Medição da resistividade e determinação da estratificação do...

ABNT/CB-03 1°°°° PROJETO DE REVISÃO ABNT NBR 7117

SET 2011

NÃO TEM VALOR NORMATIVO

Medição da resistividade e determinação da estratificação do solo

APRESENTAÇÃO

1) Este 1º Projeto de revisão foi elaborado pela Comissão de Estudo de Segurança no aterramento de subestações c.a (CE-03:102.01) do Comitê Brasileiro de Eletricidade (ABNT/CB-03), nas reuniões de:

16.09.2004 23.09.2004 18.11.2004

09.12.2004 24.02.2005 05.05.2005

30.06.2005 25.08.2005 29.09.2005

27.10.2005 02.12.2005 12.04.2006

05.03.2006 14.06.2006 02.08.2006

04.10.2006 31.10.2006 04.12.2006

02.02.2007 13.04.2007 04.05.2007

02.06.2007 06.07.2007 31.08.2007

05.10.2007 09.11.2007 07.12.2007

14.03.2008 11.04.2008 09.05.2008

15.08.2008 10.10.2008 14.11.2008

12.12.2008 16.01.2009 13.02.2009

20.03.2009 03.04.2009 24.04.2009

15.05.2009 19.06.2009 10.07.2009

14.08.2009 04.09.2009 09.10.2009

2) Este Projeto é previsto para cancelar e substituir a ABNT NBR 7117:1981 quando aprovado, sendo que nesse ínterim a referida Norma continua em vigor;

3) Não tem valor normativo;

4) Aqueles que tiverem conhecimento de qualquer direito de patente devem apresentar esta informação em seus comentários, com documentação comprobatória;

5) Este Projeto de Norma deve ser diagramado conforme as regras de editoração da ABNT quando de sua publicação como Norma Brasileira.


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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 2/3

6) Tomaram parte na elaboração deste Projeto:

Participante Representante

ABRADEE Carlos Alberto Ribeiro de Avellar

AES ELETROPAULO Ithamar Sene Jr. Sergio L. Caparoz

AES SUL Renato Oling

B&M PESQUISA E DESENVOLVIMENTO LTDA Flavio Faria

BANDEIRANTE ENERGIA Ewaldo C. Nogueira

CHESF Antônio Varejão de Godoy

CLARO TELEFONIA CELULAR Carlos Henrique Pessin

COELBA Raimundo Pedreira

COLI ENGENHARIA Paulo César A. Coli

CONSULTOR Pedro S. Sumodjo

COPEL Rosane Maris Ribas

CPE ENGENHARIA LTDA. Romildo Leite Sales

CPFL Alexandre Nogueira Aleixo Fumio Nakagawa

ELETRIZAR ENGENHARIA Gilberto Falcoski

ELEKTRO Emerson R. Furlaneto Laudemir Caritá Shiguematsu Nosaki Valmir Ziolkowski Vinicius M. Benichio Wilson Hirakawa

ELETRO-ESTUDOS ENGENHARIA Paulo Edmundo da Fonseca Freire

ELETROSUL Dalvir Maquerievki Lucio Volnei Galvani Oquigibson Lima Costa

ENCONTRE ENGENHARIA LTDA Duílio Moreira Leite

ENERSUL Antonio de Pádua Ribeiro Gerson de Almeida Costa Nonato

ENERTEC Sérgio R. Oliveira

ERICO Marcelo Logli

FASTWELD Rinaldo Junior Botelho

FPTE Nemer Paschoal Fioravante Jr.

FPTE – FUND. PTA. DE TECNOLOGIA E EDUCAÇÃO Juliano Munhoz Beltani

FURNAS Arion Barros José Roberto T. Correa


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Luiz Carlos da Rocha Santos

GALENO ENGENHARIA CONSULT. TREINAMENTO Galeno Lemos Gomes

GILCO PROTEÇÃO ELÉTRICA Igidio Castro

GRUPO REDE Ivan Nord

GUISMO ENGENHARIA Jobson Modena

IPT Mario Leite

LACTEC José Maurílio da Silva Luis Ricardo Alfaro Gamboa Renata Jacyszyn Bachega

MANHAHATTAM EL. Juan Alexandre Suarez

MASUKI ENGENHARIA Luiz Masuki

MEGABRAS Luis Alberto Pettoruti Manuel Jaime Leibovich

MIOMEGA João G. Cunha

OFFICINA DE MYDIA Carlos Moreira Leite

PEA – USP José Roberto Cardoso

PROELCO Antônio Roberto Panicali

QUEMC Roberto Menna Barreto

REIS MIRANDA ENGENHARIA Armando Pereira Reis Miranda

SANPIETRO ENGENHARIA Carlos Antonio Sanpietr

SOTA CONSULTORIA E PROJETOS SC LTDA André Lima Rodrigues Carlos Alberto Sotille

STS ENGENHARIA Sérgio T. Sobral

UFMG Silvério Visacro Filho

Armindo F. Cadihe

Carlos Magno Camargo

Ivo Eleutério Bonatti

J. Brito

José Mak

Paulo Jarussi


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Medição da resistividade e determinação da estratificação do solo

Earth resistivity measurements and soil stratification

Prefácio

A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) é o Foro Nacional de Normalização. As Normas Brasileiras, cujo conteúdo é de responsabilidade dos Comitês Brasileiros (ABNT/CB), dos Organismos de Normalização Setorial (ABNT/ONS) e das Comissões de Estudo Especiais (ABNT/CEE), são elaboradas por Comissões de Estudo (CE), formadas por representantes dos setores envolvidos, delas fazendo parte: produtores, consumidores e neutros (universidades, laboratórios e outros).

Os Documentos Técnicos ABNT são elaborados conforme as regras da Diretiva ABNT, Parte 2.

O Escopo desta Norma Brasileira em inglês é o seguinte:

Scope

This Standard establishes the requirements for resistivity measurements and bedding of the soil determination.


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1 Escopo

Esta Norma estabelece os requisitos para medição da resistividade e determinação da estratificação do solo.

2 Referências normativas

Os documentos relacionados a seguir são indispensáveis à aplicação deste documento. Para referências datadas, aplicam-se somente as edições citadas. Para referências não datadas, aplicam-se as edições mais recentes do referido documento (incluindo emendas).

ABNT NBR 5410:2004, Instalações elétricas de baixa tensão

ABNT NBR 5456, Eletricidade geral – Terminologia

ABNT NBR 5460, Sistemas elétricos de potência

ABNT NBR 14039, Instalações elétricas de média tensão de 1,0 KV a 36,2 kV

ABNT NBR 15749, Medição de resistência de aterramento e de potenciais na superfície do solo em sistemas de aterramento

ABNT NBR 15751, Sistema de aterramento de subestações – Requisitos

IEC 61010-1:2010, Safety requirements for electrical equipment for measurement, control, and laboratory use – Part 1: General requirements.

IEC 61557-1, Electrical safety in low voltage distribution system up to 1 000 V a.c. and 1 500 V d.c. – Equipment for testing, measuring or monitoring of protective measures – Pat 1: General requirements

3 Termos e definições

Para os efeitos deste documento, aplicam-se os termos e definições das ABNT NBR 5456, ABNT NBR 5460 e os seguintes.

3.1 aterramento ligação intencional de parte eletricamente condutiva à terra, através de um sistema de aterramento

3.2 condutor de aterramento condutor ou elemento metálico que faz a ligação elétrica entre a instalação que deve ser aterrada e o eletrodo de aterramento

3.3 corrente de interferência (no processo de medição de resistividade do solo) qualquer corrente estranha ao processo de medição capaz de influenciar seus resultados

3.4 eletrodo de aterramento condutor nu ou envolto em material parcialmente condutor (concreto e outros) enterrado no solo com função de dissipação de corrente


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3.5 eletrodo natural de aterramento elemento condutor ligado diretamente à terra cuja finalidade original não é de aterramento, mas que se comporta naturalmente como um eletrodo de aterramento

3.6 malha de aterramento conjunto de condutores, interligados e enterrados no solo

3.7 potenciais perigosos potenciais que podem provocar danos quando aplicados ao elemento tomado como referência

3.8 resistência de aterramento (de um eletrodo) resistência ôhmica entre o eletrodo de aterramento e o terra de referência

3.9 resistividade aparente do solo resistividade vista por um sistema de aterramento qualquer, em um solo com característica de resistividade homogênea ou estratificado em camadas, cujo valor é utilizado para o cálculo da resistência de aterramento desse sistema

3.10 resistividade elétrica do solo, resistência específica do solo ou, simplesmente, resistividade do solo resistência entre faces opostas do volume do solo, consistindo de um cubo homogêneo e isótropo cuja aresta mede uma unidade de comprimento

3.11 resistividade média do solo a uma dada profundidade valor de resistividade resultante da avaliação das condições locais e do tratamento estatístico dos resultados de diversas medições de resistividade do solo para aquela profundidade, efetuada numa determinada área ou local, e que possa ser considerado como representativo das características elétricas do solo

3.12 sistema de aterramento conjunto de todos os eletrodos e condutores de aterramento interligados entre si, assim como partes metálicas que atuem com a mesma função, tais como: pés de torre, armadura de fundações, estacas metálicas e outros

3.13 tensão de passo diferença de potencial entre dois pontos da superfície do solo, separados pela distância de um passo de uma pessoa, considerado igual a 1,0 m

3.14 tensão de toque diferença de potencial entre uma estrutura metálica aterrada e um ponto da superfície do solo, separado por uma distância horizontal equivalente ao alcance normal do braço de uma pessoa, e considerado igual a 1,0 m


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3.15 tensão máxima do sistema de aterramento tensão máxima que um sistema de aterramento pode atingir relativamente ao terra de referência, quando da ocorrência de injeção de corrente para o solo

3.16 terra de referência região do solo suficientemente afastada da zona de influência de um eletrodo ou sistema de aterramento, tal que a diferença de potencial entre dois quaisquer de seus pontos, devido à corrente que circula pelo eletrodo para a terra, seja desprezível. É uma superfície praticamente equipotencial que se considera como zero para referência de tensões elétricas

3.17 terra de referência para um eletrodo de aterramento (ou ponto remoto) região do solo suficientemente afastada da zona de influência de um eletrodo ou sistema de aterramento, tal que a diferença de potencial entre dois quaisquer de seus pontos, devido à corrente que circula pelo eletrodo para a terra, seja desprezível. É uma superfície praticamente eqüipotencial que se considera como zero para referência de tensões elétricas

4 Geral

4.1 Composição do solo

O solo é um meio geralmente heterogêneo, de modo que o valor de sua resistividade varia de local para local em função do tipo, nível de umidade, profundidade das camadas, idade de formação geológica, temperatura, salinidade e outros fatores naturais, sendo também afetado por fatores externos como contaminação e compactação. Exemplos de variação da resistividade em função de alguns destes parâmetros são mostrados na Tabela 1 e na Figura 1.

Tabela 1 — Valores típicos de resistividade de alguns tipos de solo

Tipos de solo Faixa de resistividades (Ω·m)

Água do mar menor do que 10

Alagadiço, limo, humus, lama até 150

Água destilada 300

Argila 300 – 5 000

Calcário 500 – 5 000

Areia 1 000 – 8 000

Granito 1 500 – 10 000

Basalto a partir de 10 000

Concretoa

Molhado: 20 – 100 Úmido: 300 – 1 000

Seco: 3 kΩ·m – 2 MΩ·m a A categoria molhado é típica de aplicação em ambientes externos. Valores inferiores a 50 Ω·m são considerados altamente


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corrosivos.

