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Mecânica Quântica

Carlos Eduardo Aguiar

Programa de Pós-Graduação em Ensino de FísicaInstituto de Física - UFRJ

1º período letivo, 2014

Ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• Dificuldades conceituais– Superposição quântica

– Probabilidade subjetiva x objetiva

– Complementaridade

– O problema da medida

– Realismo vs. localidade

• Dificuldades matemáticas– Vetores

– Números complexos

– Espaços vetoriais complexos

– Operadores, autovalores, autovetores

– Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 2


Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics 64 , 31, 1996.

• I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20 , 427, 1998.

• S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, 2000.

• G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15, 2000.

• M. A. Moreira, I. M. Greca, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001.

• I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, 2001.

• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, 2001.• E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization

understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of Physics 70, 238, 2002.

• K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students’ conceptions of wave- and particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, 2002.

• R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal ofPhysics 70, 200, 2002; ver também Am. J. Phys. 70, 887, 2002.



• I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students’ understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12 , 541, 2003.

• F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica: um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, 2004.

• D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 3, 010105, 2007.

• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, 2008.

• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction, American Journal of Physics 76, 277, 2008.

• C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76, 400, 2008.

• L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77, 308, 2009.

• M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference Proceedings 1179, 137, 2009.

• C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, 2009.

• C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010.



• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 020121, 2010.

• L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 010101, 2011.

• M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographiccategories of description of tertiary physics students’ depictions, Physical Review Special Topics -Physics Education Research 7, 020113, 2011.

• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlachexperiment, American Journal of Physics 79, 499, 2011.

• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101117, 2012.

• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. II. Development of research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101118, 2012.

• O. Levrini, P. Fantini, Encountering Productive Forms of Complexity in Learning Modern Physics, Science & Education 22,1895, 2013.

• A. Kohnle et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics 35, 015001, 2014.

• J. Castrillon, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecánica cuántica fundamental, una propuesta didáctica, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1505, 2014.


Leituras recomendadas

• R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008. • R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988.• H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002.• O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003.• A. Zeilinger, A Face Oculta da Natureza, Globo, 2005.• M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, 2013.• T. Hey, P. Walters, The New Quantum Universe, Cambridge UP, 2003.• V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006.• B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP,

2006.• L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014• A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012. • J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, 2002. • D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000.• D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-

Wesley, 2012.• M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006.

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Simulações

• Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/

• Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~betz/quantum/SGtexto.htm

• QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg)http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html

• PhET (University of Colorado)http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantum-phenomena

• SPINS (Oregon State University)http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html

• Quantum physics (École Polytechnique)http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/index.html


Internet

• Quantum Physics (IoP)http://quantumphysics.iop.org/

• Quantum Mechanics (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-mechanics/2012/winter

• Quantum Entanglement (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-entanglement/2006/fall

• Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/advanced-quantum-mechanics/2013/fall



Sumário

1. Fenômenos quânticos

2. Princípios da mecânica quântica

3. Sistemas quânticos simples: aplicações

4. Realismo, contextualidade e não-localidade

5. Partículas idênticas

6. Operadores, autovalores e autovetores

7. Simetrias

8. Posição e momentum

9. Partícula em uma dimensão

não estão nestas notas


Charles Addams, New Yorker, 1940

Fenômenos Quânticos

Um experimento com a luz


feixe luminosopouco intenso

semiespelho (50-50%)

espelho

espelho

detetoresde luz D1

D2

Resultado do experimento

• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.


D1

D2

D1

D2

ou

50% 50%probabilidade

3

Se a luz fosse uma onda

... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.


D1

D2

Se a luz é composta por partículas

... ou D1 dispara, ou D2 dispara.


ou

D1

D2

D1

D2

Conclusão

• A luz é composta por partículas: os fótons.

• O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou.


caminho 2

caminho 1

D2

D1

O experimento de Grangier, Roger & Aspect

• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.

• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir.


ν1

ν2

átomo de cálcio τ = 4,7 ns



w = 9 ns

P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)


Resultado do experimento de Grangier et al.

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Sobre o ensino do conceito de fóton

• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz.

• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico.

• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton.– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)

– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)


Outro experimento com a luz


interferômetro de Mach-Zehnder

D2

D1

segundosemiespelho

feixe luminoso“fóton a fóton”

Preliminares: um feixe bloqueado


1

2

50%

25%

25%

O outro feixe bloqueado


1

2

50%

25%

25%

Resultado fácil de entender com partículas


= caminho do fóton

1

2

50%

25%

25%

De volta ao interferômetro


D1

D2

5

Resultado do experimento:


0%

100%

D1

D2

Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos


caminho 1 caminho 2

1

25%

25%2

25%

25%

Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferençase o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto valeo resultado do experimento preliminar.


