′ =

√2

2

√2

2 0

−√

22

√2

2 00 0 1

σ 0 00 0 00 0 0

√2

2

√2

2 0

−√

22

√2

2 00 0 1

T

σ ′ =

12σ −1

2σ 0−1

2σ 12σ 0

0 0 0

onde obtemos um estado com cisalhamento no plano xy e tensão normal nas direções x e y.

3.3 Equações do Movimento

3.3.1 Princípio da conservação da quantidade de movimento

As leis de Newton aplicadas a um sistema de partículas pode ser generalizadas para um contínuo;em particular as leis de conservação da quantidade de movimento. Podemos dizer que a resul-tante das forças atuando em um sistema é igual a taxa de variação da quantidade de movimento.Aplicando para o caso de um meio contínuo, a quantidade de movimento é expressa como

∫

ΩρvdΩ

Escreve-se o princípio como

ddt

∫

ΩρvdΩ =

∫

Γt (x)dΓ+

∫

Ωρb(x)dΩ

Há dois “truques” aqui neste ponto. O primeiro é aDerivada Materialno tempo, e o segundoé o teorema da divergência.

Esclarecendo em primeiro lugar a derivada material: seja uma grandezaψ definidasobre um meio contínuo. Se quisermos saber a taxa de variaçãodesta grandeza em umdeterminado ponto, podemos usar a derivada espacial:

∂ψ∂ t

mas se quisermos saber como a grandeza varia em uma partícula, então é necessáriose considerar o movimento desta partícula.

DDt

(ψ) =∂ψ∂ t

+ ∑j=x,y,z

∂ χi

∂ t∂ψ∂ χi

O teorema de Gauss (ou da divergência) nos diz que

∫

Γ∑

j=x,y,zσ ji n jdΓ =

∫

Ω∑

j=x,y,z

∂σ ji

∂x jdΩ

que é equivalente a∫

Γσ ·ndΓ =

∫

Ω∇ ·σdΩ

Usamos o fato de estarmos acompanhando todas as partículas na integral para intercambiarmos aintegração com a derivação:

∫

Ωρ

DvDt

dΩ =∫

Γt (x)dΓ+

∫

Ωρb(x)dΩ

Aplicamos agora a o teorema da divergência ao segundo termo.∫

Ωρ

DvDt

dΩ =∫

Γ∑

j=x,y,zσ ji n jdΓ+

∫

Ωρb(x)dΩ

∫

Ωρ

Dvi

DtdΩ =

∫

Ω∑

j=x,y,z

∂σ ji

∂x jdΩ+

∫

ΩρbidΩ

Assumindo que o integrando seja contínuo, podemos fazer

ρDvi

Dt= ∑

j=x,y,z

∂σ ji

∂x j+ρbi

ponto a ponto emΩ. Este conjunto de três equações são as equações de movimentode um corpo.Estas equações são a base de toda a mecânica do contínuo; a aplicação da mecânica do contínuoconsiste em saber resolver estas equações. Todos devem sabê-las, juntamente com as hipótesesutilizadas em sua dedução. Nunca é demais repetir que esta equação é Euleriana, porque refere-sea forças e superfícies na configuração deformada. Este fato vai causar uma confusão na hora dedefinir relações constitutivas para casos de grandes deslocamentos...

Aplicando o mesmo raciocínio ao princípio da conservação daquantidade de movimento an-gular, chega-se a conclusão de que o tensor de Cauchy é simétrico. Esta prova segue as mesmaslinhas da dedução acima e é um bom exercício para quem se interessar.

3.3.2 Exercícios

• Um tensor de Cauchy em um certo ponto é dado pela matriz

σ =

1 1 01 −1 00 0 1

Calcule o vetor tração atuando em um elemento de superfície definido pela orientação normal(1,1,2) .

• Mostre que o cisalhamento puro na direção 1 e 2 é equivalente auma tração em um eixorotacionado emπ

4 superposta a uma compressão em um eixo rotacionado em3π4 . Considere

o caso bidimensional.

3.4 Tensões principais

Em cada ponto de um corpo, há certas superfícies com orientação n cujo vetor tração atua exa-tamente na direção da normal. obviamente, as componentes normais atingirão o valor máximo,enquanto as projeções sobre o plano inexistem. Escrevemos este fato como

t (x) = λn

ou

∑j=x,y,z

σi j n j = λn j

∑j=x,y,z

(

σi j −λδi j)

n j = 0

Esta forma define um problema de autovalores de uma matriz. A única possibilidade fora dasolução trivial é

det(

σi j −λδi j)

= 0

que pode ser resolvida para valores deλ que satisfaçam a igualdade acima. Os valoresλ são osautovetores da matriz, ou também chamados detensões principais. Os valores den são asdireçõesprincipaisde tensão.

Exemplo: determine as tensões e direções principais de tensão do seguinte tensor de tensão deCauchy:

σ =

3 1 11 0 21 2 0

det=−λ 3+3λ 2+6λ −8

Resolvendodet(σ −λ I) = 0

consiste em achar as raízesλ , que são 1,−2 e 4.Substituindo cada um dosλ na equação do autovetor, utilizamos

(σ −λ I)n = 0

3−λ 1 11 0−λ 21 2 0−λ

nx

ny

nz

= 0

resolvendo paraλ1 para determinarmos a primeira normaln(1) ficamos com

2 1 11 −1 21 2 −1

n(1)x

n(1)y

n(1)z

= 0

que nos leva ao sistema

2n(1)x +n(1)y +n(1)z = 0

n(1)x −n(1)y +2n(1)z = 0

n(1)x +2n(1)y −n(1)z = 0

Este sistema é indeterminado, e adicionamos a restrição da normal ser unitária:

2n(1)x +n(1)y +n(1)z = 0

n(1)x −n(1)y +2n(1)z = 0

n(1)x +2n(1)y −n(1)z = 0(

n(1)x

)2+(

n(1)y

)2+(

n(1)z

)2= 1

como esta restrição pode ser imposta depois, resolveremos osistema para um vetor auxiliarv, enormalizamos depois. Por exemplo, se fazemosvx =−1 e resolvemos o sistema das duas primeirasequações, temos

vy+vz =−2−vy+2vz =−1

v = [−1,1,1]t

Normalizando agora para satisfazer o comprimento unitáriodo vetor, dividimos todos os resul-tados pela norma euclidiana:

‖v‖=√

(−1)2+12+12 =√

3

e calculamos finalmente a normal

n(1) =v‖v‖ =

[1,1,1]t√3

=

1/√

31/√

31/√

3

Repetimos agora a operação para os autovaloresλ2 e λ3, e os autovetores são

n(2) =

0−1/

√2

1/√

2

n(3) =

2/√

61/√

61/√

6

Interpretando os resultados, podemos dizer que nas direções ortogonais dadas pelas normais

n(1),n(2),n(3)

, as tensões são somente normais, com valores1,−2,4, respectivamente.

Os problemas de autovalor admitem como solução autoespaços(autovetortes associados a umúnico autovalor). Há várias situações possíveis:

• Todos os autovalores podem ser iguais. Neste caso, o estado éde pressão hidrostática e emqualquer eixo as tensões são apenas normais. Qualquer direção é uma direção principal detensões. O sistema de equações fica indeterminado. Soluciona-se o problema achando 3vetores ortogonais, definindo um espaço.

• Dois autovalores podem ser iguais e um deles é distinto. Neste caso, uma direção estátracionada (ou comprimida) e as outras duas sujeitas a uma pressão hidrostática. Todasas direções no plano das duas direções de autovalores iguaissão autovetores (principais).Acha-se dois vetores ortogonais neste plano e se define um autoespaço.

• Todos autovalores são distintos. Neste caso há três tensõesprincipais.

Felizmente, como as tensões são simétricas, os autovaloressão sempre reais. Não precisaremosinterpretar autovalores complexos.

3.5 Tensões de Piola-Kirchhoff

As tensões de Piola-Kirchhoff consistem em medidas Lagrangianas de tensão, baseadas na geome-tria inicial. Oprimeiro tensor de Piola-KirchhoffP é definido como o vetor traçãot0 com a mesmadireção det atuando na área indeformada definida porA0 en0. Podemos definir um diferencial deforçadf e um diferencial de áreadAe escrever

df = t dA= t0dA0

e consequentemente,

t0 =dAdA0

t

Por sua vez, os tensores são definidos como

t = σn

t0 = Pn0

de onde pode-se tirar que

Pn0 =dAdA0

σn

Usa-se agora um resultado de livro sobre a relação entre as normais e os diferenciais de áreas nasconfigurações de referência e final (que não vai ser provado),que

dAn = detFdA0(

F−1)T n0

para se chegar a

P= detFσ(

F−1)T

ou

σ =1

detFPFT

O primeiro tensor de Piola-Kirchhoff não é simétrico para a maioria dos casos. Devido a difi-culdade de se trabalhar com um tensor assimetrico, criou-seo Segundo Tensor de Piola-KirchhoffS no qual a força sofre uma transformação de direção assim comoa área. A definição do tensor édada por

S= F−1P= detFF−1σ(

F−1)T

ou

σ =1

detFFSFT = FP

Normalmente define-se as relações constitutivas em função dos Tensores de Piola-Kirchhof edas deformações de Green ou Cauchy-Green à direita. Mais raramente usa-se as tensões de Cauchycom o tensor de Cauchy-Green à esquerda ou o tensor de Almansi (que não foi visto).

Exemplo: se a deformação é descrita como

x = 4x0

y = −y0

2

z = −z0

2e o tensor de Cauchy é dado por

σ =

100 0 00 0 00 0 0

,

podemos calcular o gradiente de deformações

F =

4 0 00 −1

2 00 0 −1

2

F−1 =

14 0 00 −2 00 0 −2

detF = 1

e os tensores de Piola-Kirchhoff; o primeiro é

P= detFσ(

F−1)T

=

100 0 00 0 00 0 0

14 0 00 −2 00 0 −2

=

25 0 00 0 00 0 0

e o segundo éS= F−1P

=

14 0 00 −2 00 0 −2

25 0 00 0 00 0 0

=

254 0 00 0 00 0 0

ou seja, uma tensão de magnitude 1000 na configuração deformada corresponde a um valor de 25na configuração de referência, para este caso.

3.5.1 Equações de equilíbrio na formulação lagrangiana

Substituindo o primeiro tensor de Piola-Kirchhoff nas equações de equilíbrio, temos

ρDvi

Dt= ∑

j=x,y,z

∂σ ji

∂x j+ρbi

σ =1

detFPFT σi j =

1detF ∑

k=x,y,z

Pikdxj

dXk

ρDvi

Dt= ∑

j=x,y,z

∂(

1detF ∑k=x,y,zPjk

dxidXk

)

∂x j+ρbi

ρDvi

Dt=

1detF ∑

j=x,y,z∑

k=x,y,z

∂ (Pik)

∂x j

dxj

dXk+ρbi

detFρDvi

Dt= ∑

k=x,y,z

∂ (Pik)

dXk+detFρbi

ρ0Dvi

Dt= ∑

k=x,y,z

∂Pik

dXk+ρ0bi

No caso do Segundo tensor de Piola-Kirchhoff, as equações ficam

ρ0Dvi

Dt= ∑

m=x,y,z∑

k=x,y,z

∂ (FimPmk)

dXk+ρ0bi

ρ0Dvi

Dt= ∑

m=x,y,z∑

k=x,y,z

dxi

dXm

∂Smk

dXk+ρ0bi

3.5.2 Exercícios

• Um modelo simplificado bastante utilizado em mecânica do contínuo é o estado plano detensões. Este modelo parte da hipótese de que o corpo tem a espessura muito menor do queas demais dimensões e que não existe carregamento na direçãoda espessura (carregamentosomente no plano). Baseado nestas informações, descreva o estado de tensões correspon-dente, justificando cada componente.

• Ache as tensões e direções principais dos seguintes tensores tensão de Cauchy. Escreva aequação característica de cada caso.

σ =

σxx σxy 0σyx σyy 00 0 σzz

σ =

σ σxy 0σyx σ 00 0 σzz

σ =

10 1 21 5 02 0 8

• Dada a descrição do movimento, calcule as deformações de Green e infinitesimais e trans-forme as tensões de Cauchy nas de Piola-Kirchhoff ou vice-versa. Para nao perder a pratica,calcule os tensores de deformação de Green-Lagrange e o infinitesimal.

– grandes deformações

x =12

x0

y =12

y0

z = 4z0

σ =

0 0 00 0 00 0 100

– Pequenas deformações

x = 0.999x0

y = 0.999y0

z = 1.001z0

S=

0 0 00 0 00 0 100

• Mostre que para pequenas deformações, o tensor de tensão de Piola-Kirchoff e o de Cauchyfornecem resulatdos semelhantes. Mostre analiticamente,pelas propriedades dos tensores F,determinante, etc.

Capítulo 4

Relações Constitutivas

4.1 Introdução

Os resultados apresentados até aqui valem para qualquer material que possa ser considerado umcorpo contínuo, mas são insuficientes para descrever o comportamento de material algum. Paracompletar a especificação das propriedades mecânicas de um material, faz-se necessárias equaçõesadicionais, chamadas de relações constitutivas.

As relações constitutivas são particulares para cada material (ou classe de materiais) e ser-vem para distinguir e classificar os diversos materiais da engenharia conforme suas propriedadesmecânicas. As equações constitutivas mecânicas relacionam as tensões com alguma medida domovimento do corpo, normalmente a deformação ou a taxa de deformação. Há muitas outras cate-gorias de relações constitutivas, como as que relacionam tensões com deformações e temperaturas,ou com campos elétricos ou magnéticos.

Historicamente, as primeiras relações constitutivas (e ainda as mais usadas) foram desenvolvi-das para simplificar a análise dos fenômenos físicos atravésda introdução de materiais ideais. Esteé o caso da elasticidade linear, dos fluidos newtonianos incompressíveis e invíscidos, dos sólidosperfeitamente plásticos, etc. Cada um destes modelos tem suafaixa de aplicação e suas limitaçõesdevem ser sempre estudadas cuidadosamente.

As equações constitutivas mecânicas mais gerais são do tipo

σ (u,v, t,T, ...) (4.1)

onde há uma parcela mecânica (a dependência do deslocamento, velocidade e tempo) os termosnão mecânicos, expressando a dependência de variáveis taiscomo temperatura, campos elétricose magnéticos, e reações químicas. O caso mais comum na engenharia mecânica é a dependênciada temperatura, seja para o caso de expansão térmica, seja para o caso de análise de componentesoperando em temperaturas elevadas, as quais normalmente reduzem os coefficientes elásticos dosmateriais.

Como é óbvio perceber, normalmente é desejável que as equações constitutivas mostrem inde-pendência em relação aos movimentos de corpo rígido. Desta forma, é preferível que as equaçõessejam escritas em função de deformações ou taxa de deformação. Adicionalmente, é absoluta-mente necessário que as relações constitutivas sejam independentes do referencial, isto é, devemser tensoriais. Não importa como se mude o referencial, a relação constitutiva tem que expressar amesma coisa no sistema de coordenadas correspondente. Estapropriedade se chamaobjetividadeda relação constitutiva.

Por fim, é importante definirmos materiais homogêneos e não-homogêneos. Materiais ho-mogêneos são aqueles que possuem as mesmas propriedades em qualquer ponto do corpo. Emmateriais não homogêneos as propriedades são funções da posição. Isto não pode ser confundido

33

com isotropia, que significa que o material, em um ponto, mantém as suas propriedades em todasas direções. Um material não isotrópico pode ser homogêneo,basta manter suas propriedades aolongo do corpo.

4.2 Elasticidade

A elasticidade é um modelo constitutivo que parte da seguinte hipótese:um corpo, inicialmenteem um estado de referência, sofre a ação de forças externas. Após a aplicação destas forças, ocorpo se deforma até um estado final, por onde irá permanecer até que as forças sejam retiradas.Uma vez retiradas estas forças o corpo retorna a posição original, de modo que nenhuma parcelado trabalho externo aplicado sobre o corpo se dissipe. Esta hipótese parte de duas premissas: 1) otrabalho externo aplicado foi armazenado no corpo de algumaforma, sem perdas; 2) em nenhummomento, se particularizou a forma como o carregamento foi aplicado. A primeira hipótese podeser escrita em termos da primeira lei da termodinâmica,

δTe+δQ= δE+δK. (4.2)

Na equação acima,δTe é a variação de trabalho externo,δQ é a variação de calor trocado entreas fronteiras do volume de controle,δE é a variação de energia potencial (interna) eδK é avariação de energia cinética (também interna). A condição de que o trabalho externo tenha ficadoarmazenado no corpo, durante o estado deformado, leva a conclusão de que nenhuma energia saiudo volume de controle. Assim,δQ= 0, ou seja, o processo é adiabático. Na configuração final,podemos considerar o corpo está em equilíbrio e sem movimento, de tal forma que

δTe = δE. (4.3)

Assim, o trabalho externo foi armazenado na forma de uma energia interna, muitas vezes expressana forma

Eint =∫

VW (4.4)

ondeW é chamada deenergia de deformação específica ou função energia de deformação,pois supõe-se que esta energia seja uma função do estado de deformação do corpo na configuraçãofinal.

A forma deW é a chave para toda a elasticidade. Pode-se supor, por exemplo, queW seja umafunção do gradiente de deformaçõesF, mas este tensor não é invariante com movimentos de corporígido. Desta forma, a melhor maneira de se expressarW é como uma função de um dos tensoresde Cauchy-Green, ou através do tensor de Green (que é uma função deC). Portanto,

W =W (C) (4.5)

Pela conservação de energia, pode-se deduzir a seguinte relação entre as tensões de Piola-Kirchhoff e a deformação de Green

Si j =∂W∂Ei j

(4.6)

e que a energia elástica guardada em um corpo é dada por

W =12

∫

Ω0∑

i=x,y,z∑

j=x,y,zSi j Ei j dΩ =

12

∫

Ω0

S: EdΩ (4.7)

A hipótese da existência da função energia de deformação caracteriza o que se chama de Hipe-relasticidade. É um conceito mais genérico que a elasticidade comum.

4.2.1 Elasticidade Linear Infinitesimal

Conforme apresentado na seção anterior, a elasticidade é baseada na hipótese de que existe umaenergia de deformação, que é função do estado de deformaçõesdo corpo. Nada se falou sobreformato desta função. Analizando a equação (??), podemos avaliar as formas mais simples deWque permitem obter uma relação aceitável entre as tensões dePiola-Kirchhoff e as deformações deGreen. Uma relação da forma

W = c0+c1E (4.8)

iria implicar em tensões independentes do estado de deformação, o que não é aceitável. Comisto, vemos que a forma mais simples de definirmos uma relaçãoentre energia de deformação edeformações é a forma quadrática

W =12 ∑

i=x,y,z∑

j=x,y,z∑

k=x,y,z∑

l=x,y,z

Ei j Di jkl Ekl (4.9)

ou para um caso de deformações infinitesimais

W =12 ∑

i=x,y,z∑

j=x,y,z∑

k=x,y,z∑

l=x,y,z

εi j Di jkl εkl (4.10)

ondeDi jkl é um tensor constante de quarta ordem, pois relaciona dois tensores de segunda ordem.O tensor é constante, embora os coeficientes variem com a rotação do sistema de coordenadas, oque prova que é um tensor. Neste caso, as tensões são dadas por

Si j = ∑k=x,y,z

∑l=x,y,z

Di jkl Ekl (4.11)

caracterizando uma dependência linear entre tensões (de Piola-Kirchhoff) e deformações. Estaé a equação constitutiva geral para a análise de grandes deslocamentos em materiais elásticoslineares. Não se pode relacionar diretamente o tensor euleriano de tensões de Cauchyσ como tensor lagrangiano de deformações de GreenE porque a relação não satisfaz a condição deobjetividade da relação constitutiva. Este é um erro muito comum, infelizmente, presente inclusiveem programas comerciais de elementos finitos. Há, no entanto, a possibilidade de se expressarobjetivamente uma relação constitutiva isotrópica relacionando o tensor tensão de Cauchy com otensor euleriano de deformações de Almansi ou com o tensor deCauchy-Green à esquerda.