Figura 1 — Variações típicas de resistividade (ρρρρ) do solo

5 Condições específicas

5.1 Medição de resistividade do solo

5.1.1 Considerações gerais

A determinação dos valores das resistividades do solo e sua estratificação é de importância fundamental para o cálculo das características de um sistema de aterramento, subsidiando o desenvolvimento de projetos, bem como a determinação de seus potenciais de passo e toque.

Em geral, o solo é constituído por diversas camadas, cada uma apresentando um certo valor de resistividade e uma espessura própria.

5000

1000

500

100

50

ρ ρ ρ ρ (ΩΩΩΩm)

5000

1000

500

100

50

–25 –20 –15 –10 – 5 0 5 10 15 20 25 temperatura (°C)

5000

1000

500

100

50

5000

1000

500

100

50


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salinidade (%) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Umidade (%)



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O valor de resistividade do solo é determinado através de medições, cujos resultados recebem um tratamento matemático, de modo a se obter a estratificação do solo em camadas paralelas ou horizontais, de diferentes resistividades (ρ) e de espessuras (e) definidas, conforme Figura 2.

Legenda

ρ1, e1 Resistividade e espessura da camada de número 1




Figura 2 — Solo real (a) e solo estratificado (b)

Considerando-se, portanto, a heterogeneidade do solo, verificada pela variação de sua resistividade à medida em que suas camadas são pesquisadas, há necessidade de se procurar meios e métodos que determinem essas variações, sem que seja necessário lançar mão de prospecções geológicas, o que, decerto, inviabilizaria os estudos para implantação de sistemas de aterramento. Assim sendo, foram desenvolvidos métodos de prospecção geoelétricos que se caracterizam pela facilidade operacional e precisão fornecidas. A complexidade adicional causada pelos solos não uniformes é comum, e apenas em poucos casos a resistividade é constante com o aumento da profundidade, ou seja, homogênea.

Basicamente, os métodos que utilizam sondagem elétrica procuram determinar a distribuição vertical de resistividade, abaixo do ponto em estudo, resultando então em camadas horizontais, geralmente causadas por processos sedimentares.

Em função de pesquisas já realizadas pode-se dizer que metade da corrente injetada no solo, circula acima de uma profundidade igual à metade da distância entre eletrodos, e que grande parte da corrente flui acima da profundidade igual à separação entre eles. Para estas conclusões pressupõe-se a condição de solos homogêneos, não sendo as mesmas válidas para solos estratificados, nos quais a densidade de corrente varia de acordo com a distribuição de resistividades.

Os gradientes de potencial da superfície do solo, dentro ou adjacentes a um eletrodo, são principalmente uma função da resistividade da camada superficial do solo. Em contraste, a resistência do eletrodo de terra é primariamente uma função de suas dimensões e das resistividades das camadas mais profundas do solo, especialmente se o eletrodo for de grandes dimensões.

Estratificações oblíquas e verticais, derivadas de acidentes geológicos, não são objeto de estudo desta norma.

Dispondo-se de dois eletrodos de corrente pelos quais se faz circular uma corrente I, e de dois eletrodos de potencial que detectarão uma diferença de potencial V, pode-se mostrar que a resistividade do solo é proporcional a V/I, sendo o fator de proporcionalidade uma função do método empregado.


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5.1.2 Metodologia de medição

São os seguintes os métodos de medição:

Amostragem física do solo;

Método da variação de profundidade;

Método dos dois eletrodos;

Método dos quatro eletrodos, com os seguintes arranjos:

arranjo do eletrodo central

arranjo de Lee

arranjo de Wenner

arranjo Schlumberger – Palmer

5.1.2.1 Amostragem física do solo

A amostragem física do solo está descrita no Anexo E.

5.1.2.2 Método da variação de profundidade

Este método também conhecido como “método de três eletrodos” consiste de um ensaio de resistência de terra executado para várias profundidades (L) do eletrodo de ensaio de diâmetro (d). O valor da resistência medida (Rm) refletirá a variação da resistividade, relativa ao incremento de profundidade. Usualmente, o eletrodo de ensaio é uma haste pela facilidade da cravação desta no solo.

As medições citadas podem ser executadas usando um dos métodos para medição da resistência de aterramento, descritos na ABNT NBR 15749.

O método de variação de profundidade dá informação útil sobre a natureza do solo na vizinhança da haste. Contudo, se um grande volume de solo deve ser investigado, é preferível que se use o método dos quatros eletrodos, já que o cravamento de hastes longas não é prático.

Este método supõe que o aterramento a ser ensaiado é composto de uma haste de aterramento de comprimento L. O raio r da haste é pequeno ao se comparar com L. Os valores de resistividade obtidos com esse método são médios e não podem ser extrapolados.

A resistência de aterramento de uma haste enterrada em um solo uniforme, para fins práticos é dada pela equação:

−⋅

= )1)4

ln(2 r

L

LR

π

ρ (1)

Dependendo das aproximações usadas para cada comprimento L da haste, o valor R da resistência média determina o valor da resistividade aparente que, quando plotado em função de L, fornece uma ajuda visual para determinação da variação da resistividade do solo com a profundidade.


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5.1.2.3 Método dos dois eletrodos

O método dos dois eletrodos está descrito no Anexo D.

5.1.2.4 Método dos quatros eletrodos (geral)

É o método mais aplicado para medição da resistividade média de grandes volumes de terra. Pequenos eletrodos são cravados no solo a pequenas profundidades, alinhados e espaçados em intervalos não necessariamente iguais. A corrente de ensaio I é injetada entre os dois eletrodos externos e a diferença de potencial V é medida entre os dois eletrodos internos com um potenciômetro ou um voltímetro de alta impedância, conforme Figura 3. A resistividade é dada pela equação (2):

( ) ( )

×

+−

+−+

=I

V

dddddd 322131

1 11112π

ρ (2)

Legenda

I corrente entre os eletrodos de corrente C1 e C2

V diferença de tensão entre os eletrodos de potencial P1 e P2

d1 distância entre os eletrodos C1 e P1

d2 distância entre os eletrodos P1 e P2


b profundidade de cravação dos eletrodos

Figura 3 — Método dos quatro eletrodos (geral)

Algumas variações do método dos quatro eletrodos são apresentadas a seguir.

5.1.2.4.1 Arranjo do eletrodo central

O arranjo é recomendado para prospecção a grandes profundidades, ou em locais onde a resistividade é elevada. O eletrodo C2 é fixado no centro da área a ser medida, variando-se a posição de C1, P1 e P2, e obedecendo-se a condição: d3 muito maior que d1 e d2, conforme Figura 4. A resistividade para uma profundidade H (dada pela média aritmética das distâncias d1, d2 e d3) é obtida (admitindo-se erro de 1 %) pela equação (4):


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3321 ddd

H++

= (3)

Onde

( )( )

I

V

d

dddH ×

+××=

2

2112πρ (4)

Em particular, se d1 = d2:

I

Vd ×××= 14 πρ (5)

Legenda

I corrente

P1 e P2 eletrodos de potencial C1 e C2 eletrodos de corrente


d2 distância entre os eletrodos P1 e P2


ρ1 resistividade aparente da primeira camada

Figura 4 — Arranjo do eletrodo central

5.1.2.4.2 Arranjo de Lee (ou das cinco hastes)

É um arranjo que requer duas medidas por espaçamento e permite detectar variações nas espessuras das camadas do solo, conforme Figura 5.


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Legenda

I corrente

P1 e P2 terminais de potencial para as medições comparativas entre os eletrodos: A – B e B – C C1 e C2 eletrodos de corrente

a distância entre os eletrodos

Figura 5 — Arranjo de Lee (ou das 5 hastes)

1ª medição: I

4 ABa1a

V×= ρρ

2ª medição: I

4 BCa1a

V×= ρρ

Figura 6 — Solo com camadas sem variação de espessura


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Figura 7 — Solo com camadas de espessuras variáveis

5.1.2.4.3 Arranjo dos quatros pontos igualmente espaçados ou arranjo de Wenner

Neste arranjo os eletrodos são igualmente espaçados, como mostrado na Figura 8. C1 e C2 são os eletrodos de corrente. A tensão é medida entre os eletrodos P1 e P2 do arranjo. Sendo a a distância entre eletrodos adjacentes e b a profundidade de cravação destes, a resistividade em função de a e b é dada por:

2222 4

21

4

ba

a

ba

a

I

Va

+−

++

×××

=

π

ρ (6)


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Figura 8 — Arranjo de Wenner

Na prática são usados quatro eletrodos localizados em uma linha reta em intervalos a, enterrados a uma profundidade que não exceda 10 % de a. Quando b ≤ a/10, a equação se torna a equação (7):

×=

I

Vaπρ 2(a) (7)

Essa equação é aproximadamente a resistividade média do solo na profundidade a. Um conjunto de leituras tomadas com vários espaçamentos entre eletrodos, resulta em um conjunto de resistividades que, quando plotadas em função do espaçamento, indicam a variação da resistividade com a profundidade.

Os eletrodos do instrumento devem estar sempre firmes e com boa aderência ao solo; solos arenosos ou rochosos podem requerer adição de água ao redor do eletrodo para facilitar o contato elétrico.

Um conjunto de leituras, tomadas com vários espaçamentos entre hastes, resulta em um conjunto de resistividades que, quando plotadas em função do espaçamento, indica a variação da resistividade com a profundidade.

Por exemplo, se o espaçamento for de 4 m e os eletrodos forem cravados a 20 cm, a equação simplificada pode ser utilizada mas, se o espaçamento for de 1 m, ter-se-ia que cravar o eletrodo com menos de 10 cm, o que geralmente não é suficiente para ter um contato adequado com o solo.

O número mínimo de linhas de medição, os croquis recomendados para áreas com diversos tamanhos e formatos, bem como o procedimento de medição para o arranjo de Wenner, são apresentados no Anexo A.

5.1.2.4.4 Arranjo de Schlumberger

O arranjo de Schlumberger é uma disposição para o método dos 4 pontos onde o espaçamento central é mantido fixo (normalmente igual a 1,0 m), conforme Figura 9, enquanto os outros espaçamentos variam de forma uniforme. Daí, uma alta sensibilidade na medição dos potenciais é necessária, especialmente se a fonte do terrômetro é de baixa potência.

Ponto

centra

I I

a C1 C2 a a

b Ponto central

V P1 P2


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Figura 9 — Arranjo de Schlumberger

As curvas padrão para arranjo de Schlumberger em duas camadas são obtidas pela equação 8:

( ) ( ) ( ) ( )( )dxxvxuJxvxuJxKv

vuu,v +−−××

×

−×= ∫

∞

0002

22

1as 2ρρ (8)

onde,

ρas é a resistividade do arranjo de Schlumberger;

u é a metade do afastamento das hastes de potencial = (1,0)/2;

v é a metade do afastamento das hastes de corrente = (a + 1,0 + a)/2;

K(x) é a função kernel das camadas;

J0 (y) é a função de Bessel de primeira classe de ordem zero.

5.1.2.4.5 Arranjo Schlumberger – Palmer

Para medir resistividades com grandes espaçamentos, especialmente em terrenos de alta resistividade (da ordem de ou superior a 3 000 Ω×m), pode ser usado o arranjo mostrado na Figura 10, com os eletrodos de potencial situados muito próximos aos eletrodos de corrente correspondentes para melhorar a resolução da medida da tensão. Mesmo assim, os terrômetros convencionais, de baixa potência (com corrente compatível com a sensibilidade do aparelho), dificilmente operam de forma eficiente.