)2(D

)1(DD nnn

PPP +=

probabilidade dodetetor Dn disparar apenas o caminho

1 aberto

apenas o caminho2 aberto

Proposição:*

Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2

consequência:

* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5

Teste da Proposição


Experimentalmente:

)2(D

)1(DD nnn

PPP +≠

%100P1D =

%25P )1(D1

=

%25P )2(D1

=

%25P )1(D2

=

%0P2D =

%25P )2(D2

=

a proposição é falsa!


Repetindo:

A afirmativa

“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”

é falsa.

“\ um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível,de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si ocoração da mecânica quântica.”

R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1


Por onde vai o fóton?

1 e 2

ou 1 ou 2

nem 1 nem 2

12

6

Por onde vai o fóton?

• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.

• Se os dois caminhos forem fechados, nenhumfóton chega aos detetores. Logo, “nem 1 nem 2”também não é aceitável.

• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fótonsegue os dois caminhos ao mesmo tempo.

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 31 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 32

Uma resposta melhor

• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro,pois a montagem experimental não permite distinguir oscaminhos 1 e 2.

• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a umaparato capaz de produzir uma resposta.

Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer comas palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron(em um sistema de referência), ele deve especificarexperimentos determinados com os quais pretende medir talposição; do contrário essas palavras não terão significado.

- W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics

(o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)

Fácil de entender num modelo ondulatório


D1

D2

interferênciaconstrutiva

interferênciadestrutiva

Comprimentos variáveis


L1

L2

PD2

PD1

L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro

Resultado experimental:

• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.

• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere comele mesmo”.

• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), ocomprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.


L1 – L2

0

1

PD1

L1 – L2

1

0

PD2

(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD

(2))



P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)

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L1 – L2 (λ/50) L1 – L2 (λ/50)

Interferência de nêutrons


interferômetro de nêutrons

S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)

Interferência de átomos


interferômetro de átomos

A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometrywith atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)


Interferência de elétrons

A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up

of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)


E se os caminhos forem distinguíveis?

P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer

at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)

diferença de “caminhos” (ajustável)

interferênciadesaparece!




E se os caminhos forem distinguíveis?

N ↔ Massa

• Massa = 0• caminho

identificado• não há padrão de

interferência

• Massa → ∞• caminho não

identificado• padrão de

interferência

8




E se a informação sobre o caminho for apagada?

impossível determinar o caminho

interferência

Quando há interferência?


Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente

interferência(“1 e 2”)

Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente

(“ou 1 ou 2”)

não há interferência

Princípios da Mecânica Quântica


Princípios da Mecânica Quântica

• Vetores de estado e o princípio da superposição

• A regra de Born

• Complementaridade e o princípio da incerteza

• Colapso do vetor de estado

• Evolução unitária

• Sistemas de N estados

• Sistemas compostos. Emaranhamento


Vetores de Estado e o

Princípio da Superposição


Sistemas de dois estados

• esquerda / direita

• horizontal / vertical

• para cima / para baixo

• sim / não

• 0 / 1


9



cara coroa

fóton refletido

fóton transmitido



A = ? a2a1

=2

1

a

aAgrandeza física observável:

a2a1

a2a1medidor de “A”

ou

Sistemas clássicos

• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.

• Representação dos estados: pontos no “eixo A”


Aa1 a2

sistema temA = a1

sistema temA = a2

Sistemas quânticos: vetores de estado

• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.

• Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões


1a

2a

sistema temA = a2

sistema tem A = a1

A notação de Dirac


vetor ↔ L

identificação

↓↑

b↔

21 aa

direitaesquerda

10

exemplos:

O que muda?


Passar de dois pontos em uma reta para doisvetores perpendiculares não parece ser mais domudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.

1a

2a

Aa1 a2

O que muda é o seguinte:

?

10

O Princípio da Superposição


Qualquer combinação linear dos vetores |a1⟩ e |a2⟩representa um estado físico do sistema.

2211 acac +=ψ

1a

2a ψ

Significado de |ψ⟩

• A = a1 e A = a2 ?

• esquerda e direita?

• horizontal e vertical?

• sim e não?

• 0 e 1?


1a

2a ψ

O espaço de estados é grande

• Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados.

• Os estados |a1⟩ e |a2⟩ formam uma “base” do espaço de estados.


1a

2a

Princípio da Superposição: formulação geral


Se |ϕ⟩ e |χ⟩ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema.

χβ+ϕα=ψ

ϕ

χ ψ

Uma complicação

• As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo).

• Deve-se ter cuidado com figuras como esta:


1a

2a

ψc2

c1

Outras complicações

• Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo?

• Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço?


1a

2a

?