Se, adicionalmente, admitirmos que os deslocamentos serãoinfinitesimais, podemos fazer asseguintes simplificações:

σ ≃ S (4.12)

E ≃ ε

e escrevermos a forma usual da Elasticidade infinitesimal linear (anisotrópica)

σi j = ∑k=x,y,z

∑l=x,y,z

Di jkl εkl (4.13)

que é a forma presente na maior parte das aplicações industriais anisotrópicas, como em materiaiscompostos.

Uma vez que tanto as tensões como as deformações são simétricas, pode-se concluir que muitosdos termos do tensor constitutivos são repetidos. Por exempo, a simetria das tensões nos garanteque

σi j = σ ji (4.14)

Di jkl = D jikl

e a simetria das deformações nos permite escrever

εkl = εlk (4.15)

Di jkl = Di jlk

Além disto, pela forma da energia de deformação ser quadrática, pode-se dizer que

Di jkl = Dkli j (4.16)

ou seja, o tensor constitutivo tem simetria nos quatro índices.Desta forma, dos 81 (34) termos deC, apenas 21 (6+6+9) são independentes. Muitas vezes se

expressa a relação constitutiva de forma compacta, utilizando somente os índices não repetidos naseguinte convenção:

σxx

σyy

σzz

σxz

σyz

σxy

=

Dxxxx Dxxyy Dxxzz Dxxxz Dxxyz Dxxxy

Dyyyy Dyyzz Dyyxz Dyyyz Dyyxy

Dzzzz Dzzxz Dzzyz Dzzxy

Dxzxz Dxzyz Dxzxy

simet. Dyzyz Dyzxy

Dxyxy

Exx

Eyy

Ezz

2Exz

2Eyz

2Exy

(4.17)

observe que as deformações cisalhantes estão multiplicadas por 2. Esta é uma forma de repre-sentação muito utilizada e será utilizada nesta apostila. Assim, ao calcular as tensões não esqueçade multiplicar as deformações cisalhantes por 2. Existem outras alternativas, como por exemplomultiplicar por 2 os termos deD que serão multiplicados pelas deformações cisalhates. Algunsautores multiplicam tanto as deformações cisalhantes comoos termos relativos da relação consti-tutiva por

√2, o que preserva a invariância do traço deD. Portanto, ao consultar uma referência,

verifique a representação utilizada.

4.3 Rotação de Tensores de Quarta Ordem

Pelo mesmo raciocínio utilizado para tensores de segunda ordem, que relacionavam dois tensoresde primeira ordem, podemos deduzir as equações de rotação dos tensores de quarta ordem. Ostensores de quarta ordem relacionam dois tensores de quartaordem, como por exemplo o tensorconstitutivo, que relaciona tensões de Piola-Kirchhoff com as deformações de Green

S= DE (4.18)

e rotacionando os tensores de segunda ordem

RSRT = DRERT (4.19)

verificamos queDrotacionado= RRRRD (4.20)

ou

Di jkl = ∑m=x,y,z

∑n=x,y,z

∑o=x,y,z

∑p=x,y,z

RimRjnRkoRl pDmnop. (4.21)

É sempre bom lembrar que a matriz constitutiva geral tem 81 termos, o que torna o processo derotação um tanto complexo, já que a matriz de rotação tridimensional tem 9 termos. Analisando osíndices da equação 4.21 vemos que a rotação é feita por blocos, na matrizCmnoporiginal. Assim,em vez de se utilizar um processo direto de multiplicação de matrizes (que devem ter as mesmasdimensões), devemos utilizar um procedimento do tipo (sintaxe do MAPLE)

for i from 1 to 3 dofor j from 1 to 3 dofor k from 1 to 3 dofor l from 1 to 3 doCR[i,j,k,l]:=0;

for m from 1 to 3 dofor n from 1 to 3 dofor o from 1 to 3 doform p from 1 to 3 doCR[i,j,k,l]:= CR[i,j,k,l] + C[m,n,o,p]*R[i,m]*R[j,n]*R[k,o]*R[l ,p];

od;od;

od;od;od;od;od;od;Onde o array CR irá conter o tensor rotacionado, C é o tensor a ser rotacionado e R é a matriz

de rotação tridimensional, de dimensões 3× 3. Este procedimento está ilustrado no arquivomodelo_transformacao_constitutiva_3d.mws.

4.4 Simetrias constitutivas

Conforme foi apresentado anteriormente, se o material possuir algum tipo de simetria a relaçãoconstitutiva irá assumir uma determinada estrutura. As simetrias podem ser reflexivas ou de ro-tação, sendo que quanto maior o número de simetrias, mais simples é a relação constitutiva. Ummaterial que não apresenta nenhuma simetria é chamado de triclínico e tem um tensor constitutivocheio, como o da equação (4.27). Antes de apresentarmos uma abordagem geral, vamos estudar otipo mais simples de relação constitutiva, a dos materiais isotrópicos.

A metodologia mais geral para determinarmos a forma do tensor constitutivo é submeter oestado de tensões e deformações original aos operadores de reflexão e rotação que representamas simetrias materiais. Como o tensor constitutivo deve ter amesma forma em todo o material,podemos montar um sistema de equações cujas incógnitas sejam os termos da relação constitutiva.Considere o seguinte exemplo: um material reforçado por fibras que seguem paralelas ao eixo Y,com igual espaçamento, de acordo com a figura 4.1. Conforme pode ser observado na figura 4.1.temos uma reflexão do material em torno do eixo Y, como se existisse um espelho com normal emX. Assim, se existe um estado bidimensional de tensões e deformações no lado esquerdo do eixoY, teremos um estado refletido no lado direito do eixo Y (observe a figura). Conforme pode serobservado por uma simples análise geométrica, as tenões normais se mantém iguais em móduloe em sinal, mas as componentes cisalhantes dos tensores deformação e tensão tem o seu sinal

Figura 4.1: Material reforçado por fibras unidirecionais.

invertido. Matematicamente, estamos aplicando um operador de reflexão

Mx =

(

−1 00 1

)

(4.22)

tanto no tensor deformação quanto no tensor tensão

σ ′ = MσMT (4.23)

ε ′ = MεMT .

Com isto, obtemos os seguintes estados de tensão e deformaçãono lado refletido:

σ ′ =

(

σxx −σxy

−σxy σyy

)

(4.24)

ε ′ =(

εxx −εxy

−εxy εyy

)

. (4.25)

Escrevendo os estados de tensão do lado esquerdo e do lado direito em termos do tensor constitu-tivo (deve ser o mesmo para os dois lados)

σxx

σyy

σxy

=

Dxxxx Dxxyy Dxxxy

Dxxyy Dyyyy Dyyxy

Dxxxy Dyyxy Dxyxy

εxx

εyy

2εxy

==

σxx

σyy

−σxy

=

Dxxxx Dxxyy Dxxxy

Dxxyy Dyyyy Dyyxy

Dxxxy Dyyxy Dxyxy

εxx

εyy

−2εxy

onde o lado esquerdo da iguladade se refere ao estado original e o lado direito ao estado refletidoescrito em termos das componentes originais. Expandindo asequações, obtemos um sistema comtrês equações, cujas incógnitas são os termos da relação constitutiva:

σxx(Dxxxxεxx+Dxxyyεyy−2Dxxxyεxy) = σxx(Dxxxxεxx+Dxxyyεyy+2Dxxxyεxy)σyy(Dxxyyεxx+Dyyyyεyy−2Dyyxyεxy) = σyy(Dxxyyεxx+Dyyyyεyy+2Dyyxyεxy)−σxy(Dxxxyεxx+Dyyxyεyy−2Dxyxyεxy) = σxy(Dxxxyεxx+Dyyxyεyy+2Dxyxyεxy)

e cuja solução permite concluir que

Dxxxy= Dyyxy= 0

ou seja, a forma do tensor constitutivo para este material é

Dxxxx Dxxyy 0Dxxyy Dyyyy 0

0 0 Dxyxy

.

Como pode ser observado, este material não possui acoplamento entre os termos normais e cisa-lhantes, portanto ao aplicarmos um esforço normal, o material não cisalha e vice-versa. Este não éo único tipo de simetria para o material da figura 4.1. Pode-seobservar que existe uma simetria re-flexiva em torno do eixo X, mas conforme pode ser observado (oucalculado), esta simetria não irámudar a forma constitutiva obtida no procedimento anterior. O procedimento acima está ilustradona planilhaortotropico_2D.mws.

4.4.1 Isotropia

A classe mais importante (e mais simples) de materiais elásticos são os materiais isotrópicos. Estesmateriais apresentam as mesmas propriedades em relação a qualquer orientação (todas as simetriasreflexivas e de rotação). Expressamos esta independência como

D′i jkl = ∑

m=x,y,z∑

n=x,y,z∑

o=x,y,z∑

p=x,y,zRimRjnRkoRl pDmnop= Dmnop (4.26)

para qualquer matriz de rotaçãoR. Pode-se provar que os únicos tensores 3x3x3x3 que satisfazemesta condição tem a forma

D =

λ +2µ λ λ 0 0 0λ +2µ λ 0 0 0

λ +2µ 0 0 0µ 0 0

simet. µ 0µ

(4.27)

ondeλ e µ são os coeficientes de Lamé (variam de acordo com o material).Esta prova é matemá-tica, baseada nas propriedades dos tensores de quarta ordem, o que está além dos objetivos destadisciplina. Para fixar alguns conceitos, vamos calcular a energia interna de um sólido isotrópico.Utilizando a definição quadrática para a energia de deformação apresentada em (4.9) ou (4.10),obtemos

W =12

Exx

Eyy

Ezz

Exz

Eyz

Exy

t

λ +2µ λ λ 0 0 0λ +2µ λ 0 0 0

λ +2µ 0 0 0µ 0 0

simet. µ 0µ

Exx

Eyy

Ezz

2Exz

2Eyz

2Exy

(4.28)

W =12(2µ +λ )

(

E2xx+E2

yy+E2zz

)

+12

λExx((Eyy+Ezz)+Eyy(Exx+Ezz)+Ezz(Exx+Eyy))(4.29)

+12

µ(

2E2xy+2E2

xz+2E2yz

)

e, de acordo com a equação (??), as tensões são obtidas pela derivada da energia de deformaçãoem relação a cada componente de deformação.

Conforme pode ser observado em (4.27), um material isotrópico apresenta apenas duas cons-tantes independentes, a escolher entre as várias opções, comoE eν , E eG, G eκ, etc. Os materiaismais comuns em engenharia mecânica podem ser analisados como isotrópicos, especialmente osmetais policristalinos, cujo tamanho de grão é pequeno em relação ao tamanho da peça.

Em engenharia, prefere-se trabalhar com constantes diferentes, como o módulo de Young, ocoeficiente de Poisson, ou o coeficiente volumétrico. As fórmulas para a conversão das constanteselásticas isotrópicas são :

E = µ3λ +2µλ +µ

(4.30)

ν =λ

2(λ +µ)(4.31)

G= µ (4.32)

κ = 3λ +2µ (4.33)

ExercícioDerive a expressão (4.29) em relação as componentes de deformação para obter os termos da

relação constitutiva. Após, reescreva o tensor obtido em termos de E eν .Após o exercício, você poderá verificar que o tensor constitutivo isotrópico tem a forma

Diso =

D11 D12 D12 0 0 0D12 D11 D12 0 0 0D12 D12 D11 0 0 00 0 0 D11−D12

2 0 00 0 0 0 D11−D12

2 00 0 0 0 0 D11−D12

2

(4.34)

ou seja, os termos que relacionam tensões cisalhantes com deformações cisalhantes são dependen-tes dos termos que relacionam tensões normais com deformações normais. Quantos ensaios sãonecessários para obter as duas constantes que descrevem um material isotrópico ?

4.4.1.1 Simetria Monoclínica

Suponhamos que o material apresente algum tipo de simetria,seja cristalográfica, ou através deuma microestrutura periódica ou estatisticamente periódica. Neste caso, pode-se prever que otensor constitutivo tem algum tipo de simetria. Como exemplos, se o material apresentar um planode simetria com normal emZ, pode-se afirmar que o tensor constitutivo tem a forma de um materialmonoclínico,

D =

Dxxxx Dxxyy Dxxzz 0 0 Dxxxy

Dyyyy Dyyzz 0 0 Dyyxy

Dzzzz 0 0 Dzzxy

Dxzxz Dxzyz 0simet. Dyzyz 0

Dxyxy

(4.35)

e apresenta 13 coeficientes elásticos independentes. Para este caso, podemos mostrar o procedi-mento que permitiu reduzir o tensor constitutivo original aeste tensor simplificado. Uma reflexãono plano xy (plano com normal em Z) é dada pelo operador de reflexão M , que assim como amatriz de rotação, permite modificar tensores de interesse.No caso da relação constitutiva, deve-mos analisar a reflexão dos dois tensores relacionados pelo tensor constitutivo de quarta ordem, o

tensor das tensões e o tensor de deformações. Definindo a reflexão no plano xy

M =

1 0 00 1 00 0 −1

(4.36)

de tal modo que as reflexões deσ e deε sejam dadas por

σ ′ = MσMT (4.37)

ε ′ = MεMT

obtemos, em termos das componentes originais,

σ ′ =

σxx σxy −σxz

σxy σyy −σyz

−σxz −σyz σzz

(4.38)

ε ′ =

εxx εxy −εxz

εxy εyy −εyz

−εxz −εyz εzz

. (4.39)

Expandindo a primeira equação da relação constitutiva nas novas componentes,

σ ′xx = σxx = Dxxxxεxx+Dxxyyεyy+D13εxxzz−2Dxxxzεxz−2Dxxyzεyz+2Dxxxyεxy (4.40)

Com o mesmo procedimento para as demais 5 equações (lembre-seque o tensor constitutivo ésimétrico), verificamos que o tensor constitutivo assume a forma da equação (4.35) para o casode simetria constitutiva no plano xy. Este tensor tem propriedades invariantes em relação a esteplano de simetria (para o operador de reflexão). O arquivomonoclinico_xy.mwsilustra o procedi-mento realizado para obter a relação constitutiva (4.35). Se o plano de simetria for o ZY, obtemosuma relação diferente, conforme apresentado no arquivomonoclinico_zy.mws. Os arquivosre-fletindo_monoclinico_xy.mwse rotacionando_monoclinico_xy.mwsilustram, respectivamente, ainvariância da forma (4.35) com uma reflexão no plano XY e os acoplamentos que aparecem comuma rotação arbitrária do sistema de referência.

4.4.1.2 Simetria Ortotrópica

Utilizando um tensor com simetria monoclínica e aplicando mais uma simetria reflexiva em umplano ortogonal ao primeiro, obtemos um material com dois planos de simetria reflexiva, ao qualchamamos de material ortotrópico. Este apresenta nove coeficientes elásticos independentes

D =

Dxxxx Dxxyy Dxxzz 0 0 0Dyyyy Dyyzz 0 0 0

Dzzzz 0 0 0Dxzxz 0 0

simet. Dyzyz 0Dxyxy

. (4.41)

O interessante é verificar que se escolhermos mais um plano desimetria, esta relação não será al-terada (pois todas as componentes cisalhantes já estão desacopladas). Muitos materiais podem seranalisados considerando a ortotropia, como a madeira, resinas reforçada com fibras, etc. Devido aimportância dos materiais ortotrópicos no estudo de materiais compostos, vamos explicitar aqui arelação constitutiva:

Dxxxx= Ex1−νyzνzy

∆(4.42)

Dxxyy= Exνyx+νzxνyz

∆= Ey

νxy+νzyνxz

∆

Dxxzz= Exνzx+νyxνzy

∆= Ez

νxz+νxyνyz

∆

Dyyyy= Ey1−νxzνzx

∆

Dyyzz= Eyyνzy+νxyνzx

∆= E3

νyz+νyxνxz

∆

Dzzzz= Ez1−νxyνyx

∆Dxzxz= Gxz, Dyzyz= GyzDxyxy= Gxy

∆ = 1−νxyνyx−νyzνzy−νzxνxz−2νyxνzyνxz

ondeEx, Ey eEz são os módulos de elasticidade nas três direções de referência,νi j são os coeficien-tes de Poisson, definidos como a razão entre a deformação transversal na direção j e a deformaçãoaxial na direção i, quando com tensão na direção i (axial), ousejaνi j = −ε j/εi . As relaçõesrecíprocas

νi j

Ei=

ν ji

E j(4.43)

são válidas.Gi j são os módulos de elasticidade trasversal nos planos xz, yz exy. O arquivoortotropico.mwsapresenta o conceito apresentado aqui. É importante salientar que um materialortotrópico possui 9 coeficientes elásticos independentesem qualquer orientação. Se o materialse encontrar fora dos eixos de simetria material, alguns acoplamentos poderão existir, mas estasposições deD serão funções das 9 constantes originais. A mesma observação é válida para outrassimetrias materiais que não a isotrópica.

Casos ParticularesExistem dois casos particulares importantes dos materiaisortotrópicos. Se um material orto-

trópico apresenta isotropia em um plano (ou seja, as propriedades são invariantes com a rotaçãoem torno deste plano), podemos nos utilizar das relações obtidas na relação (6.9), onde as constan-tes relacionadas ao cisalhamento estão relacionadas às constantes normais. Assim, se o plano deisotropia é o YZ, obtemos a relação

D =

Dxxxx Dxxyy Dxxyy 0 0 0∗Dyyyy ∗Dyyzz 0 0 0

∗Dyyyy 0 0 0Dxyxy 0 0

simet. ∗Dyyyy−Dyyzz2 0

Dxyxy

(4.44)

onde os termos precedidos de um * indicam o plano de isotropia. Se o plano de simetria for o XYobtemos a relação

D =

∗Dxxxx ∗Dxxyy Dxxzz 0 0 0∗Dxxxx Dxxzz 0 0 0

Dzzzz 0 0 0Dxzxz 0 0

simet. Dxzxz 0∗Dxxxx−Dxxyy

2

. (4.45)

Em ambos os casos, temos apenas 5 constantes elásticas independentes. Esta simetria é muitoimportante, estando associada a compostos unidirecionaise metais trabalhados em uma direção.

O arquivorotacionando_transversalmente_isotropico.mwsmostra a invariância das proprie-dades de um material transversalmente isotrópico com a rotação no seu plano de isotropia. Estesmateriais mantém suas propriedades invariantes com a rotação de um plano em torno de uma di-reção. Neste caso, para chegar a esta relação, devemos aplicar uma rotação em torno do eixo deinteresse na forma geral, utilizando a matriz de rotaçãoR e depois estudando o comportamento domaterial para qualquer ânguloθ .

Se o material apresentar simetria com relação aos planos bissectores dos coordenados, o mate-rial apresentasimetria cúbicacom três coeficientes independentes.

D =

Dxxxx Dxxyy Dxxyy 0 0 0Dxxxx Dxxyy 0 0 0

Dxxxx 0 0 0Dxyxy 0 0

simet. Dxyxy 0Dxyxy

. (4.46)

O modo de determinação das propriedades é bastante complexo. Para o caso de metais e materi-ais isotrópicos em pequenos deslocamentos, pode-se fazer ensaios uniaxiais e utilizar a deformaçãolateral para obter-se os demais coeficientes. Para os demaismateriais, pode-se fazer vários ensaiosem várias orientações do material para se obter as propriedades. Se for possível obter um modelode um volume representativo do material, pode-se utilizar métodos de estimação das propriedadesatravés de modelos matemáticos, como a homogeinização.

Para propriedades em grandes deformações, a metodologia deobter as propriedades do materialsão bem mais complexas, envolvendo criar modelos de comportamento e comprová-los através deexaustivos ensaios. Este é o caso dos modelos de plasticidade ou de grandes deslocamentos emborrachas.

No caso de simetria cúbica, os módulos são iguais nas três direções. A diferença em relaçãoà isotropia é que o módulo de cisalhamento independe do módulo de Young e do coeficiente dePoisson.