Legenda

A Amperímetro

V Voltímetro


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b Profundidade dos eletrodos

c Distância entre os eletrodos de potencial

d Distância entre os eletrodos de corrente e os eletrodos de potencial

Figura 10 — Arranjo Schlumberger – Palmer

Se a profundidade b do eletrodo é pequena comparada com as separações d e c então a resistividade medida pode ser calculada pela seguinte equação (9):

I

V

c

dcd×

+×=

)(πρ (9)

5.1.3 Procedimentos da medição

5.1.3.1 Número e localização das linhas de medição

Uma medição é definida como o conjunto de leituras obtidas em uma mesma direção de cravamento e diversos espaçamentos entre hastes, conforme 5.1.2.4.

A localização dos pontos e das direções das medições dependem da geometria da área e das características locais. O número mínimo de linhas de medição bem como os croquis recomendados para medições em áreas retangulares são apresentados na Tabela 2.

Tabela 2 — Área do terreno e número mínimo de linhas de medição

Área do terreno (m2)

Número mínimo de linhas de medição

Croquis para as linhas de medição

S ≤ 1 000 1 000 < S ≤ 2 000 2 000 < S ≤ 5 000 5 000 < S ≤ 10 000

10 000 < S ≤ 20 000

2 3 4 5 6

Figura 11-(a) Figura 11-(b) Figura 11-(c) Figura 11-(d) Figura 11-(e)


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NOTA Para medições em áreas acima de 20 000 m2 recomenda-se dividir o terreno remanescente em áreas de até 10 000 m2, acrescentando-se linhas de medição equivalentes às descritas na tabela adicional. Assim, para uma área de 25 000 m2 executa-se (6 + 4) = 10 linhas de medição.

Legenda

A,B,C,D,E,F Linhas de medição

Figura 11 — Croquis para medições de resistividade

Além da área, outros aspectos devem ser observados na determinação do número de medições, ressaltando-se:

As variações nas características do solo local, devendo-se medir separadamente a resistividade nos diferentes tipos de terreno existentes;

A=B

A

B C D

AB C

AC

B D

E

Figura 16 - (a) Figura 16 - (b)

Figura 16 - (c) Figura 16 - (d)

A=B D

E

C

F

Figura 16 - (e)

(d)

(a) (b)

(e)

(c)


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As variações entre os resultados obtidos nas diversas linhas de medição para uma mesma distância entre eletrodos; quanto maior a discrepância entre os resultados, maior deve ser o número de linhas de medição.

5.1.3.2 Condições mínimas a serem observadas

Deve ser considerada a variação sazonal da resistividade do solo, devendo ser realizada uma medição no período mais crítico;

De maneira geral, a situação mais crítica é a de solo seco, que ocorre após um período de 7 dias sem chuvas. Esse período deve ser observado sempre para comprovação da situação mais crítica, caso seja necessária;

Para estimativa de projeto ou casos especiais podem ser efetuadas medições com o solo na situação que não seja a mais crítica. Uma medição posterior é necessária, caso acordado entre as partes;

Em áreas onde seja necessário corrigir o nível do terreno, pelo menos uma das medições deverá ser realizada após a conclusão da terraplenagem;

Pontos de uma mesma área em que sejam obtidos valores de resistividade com desvio superior a 50 % em relação ao valor médio das medições realizadas podem vir a caracterizar uma sub-área específica, devendo ser realizadas medições complementares ao seu redor, para ratificação do resultado; se isso não for possível, considerar a conveniência de descartar a linha de medição;

No caso de medições de resistividade próximas a malhas existentes, objetos condutores enterrados ou cercas aterradas, deve-se afastar a linha de medição a uma distância onde as interferências sejam reduzidas e utilizar instrumentos que possuam filtros que separem os resultados do sinal injetado para evitar ou atenuar os efeitos da proximidade com circuitos energizados;

Para projetos de linhas de transmissão devem ser realizadas duas medições em direções ortogonais nos pontos escolhidos, preferencialmente no sentido longitudinal ao encaminhamento da linha de transmissão e outra perpendicular, que devem coincidir com a localização das estruturas;

Cada linha de medição deve possuir no mínimo 5 medidas com distâncias diferentes entre eletrodos;

A linha de medição deve ser prospectada a partir de uma distância entre eletrodos de 1 m e prosseguir, se possível, em potência de 2, a saber: 1; 2; 4; 8; 16... m. Podem ser utilizadas distâncias entre eletrodos intermediárias.

Condições diferentes das acima indicadas só podem ser definidas sob justificativas técnicas e após expressa concordância entre os agentes envolvidos, observadas as condições específicas do local.

Na execução das medições deve-se anotar todas as características locais e os resultados obtidos em planilhas como a apresentada no Anexo B.

5.1.4 Instrumentos de medição

As características de instrumentos de medição estão descritas no Anexo C.

5.1.5 Cuidados na medição

Durante a medição de resistividade deve-se tomar alguns cuidados como:


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não fazer medições sob condições atmosféricas adversas, tendo-se em vista a possibilidade de ocorrência de descargas atmosféricas;

utilizar Equipamentos de Proteção Individual (EPI’s) compatíveis com o tipo e o local da medição a ser realizada;

evitar que pessoas estranhas e animais se aproximem do local;

não tocar nos eletrodos durante a medição.

5.1.6 Interpretação das medidas

A interpretação dos resultados obtidos no campo é a parte mais crítica do processo de medição e, conseqüentemente, necessita maiores cuidados na sua validação. Como já mencionado, a variação da resistividade do solo pode ser grande e complexa por causa da sua heterogeneidade. Exceto para alguns casos é essencial estabelecer uma equivalência simples para a estrutura do solo. Esta equivalência depende:

da exatidão e extensão das medições;

do método usado;

da complexidade matemática envolvida;

da finalidade das medições.

Para a maioria das aplicações, o modelo da redução a duas camadas equivalentes é adequado, dispensando detalhamento matemático mais complexo.

5.1.6.1 Método dos quatro eletrodos

A interpretação do método dos quatro eletrodos é similar àquela do método de profundidade já descrito. No caso do arranjo de Wenner, a resistividade medida é registrada em função do espaçamento a do eletrodo. A curva resultante indica a estrutura do solo. A interpretação da curva obtida pode indicar desvios nas medições ou necessidade de informação adicional sobre o solo, inclusive de medições em profundidades adicionais.

5.2 Modelagem matemática do solo para duas camadas

5.2.1 Modelagem convencional

Dependendo da finalidade da medição da resistividade do solo, um modelo equivalente de duas camadas pode vir a ser eficaz em termos de resultados. Neste modelo o solo é caracterizado pelos seguintes parâmetros:

espessura da primeira camada, h;

resistividade da primeira camada, ρ1;

resistividade da camada mais profunda, ρ2;

coeficiente de reflexão k.


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A determinação da resistividade usando o arranjo de Wenner resulta em uma resistividade equivalente que é função da separação de eletrodos a. A resistividade equivalente é mostrada pela equação (10): (ver Figura 12).

+

−

+

+= ∑∞

−1 221(a)

2421

41n

nn

a

hn

k

a

hn

kρρ (10)

onde o coeficiente de reflexão k é dado por:

12

12

ρρ

ρρ

+

−=k (11)

Figura 12 — Solo estratificado em duas camadas

5.2.2 Método semiesférico

O método semiesférico pode ser empregado para avaliar a resistividade aparente em malhas de aterramento situadas em estratificações horizontais e com componentes verticais (beira de rios em malhas de usinas, por exemplo).

Este método considera uma malha de terra com raio equivalente r instalada na superfície de uma calota semi-esférica (Figura 13) de solo estratificado em duas camadas radiais, com resistividade inicial ρ1, de espessura d, e resistividade da segunda camada ρ2. Ver Figura 13.


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Figura 13 — Solo modelado em duas camadas semi-esféricas

A resistividade aparente ρa é usualmente definida considerando:

d é a espessura da primeira camada, de resistividade superficial, ρ1;

a é o raio da semi-esfera da malha de aterramento;

b é a distância do centro da malha até a interface entre ρ1 e ρ2;

r é o raio do círculo de área igual à da malha de aterramento (r = 2a).

Como d = b − a, chega-se à expressão:

a

d 21

11 1

2

1

2

+

−

+=ρ

ρ

ρ

ρ (12)

A partir desta expressão, para diversas condições de r/d e ρ2/ρ1 são construídas as curvas da Figura 14.

Com o valor r/d, intercepta-se (ou interpola-se) a curva correspondente de ρ2/ρ1 e desta forma obtém-se o valor de ρa/ρ1. O produto deste valor com ρ1 fornecerá ρa.

Neste modelo, a camada de resistividade mais elevada mantém maior influência na resistividade aparente, para quaisquer valores de r/d.

ρ1

ρ2

a b d


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0,01

0,1

1

10

100

0,01 0,1 1 10 100

r/d

ρρρρ2/ρρρρ1

50

0,2

0,1

0,05

0,02

0,01

0,5

20

10

5

2

1

100

ρρρρa/ρρρρ1

Figura 14 — Curvas utilizadas pelo método semi-esférico

6 Estratificação do solo

6.1 Métodos gráficos

Os métodos gráficos normalmente adotados são apresentados no Anexo A.

O método simplificado, detalhado em A.1, é aplicado a solos de duas camadas.

O método das curvas padrão e auxiliar, detalhado em A.2, aplica-se a solos de duas ou mais camadas.

O método da queda de potencial é recomendado para medição de resistência de aterramento através de equipamento específico (terrômetro).

As curvas padrão, conforme Sunde, para o arranjo de Wenner (aw) em duas camadas obedecem a equação (13):


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( ) ( ) ( ) ( )( )dxaxJaxJxKaaaw ××−××××= ∫∞

22 0001ρρ (13)

onde

ρaw é a resistividade medida;

a é o espaçamento;

ρ1 é a resistividade da primeira camada;

K(x) é a função kernel das camadas;

J0(y) é a função de Bessel de primeira classe de ordem zero;

x é a variável de integração.

A função K(x), para as curvas padrão em solos de duas camadas, é dada por:

hx

hx

ek

ekxK

⋅⋅−

⋅⋅−

⋅−

⋅+=

2

2

11

)( (14)

onde k é o coeficiente de reflexão entre as resistividades das camadas 1 e 2 obtido pela equação 11 e h é a espessura da primeira camada.

Para solos com mais de duas camadas é necessária a utilização de curvas auxiliares.

Exemplos de aplicação são apresentados no Anexo B.

6.2 Métodos computacionais

A solução das equações 13 e 14 pode ser uma tarefa complexa, o que motiva o desenvolvimento de métodos computacionais para a estratificação de solos.

Os softwares existentes estratificam o solo em camadas e são adequados à grande maioria dos casos. No entanto, a utilização de programas computacionais não exime o projetista da interpretação física dos resultados para verificar a aplicabilidade da modelagem obtida do solo.

A parte contratual que recebe as medições e as estratificações do solo pode especificar limites ou condições que venham a comprovar as interpretações físicas dadas à modelagem obtida.

Casos especiais merecem cuidados adicionais de interpretação.