11

Produto escalar


O produto escalar ⟨ϕ|ψ⟩ dos vetores |ϕ⟩ e |ψ⟩ é umnúmero complexo com as seguintes propriedades:

1. |ψ⟩ = |ψ1⟩ + |ψ2⟩ ⇒ ⟨ϕ|ψ⟩ = ⟨ϕ|ψ1⟩ + ⟨ϕ|ψ2⟩

2. |χ⟩ = c |ψ⟩ ⇒ ⟨ϕ|χ⟩ = c ⟨ϕ|ψ⟩

3. ⟨ψ|ϕ⟩ = ⟨ϕ|ψ⟩* (* indica o conjugado complexo)

4. ⟨ψ|ψ⟩ ≥ 0 (note que (3) implica em ⟨ψ|ψ⟩ real)

5. ⟨ψ|ψ⟩ = 0 ⇔ |ψ⟩ = 0 (“0” é o vetor nulo)

Produto escalar


Forçando um pouco a notação de Dirac, podemos escrever as propriedades (1) e (2) como

1. ⟨ϕ|ψ1+ψ2⟩ = ⟨ϕ|ψ1⟩ + ⟨ϕ|ψ2⟩

2. ⟨ϕ|cψ⟩ = c ⟨ϕ|ψ⟩

Produto escalar

• É importante notar que num espaço vetorial complexo o produto escalar não é comutativo; pela propriedade (3), a ordem dos fatores altera o produto.

• Uma consequência disso é que o produto escalar é antilinear no primeiro argumento:

⟨ cϕ|ψ⟩ = c*⟨ϕ|ψ⟩


Ortogonalidade

Os vetores |ϕ⟩ e |ψ⟩ são ortogonais se seu produto escalar é zero:


0=ψϕ

Norma

A norma ||ψ|| do vetor |ψ⟩ é definida por

• ||ψ|| é o “comprimento”, “tamanho”, “módulo” do vetor |ψ⟩

• |χ⟩ = c |ψ⟩ ⇒ ||χ|| = |c| ||ψ||

• ||ψ|| = 0 ⇔ |ψ⟩ = 0

• outra notação: || |ψ⟩ || ≡ ||ψ||


ψψ=ψ

O produto escalar em termos das componentes


2211

2211

adad

acac

+=ϕ

+=ψ

121*2212

*1222

*2111

*1 aacdaacdaacdaacd +++=ψϕ

• Usando as propriedades (1), (2) e (3):

• Como |a1⟩ e |a2⟩ são ortogonais, ⟨a1|a2⟩ = ⟨a2|a1⟩ = 0 e portanto

222*2111

*1 aacdaacd +=ψϕ

• Como |a1⟩ e |a2⟩ têm comprimento unitário, ⟨a1|a1⟩ = ⟨a2|a2⟩ = 1, temos finalmente que:

2*21

*1 cdcd +=ψϕ

12

As componentes em termos do produto escalar


2211 acac +=ψ

2121111 aacaaca +=ψ

• Usando as propriedades (1) e (2) temos

• Como ⟨a1|a1⟩ = 1 e ⟨a1|a2⟩ = 0,

ψ= 11 ac

• Da mesma forma,

ψ= 22 ac

2,1n,ac nn =ψ=• Ou seja:

A norma em termos das componentes


2*21

*1 cdcd +=ψϕ

2

2

2

12*21

*1 cccccc +=+=ψψ

2

2

2

1 cc +=ψ

A Regra de Born


A Regra de Born


2211 acac +=ψ

1a

2a

ψc2

c1

A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é

2

2

2

1

2

nn

cc

c)a(P

+=

(n = 1, 2)

A Regra de Born


2211 acac +=ψ

|ψ⟩ a2a1

a2a1

a2a1

medidor de “A”

2

2

2

1

2

11

cc

c)a(P

+=

2

2

2

1

2

22

cc

c)a(P

+=

A regra de Born


2

2

nn

a)a(P

Ψ

Ψ=

Como

e

a regra de Born pode ser escrita de forma independente das coordenadas:

ψ= nn ac

2

2

2

1 cc +=ψ

13

Probabilidade total


Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.

1cc

c

cc

c)a(P)a(P 2

2

2

1

2

22

2

2

1

2

121 =

++

+=+

A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)

Normalização do vetor de estado


Ψ

Ψλ=Φ

2211 acac λ+λ=Φ2211 acac +=Ψ

|Φ⟩ e |Ψ⟩ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!

)a(Pcc

c

cc

c)a(P n2

2

2

1

2

n2

2

2

1

2

nn ΨΦ =

+=

λ+λ

λ=

Ψ×λ=Φ

Normalização do vetor de estado


Todos os vetores ao longo de uma dada “direção” representam o mesmo estado

físico.

Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:

1=Ψ

1cc,acac2

2

2

12211 =++=Ψou seja,

1aa 21 ==Note que |a1⟩ e |a2⟩ já estão normalizados:

2

nn c)a(P =

Vetores normalizados: a Regra de Born


2211 acac +=ψ

a2a1

a2a1

a2a1

medidor de “A”

2

11 c)a(P =

2

22 c)a(P =

(normalizado)

|ψ⟩

Vetores normalizados: a Regra de Born


Em termos do produto escalar, se |Ψ⟩ está normalizado a probabilidade é dada por:

2

nn a)a(P Ψ=

Amplitude de probabilidade


cn = ⟨an|Ψ⟩ ⇔ amplitude de probabilidade

probabilidade = |amplitude de probabilidade|2

Ψ=Ψ nn x)x(função de onda:

2

nn )x()x(P Ψ=

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Amplitude de probabilidade


De forma mais geral:

• ⟨Φ|Ψ⟩ = amplitude de probabilidade de uma medida resultar em |Φ⟩, para um sistema no estado |Ψ⟩

• P(Ψ → Φ) = |⟨Φ|Ψ⟩|2 = probabilidade de uma medida resultar em |Φ⟩, para um sistema no estado |Ψ⟩

• P(Ψ → Φ) = P(Φ → Ψ) embora ⟨Φ|Ψ⟩ ≠ ⟨Ψ|Φ⟩ (⟨Φ|Ψ⟩ = ⟨Ψ|Φ⟩*)

Frequência dos resultados de medidas


N medidas de A(N→ ∞)

a2a1

a2a1

Ψ

Ψ

Ψ

a2a1

•••

N1 ↔ a1

N2 ↔ a2

podemos prevera frequência dos

resultados:

2

111 c)a(P

N

N==

2

222 c)a(P

N

N==

2211 acac +=Ψ

Valor médio dos resultados


valor médio de A:

N

aNaNA 2211 +

=

a2a1

a2a1

Ψ

Ψ

Ψ

a2a1

•••

2211 acac +=Ψ

2

2

21

2

1 acacA +=

Incerteza


2211 acac +=Ψ

possível prever o resultado(probabilidade = 100%):

valor de A “bem definido”

1a

2a

Ψc2

c1

c1, c2 ≠ 0

impossível prever o resultado de uma medida

0c,1ca 211 ==↔=ΨouSe

1c,0ca 212 ==↔=Ψ

Incerteza


2211 acac +=Ψ

∆A = incerteza de A no estado |Ψ⟩

( ) 2222 AAAA)A( −=−=∆

1a=Ψou

2a=Ψ∆A = 0

Complementaridade e o

Princípio da Incerteza


15

Complementaridade


a2a1

B

A

b2b1

1a

2a

2b

1b

duas grandezasfísicas: A e B

Grandezas compatíveis e incompatíveis


1a

2a

1b

2b

2b

1b

2a

1a

A e B compatíveis

A e B incompatíveis

A e B complementares: incompatibilidade “máxima”

O Princípio da Incerteza


2b

1b

2a

1a

Ψ

A e B incertos (∆ A ≠ 0, ∆ B ≠ 0)

A bem definido, B incerto(∆ A = 0, ∆ B ≠ 0)

B bem definido, A incerto(∆ B = 0, ∆ A ≠ 0)

O Princípio da Incerteza


2b

1b

2a

1a

Ψ

A e B incompatíveis ⇒nenhum estado |Ψ⟩ com ∆A = 0 e ∆B = 0

Exemplo: posição e momentum


Xx1 x2

duas posições: |x1⟩, |x2⟩ (“aqui”, “ali”)

dois estados de movimento: |p1⟩, |p2⟩ (“repouso”, “movimento”)

2p1p

2x

1x

impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos

Resumo da “cinemática” quântica


estado físicovetor no espaço

de estados

grandeza físicasistema de eixos (uma “base”) no

espaço de estados

16

Resumo da “cinemática” quântica


probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1

ou A = a2

grandezas físicasincompatíveis

(complementares)

diferentes sistemas de eixos no espaço

de estados

2a

1a

projeção do vetor de estado no eixo |an⟩

⇓probabilidade damedida resultar

em A = an


• “Colapso” durante uma medida

• Evolução unitária (equação de Schroedinger)

Como o vetor de estado muda com o tempo?

Colapso do Vetor de Estado

Colapso do vetor de estado


a2a1Ψ

a2a1 2a

antes damedida

depois damedida



1a

2a

Ψ

resultadoA = a2

resultadoA = a1

medida de A resulta em an ⇒ logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an⟩


• O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade.

• O estado | an ⟩ é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade.

• |Ψ⟩ → |an⟩: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.

• O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo:

– Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção – não há mais fóton após a primeira medida.

– Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita.


17

Medidas simultâneas de duas grandezas


Ψ Φa2a1

b2b1

(A, B)

(∆ A ≠ 0, ∆B ≠ 0) (∆ A = 0, ∆B = 0)

Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado |Φ⟩ com ∆A = 0 e ∆B = 0.

É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível).

Evolução Unitária

A equação de Schroedinger

• Evolução temporal do vetor de estado:

|Ψ(0)⟩ → |Ψ(t)⟩

• Dinâmica quântica: determinada pelaenergia do sistema (o conceito de forçaé pouco relevante).