Os materiais ortotrópicos não mantem a forma da matriz invariante com as rotações; na ver-dade, é possível que a matriz seja cheia se as direções principais do material não estiverem alinha-das com os eixos. Por exemplo; dado a seguinte matriz constitutiva de um material com simetriacúbica

D =

1 0.5 0.5 0 0 00.5 1 0.5 0 0 00.5 0.5 1 0 0 00 0 0 0.1 0 00 0 0 0 0.1 00 0 0 0 0 0.1

ondeDxxyy+2Dxyxy 6= Dxxxx

a matriz constitutiva em uma direção deπ/6 radianos em torno deZ eY é dada por

R=

34 −

√3

4 −12

12

√3

2 0√3

414

√3

2

e o tensor constitutivo nesta orientação terá acoplamento entre termos normais e termos de cisa-lhamento.Exercício: Rotacione a relação constitutiva acima utilizando o MAPLE.

4.4.2 Dilatação térmica

O estudo da dilatação térmica de metais utiliza, para a maioria dos casos, a hipótese de que asdeformações térmicas são lineares na temperatura. Desta forma, escreve-se a relação constitutivapara a chamada Termoelasticidade como

σi j = ∑k=x,y,z

∑l=x,y,z

Di jkl (εkl −αkl∆T) (4.47)

ondeα é o tensor de coeficientes de dilatação térmica. Em alguns casos, define-se um tensor detensões térmicas

βi j = ∑k=x,y,z

∑l=x,y,z

Di jkl αkl (4.48)

de modo que a relação constitutiva possa ser escrita como

σi j = ∑k=x,y,z

∑l=x,y,z

Di jkl εkl −βi j ∆T . (4.49)

Para materiais isotrópicos, normalmente consideramos queas dilatações térmicas são tambémisotrópicas, isto é,

α = αI (4.50)

e a relação constitutiva fica

σi j = δi j λ

(

∑k=x,y,z

Ekk−α∆T

)

+2µ ∑k=x,y,z

∑l=x,y,z

(Ekl −αδkl∆T) .

Obviamente pode-se questionar a validade deste modelo paraaltas temperaturas. Neste caso,deve-se considerar a variação das propriedades elásticas com a temperatura,E (T) e ν (T), e se omaterial for permanecer muito tempo tensionado em alta temperatura, a fluência.

4.4.3 Modelos constitutivos para borrachas

As borrachas são normalmente modeladas como materiais elásticos isotrópicos incompressíveis.Uma vez que são materiais elásticos, considera-se que haja uma função energia de deformaçãoWque represente o acúmulo de energia mecânica no corpo. A forma geral destas funções é

W = f (C) . (4.51)

Uma vez que o material é isotrópico, as propriedades tem que ser as mesmas em qualquerdireção. Podemos escrever esta dependência como

W = f (C) = f(

RCRT)

(4.52)

para qualquer matriz de rotação. Esta independência em relação a rotações pode ser expressa deoutra forma. Todo tensor apresenta seus invariantes, que são grandezas que não variam com ro-tações do sistema coordenado (como o nome sugere). Se expressarmosW como uma função deC somente através dos invariantes deC, certamente estaremos descrevendo um material isotró-pico. O tensorC é um tensor de segunda ordem e portanto tem três invariantes (devido a equaçãocaracterística ser cúbica),

W = f (I1, I2, I3) , (4.53)

onde os invariantes são expressos como

I1 = ∑i=x,y,z

Cii =Cxx+Cyy+Czz (4.54)

I2 =12

(

CiiCj j −Ci jCji)

=C11C22+C11C33+C22C33− (C12C21+C13C31+C23C32)

I3 = detC

onde o primeiro termo é uma função do primeiro invariante e o segundo uma função do segundoe do primeiro invariante deC.

Se adicionalmente o material for incompressível, podemos escrever a seguinte equação:

detF = 1

detC = det(F2) = 1

I3 = 1

e consequentementeW = f (I1, I2)

Há muitos modelos diferentes para borracha, todos baseadosna forma acima. Os mais conhe-cidos são os que usam uma expansão em série de Taylor emI1 e I2. Como exemplo, o modelo deborracha de Mooney-Rivlin utiliza os termos lineares da expansão

W = A1(I1−3)+A2(I2−3)I3 = 1

,

onde a subtração de três é para que a energia seja nula na posição indeformada. As constantesA1

eA2 variam conforme o material.As tensões de Piola Kirchhoff são calculadas por

Si j =∂W∂Ei j

Outros modelos bastante utilizados são os de Rivlin-Saunders, que adiciona os termos quadrá-ticos na expansão da energia de deformação, e o modelo de Ogden, bem mais complicado por sebasear nas deformações principais.

Outro material cuja relação constitutiva é similar à da borracha é o propelente sólido de fogue-tes, também considerado isotrópico, incompressível e hiperelástico.

4.5 Elastoplasticidade e outras relações constitutivas

Grande parte dos materiais, especialmente os materiais dúteis, podem ser bem aproximados pelomodelo da elasticidade linear até um certo limite de tensão.Após este limite, estes materiaisapresentam deformações permanentes, que não desaparecem após a aplicação da carga. Umavez que a elasticidade prevê a reversibilidade dos fenômenos, este comportamento é claramenteinelástico. Este fenômeno é chamado de plasticidade, e se difere da viscoelasticidade pelo fato deque a tensão resultante é modelada como independente da taxade deformação.

Três tipos de relação entre as variáveis de campo são necessários:

• relações tensão-deformação para o comportamento elástico

• relações tensão-deformação para o comportamento plástico

• um critério de escoamento, que decide se uma determinada partícula de material está secomportando elasticamente o plasticamente.

Com este tipo de modelo, certamente o modelo de plasticidade énão-linear, mesmo que se consi-dere que os deslocamentos são infinitesimais.

Os critérios de escoamento tem normalmente a seguinte forma

f (σ)≤ k2 (4.55)

onde o fator de encruamentok depende da deformação acumulada. Se este fator for constante,considera-se que não há encruamento do material. Sef (σ)< k2, o material está se comportandoelasticamente. Sef (σ) = k2 o material está escoando. Normalmente, na literatura de plasticidade,se fala em superfície de escoamento, definida porf (σ) = k2. Esta superfície está definida noespaço das tensões, de dimensão 6. Se a tensão estiver dentroda superfície, a tensão é elástica, seestiver na superfície o material está escoando, e as tensõesnão podem estar fora da superfície.

4.5.1 Elastoplasticidade isotrópica

A elastoplasticidade é um fenômeno muito difícil de ser analisado para um caso geral de materiaisanisotrópicos, a maioria dos estudos tem se limitado a materiais isotrópicos, principalmente metaispolicristalinos.

O critério de escoamento mais comum é o de von Mises-Hencky-Huber, pelo qual o escoa-mento começa em um ponto quando a máxima energia de distorçãoatinge um determinado limite.

2Y2 = (σ1−σ2)2+(σ2−σ3)

2+(σ3−σ1)2 , (4.56)

ondeσi são as tensões principais.Este tipo de solução é utilizado para cálculos de peças submetidas a deformações plásticas,

como estruturas leves e simulação de colisões de veículos. Mas a principal utilização é a simulaçãode processos de fabricação, como estampagem e forjamento.

Há modelos mais simples de plasticidade, sem a fase elástica(para simulação de grandes defor-mações, como forjamento). Há também modelos sem encruamento, para casos que a deformaçãoplástica é pequena.

4.5.2 Viscoelasticidade

Muitos materiais utilizados em engenharia (entre os quais os assim chamados “plásticos”, ou me-tais em alta temperatura) apresentam simultaneamente características de sólidos e fluidos viscosos.Estes materiais são chamados de materiais viscoelásticos ou viscoplásticos. Nestes materiais, osfenômenos de fluência e do relaxamento das tensões.

Fluência é definida como o aumento das deformações ao longo dotempo, sem que haja oaumento das tensões. Reciprocamente, o relaxamento é a diminuição das tensões em um corposem que haja o aumento de deformação.

A relação constitutiva para este tipo de material tem a seguinte forma

δTi j = ∑k=x,y,z

∑l=x,y,z

Gi jkl (t − τ)δEkl (τ) (4.57)

ondeGi jkl são funções decrescentes no tempo, chamadas de funções de relaxamento. As tensõespodem ser calculadas integrando a relação constitutiva no tempo

Ti j =∫ t

−∞∑

k=x,y,z∑

l=x,y,z

Gi jkl (t − τ)dEkl

dτdτ . (4.58)

SeG for independente do tempo, recaímos na elasticidade linear. SeG for a função delta deDirac, recaímos em um fluido...

4.6 Exercícios

• Em duas dimensões, a equação constitutiva de um material elástico linear é expresso naforma compacta por

σxx

σyy

σxy

=

Dxxxx Dxxyy Dxxxy

Dyyxx Dyyyy Dyyxy

Dxyxx Dxyyy Dxyxy

εxx

εyy

2εxy

Deduza analiticamente a matriz constitutiva para um material ortotrópico em duas dimen-sões, explicando passo a passo o procediemento.

• Dado o tensor constitutivo ortotrópico

D = 106

200 30 10 0 0 0100 10 0 0 0

50 0 0 060 0 0

sim. 80 0120

,

calcule sua forma para um sistema de coordenadas rotacionado deπ/6 radianos ao redor doeixoz. Comente os acoplamentos que resultam desta rotação.

• Dado um campo de deformações descrito por

x = x0+1×10−3x0+2×10−3y0

y = y0+1×10−3(y0)2

z = z0

em um sólido ocupando[0,1]× [0,1]× [0,1], calcule:

– as deformações de Green, as infinitesimais e um esboço da deformação;

– as tensões de Cauchy e as tensões de Piola-Kirchhoff, considerando o tensor constitu-tivo dado por

D = 106

200 30 10 0 0 0100 10 0 0 0

50 0 0 060 0 0

sim. 80 0120

;

– comente a validade das tensões obtidas com este procedimento;

– o valor da força de corpo para que o sólido esteja em equilíbrio sem trações aplicadas;

– a energia de deformação.

• Mostre o que acontece quando um material ortotrópico tem simetria isotrópica em torno dostrês eixos coordenados;

Capítulo 5

Propriedades Elásticas de MateriaisCompostos

Nos capítulos anteriores revisamos os conceitos básicos damecânica dos sólidos, tais como de-formações, tensões e relações constitutivas. O estudo das relações constitutivas permitiu avaliara influência de certas simetrias materiais no formato do tensor constitutivo de quarta ordem querelaciona as tensões e as deformações. Cada posição deste tensor está relacionada as propriedadesdo material composto, que por sua vez depende de seus diversos constituintes. Uma das etapasmais difíceis do estudo dos materiais compostos é a determinação de suas propriedades elásticas.Há vários métodos análiticos e experimentais disponíveis,e dentre destes os mais simples serãointroduzidos nesta disciplina.

Do conhecimento das propriedades elasticas de um material composto, tais como os módu-los de elasticidade transversal e longitudinal e os coeficientes de Poisson, podemos determinaras posições do tensor constitutivo. Abordagens micromecânicas permitem estimar a variação daspropriedades do meio composto, pelas propriedades e proporções de seus constituintes. A aborda-gem micromecânica permite, através das equações da elasticidade, obter soluções exatas (porémcomplexas), aproximadas e valores limites. Independente da abordagem escolhida, o objetivo éobter as propriedades do material composto em questão, em termos das propriedades e proporçõesdos seus constituintes

Ci jkl =Ci jkl(

Ef ,ν f ,Vf ,Em,νm,Vm)

(5.1)

ondeEf é o módulo de elasticidade da fibra,ν f é o coeficiente de Poisson da fibra e

Vf =volumede f ibra

volumedocomposto(5.2)

é a proporção de fibra no material. Alternando-se os índices para m, estamos nos referenciando àspropriedades da matriz.

Algumas hipóteses são feitas nas deduções das propriedadesde materiais compostos nestadisciplina: a matriz é considerada isotrópica, elástica, linear e homogênea, assim como as fibrasou inclusões. No caso das fibras, assumimos que estas são perfeitamente alinhadas e espaçadas.Ainda, defeitos na interface das fibras ou inclusões com a matriz não são considerados.

A forma mais simples de se estimar a variação das propriedades com a proporção dos consti-tuintes é a teoria de misturas, ou regra das misturas

5.1 Teoria de misturas

A primeira tentação para se determinar as propriedades de ummaterial composto do qual se co-nhece a proporção volumétrica dos componentes é utilizar uma regra de três simples, chamada

49

aqui de “Regra das Misturas”. Obviamente, a simplicidade da fórmula, embora atraente, certa-mente leva a resultados errados por desconsiderar completamente a microestrutura do materialcomposto. Há alguns casos em que esta regra vale, no entanto,que é o caso de misturas bastantediluídas de inclusões de um material de reforço em uma matriz; ou em alguns casos de reforçounidirecional.

Por exemplo, podemos estimar as propriedades de um materialcomposto de 2% de volumede esferas de vidro em polipropileno, dados que Módulo de Young do vidro é de 85,4GPa e doplástico é de 1GPa. Pela regra de três, o composto terá cerca de 2,69GPa de módulo de elasti-cidade. Este tipo de raciocínio simplista falha miseravelmente para concentrações maiores que5%, principalmente se as inclusões não forem esféricas. Esta regra de três é o limite superior daspropriedades elásticas

Emax=V1E1+V2E2

1, V1+V2 = 1 (5.3)

O limite inferior é dado pelo inverso da média dos inversos, isto é,

Emin =1

1V1E1

+ 1V2E2

(5.4)

Se analizarmos um composto reforçado por fibras, isolando uma região representativa da cons-tituição do material, podemos fazer uma análise simplificada do comportamento do material.Observando-se a figura 5.1,verificamos que a deformação normal εxxé dada pela variação do com-primento, dividido pelo comprimento inicial L. Como assuminos que a fibra e a matriz são isotró-picos, elásticos e lineares, podemos afirmar que

σ f = Ef εxx (5.5)

σm = Emεxx (5.6)

o que corresponde a molas em paralelo. A tensão média permiteobter, então, uma expressão paraa força, que age na seção

F = σxxA= σ f Af +σmAm (5.7)

e como

σxx = Exεxx =F

Atot(5.8)

podemos reescrever

σxx = σ fAf

Atot+σm

Am

Atot= Ef εxx

Af

Atot+Emεxx

Am

Atot(5.9)

o que leva a concluir que

Ex = EfAf

Atot+Em

Am

Atot(5.10)

ouEx = EfVf +EmVm. (5.11)

Esta expressão diz que o módulo de elasticidade longitudinal depende da quantidade e do valor domódulo de elasticidade de cada constituinte.

Realizando-se a mesma análise para um carregamento aplicadona direção Y, de acordo com afigura5.2, verificamos que ao invés de uma disposição em paralelo, agora temos uma disposiçãoem série. Com o mesmo raciocínio realizado acima, obtemos

Ey =Ef Em

VmEf +Vf Em. (5.12)

Figura 5.1: Composto reforçado por fibras submetido a tração na direção da fibra.

Figura 5.2: Composto reforçado por fibras submetido a tração na direção perpendicular a fibra.

As hipóteses realizadas na obtenção das propriedades acimafazem com que os valores obtidossejam aproximados. Por exemplo, como o coeficiente de Poisson da fibra e da matriz são dife-rentes, deveríamos considerar os efeitos decorrentes deste fato. Alguns pesquisadores utilizam oscoeficientes de Poisson, principalmente da matriz, para a correção das propriedades obtidas poreste método.

5.1.1 Valores Limites

Utilizando-se as equações da elasticidade, podemos obter limites superiores e inferiores para aspropriedades do material composto. Estes valores são muitoúteis, pois permitem uma análiserápida de algumas características do material, além de permitir avaliar situações extremas. Doestudo de compostos formados por misturas homogêneas de materiais isotrópicos, obtém-se comolimites

E1E2

E1V2+E2V1≥ E ≥ E1V1+E2V2 (5.13)

ou seja, as propriedades se encontram entre um limite superior linear e um limite inferior não-linear.

5.1.2 Métodos auto-consistentes

Os métodos auto-consistentes foram desenvolvidos a partirde idéias de R. Hill a partir dos anos 60.Estes métodos se aplicam principalmente para compostos comreforços esféricos. Recentemente,estes métodos tem sido extendidos para policristais, e visam estimar as propriedades de materiaisisotrópicos heterogêneos. A base deste método é uma soluçãoanalítica da elasticidade para umainclusão elipsoidal em um meio infinito, chamada de solução de Eshelby. Variando as dimensõesdo elipsóide, pode-se chegar a boas soluções para esferas, fibras e lâminas. Este método é bastantecomplicado e não será objeto de estudo neste texto.

5.1.3 Homogeinização

O método da homogeinização foi desenvolvido por E. Sanchez-Palencia a partir de 1973 parameios contínuos periódicos. Mais tarde, pesquisadores como F. Léné combinaram esta técnicamatemática com o método dos elementos finitos, tornando-o muito útil para engenheiros. O mé-todo da homogeinização parte do pressuposto que o material éperiódico, isto é, sua microestruturapode ser representada por uma célula unitária que se repete ao longo do corpo. Como podemosutilizar o método dos elementos finitos, microestruturas deformatos bastante complexos podemser modeladas com relativa simplicidade.

5.2 Técnicas empíricas

5.2.1 Fórmulas empíricas para materiais reforçados por fibras - Halpin-Tsai

Fórmulas para a determinação de propriedades por teoria de misturas, tais como as equações (5.11)e (5.12), não são adequadas na maioria das situações. Ainda,se analizarmos os valores limitesque podem ser obtidos de uma mistura de dois constituintes, verificamos que a equação (5.11)corresponde ao limite superior e a equação (5.12) corresponde ao limite inferior. Desta forma, ummétodo que permita obter valores intermediários é desejado. O método de Halpin-Tsai, baseadona solução das equações da elasticidade, juntamente com a verificação de dados experimentais,permite obter valores muito bons, principalmente se levarmos em consideração a simplicidade dasequações. As equações para o método são apresentadas abaixo:

E1 = EfVf +EmVm (5.14)

ν12 = ν fVf +νmVm (5.15)

MMn

=1+ξ ηVf

1−ηVf(5.16)

onde

η =

(

M f /Mm)

−1(

M f /Mm)

+ξ(5.17)

eM = E2,G12 ouν23 (5.18)

ondeξ é um coeficiente de ajuste que depende da geometria da fibra, dadisposição das fibras e docarregamento. Conforme pode ser observado, as propriedadesna direção da fibra são dadas pelolimite superior, o que concorda com diversos dados experimentais. As propriedades transversaissão obtidas pela relação (5.16), que depende de proporções volumétricas e do fator de ajusteξ .Para fibras circulares dispostas em um arranjo quadrado, usa-se ξ = 2 para o cálculo deE2 eξ = 1 para o cálculo deG12. Para outros arranjos, devemos consultar a bibliografia especializada.Os valores deξ são obtidos pela comparação das equações (5.16) e (5.17) comsoluções exatas,interpolando o valor deξ no intervalo.

É importante salientar que estas equações podem ser aplicadas a materiais particulados e nãosó a compostos formados por fibras.

Geralmente o valor deξ é válido para uma faixa deVf , sendo que valores deVf muito próximosde um podem levar a erros inaceitáveis. No entanto, se devidamente utilizadas, estas equaçõespermitem obter resultados bastante satisfatórios, principalente se levarmos em conta que existemincertezas, tanto nas propriedades dos constituintes quanto na sua disposição.

5.2.1.1 Análise limte dos valores das equações de Halpin-Tsai.

Analisando os valores das relações de Halpin-Tsai, podemosaprender bastante sobre o comporta-mento destas equações.

Inicialmente, vamos analisar o comportamento das propriedades com a variação do parâmetroξ , que se encontra no intervalo[0,∞). Para um valor nulo, verificamos que

1M

=Vf

M f+

Vm

Mm(5.19)

correspondendo ao valor inferior das propriedades (modeloem série). Para o valor infinito,

M =Vf M f +VmMm (5.20)

obtemos o limite superior, associado ao modelo em paralelo.Assim, podemos afirmar queξ é umamedida de reforço do composto pelas fibras (ou inclusões). Para valores pequenos, o reforço não éefetivo, mas quanto maior o valor deξ , maior é a a sua contribuição à rigidez do laminado.