6.3 Exemplos de curvas de resistividade e quantidades de camadas do solo

O número de camadas de uma estratificação é, matematicamente:

Ncam = 1 + Npi

Onde Npi é o número de pontos de inflexão da curva; assim, um solo homogêneo tem como curva uma reta, um solo de duas camadas tem uma curva com um ponto de inflexão etc., ou, visto de outra forma, uma curva com um ponto de inflexão significa um solo de duas camadas.


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Solo homogêneo

Com 2 camadas

Com 3 camadas

Com 4 camadas

Legenda

ρ Resistividade a Distância entre eletrodos

Figura 15 — Exemplos típicos de curvas para diversas estratificações


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Anexo A (normativo)

Métodos gráficos de estratificação do solo

A.1 Métodos gráficos

O solo é formado por diversas camadas cujo perfil pode ser: horizontal; paralelo à superfície, inclinado e até vertical, devido à formação geológica. A estratificação é a determinação destas camadas pelas suas resistividades e respectivas profundidades. Os métodos de estratificação apresentados nesta Norma consideram as camadas aproximadamente horizontais.

São os seguintes os principais métodos:

método simplificado;

método gráfico de curvas padrão e auxiliar;

método de Pirson;

2º método de Tagg.

A.1.1 Método simplificado

Este método é apropriado para solos de duas camadas. A curva ρ = f(a) deve ter uma das formas típicas indicadas na Figura A.1.

Figura A.1 – Curvas típicas de solos de duas camadas

Determinam-se as resistividades e profundidades das camadas através da seguinte rotina: (ver Figura A.2).

prolongar a curva ρ×a até interceptar o eixo das ordenadas, o qual indica o valor da resistividade da camada superior do solo (ρ1);


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traçar a assíntota à curva ρ×a e prolongá-la até o eixo das ordenadas, indicando o valor da resistividade da camada inferior do solo (ρ2);

através da relação ρ2/ρ1 determinar o valor de Mo na tabela abaixo;

calcular ρm = Mo×ρ1;

na curva ρ×a localiza-se ρm para obter o valor da camada superior do solo, h.

O exemplo abaixo é para ρ2/ρ1 = 4. A Tabela A.1 fornece Mo = 1, 26. Então, da Figura A.2 obtem-se:

ρm = 1,26×ρ1 → h ≈ 2,7 m

Figura A.2 – Curva ρρρρ×a


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Tabela A.1 – Mo em função de ρρρρ2/ρρρρ1

ρρρρ2/ρρρρ1 Mo ρρρρ2/ρρρρ1 Mo ρρρρ2/ρρρρ1 Mo

0,001 0,684 0,70 0,936 14,5 1,413

0,002 0,684 0,75 0,948 15,0 1,416

0,003 0,685 0,80 0,959 15,5 1,418

0,003 0,685 0,85 0,970 16,0 1,421

0,004 0,686 0,90 0,981 16,5 1,423

0,005 0,686 0,95 0,990 17,0 1,425

0,005 0,686 1,0 1,000 17,5 1,427

0,006 0,687 1,5 1,078 18,0 1,429

0,007 0,687 2,0 1,134 18,5 1,430

0,008 0,688 2,5 1,177 19 1,432

0,009 0,688 3,0 1,210 20 1,435

0,010 0,689 3,5 1,237 30 1,456

0,015 0,691 4,0 1,260 40 1,467

0,02 0,694 4,5 1,278 50 1,474

0,03 0,699 5,0 1,294 60 1,479

0,04 0,704 5,5 1,308 70 1,482

0,05 0,710 6,0 1,320 80 1,484

0,06 0,715 6,5 1,331 90 1,486

0,07 0,720 7,0 1,334 100 1,488

0,08 0,724 7,5 1,349 110 1,489

0,09 0,729 8,0 1,356 120 1,490

0,10 0,734 8,5 1,363 130 1,491

0,15 0,757 9,0 1,369 140 1,492

0,20 0,778 9,5 1,375 150 1,493

0,25 0,798 10,0 1,380 160 1,494

0,30 0,817 10,5 1,385 180 1,495

0,35 0,835 11,0 1,390 200 1,496

0,40 0,852 11,5 1,394 240 1,497

0,45 0,868 12,0 1,398 280 1,498

0,50 0,883 12,5 1,401 350 1,499

0,55 0,897 13,0 1,404 450 1,500

0,60 0,911 13,5 1,408 640 1,501

0,65 0,924 14,0 1,410 1 000 1,501


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A.1.2 Método gráfico de curvas padrão e auxiliar

A estratificação do solo parte de equações matemáticas, desenvolvidas pelas transformadas de Laplace e aplicação da equação de Bessel. Para maior praticidade deve-se utilizar as curvas de Hummel: “curvas-padrão”, (ver Figura A.3) e “Curvas Auxiliares”, (ver Figura A.4) que foram montadas de forma a determinar a resistividade e profundidade das camadas do solo, como descrito a seguir:

traçar a curva ρ×a, em papel transparente (A5), com escala bilogarítmica de módulo idêntico ao das curvas-padrão e auxiliares;

dividir a curva ρ×a em trechos ascendentes e descendentes;

colocar a curva ρ×a sobre as curvas padrão e pesquisar a que mais se identifica com o primeiro trecho da curva ρ×a, mantendo-se os eixos paralelos;

marcar a origem das curvas padrão no gráfico ρ×a, chamando este ponto de pólo 01 e anotar a relação ρ2/ρ1;

na curva ρ×a são lidas as coordenadas do pólo 01, que representam a profundidade , em a1 e a resistividade da primeira camada do solo (ρ1);

obtém-se a resistividade da segunda camada (ρ2) pela relação (ρ2/ρ1);

a seguir colocar o pólo 01 da curva ρ×a sobre a origem das curvas auxiliares e tracejar a curva auxiliar de relação ρ2/ρ1;

voltar às curvas-padrão mantendo sua origem sob a curva tracejada, até identificar uma outra curva-padrão para o segundo trecho da curva ρ×a, mantendo-se os eixos paralelos;

marcar a origem das curvas-padrão no gráfico ρ×a, chamando este ponto de pólo 02 e anotar a relação ρ3/ρ’2;

na curva ρ×a são lidas as coordenadas do pólo 02, que representam a profundidade a2 e a resistividade ρ’2

obtém-se a resistividade da terceira camada (ρ3) pela relação: ρ3/ρ’2;

havendo mais trechos ascendentes e/ou descendentes, prossegue-se analogamente, obtendo-se os demais pólos 03, 04 e outros.


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Figura A.3 – Curvas-padrão

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100

109

8

7

6

5

4

3

2

1,5

10,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,15

0,1

10

9 8

7

6

5

4

3 2,5

2

1,5

1 1/1,5

1/2

1/2,5 1/3

1/4

1/5

1/6

1/7 1/8

1/10

ρρρρ2/ρρρρ1 = ∞ 50 20 15

0 1/15

ρρρρ2/ρρρρ1

a/d1


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Figura A.4 – Curvas auxiliares

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100

109

8

7

6

5

4

3

2

1,5

10,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,15

0,1

ρρρρ2/ρρρρ1 = ∞ 50 20 15

10

8

7

6

5 4

3 2,5

2

1,5

1

1/1,5

1/2

1/2,5

1/3

1/4

1/5

1/6

1/7

1/8

1/10

1/20 1/15

ρρρρ2/ρρρρ1

d2/d1


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Figura A.5 – Curvas em papel transparente


SET 2011


A estratificação pode ser resumida para maior clareza conforme a Figura A.6.

Legenda

ρ1 Resistividade da primeira camada d1 Espessura da primeira camada

ρ2 Resistividade da segunda camada d2 Espessura da segunda camada

ρA Resistividade da camada A dA Espessura da camada A

ρA+1 Resistividade da camada A+1 ∞ Infinito a1 Profundidade até a segunda camada a2 Profundidade até a terceira camada

aA Profundidade até a camada A + 1

Figura A.6 – Estratificação do solo em n camadas

A.1.3 Método de Pirson

A partir da curva de resistividade ρ×a, construída conforme mostrado na Figura A.2 conforme o descrito a seguir:

A.1.3.1 A resistividade da primeira camada, ρ1, é determinada através de uma série de medições com pequenos espaçamentos de eletrodos (entre 1,5 m e 6,0 m), prolongando a curva média dos resultados obtidos até encontrar o eixo das resistividades. A interseção da curva no eixo determina o valor de ρ1.

A.1.3.2 Supor um valor de a1, contido na primeira parte da curva ρ×a, determinando sua respectiva resistividade ρ(a1). “As partes das curvas são definidas como trechos entre dois pontos de inflexão da curva ρ×a dada”.

02

2 =

da

d ρ

A.1.3.3 Uma vez escolhido a, e conseqüentemente determinado o valor de ρ(a1) estabelecer a seguinte relação:

( ) ( )1111 aa ρρρρ =′ , se a curva for ascendente (k > 0) e

( ) ( ) 1111 ρρρρ aa =′ , se a curva for descendente (k < 0).


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A.1.3.4 A partir da relação definida anteriormente, extrair das Tabelas A.2 ou A.3 a série de valores de a/a1, dada em função da série de valores de k.

Tabela A.2 – Valores de ρρρρ(an)/ρρρρ’n para k negativo

a/a1 Valores de k negativo

−−−− 0,100 0 −−−− 0,200 0 −−−− 0,300 0 −−−− 0,400 0 −−−− 0,500 0 −−−− 0,600 0 −−−− 0,700 0 −−−− 0,800 0 −−−− 0,900 0 −−−− 1,000 0