A (solução da) equação de Schroedinger


2E

1E

Sistema de dois estados

Dois níveis de energia: E1, E2

2211 EcEc)0t( +==Ψ

2/tEi

21/tEi

1 EecEec)t( 21 hh −− +=Ψ

• ћ = constante de Planck (÷ 2π) ≈ 1×10-34 Js

• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que ascomponentes do vetor de estado sejam reais em t = 0,

para t ≠ 0 elas serão complexas:

• A evolução |Ψ(0)⟩ → |Ψ(t)⟩ ditada pela equação deSchroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) edeterminista (sem elementos probabilísticos).


h/tEinn

nec)t(c −=

A (solução da) equação de Schroedinger Propriedades da equação de Schroedinger


• Linearidade:

)t()0(

)t()0(

bb

aa

Ψ→Ψ

Ψ→Ψ)0()0()0( ba Ψβ+Ψα=Ψ

)t()t()t( ba Ψβ+Ψα=Ψ

t = 0 t ≠ 0

18

Demonstração da linearidade


2211b

2211a

EdEd)0(

EcEc)0(

+=Ψ

+=Ψ

222111

ba

E)dc(E)dc(

)0()0()0(

β+α+β+α=

Ψβ+Ψα=Ψ

( ) ( ))t()t(

EecEecEecEec

Ee)dc(Ee)dc()t(

ba

2/tEi

21/tEi

12/tEi

21/tEi

1

2/tEi

221/tEi

11

2121

21

Ψβ+Ψα=

+β++α=

β+α+β+α=Ψ−−−−

−−

hhhh

hh

Propriedades da equação de Schroedinger


• Conservação da norma do vetor de estado:

)0()t( Ψ=Ψ)t(Ψ

)0(Ψ

• Conservação da ortogonalidade entre vetores:

tamanho não muda

)0(Ψ

)t(Ψ

)0(Φ)t(Φ

dois vetores perpendicularescontinuam perpendiculares

Conservação do produto escalar


2/tEi

21/tEi

1

2/tEi

21/tEi

1

EedEed)t(

EecEec)t(

21

21

hh

hh

−−

−−

+=Φ

+=Ψ

2*21

*1

/tEi2

/tEi*2

/tEi1

/tEi*1

cdcd

)ec)(ed()ec)(ed()t()t( 2211

+=

+=ΨΦ −−−+ hhhh

)0()0()t()t( ΨΦ=ΨΦ

conservação da norma:

conservação da ortogonalidade:

)0()t( Ψ=Ψ

0)t()t(0)0()0( =ΨΦ⇒=ΨΦ

• Determinismo

• Continuidade

• Linearidade

• Conservação da norma

• Conservação da ortogonalidade


Propriedades da equação de Schroedinger

“evolução unitária”

Estados estacionários


• |Ψ(0)⟩ e |Ψ(t)⟩ representam o mesmo estado físico.

• Estados de energia bem definida são “estacionários”.

nE)0( =Ψ n/tEi Ee)t( n h−=Ψ

mesma “direção” que |En⟩

• Estado de energia bem definida En:

Conservação da energia


2/tEi

21/tEi

1 EecEec)t( 21 hh −− +=Ψ

2

n

2/tEinn cec)t,E(P n == − h

)0()t(EE

ΨΨ=

)0t,E(P)t,E(P nn ==

2

2

21

2

12211)t(EcEcE)t,E(PE)t,E(PE +=+=

Ψ

19

Eq. de Schroedinger x Processos de medida

• Equação de Schroedinger:– contínua

– determinista

– válida enquanto não se faz uma medida

• Colapso do vetor de estado:– descontínuo

– probabilístico

– ocorre durante a medida


Eq. de Schroedinger x Processos de medida

Dois tipos de evolução temporal?

• Equação de Schroedinger:

– interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos.

– A = a1 e A = a2

• Colapso do vetor de estado: – interação do sistema quântico com um aparato

clássico, o aparelho de medida (o “observador”).

– A = a1 ou A = a2


O “problema da medida”


Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?

a2a1 a2a1 a2a1

Descrição quântica do aparelho de medida:

| ⟩| ⟩↑ | ⟩

22 aa ⇒↑

11 aa ⇒↑22112211 acacacac +⇒+↑ ↑

equação de Schroedinger:

o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo !

aparelho de medida:

O “problema da medida”

• Porque as superposições quânticas não são encontradasno mundo macroscópico?– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em

duas direções ao mesmo tempo.

– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.

• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estadoscom a observação de apenas alguns poucos estadosmacroscópicos?


Uma descrição do processo de medidabaseada na equação de Schroedingerdeve dar respostas a essas questões.

Física quântica x física clássica

• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquerprocesso de interação entre objetos clássicos e quânticos…

L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics

• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,não podem ser propriamente incluídos no domínio deaplicação da mecânica quântica.

N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935

• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo emuma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e nãofosse governado pela mecânica quântica.

