mecanica_tecnica_e_resistencias_dos_materiais[2].pdf

mecânica técnica e Resistência dos mateRiaisediçÃo nº 2 - 2009

PRof. eRnesto beRkenbRock

2 Mecânica Técnica e Resistências dos Materiais

SOCIESC - Sociedade Educacional de Santa Catarina

apresentação

Este livro didático contém a disciplina de mecânica técnica, que disponibilizará aos alu-

nos do EAD conhecimentos indispensáveis para quem lida com projetos mecânicos e

dimensionamento de materiais. O objetivo principal é fazer com que você se familiarize com os

conceitos de mecânica, retomando o que aprendeu durante as aulas de física e de matemática,

no ensino médio, para identificar e dimensionar forças em um sistema.

Para sua melhor compreensão, o conteúdo está estruturado em quatro aulas, mostrando con-

ceitos de mecânica técnica.

Lembre-se de que a sua passagem por esta disciplina será também acompanhada pelo Sistema

de Ensino tupy Virtual, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou Ambiente Virtual de

Aprendizagem.

Entre sempre em contato conosco, quando surgir alguma dúvida ou dificuldade. Participe dos

bate-papos (chats) marcados e envie suas dúvidas pelo Tira-Dúvidas. Toda a equipe está à

disposição para atendê-lo(a). Queremos que você adquira o máximo de conhecimento, pois

o seu crescimento intelectual é o nosso maior objetivo. Acredite no seu sucesso e tenha bons

momentos de estudo!

equipe tupy Virtual



sumário

caRta do PRofessoR .......................................................................................................4

cRonoGRama de estUdos ............................................................................................5

PLano de estUdos ............................................................................................................6

aULa 1 – intRodUçÃo a mecânica técnica .........................................................7

aULa 2 – estática do sistema e sistemas de foRças..................................17

aULa 3 – eqUiLíbRio de coRPos RíGidos .............................................................27

aULa 4 – Resistência dos mateRiais ....................................................................39

RefeRências ......................................................................................................................98



carta do Professor

Caro(a) aluno(a),

Terá início a caminhada rumo ao conhecimento de mecânica, utilizando a matemática e a

física. Os conhecimentos aqui desenvolvidos são fundamentais para desenvolver projetos

mecânicos bem como dimensionar materiais.

Com o avanço da tecnologia e a rápida expansão dos sistemas de manufaturas através de máqui-

nas gerenciadas por softwares, tornou-se imprescindível aos profissionais de mecânica, princi-

palmente aos projetistas mecânicos, o conhecimento dos conceitos fundamentais de mecânica

e física, utilizando matemática para resolver e projetar os sistemas, pois um profissional que

utiliza os softwares, terá sucesso profissional se conhecer os conceitos que iremos apreender no

decorrer das aulas.

Assim, nosso objetivo maior, depois de percorrida esta caminhada, é estarmos inseridos no

contexto do desenvolvimento de projetos mecânicos.

Durante esta caminhada, conheceremos os conceitos de mecânica, física e utilizaremos a mate-

mática para identificar e dimensionar forças em um sistema, e por fim aprenderemos a calcular

a resistência dos materiais, e como dimensioná-los.

Sendo assim, convido você para juntos, agora virtualmente, vencer este novo desafio!

Professor ernesto berkenbrock



cronograma de estudos

Acompanhe no cronograma abaixo os conteúdos das aulas, e atualize as possíveis datas de rea-

lização de aprendizagem e avaliações.

semana carga horária aula data/ avaliação1 10 Introdução a Mecânica Técnica _/_ a _/_

1 20 Estática do Sistema e Sistemas de For-ças _/_ a _/_

2 15 Equilíbrio de Corpos Rígidos _/_ a _/_2 15 Resistência dos Materiais _/_ a _/_



Plano de estudos

ementa

Mecânica técnica: identificação de esforços usando matemática básica. Resistência dos mate-

riais: dimensionamento de materiais.

competências

• Reconhecer as propriedades e características dos materiais e interpretar os esforços

presentes nos componentes mecânicos em geral.

• Analisar o comportamento dos componentes de máquinas e equipamentos submetidos

a esforços e dimensionar sua resistência mecânica.

Habilidades

• Identificar as forças aplicadas em estruturas ou componentes mecânicos, conforme o

tipo de esforço ou aplicação;

• Calcular as tensões admissíveis;

• Dimensionar determinadas estruturas e componentes mecânicos.

carga Horária: 60 horas



intRodUçÃo a mecânica técnica

Nesta aula você irá rever os conceitos de mecânica, os con-

ceitos básicos de física e as leis de Newton, para aplicar nas

estruturas de máquinas e infra-estruturas, usando conceitos de

vetores para calcular as forças aplicadas para dimensionamento

dos materiais. Estudará as unidades de medidas no Sistema In-

ternacional (SI), para desenvolver projetos padronizados.

Bom estudo!

objetivos da aula

Ao concluir esta unidade, você deverá ser capaz de:

• Reconhecer os conceitos de mecânica;

• Descrever as 3 leis de Newton;

• Identificar as unidades de medidas do Sistema Internacional

(SI);

• Relembrar conceitos de física para resolver problemas de Me-

cânica;

• Analisar problemas e escolher soluções para os problemas.

conteúdos da aula

Acompanhe os conteúdos desta aula. Se preferir, assinale-os à me-

dida em que for estudando.

• Conceitos Básicos de Mecânica;

• Unidades de Medidas (SI);

• Métodos de Resolução de Problemas;

• Exercícios Propostos.



1. bReVe HistÓRico sobRe os estUdos da mecânica

Podemos definir mecânica, como a ciência que descreve e antecipa as condições de

repouso e movimento dos objetos sob a ação de forças. Veja na Figura 1 a divisão e a

subdivisão da Mecânica.

figura 1 – Representação Simplificada da Divisão da Mecânica

Os princípios da mecânica são fundamentais nos estudos, pesquisa e desenvolvimento nas áreas

de vibrações: Estabilidade e Resistência de Estruturas e Máquinas, Robótica, Controle Numéri-

co e Automático, Desempenho de motores, Escoamento de Fluidos, Máquinas e Equipamentos

Elétricos, Projetos de Máquinas, Motores, Veículos, Moldes e Ferramentas.

Acredita-se que os primeiros escritos de mecânica tenham iniciado nos tempos de Aristóteles

(384 – 322 a.C.) e Arquimedes (287-212 a.C.), dois filósofos da Antiguidade,

estudiosos dos princípios da alavanca e da flutuação. Com a formulação das

leis de combinação vetorial de forças, por Stevin (1548 – 1620), formulador

da maioria dos princípios da estática, atribui-se a Galileu (1564 – 1642) a



primeira investigação de um problema de dinâmi-

ca com experiências sobre quedas de pedras.

Newton encontrou uma formulação satisfatória de

seus princípios fundamentais, mais tarde expres-

sos de forma diferente por D’Alembert, Lagrange

e Hamilton. A validade desses princípios permaneceu inalterada até Einstein formular a Teoria

da Relatividade (1905). Constribuições substanciais ao desenvolvimento da mecânica foram

feitas também por Da Vinci, Varignon, Euler, Laplace e outros.

2. conceitos básicos de mecânica

Antes de iniciarmos o estudo de Mecânica Técnica, devemos entender os conceitos e defi-

nições a seguir, que são básicos para o estudo da mecânica e devem ser entendidos desde

o início.

comprimento: O comprimento é necessário para localizar a posição de um ponto no espaço,

descrevendo a dimensão do sistema físico. Uma vez definida uma unidade padrão de compri-

mento, podemos definir quantitativamente as distâncias e as propriedades geométricas de um

corpo como múltiplos dessa unidade de comprimento.

espaço: é a região geométrica ocupada por corpos cujas posições são descritas por medidas li-

neares e angulares relativamente a um sistema de coordenadas. Para problemas tridimensionais

são necessárias três coordenadas e, para problemas bidimensionais, apenas duas coordenadas

são necessárias.

tempo: É a medida de uma sucessão de eventos e é uma quantidade básica em dinâmica. O

tempo não está diretamente envolvido na análise de problemas de estática.



massa: A massa é uma propriedade da matéria pela qual podemos comparar a ação de um corpo

com a de outro. Essa propriedade se manifesta como uma atração gravitacional entre dois cor-

pos e fornece uma medida quantitativa da resistência da matéria a mudanças de velocidade.

força: É a ação de um corpo sobre outro. A força tende a mover um corpo na direção de sua

ação. A ação de uma força é caracterizada por seu módulo, pela direção de sua ação e pelo seu

ponto de aplicação. Assim, força é uma quantidade vetorial, que veremos mais adiante.