0,000 0 0,818 2 0,666 7 0.538 5 0,423 6 0,333 3 0,250 0 0,175 5 0,111 1 0,052 5 0,000 0 0,025 0 0,818 5 0,667 1 0,538 9 0,429 0 0,333 7 0,250 3 0,179 7 0,111 2 0,052 7 0,000 0 0,050 0 0,819 4 0,668 3 0,540 2 0,430 1 0,334 7 0,251 0 0,177 2 0,111 6 0,052 9 0,000 0 0,075 0 0,820 8 0,670 4 0,542 3 0,432 1 0,336 3 0,252 4 0,178 2 0,112 2 0,053 2 0,000 0 0,100 0 0,822 9 0,673 3 0,545 4 0,435 0 0,338 8 0,254 4 0,179 7 0,113 2 0,053 6 0,000 0 0,125 0 0,825 5 0,677 1 0,549 6 0,439 0 0,342 3 0,257 2 0,181 8 0,114 6 0,054 3 0,000 1 0,150 0 0,828 7 0,681 9 0,554 8 0,444 1 0,346 9 0,261 0 0,184 7 0,116 6 0,055 4 0,000 3 0,175 0 0,832 4 0,687 6 0,561 3 0,450 7 0,353 0 0,266 3 0,189 0 0,119 8 0,057 5 0,001 2 0,200 0 0,836 6 0,694 1 0,569 1 0,458 7 0,360 7 0,273 3 0,195 0 0,124 6 0,061 0 0,003 4 0,225 0 0,841 2 0,701 5 0,578 1 0,468 3 0,370 3 0,282 3 0,203 1 0,131 6 0,066 7 0,007 7 0,250 0 0,846 1 0,709 7 0,588 2 0,479 4 0,381 7 0,293 5 0,213 6 0,141 1 0,075 0 0,014 7 0,275 0 0,851 2 0,718 4 0,599 3 0,492 0 0,394 9 0,306 8 0,226 5 0,153 3 0,086 2 0,024 7 0,300 0 0,856 6 0,727 7 0,611 3 0,505 7 0,409 7 0,322 1 0,241 8 0,168 1 0,100 4 0,037 9 0,325 0 0,862 1 0,737 3 0,623 9 0,520 6 0,426 0 0,339 1 0,259 2 0,185 5 0,117 4 0,054 2 0,350 0 0,867 6 0,747 2 0,637 1 0,536 2 0,443 3 0,357 7 0,278 5 0,205 1 0,137 0 0,073 5 0,375 0 0,873 2 0,757 1 0,650 6 0,552 4 0,461 6 0,377 5 0,299 4 0,226 7 0,158 8 0,095 4 0,400 0 0,878 7 0,767 1 0,664 2 0,569 0 0,480 5 0,398 2 0,321 5 0,249 7 0,182 5 0,119 4 0,425 0 0,884 1 0,777 1 0,677 9 0,585 8 0,499 9 0,419 6 0,344 4 0,273 9 0,207 6 0,145 2 0,450 0 0,889 4 0,786 9 0,691 6 0,602 6 0,519 4 0,441 3 0,368 0 0,298 9 0,233 8 0,172 3 0,475 0 0,894 6 0,796 5 0,705 0 0,619 3 0,538 8 0,463 2 0,391 8 0,324 5 0,260 7 0,200 3 0,500 0 0,899 6 0,805 9 0,718 2 0,635 8 0,558 2 0,485 0 0,415 8 0,350 2 0,288 1 0,229 0 0,525 0 0,904 5 0,815 0 0,731 0 0,651 9 0,577 2 0,506 5 0,439 5 0,376 0 0,315 5 0,257 9 0,550 0 0,909 2 0,823 8 0,743 5 0,667 6 0,595 8 0,527 7 0,463 0 0,401 5 0,342 8 0,286 8 0,575 0 0,913 6 0,832 3 0,755 5 0,682 9 0,613 9 0,548 4 0,486 1 0,426 6 0,369 8 0,315 5 0,600 0 0,917 9 0,840 4 0,767 1 0,697 6 0,631 5 0,568 6 0,508 6 0,451 2 0,396 3 0,343 7 0,625 0 0,922 0 0,848 2 0,778 3 0,711 8 0,648 5 0,588 1 0,530 4 0,475 2 0,422 2 0,371 4 0,650 0 0,925 9 0,855 7 0,789 0 0,725 5 0,664 9 0,607 0 0,551 6 0,498 4 0,447 4 0,398 4 0,675 0 0,929 6 0,863 8 0,799 2 0,738 5 0,680 6 0,625 1 0,572 0 0,520 9 0,471 8 0,424 6 0,700 0 0,933 1 0,869 5 0,808 9 0,751 0 0,695 7 0,642 6 0,591 6 0,542 6 0,495 4 0,449 9 0,725 0 0,936 5 0,876 0 0,818 2 0,763 0 0,710 1 0,659 3 0,610 4 0,563 4 0,518 1 0,474 4 0,750 0 0,939 6 0,882 1 0,827 0 0,774 3 0,723 8 0,675 2 0,628 5 0,583 4 0,539 9 0,497 9 0,775 0 0,942 6 0,887 8 0,835 4 0,785 2 0,736 9 0,690 4 0,645 7 0,602 5 0,560 8 0,520 5 0,800 0 0,945 5 0,893 3 0,843 4 0,795 5 0,745 4 0,705 0 0,662 2 0,620 8 0,580 9 0,542 1 0,825 0 0,948 1 0,898 5 0,850 9 0,805 2 0,761 2 0,718 8 0,677 9 0,638 3 0,600 0 0,562 9 0,850 0 0,950 7 0,903 5 0,858 1 0,814 5 0,772 5 0,732 0 0,692 8 0,654 9 0,618 2 0,582 6 0,875 0 0,953 1 0,908 1 0,864 9 0,823 3 0,783 2 0,744 5 0,707 0 0,670 8 0,635 6 0,601 6 0,900 0 0,955 4 0,912 5 0,871 3 0,831 7 0,793 4 0,756 4 0,720 5 0,685 9 0,652 2 0,619 5 0,925 0 0,957 5 0,916 7 0,877 4 0,839 6 0,803 0 0,767 6 0,733 4 0,700 2 0,668 0 0,636 7 0,950 0 0,959 5 0,920 7 0,883 2 0,847 1 0,812 1 0,778 3 0,745 6 0,713 8 0,683 0 0,653 0 0,975 0 0,961 5 0,924 4 0,888 7 0,854 2 0,820 8 0,788 5 0,757 2 0,726 8 0,697 3 0,668 5 1,000 0 0,963 3 0,927 9 0,893 8 0,860 9 0,829 0 0,798 1 0,768 2 0,739 1 0,710 8 0,683 3 1,025 0 0,965 0 0,931 3 0,898 7 0,867 3 0,836 8 0,807 3 0,778 6 0,750 8 0,723 7 0,697 3 1,050 0 0,966 6 0,934 4 0,903 3 0,873 3 0,844 2 0,815 9 0,788 5 0,761 9 0,735 9 0,710 7 1,075 0 0,968 1 0,937 4 0,907 7 0,879 0 0,851 2 0,824 2 0,797 9 0,772 4 0,747 6 0,723 4 1,100 0 0,969 6 0,940 2 0,911 9 0,884 4 0,857 8 0,832 0 0,806 8 0,782 4 0,758 6 0,735 4 1,125 0 0,971 0 0,942 9 0,915 8 0,889 6 0,864 1 0,839 4 0,815 3 0,791 9 0,769 1 0,746 8 1,150 0 0,972 3 0,945 5 0,919 5 0,894 4 0,870 0 0,846 4 0,823 3 0,800 9 0,779 0 0,757 7 1,175 0 0,973 5 0,947 9 0,923 1 0,899 0 0,875 7 0,853 0 0,830 9 0,809 5 0,788 5 0,768 1 1,200 0 0,974 6 0,950 1 0,926 4 0,903 4 0,881 0 0,859 3 0,838 2 0,817 6 0,797 5 0,777 9


SET 2011


Tabela A.2 (continuação)

a/a1 Valores de k negativo

−−−− 0,100 0 −−−− 0,200 0 −−−− 0,300 0 −−−− 0,400 0 −−−− 0,500 0 −−−− 0,600 0 −−−− 0,700 0 −−−− 0,800 0 −−−− 0,900 0 −−−− 1,000 0

1,225 0 0,975 7 0,952 3 0,929 6 0,907 5 0,886 1 0,865 3 0,845 0 0,825 3 0,806 0 0,787 2 1,250 0 0,976 8 0,954 3 0,932 6 0,911 5 0,891 0 0,871 0 0,851 6 0,832 6 0,814 1 0,796 0 1,275 0 0,977 8 0,956 3 0,935 4 0,915 2 0,895 5 0,876 4 0,857 7 0,839 6 0,821 8 0,804 5 1,300 0 0,978 7 0,958 1 0,938 1 0,918 7 0,899 9 0,881 5 0,863 6 0,846 2 0,829 1 0,812 5 1,325 0 0,979 6 0,959 9 0,940 7 0,922 1 0,904 0 0,886 4 0,869 2 0,852 5 0,836 1 0,820 1 1,350 0 0,980 4 0,961 5 0,943 1 0,925 3 0,907 9 0,891 0 0,874 5 0,858 4 0,842 7 0,827 3 1,375 0 0,981 2 0,963 1 0,945 5 0,928 3 0,911 7 0,895 4 0,879 6 0,864 1 0,849 0 0,834 2 1,400 0 0,982 0 0,964 6 0,947 7 0,931 2 0,915 2 0,899 6 0,884 4 0,869 5 0,855 0 0,840 8 1,425 0 0,982 7 0,966 0 0,949 7 0,933 9 0,918 6 0,903 6 0,888 9 0,874 7 0,860 7 0,847 0 1,450 0 0,983 4 0,967 3 0,951 7 0,936 5 0,921 8 0,907 4 0,893 3 0,879 5 0,866 1 0,853 0 1,475 0 0,984 1 0,968 6 0,953 6 0,939 0 0,924 8 0,911 0 0,897 4 0,884 2 0,871 3 0,858 7 1,500 0 0,984 7 0,969 8 0,955 4 0,941 4 0,927 7 0,914 4 0,901 4 0,888 6 0,876 2 0,864 0 1,525 0 0,985 3 0,971 0 0,957 1 0,943 6 0,930 5 0,917 6 0,905 1 0,892 9 0,880 9 0,869 2 1,550 0 0,985 8 0,972 1 0,958 8 0,945 8 0,933 1 0,920 8 0,908 7 0,896 9 0,885 4 0,874 1 1,575 0 0,986 4 0,973 2 0,960 3 0,947 8 0,935 6 0,923 7 0,912 1 0,900 7 0,889 6 0,878 7 1,600 0 0,986 9 0,974 2 0,961 8 0,949 8 0,938 0 0,926 6 0,915 4 0,904 4 0,893 7 0,883 2 1,625 0 0,987 4 0,975 1 0,963 2 0,951 6 0,940 3 0,929 3 0,918 5 0,907 9 0,897 6 0,887 5 1,650 0 0,987 8 0,976 0 0,964 6 0,953 4 0,942 5 0,931 8 0,921 4 0,911 2 0,901 3 0,891 5 1,675 0 0,988 3 0,976 9 0,965 8 0,955 1 0,944 5 0,934 3 0,924 2 0,914 4 0,904 8 0,895 4 1,700 0 0,988 7 0,977 7 0,967 1 0,956 7 0,946 5 0,936 6 0,926 9 0,917 5 0,908 2 0,899 1 1,725 0 0,989 1 0,978 5 0,968 2 0,958 2 0,948 4 0,938 9 0,929 5 0,920 4 0,911 4 0,902 7 1,750 0 0,989 5 0,979 3 0,969 4 0,959 7 0,950 2 0,941 0 0,932 0 0,923 2 0,914 5 0,906 1 1,775 0 0,989 9 0,980 0 0,970 4 0,961 1 0,952 0 0,943 1 0,934 3 0,925 8 0,917 5 0,909 3 1,800 0 0,990 2 0,980 7 0,971 5 0,962 4 0,953 6 0,945 0 0,936 6 0,928 4 0,920 3 0,912 4 1,825 0 0,990 6 0,981 4 0,972 4 0,963 7 0,955 2 0,946 9 0,938 8 0,930 8 0,923 0 0,915 4 1,850 0 0,990 9 0,982 0 0,973 4 0,964 8 0,956 7 0,948 7 0,940 8 0,933 2 0,925 6 0,918 2 1,875 0 0,991 2 0,982 6 0,974 3 0,965 1 0,958 2 0,950 4 0,942 8 0,935 4 0,928 1 0,920 9 1,900 0 0,991 5 0,983 2 0,975 1 0,967 2 0,959 6 0,952 1 0,944 7 0,937 5 0,930 5 0,923 6 1,925 0 0,991 8 0,983 7 0,975 9 0,963 3 0,960 9 0,953 6 0,946 5 0,939 6 0,932 7 0,926 1 1,950 0 0,992 0 0,984 3 0,976 7 0,969 4 0,962 2 0,955 1 0,948 2 0,941 5 0,934 9 0,928 5 1,975 0 0,992 3 0,984 8 0,977 5 0,970 4 0,963 4 0,956 6 0,949 9 0,943 4 0,937 0 0,930 7 2,000 0 0,992 5 0,985 3 0,978 2 0,971 3 0,964 6 0,958 0 0,951 5 0,945 2 0,939 0 0,932 9