Analisando o significado deη , obtemos: para uma inclusão rígida,η = 1, para uma inclusãovazia (ausência de material),η =− 1

ξ e para materiais homogêneos(

M f = Mm)

, η = 0. Assim, oparâmetroη está relacionado as propriedades do material e ao fator de correçãoξ .

O mais importante na análise destas equações é:

1. Ef tem uma contribuição significativa paraE1;

2. Em tem contribuição siginificativa paraE2eG12;

3. ν f e νm tem pouco efeito emE2 eG12 e nenhum efeito emE1.

Capítulo 6

Laminados

Compostos laminados representam uma grande parcela da aplicação dos materiais compostos naindústria, o que indica o seu estudo detalhado. Um material laminado é formado por diversas cama-das de diferentes constituintes, compostos ou não. Assim, uma chapa composta por duas camadasde materiais isotrópicos será um material laminado. No entanto, os materiais compostos lamina-dos mais comuns são os reforçados por fibras, onde em cada camada do laminado, encontramosdiferentes orientações e diferentes disposições de fibras eespessuras das camadas.

É comum assumirmos dois sistemas de coordenadas no estudo decompostos laminados: umsistema no laminado e um sistema na camada (ply). Diversas nomenclaturas são utilizadas, sendoque no decorrer desta apostila, iremos deignar os eixos do laminado por 1, 2 e 3 (x, y e z dolaminado) e x,y e z os eixos da lâmina (figura 6.1).

Esta diferenciação é fundamental no estudo das propriedades dos materiais laminados. Porexemplo, geralmente representamos o carregamento no sistema do laminado (1,2), mas estudamosa falha das fibras no sistema da lâmina (x,y). Uma rotação no sentido anti-horário será assumidacomo positiva.

6.1 Estado Plano de Tensões

Se a estrutura a ser estudada tem a espessura menor do que as demais dimensões e possui car-regamento somente no plano formado pelas outras duas dimensões (por exemplo, espessura nadireção z e plano xy), podemos simplificar o modelo tridimensional para um modelo plano. Umaanálise rápida do problema permite verificar que as componentesσzz , σzx e σzy devem ser nulas .

Figura 6.1: Nomenclatura utilizada na designação dos eixos.

54

Expandindo as relações tensão×deformação, obtemos

σxx = Dxxxxεxx+Dxxyyεyy+Dxxzzεzz+Dxxxyεxy (6.1)

σyy = Dyyxxεxx+Dyyyyεyy+Dyyzzεzz+Dyyxyεxy

σxy = Dxyxxεxx+Dxyyyεyy+Dxyzzεzz+Dxyxyεxy

σzz= Dzzxxεxx+Dzzyyεyy+Dzzzzεzz+Dzzxyεxy = 0

onde devemos lembrar que embora não tenhamos carregamento na direção z, podemos ter defor-mação nesta direção. Esta deformação é dependente das demais componentes, sendo que podemosutilizar a última equação de (6.1) para obter esta relação:

εzz=−Dzzxxεxx+Dzzyyεyy+Dzzxyεxy

Dzzzz. (6.2)

Reescrevendo as relações tensão×deformação para o estado plano de tensões, obtemos

σxx

σyy

σxy

=

Qxxxx Qxxyy Qxxxy

Qxxyy Qyyyy Qyyxy

Qxxxy Qyyxy Qxyxy

εxx

εyy

2εxy

, (6.3)

ondeQ é a relação constitutiva reduzida para um estado plano de tensões. Os termos deQ sãoobtidos pela substituição de (6.2) em (6.1), o que permite escrever

Qi j =Di j −DizzD jzz

Dzzzz, i, j = xx, yy, xy. (6.4)

É importante salientar que no caso de existir uma simetria, como ortotrópica, isotrópica ouquadrada, a relação (6.3) simplifica pelo desacoplamento dos cisalhamentos, onde os termosQxxxy

eQyyxysão iguais a zero. Um exemplo de simetria constitutiva é a simetria quadrada obtida com ouso de um tecido balanceado (balanced-wave fabric). Neste caso, de forma diferente de materialisotrópico, o termo cisalhante é idependente dos normais. Se o material tem fibras orientadas nadireção do eixo local x da lâmina, consideramos como ortotrópico. Neste caso, se realizarmosensaios para obter as propriedades do material, iremos verificar que para uma tração simples nadireção x (paralela a orientação das fibras) a deformação seráεxx=

σxxExx

, onde podemos obter o valordo módulo na direção das fibras. A deformação na direção das fibras, provocada por uma traçãona direção y é facilmente descrita em termos das constantes de engenhariaεxx =

−νxyσyyEy

, onde

o coeficiente de Poisson é definido comoνxy = − εxxεyy

. Como não estamos considerando esforçosaplicados fora do plano, podemos então descrever a deformação nas direções normais por

εxx =σxx

Ex− σyyνyx

Ey(6.5)

εyy =σyy

Ey− σxxνxy

Ex

εzz=−σxxνxz

Ex− σyyνyz

Ey

e a propriedade da direção cisalhante é obtida diretamente do ensaio de cisalhamento

2εxy =σxy

Gxy(6.6)

Com isto, obtemos a matrizS, que relaciona deformações com tensões. Se invertermos estamatriz, iremos obter a matrizQ, que representa a relação entre tensões e deformações. Os termosda matrizQ são

Qxxxx= Qxx =Ex

1−νxyνyx(6.7)

Qyyyy= Qyy =Ey

1−νxyνyx

Qxxyy= Qxy = νxyQyy = νyxQxx

Qxyxy= Qss= Es = Gxy.

Para um material com simetria quadrada,

Qxxxx= Qxx = Qyy =Ex

1−ν2x

(6.8)

Qxxyy= Qxy = νxQxx

Qxyxy= Qss= Es.

e para um isotrópico

Qxx = Qyy =E

1−ν2 (6.9)

Qxxyy= Qxy =νE

1−ν2

Qss=E

2(1+ν).

Não é incomum trabalharmos com as componentes de cisalhamento σxz e σyz, pois mesmo sendomuito pequenas, podendo ser desprezadas na grande maioria das aplicações, podem provocar fa-lhas em materiais compostos. Isto ocorre pois a direção transversal costuma ser menos resitentedo que as direções do plano das fibras. Neste caso podemos utilizar

σyz

σxz

=

[

Gyz 00 Gxz

]

2εyz

2εxz

(6.10)

onde continuamos a desconsiderar a tensãoσzz.Para o caso ortotrópico, considerando a variação de temperatura, podemos escrever

σxx

σyy

σxy

=

Qxx Qxy 0Qxy Qyy 00 0 Qss

εxx−αx∆Tεyy−αy∆T

2εxy

(6.11)

As relações acima permitem analisar um grande número de estruturas laminadas compostas.Exemplo: obtenha o tensor constitutivo bidimensional parao composto unidimensional lami-

nado CRFP T300/5208 (Ex=181GPa,Ey=10,36GPa,Es=7.17GPa eνx=0.28)Inicialmente, obtemos o termoνy pela simples relação

νy =νxEy

Ex= 0.0159

e utilizando os dados do material e as equações apresentadas

Qxx =Ex

(1−νxνy)=

181(1−0.28∗0.0159)

= 181.81GPa

Material Ex Ey Ez Gxy Gxz Gyz µxy µxz µyz α1 α2

Aluminio 10.6 10.610.6 3.38 3.38 3.38 0.33 0.33 0.33 13.1 13.1Cobre 18.0 18.0 18.0 6.39 6.39 6.39 0.33 0.33 0.33 18.0 18.0Aço 30.0 30.0 30.0 11.24 11.24 11.24 0.29 0.29 0.29 10.0 10.0

Gr. -Ep (AS/3501) 20.0 1.3 1.3 1.03 1.03 0.9 0.3 0.3 0.49 1 30.0Gr. -Ep (T300/934) 19.0 1.5 1.5 1.00 0.9 0.9 0.22 0.22 0.49 -0.167 15.6

Gl. -Ep 7.8 2.6 2.6 1.30 1.30 0.5 0.25 0.25 0.34 3.5 11.4Br. -Ep 30.0 3.0 3.0 1.00 1.00 0.6 0.3 0.25 0.25 2.5 8.0

Tabela 6.1: Propriedades de alguns materiais segundo Reddy -Mechanics of Lamminated Com-posite Plates. Módulos em msi (1psi = 6.895kN/m2) e coeficientes de dilatação térmica em10−6in./in./F .

Qyy =Ey

(1−νxνy)=

10.3(1−0.28∗0.0159)

= 10.346GPa

Qxy = νxQyy = 0.28∗10.346= 2.897GPa

Qss= Es = 7.17GPa

ou

Q =

181.81 2.897 02.897 10.346 0

0 0 7.17

GPa

6.1.1 Rotação do tensor Constitutivo Bidimensional

Como a consideração de um estado plano de tensões siginifica bastante o trato das equações daelasticidade, é natural que procuremos simplificar a rotação do tensor constitutivo. Procedendo daforma usual, e considerando os termos nulos decorrentes da hipótese de estado plano de tensões,obtemos a relação

Q11

Q22

Q12

Q66Q16Q26

=

c4 s4 2c2s2 4c2s2 −4c3s −4cs3

s4 c4 2c2s2 4c2s2 4cs3 4c3sc2s2 c2s2 c4+s4 −4c2s2 2(c3s−cs3) 2(cs3−c3s)

c2s2 s2c2 −2c2s2(

c2−s2)2

2(c3s−cs3) 2(cs3−c3s)c3s −s3c s3c−c3s 2(cs3−c3s) c4−3c2s2 3c2s2−s2

cs3 −sc3 c3s−s3c 2(c3s−s3c) 3c2s2−s4 c4−3c2s2

Qxx

Qyy

Qxy

Qss

Qxxxy

Qyyxy

(6.12)e para os casos com simetria constitutiva que desacople os dois ultimos termos do tensor da lâmina,utilizamos uma matriz 6× 4, onde retiramos as duas últimas colunas da relação (6.12).Aqui,c= cos(θ) es= sin(θ), onde consideramos rotações positivas no sentido anti-horário.

6.1.2 Propriedades de alguns materiais compostos

As propriedades listadas abaixo foram obtidas de diferentes livros e catálogos de fabricantes. De-pendendo da referência, a maneira como as propriedades são apresentadas podem variar signifi-cativamente. Com isto, é aconselhável verificar os símbolos eunidades utilizados pela referência.Obviamente, as propriedades podem variar, dependendo do fornecedor e das condições de fabrica-ção.

6.2 Exercícios

Considerando as propriedades da tabela 6.1, determine a relação constitutiva reduzida em EPT paratodos os materiais. Considere os metais como isotrópicos e osdemais como ortotrópicos. Quaissão as deformações que surgem em todos os materiais para uma variação de 3C? Interpretetodos os termos das relações constitutivas. Após, considere que a lâmina se encontra rotacionadaem 45 graus em relação ao laminado e determine as suas propriedades nas direções do laminado.Verifique que os coeficientes de dilatação térmica são transformados de acordo com a relação

α11 = αxcos2(θ)+αysin2(θ)

α22 = αxsin2(θ)+αycos2(θ)

2α12 = 2(αy−αx)sin(θ)cos(θ)

e que a relação no laminado fica

σ11

σ22

σ12

=

Q11 Q12 Q16Q12 Q22 Q26Q16 Q26 Q66

ε11−α11∆Tε22−α22∆T

2ε12−2α12∆T

.

6.3 Teoria de Placas Finas

A grande maioria dos materiais compostos são utilizados na forma de placas ou cascas, sendoque o conhecimento das hipóteses que levam a estes modelos estruturais são de fundamental im-portância para a correta utilização das equações que envolvem a análise de estruturas contruídascom materiais compostos. De forma semelhante ao estudo de vigas, podemos considerar ou nãoo cisalhamento (vigas de Timoshenko e vigas de Euller-Bernouli), o que leva aos modelos deKirchhoff-Love (placas finas) ou a modelos de placas semi-espessas e espessas. Devido a naturezaintrodutória desta disciplina, somente iremos estudar o modelo de placas finas.

6.3.1 Modelo de Kirchhoff-Love

Este é o modelo de placa mais simples, pois parte de certas hipóses que visam simplificar a análisede um meio contínuo, cuja espessura é menor do que as demais dimensões. Desta forma, podemosrepresentar o comportamento do sólido apenas por sua linha média, da mesma forma que na teoriade vigas. Por ser fina, a placa não contempla cisalhamentos transversais, o que simplifica conside-ravelmente o tratamento das equações que representam o comportamento da placa. Partindo destashipóteses, o seguinte campo de deslocamentos proposto por Love é

u=−z∂w(x,y)

∂x(6.13)

v=−z∂w(x,y)

∂y

w=−w(x,y)

e podemos observar que ele está de acordo com as hipóteses iniciais. Neste modelo estrutural, umalinha perpendicular a linha média (plano médio) permanece reta e perpendicular após a flexão, oque está de acordo com a hipótese de ausência de cisalhamentotransversal. A dependência dewcomx ey somente indica que não temos variação de espessura ao longo da placa, pois a deformaçãonesta direção será nula. Os termos∂w(x,y)

∂x e ∂w(x,y)∂y são rotações das seções transversais da placa.

Para verificarmos se o estado de deformações é coerente com o campo de deslocamentos proposto,vamos calcular o campo de deformações. Conforme estudado anteriormente, o tensor de Cauchy-Green é

Ex =∂u∂x

+12

[

(

∂u∂x

)2

+

(

∂v∂x

)2

+

(

∂w∂x

)2]

(6.14)

Ey =∂v∂y

+12

[

(

∂u∂y

)2

+

(

∂v∂y

)2

+

(

∂w∂y

)2]

Ez =∂w∂z

+12

[

(

∂u∂z

)2

+

(

∂v∂z

)2

+

(

∂w∂z

)2]

Exy =12

[

∂u∂y

+∂v∂x

+∂u∂x

∂u∂y

+∂v∂x

∂v∂y

+∂w∂x

∂w∂y

]

Exz=12

[

∂u∂z

+∂w∂x

+∂u∂x

∂u∂z

+∂v∂x

∂v∂z

+∂w∂x

∂w∂z

]

Eyz=12

[

∂v∂z

+∂w∂y

+∂u∂y

∂u∂z

+∂v∂y

∂v∂z

+∂w∂y

∂w∂z

]

e para o caso de pequenos deslocamentos, os termos

∂u∂x

,∂u∂y

,∂v∂x

,∂v∂y

e∂w∂z

= O(ε) (6.15)

são pequenos e seus produtos da ordemO(ε2), o que permite desprezar os termos cruzados, dandoorigem ao tensor de deformação para pequenos deslocamentos, ε. No entanto, estudo-se, também,que este tensor é derivado do tensorF , que não é invariante com as rotações de corpo rígido. Nocaso de placas, os termos

∂w∂x

e∂w∂y

(6.16)

são rotações. Para o caso de estas rotações assumirem valores moderados (na ordem de 10 a 15

), não podemos despresar os termos cruzados e devemos considerar, então, os termos

(

∂w∂x

)2

,

(

∂w∂y

)2

e∂w∂x

∂w∂y

. (6.17)

Para o caso de pequenos deslocamentos e pequenas rotações, podemos utilizar o tensorε, quepara o campo de deslocamentos proposto é

ε =−z

∂ 2w∂x2

∂ 2w∂x∂y 0

∂ 2w∂x∂y

∂ 2w∂y2 0

0 0 0

(6.18)

e verificamos que não existem deformações transversais ou variação de espesura, o que está deacordo com as hipóteses iniciais. Embora os termos associados a variável z sejam nulos, os de-mais termos dependem de z, o que indica que este não é exatamente um estado plano. Até estemomento as únicas hipóteses foram relacionadas a forma de carregamento, geometria e magnitudedos deslocamentos, sendo que nenhuma hipótese sobre o material foi realizada. De posse dos des-locamentos e do campo de deformações, podemos calcular o campo de tensões associado. Este

campo de tensões é dependente do material. Para um material isotrópico, podemos escrever estarelação como

σxx

σyy

σzz

σzx

σzy

σxy

= Di jkl

−z

ε(1)xx

ε(1)yy

000

2ε(1)xy

(6.19)

onde

Di jkl =

E(1+ν)(1−2ν)

νE(1+ν)(1−2ν)

νE(1+ν)(1−2ν) 0 0 0

νE(1+ν)(1−2ν)

E(1+ν)(1−2ν)

νE(1+ν)(1−2ν) 0 0 0

νE(1+ν)(1−2ν)

νE(1+ν)(1−2ν)

E(1+ν)(1−2ν) 0 0 0

0 0 0 E2(1+ν) 0 0

0 0 0 0 E2(1+ν) 0

0 0 0 0 0 E2(1+ν)

(6.20)

dando origem as tensões

σxx =−z(

Dxxxxε(1)xx +Dxxyyε

(1)yy

)

(6.21)

σyy =−z(

Dyyxxε(1)xx +Dyyyyε

(1)yy

)

σzz=−z(

Dzzxxε(1)xx +Dzzyyε

(1)yy

)

σxy =−2z(

Dxyxyε(1)xy

)

.

Uma comparação cuidadosa entre campo de tensões obtido e o carregamento aplicado indicaque a tensãoσzz não é compatível com o carregamento aplicado, surgindo apenas para satisfazera hipótese de espessura constante. Desta forma, para continuarmos com a dedução, simplesmentedesprezamos esta componente (o que seria equivalente a considerar o Poisson neste direção comonulo!). Esta é, sem dúvida, uma grande incoerência na teoriade placas. Desconsiderando total-mente os efeitos transversais, podemos escrever

σ = Q(

−zε(1))

(6.22)

ondeQ é o tensor constitutivo reduzido, para o estado plano de tensões. Isto é equivalente, parauma determinada coordenada z, a considerarmos um estado plano de tensões. Diferentes formasdeQ são apresentados no início deste capítulo.

De posse do campo de tensões, que irá depender da hipótese material utilizada, podemos cal-cular os esforços resultantes (ou aplicados) à placa. Relembrando, os esforços normais são dadospor

N =∫

AtdA (6.23)

e os momentos são obtidos pela regra da alavanca

M =∫

AtzdA. (6.24)

Assim, de posse do tensor tensão e da orientação, podemos calcular o vetor tração e os esforçosassociados. Para a face com normal em Z, temos que

n= (0,0,1)

t = σn

txtytz

=

σxx σxy 0σxy σyy 00 0 0

001

= 0,

ou seja, nenhum esforço ou momeno estão aplicados nesta direção. Isto está de acordo com ashipóteses de carregamento realizadas no início da dedução.

Para a face com normal na direção Y, obtemos

n= (0,1,0)

t = σn

txtytz

=

σxx σxy 0σxy σyy 00 0 0

010

=

σxy

σyy

0

N =∫ L

0

∫ h2

− h2

−z

2(

Qsε(1)xy

)

(

Qyxε(1)xx +Qyyε

(1)yy

)

0

dzdx

N =∫ L

0

2(

Qsε(1)xy

)

(

Qxyε(1)xx +Qyyε

(1)yy

)

0

∫ h2

− h2

−zdzdx

N =∫ L

0−

2(

Qsε(1)xy

)

(

Qyxε(1)xx +Qyyε

(1)yy

)

0

[

z2

2

]

h2

− h2

dx= 0

pois só temos momentos aplicados. Calculando estes momentos, obtemos

M =∫ L

0

∫ h2

− h2

−z

2(

Qsε(1)xy

)

(

Qxyε(1)xx +Qyyε

(1)yy

)

0

zdzdx

M =∫ L

0−

2(

Qsε(1)xy

)

(

Qxyε(1)xx +Qyyε

(1)yy

)

0

∫ h2

− h2

z2dzdx

M =∫ L

0−

2(

Qsε(1)xy

)

(

Qyxε(1)xx +Qyyε

(1)yy

)

0

[

z3

3

]

h2

− h2

dx

M =∫ L

0−

2(

Qsε(1)xy

)

(

Qyxε(1)xx +Qyyε

(1)yy

)

0

h3

12dx

e considerando momentos por unidade de comprimento (para não termos que calcular a últimaintegral), verificamos que

MY =−

2 E2(1+v)

h3

12∂ 2w∂x∂y

νE1−ν2

h3

12∂ 2w∂x2 +

E1−ν2

h3

12∂ 2w∂y2

=−D

(1−ν) ∂ 2w∂x∂y

ν ∂ 2w∂x2 +

∂ 2w∂y2

ondeD = E1−ν2

h3

12 é conhecido como rigidez a flexão da placa isotrópica. Observe a semelhançacom a expressão do momento de inércia de uma viga retangular.Outra característica muito inte-ressante é a dependência cúbica da rigidez a flexão em relaçãoa espessura e a dependência linearcom relação ao módulo de elasticidade isotrópico.