Partícula: Uma partícula tem uma massa, porém suas dimensões são desprezíveis. Por exem-

plo, o tamanho da terra é insignificante quando comparado às dimensões de sua órbita, portanto,

a terra pode ser modelada como uma partícula no estudo de seu movimento orbital. Quando

um corpo é idealizado como uma partícula, os princípios da mecânica são reduzidos a formas

simplificadas, uma vez que a geometria do corpo não será envolvida na análise do problema.

corpo Rígido: Um corpo é considerado rígido quando a variação da distância entre os dois

quaisquer de seus pontos é desprezível para o propósito em questão. A estática lida primeira-

mente com cálculos de forças externas que atuam em corpos rígidos em equilíbrio. A determi-

nação das deformações internas faz parte do estudo da mecânica dos corpos deformáveis.

3. Leis de neWton

Conta a lenda que isaac newton (1642 – 1727) descobriu a Lei

da Gravidade enquanto descansava debaixo de uma macieira

e uma maça caiu em sua cabeça. Lenda ou não, vale a descoberta e

a proposição do descobridor: “a gravidade atrai os corpos para o

centro da terra”.

newton foi o primeiro a formular corretamente as leis básicas que

governam o movimento das partículas e a demonstrar sua validade. Leia atentamente e assimile

essas leis, pois elas precisam ser memorizadas:



Primeira Lei: Uma partícula permanece em repouso ou continua a

se mover com velocidade uniforme (em linha reta com velocidade

constante) se não existir qualquer força em desequilíbrio atuando

nela.

segunda Lei: A aceleração de uma partícula é proporcio-

nal à soma vetorial das forças dessa soma vetorial. Se a

força F é aplicada a uma partícula de massa m, esta lei

pode ser expressa matemáticamente como:

f = m.a (1.1)

terceira Lei: As forças de ação e reação entre corpos in-

teragindo são iguais em valor, opostas em direção e coli-

neares (atuam na mesma linha).

4. VetoRes

Vetor é um segmento de reta orientado, com um comprimento, uma direção e um sentido

(uma flecha). O comprimento mede a intensidade ou módulo.

Grandezas escalares: Perfeitamente determináveis por um número real, como: massa, espaço,

tempo e energia.

Grandezas Vetoriais: Determinada através de seu valor numérico, direção, sentido e ponto de

aplicação, como: força (f), Velocidade (V) e aceleração (a).



Quantidade Vetorial possui direção além de valor, e deve obedecer à lei de adição do paralelo-

gramo, onde:

Dois vetores V1 e V2 tratados, podem ser substituídos pelo vetor equivalente V, que é a dia-gonal do paralelogramo formado tendo V1 e V2 como lados.

Uma quantidade vetorial V é representada por um segmento de linha (figura abaixo), e indica:

ponto de aplicação, intensidade, direção e sentido.

• Ponto de Aplicação: É o ponto onde está sendo aplicado

ou concentrado o ponto a (desenho ao lado). É onde está

aplicada a força.

• Intensidade ou Módulo: Caraterizado pelas unidades de

medidas, o comprimento está diretamente relacionado. No de-

senho ao lado, o módulo do vetor é de 15 N.



• Direção: O vetor é definido pela sua linha de ação, que é a

reta pela qual atua. Caracteriza-se pelo ângulo que forma em

relação a algum eixo fixo. Observe na figura que a direção do

vetor é 30°.

• sentido: Uma seta indica o sentido

de ação. Na figura, o sentido do pri-

meiro vetor é para cima, e o sentido

do segundo é para baixo.

5. Unidades de medida (si)

O sistema Internacional de Medidas, abreviado como si, por causa do Francês “Système

International d’Unités”, é uma versão moderna do sistema métrico que recebeu reconhe-

cimento internacional. Estabelece o comprimento em metros (m), o tempo em segundos (s) e

a massa em quilogramas (kg). A unidade de força chamada newton (N) é derivada de F = ma.

Assim:

1 Newton é igual à força necessária para impor a 1 quilograma de massa uma ace-leração de 1 m/s2 (N=kg.m/s2).

Para determinar o peso de um corpo em newton, utilizamos a fórmula f=ma. Para efeito de

cálculo utilizaremos a aceleração da gravidade como 9,81 m/s2 (9,80665).

: Se uma pessoa tem a massa de 100 kg, para obter-lhe o peso, aplica-se a fórmula:



Nos Estados Unidos, um sistema de unidades ainda bastante usual é o fPs, em que o compri-

mento é expresso em pés(ft), a força em libras (lb) e o tempo em segundos (s).

nome comprimento tempo massa força

sistema inter-nacional de

Unidades (si)

Metro(m)

Segundos(s)

Quilograma(kg)

Newtons (N)

sistema fPsPés(ft)

Segundos(s)

Slug

Libras(lb)

Quando uma unidade de medida é muito grande ou muito pequena, as unidades de medidas

podem ser alteradas com o uso de prefixos utilizados no sistema internacional de medidas,

veja a tabela abaixo:

fator de multiplicação nome símbolo1 000 000 000 000 000 000 = 1018 exa E

1 000 000 000 000 000 = 1015 peta P1 000 000 000 000 = 1012 tera T

1 000 000 000 = 1009 giga G1 000 000 = 1006 mega M

1 000 = 1003 quilo k1 00 = 1002 hecto** H1 0 = 1001 deca** da0,1 = 10-1 deci** d

0,01 = 10-2 centi** c0,001 = 10-3 mili m

0,000 001 = 10-6 micro µ0,000 000 001 = 10-9 nano n

0,000 000 000 001 = 10-12 pico p0,000 000 000 000 001 = 10-15 femto f

0,000 000 000 000 000 001 = 10-18 atto a

** O uso desses prefixos deve ser evitado, salvo para as medidas de área e volumes e para uso

não técnico do centímetro, como para o corpo humano e medidas de roupas.



1 km = 1000 m1 Mg = 1000 kg1 mm = 0,001 m

1 g = 0,001 kg1 kN = 1000 N

A conversão dessas unidades em metros, quilogramas e newtons, respectivamente, podem ser

efetuadas, mudando a vírgula, três casas para direita ou para a esquerda.

:Para converter 1,460 km em metros, mova a vírgula três casas para a direita: 1,460

km = 1 460 m

Para converter 83,7 mm em metros, mova a vírgula três casas para a esquerda: 83,7 mm =

0,0837 m

Utilizando a notação científica, podemos escrever:

1,460 km = 1,460 x 103 m

83,7 mm = 83,7 x 10-3 m

Os múltiplos da unidade de tempo são o minuto (min) e a hora (h).

1 min = 60 s e 1 h = 60 min = 3600 s

Esses múltiplos não podem ser convertidos tão prontamente quanto os outros.

5.1 arredondamento de números:

Para obtermos a acurácia desejada nos cálculos numéricos,

devemos seguir as seguintes regras de arredondamento:

1. Se o último algarismo for menor que 5, arredonda-se para

baixo.

Ex. 6,43 e 0, 820, respectivamente arredondamos para 6,4 e 0,8.

2. Se o último algarismo for maior que 5, arredonda-se para cima.

proximidade entre o valor obtido experimentalmente e o valor verdadeiro na medi-ção de uma grandeza.



Ex. 4, 185 e 0,276, respectivamente arrendondamos para 4,2 e 0,3.

3. Se o último algarismo for igual a 5, arredonda-se para cima.

Ex. 1,25 e 0,65, respectivamente arrendondamos para 1,3 e 0,7.