J. Bell, Against measurement


Física quântica x física clássica


físicaquântica

físicaclássica

…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teoriasfísicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas aomesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...

- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics

20

Sistemas de N Estados


Você está emtodo lugar

Sistemas de 3 estados


2a

1a

3a

a3a1a2

332211 acacac ++=Ψ

Três valores possíveis para a grandeza A:

3,2,1,||)( 2 == ncaP nn

Sistemas de N estados


2a

1a

3aNa...

(impossível desenharN eixos perpendiculares)

N valores possíveis para a grandeza A:

aNa1a2 ...

∑=

=ΨN

1nnn ac

N,2,1n,|c|)a(P 2nn K==

Sistemas de infinitos estados


• N pode ser infinito:

∑∞

=

=Ψ1n

nn ac

• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:

∫=Ψ a)a(cda

∫′′

′

=′′′a

a

2|)a(c|da)a,a(P

2|)a(c|)a(p =densidade de probabilidade:

probabilidade:

Exemplo: a = x = posição de uma partícula



∫ Ψ=Ψ x)x(dx

∫ Ψ=2

1

x

x

221 |)x(|dx)x,x(P

2|)x(|)x(p Ψ=densidade de probabilidade:

probabilidade:

função de onda: Ψ(x)



• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:

∫∑ +=Ψ a)a(cdaacn

nn

Exemplo: a = E = energia de uma partícula

∫∑ +=Ψ E)E(cdEEcn

nn

21

Produto escalar


∑∑==

=Φ=ΨNN

1nnn

1nnn ab,ac

∑∑∞∞

==

=Φ=Ψ1n

nn1n

nn ab,ac

∑=

=ΨΦN

1nnn c*b

∑∞

=

=ΨΦ1n

nn c*b

∫∫ Φ=ΦΨ=Ψ x)x(dx,x)x(dx

∫ ΨΦ=ΨΦ )x()x(*dx

Produto escalar


∫∑

∫∑+=Φ

+=Ψ

E)E(bdEEb

E)E(cdEEc

nnn

nnn

∫∑ +=ΨΦ )E(c)E(*bdEc*bn

nn

Sistemas Compostos


Sistemas compostos


|an⟩I

sistema I

|bs⟩II

sistema II

∑β=χs

IIssIIb∑α=ϕ

nInnI

a

Sistemas compostos


∑=Ψs,n

sns,n b,ac

subsistema I

|an, bs ⟩

subsistema II

sistema composto

Produto tensorial


IIsInIIsInsn babab,a ⊗≡≡

A notação do produto tensorial tornaevidentes algumas propriedades que osestados do sistema composto devem ter.

22

Produto tensorial


Por exemplo:

∑β=χs

IIssIIb

∑α=ϕn

InnIa• sistema I no estado

• sistema II no estado

sistema composto no estado

∑

∑

∑∑

βα=

βα=

β

α=χϕ=χϕ

s,nsnsn

s,nIIsInsn

sIIss

nInnIII

b,a

ba

ba,

Produto tensorial


IIsIIInIsnsn ba,b,a χϕ=βα=χϕ

Note que

ou, de maneira geral,

IIIIII

sss

nnnsn

s,nsn **)(*)(,,

χχ′ϕϕ′=

ββ′

αα′=βαβ′α′=χϕχ′ϕ′ ∑∑∑

)b(P)a(P)b,a(P sIInIsn =

Uma consequência disso é

Estados separáveis


• Estados separáveis (estados “produto” ou “fatorizáveis”):

IIIχϕ=Ψ ↔ sistema I no estado |ϕ⟩, sistema II no estado |χ⟩

∑ βα=Ψs,n

snsn b,a

∑=Ψs,n

sns,n b,acEstado geral do sistema composto:

sns,nc βα=

Nem todo estado é separável, pois nem sempre .sns,nc βα=

Estados emaranhados


2211 b,a2

1b,a

2

1+=Ψ

0e2

112212211 =βα=βα=βα=βα

Estados não-separáveis são chamados deestados emaranhados.

Exemplo: o estado

não é separável, do contrário deveríamos ter

o que é impossível. A primeira equação diz que todos os α’s e β’s são diferentes de 0 e a segunda diz que pelo menos dois deles são nulos.

Estados emaranhados


∫ Ψ=Ψ 212121 x,x)x,x(dxdx

)x()x()x,x( 2121 χϕ=Ψ

Outro exemplo: a função de onda de duas partículas

O estado |Ψ⟩ é separável se

pois nesse caso

( ) ( )IIIII222I111 x)x(dxx)x(dx χ⊗ϕ=χ⊗ϕ=Ψ ∫∫

Se o estado |Ψ⟩ é emaranhado.)x()x()x,x( 2121 χϕ≠Ψ

Emaranhamento

• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemasindividuais.

• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando ossubsistemas estão separados por distâncias macroscópicas,

• Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos damecânica quântica.