Tabela A.3 – Valores de ρρρρ(an)/ρρρρ’n para k positivo

a/a1 Valores de k positivos

0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0

0,000 0 0,818 2 0,666 7 0,538 5 0,423 6 0,333 3 0,250 0 0,175 5 0,111 1 0,052 5 0,000 0 0,025 0 0,818 6 0,667 6 0,539 9 0,430 6 0,336 1 0,253 8 0,181 8 0,118 8 0,064 3 0,018 1 0,050 0 0,818 9 0,670 2 0,543 9 0,436 3 0,343 6 0,263 4 0,193 9 0,133 6 0,081 8 0,036 1 0,075 0 0,822 0 0,674 4 0,550 2 0,444 6 0,354 2 0,276 2 0,208 8 0,150 6 0,100 0 0,054 2 0,100 0 0,824 8 0,679 8 0,558 1 0,454 9 0,366 6 0,290 7 0,225 1 0,168 2 0,118 4 0,072 3 0,125 0 0,686 2 0,567 2 0,466 5 0,380 4 0,306 3 0,242 1 0,186 1 0,136 7 0,090 3 0,150 0 0,832 1 0,693 5 0,577 3 0,479 0 0,394 9 0,322 4 0,259 4 0,204 2 0,155 0 0,108 4 0,175 0 0,836 5 0,701 4 0,588 1 0,492 1 0,409 9 0,338 8 0,276 9 0,222 2 0,173 2 0,126 5 0,200 0 0,841 2 0,709 7 0,599 4 0,505 7 0,425 2 0,355 5 0,294 4 0,240 3 0,191 4 0,144 5 0,225 0 0,846 1 0,708 5 0,611 1 0,519 6 0,440 8 0,372 3 0,312 0 0,258 4 0,209 6 0,162 6 0,250 0 0,851 2 0,727 4 0,623 0 0,533 7 0,456 5 0,389 1 0,329 6 0,276 4 0,227 7 0,180 7


SET 2011




0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0

0,275 0 0,856 5 0,736 6 0,635 0 0,547 9 0,472 3 0,406 0 0,347 2 0,294 3 0,245 8 0,198 7 0,300 0 0,861 8 0,745 8 0,647 1 0,562 1 0,488 1 0,422 8 0,364 7 0,312 3 0,263 8 0,216 8 0,325 0 0,867 2 0,755 1 0,659 3 0,576 4 0,503 8 0,439 6 0,382 2 0,330 1 0,281 8 0,234 8 0,350 0 0,872 5 0,764 3 0,6714 0,590 5 0,519 5 0,456 3 0,399 6 0,347 9 0,299 8 0,252 9 0,375 0 0,877 8 0,773 5 0,683 3 0,604 6 0,535 0 0,472 9 0,416 9 0,365 6 0,311 7 0,270 9 0,400 0 0,883 0 0,782 5 0,695 3 0,618 5 0,550 4 0,489 4 0,434 1 0,383 3 0,335 6 0,288 9 0,425 0 0,888 1 0,791 4 0,706 9 0,632 2 0,565 6 0,505 7 0,451 1 0,400 8 0,353 4 0,306 9 0,450 0 0,893 1 0,800 1 0,718 3 0,645 7 0,580 6 0,521 8 0,468 0 0,418 2 0,371 1 0,324 8 0,475 0 0,897 9 0,808 6 0,729 5 0,659 0 0,595 4 0,537 7 0,484 7 0,425 4 0,388 6 0,342 6 0,500 0 0,902 6 0,816 8 0,740 5 0,672 0 0,609 9 0,553 4 0,501 2 0,452 4 0,406 1 0,360 4 0,525 0 0,907 2 0,824 8 0,751 1 0,684 6 0,624 2 0,568 8 0,517 4 0,469 3 0,423 4 0,378 0 0,550 0 0,911 5 0,832 6 0,761 5 0,697 0 0,638 1 0,583 9 0,533 4 0,486 0 0,440 5 0,395 5 0,575 0 0,915 7 0,840 0 0,771 5 0,709 0 0,651 7 0,598 7 0,549 2 0,502 4 0,457 4 0,412 9 0,600 0 0,919 7 0,847 2 0,781 2 0,720 7 0,665 0 0,613 1 0,564 6 0,518 6 0,474 1 0,430 0 0,625 0 0,923 6 0,855 1 0,790 6 0,732 1 0,677 9 0,627 3 0,579 7 0,534 4 0,490 6 0,447 0 0,650 0 0,927 3 0,860 8 0,799 6 0,743 0 0,690 4 0,641 1 0,594 5 0,550 0 0,506 8 0,463 8 0,675 0 0,930 8 0,867 1 0,808 3 0,753 6 0,702 6 0,654 5 0,608 9 0,565 3 0,522 7 0,480 3 0,700 0 0,934 1 0,873 2 0,816 7 0,763 9 0,714 3 0,667 5 0,623 0 0,580 2 0,538 4 0,496 5 0,725 0 0,937 3 0,879 0 0,824 7 0,773 8 0,725 7 0,680 2 0,636 7 0,594 8 0,553 7 0,512 6 0,750 0 0,940 3 0,884 6 0,832 4 0,783 3 0,736 7 0,692 5 0,650 1 0,609 0 0,568 6 0,528 2 0,775 0 0,943 2 0,889 9 0,839 7 0,792 4 0,747 4 0,704 3 0,663 0 0,622 9 0,583 3 0,543 6 0,800 0 0,945 9 0,8950 0,8468 0,8011 0,7576 0,715 8 0,675 6 0,636 3 0,597 6 0,558 5 0,825 0 0,948 5 0,8998 0,8536 0,8095 0,7674 0,726 9 0,687 7 0,649 4 0,611 5 0,573 3 0,850 0 0,951 0 0,9044 0,8600 0,8176 0,7769 0,737 6 0,699 5 0,662 1 0,625 0 0,587 6 0,875 0 0,953 3 0,9087 0,8662 0,8253 0,7860 0,748 0 0,710 9 0,674 5 0,638 2 0,601 5 0,900 0 0,955 5 0,9129 0,8720 0,8327 0,7947 0,757 9 0,721 9 0,686 4 0,651 0 0,615 2 0,925 0 0,957 6 0,9168 0,8776 0,8398 0,8031 0,767 4 0,732 5 0,698 0 0,663 4 0,628 3 0,950 0 0,959 5 0,9206 0,8830 0,8465 0,8112 0,776 6 0,742 7 0,709 1 0,675 4 0,641 3 0,975 0 0,961 4 0,9241 0,8880 0,8530 0,8189 0,785 4 0,752 5 0,719 9 0,687 0 0,653 7 1,000 0 0,963 2 0,9275 0,8929 0,8592 0,8262 0,793 9 0,762 0 0,730 3 0,698 3 0,665 7 1,025 0 0,964 9 0,9307 0,8975 0,8651 0,8333 0,802 1 0,771 2 0,740 3 0,709 2 0,677 4 1,050 0 0,966 5 0,9338 0,9019 0,8707 0,8400 0,809 9 0,779 9 0,750 0 0,719 7 0,688 9 1,075 0 0,968 0 0,9367 0,9061 0,8760 0,8465 0,817 3 0,788 3 0,759 3 0,729 8 0,699 8 1,100 0 0,969 4 0,9394 0,9100 0,8812 0,8527 0,824 5 0,796 4 0,768 3 0,739 6 0,710 4 1,125 0 0,970 7 0,9420 0,9138 0,8861 0,8586 0,831 4 0,804 2 0,776 9 0,749 0 0,720 8 1,150 0 0,972 0 0,9445 0,9174 0,8907 0,8643 0,838 0 0,811 7 0,785 2 0,758 1 0,730 6 1,175 0 0,973 2 0,9469 0,9209 0,8952 0,8697 0,844 3 0,818 8 0,793 1 0,766 9 0,740 1 1,200 0 0,974 4 0,9491 0,9241 0,8994 0,8748 0,850 3 0,825 7 0,800 8 0,775 5 0,749 3 1,225 0 0,975 5 0,951 3 0,927 3 0,903 5 0,879 8 0,856 1 0,832 2 0,808 1 0,783 4 0,758 1 1,250 0 0,976 5 0,953 3 0,930 2 0,907 3 0,884 5 0,861 6 0,838 5 0,815 2 0,791 2 0,766 8 1,275 0 0,977 5 0,955 2 0,933 0 0,911 0 0,889 0 0,866 9 0,844 6 0,822 0 0,798 7 0,775 0 1,300 0 0,978 5 0,957 0 0,935 7 0,914 5 0,893 3 0,871 9 0,850 4 0,828 5 0,805 9 0,782 9 1,325 0 0,979 3 0,958 8 0,938 3 0,917 9 0,897 4 0,876 8 0,855 9 0,834 7 0,812 8 0,790 5 1,350 0 0,980 2 0,960 4 0,940 8 0,921 0 0,901 3 0,881 4 0,861 3 0,840 7 0,819 5 0,797 8 1,375 0 0,981 0 0,962 0 0,943 1 0,924 1 0,905 0 0,885 8 0,866 3 0,846 5 0,825 9 0,805 1 1,400 0 0,981 7 0,963 5 0,945 3 0,927 0 0,908 6 0,890 0 0,871 2 0,852 0 0,832 0 0,811 8 1,425 0 0,982 5 0,964 9 0,947 4 0,929 8 0,912 0 0,894 1 0,875 9 0,857 2 0,837 9 0,818 3 1,450 0 0,983 2 0,966 3 0,949 4 0,932 4 0,915 3 0,898 0 0,880 4 0,862 3 0,843 6 0,824 5