5.2 método e Resolução de Problemas

A maneira mais eficiente de entender e resolver problemas de mecânica é resolvendo proble-

mas. Para obter sucesso, é importante o hábito de apresentar o desenvolvimento de forma lógica

e ordenada, observe:

1. Leia o problema cuidadosamente e tente correlacionar à situação física real com a teoria

estudada;

2. Liste os dados fornecidos;

3. Formule o resultado desejado;

4. Liste suas suposições e aproximações;

5. Desenhe qualquer diagrama necessário;

6. Aplique os princípios relevantes a serem atendidos pelo problema, geralmente na sua forma

matemática;

7. Faça seus cálculos;

8. Assegure-se de que seus cálculos são consistentes com a precisão justificada pelos dados;

9. Esteja certo de que você utilizou unidades consistentes em todos os seus cálculos;

10. Analise a resposta com julgamento técnico e bom senso para determinar se ela apresenta

coerência ou não.



fique sabendo

• Um corpo rígido não se deforma quando carregado.• Forças concentradas são admitidas como atuantes em um ponto sobre o corpo.• A estática é o estudo dos corpos que estão em repouso ou se movem com velocidade constante.• As três leis de Newton de movimentos devem ser memoriza-das.• Uma partícula tem massa, mas seu tamanho pode ser despre-zado.• O peso refere-se à atração gravitacional da terra sobre um corpo ou quantidade de massa. Seu módulo depende de onde a massa está localizada.• A massa é uma propriedade da matéria que não se altera de um lugar para outro.• Os prefixos G, M, k, m, µ e n, são utilizados para represen-tar quantidades numéricas grandes e pequenas. Seus expoentes pequenos devem ser conhecidos e utilizados de acordo com as regras de uso das unidades do SI.• No Sistema Internacional, a unidade de força, o newton, é uma unidade derivada. O metro, o segundo e o quilograma são unidades básicas.• Conheça a regra de arrendondamento dos números.



síntese da aula

Nesta aula estudamos:

• Conceitos de Mecânica

• Classificação de Mecânica

• Leis de Newton

• Conceitos de Vetor

• Sistema de Unidades de Medidas

exercícios Propostos

1) a mecânica se divide em três grandes áreas, correlacione a primeira coluna com a se-

gunda coluna:

( 1 ) Mecânica dos Corpos Rígidos

( 2 ) Mecânica dos Corpos Deformáveis

( 3 ) Mecânica dos Fluidos

( ) Resistência dos Materiais

( ) Dinâmica

( ) Fluídos Compressíveis

( ) Estática

( ) Fluidos Incompressíveis

( ) Cinemática

2) Complete a afirmação abaixo:

“A _________________é a ciência que descreve e antecipa as condições de

____________________ e _____________________ dos objetos sob ação de ________.”



3) Relacione a primeira coluna com a segunda coluna:

( 1 ) Primeira Lei de Newton

( 2 ) Segunda Lei de Newton

( 3 ) Terceira Lei de Newton

( ) Uma partícula permace em repouso ou continua a se mexer com velocidade uniforme se não

existir qualquer força em desquilíbrio atuando nela.

( ) As forças de ação e reação entre corpos interagindo são iguais em valor, opostos em direção

e colineares.

( ) A aceleração de uma partícula é proporcional à soma vetorial das forças dessa soma veto-

rial.

4) se uma pessoa tem uma massa de 60 kg e a aceleração da gravidade for 9,81 m/s2, qual

será o peso dessa pessoa?

a) 598,6 N

b) 58,86 N

c) 588, 6 N

d) 59,86 N

5) Converta os resultados abaixo, utilizando a tabela de prefixos do Sistema Internacio-

nal:

a) mm m

584 mm =

50 mm =

125 mm =

b) m mm

0,030 m =

0,325 m =

0, 001 m =

c) km m



5,1 km =

0,985 km =

0,005 km =

d) m km

10590 m =

5000 m =

800,5 m =



estática do sistema e sistemas de foRças

Nesta segunda aula você estudará o conceito de força para iden-

tificar as forças existentes nos corpos e calcular a força resul-

tante desse sitema. Estudará também os conceitos de momentos

ou torques para calcular esse momento.

Bom estudo!

objetivos da aula

Ao concluir esta unidade, você deverá ser capaz de:

• Identificar forças de sistemas em corpos

• Determinar a Resultante das forças aplicadas a um sistema de

forças.

conteúdos da aula

Acompanhe os conteúdos desta aula. Se você preferir, assinale-os

à medida que for estudando.

• Força;

• Sistema de Forças;

• Momento;

• Momento Binário;




1. foRça

Força é uma quantidade vetorial cujo efeito efeito depende da direção

e do módulo da ação, como visto no aula 1. Se analisarmos um vaso de

flor fixado por três correntes ao teto, conforme alterarmos os ângulos entre as

correntes, cada qual terá uma força específíca. Do mesmo modo em relação ao

peso do vaso, quanto mais pesado for, maior será a força exercida pelas corren-

tes.

1.1 efeitos internos e externos

Os efeitos externos são a própria intensidade da força, podem ser forças aplicadas ou reativas.

Os efeitos internos ocasionam a deformação interna, dependendo do material do corpo. Es-

tudaremos esse assunto em Resistência dos Materiais, a partir da aula 5.

1.2 transmissibilidade da força

O resultado da ação de um corpo não é alterado se o ponto de aplicação de qualquer força que

age no corpo for deslocado ao longo da linha de ação da força.

1.3 ação e Reação

De acordo com a Terceira Lei de Newton, toda força é acompanhada por uma reação, de mesmo

módulo, direção e sentidos opostos à aplicação. Sempre que isolarmos um corpo e anlisarmos

as forças atuantes, deveremos separar as forças e as reações, para não nos enganarmos na solu-

ção do problema.

forças concorrentes

Duas ou mais forças pode ser concorrentes quando coicidem em um determinado ponto.



2. sistema de foRças

Muitas vezes, um corpo é submetido à ação simultânea de duas ou mais forças, isto é,

ao mesmo tempo atua sobre ele um sistema de forças. Uma força única que produza

em um corpo o mesmo efeito que um sistema de forças a ele aplicado chama-se resultante do

sistema.

Três rapazes empurram um carro e cada

um exerce uma força de 30N. Como as

três forças atuam no mesmo sentido, uma

força única de 90N, produziria o mesmo

efeito que as três atuando juntos. Dize-

mos que essa força única é a resultante das três forças.

Resultantes de sistema de forças

Há vários métodos geométricos e matemáticos de se determinar a resultante de um sistema

de forças que atua sobre uma partícula. Veremos, os dois métodos mais empregados para este

fim.

• Método Gráfico

Pela lei do paralelogramo para adição de vetores,

consta-se, experimentalmente, que duas forças, P e q,

conforme mostra a figura, atuantes sobre um ponto ma-

terial a podem ser substituías por uma única força R,

que tenha o mesmo

efeito sobre este ponto. Essa força é chamada de resultante

das forças P e q e pode ser obtida pela construção de um

paralelograma, usando P e q como lados do paralelograma.

A diagonal, que passa por a, representa a resultante. Conhe-



cida como lei do paralelograma para adição de duas forças, essa lei é baseada na experiência,

não podendo ser provada ou demonstrada matematicamente.

Determinar a Resultante de duas forças que agem num determinado parafuso, conforme mostra

a figura abaixo:

Usando a regra do paralelogramo, encontramos a resultante, observe a figura:

• Método Matemático

a) Para encontrarmos a resultante em um sistema de duas forças, podemos utilizar a lei dos

cossenos e a lei dos senos. Observando a Figura A e a Figura B, geramos a Figura C. Podemos

aplicar a lei do cosenos, equação A para calcular a resultante, e a lei dos senos para calcular a

diresção da resultante, equação B



equação a

equação b

figura c



As duas forças P = 40 N e q = 60 N agem sobre um

parafuso a. Determinar a intensidade, direção e sentido

da resultante. Conforme mosta a figura.

b) Usando a solução trigonométrica – regra do triângulo é usada: dois lados e o ângulo por

eles formado são conhecidos – aplicamos a lei dos cossenos.

