B

Respostas das questões: 3.4; 3.6; 3.8; 3.10; 3.16; 3.19

3.4) Uma força P e aplicada ao pedal de freio em A. Sabendo que P = 450N e α =30º, determine o momento de P em relação a B.

R.: P = 450N α = 30ºPx = P × cos 30º Py = P × sen 30ºPx = 450×√32

Py = 450 × 0,5Px ≅ 389,7 î N Py = 250 ĵ� NLogo, P⃗= (389,7 î - 250 ĵ�) NABx = 100mm

ABy = 240mm MB = AB × PMB = (-0,1î -0,24 ĵ�) × (389,7 î - 250 ĵ�)MB = (-0,1 × 389,7)(î×î) + (0,1 × 225) (î× ĵ�) – (0,24 × 389,7)(ĵ�×î) + (0,24 × 225)( ĵ�×ĵ�)Como, (î×î) = 0 e (ĵ�×î) = 0, temos:MB = 22,5k̂ + 93,5k̂Então:MB = 116 k̂ MB = 116 N.m

AB = (-0,1î -0,24 ĵ�)mA

3.6) Uma força P de 400N é aplicada ao ponto A da figura. (a) Calcule o momento da força P

em relação a O decompondo a força segundo OA e na direção perpendicular a OA. (b)

Determine o módulo, a direção e o sentido da menor força Q que aplicada a B produza o

mesmo momento, em relação a O, que a força P.

R.: A) Py P P = 400Nα α = 30º PxDecompondo P em componentes cartesianas, temos:Px = P × cos 30º Py = P × sen 30ºPx = 400 × √3

2 Py = 400 × 0,5 P⃗= (200î + 346,4ĵ�)

Px ≅ 346,4N Py = 200NOAy A 6 AB6 = 0,2m OAx

cos 40 º = OA x0,2

sin40º = OA y0,2OAx = 0,2 × 0,766 OAy = 0,2 × 0,643OAx = 0,1532m OAy = 0,1286mEntão,OA = (0,1286î + 0,1532ĵ�)

O

Calculando o momento em relação a O:Mo = P × OAMo = 25,72 k̂ - 53,07k̂Mo = -27,4k̂Mo = 27,4 N.mB) B OBy 6OB6 = 0,12mα α = 48º OBx

cos 48º = OB x0,12

sin48º = OB y0,12OBx = 0,12× 0,669 OBy = 0,12 × 0,743OBx = 0,08m OBy = 0,089mEntão,OB = (0,08î + 0,089ĵ�)mIdentificando a força Q:Mo = Q × OB27,4 = Q × 0,12

Q = 27,350,12Logo, a força Q vale:Q ≅228N

3.8) Sabe-se que a biela AB aplica no virabrequim uma força de 1,5 kN dirigida para baixo e

para a esquerda, ao longo do eixo de simetria de AB. Determine o momento da força em

relação a C.

R.: 0,021m A 6AB6 = 1500N0,072m

BPara decompor AB em componentes cartesianas, temos:tgθ = 0,021

0,072 ABx = AB × sin16,26º ABy = AB

× cos16,26ºtgθ = 0,2916 AB x = 1500 × 0,28 AB y = 1500 × 0,96θ = tan−1 0,2916 AB x = 420N AB y = 1440Nθ=16,26 ºLogo vetor AB em componentes vetoriais:AB = (-420î - 1440ĵ�)m A C BC = BCx î + BCy ĵ� BC = (0,021î + 0,028ĵ�)0,028 0,021 BCalculando o momento:Mc = AB × BCMc = (-420î - 1440ĵ�) × (0,021î + 0,028ĵ�)Mc = -11,76k̂ + 30,24k̂Logo:Mc = 18,48k̂ , ou seĵa, Mc = 18,5 N.m3.10) A barra AB é mantida na posição pelo cabo AC. Sabendo que c = 1400mm e que o momento em relação a B da força exercida pela corda no ponto A é de 420 N×m, determine a força de tração na corda.

Tx A θ MB = 420 N.m T Ty CCalculando o ângulo θ, temos:tgθ = 762

1806tgθ=0,422

θ = tan−1 0,422

θ≅ 22,88 ºDecompondo T em componentes cartesianas:Tx = T × cos 22,88º Ty = T × sin 22,88ºTx = 0,921T Ty = 0,389TLogo,T = (-0,921T - 0,389T) 0,762m A AB = (0,406î + 0,762ĵ�)m B 0,406mCalculando a tração T:MB = AB × TMB = (0,406î + 0,762ĵ�) × (-0,921T - 0,389T)MB = -0,702Tk̂ + 0,158Tk̂420k̂ = -0,544Tk̂Isolando T na equação:

T= −4200,544

⇔T≅−772

Em módulo:T = 772N3.16) Uma força de 200N é aplicada ao suporte ABC, como ilustrado. Determine o momento da força em relação a A.

60º F = 200N Fz α = 30ºR.: F α FyDecompondo F em componentes cartesianas:Fy = F × cos θy Fz = F × cos θzFy = 200 × cos 30º Fz = 200 × cos 60ºFy ≅ 173,2 N Fz = 100NLogo,F = (0î – 173,2ĵ� - 100k̂) ACx = 0,06m C ACy = 0,075m AAC = (-0,06î – 0,075ĵ�)mDeterminando o momento em relação a A:MA = AC × FMA = (-0,06î – 0,075ĵ�) × (0î – 173,2ĵ� - 100k̂)MA = (10,39k̂ - 6ĵ� +7,5î)

Reorganizando os termos:MA = (7,5î - 6ĵ� + 10,39k̂)N.m3.19) O mastro AB, de 4,57m, tem uma extremidade fixa A. Um cabo de aço é esticado da ponta livre B até o ponto C de uma parede vertical. Se a tração no cabo é de 2535 N, determine o momento em relação a A da força aplicada em B.

R.: C yz x BDeterminando os ângulos:cos θx = 4,57

5,79 = 0,789 cosθy = 1,83

5,79 = 0,316 cosθz = 3,05

5,79 = 0,527

θx = cos−1 0,789 θy = cos−1 0,316 θz = cos−1 0,527

θx ≅ 37,9º θy ≅ 71,58º θz ≅ 58,20ºT2 = Tx2 + Ty2 + Tz2T2 = (4,57)2 + (1,83)2 + (3,05)2T2 = 20,88 + 3,35 + 9,3T = √33,53 ⇔ T = 5,79mDeterminando o vetor BC:BC = (-2535×cos 37,9º + 2535×cos 71,58º - 2535×cos 58,20º)BC = (-2000,3î + 801ĵ� - 1336k̂)N

A BDeterminando o vetor AB:AB = (4,57î +0ĵ� +0k̂)mCalculando o momento em A:MA = AB × BCMA = (4,57î +0ĵ� +0k̂) × (-2000,3î + 801ĵ� - 1336k̂)MA = 3660,57k̂ + 6105,52ĵ�Reorganizando:MA = (0î + 6105,52 ĵ� + 3660,57k̂)N.m