“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui omelhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmoquando essas estão completamente separadas umas dasoutras e no momento não influenciam umas às outras.”

- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics(o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)


23

Aplicações a sistemas simples


Informação quântica


Aplicações a sistemas simples

• Interferômetro de Mach-Zehnder

• Medida sem interação

• O problema de Deutsch

• Molécula de H2+

• Benzeno, amônia

• Polarização do fóton

• Oscilação de neutrinos

• Spin ½

• Informação quântica


ainda não estãonestas notas

Interferômetro de Mach-Zehnder

• Interferência de uma partícula

• Descrição quântica do interferômetro

• Interferência e indistinguibilidade

• Defasagem


O interferômetro de Mach-Zehnder


0%

100%

D1

D2

interferênciaconstrutiva

interferênciadestrutiva

“ondas”

O interferômetro de Mach-Zehnder


D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas”

1

2

50%

25%

25%

24

Descrição quântica do interferômetro


1

2

(caminho 1)

(caminho 2)

Espaço de estados


2c1c 21 +=Ψ

=

=2

22

2

11

cP

cPprobabilidades:

2

1

Semiespelho


22

11

21

1 +→

22

11

21

2 −→

1 1

2

1

2

2

probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2

evoluçãounitária

Semiespelho


22

11

21

+

22

11

21

−

2

1 sinal negativo: evolução unitária conserva a

ortogonalidade

Interferômetro


D1

D2

1

2

1

Interferômetro


Primeiro semiespelho: 22

11

21

1 +→

Estado inicial: 1

25

Interferômetro


Segundo semiespelho:

ou seja, o estado final é

−+

+→+ 2

21

12

12

12

21

12

12

12

21

12

1

1221

21

121

21

=

−+

+

interferência destrutiva

interferência construtiva

P1 = 100%P2 = 0%

O que interfere?


221

21

121

21

−+

+

(1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2)

1

1

1

2

1 1

22

soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis

Caminho bloqueado


1

2

D2

D1

Caminho bloqueado



11

21

1 +→

Estado inicial: 1

Bloqueio: ⊗+→+2

11

21

22

11

21

fóton bloqueado

Caminho bloqueado




⊗+

+→⊗+

2

12

2

11

2

1

2

1

2

11

2

1

⊗++2

12

21

121

P1 = 25%P2 = 25%P⊗ = 50%

Por que não há interferência?


(1-1-1)(1-1-2)

não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais ⇒ não há interferência

1

1

1

⊗++2

12

21

121

(1-2-⊗)

1 1

2

1

2⊗

26

Caminhos alternativos distinguíveis


D1

D2

mola



Primeiro semiespelho: M22

1R1

21

R1 +→

Estado inicial: R1

• 1, 2: caminho do fóton• R: espelho em repouso• M: espelho em movimento

M2,M1,R2,R1





−+

+→+ M2

2

1M1

2

1

2

1R2

2

1R1

2

1

2

1M2

2

1R1

2

1

M22

1R2

2

1M1

2

1R1

2

1−++

P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%

P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%

soma de probabilidades,não de amplitudes

Apagando a informação sobre o caminho


D1 100%

D2 0%

mola

Apagando a informação sobre o caminho




−+

+→+ M2

2

1R1

2

1

2

1M2

2

1R1

2

1

2

1M2

2

1R1

2

1

R1

a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida

Defasagem


L1 – L2 (λ/50)

As probabilidades P1 e P2 dependem de diferenças entre os dois caminhos.

distânciapercorrida

densidade do material atravessado

27

Defasagem


características do caminho percorrido ↔ “fase”

ϕ11e 1iϕ1

ϕ2

2e 2iϕ2

Defasagem


D1

D2

ϕ1

ϕ2

Defasagem



11

21

1 +→

Estado inicial: 1

Defasadores:

2e2

11e

21

22

11

21

21 ii ϕϕ +→+

Defasagem



ou seja,

−+

+→+

ϕϕϕϕ

22

11

21

2e

22

11

21

2e

22

e1

2e 2121 iiii

22

ee1

2ee

22

e1

2e 212121 iiiiii

−+

+→+

ϕϕϕϕϕϕ

Defasagem


2c1c 21 +=Ψ• Após o segundo semiespelho:

2ee

c21 ii

1

ϕϕ +=

2ee

c21 ii

2

ϕϕ −=

• Probabilidades:

( )[ ]21

2

11 cos12

1cP ϕ−ϕ+== [ ])cos(1

2

1cP 21

2

22 ϕ−ϕ−==

ϕ1 – ϕ2

0

1P1

π ϕ1 – ϕ2

1

0

P2

π

Defasagem


L1 – L2 (λ/50)

λ

nnn LkL2

=λπ

=ϕ

após uma distância “extra” x: nen xki→

28

Medida sem interação


O palito de fósforo quântico


fóton

fóton

• fósforo “bom”

• fósforo “ruim”

O palito de fósforo quântico


palitos bons e ruins misturados

Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?