Agora, aplicando a lei dos senos, escrevemos:



c) Quando encontramos situações em que há mais de duas forças sobre o mesmo ponto de apli-

cação, não poderemos obter uma solução trigonométrica prática da regra do polígono de forças

que defina a resultante dessas forças. Nesse caso, uma solução analítica do problema pode ser

obtida pela decomposição de cada uma das forças, em duas componentes cartesianas. Consi-

deremos, por exemplo, três forças P, q e s, atuantes em uma partícula, Figura D, decompondo

cada força em duas componentes fx e fy- conforme figura E, e analisando a força P isoladamen-

te, podemos observar na Figura F, a componente Rx e Ry.

Figura D Figura E Figura F

Fig



Calcula-se cada componente como segue:

Agora, determinam-se as componentes da resultante:

Com as componentes da resultante encontrada, podemos achar a própria resultante:

Só falta calcular a direção da resultante:

3. momento

O momento de uma força a um ponto ou a um eixo fornece a medida da tendência da

força, causando um giro no corpo em torno do ponto ou do eixo.



Considere a força horizontal fx, que atua

perpendicularmente ao braço de alavanca

da chave inglesa e está localizada a uma

distância dy do ponto o, (figura ao lado).

Podemos observar que esta força tende a

causar um giro no tubo em torno do eixo

Z. Quanto maior a força ou o comprimen-

to dy, maior será o efeito de giro. Essa

tendência de rotação, causada pela força fx, é, algumas vezes, denominada torque, embora não

seja raro chamá-la momento de uma força ou simplesmente momento. Observe que o eixo

do momento Z é perpendicular ao plano sombreado (x e y), que contém tanto fx como dy e que

intercepta o plano no ponto o.

Considere agora a força fz aplicada à cha-

ve inglesa (figura ao lado). Esta força não

tende a girar o tubo em torno do eixo Z.

Em vez disso, tende a girá-lo em torno do

eixo X. Lembre-se de que, na realidade,

embora não seja possível girar o tubo des-

sa maneira, fz gera uma tendência ao giro

e, consequentemente, um momento (m0)x

será produzido. Conforme o caso anterior,

a força e a distância d se apóiam sobre o plano sombreado (Y e Z) que é perpindicular ao eixo

do momento (x).

Finalmente, se uma força fy, for apli-

cada à chave (figura ao lado), nenhum

momento será produzido relativamen-

te ao ponto o, portanto, não há uma

tendência de rotação do tubo.

O momento mo em relação ao ponto



o, ou em relação a um eixo que passa através de o e é perpendicular ao plano, é uma quan-

tidade Vetorial, pois depende de um módulo, uma direção e um sentido.

Construímos a expressão da seguinte maneira:

Onde:

F = Força (N)

d = distância (m)

direção e sentido

A direção e sentido de mo serão determinados pela utilização

da “Regra da mão direita”. Para aplicarmos esta regra, os

dedos da mão direita devem ser curvados de forma a acompa-

nharem o sentido de rotação que ocorreria se a força pudesse

girar em relação ao ponto o, (figura ao lado). Nessa condi-

ção, o dedo polegar é orientado ao longo do eixo do momen-

to, fornecendo a direção e o sentido do vetor momento, que é

perpendicular e para cima ,relativamente ao plano sombreado

que contém f e d. Por convenção, vamos determinar o senti-

do horário como sendo negativo (-) e o anti-horário (+).

Uma força vertical de 500N é aplicada à extremida-

de de uma manivela fixada a um eixo em o. Deter-

minar o momento da força de 500 N em relação ao

ponto o.

solução:

Primeiramente temos que descobrir a distância de

o até a linha de ação da força de 500 N, que nesse

caso é(transformar 60 cm em metro):



O módulo do momento em relação a o, da força de 500 N (negativo pois é sentido horário), é:

3.1 momento binário

Duas forças f e –f, que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos,

formam um binário. É claro que a soma das componentes das duas forças, em qualquer direção,

é Zero. A soma dos momentos das duas forças, em relação a um dado ponto, no entanto, não é

zero. Apesar das duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a fazê-lo girar.

Determinar o momento binário das forças que agem sobre a

engrenagem, sabendo-se que a mesma tem um diâmetro de

72 mm.

solução:

Convém salientar que o valor do momento de um biná-

rio é o mesmo em qualquer ponto do plano. Sendo assim,

calculando o momento no centro, temos:



3.2 diagrama de corpo Livre

PRincíPio da açÃo e ReaçÃo: Toda ação so-

bre um apoio produz uma reação igual e oposta ao

apoio, de modo que ação e reação são duas forças

iguais e contrárias. Pode-se dizer que, onde houver

restrição (impedimento) de movimento de um corpo

numa dada direção, haverá uma reação nessa mesma

direção.

cadeira, eixo e mancal, haste que segura uma lâmpada, peso do carro provocando uma

reação no chão, etc.

Na resolução de um problema referente ao equilíbrio de um corpo rígido, é essencial considerar

todas as forças que atuam sobre o corpo; assim como é importante excluir qualquer força que

não esteja aplicada diretamente sobre o corpo. Omitindo uma força ou adicionando uma força

estranha, destruiríamos as condições de equilíbrio. Por conseguinte, o primeiro passo na solu-

ção do problema deve consistir em desenhar um diagrama de corpo rígido em consideração é

o que veremos a seguir.

Contudo, em vista de sua importância na solução de problemas de equilíbrio, sistematizaremos

aqui as passagens que devem ser seguidas para sua realização.

Primeiro, uma decisão clara é tomada quanto à escolha do corpo livre a ser usado. Esse corpo

é, então, destacado do solo e separado de qualquer outro corpo, cujo contorno, assim isolado, é

esquematizado.



Todas as forças externas são indicadas e representam a ação exercida sobre o corpo livre pelo

solo e pelos corpos dos quais foi destacado. As forças devem ser aplicadas nos vários pontos

onde o corpo livre estava apoiado no solo ou ligado aos outros corpos. O peso do corpo livre

deve ser também incluído entre as forças externas, pois representa a atração exercida pela terra

sobre as várias partículas que formam o corpo livre. Como veremos, o peso deve ser aplicado

no baricentro do corpo. Quando o corpo livre é constituído de várias partes, cujas forças são

exercidas umas sobre as outras, não são incluídas entre as forças externas. Estas forças, no que

se refere ao corpo livre, são forças internas.

O módulo, a direção e o sentido das forças externas conhecidas devem ser claramente

mostrados no diagrama do corpo livre.

Muito cuidado se deve tomar para indicar o sentido das forças exercidas sobre o corpo e não o das forças exercidas pelo corpo livre. As forças externas conhecidas compreendem, geralmente, o peso do corpo livre e forças aplicadas para certa fi-nalidade.

As forças externas desconhecidas são, geralmente, constituídas pelas reações – também às ve-

zes chamadas forças vinculares – através das quais solo e outros corpos se opõem a um possível

movimento do corpo livre, obrigando-a a permanecer na mesma posição. As reações são exer-

cidas nos pontos onde o corpo livre é suportado ou vinculado a outros corpos.

Um diagrama de corpo livre deve incluir também as dimensões, pois são necessárias no cálculo

dos momentos das forças. Qualquer outro detalhe deve ser omitido.



síntese da aula

Nesta aula estudamos:

• Conceito de Força;

• Sistema de Forças;

• Determinamos as Resultantes dos Sistemas de Forças;

• Conceito de Momento ou Torque;

• Determinamos o Momento;

• Conceito de Momento Binário.


1) determine o valor da resultante das forças e sua direção e sentido(utilize as leis de seno

e coseno ou decomposição cartesiana):

a)



b)

c)

d)



e)

f)



2) Uma força resultante de 350 lb é necessária para manter o balão na posição mostrada.

decomponha esta força em componentes atuantes ao longo das linhas de apoio ab e ac,

e calcule o módulo de cada uma das componentes.

3) O bote da figura deve ser puxado para a praia por meio de duas cordas. Determine o

módulo das forças t e P atuantes em cada corda de modo a desenvolverem uma força re-

sultante de 80 kgf, direcionada ao longo da quilha aa, faça = 40°.