Para a face orientada na direção X, a força também é nula, sendo que os momentos são obtidospor

n= (1,0,0)

t = σn

txtytz

=

σxx σxy 0σxy σyy 00 0 0

100

=

σxx

σxy

0

M =∫ L

0

∫ h2

− h2

−z

(

Qxxε(1)xx +Qxyε

(1)yy

)

2(

Qsε(1)xy

)

0

zdzdy

M =∫ L

0−

(

Qxxε(1)xx +Qxyε

(1)yy

)

2(

Qsε(1)xy

)

0

∫ h2

− h2

z2dzdy

M =∫ L

0−

(

Qxxε(1)xx +Qxyε

(1)yy

)

2(

Qsε(1)xy

)

0

[

z3

3

]

h2

− h2

dy

M =∫ L

0−

(

Qxxε(1)xx +Qxyε

(1)yy

)

2(

Qsε(1)xy

)

0

h3

12dy

e considerando novamente momento por unidade de comprimento, obtemos

MX =−

E1−ν2

h3

12∂ 2w∂x2 +

νE1−ν2

h3

12∂ 2w∂y2

2 E2(1−ν)

h3

12∂ 2w∂x∂y

=−D

∂ 2w∂x2 +ν ∂ 2w

∂y2

(1−ν) ∂ 2w∂x∂y

sendo queMX2 = MY

1 = Mxy, o que está de acordo com o equilíbrio.

Considerando agora uma relação constitutiva plana na forma geral,

σxx

σyy

σxy

=

Q11 Q12 Q13Q21 Q22 Q23Q31 Q32 Q33

ε(1)xx

ε(1)yy

2ε(1)xy

(6.25)

ondeQi j corresponde ao tensorQ na forma geral (cheio) será utilizado, podemos rededuzir todasas equações acima, concluindo que

Mx =−(

D11∂ 2w∂x2 +D12

∂ 2w∂y2 +2D13

∂ 2w∂x∂y

)

(6.26)

My =−(

D12∂ 2w∂x2 +D22

∂ 2w∂y2 +2D23

∂ 2w∂x∂y

)

Mxy =−(

D13∂ 2w∂x2 +D23

∂ 2w∂y2 +2D33

∂ 2w∂x∂y

)

onde

Di j =Qi j h

3

12(6.27)

é a rigidez à flexão da placa, que irá depender dos índices, ao contrário do material isotrópico. Nocaso do material isotrópico, verificamos que

D = D11 = D22 = D12+2D33. (6.28)

É muito importante verificar que se a matriz constitutiva forcheia, teremos uma dependênciacompleta entre momentos e curvaturas.

As equações acima foram deduzidas para flexão somente, onde as deformaçõesε(1) são cau-sadas somente pela flexão. No entanto, podemos aplicar esforços axiais na placa, dando origema deformaçõesε(0), que podem ser superpostas às deformações causadas pela parte de flexão, naforma

σxx

σyy

σxy

=

Q11 Q12 Q13Q21 Q22 Q23Q31 Q32 Q33

ε(0)xx

ε(0)yy

2ε(0)xy

−zε(1)xx

ε(1)yy

2ε(1)xy

(6.29)

e os esforços resultantes são

Nxx

Nyy

Nxy

=

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

ε(0)xx

ε(0)yy

2ε(0)xy

−

B11 B12 B13

B21 B22 B23

B31 B32 B33

ε(1)xx

ε(1)yy

2ε(1)xy

(6.30)

ondeA eB são obtidos por

A =∫ h

2

− h2

Qdz (6.31)

B =∫ h

2

− h2

Q(−z)dz, (6.32)

ondeB é conhecido como acoplamento extensão-flexão.

Figura 6.2:

Figura 6.3:

Os momentos resultantes são obtidos por

Mxx

Myy

Mxy

=

B11 B12 B13

B21 B22 B23

B31 B32 B33

ε(0)xx

ε(0)yy

2ε(0)xy

−

D11 D12 D13

D21 D22 D23

D31 D32 D33

ε(1)xx

ε(1)yy

2ε(1)xy

(6.33)

e, relembrando,D é obtido por

D =∫ h

2

− h2

Q(−z)zdz. (6.34)

As figuras 6.2 e 6.3 mostram a convenção positiva de sinais adotada neste texto.

6.3.2 Extensão para carregamentos transversais

As equações obtidas anteriormente, para placas finas, foramobtidas por hipóteses geométricas(a espessura é inferior as demais dimensões), hipóteses cinemáticas (pequenos deslocamentos epequenas rotações) e a hipótese de que a flexão era causada apenas por momentos aplicados nasextremidades da placa. No entanto, a utilização mais comum da teoria de placas, mesmo a deplacas finas, se dá com carregamento distribuido na direção transversal, o que viola algumas dasconsiderações anteriores. No entanto, utilizamos a teoriade placas finas mesmo neste caso, desdeque os momentos causados pelo carregamento distribuido sejam muito mais significativos do queos demais efeitos (cisalhantes) e isto só ocorre quando a placa é fina.

Por equilíbrio, se for aplicado um carregamento transversal distribuidoq sobre a placa, deve-mos ter reações correspondentesQx eQy, que podem ser escritas em termos das tensões cisalhantes

transversaisQx =

∫

σxzdz (6.35)

Qy =∫

σyzdz. (6.36)

Se considerarmos as equações de equilíbrio da elasticidade, lembrando das hipóteses da teoriade placas finas, verificamos que

∂σxx

∂x+

∂σxy

∂y+

∂σxz

∂z= 0 (6.37)

∂σxy

∂x+

∂σyy

∂y+

∂σyz

∂z= 0 (6.38)

e se integrarmos estas relações na espessura, iremos verificar que

∂∫

eσxxdz∂x

+∂∫

eσxydz

∂y+∫

e

∂σxz

∂zdz= 0 (6.39)

∂∫

eσxydz

∂x+

∂∫

eσyydz

∂y+∫

e

∂σyz

∂zdz= 0 (6.40)

onde as últimas integrais correspondem a

∫

e

∂σyz

∂zdz= σyz

∣

∣

h/2−h/2 = 0, (6.41)

pois segundo a hipótese de carregamento assumida, não temoscisalhamentos aplicados nas facesda placa. A primeira intergral corresponde a

∂∫

eσxxdz∂x

=∂Nx

∂x(6.42)

sendo que seguindo o mesmo raciocínio para as demais integrais obtemos

∂Nx

∂x+

∂Nxy

∂y= 0 (6.43)

∂Nxy

∂x+

∂Ny

∂y= 0 (6.44)

que são as equações de equilíbrio em termos dos esforços no plano.Se antes de integrarmos as equações de equilíbrio, multiplicarmos por z, iremos obter as equa-

ções de equilíbrio em termos de momentos, onde será necessária a utilização de uma integral porpartes. O resultado final é

∂Mx

∂x+

∂Mxy

∂y= Qx (6.45)

∂Mxy

∂x+

∂My

∂y= Qy (6.46)

que remete a teoria de vigas, onde a derivada do momento é igual ao cortante (só que neste casotemos mais de uma dimensão). Para obter mais uma equação de equilíbrio (que é necessária parapodermos agrupar todos os termos em apenas uma equação), consideraremos a terceira equação

de equilíbrio da elasticidade, que havia sido deixada de lado propositalmente até o momento. Aequação é

∂σxz

∂x+

∂σyx

∂y+

∂σzz

∂z= 0 (6.47)

e integrando na espessura verificamos que

∂∫

eσxzdz∂x

+∂∫

eσyxdz

∂y+∫

e

∂σzz

∂zdz= 0 (6.48)

e das eqs. (6.35) e (6.36) verificamos que

∂Qx

∂x+

∂Qy

∂y+q= 0 (6.49)

pois desprezamos a tensão normal na direção z, considerandoapenas os valores nas faces onde ocarregamento q está sendo aplicado. Mais uma vez, observe a semelhança com a teoria de vigas.

Substituindo-se (6.45) e (6.46) em (6.49), obtemos

∂ 2Mx

∂x2 +∂ 2My

∂y2 +2∂ 2Mxy

∂x∂y= q (6.50)

e substituindo-se as expressões dos momentos, obtemos a equação de equilíbrio de uma placa finaem flexão, em termos dos deslocamentos transversais

D11∂ 4w∂x4 +4D13

∂ 4w∂x3∂y

+(2D12+2D33)∂ 4w

∂x2∂y2 +2D23∂ 4w

∂x∂y3 +D22∂ 4w∂y4 = q. (6.51)

Para o caso isotrópico retornamos a já conhecida equação de equilíbrio em termos dos desloca-mentos transversais

∇4w=qD. (6.52)

6.4 Placas laminadas

Até este momento, estudamos somente placas e estado plano detensão para o caso simples, corres-pondente a uma camada de material. No entanto, a grande potencialidade do estudo de materiaiscompostos aparece no momento em que superpomos diversas camadas de diferentes mateiriais, aoque chamamos de laminados. Os laminados podem ser soliciatados somente no plano, com umcomportamento semelhante ao que estudamos no estado plano de tensões, só que com diferentespropriedades materiais. Caso o laminado seja submetido a flexão, as equações obtidas para pla-cas finas podem ser utilizadas (desde que o carregamentos e a geometria satisfaçam as hipótesesassumidas).

Conforme estudado na seção anterior, para um tensor consitutivo cheio (Q), o estudo de placasnos mostrou que existem termos de acoplamento entre o comportamento de membrana e o compor-tamento de flexão, o que nos força a analisar conjuntamente osdois efeitos no estudo de estruturaslaminadas. Dependendo da squência de laminação, um carregamento de membrana pode acarretarna flexão ou torção do laminado e vice-versa. A nomenclatura ea convenção de laminados seráapresentada. A numeração das camadas inicia na parte negativa do eixo z, que no caso do sistemade referência adotado nesta apostila resulta em

numerarmos de baixo para cima. Muitos livros utilizam o eixoz para baixo, invertendo osentido da numeração. No entanto, isto não altera em nada as conclusões que serão obtidas. Énecessário (como sempre) verificar qual é o sentido utilizado na bibliografia consultada.

Cada camada irá ser construida de um determinado material, oude um mesmo material masem espessura e/ou orientação diferenciados, de forma que teremos um tensor constitutivoQk paracada camada k. Assim, por exemplo, ao tracionarmos um laminado, teremos, por compatibilidadeentre as camadas, que as deformações devem ser iguais, mas astensões são diferenciadas em cadacamada, pois a relaçãoσk = Qkε(0) (supondo B nulo, só para facilitar o raciocínio).

Analisando as equações (8.1) e (8.4), para cada camada, verificamos que o tensorQk é cons-tante e as deformações são consideradas no plano médio de cada camada, de modo que podemossubstituir as integrais por somatórios, na forma

A =N

∑k=1

Qki j (zk−zk−1)

B =12

N

∑k=1

Qki j (z

2k −z2

k−1)

D =13

N

∑k=1

Qki j (z

3k −z3

k−1)

o que permite uma análise do laminado, bastando somente determinar as propriedades de cadacamada.

Exemplo: Detemine as propriedades do laminado [0/90]s comQ0 =

182 2.9 0.02.9 10.3 0.00.0 0.0 7.2

.

Em primeiro lugar, vamos determinar as propriedades para uma orientação a 90 graus.

Utilizando a equação (6.12) para 90 graus, obtemosQ90 =

10.3 2.9 02.9 182 00 0 7.2

.

Fazendo o somatório nas camadas, obtemos

D =13

Q0

[

(

−h4

)3

−(

−h2

)3]

+13

Q90

[

(

h4

)3

−(

−h4

)3]

+13

Q0

[

(

h2

)3

−(

h4

)3]

D =h3

12

[

78

Q0+18

Q90]

=h3

12

160 2.9 0.02.9 31.8 0.00.0 0.0 7.2

A = Q0[(

−h4

)

−(

−h2

)]

+Q90[(

h4

)

−(

−h4

)]

+Q0[(

h2

)

−(

h4

)]

A =h2

Q0+h2

Q90

B =12

Q0

[

(

−h4

)2

−(

−h2

)2]

+12

Q90

[

(

h4

)2

−(

−h4

)2]

+12

Q0

[

(

h2

)2

−(

h4

)2]

B = 0

Observe que para um laminado simétrico não temos acoplamento extensão-flexão (B = 0), oque será válido sempre. Para este laminado, não temos acoplamento entre momentos fletores etorsores.

Exercício: Refaça o exemplo anterior para o laminado simétrico [45/-45]s. Utilize o mesmomaterial. Interprete os resultados em termos de acoplamentos. Para facilitar, a solução para oD é

h3

12

56.6 42.3 32.232.2 56.6 32.232.2 32.2 46.5

.

6.5 Inversão da Relação Esforços-Deformações

Uma maneira bastante comum de representar as propriedades de um laminado é na forma

NM

=

[

A −BB −D

]

ε(0)ε(1)

(6.53)

sendo que a forma inversa deve ser obtida com cuidado. Para a primeira equação

N = Aε(0)−Bε(1) (6.54)

resulta emε(0) = A−1N+A−1Bε(1) (6.55)

que substituida na segunda equação de (6.53)permite obter

M = B(

A−1N+A−1Bε(1))

−Dε(1) (6.56)

e isolando-se a curvatura obtemos

M = BA−1N+BA−1B−Dε(1) (6.57)

reescrevendo na forma matricial, obtemos

ε(0)M

=

[

A−1 A−1BBA−1 BA−1B−D

]

Nε(1)

=

[

A∗ B∗

H∗ D∗

]

Nε(1)

(6.58)

Isolando-se a curvatura na segunda equação de (6.58), obtemos

M = H∗N+D∗ε(1) (6.59)

ε(1) = D∗−1M −D∗−1

H∗N (6.60)

que substituida em (6.55) permite obter

ε(0) = A∗N+B∗(

D∗−1M −D∗−1

H∗N)

(6.61)

ε(0) =(

A∗−B∗D∗−1H∗)

N+B∗D∗−1M (6.62)

e finalmente a relação inversa pode ser obtida por completo:

ε(0)ε(1)

=

[

A∗−B∗D∗−1H∗ B∗D∗−1

−D∗−1H∗ D∗−1

]

NM

(6.63)

Capítulo 7

Falhas em Materiais Compostos

Materiais compostos podem falhar de diversas maneiras, sendo que a análise de sua falha ge-ralmente é mais complexa do que a de materiais isotrópicos. No caso de materiais compostos,devemos analizar a possível falha de cada constituinte e suas diversas iterações, o que torna o pro-blema bastante complexo. Para verificar se um determinado material falha sob um determinadocarregamento, utilizamos um critério de falha (failure criteria). Um critério de falha tem comoobjetivo extender dados obtidos experimentalmente, em ensaios uniaxiais e de cisalhamento,para predizer a falha em uma situação de esforços combinados.

Existem diversas formas de se formular um critério de falha,sendo que, de forma geral, ocritério é representado por uma superfície no espaço das tensões (ou deformações), na forma

ψ (σ) = 1 (7.1)

sendo que a forma deψ pode variar conforme o critério. Para modelos polinomiais,temos umarepresentação da forma

λiσi +λi j σiσ j + ....= 1 (7.2)

onde os coeficientesλsão obtidos experimentalmente. Dependendo do grau do polinômio, oscritérios são muitas vezes definidos como quadráticos, cúbicos, etc... Os critérios quadráticossão os mais utilizados, pondendo-se citar o critério de Tsai-Wu como um dos mais famosos. Éimportante salientar que, mesmo sendo ajustes para dados experimentais, os critérios de falha sãona sua maioria, consistentes com os conceitos da mecânica docontínuo estudados até aqui.

7.1 Critérios de falha para materiais isotrópicos

Conforme já estudado anteriormente, os modelos mais utilizados em materiais isotrópicos são osmodelos de Von-Misses e Tresca. Ambos modelos são apresentados na figura (7.1), para o casode o material apresentar a mesma resistência a tração e a compressão. Os conceitos envolvidosem ambos os modelos são muitos úteis na dedução de um critériode falha para materiais compos-tos. Em primeiro lugar, verificamos que um material compostoapresenta resistência a tração e àcompressão diferenciados. Para um material isotrópico comresistências diferentes em tração e emcompressão os critérios usuais estariam deslocados, como ilustrado na figura (7.2). Mas devemosconsiderar mais um fator: tomando como exemplo um material composto reforçado por fibras emapenas uma direção, iremos constatar que, tanto na direção da fibra como na direção perpendicularas fibras, teremos resistências à tração e à compressão diferenciadas. Existe ainda uma resistênciaao cisalhamento. Isto dá um total de ao menos 5 parâmetros distintos. A nomenclatura utilizadaao longo do texto será a que segue:

69

Figura 7.1: Critérios de falha para materiais isotrópicos com igual resistência à tração e compres-são.

Figura 7.2: Critérios de falha para materiais isotrópicos com resistência à compressão superior aresistência à tração.

Figura 7.3: Padrões de falha no ensaio de tração de materiaisreforçados por fibra.

X Resistência à tração na direção xY Resistência à tração na direção yX∗ Resistência à compressão na direção xY∗ Resistência à compressão na direçãoyxS Resistência ao cisalhamento

sendo que os índices indicam que estamos nos referenciando ao sistema da lâmina, conformeapresentado no início do capítulo 6.

Nunca é de mais lembrar que para o caso de materiais isotrópicos utilizamos os cirtérios deMisses e Tresca para indicar o início do escoamento, ao que chamamos (7.1) de superfície de es-coamento. No entanto, devido as características dos materiais compostos mais utilizados, podemosconsiderar o escoamento muito próximo do ponto de ruptura (comportamento frágil).

7.2 Ensaios de materiais compostos

Como os critérios de falha são baseados em dados experimentais, devemos verificar quais sãoos principais dados obtidos de um ensaio com material composto. Considerando novamente ummaterial composto unidirecional (apenas uma lâmina) com matriz de epoxy, verificamos o seguintecomportamento em ensaios uniaxiais e de cisalhamento:

1. Tração [0]: Não verificamos estrição, sendo que o tipo de falha dependedos constituintedo composto. Por exemplo, para um ensaio em grafite/epoxy, verifica-se o tipo de falhaapresentado na segunda imagem da figura (7.3). Para a mesma matriz mas com fibras devido, verifica-se um modo de falha bem mais explosivo. A tensão de ruptura obtida é X;

2. Compressão [0]: O modo de falha mais comum é a 45 (cisalhamento), com a formação debandas. Com este ensaio obtemos X∗;

3. Tração [90]: O modo de falha mais comum é a separação entre as fibras e a matriz. Obtem-se Y;

4. Compressão [90]: Modo de falha por cisalhamento. Obtém-se Y∗;

5. Cisalhamento [0] e [90]: Cisalhamento paralelo as fibras. O parâmetro S é obtido comeste ensaio.

Considerando um composto laminado fibroso, podemos ter as seguintes falhas:

• ruptura das fibras por tração;

• ruptura das fibras por flambagem;

• ruptura da matriz no sentido transversal as fibras;

• ruptura da matriz no sentido paralelo as fibras;

• perda de aderência entre as fibras e a matriz

• delaminação,

e todos os efeitos de degradação provocados por agentes externos, que tendem a diminuir a resis-tência total do laminado. Como pode ser verificado, a prediçãode falhas em materiais compostosé bastante complexa.