SET 2011




0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0

1,475 0 0,983 8 0,967 6 0,951 3 0,935 0 0,918 4 0,901 7 0,884 7 0,867 2 0,849 0 0,830 5 1,500 0 0,984 4 0,968 8 0,953 2 0,937 4 0,921 4 0,905 2 0,880 8 0,871 8 0,854 3 0,836 3 1,525 0 0,985 0 0,970 0 0,954 9 0,939 7 0,924 3 0,908 6 0,892 7 0,876 3 0,859 3 0,841 8 1,550 0 0,985 6 0,971 1 0,956 6 0,941 9 0,927 0 0,911 9 0,896 5 0,880 6 0,864 1 0,847 5 1,575 0 0,986 1 0,972 2 0,958 2 0,944 0 0,929 6 0,915 0 0,900 1 0,884 8 0,868 7 0,852 6 1,600 0 0,986 7 0,973 2 0,959 7 0,946 0 0,932 1 0,918 0 0,903 6 0,888 7 0,873 2 0,857 5 1,625 0 0,987 2 0,974 2 0,961 2 0,947 9 0,934 5 0,920 9 0,906 9 0,892 5 0,877 4 0,862 2 1,650 0 0,987 6 0,975 1 0,962 5 0,949 8 0,936 8 0,923 6 0,910 1 0,896 1 0,881 6 0,866 3 1,675 0 0,988 1 0,976 0 0,963 9 0,951 5 0,939 0 0,926 2 0,913 2 0,899 6 0,885 6 0,871 1 1,700 0 0,988 5 0,976 9 0,965 1 0,953 2 0,941 1 0,928 8 0,916 1 0,903 0 0,889 3 0,875 3 1,725 0 0,988 9 0,979 7 0,966 4 0,954 8 0,943 1 0,931 2 0,918 9 0,906 2 0,892 9 0,879 4 1,750 0 0,989 3 0,978 5 0,967 5 0,956 4 0,945 1 0,933 5 0,921 6 0,909 3 0,896 4 0,883 3 1,775 0 0,989 7 0,979 2 0,968 6 0,957 9 0,946 9 0,935 7 0,924 2 0,912 2 0,899 7 0,887 3 1,800 0 0,990 0 0,980 0 0,969 7 0,959 3 0,948 7 0,937 8 0,926 7 0,915 1 0,903 0 0,890 9 1,825 0 0,990 4 0,980 6 0,970 7 0,960 6 0,950 4 0,939 9 0,929 0 0,917 8 0,906 1 0,894 3 1,850 0 0,990 7 0,981 3 0,971 7 0,961 9 0,952 0 0,941 8 0,931 3 0,920 5 0,909 0 0,897 7 1,875 0 0,991 0 0,981 9 0,972 6 0,963 2 0,953 6 0,943 7 0,933 5 0,923 0 0,911 9 0,900 8 1,900 0 0,991 3 0,982 5 0,973 5 0,964 4 0,955 1 0,945 5 0,935 6 0,925 0 0,914 7 0,903 9 1,925 0 0,991 6 0,983 1 0,974 4 0,965 5 0,956 5 0,947 2 0,937 7 0,927 8 0,917 3 0,906 9 1,950 0 0,991 9 0,983 6 0,975 2 0,966 7 0,957 9 0,948 9 0,939 6 0,930 0 0,919 9 0,909 7 1,975 0 0,992 1 0,984 1 0,976 0 0,967 7 0,959 2 0,950 5 0,941 4 0,932 2 0,922 3 0,912 5 2,000 0 0,992 4 0,984 7 0,976 8 0,968 7 0,960 5 0,952 0 0,943 3 0,934 2 0,924 7 0,915 1

NOTA As tabelas foram elaboradas a partir da equação de 5.2.1, onde k = coeficiente de reflexão, dado por:

n1n

n1n

ρρ

ρρ

+

−=

+

+k (A.1)

ρ’n é igual a resistividade equivalente das camadas superiores à n + 1.


SET 2011


A.1.3.5 Multiplicar a série de valores de a/a1 pelo valor de a1 escolhido em A.1.3.2, obtendo-se uma série de valores de a.

A.1.3.6 Esta série de valores de a, com os respectivos valores de k, deve ser lançada num gráfico k×a, obtendo-se uma curva.

A.1.3.7 Repetir o procedimento desde A.1.3.2 até A.1.3.6, escolhendo um novo valor de a1 dentro da primeira parte da curva.

A.1.3.8 As curvas obtidas em A.1.3.6 e A.1.3.7 devem se cruzar em dado ponto, que corresponde aos valores reais de a1 e k1. Para assegurar a precisão dos valores de a1 e k1, o procedimento pode ser repetido mais uma vez.

A.1.3.9 O valor de a1 obtido em A.1.3.8 é a profundidade da 1ª camada e a resistividade da 2ª camada é dada pela seguinte equação:

1

112 1

1k

k

−

+×= ρρ (A.2)

A.1.3.10 Estimar a profundidade da 2ª camada pelo método de Lancaster-Jones. Assim: a3 = d1 + d2 = (2/3) re onde re é a distância até o ponto de inflexão do 2º trecho da curva ρ×a.

A.1.3.11 Calcular a resistividade média ρ’2 das duas camadas de resistividade ρ1 e ρ2, paralelas, pela equação de Hummel:

2

2

1

1

2

21

ρρρ

dddd+=

+ (A.3)

A.1.3.12 Repetir o procedimento de A.1.3.2 a A.1.3.8. isto dá uma série de curvas de k×a. Elas vão convergir num ponto que dá um valor de a2 e o coeficiente de reflexão k2, de acordo com a seguinte equação A.4:

( ) ( )2

22323232 1

1k

kk

−

+×=∴′+′−= ρρρρρρ (A.4)

A.1.3.13 Se a convergência não ficar bem definida, repetir o procedimento desde A.1.3.11, usando o valor de a2 obtido em A.1.3.12. Isto permite a obtenção de um resultado mais exato.

A.1.3.14 Para estimar a profundidade da 3ª camada, repetir o procedimento A.1.3.10. Assim, d1 + d2 + d3 = (2/3) e sendo re a distância até o ponto de inflexão do 3º trecho da curva.

A.1.3.15 Calcular a resistividade média ρ’3 das três camadas em paralelo, ρ1, ρ2 e ρ3

3

3

2

2

1

1

3

321

ρρρρ

dddddd++=

′

++ (A.5)

A.1.3.16 Repetir o procedimento de A.1.3.2 a A.1.3.9. O resultado é o valor de a3 = d1 + d2 + d3 e um valor de k3 = (ρ4 − ρ’2)/(ρ4 + ρ’3).

3

334 1

1k

k

−

+×′= ρρ (A.6)


SET 2011


A.1.3.17 O processo pode ser repetido para todos os pontos de inflexão definidos na curva ρ×a.

A.1.4 Segundo método de Tagg para determinação da resistividade da primeira camada

Definida a curva de resistividade ρ×a (ver Figura A.2), prosseguir conforme descrito a seguir:

A.1.4.1 Escolher um valor de a1 e respectivo ρa1.

A.1.4.2 Escolher um valor de na1 e respectivo ρna1 no primeiro trecho da curva ρ×a (n > 1).

A.1.4.3 Calcular a seguinte relação:

1

1

na

a

ρ

ρ se a curva neste trecho for ascendente, ou

1

1

a

na

ρ

ρ se a curva neste trecho for descendente

A.1.4.4 Para a relação calculada em A.1.4.3, calcular os valores de a/a1 a partir da equação dada em A.1.3.4:

k = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 (curvas ascenden

k = − 0,1; − 0,2; − 0,3; − 0,4; − 0,5; − 0,6; − 0,7; − 0,8; − 0,9 (curvas descendentes)

NOTA Para facilitar os cálculos, as Tabelas de A.4 a A.9 dão os valores ρa1, ρna1 e ρna1/ρa1, para n = 1,5; 2,0; e 3,0.

A.1.4.5 Multiplicar os valores (a/a1) por a1.

A.1.4.6 Plotar os valores de a e respectivos k num gráfico.


SET 2011


Tabela A.4 – Valores de ρρρρa1/ρρρρna1 para k positivo e n ==== 1,5

a/a1 Valores de k positivos e n ==== 1,5

0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0

2,000 0 0,987 1 0,974 2 0,961 4 0,948 6 0,935 7 0,922 6 0,909 3 0,895 6 0,881 4 0,866 5 1,950 0 0,986 5 0,973 0 0,959 5 0,946 0 0,932 6 0,918 9 0,905 1 0,890 9 0,876 1 0,860 6 1,900 0 0,985 7 0,971 6 0,957 4 0,943 3 0,929 2 0,915 0 0,900 6 0,886 2 0,870 4 0,854 4 1,850 0 0,985 0 0,970 1 0,955 3 0,940 6 0,925 8 0,911 0 0,895 8 0,880 5 0,864 7 0,847 7 1,800 0 0,984 2 0,968 5 0,953 0 0,937 6 0,922 1 0,906 7 0,891 0 0,875 1 0,858 8 0,841 1 1,750 0 0,983 3 0,966 9 0,950 6 0,934 4 0,918 3 0,902 2 0,885 9 0,869 3 0,852 3 0,834 3 1,700 0 0,982 4 0,965 1 0,948 1 0,931 2 0,914 4 0,897 5 0,880 6 0,863 4 0,845 6 0,827 2 1,650 0 0,981 6 0,963 4 0,945 5 0,927 8 0,910 2 0,892 7 0,875 1 0,857 4 0,838 9 0,820 0 1,600 0 0,980 5 0,961 5 0,942 7 0,924 1 0,905 8 0,887 6 0,869 3 0,850 9 0,831 9 0,811 9 1,550 0 0,979 5 0,959 5 0,939 8 0,920 4 0,901 3 0,882 4 0,863 5 0,844 3 0,824 8 0,803 8 1,500 0 0,978 5 0,957 4 0,936 7 0,916 6 0,896 7 0,877 0 0,857 3 0,837 7 0,817 4 0,796 0 1,450 0 0,977 2 0,955 1 0,933 6 0,912 5 0,891 9 0,871 3 0,851 0 0,830 7 0,809 8 0,787 8 1,400 0 0,976 1 0,952 8 0,930 3 0,908 3 0,886 9 0,865 7 0,844 7 0,823 6 0,802 2 0,779 3 1,350 0 0,974 8 0,950 5 0,926 9 0,904 1 0,881 7 0,859 9 0,838 2 0,816 5 0,794 4 0,771 1 1,300 0 0,973 5 0,948 0 0,923 5 0,899 7 0,876 5 0,853 9 0,831 5 0,809 1 0,786 4 0,762 4 1,250 0 0,972 2 0,945 5 0,919 9 0,895 2 0,871 2 0,847 8 0,824 8 0,801 8 0,778 6 0,753 9 1,200 0 0,970 8 0,943 0 0,916 4 0,890 7 0,866 0 0,841 8 0,818 2 0,794 6 0,770 6 0,745 4 1,150 0 0,969 4 0,940 3 0,912 7 0,886 2 0,860 6 0,835 8 0,811 5 0,787 4 0,763 0 0,737 0 1,100 0 0,967 9 0,937 7 0,909 1 0,881 7 0,855 4 0,830 0 0,805 1 0,780 3 0,755 4 0,728 9 1,050 0 0,966 5 0,935 1 0,905 5 0,877 3 0,850 4 0,824 2 0,798 8 0,773 6 0,748 1 0,720 7 1,000 0 0,965 2 0,932 6 0,902 0 0,873 0 0,845 5 0,818 8 0,792 8 0,767 1 0,740 9 0,713 2 0,950 0 0,963 9 0,930 9 0,898 8 0,869 1 0,840 8 0,813 7 0,787 2 0,761 0 0,734 4 0,705 8 0,900 0 0,962 5 0,928 0 0,895 9 0,865 5 0,836 8 0,808 9 0,782 1 0,755 5 0,728 3 0,699 0 0,850 0 0,961 4 0,926 1 0,893 2 0,862 3 0,833 0 0,805 0 0,777 6 0,750 5 0,722 8 0,692 8 0,800 0 0,960 6 0,924 5 0,891 1 0,859 7 0,830 0 0,801 7 0,773 7 0,746 3 0,718 0 0,687 3 0,750 0 0,959 9 0,923 4 0,889 6 0,857 9 0,827 9 0,799 1 0,771 0 0,742 9 0,714 2 0,682 3 0,700 0 0,959 5 0,922 8 0,888 7 0,856 9 0,826 6 0,797 6 0,769 1 0,740 5 0,710 9 0,678 1 0,650 0 0,959 5 0,922 7 0,888 8 0,856 9 0,826 5 0,797 2 0,768 3 0,739 3 0,709 0 0,674 6 0,600 0 0,960 1 0,923 6 0,890 0 0,858 2 0,827 7 0,798 2 0,768 9 0,739 1 0,707 9 0,671 9 0,550 0 0,961 1 0,925 3 0,892 1 0,860 7 0,830 3 0,800 4 0,770 8 0,740 1 0,707 7 0,669 8 0,500 0 0,962 7 0,928 2 0,895 8 0,864 7 0,834 6 0,804 4 0,774 1 0,742 8 0,708 7 0,668 2 0,450 0 0,965 0 0,932 1 0,900 9 0,870 5 0,840 7 0,810 3 0,779 3 0,746 8 0,710 9 0,667 5 0,400 0 0,968 0 0,937 4 0,907 5 0,878 2 0,848 5 0,818 1 0,786 3 0,752 2 0,714 4 0,667 0 0,350 0 0,971 7 0,944 0 0,916 1 0,887 9 0858 6 0,828 2 0,795 5 0,760 0 0,719 3 0,666 8 0,300 0 0,976 1 0,951 6 0,926 3 0,899 7 0,871 1 0,840 8 0,807 2 0,769 5 0,725 5 0,666 5 0,250 0 0,981 0 0,960 6 0,938 2 0,913 9 0,887 0 0,856 7 0,822 4 0,782 2 0,734 0 0,666 7 0,200 0 0,986 1 0,970 3 0,951 9 0,930 7 0,906 0 0,876 7 0,841 9 0,799 6 0,746 1 0,666 7 0,150 0 0,991 2 0,980 2 0,966 7 0,949 7 0,928 3 0,901 7 0,867 8 0,823 7 0,763 9 0,667 0 0,100 0 0,995 4 0,990 0 0,982 1 0,971 3 0,956 5 0,935 4 0,905 5 0,861 7 0,793 4 0,666 2 0,050 0 0,999 8 0,997 4 0,995 1 0,991 3 0,985 4 0,975 7 0,958 4 0,926 1 0,857 4 0,667 6 0,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0