4) determinar o momento ou torque no parafuso:

5) determinar o momento no ponto a (ma) devido as forças atuantes na barra:

6) determinar o momento produzido pela chave de roda sobre o parafuso, sabendo que a

distância a= 200 mm e a força aplicada f=120n.



eqUiLibRio de coRPos RíGidos

Nesta aula você estudará o conceito de equilíbrio de corpos

rígidos, para identificar as reações bem como calculá-las. Es-

tudará os tipos de reações, e a maneira matemática de como

calcular cada força do sistema para, na próxima aula, podermos

dimensionar os materiais.

Boa aula!

objetivos da aula

Ao concluir esta unidade você deverá ser capaz de:

• Identificar as reações nos apoios;

• Utilizar métodos matemáticos para calcular as reações;

• Identificar sistemas em equilíbrio.

conteúdos da aula

Acompanhe os conteúdos desta aula. Se preferir, assinale-os à me-

dida que for estudando:

• Corpo Rígido em Equilibrio;

• Reações;




1. eqUiLibRio de Um coRPo RíGido

Quando a ação de um sistema de forças que atua sobre um corpo for nula, dizemos que o

corpo está em equilíbrio.

Determinar as condições que mantêm um cor-

po em equilíbrio é um problema que pode ser

bastante complexo. Pense em uma ponte. Cada

pequeno volume de matéria que a constitui deve

permanecer em equilíbrio. Um caso simples de

equilíbrio diz respeito ao ponto material.

A condição para que um ponto material esteja

em equilíbrio é que a soma de todas as forças

a ele aplicadas seja igual a zero. Não havendo força aplicada sobre o ponto material, resulta

que a força total é zero.

Se, em vez disso, atuam duas forças, elas devem con-

trabalançar-se para que possa haver equilíbrio. Outro

caso em que duas forças se contrabalançam é o da com-

petição chamada cabo-de-guerra, em que duas equipes

exercem iguais trações em extremos opostos de uma

corda. Podemos considerar como ponto material o ponto médio da corda. Ao aplicar a con-

dição de equilíbrio, devemos ter certeza de estar incluindo todas as forças que agem sobre o

corpo.

Se tivermos um corpo apoiado sobre uma mesa, apesar do

peso, não afunda, permanece parado. Significa que, ao cor-

po, está aplicada uma força igual e contrária ao seu peso.

Essa força, chamada força normal é devida à elasticidade



da mesa. Quando apoiamos um objeto, a superfície da mesa se deforma de maneira impercep-

tível, como se fosse um tapete elástico. À medida que a superfície é comprimida, exerce uma

força cada vez maior para cima, que consegue contrabalançar o peso do objeto.

Sobre um corpo apoiado numa superfície agem, portanto, duas forças que se anu-lam: o peso e a força normal.

• Corpo Rígido em Equilíbrio

Um corpo está em equilíbrio quando as forças externas que atuam sobre ele formam um sistema

de forças equivalentes a zero, isto é, quando as forças externas podem ser reduzidas a uma força

nula e a um binário nulo. Ou seja:

Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas, encontramos que

as condições necessárias e suficientes para o equílirio de um corpo rígido também podem ser

expressas pelas seis equações:



• Reações nos Apoios e Conexões de uma Estrutura Bidimensional

Consideremos o equilíbrio de uma estrutura bidimensional, isto é, suponhamos que a estrutura

considerada e as forças sobre ela aplicadas estão contidas no plano da figura. Obviamente, as

reações necessárias para manter a estrutura na mesma posição estão também contidas no plano

da figura.

As reações exercidas sobre uma estrutura bidimensional podem ser divididas em três grupos

correspondentes a três tipos de apoio ou conexões:

• Reações Equivalentes a uma força com linha de ação Conhecida

Os apoios e conexões que causam reações desse tipo são os roletes, balancins, superfícies lisas,

hastes curtas e cabos, cursores e pinos deslizantes. Cada um desses apoios

e conexões pode impedir movimento em apenas uma direção. Veja

no quadro abaixo uma demonstração ilustrativa, juntamente com as

reações que produzem.



Reações desse tipo envolvem uma incógnita, que é o módulo da reação e deve ser denomina-

do por letra apropriada. A linha de ação da reação é conhecida e deve ser indicada claramente no

diagrama de corpo livre. O sentido da reação deve ser como está no quadro acima, no caso de

uma superfície lisa (para fora da superfície) ou de um cabo (tração na direção do cabo). A reação

pode estar orientada em ambos os sentidos, no caso de roletes em pista dupla, hastes, cursores e

pinos deslizantes. Os roletes em pista simples e balancins são geralmente supostos reversíveis.

Então as reações correspondentes também podem ser orientadas em ambos os sentidos

• Reações Equivalentes a uma força de Direção Desconhecida

Os apoios e conexões que causam reações desse tipo são os pinos polidos

em orifícios ajustados, articulações e superfícies rugosas. Eles podem res-

tringir a translação de um corpo livre em todas as direções, mas não podem

restringir a rotação em torno da conexão. As reações desse grupo envolvem

duas incógnitas, geralmente representadas pelas suas componentes x e y. No caso de uma su-

perfície rugosa, a componente normal à superfície deve estar orientada para fora da superfície

de apoio.

• Reações Equivalentes a uma força e um Binário

São reações causadas por apoios fixos que impedem qualquer movimento do corpo livre, imo-

bilizando-o completamente.

Os apoios fixos produzem forças sobre toda a superfície de contato; contudo, formam um sis-

tema que pode ser reduzido a uma força e a um binário. As reações desse grupo envolvem três

incógnitas, consistindo geralmente em duas componentes da força e o momento do binário.

Quando o sentido de uma força ou de um binário desconhecido não é previsível, devemos tomá-

lo arbitrariamente; o sinal da resposta obtida indicará, então, se o sentido adotado é correto ou

não.

As condições estabelecidas no início da aula, para o equilíbrio de um corpo rígido, simplificam-



se consideravelmente no caso de uma estrutura bidimensional.

Escolhendo os eixos x e y no plano da estrutura, então para cada uma das forças aplicadas ao

corpo rígido, temos:

Fz = 0 Mx = My = 0 Mz = Mo

Então as seis equações de equilíbrio deduzidas no início do capítulo reduzem-se a:

∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑Mo = 0 (c)

e as três identidades triviais 0 = 0.

Como a terceira das equações (c) deve ser satisfeita, independentemente da escolha da origem

o, podemos escrever as equações de equilíbrio para uma estrutura bidimensional na forma mais

geral:

∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑MA = 0

onde a é qualquer ponto no plano da estrutura. As três equações obtidas podem ser resolvidas

para um máximo de três incógnitas.

Uma viga apoiada suporta um carregamento como mostra a figura. Determinar as rea-

ções nos apoios devido a esse caregamento:



solução:

Faz-se o diagrama de corpo livre arbitrando o sentido das forças de reação e aplicando as con-

dições de equilíbrio. O resultado indicará se o sentido arbitrário está certo (valor positivo) ou

invertido (valor negativo).

R: as reações no apoio a – Rax = 0 e Ray = 166,67 kgf e no apoio b – Rby = 333,33 kgf

Determinar as reações nos apoios A e B para um dado carregamento externo como está

ilustrado:



solução

Como podemos observar, no diagrama de corpo livre já está feita a decomposição cartesiana da

força de 100 kgf.

Agora vamos calcular a somatória de momento e a somatória das forças:

R. as reações no apoio a – Rax = - 50kgf e Ray = - 63,3 kgf e no apoio b – Rby = 199 kgf.



Determinar as reações no apoio A e a tensão no cabo B.

solução:

Como podemos observar no diagrama de corpo livre, o cabo de tração T, foi decomposto em

Tx e Ty.

R: a tração no cabo b = 115,47 n e as reações no apoio a é – Rax = 57,735 n e Ray = 100 n.



síntese da aula

Nesta aula estudamos como calcular as reações em sistemas estáticos e identificamos as forças

e reações nos apoios. Observamos modelos matemáticos para soluções de problemas.