Do ponto de vista da abordagem, podemos analizar a falha de ummaterial composto macroou microscópicamente. Análises microscópicas são consideravelmente mais complexas do que asmacroscópicas, mas com o advento da teoria da homogeinização, esta abordagem tem se tornadocada vez mais comum. No decorrer deste capítulo iremos estudar modos de falha e as teoriasmacroscópicas mais utilizadas.

Uma característica interessante é a de que após a falha de umalâmina, o laminado ainda écapaz de sustentar o carregamento aplicado. O que muda é a rigidez do laminado. Desta forma,comunmente nos referimos a falhas progressivas de uma laminado.

Utilizaremos a seguir dados obtidos por experimentos e os conceitos da mecânica do contínuopara compreender como os principais critérios de falha são formulados.

7.3 Critérios Quadráticos

Conforme já foi apresentado anteriormente, podemos utilizar uma relação polinomial para repre-sentar um critério de falha. O grau do polinômio define o tipo de critério (entre outras característi-cas, é claro), sendo que os critérios quadráticos são os maisutilizados na prática. Para uma lâminaototrópica ou transversalmente isotrópica, com estado plano de tensões no plano xy, podemosexpressar uma relação da forma (7.2) como ,

Fxσxx+Fyσyy+2Fxyσxxσyy+Fxxσ2xx+Fyyσ2

yy+Fssσ2s = 1 (7.3)

ou seja, temos seis parâmetros a serem determinados experimentalmente.A determinaçao de tais parâmetros se dá por ensaios uniaxiase de cisalhamento. Vamos anali-

sar quais informações podem ser obtidas com tais ensaios:Para um ensaio de tração uniaxial na direção, temos como unica tensão não nulaσxx, o que

permite reduzir a equação (7.3) aFxX+FxxX

2 = 1 (7.4)

e para um ensaio de compressão obtemos

−FxX∗+Fxx(X

∗)2 = 1 (7.5)

e com isto temos duas equações com duas incógnitas (Fx eFxx ). Solucionando o problema obtemosos parâmetros

Fxx =1

XX∗ (7.6)

Fx =1X− 1

X∗ . (7.7)

Se realizarmos um ensaio uniaxial na direção y, pelo mesmo raciocício, obtemos as equações

FyY+FyyY2 = 1 (7.8)

−FyY∗+Fyy(Y

∗)2 = 1 (7.9)

com raizes

Fy =1Y− 1

Y∗ (7.10)

Fyy =1

YY∗ . (7.11)

Um ensaio de cisalhamento permite obter o quinto termo, poisa única tensão não nula éσs, resul-tando diretamente em

Fss=1S2 . (7.12)

No entanto, temos seis parâmetros a determinar, o que indicaqueFxy deve ser obtido por en-saios onde carregamentos combinados são aplicados. Estes ensaios são extremamente complexosde se realizar, o que leva a diferentes formas de considerarmos este termo. Este termo é conhecidocomo termo de iteração, sendo representado na forma

Fxy = F∗xy

√

FxxFyy (7.13)

Como pode ser observado, um critério como o apresentado não faz distinção entre as diferentesformas de falha. No entanto permite afirmar se o material estásendo utilizado em uma faixa segura.Substituindo os parâmetros obtidos obtemos a expressão geral para um critério quadrático,

[

1X− 1

X∗

]

σxx+

[

1Y− 1

Y∗

]

σyy+2F∗

xyσxxσyy√XX∗YY∗ +

σ2xx

XX∗ +σ2

yy

YY∗ +σ2

s

S2 = 1 (7.14)

Podemos observar que se as resistências em tração e compressão forem iguais e não direcionais,iremos reduzir a expressão (7.14) ao citério de Von-Misses.

O termo de iteração, por ser de difícil obtenção experimental, é muitas vezes tratado de formaempírica. Dependendo da maneira como consideramos este termo, damos origem a diferentescritérios quadráticos.

ConsiderandoX = X∗e Y = Y∗ , o critério de Tsai-Hill considera comoFxy = − 12X2 , sendo

bastante utilizado.ParaX 6=X∗eY 6=Y∗, o citério de Hoffman consideraFxy=− 1

2XX∗ sendo que o método de Tsai-Wu considera o termo de iteração em toda a sua complexidade. Estes são os critérios quadráticosmais utilizados na prática. Abaixo são apresentadas três vistas de cada critério. Na prática observa-se que os critérios de Tsai-Hill e Hoffman consideram o termode iteração praticamente nulo. Nafigura 7.6 podemos visualizar o efeito do termo de iteração, que modifica o espaço das tensõesadmissíveis. Pode-se observar que apenas a vista no plano das tensões normais é afetada pelotermo de iteração. O significado de tal termo será analisado posteriormente.

7.4 Critério de Hashin

Um critério de falha bastante utilizado é obtido se considerarmos o critério quadrático apenas parao cisalhamento, utilizando um critério de tensões máximas para as tensões normais na direção dasfibras. Ainda, consideramos que a falha na matriz é desacoplada da falha na fibra. Isto corresponde

Figura 7.4: Três vistas da superfície de falha, critério de Tsai-Hill (T300/5208).

Figura 7.5: Três vistas da superfície de falha, critérios deTsai-Wu e Hoffman com termo deiteração praticamente nulo (T300/5208).

Figura 7.6: Superfície de falha para o critério de Tsai-Wu com termo de iteração igual a -1/2(T300/5208).

Figura 7.7: Três vistas do critério de Hashin (T300/5208).

a uma simplificação muito forte, pois sabemos que ambas (fibrae matriz) contribuem conjunta-mente para a resistência do composto. A representação de talcritério no espaço das tensões émostrado na figura 7.7. As expressões relacionadas este critério são apresentadas a seguir.

Tração nas fibras:(σxx

X

)2+

(

σ2s

S2

)

= 1 (7.15)

Compressão nas fibras:

(σxx

X∗

)2= 1 (7.16)

Tração na matriz:

(σyy

Y

)2+(σs

S

)2= 1 (7.17)

Compressão na matriz:

1Y∗

(

Y∗2

4S2 −1

)2

(σyy)+1

4S2

(

σ2yy

)

= 1 (7.18)

7.5 Critério Quadrático no Espaço das Deformações

Utilizando as relações tensão-deformação podemos transformar a equação (7.3) em

Gxεxx+Gyεyy+2Gxyεxxεyy+Gxxε2xx+Gyyε2

yy+Gssε2xy = 1 (7.19)

onde os coeficientes G são obtidos pela substituição da relaçãoσ = Qε para um material ortotró-pico. Assim, conhecendo o material e os coeficientes F, podemos representar o critério quadráticono espaço das deformações. A forma acima é muito utilizada, sendo que os bons programas deelementos finitos permitem que os dados sobre o critério de falha sejam informados tanto por Fcomo por G.

A representaçã no espaço das deformações tem certas vantagens, como por exemplo o fato deas deformações serem adimensionais. Ainda, para placas laminadas, temos que a deformação éusualmente uma função da espessura, sendo um valor especificado (dadas as curvaturas). Assim,para uma dada orientação teremos um envelope fixo em uma lâmina, independente das demaislâminas do laminado (como se fosse uma propriedade do material).

Devido ao efeito do coeficiente de Poisson, os pontos referentes aos ensaios uniaxiais sãocombinados no espaço das deformações, como pode ser visualizado na figura 7.8. Nestas figuras,

Figura 7.8: Envelope de falhas com e sem iteração no espaço das deformações (T300/5208).

os pontos correspondentes a estes dados são conectados por linhas cheias. Pode-se verificar quea inclinação de tais linhas é relacionada aos coeficientes dePoisson do material. A linha maisinclinada possui inclinação igual ao coeficiente de Poisson, com o sinal invertido. A outra linha,quase vertical, é relacionada ao Poisson na outra direção, praticamente nulo. A figura ilustra bemo efeito do termo de iteração no critério de falha.

Exercício: Um material composto, formado por Kevlar 49 e uma matriz de epoxy tem asseguintes propriedades (Gpa):Ex = 76, Ey = 5.50 , νx = 0.34 eEs = 2.30 . Ensaios indicam osseguintes valores limites (Mpa):X = 1400,X∗ = 235,Y = 12,Y∗ = 53 eS= 34.

1) Determine os coeficientes F;2) Determine os coeficiente G;3) Faça um esboço do critério de falha de Tsai-Wu em ambos espaços. ConsidereF∗

xy igual a0, -0.5 e 0.5. Trace somente o plano normal.

4) Calule as deformações limites para a lâmina.5) Comente todos os resultados obtidos.6) Qual o significado de um envelope aberto, tanto no espaço das tensões quando no das defor-

mações ?

7.6 Rotação dos Parâmetros F

Todas as deduções realizadas nas seções anteriores são relacionadas ao sistema de referência dalâmina (xy). No entanto, pode ser de interesse obter uma relação da forma (7.3) em qualquer orien-tação. Isto é obtido considerando os tensores envolvidos nadefinição de (7.3), de onde concluimosque os parâmetros F rotacionam de acordo com a relação

F11

F22

F12

F66F16F26

=

c4 s4 2c2s2 c2s2

s4 c4 2c2s2 c2s2

c2s2 c2s2 c4+s4 −c2s2

4c2s2 4c2s2 −8c2s2 (c2−s2)2

2c3s −2c3s 2(cs3−c3s) cs3−c3s2cs3 −2cs3 2(c3s−cs3) c3s−cs3

Fxx

Fyy

Fxy

Fss

(7.20)

F1

F2

F6

=

c2 s2

s2 c2

2cs −2cs

Fx

Fy

(7.21)

onde o leitor deve observar o número de índices na primeira e na segunda expressão. Como usual,o ângulo é considerado positivo quando na rotação de 1 para x em torno do eixo z (3).

É muito importante salientar que somente critérios consistentes como o critério quadráticopermitem este tipo de transformação. Critérios como o de Hashin ou os baseados em valoreslimites de tensão só podem ser aplicados no sistema de coordenada da lâmina.

Exercício.1)Verifique as expressões (7.20) e (7.21) e reescreva a expressão (7.3) na forma rotacionada.

Interprete o significado de todas as expressões obtidas.

7.7 Resistência de um laminado

O conceito de coeficiente de segurança é bem estabelecido e utilizado no projeto de peças queutilizam materiais isotrópicos. Assumindo que o material éelástico, temos uma relação direta entretensões e deformações, de modo que podemos expressar o conceito de coeficiente de segurançatanto em termos de tensões quanto de deformações.

Para o projeto e verificação de materiais compostos não é diferente, de modo que podemosutilizar um fator de proporção entre o carregamento aplicado e o valor limite, na forma

σimax = Rσiapl (7.22)

εimax = Rεiapl. (7.23)

Se R é igual a 1, o material falha. Por outro lado, se R>1, a cargaaplicada não provoca falhae estamos na região de segurança (estamos dentro do envelopedo critério de falha). Para R < 1, acarga aplicada excede a admissível e o material irá falhar.

Aplicando este conceito no já tão bem conhecido critério quadrático obtemos

Fi j σi |maxσ j∣

∣

max+Fi σi |max= 1 (7.24)

e substituindo (8.6) em (7.24) obtemos

aR2+bR−1= 0

que é uma equação de segundo grau com coeficientes

a= Fi j σiσ j

b= Fiσi

e com raizesR+ =−(b/2a)+ [(b/2a)2+1/a]1/2

R− = (b/2a)+ [(b/2a)2+1/a]1/2

que dependem do sinal das tensões aplicadas (imagine uma placa em flexão).Escrevendo em termosdas deformações

aR2+bR−1= 0

ondea= Gi j εiε j

b= Giεi

com iguais raizes.Exercício. Para o material do exercício da seção 1.5, calcule R para um carregamentoσxx =

25MPa, σyy = −30MPa e σxy = 12MPa. Este carregamento é possível ? Verifique calculando Re verificando nos esboços do critério de falha. Qual a influência do fator de iteração (considere-0.5,0 e 0.5) ?

Capítulo 8

Exemplo - Análise de uma placa finalaminada

Vamos analizar a estrutura da figura 8.1, que é uma placa laminada engastada com trações aplicadasna direção 1 do laminado (N11). O laminado é construído em fibra de vidro com matriz de epoxy,dispostas de maneira simétrica [0/90]s .

Inicialmente, determinamos a relação constitutiva para o material, baseados nos dados obtidosem ensaios uniaxiais e de cisalhamento

Ex = 38.6Gpa

Ey = 8.27Gpa

Es = 7.10Gpa

vxy = 0.26

e nas equações do capítulo 6, que resultam em

Q0 =

39167.26 2181.799 02181.799 8391.536 0

0 0 4140

Pa.

Como o laminado possui lâminas a 90 graus, é conveniente rotacionar a relação constitutivaobtida acima, de onde obtemos

Q90 =

8391.536 2181.799 02181.799 39167.26 0

0 0 4140

Pa

e observamos que ocorre uma inversão nas posições 11 e 22. O procedimento de rotação é oapresentado no capítulo 6.

De posse das propriedades de cada camada e da sequência de laminação, podemos determinaras propriedades do laminado, na forma

N11

N22

N12

=

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

ε(0)11

ε(0)22

2ε(0)12

−

B11 B12 B13

B21 B22 B23

B31 B32 B33

ε(1)11

ε(1)22

2ε(1)12

(8.1)

78

Figura 8.1: Placa laminada engastastada com carregamento unidirecional.

ondeA eB são obtidos por

A =∫ h

2

− h2

Qdz (8.2)

B =∫ h

2

− h2

Q(−z)dz, (8.3)

ondeB é conhecido como acoplamento extensão-flexão.Os momentos resultantes são obtidos por

M11

M2

M12

=

B11 B12 B13

B21 B22 B23

B31 B32 B33

ε(0)11

ε(0)22

2ε(0)12

−

D11 D12 D13

D21 D22 D23

D31 D32 D33

ε(1)11

ε(1)22

2ε(1)12

(8.4)

e, relembrando,D é obtido por

D =∫ h

2

− h2

Q(−z)zdz. (8.5)

Conforme já foi estudado, laminados simetricos não tem acoplamentos entre extensão e flexão,resultando em uma matriz B nula. Calculando A e D para o laminado, obtemos

D =13

Q0

[

(

−h4

)3

−(

−h2

)3]

+13

Q90

[

(

h4

)3

−(

−h4

)3]

+13

Q0

[

(

h2

)3

−(

h4

)3]

D =h3

12

[

78

Q0+18

Q90]

= h3

2943.35 181.81 0.0181.81 1019.8 0.0

0.0 0.0 345

A = Q0[(

−h4

)

−(

−h2

)]

+Q90[(

h4

)

−(

−h4

)]

+Q0[(

h2

)

−(

h4

)]

A =h2

Q0+h2

Q90 = h

23779.4 2181.799 0.02181.799 23779.40 0.0

0.0 0.0 4140

B =12

Q0

[

(

−h4

)2

−(

−h2

)2]

+12

Q90

[

(

h4

)2

−(

−h4

)2]

+12

Q0

[

(

h2

)2

−(

h4

)2]

B = 0

de onde podemos visualizar o comportamento do lamindo. Por exemplo, a relação entre esfor-ços no plano e as deformações de membrana fica

N11

N22

N12

= h

23779.4 2181.799 0.02181.799 23779.40 0.0

0.0 0.0 4140

ε(0)11

ε(0)22

2ε(0)12

e podemos verificar que não existe acoplameno entre esforçosnormais e deformações cisalhan-tes. A rigidez do laminado (para estes esforços) varia linearmente com a espessura. O mesmocomportamento pode ser observado na relação entre momentose deformações de flexão,

M11

M22

M12

=−h3

2943.35 181.81 0.0181.81 1019.8 0.0

0.0 0.0 345

ε(1)11

ε(1)22

2ε(1)12

onde a aplicação de um momento fletor não implica em torção. obviamente, como a matriz B énula, a aplicação de um momento fletor não implica em extensãoe vice-versa.

Para obter as deformaçõesε(0) no laminado (que serão ctes ao longo do laminado), bastainvertemos a relação entre N e as deformações. Como os N são dados, obtemos

ε(0)11

ε(0)22

2ε(0)12

=1h

0.0000424 −0.3891∗10−5 0.0−0.3891∗10−5 0.000024 0.0

0.0 0.0 0.0002415

N11

00

resultando em

ε(0)11

ε(0)22

2ε(0)12

=

0.000042N11h

−0.3891∗10−5N11h

0

para o laminado. O campo de deformações é bem coerente, pois ao aplicarmos uma força queesticao laminado este irá ter uma redução de largura, devido ao coeficiente de Poisson. O cisalha-mento é nulo devido as propriedades da matriz A (que representa o laminado). Uma sequência delaminação diferente poderia fazer com que o laminado possuisse acoplamento cisalhante na matrizA.

De posse das deformações no sistema de coordenadas do laminado, podemos obter as tensõesem cada lâmina no seu sistema local. Antes de mais nada, é importante verificar que as lâminasexternas, orientadas a zero grau, compartilham do mesmo sitema de coordenadas do laminadoeportanto podemos utilizar

ε(0)xx

ε(0)yy

2ε(0)xy

0o

=

ε(0)11

ε(0)22

2ε(0)12

=

0.000042N11h

−0.3891∗10−5N11h

0

mas para as lâminas a 90 graus, devemos aplicar uma rotação dotensor deformação do laminado,na forma

[

ε(0)xx ε(0)xy

ε(0)xy ε(0)yy

]

90o

=

[

c(90) s(90)−s(90) c(90)

]

[

ε(0)11 ε(0)12

ε(0)12 ε(0)22

]

[

c(90) −s(90)s(90) c(90)

]

resultando em

ε(0)xx

ε(0)yy

2ε(0)xy

90o

=

−0.3891∗10−5N11h

0.000042N11h

0

.

De posse das deformações no sistema de cada camada e também a relação constitutiva de cadacamada, podemos obter as tensões em cada camada:

σxx

σyy

σxy

0o

=

39167.26 2181.799 02181.799 8391.536 0

0 0 4140

0.000042N11h

−0.3891∗10−5N11h

0

=

1.6526N11h

0.05987N11h

0

σxx

σyy

σxy

90o

=

8391.536 2181.799 02181.799 39167.26 0

0 0 4140

−0.3891∗10−5N11h

0.000042N11h

0

=

0.05987N11h

1.6526N11h

0

onde mais uma vez verificamos o efeito da rotação em 90 graus.De posse das tensões em cada camada (ou das deformações), podemos avaliar a resistência do

laminado em termos do esforço aplicado (N11) e da espessura h do laminado. Antes de mais nada,como o material é o mesmo em todas as camadas (só varia a orientação), devemos calcular apenasum envelope de falha pelo critério de Tsai-Wu. Após, é só substituir as tensões de cada lâmina everificar se este carregamento é admissível.

Para o material em questão, os seguintes dados são fornecidos (Mpa)

X = 1062

X∗ = 610

Y = 31

Y∗ = 118

S= 72

de onde podemos calcular os coeficientes do critério de Tsai-Wu

Fx =1X− 1

X∗ =− 113161955

Fy =1Y− 1

Y∗ =87

3658

Fxx =1

XX∗ =1

647820

Fyy =1

YY∗ =1

3658

Fxy = F∗xy

√18910

3347070

Figura 8.2: Envelopes de falha para o material utilizado e para dois valores de iteração.

resultando nos envelopes de falha no plano das tensões normais ilustradas na figura 8.2. Paradiferentes valores deN11 e h, iremos obter diferentes tensões em cada camada. De posses destesvalores, substituimos no critério de falha e varificamos se alâmina suporta ou não o carregamentoaplicado. Utilizando o conceito de resistência de um laminado (capítulo 7) podemos avaliar qual ocarregamento máximo que o laminado suporta. Isto pode ser feito substituindo

σimax = Rσiapl (8.6)

no critério de falha, de onde obtemos uma equação quadráticaem termos de R,

aR2+bR−1= 0

com coeficientesa= Fi j σiσ j

b= Fiσi

e com raizesR+ =−(b/2a)+ [(b/2a)2+1/a]1/2

R− = (b/2a)+ [(b/2a)2+1/a]1/2.