Teste clássico


palito ruim

palito bomqueimado

Teste quântico


D1

D2

Palito ruim


D1 100%

D2 0%

transparente

palito ruim ⇒ D2 nunca dispara

29

Palito bom


D2 25%

D1 25%50%

palito bom ⇒ D2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto

Teste quântico

• D2 → fósforo bom intacto

• D1 → fósforo bom intacto ou fósforo ruim

• Fósforo acende → fósforo bom queimado


Dos fósforos bons:• 25% estão identificados e intactos• 50% foram queimados• 25% em dúvida

Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.

O problema de Deutsch


Como saber se uma moeda é honesta ou viciada?

1ª lado 2ª lado

moeda honesta

1ª lado 2ª lado

moeda viciada



Resposta “clássica”: olhando os dois lados

1ª lado 2ª lado

4 possibilidades

honesta

viciada



Podemos espiar os dois lados da moeda com um único fóton?

Aparentemente, não!

Vendo os dois lados da moeda com um único fóton


ϕ2

ϕ1

cara: ϕ = 0 coroa: ϕ = π

D1

D2

2

1

30



cara: ϕ = 0 coroa: ϕ = π D1

D2

2

1ϕ1

ϕ2



D1

D2

2

1ϕ1

ϕ2

moeda honesta:

ϕ1 ≠ ϕ2

ϕ1 − ϕ2 = ±π

fóton em D2

moeda viciada:

ϕ1 = ϕ2

ϕ1 − ϕ2 = 0

fóton em D1

( )[ ]21

2

11 cos12

1cP ϕ−ϕ+==

[ ])cos(12

1cP 21

2

22 ϕ−ϕ−==

O início da computação quântica


• D. Deutsch, Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer, Proceedings of the Royal Society A 400, p. 97-117 (1985).• D. Deutsch, R. Jozsa. Rapid solutions of problems by quantum computation, Proceedings of the Royal Society of London A 439, p. 553-558 (1992).• R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca, Quantum algorithms revisited, Proceedings of the Royal Society of London A 454, p. 339-354 (1998).

x = 0 x = 1

f1 0 0

f2 1 1

f3 0 1

f4 1 0

f constante

f “balanceada”

}1,0{}1,0{:f →

É possível descobrir se a função é constante com um único cálculo de f ?

Realismo, Contextualidade e Localidade


“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?”

Variáveis ocultas


)(A λ

variável “oculta” quedetermina o valor de A

Medidas:• revelam um valor preexistente?• criam o resultado encontrado?

grandeza medidano experimento

Experimentos com um sistema composto


I II

AI = ±1 AII = ±1

BII = ±1BI = ±1

incompatíveis

compatíveis

31

Quatro experimentos com um sistema composto

Quatro experimentos possíveis:

1) Medida de AI e AIIAI = +1 e AII = +1 ↔ encontrado algumas vezes

2) Medida de AI e BIIAI = +1 e BII = +1 ↔ nunca encontrado

3) Medida de BI e AIIBI = +1 e AII = +1 ↔ nunca encontrado

4) Medida de BI e BIIBI = -1 e BII = -1 ↔ nunca encontrado


Quatro experimentos com um sistema composto


A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999)

1) P(AI+, AII+) (em %)

grau de emaranhamento

2) P(AI+, BII+) = 03) P(BI+, AII+) = 04) P(BI−, BII−) = 0

Experimentos com um sistema composto


AI = +1 AII = +1

BI = -1 BII = -1

sempre

Se os valores de AI, AII, BI e BII já existiam antes das medidas:

!!

Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)!

Estados de Hardy


( )+−+−++++=Ψ IIIIIIIII B,BB,BB,B3

1

estado emaranhado

P(BI−, BII−) = 0 ⇐ experimento 4

L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992).L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)

Estados de Hardy


( )

( )−++−=−

−++=+

AA2

1B

AA2

1B +B

−B

−A

+A

Experimentos 1, 2 e 3:

Estados de Hardy


( )−−+−+++−=Ψ IIIIIIIII B,AB,AB,A26

1

( )−−++−+−+=Ψ IIIIIIIII A,BA,BA,B26

1

( )−−++−+−++++−=Ψ IIIIIIIIIIII A,A3A,AA,AA,A12

1

Experimentos 1, 2 e 3:

3)

2)

1)

32

Contextualidade


)C,(A 21 λ

o que está sendo medido em 2 (A2 ou B2)

)C,(B 21 λ

a2a1

b2b1

(A, B)

Contextualidade


)C,(A III λ

o que está sendo

medido em II (AII ou BII)

)C,(A III λ

o que está sendo

medido em I (AI ou BI)

)C,(B III λ

)C,(B III λ

Não-localidade


I II

AI AII

BIIBI

O teorema de Bell


Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica

é necessariamente não-local.

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