1) determine as reações em b e c para a viga e carregamento mostrado:



2) Uma barra ab, articulada no embasamento, em a, e suportada por uma escora cd,

está sujeita a uma carga horizontal de 5 ton, em B, (figura A). Determinar:

(a) a tração F na escora e a reação Ra em A;

(b) as reações em A e B da figura B.

3) A utilização de uma série de alavancas é mais eficiente do que o uso de apenas uma

única alavanca. Por exemplo, o caminhão de 800 lb é pesado utilizando (a) três alavancas

ou (b) uma alvanca, conforme mostra a figura. No caso (a) determine a força P necessária

para equilibrar o caminhão, e no caso (b), utilizando a mesma força P (encontrada em (a)),

determine o comprimento l necessário para uma única alavanca para pesar o caminhão.



4) a lança de guindaste ab de 12 m pesa 10kn e a distância do eixo a ao centro de gra-

vidade G da haste é de 6 m. Para a posição ilustrada, determine a tração t no cabo e a

reação e a.

5) Um carrinho elevador de 600 kgf é usado para sustentar uma caixa c de 150 kgf, na

posição indicada. determine as reações:

(a) em cada uma das duas rodas a;

(b) na roda única b.



Resistência dos mateRiais

Nesta quarta aula vamos aplicar os conceitos vistos, como:

identificar e calcular as forças em um sistema, para podermos

dimensionar os materiais envolvidos nesse sistema. Através dos

esforços solicitantes de Tração, Compreensão, Cisalhamento,

Flexão e Torção podemos dimensionar cada elemento do Sis-

tema.

Bom estudo!

objetivos da aula

Ao concluir esta unidade você será capaz de:

• Identificar os tipos de deformações que podem ocorrer;

• Dimensionar os materiais para que não ocorram deformações;

• Escolher o tipo de material a utilizar;

• Calcular as deformações.

conteúdos da aula

Acompanhe os assuntos que estudaremos nessa aula, se preferir,

vá assinalando o assunto que já estudou.

• Resistência dos Materiais;

• Esforços de Tração;

• Esforços de Compressão;

• Esforços de Cisalhamento;

• Esforços de Flexão;

• Esforços de Torção;




1. Resistência dos mateRiais

Os cálculos de resistência dos materiais permitem dimensionar elementos de uma constru-

ção civil ou mecânica, sujeitos aos mais variados tipos de carregamentos.

De uma maneira geral, os componentes a serem dimensionados podem estar sujeitos aos esfor-

ços de tração (tende a alongar a peça), compressão (tende a encurtar a peça), cisalhamento,

flexão e torção e, em alguns casos, dois ou mais tipos de esforços ao mesmo tempo.

Através dos cálculos de estática (visto nos capítulos anteriores) é possível determinar as forças

externas atuantes sobre um determinado elemento, no entanto, através dos cálculos de resis-

tência dos materiais, é possível estudar os efeitos internos que essas forças causam sobre o

elemento.

De uma maneira geral, os elementos a serem dimensionados nunca são considerados perfeita-

mente rígidos, portanto, é de se prever que as forças externas, ou os esforços aplicados criam

na estrutura interna às forças e às tensões internas que, por sua vez, promovem deformação.

Existem deformações críticas a partir da qual o corpo está sujeito a romper-se, comprometendo

o seu funcionamento.

A resistência dos materiais visa, justamente, dimensionar esse componente, e ou determinar

os tipos de materiais que devem ser construídos, para evitar que ocorram deformações críticas e

permitir que resistam aos mais diversos tipos de carregamento que lhes são impostos.

forças internas1.1

O primeiro e mais importante passo para solucionar um problema de resistência dos materiais é

identificar as forças internas a partir do qual, o corpo ou componente em questão está sujeito.

Para tal, será utilizado o método de seções transversais em qualquer elemento e o princípio de

que os esforços internos devem sempre resistir ao efeito das forças externas.



• Tensões

As tensões atuantes em cada seção de um componente mecânico, sujeito a determinados esfor-

ços, podem ser determinadas através da força interna existente e da área da seção transver-

sal.

tensão nada mais é do que a força atuante na secção transversal por unidade de área, ou

seja:

Onde:

= Tensão (Pa)

F = Força Interna (N)

A = Área da Seção Transversar (m2)

Unidade de medidas Pa – pascal, corresponde à carga de 1N, atuando sobre uma área de 1 m2.

Os tipos de tensões podem ser divididos em: tensão normal e tensão transversal.

tensão normal: Caso a força interna esteja atuando perpendicularmente à seção transver-

sal, chama-lá-emos normal (fn). Esta força normal irá gerar uma tensão também normal (σn)

onde:



tensão transversal (cortante): Quando a força interna estiver atuando paralelamente à se-

ção, ou seja, perpendicularmente ao eixo, chamá-la-emos transversal (fq). A força cortante

gera nessa seção uma tensão também transversal (τq) onde:

1.2 esforços fundamentais

Os esforços fundamentais na Resistência dos Materiais, são:

a) Esforços de Tração

b) Esforços de Compressão

c) Esforços de Cisalhamento

d) Esforços de Flexão

e) Esforços de Torção



a) esforços de tração

Considere que uma peça qualquer de

seção constante e área igual a “a”, seja

solicitada por uma força externa “f” de

tração (que tende a alongar a peça).

Pelo método de seções, isolando as par-

tes e aplicando as condições de equi-

líbrio, verificamos que existe na seção

interna uma força “fn”, reagindo con-

tra a força externa f. Essa força “fn”

é suportada por uma seção transversal

com uma área “a”, significando que

cada unidade de área irá suportar uma

tensão de tração.

Dependendo do caso, a fórmula de tensão nos permite calcular:

a) A área necessária para uma peça resistir ao esforço de tração, se conhecer o material

σt = Tensão admissível de tração (tabelada)

ou

σ = Tensão Admissível de tração (tabelada)

b) A tensão atuante na seção transversal da peça para compará-la com a tensão admissível

Qual é o material que suporta a tensão?



A carga máxima que a peça tem condições de resistir

• Ensaio de Tração

O ensaio de tração consiste em submeter um corpo de prova a um esforço de tração progressivo

sob a ação de uma carga lenta e gradualmente crescente em uma máquina de ensaios.

Durante o ensaio, mede-se continuamente a força de tração aplicada (f) e a correspondente

variação do seu comprimento (∆L) em um segmento “Lo” previamente assinalado no corpo

de prova.

Com a finalidade de padronizar os ensaios, existem métodos elaborados pelas diversas entida-

des normalizadoras (ABNT, ASTM, DIN) que especificam a forma e as dimensões dos corpos

de prova, conforme o material que está sendo ensaiado.

Normalmente, a parte central do corpo de prova possui uma

seção transversal menor do que as extremidades, com a finali-

dade de garantir que ocorra ruptura.

• Gráfico Tensão x Deformação

Ao submetermos um corpo de prova a um esforço de tração em uma máquina de ensaios, essa

registra o comportamento em um gráfico denominado “carga x Variação de comprimento”.

Nesse gráfico, pode-se distinguir alguns pontos característicos que representam o comporta-

mento do material durante o ensaio, tais como:

Região elástica – Região onde o material não sofre nenhum dano estrutural, podendo parar o

carregamento a qualquer momento e voltar à estrutura inicial.



Região Plástica – Região onde o material começa a ter danos estruturais, como podemos ver

no gráfico, dentro dele existe áreas destintas, quais sejam:

escoamento – É onde começa o rompimento das estruturas internas no material.

Recuperação – É a área que não sofre mais o rompimento das estruturas internas do

material.

estricção – É a região onde se apresenta uma redução na área da secção transversal.

σp – Representa a região em que as tensões são diretamente proporcionais às deformações so-

fridas (trecho reto da curva).

σe – Representa a tensão máxima onde o metal apresenta um comportamento elástico, isto é,

volta às dimensões originais após a liberação da carga. Nesse caso, não ocorrem deformações

residuais ou permanentes no material. Para muitos materiais, a tensão no limite de proporciona-

lidade e elasticidade são praticamente iguais.