Para cada lâmina, iremos calcular um R positivo (uma das duasraizes), e com isto obter umaindicação da segurança do carregamento. Utilizando o Maple, obtemos a seguinte expressão:

0.0002710N11R

h+0.8351∗10−10F∗

xy

√2369725560R2N2

11

h2 +0.519594∗10−5R2N211

h2 = 1

para lâminas a 0 graus e

0.0392RN11

h+0.8351∗10−10F∗

xy

√2369725560R2N2

11

h2 +0.0007466R2N2

11

h2 = 1

para as lâminas a 90 graus. As raizes destas equações são função deN11,h e do coeficiente deiteração. No entanto, podemos observar que o termo que contém o coeficiente de iteração estámultilicado por um número que é praticamente nulo em ambas equações. O mesmo pode ser ob-servado nos envelopes de falha pois o carregmento é praticamente uniaxial e portanto sem iteração.

Assim, calculando-se as raizes obtemos os seguintes valores para R para valores unitários deN11 eh:

R+ = 18.70

R− =−71.51

para 90 graus eR+ = 413.39

R− =−465.55

significando que podemos aplicar umN11 de até 18.70 sem que o laminado venha a falhar.Exercício:1) Comente a escolha do projetista, no que diz respeito a sequência de laminação;2) Para o mesmo carregamento, qual seria a sequência de laminação mais adequada (considere

o mesmo número de lâminas)? Proponha uma sequência de laminação e justifique.3) Supondo que desejamos uma matriz A cheia, mas uma matriz B nula. Proponha uma sequên-

cia de laminação (utilize o número de camadas que desejar, desde que sejam mais do que duas ca-madas). Utilize o material com as seguintes propriedades Ex=138Gpa, Ey=8.96Gpa, Es=7.10Gpa,vxy=0.3, X=1447Mpa, Y=52Mpa, S=93Mpa, Y*=206Mpa e X*=1447. Qual o significado deuma matriz A cheia ? Em quais situações isto seria desejável?

4) Para a sequência de laminação proposta no item 3, determine quais os esforços que podemser aplicados no laminado sem que ocorra falha nas camadas. Considere o carregamentoN =N11, 0, N12. Qual é dependência dos valores limites com o parâmetro de iteração ? Comente oresultado. Baseado neste resultado, você proporia uma sequência diferente de laminação ?

5) Calcule A, B e D para a sequência [0/90/45/-30/30/-45/90/0]. Comente os resultados obtidos.Em que situação um lamindo com estas propriedades poderia ser utilizado ?

Apêndice - Revisão de Álgebra Linear eTensores

As quantidades utilizadas para expressar leis físicas podem ser classificadas em duas classes, deacordo com as informações necessárias para a sua descrição completa: escalares e não-escalares.Escalares são simplesmente números, como por exemplo tempo, temperatura e energia. Apenasesta descrição permite mensurar completamente a variável.Deslocamentos, gradientes de tempe-ratura, forças e tensões, no entanto, são grandezas não-escalares. O termo vetor é utilizado paraespecificar um valor não escalar que tem magnitude e direção,que obedece as leis de multiplica-ção escalar e obedece a lei do paralelogramo (soma de dois vetores). Grandezas que requerem adescrição de magnitude e de duas direções são chamadas de tensores de segunda ordem, como porexemplo o tensor tensão, que requer informação da força e da superfície onde esta atua.

A revisão aqui oferecida não deve ser tomada como completa. Oleitor deve referir-se a textosespecializados. Espera-se o conhecimento das operações matriciais básicas: adição, multiplicação,inversão e transposição.

Componentes de Vetores e Tensores

Em uma descrição analítica e consistente de um fenômeno físico, geralmente escolhemos um sis-tema de coordenadas e referenciamos as grandezas do fenômeno neste sistema de coordenadas.Assim, a descrição do fenômeno será dependente do sistema dereferência selecionado, podendovariar para diferentes escolhas do sistema de referência. No entanto, a natureza é independente daescolha de um sistema de referência e por este motivo a representação do fenômeno deve ser inde-pendente da escolha de um sistema de coordenadas. A maneira de obtermos esta independência éa utilização de uma notação vetorial ou tensorial na descrição do fenômeno, o que torna a descri-ção invariante. Ao longo do texto, iremos nos referenciar a quantidades vetoriais ou tensoriais porletras em negrito. Os eixos coordenados cartesianos serão representados por x,y e z oux1, x2e x3.Os vetores unitários que definem os eixos coordenados serão referenciados pori, j e k ou e1, e2 ee3.

Geralmente, um sistema de coordenadas é selecionado para que possamos expressar as equa-ções e facilitar a sua solução. Ainda, vetores e tensores sãoexpressos em termos das componentesdestas entidades no sistema de coordenadas utilizado. Um vetor pode ser expresso como umacombinação linear dos vetores base do sistema de referênciaselecionado

a= axi+ayj +azk,

ou por suas projeções no sistema de coordenadas utilizado

a= (ax,ay)

e, de forma análoga, um tensor pode ser representado por

A = axxii +axyij +axzik

84

+ayxji +ayyjj +ayzjk

+azxki +azykj +azzkk

ou por

A =

axx axy axz

ayx ayy ayz

azx azy azz

Operações com vetores

Algumas operações com vetores serão necessárias no decorrer do curso. Vamos revisar estes con-ceitos:

A magnitudea de um vetora é calculada como

a=√

a21+a2

2+a23 =

√

√

√

√

3

∑i=1

aiai .

O produto escalar(ou interno) de dois vetoresa e b é com magnitudesa e b e separados porum ânguloθ é dado por

a·b = abcosθ = a1b1+a2b2+a3b3 =3

∑i=1

aibi .

Em particular,

ei ·ej =

1 se i= j0 se i 6= j

= δi j ,

ou seja, os vetores base do espaço são ortogonais entre sí. O exemplo mais comum de utilizaçãodo produto interno na Mecânica dos Sólidos é para a definição de trabalho de uma força com umdeslocamento. Este trabalho é definido comof ·u ondef é o vetor força eu é o vetor deslocamento.

O produto vetorial(ou externo) de dois vetores dois vetoresa e b é com magnitudesa e b eseparados por um ânguloθ é um vetor cuja direção é normal ao plano dea e b no sentido da mãodireita, e cuja magnitude é dada porabsinθ . Em componentes, escreve-se

a×b =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e1 e2 e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

,

onde o determinante pode ser calculado pela regra de Cramer oupelo uso do símbolo de permuta-ção

a×b =3

∑i=1

3

∑j=1

3

∑k=1

εi jkeia jbk .

Uma utilização comum do produto externo na Mecânica dos Sólidos é a definição do momento deuma força em relação a um ponto, dado comoM = x× f.

Matrizes

Conforme foi apresentado, uma das representações dos tensores de segunda ordem é a forma matri-cial. Por este motivo, vamos revisar algumas das operações matriciais básicas (trataremos apenasde matrizes definidas sobre o campo dos reais).

Uma matrizm×n é um conjunto retangular ordenado dem∗n elementos. Nós a representare-mos como

A =(

Ai j)

=

A11 A12 A13 . . . A1n

A21 A22 A23 . . . A2n

A31 A32 A33 . . . A3n...

......

...Am1 Am2 Am3 . . . Amn

de forma queAi j é o elemento nai-ésima linha ej-ésima coluna da matriz. O índicei pode variarentre 1 em e o índice j entre 1 en. Se as dimensõesm e n da matriz forem iguais, a matriz échamada dequadrada.

Uma matriztranspostaé definida como a matriz resultante da troca das linhas por colunas damatriz original. Desta forma, a transposta de uma matrizm×n é uma matrizn×m. Representa-seporAT

(

Ai j)T

= A ji .

Por exemplo, a transposta da matriz retangular abaixo é dadapor

[

a b cd e f

]T

=

a db ec f

.

Uma matriz quadradaA é chamada desimétricase

A = AT

ou seja,Ai j = A ji para qualqueri ou j. Uma matriz quadrada é chamada deanti-simétricase

A =−AT

ou seja,Ai j =−A ji para qualqueri ou j. Por exemplo, uma matriz simétrica

A =

a b cb d ec e f

= AT

e uma anti-simétrica

A =

0 a b−a 0 c−b −c 0

=−AT .

A matriz identidadeé escrita comoI , e seus elementos porδi j (delta de Kronecker). É umamatriz com elementos unitários na diagonal e zero nos termosfora da diagonal:

I = δi j =

1 0 00 1 00 0 1

relembrando, o delta de Kronecker é definido por

δi j =

1se i= j0se i 6= j

O traço de uma matriz quadrada é definido como a soma dos elementos da diagonal. É repre-sentado por

tr A = ∑mi=1Aii

tr

a b cb d ec e f

= a+d+ f

O determinantede uma matriz quadrada de dimensãon é uma função escalarn-linear, alternada(muda de sinal com a troca de linhas ou colunas) e unitária para a matriz identidade. É representadocomo det(A) ou |A|. O cálculo de um determinante de uma matriz 3×3 pode ser feito pela regrade Cramer ou pelo uso do símbolo de permutação. A forma explícita para o determinante de umamatriz 3×3 é

detA = a11a22a33+a12a23a31+a32a21a13−a11a23a32−a22a13a31−a33a12a21

A multiplicação de matrizes se faz por linha da primeira matriz e por coluna da segunda matriz.

C = Am×nBn×p →Ci j =n

∑k=1

AikBk j

A operação não é comutativa, o que é fácil de se notar tomando-se o produto de matrizes retangu-lares, no qual o número de colunas da primeira matriz tem que ser igual ao número de linhas dasegunda matriz. Por exemplo,

(

2 3 45 6 7

)

2 53 64 7

=

(

2∗2+3∗3+4∗4 2∗5+3∗6+4∗75∗2+6∗3+7∗4 5∗5+6∗6+7∗7

)

=

(

29 5656 110

)

A matriz inversaA−1 de uma matriz quadradaA é a matriz definida por

A−1A = I

A condição necessária e suficiente para a existência de uma matriz inversa é que o determinanteseja diferente de zero.

Uma matriz quadradaQ é ditaortogonalse ela tiver a propriedade

Q−1 = QT

ou sejaQQT = QTQ = I

edetQ =±1.

Dadas duas matrizes ortogonaisQ1 eQ2, o produtoQ = Q1Q2 é uma matriz ortogonal.Uma transformação linear entre dois vetores colunax ey é representado matricialmente como

Ax = y ,

e seA não for singular o mapemanto é inversível

x= A−1y

a figura FIG:transcormacaol inearilustraesteconceito.

O problema homogêneoAx = λx

ondeλ é um escalar incógnito ex é um vetor incógnito, é chamado de problema de autovalores damatrizA. Aqui, de forma semelhante a transformação linear abordadaacima, utilizamos a matrizA para transformar um vetorx em um outro vetorλx, onde tantox comoλ são desconhecidos. Osvalores deλ que satizfazem esta equação são chamados deautovaloresda matrizA e os vetoresxseusautovetores. Este problema pode ser escrito como

(A−λ I)x = 0

e a condição para que haja soluções não triviais parax é que

det(A−λ I) = 0,

a chamadaequação característicada matrizA. Quando o determinante é expandido, chega-sea um polinômio de graun em λ , que leva a um conjunto den soluções. No caso mais comumnesta disciplina, matrizes 3×3, a equação característica é um polinômio cúbico emλ , que possui3 raízes ou autovalores. Estes valores são utilizados para determinar os autovetores da matrizutilizando a definição do problema.

Pra ilustrar este importante conceito, vamos calcular os autovalores e autovetores da matriz

A=

[

3 66 8

]

Inicialmente, escrevemos a relação([

3 66 8

]

−[

λ 00 λ

])

x1

x2

=

00

e procedendo com a operação de subtração entre duas matrizes(termo entre parênteses), obtemos([

3−λ 66 8−λ

])

x1

x2

=

00

e lembrando que, para este sistema homogêneo possuir solução não-trivial a condição é de que odeterminante da matriz seja nulo. O determinante de uma matriz 2×2 é muito simples e leva aseguinte equação característica:

(3−λ )(8−λ )−36= 0

que expandida resulta emλ 2−11λ −12= 0.

As raízes desta equação são os autovalores da matrizA. Para a matriz em questão, os autovaloressão

λ1 = −1

λ2 = 12.

A obtenção dos autovetores é simples. Para cada autovalor damatriz, substituímos no sistema deequações e com isto as únicas incógnitas são as componentes do autovetor associado ao autovalorem questão. Para o primeiro autovalor obtemos

([

4 66 9

])

x1

x2

=

00

que resulta em

4x1+6x2 = 06x1+9x2 = 0

.

Analizando o sistema, verificamos que a solução éx1 = −32x2 para um dado valor dex2. Esta

solução é válida para qualquer valor dex2. Assumindox2 = 1, obtemos o seguinte autovetorx = −1.5,1. Uma outra escolha parax2 iria alterar o “ tamanho” do vetor, mas não iria alterara proproção entre suas componentes. Para obtermos sempre uma representação coerente de umautovetor, normalizamos o autovetor com respeito a uma dadanorma. A norma mais usual é anorma euclidiana

‖v‖2 =√

v2x +v2

y +v2z.

Dividindo o autovetor por sua norma obtemos um autovetor normalizado, ou seja, de norma unitá-ria

x =x

‖x‖2

que para o autovetor em questão resulta em

x =

−1.5√

(−1.5)2+12,

1√

(−1.5)2+12

= −0.8320,0.5547

O segundo autovetor é obtido pela substituição deλ2 = 12 no sistema de equações, procedendoda mesma forma. Este autovetor é

0.5547 0.8320

.A respeito de autovalores e autovetores se observa:

• Se a matriz for simétrica, os autovalores são necessariamente reais.

• O múltiplo de um autovetor é um autovetor; para fins de unicidade, costuma-se normalizaros autovetores.

• Autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. Para o exemplo acima, obti-vemos dois autovalores diferentes e portanto

xλ1.xλ2

=−0.8320∗0.5547+0.5547∗0.8320= 0

• Se várias raízes forem repetidas, diz-se que há umamultiplicidade ndeste autovalor, ondené o número de raízes iguais.

• Autovetores associados a autovalores iguais podem ser ortogonais ou não; porém eles sãobase de um espaço de dimensão igual a multiplicidade, umautoespaço. Este autoespaço éortogonal aos outros autovetores.

• Combinações lineares de autovetores distintos associados aum autovalor repetido são auto-valores; para fins simplificativos, toma-sen vetores normalizados ortogonais como base doautoespaço.

• A matriz P formada pela justaposição de autovalores normalizados é uma matriz ortogonalque diagonaliza a matrizA.

P=[

x(1) x(2) x(3)]

P−1AP = diag(λ1, λ2, λ3).

Para o exemplo acima, verificamos que

P=

(

−0.8320 0.55470.5547 0.8320

)

e que

(

−0.8320 0.55470.5547 0.8320

)−1( 3 66 8

)(

−0.8320 0.55470.5547 0.8320

)

=

(

−1 00 12

)

e esta é uma maneira de se verificar se os autovalores foram calculados corretamente.

• Matrizes singulares apresentam alguns autovalores nulos;matrizes não-singulares não po-dem ter autovalores nulos.

• Se todos os autovalores de uma matriz forem positivos, a matriz é ditapositiva-definida;Se todos forem negativos,negativa definida; se forem maiores ou igual a zero, positiva-semidefinida; se forem não nulos positivos e negativos,indefinida.

• O rank de uma matriz é definido como o número de autovalores não nulosdesta matriz, e anulidadeo número de autovalores nulos. Se houverem autovalores nulos, isto é, se o rankfor menor que a dimensão da matriz, diz-se que há uma deficiência de rank. Se uma matriztiver deficiência de rank, haverá necessidade de um número derestrições adicionais para queela seja inversível, este número sendo a nulidade.

Mudança de coordenadas

Conforme já foi apresentado, vetores e tensores são quantidades independentes do sistema decoordenadas de referência. Introduzindo-se um novo sistema de coordenadas, podemos calcular ascomponentes do vetor ou tensor neste novo sistema, mas estasserão diferentes para cada sistemade coordenadas. Desta forma, para a representação de um vetor ou tensor ser completa, o sistemade coordenadas deve ser especificado; as componentes não podem ser dissociadas do sistema decoordenadas. Em uma representação de um sistema físico, este sistema de coordenadas carrega emsi as unidades da grandeza representada, tal como unidades de posição, força, normal a uma área,etc.

Se o novo sistema de coordenadas for obtido através de uma translação do sistema original, asnovas componentes do vetor serão representadas simplesmente através de adição. Como exemplo,se a origem do novo sistema ocupar um vetor posiçãox0 no sistema original, um vetor posiçãoqualquerx será representado no novo sistema como

x′ = x−x0 .

Mas a mudança de coordenadas mais importante é quando o novo sistema é obtido pela rotaçãodo sistema original. Representaremos os vetores base do novosistema pore1,e2,e3. Um vetora representado no sistema original como

a=3

∑i=1

aiei

vai ser representado no novo sistema como

a=3

∑i=1

aiei =3

∑i=1

a′ie′i

Figura 8.4: Rotação do sistema de coordenadas xy no sentido anti-horário.

Introduzimos agora amatriz de rotaçãoR. Seja o cosseno do ângulo entre os vetores basee′i eej representado porRi j , de forma que

Ri j = e′i ·ej .

Nota-se queRi j são os cossenos diretores dos vetores base do novo sistema decoordenadas emrelação ao sistema original, ou também as componentes dos vetores base do novo sistema nosistema original. Então podemos escrever

e′i =3

∑j=1

Ri j ej .

A figura 8.4 ilustra este conceito em duas dimensões, onde a seguinte relação é válida

x′

y′

=

[

cos(θ) sen(θ)−sen(θ) cos(θ)

]

xy

e a sua relação inversa é

xy

=

[

cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)

]

x′

y′

correspondendo a uma rotação no sentido horário. Nesta disciplina, vamos considerar como positi-vos os ângulos considerados no sentido anti-horário, como normalmente é utilizado na geometria.Assim , dado um vetora= (2,4) no sistema de coordenadas xy, ele possuirá compomentes

[

cos(90) sen(90)−sen(90) cos(90)

]

24

=

4−2

em um sistema de coordenadas rotacionado a 90 no sentido anti-horário.Como estamos rotacionando em torno do eixo z na figura 8.4 e no exemplo apresentado ante-

riormente, temos que z e z’ são colineares. Assim, as componentes na direção z não se alteram epodemos escrever

x′

y′

z′

=

cos(θ) sen(θ) 0−sen(θ) cos(θ) 0

0 0 1

xyz

se a rotação for em torno do eixo x, podemos escrever

x′

y′

z′

=

1 0 00 cos(θ) sen(θ)0 −sen(θ) cos(θ)

xyz

e em torno do eixo y,

x′

y′

z′

=

cos(θ) 0 sen(θ)0 1 0

−sen(θ) 0 cos(θ)

xyz

.

Iremos, ao longo desta disciplina, nos referenciar a estas matrizes de rotação porR e quandonecessário iremos utilizar um índice que indica em torno de qual eixo estamos rotacionando, comopor exemploRx. É importante salientar que a ordem das rotações afeta a rotação final, conclusãoque qualquer pessoa que manobra um carro em uma garagem cheiade pilares.

Voltando ao vetora podemos escrevê-lo como

a=3

∑j=1

a jej =3

∑j=1

a j

3

∑i=1

Ri j e′i =3

∑j=1

Ri j a je′i =3

∑i=1

a′ie′i

e consequentemente

a′i =3

∑j=1

Ri j a j .

Similarmente,

ai =3

∑i=1

Rji a′j .