σs – Ponto a partir do qual aumentam as deformações sem que se alterem praticamente as

tensões. Quando se atinge o limite de escoamento, dizemos que o material passa a escoar-se.

Alguns materiais apresentam deformações sob tensão constante. O ponto inicial onde se indica

o escoamento recebe o nome de limite de escoamento superior e o final de limite de escoa-

mento inferior.



σmax – É a tensão máxima que o material resiste ou a sua resistência a tração.

σr –É a tensão no momento de ruptura do material. Em materiais dúcteis verifica-se a ruptura

com uma força menor que a força máxima. Considerando o cálculo da tensão, a redução de área

que ocorre no corpo de prova, no final do ensaio (estricção), verifica-se que a tensão de ruptura

é, no mínimo, igual à tensão máxima.

• Módulo de Elasticidade

Módulo de elasticidade é a constante determinada a partir da relação entre a tensão (σ ) e a

deformação ( ε ) na região elástica. O módulo de elasticidade (E), também conhecido como

“módulo de Young”, é característico para cada material e seus valores são encontrados em

tabelas.

Desde que ε é adimensional, a dimensão (unidade) de E é a mesma de σ, ou seja, força por

unidade de área (Pa). Para diversos materiais, o valor de E é idêntico para o esforço de tração

e compressão.

• Lei de Hooke

O cientista inglês Robert Hooke, constatou que uma série de materiais, sofre variações na sua

dimensão linear inicial, quando sub-

metidos à ação de Força Normal. Ele

determinou alogamento essa varia-

ção linear, constatando que:

Quanto maior a carga normal aplica-

da, e o comprimento inicial da peça,

maior o alongamento, e, quanto

maior a área da secção transversal e

a rigidez do material, medido através



do seu módulo de elasticidade, menor o alongamento, resultando daí a equação:

Onde:

- Alongamento da Peça (m)

F – Força Normal Aplicada (N)

- Comprimento Inicial da Peça (m)

A – Área da Secção Transversal (m2)

E – Módulo de Elasticidade do Material (Pa)

• Deformação Longitudinal – É a deformação que ocorre em uma unidade de comprimento,

quando uma peça é submetida à ação de uma força axial.

• Deformação Transversal – Determina-se através do produto entre a deformação unitária ( )

e o coeficiente de poison (v).



• Coeficiente de poison – É a relação entre a deformação ( ε ) e a estricção ( ). Essa constante

é característica de cada material.

2.1 estricção ( )

Uma peça tracionada também apresenta redução da área, a que se denomina “estricção”. Sem-

pre que houver um alongamento no sentido longitudinal, haverá uma redução de área no sentido

transversal.

2.2 materiais

Os materiais, conforme suas caracterisiticas, são classificados em:

material dúctil – Quando submetido ao ensaio de tração, apresenta deformação plástica, pre-

cedida por uma deformação elástica, para atingir o rompimento.

Ex. Aço, cobre, latão, alumínio, bronze e níquel.

material frágil – Quando submetido ao ensaio de tração, não apresenta deformação plástica,

saindo direto da fase elástica para o rompimento.

Ex. Vidro, concreto, porcelana, cristal, gesso, baquelite, acrílico.

2.3 tensão admissível ( )

A tensão admissível é onde devemos trabalhar com os materiais, seja na fase elástica ou na fase

plástica do material.

Trabalhamos na fase plástica do material, normalmente, para redução do peso de construção.

Ex. avião, foguetes.



Nós vamos restringir, e vamos trabalhar na fase elástica que é o que normalmente ocorre na

prática.

Materiais Dúctil

Material Frágil

Uma barra circular de aço, possui d=20 mm e comprimento = 0,8 m e encontra-se

submetida à ação de uma força axial de 7,2 kN. Pede-se determinar para a barra:

(a) tensão normal.

(b) o alogamento.

(c) a deformação longitudinal.

(d) a deformação transversal.

Sabendo-se que o módulo de elasticidade do aço é 210 GPa e o coeficiente de poison é 0,3.

solução:

a)

b)



c)

d)

b) esforço de compressão

Considere que uma peça qualquer de seção constante e área igual a “A” seja solicitada por uma

força “F” de compressão (que tem a tendência de encurtar a peça).

Pelo método das seções, isolando as par-

tes e aplicando as condições de equilíbrio,

verifica-se que existe na seção interna uma

força fn, reagindo contra a força f. A

força Fn é suportada por uma seção trans-

versal com uma área “A”, significando que

cada unidade da área suportará uma tensão

de compressão.

Podemos concluir que, no esforço de com-

pressão, as forças externas atuam em senti-

dos contrários ao do esforço de tração, por

isso, a fórmula fundamental para calcular a

tensão de compressão é a mesma utilizada para o cálculo da tensão de tração.

• Ensaio de Compressão

O ensaio de compressão não é realizado com freqüência em materiais metálicos, pois até no



limite de escoamento consideram-se os mesmos pontos que no esforço de tração.

Realiza-se, com muita freqüência, o ensaio de compressão em corpos de prova de concreto,

para construção civil.

c) esforço de cisalhamento

No esforço do cisalhamento as forças (f)

atuam perpendicularmente ao eixo da peça,

provocando um efeito de corte na mesma,

bem como a geração de uma tensão de cisa-

lhamento. Esse efeito é causado pela ação da

força cortante (fq) atuante no próprio plano

da seção transversal.

As peças mais sujeitas ao esforço de cisalha-

mento são as chavetas, utilizadas para prender polias em eixos, e os rebites.

• Tensão de Cisalhamento

A força cortante dá lugar, em cada um dos pontos da seção transversal, ao aparecimento de

uma tensão transversal denominada tensão de cisalhamento (τc). Essa tensão é determinada a

partir da relação entre a força cortante (fq) e a área da seção transversal (a), de acordo com

a seguinte equação:

Onde:

- Tensão de Cisalhamento (Pa)

Fq – Força Cortante (N)

– Área da Seção Transversal (m2)



Se, por acaso, mais de um elemento for submetido ao cisalhamento, utiliza-se o somatório das

áreas das seções transversais para o dimensionamento. Se os elementos possuírem a mesma área

da seção transversal, basta multiplicar a área da seção transversal pelo número de elementos.

• Deformação do Cisalhamento

Com a aplicação da força, além da tensão, tam-

bém ocorre a deformação do corpo, que pode

ser determinado através da distorção, que é a

variação do ângulo inicialmente reto.

Onde:

- distorção (rad)

- tensão de cisalhamento (Pa)

G – módulo de elasticidade transversal do material (Pa)

• Pressão de Contato

No dimensionamento de juntas rebitadas, parafusadas, pinos, chavetas, torna-se necessária a

verificação da pressão de contato entre o elemento e a parede do furo na chapa (nas juntas),

como podemos observasr no rebite na junção das duas chapas abaixo.



Isolando a área cisalhada e projetando essa vista, temos

Onde:

- Pressão de contato (Pa)

Fq – Força cortante (N)

d – Diâmetro do elemento (m)

t – Espessura da chapa (m)

n – Número de elementos (admissional)

Determinar a tensão de cisalhamento que atua no plano A da figura.

Primeiramente, colocamos os valores da figura na fórmula de Tensão de Cisalhamento. Como a

força está inclinada, temos que encontrar a componente em relação a x, nesse caso, é só multi-

plicar pelo cosseno de 37. As medidas da área estão em mm, passando para m, é só multiplicar

por 10-3.



d) esforço de flexão

Quando uma viga é carregada, apare-

cem diversos pontos do seu interior,

determinados esforços que geram ten-

sões normais de tração (parte inferior)

e compressão (parte superior) além de

tensões transversais de cisalhamento.

Para o cálculo das tensões existentes em um determinado ponto da viga, é necessário, inicial-

mente, determinar as forças ou momentos que estão atuando nesse ponto. Isso é possível através

da aplicação do método de seções e análises, por intermédio das três equações da estática, como

se segue:

força cortante – Obtém-se a força atuante em uma determinada seção transversal da peça,

através da resultante das forças cortantes atuantes à esquerda da seção transversal estudada.