Esta definição de mudança de coordenadas é tão importante quecostuma-se definir vetores emfunção dela. Desta forma, definimos um vetor como uma quantidade com magnitude e direção quepode ser representado como um conjunto de componentes em um sistema de coordenadas que setransforma de acordo a regra acima.

É importante ressaltar que a mudança de coordenadas não afeta quantidades tais como o pro-duto interno. Podemos verificar que

a·b =3

∑i=1

aibi =3

∑i=1

3

∑j=1

Rji a′jRjkb′j =

3

∑i=1

3

∑j=1

Rji Rjka′jb′j = a′jb

′j

usando o fato deR ser uma matriz ortogonal com a propriedade deRRT = I . Quantidades que nãose afetam com a mudança de coordenadas são chamadas deinvariantes. A rtotação de tensores desegunda ordem será aborada no capítulo referente as tensões.

Cálculo vetorial e tensorial

Apresenta-se aqui alguns resultados básicos de cálculo vetorial e tensorial. Não serão apresentadasas provas ou demonstrações.

Seja uma função escalarφ (x,y,z) e uma função vetoriala(x,y,z). Definimos os seguintes entesmatemáticos:

• O operador∇ (nabla), como

e1∂∂x

+e2∂∂y

+e3∂∂z

ou

∇(·) =(

∂ ·∂x

,∂ ·∂y

,∂ ·∂z

)

• o gradiente∇φ ,

gradφ = ∇φ = e1∂φ∂x

+e2∂φ∂y

+e3∂φ∂z

=3

∑i=1

ei∂φ∂xi

ou

∇φ =

(

∂φ∂x

,∂φ∂y

,∂φ∂z

)

que é um vetor cuja direção é normal a superfícieφ constante e a magnitude é a derivadadirecional deφ na direção desta normal. Observe que aplicando a gradiente aum campoescalar, obtemos um campo vetorial. Iremos aplicar, também, o gradiente sobre um campovetorial, como por exemplo o campo de deslocamentos. Neste caso, obtemos

∇a=

∂ax∂x

∂ax∂y

∂ax∂z

∂ay∂x

∂ay∂y

∂ay∂z

∂az∂x

∂az∂y

∂az∂z

ou seja, um tensor de segunda ordem.

• o divergente∇ ·a,

diva= ∇ ·a=∂ax

∂x+

∂ay

∂y+

∂az

∂z=

3

∑i=1

∂ai

∂xi

que é um escalar;

• e o rotacional (“curl”)∇×a,

rot a= ∇×a=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e1 e2 e3∂∂x

∂∂y

∂∂z

ax ay az

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=3

∑i=1

3

∑j=1

3

∑k=1

εi jkei∂ak

∂x j

que é um vetor.

A utilização do operador nabla permite escrever de forma sucinta equações de equilíbrio da mecâ-nica do contínuo. Por exemplo, temos que a equações da condução de calor em um meio isotrópicopode ser representada por

∂∂x

(

k∂T∂x

)

+∂∂y

(

k∂T∂y

)

= Q

onde Q representa a geração de calor por unidade de volume, k(x,y) é a condutividade térmica eT(x,y) é a distribuição escalar de temperatura no corpo. Esta equação pode ser escrita como

∇ · (k∇T) = Q.

Teoremas integrais

Na Mecânica dos Sólidos, utilizamos constantemente os teoremas integrais, como o da divergência(ou de Gauss). Este teorema diz que

∫

ΩdivadΩ =

∫

Γa·ndΓ ,

ou em componentes∫

Ω

3

∑i=1

∂ai

∂xidΩ =

∫

Γ

3

∑i=1

aini dΓ .

Este teorema tem um significado físico bem claro: a quantidade de fluxo que passa pelas fronteirasde um volume é igual ao divergente do campo vetorial no volume. Este teorema é também utilizadopara tensores de segunda ordem,

∫

Ω

3

∑i=1

∂Ai j

∂xidΩ =

∫

Γ

3

∑i=1

Ai j ni dΓ .

A fórmula de Green é bastante utilizado em cálculo variacional. Ele pode ser visto como umaintegração por partes generalizada.

∫

Ω∇φ ·∇ψ dΩ =−

∫

Ωφ∇2ψ dΩ+

∮

Γφ∇ψ ·ndΓ .

Utilizando o MAPLE

O MAPLE é um programa que facilita enormemente o estudo destadisciplina e, portanto, serálargamente utilizado. Obviamente, o aluno poderá utilizaroutros pacotes semelhantes, como oMupad, Mathematica, Mathcad, etc... No entanto, como a UFRGSdisponibiliza o MAPLE paraseus alunos, este será explorando com detalhes nesta seção.

Inicialmente, vamos estudar os conceitos básicos do MAPLE.Preste atenção ao código abaixo> restart:> a:=5;a := 5

> b:=12:> a+b;17

O comando restart deve ser sempre o primeiro comando digitado. Ele faz com que todos osregistros anteriores sejam apagados e portanto teremos certeza de que estaremos utilizando apenasos valores designados na planilha. Na segunda linha atribuimos o valor 5 para a variável a, que foi “confirmado” pelo MAPLE na terceira linha. Isto aconteceu pois colocamos ; no final do comando.Na quarta linha atribuimos o valor 12 para a variável b, mas como utilizamos : o MAPLE nãoimprimiu mais uma linha com esta informação. Na linha abaixosimplesmente somamos os valoresde a e b, resultando em 17. Se por um acaso desejássemos atribuir o resultado da soma para umavariável c, bastaria escrever c:=a+b: ou c:=a+b;.

O MAPLE trabalha, também, com vetores e matrizes. Observe a seguinte listagem:> restart:with(linalg):> v:=vector(2,[1,2]);

v := [1, 2]> A:=matrix(2,2,[1,2,3,4]);

[1 2]A := [3 4]

> B:=matrix(2,2,[5,6,7,8]);[5 6]

B := [7 8]Vamos somar A e B> evalm(A+B);

[ 6 8][10 12]

vamos transpor A> transpose(A);

[1 3][2 4]

vamos inverter A> inverse(A);

[-2 1 ][3/2 -1/2]

calculando o produto A*B> evalm(A&*B);

[19 22][43 50]

calculando 5Av> evalm(5*A&*v);

[25, 55]>Barbada em !! Vamos analizar a listagem acima. Em primeiro lugar, utilizamos o restart, con-

forme explicado anteriormente. O comando with(XXX) carrega módulos especiais do MAPLE.No caso, carregamos o módulo de álgebra linear, para podermos trabalhar com matrizes. Existemoutros módulos, tais como o módulo de conversão para a linguagem C, with(C) e o módulo grá-fico with(plots). O comando vector define um vetor, no caso comdimensão 2. Entre colchetessão informados os valores do vetor. Para definir uma matriz, utilizamos o comando matrix, quenecessita de duas dimensões conforme pode ser visualizado no exemplo. Os demais comandos sãobastante simples, como especial cuidado para os comandos evalm(), dentro do qual são realizadasoperações matriciais e o operador de multiplicação entre vetrores e matrizes &*.

Existem outras maneiras de se definir um vetor ou uma matriz. observe o código abaixo:> v:=vector(2);

v := array(1 .. 2, [])> v[1]:=1:> v[2]:=2:> v();

[1, 2]>ao definirmos o vetor v, não atribuímos nenhum valor as suas duas posições. No entanto, nas

linhas 3 e 4, os valores foram atribuídos. A linha 5 diz para o MAPLE mostrar as posições do vetorv. Para uma matriz procedemos da mesma forma, mas são necessários dois índices:

> A:=matrix(2,2);A := array(1 .. 2, 1 .. 2, [])

> A[1,1]:=1:> A[1,2]:=2:> A[2,1]:=A[1,2]:> A[2,2]:=6:> A();

[1 2][2 6]

>

Matrizes especiais podem ser definidas de forma bastante simples no MAPLE. Se desejamosdefinir a matriz identidade basta utilizarmos

> I_:=array(identity,1..3,1..3);I_ := array(identity, 1 .. 3, 1 .. 3, [])

> I_();[1 0 0][0 1 0][0 0 1]

>e é importante observar que o nome I é uma palavra reservada noMAPLE. Por este motivo, foi

utilizado I_.Agora que sabemos como lidar com matrizes, vamos calcular osautovalores e autovetores de

uma matriz. A matriz utilizada será a mesma do exemplo deste apêndice.> restart:with(linalg):Definindo a matriz quadrada A> A:=matrix(2,2,[3,6,6,8]);

[3 6]A := [6 8]

podemos calcular os autovalores de maneira bastante simples !> eigenvals(A);

-1, 12os autovetores> v:=eigenvects(A);

v := [12, 1, [1, 3/2]], [-1, 1, [-3/2, 1]]os autovetores normalizados> x1:=evalf(normalize(v[1][3][1]));

x1 := [.5547001960, .8320502943]> x2:=evalf(normalize(v[2][3][1]));

x2 := [-.8320502943, .5547001960]a eq. caract.> charpoly(A,lambda);

2lambda - 11 lambda - 12

Se desejamos calcular as raizes da eq. caract. podemos escrever> eq:=charpoly(A,lambda)=0;

2eq := lambda - 11 lambda - 12 = 0

> solve(eq,lambda);-1, 12

Observe agora a saida do comandoeigenvects. O comando retorna, 12,1,[[1,=3/2]], que se lêcomo:

para o autovalor 12, temos apenas um autovetor que é [1,3/2].O mesmo para o outro autova-lor. Por isso, ao utilizar o comandonormalize,temos que informar [autovalor][3 posição][1]. Ocomandonormalizeassume que estamos utilizando a norma euclidiana.

Se desejarmos calcular os autovalores utilizando a maneirausual (que não é justificável utili-zando o MAPLE, mas serve como exercício), podemos escrever

Define a matriz A> A:=matrix(2,2,[3,6,6,8]);

[3 6]

A := [6 8]Define a matriz identidade> I_:=array(identity,1..2,1..2):define um vetor qualquer> x:=vector(2):calcula A-lambdaI> A2:=evalm(A-lambda*I_);

[3 - lambda 6 ]A2 := [ 6 8 - lambda]

calcula o seu determinante> detA2:=det(A2);

2detA2 := -12 - 11 lambda + lambda

monta a equação característica> eqchar:=detA2=0;

2eqchar := -12 - 11 lambda + lambda = 0

calcula as suas raizes (autovalores)> raizes:=solve(eqchar,lambda);

raizes := -1, 12vamos substituir o primeiro autovalor no sistema de equações> eqs:=subs(lambda=raizes[1],evalm(A2&*x));

eqs := [4 x[1] + 6 x[2], 6 x[1] + 9 x[2]]vamos resolver o sistema de equações> result:=solve(eqs[1]=0,eqs[2]=0,x[1],x[2]);

result := x[1] = - 3/2 x[2], x[2] = x[2]assuindo que x[2]=1> result2:=subs(x[2]=1,result[1]);

result2 := x[1] = -3/2pronto, o primeiro vetor tem suas componentes determinadas. O resto é igual, normaliza ....Vamos estudar, agora, a rotação de vetores e matrizes. Como foi apresentado, podemos definir

um operador de rotação

R=

c s 0−s c 00 0 1

que no caso é a rotação no sentido anti-horário (positivo) emtorno do eixo Z. Se representar ascomponentes de um vetor no novo sistema de coordenadas, podemos escrever

> restart:with(linalg):Warning, new definition for normWarning, new definition for traceo MAPLE trabalha em radianos, portanto é sempre bom definir astransformações> graus_radiano:=((2*Pi)/360):> radiano_graus:=(360/(2*Pi)):vamos definir a matriz de rotação> Rz:=matrix(3,3,[c,s,0,-s,c,0,0,0,1]);

[c s 0]Rz := [-s c 0]

[0 0 1]vamos rotacionar em 90 graus, que em radianos corresponde a

> tetha:=90*graus_radiano:vamos substituir na matriz de rotação> c:=cos(tetha):s:=sin(tetha):> Rz();

[0 1 0][-1 0 0][0 0 1]

>dado o vetor> v:=vector(3,[2,2,0]);

v := [2, 2, 0]vamos rotacionar> vrot:=evalm(Rz&*v);

vrot := [2,- 2, 0]que visivelmente está de acordo com o esperado. Vamos rotacionar o vetor vrot no sentido-

horário para restaurar o vetor original.> voriginal:=evalm(transpose(Rz)&*vrot);

voriginal := [2, 2, 0]>agora vamos verificar se a matriz de rotação é realmente ortogonal> evalm(transpose(Rz)&*Rz);

[c2+s2 0 0][0 c2+s2 0][0 0 1]

Apêndice - Revisão de Mecânica

Neste apêndice, apresenta-se brevemente os conceitos básicos da mecânica de um sistema de par-tículas. Uma revisão fica a cargo do leitor, utilizando, por exemplo o livro de dinâmica de Gre-enwood.

Dinâmica de um Sistema de partículas

Seja um sistema den partículas, cada uma de massami , ondei varia entre 1 an. As forças aplicadasno sistema são chamadas de forças internas caso se manifestem de uma partícula a outra, ou forçasexternas, caso provenham de uma fonte externa a estas partículas. As forças internas são denotadaspor f i j ondei representa a partícula que exerce a força ej a que partícula na qual a força age. Pelalei de Newton,f i j =−f ji já que a forças devem ser de ação e reação. Além disto, estas forças devemestar na linha que conecta as duas partículas, ef ii = 0, já que uma partícula não pode exercer umaforça sobre ela mesma. As forças externas são denotadas port i , onde o índice identifica a partícula.

A lei de Newton pode ser escrita para cada partícula como

mi xi = t i +n

∑j=1

f i j (semsoma implicita.)

Para o sistema, escreve-sen

∑i=1

mi xi =n

∑i=1

t i +n

∑j=1

f i j

onde o último termo se anula. Definindo a massa total como

m=n

∑i=1

mi ,

o centro de massa como

xc =1m

n

∑i=1

mixi

e força externa total

t =n

∑i=1

t i ,

pode-se recuperar a forma simples da lei de Newton para o centro de massa

mxc = t .

99

Trabalho e Energia

O trabalho total é calculado pela soma do trabalho das forçasinternas e externas entre duas confi-gurações A e B:

W =n

∑i

∫ B

A

(

t i +n

∑j=1

f i j

)

·dxi

expressão que será simplificada definindo um vetor posiçãoρi = xi − xc de cada partícula emrelação ao centro de massa. A substituição nos leva a

W =∫ B

At ·dxc+

n

∑i

∫ B

A

(

t i +n

∑j=1

f i j

)

·dρi = Tc+Ti

onde o primeiro termo é o trabalho das forças externas sobre ocentro de massa e o segundo otrabalho das forças internas e externas para os deslocamentos relativos ao centro de massa. Oprimeiro termo contribui com o aumento de energia cinética do centro de massa do sistema

Ec =12

mv2c

∣

∣

∣

∣

B

A,

e o segundo termo com a energia cinética do movimento relativo:

Ei =n

∑i=1

12

mi ρ2i

∣

∣

∣

∣

B

A.

No caso de sistemas nos quais as forças externas obedecem a conservação de energia mecânica(as forças externas são obtidas de uma função potencial envolvendo somente a posição do centrode massa), podemos invocar o princípio de conservação da energia mecânica:

Ec = Tc+Vc ,

ondeEc é a energia mecânica do centro de massa,Tc é a energia cinética da movimentação docentro de massa, eVc é a energia potencial associada a posição do centro de massa.

No caso das forças internas também serem conservativas, pode se escrever a conservação daenergia mecânica em sua forma comum

E = T +V .

Quantidade de movimento

Linear

A lei de Newton para o centro de massa pode ser integrada em um intervalo de tempo,∫ t2

t1t dt =

∫ t2

t1mxcdt .

Se analisarmos o mesmo sistema de partículas, a massa é constante, e portanto∫ t2t1 t dt = m(xc2− xc1)

I = ddt [m(xc2− xc1)]

ou seja, o impulso é igual a variação da quantidade de movimento em cada direção. Além disto,as forças internas não contribuem para o impulso total, já que se anulam no sistema. Então, naausência de forças externas, a quantidade de movimento é constante, resultado que é conhecidocomo o Princípio da conservação da quantidade de movimento.

Angular

O momento de uma força é dado pelo produto externo do vetor posição pela força

M i = xi × t i .

A quantidade de movimento angular da partículai é dada pela expressão

H i = xi ×mxi

e sua derivada temporal porH i = xi ×mxi

Pode-se tomar o produto externo na lei de Newton para uma partícula como

xi × t i = xi ×mxi .

Somando sobre todos os pontos do sistema, obtemos

∑ni=1xi × ti = ∑n

i=1xi ×mi xi

M = ∑ni=1xi ×mi xi

lembrando que os momentos das forças internas se anulam.Na ausência de momentos externos, a quantidade de movimentoangular em cada direção é

constante, resultado conhecido como o Princípio da Conservação da Quantidade de MovimentoAngular.

Sistemas Contínuos de Partículas

A análise de sistemas discretos de partículas pode ser aplicada com pequenas modificações a sis-temas contínuos. Uma das possibilidades de se fazer esta passagem é através de um procedimentode limites, possível dentro da hipótese do meio contínuo.

Utilizamos a definição de um contínuo com a distribuição de massa especificada através de umparâmetroρ (x), a densidade. A massa total do corpo é dada por

m=∫

Ωρ dΩ

e todas as grandezas relacionadas com as partículas são agora distribuídas no corpo. Por exemplo,a velocidade, a aceleração e a quantidade de movimento são consideradas funções da posição(v(x) , a(x))definidas sobre o corpo.

As forças internas podem atuar em todas as direções e torna-se mais fácil definir uma “den-sidade” das forças internas, chamada tensão, que é melhor estudada dentro do texto de Mecânicados Sólidos.

A força externa aplicada é considerada de duas formas: uma distribuição de forças sobre ocontornoΓ, que denotaremos port e uma distribuição de forças no volume do corpo, denotada porb. Desta forma, a força total atuando no corpo é dada por

F =∫

ΩρbdΩ+

∫

Γt dΓ .

As forças concentradas podem ser consideradas neste contexto através das funções de singulari-dadeδ de Dirac, e de suas derivadas e integrais (como a função degrau unitário de Heaviside).

Conservação da Quantidade de Movimento

Escrevemos o princípio da conservação da quantidade de movimento linear como

DDt

∫

ΩρvdΩ =

∫

ΩρbdΩ+

∫

Γt dΓ

onde pode-se notar que a quantidade de movimento se calcula com a integral substituindo a soma-tória, a densidade substituindo a massa de cada partícula e avelocidade sendo considerada umafunção distribuída sobre o corpo.

O princípio da conservação da quantidade de movimento angular é dado similarmente por

DDt

∫

Ωx×ρvdΩ =

∫

Ωρx×bdΩ+

∫

Γx× t dΓ

onde novamente é possível comparar com o resultado para os sistemas de partículas.Os dois princípios acima podem expressar o equilíbrio destecorpo, bastando considerar-se as

acelerações nulas.

Conservação da energia

A energia cinéticaT de um corpo que ocupa a regiãoΩ do espaço é expressa por

T =12

∫

ρv ·vdΩ .

Mas a energia cinética é apenas uma parte da energia total de um corpo. Definimos agora umadensidade de energia internaee sua integralE (que pode ser a energia potencial elástica ou gravi-tacional, ou energia térmica) e enunciamos o princípio da conservação da energia como

DDt

(T +E) = W

ou seja, a taxa que o trabalho mecânico é realizado no corpo é igual a variação da soma das energiascinéticas e interna.

Este enunciado realmente não é de grande valia; no entanto, se a energia interna é especificadade alguma maneira, o princípio torna-se bastante útil. Por exemplo, no caso de corpos elásticos,a energia interna é a energia de deformação; todo o trabalho das forças externas é armazenado ouem energia cinética ou em energia deformação. No caso de corpos estáticos, todo o trabalho dasforças externas é acumulada como energia de deformação.

Os princípios energéticos são ferramentas bastante poderosas na Mecânica dos Sólidos, espe-cialmente quando combinados com o Cálculo Variacional.