Seção AA

Seção BB

Seção CC

momento fletor – O momento fletor atuante em uma determinada seção transversal da peça,

obtém-se através da resultante dos momentos atuantes à esquerda da seção estudada.



Seção AA

Seção BB

Seção CC

módulo de Resistência (wx) – Define-se módulo de resistência de uma superfície plana em

relação aos eixos baricêntricos x e y, como sendo a relação entre o momento de Inércia relativo

ao eixo baricêntrico e a distância máxima entre o eixo e a extremidade da secção transversal

estudada.

Para nossos estudos, utilizaremos a tabela abaixo com os módulos de resistência, conforme o

modelo de seção transversal.



seçãomódulo de

Resistência (W)seção módulo de Resistênica (W)

Para dimensionamento das peças submetidas ao esforço de flexão, utiliza-se a tensão admissí-

vel:

Para x:

Para y:

Onde,

- Tensão Normal Atuante na fibra mais afastada (Pa);

- Momento Fletor (N.m);

- Módulo de Resistência da seção transversal (m3).



Dimensionar a viga de madeira que deverá suportar o carregamento representado na figura.

Utilizar = 100MPa e h=3b.

solução:

Primeiro precisamos calcular as reações de apoio da viga:

Por simetria, podemos afirmar que Ra = Rb = 1750n

Para dimensionar, precisaremos dividir em 4 seções, calcularmos a força cortante e o Momento

fletor.



seção 1 -

Quando o x = 0, logo o M = 0

Quando o x = 1, logo o M = 1000Nm

seção 2 -

Quando o x = 2, logo o M = -250Nm

Como o desenho é simétrico, logo podemos determinar: quando o x = 3, o M = 1000 Nm e

quando o x = 4, logo o M = 0.

Agora, utilizando a equação: e como a seção transversal é retangular, utilizaremos

, substituindo na outra equação obtemos:

Como o indicado no enunciado do problema, h = 3b, teremos:



Substituindo os valores encontrados anteriormente, temos:

Como h = 3b, logo h = 120 mm.

e) esforço de torção

Uma peça submete-se a esforço de torção, quando atua um torque em uma das suas extremida-

des e um contratorque na extremidade oposta.

• Momento Torçor ou Torque

O torque atuante na peça é definido

através do produto entre a intensidade

da carga aplicada e a distância entre o

ponto de aplicação da carga e o centro

da seção transversal. Para isso temos:

Onde:

Mt – Momento Torçor ou Torque (Nm);

F – Força Apliada (N);

d – Distância entre o ponto de aplicação da carga e o pólo (m).



Para as transmissões mecânicas construídas por polias,

engrenagens, rodas de atrito, correntes, o torque é de-

terminado através de:

• Potência

Denomina-se potência a realização de um trabalho na unidade de tempo:

Onde,

P – Potência (W)

Ft – Força Tangencial (N)

Vp – Velocidade periférica (m/s).

Ainda podemos escrever através da formula:

Onde:

Mt – Torque (Nm);

N – Rotação (rpm);

P – Potência (W).

• Tensão de Cisalhamento

A tensão de cisalhamento atuante na seção da peça transversal da peça é definida através da

expressão:



Onde:

= Tensão de Cisalhamento (Pa);

Mt – Momento Torçor ou Torque(Nm);

Wp – momento de resistência Polar de inércia (m4).

Verifique a tabela abaixo para identificar o Wp

seçãomódulo de

Resistência (W)seção

módulo de Resistênica (W)



• Distorção

O torque atuante provoca na seção transver-

sal da peça, o deslocamento do ponto a da

periferia para uma posição a’. Na longitude

do eixo, origina-se uma deformação de ci-

salhamento denominada distroção ( ).

Onde:

- Distorção (rad);

- Tensão atuante (pa);

G – Módulo de elasticidade transversal do material (Pa).

Uma árvore de aço possui diâmetro d = 30 mm, gira com uma velocidade angular 20

rad/s, movida por uma força tangencial Ft = 18 kN.

Determinar:

a) Torque (Mt)

b) Rotação (rpm)

c) Potência (P)

Primeiramente precisamos calcular a velocidade periférica do sistema, que foi mencionada em

velocidade angular.

Para calcularmos o torque utilizaremos a fórmula:



Agora precisamos calcular a rotação:

Agora podemos calcular a potência do sistema através:

síntese da aula

Nesta aula estudamos os conceitos de Resistência dos Materiais; os conceitos dos Esforços de

Tração, Compreensão, Cisalhamento, Flexão e Torção e Dimensionamento de materiais, segun-

do os esforços identificados.




1) Determinar o diâmetro da barra 1 da construção representada na figura. O material da

barra é o ABNT 1010 Laminado com = 220 MPa, e o coeficiente de segurança indicado

para o caso é k=2.

Diagrama de Corpo Livre, para calcular a força atuante na barra 1.



2) A barra 1 da figura é de aço, possui A1= 400 mm2 (área da seção transversal), e o seu

comprimento é l1 = 800 mm. determinar para a barra 1 (utilize para o caso eaço = 210

GPa e aço = 0,3):

a) carga axial atuante f1;

b) tensão normal atuante ( );

c) o alongamento ( );

d) a deformação longitudinal ( )

e) a deformação transversal ( )

Diagrama de Corpo Livre, para calcular a força atuante na barra 1.



3) Dimensionar a corrente da construção representada na figura. O material utilizado é

abnt 1010 Laminado com = 220 MPa, e o coeficiente de segurança indicado para o

caso é k=2.

Diagrama de Corpo Livre, para calcular a força atuante na corrente.



4) O conjunto representado na figura é formado por:

a) Parafuso sextavado m12 (diâmetro do parafuso 12 mm)

b) Garfo com haste de espessura 6 mm

c) arruela de pressão

d) chapa de aço abnt1020 espessura 8 mm

e) Porca m12

supor que não haja rosca no parafuso, nas regiões de cisalhamento e esmagamento. a

carga q que atuará no conjunto é de 6kn. determinar:

a) a tensão de cisalhamento atuante;

b) a pressão de contato na chapa intermediária;

c) a pressão de contato nas hastes do garfo.



5) dimensionar o eixo para que suporte com segurança k=2 o carregamento representado.

o material a ser utilizado é abnt 1020 com = 280 mPa.

6) dimensionar o eixo vazado para que suporte co segurança k = 2 o carregamento repre-

sentado na figura. O material utilizado é ABNT 1040 L com = 400 mPa. a relação entre

os diâmetros é 0,6.



7) O eixo árvore representado na figura, possui diâmetro d=40 mm, e comprimento l=0,9

m, gira com uma velocidade angular w = 20 rad/s movido por um torque mt = 200

n.m.

determinar:

a) força tangencial

b) Velocidade Periférica

c) Potência

d) tensão máxima atuante

Utilize:



Referências

BEER, Ferdinand Pierre. mecânica Vetorial para engenheiros. 5 Edição, São Paulo, Pearson

Makron Books, 1994.

_____. Resistência dos materiais. 3 Edição, São Paulo, Pearson Makron Books, 1995.

BORESI, Arthur P., SCHMIDT, Richard J. estática. São Paulo, Pioneira Thomson Learming,

2003.

BRANSON, Lane K. mecânica estática e dinâmica. Rio de Janeiro: LTC, 1974.

DELL’ARCIPRETE, Nicolangelo. física 1 – mecânica. São Paulo: Ática, 1981.

GARCIA, Amauri, SPIM, Jaime Alvares, SANTOS, Alexandre S. ensaios dos materiais. São

Paulo, LTC Editora, 1999.

GERE, James M. mecânica dos materiais. São Paulo, Pioneira Thomson Learming, 2003.

HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais, 3 Edição, Rio de Janeiro, LTC Editora, 2000.

mecânica técnica e Resistência dos materiais. ETT. Apostila, Joinville, SC

TIMOSHENKO, S. mecânica técnica. Rio de Janeiro, LTC, 1982.



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Autor: Ernesto BerkenbrockMecânica Técnica e Resistência dos Materiais: Material Didático / Ernesto BerkenbrockDesign Institucional: Cristiane de Oliveira - Joinville: EaD Tupy, 2009

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