SET 2011




0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0

2,000 0 0,970 6 0,941 9 0,914 1 0,887 0 0,860 2 0,833 9 0,807 8 0,781 7 0,755 2 0,727 5 1,950 0 0,969 3 0,939 5 0,910 6 0,882 4 0,854 9 0,827 7 0,800 9 0,774 1 0,746 8 0,718 6 1,900 0 0,967 9 0,937 0 0,907 0 0,877 7 0,849 3 0,821 4 0,793 8 0,766 6 0,738 4 0,709 5 1,850 0 0,966 6 0,934 3 0,903 2 0,873 1 0,843 6 0,814 8 0,786 5 0,758 3 0,729 8 0,699 9 1,800 0 0,965 2 0,931 5 0,899 2 0,868 0 0,837 7 0,808 2 0,779 0 0,750 1 0,720 9 0,690 5 1,750 0 0,963 6 0,928 7 0,895 3 0,862 9 0,831 7 0,801 3 0,771 4 0,741 8 0,712 0 0,681 0 1,700 0 0,962 1 0,925 8 0,891 1 0,857 7 0,825 5 0,794 1 0,763 6 0,733 2 0,702 8 0,671 3 1,650 0 0,960 4 0,922 8 0,886 9 0,852 3 0,819 2 0,787 0 0,755 6 0,724 7 0,693 6 0,661 8 1,600 0 0,958 7 0,919 6 0,882 4 0,846 8 0,812 8 0,779 7 0,747 7 0,716 0 0,684 4 0,651 3 1,550 0 0,957 0 0,916 4 0,877 8 0,841 3 0,806 3 0,772 3 0,739 5 0,707 4 0,675 0 0,641 4 1,500 0 0,955 2 0,913 1 0,873 3 0,835 6 0,799 5 0,765 0 0,731 4 0,698 6 0,665 6 0,631 6 1,450 0 0,953 3 0,909 7 0,868 7 0,829 9 0,792 9 0,757 5 0,723 2 0,689 8 0,656 4 0,621 7 1,400 0 0,951 5 0,906 3 0,864 0 0,824 1 0,786 2 0,750 0 0,715 1 0,681 0 0,647 1 0,611 6 1,350 0 0,949 6 0,902 9 0,859 2 0,818 2 0,779 5 0,742 6 0,707 0 0,672 4 0,637 8 0,602 0 1,300 0 0,947 7 0,899 5 0,854 5 0,812 5 0,772 9 0,735 3 0,699 1 0,663 9 0,628 9 0,592 4 1,250 0 0,945 8 0,897 0 0,849 9 0,806 9 0,766 4 0,728 1 0,691 4 0,655 5 0,620 1 0,582 9 1,200 0 0,943 9 0,892 6 0,845 4 0,801 3 0,760 2 0,721 0 0,683 8 0,647 6 0,611 3 0,573 9 1,150 0 0,942 1 0,889 4 0,841 0 0,796 0 0,754 0 0,714 4 0,676 6 0,639 8 0,603 4 0,565 2 1,100 0 0,940 3 0,886 3 0,836 8 0,791 0 0,748 3 0,708 2 0,669 8 0,632 6 0,595 6 0,556 7 1,050 0 0,938 6 0,883 3 0,832 8 0,786 3 0,743 1 0,702 3 0,663 4 0,625 7 0,588 3 0,548 7 1,000 0 0,937 1 0,880 6 0,829 3 0,782 1 0,738 2 0,697 1 0,657 7 0,619 5 0,581 6 0,541 4 0,950 0 0,935 8 0,878 3 0,826 2 0,778 5 0,734 0 0,692 4 0,652 6 0,614 0 0,575 4 0,534 2 0,900 0 0,934 7 0,876 4 0,823 7 0,775 4 0,730 6 0,688 5 0,648 3 0,609 3 0,570 0 0,528 0 0,850 0 0,933 9 0,875 1 0,822 0 0,773 2 0,728 0 0,685 6 0,644 9 0,605 3 0,565 4 0,522 3 0,800 0 0,933 5 0,874 3 0,821 1 0,772 1 0,726 5 0,683 7 0,642 5 0,602 4 0,561 6 0,517 3 0,750 0 0,933 5 0,874 4 0,820 9 0,771 9 0,726 2 0,682 9 0,641 3 0,600 3 0,558 7 0,512 9 0,700 0 0,934 1 0,875 3 0,822 1 0,773 0 0,727 3 0,683 6 0,641 4 0,599 6 0,556 8 0,509 4 0,650 0 0,935 2 0,877 2 0,824 5 0,775 8 0,729 7 0,685 7 0,642 9 0,600 2 0,556 0 0,506 3 0,600 0 0,937 0 0,880 3 0,828 3 0,779 9 0,734 0 0,689 6 0,645 9 0,602 2 0,556 4 0,504 2 0,550 0 0,939 7 0,884 7 0,833 9 0,786 1 0,740 2 0,695 3 0,650 9 0,605 6 0,558 0 0,502 4 0,500 0 0,943 1 0,890 5 0,841 3 0,794 2 0,748 5 0,703 1 0,657 6 0,611 0 0,560 7 0,501 4 0,450 0 0,947 4 0,898 0 0,850 8 0,804 7 0,759 2 0,713 5 0,666 7 0,617 9 0,564 8 0,500 6 0,400 0 0,952 7 0,907 0 0,862 1 0,817 6 0,772 5 0,726 4 0,678 2 0,626 9 0,570 3 0,500 2 0,350 0 0,958 7 0,917 7 0,875 9 0,833 4 0,789 0 0,742 5 0,692 9 0,638 7 0,577 7 0,500 2 0,300 0 0,965 5 0,929 9 0,892 1 0,852 2 0,809 1 0,762 5 0,711 3 0,653 9 0,587 6 0,500 0 0,250 0 0,973 0 0,943 4 0,910 4 0,874 1 0,833 3 0,787 2 0,734 5 0,673 3 0,600 4 0,499 7 0,200 0 0,980 5 0,957 9 0,931 1 0,899 5 0,862 2 0,817 7 0,764 6 0,700 0 0,618 6 0,500 3 0,150 0 0,987 9 0,972 5 0,953 1 0,928 2 0,896 9 0,856 7 0,804 9 0,737 5 0,645 2 0,500 0 0,100 0 0,992 8 0,985 9 0,974 6 0,959 1 0,937 3 0,906 1 0,861 4 0,794 3 0,690 9 0,499 3 0,050 0 0,999 6 0,996 1 0,992 6 0,986 9 0,978 2 0,963 6 0,937 6 0,889 2 0,786 1 0,501 4 0,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0


SET 2011




0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0

2,000 0 0,936 8 0,878 4 0,824 5 0,774 3 0,727 3 0,682 8 0,640 4 0,599 7 0,559 5 0,518 9 1,950 0 0,934 9 0,875 2 0,819 9 0,768 6 0,720 7 0,675 6 0,632 7 0,591 4 0,550 9 0,509 8 1,900 0 0,932 9 0,872 3 0,815 2 0,762 9 0,714 1 0,668 3 0,624 9 0,583 4 0,542 3 0,500 7 1,850 0 0,931 0 0,868 7 0,810 4 0,757 1 0,707 6 0,661 0 0,617 1 0,574 8 0,533 7 0,491 6 1,800 0 0,929 0 0,864 5 0,805 6 0,751 3 0,701 0 0,653 8 0,609 3 0,566 7 0,525 0 0,482 7 1,750 0 0,927 0 0,860 9 0,800 8 0,745 4 0,694 2 0,646 5 0,601 5 0,558 5 0,516 5 0,473 9 1,700 0 0,924 9 0,857 3 0,795 9 0,739 6 0,687 7 0,639 3 0,593 7 0,550 3 0,508 0 0,465 1 1,650 0 0,922 9 0,853 9 0,791 2 0,733 8 0,681 1 0,632 2 0,586 1 0,542 4 0,499 7 0,456 5 1,600 0 0,920 9 0,850 2 0,786 3 0,728 0 0,674 6 0,625 1 0,578 5 0,534 3 0,491 4 0,447 6 1,550 0 0,918 9 0,846 6 0,781 5 0,722 4 0,668 2 0,618 1 0,571 1 0,526 5 0,483 3 0,439 1 1,500 0 0,916 9 0,843 1 0,776 9 0,716 9 0,661 9 0,611 4 0,563 9 0,518 9 0,475 4 0,430 9 1,450 0 0,914 8 0,839 6 0,772 2 0,711 4 0,655 8 0,604 6 0,556 8 0,511 5 0,467 6 0,422 7 1,400 0 0,913 0 0,836 3 0,767 8 0,706 1 0,649 9 0,598 2 0,550 0 0,504 3 0,460 1 0,414 7 1,350 0 0,911 1 0,833 1 0,763 5 0,701 1 0,644 2 0,592 0 0,543 4 0,497 4 0,452 8 0,407 1 1,300 0 0,909 3 0,830 0 0,759 5 0,696 2 0,638 8 0,586 2 0,537 1 0,490 8 0,445 8 0,399 6 1,250 0 0,907 7 0,827 1 0,755 8 0,691 8 0,633 7 0,580 6 0,531 2 0,484 5 0,439 2 0,392 4 1,200 0 0,906 2 0,824 5 0,752 4 0,687 7 0,629 2 0,575 6 0,525 7 0,478 6 0,432 8 0,385 6 1,150 0 0,904 9 0,822 1 0,749 2 0,684 0 0,624 9 0,570 9 0,520 7 0,473 1 0,426 9 0,379 0 1,100 0 0,903 7 0,820 1 0,746 5 0,680 8 0,621 4 0,566 8 0,516 2 0,468 2 0,421 5 0,372 9 1,050 0 0,902 7 0,814 5 0,744 4 0,678 2 0,618 5 0,563 4 0,512 4 0,463 9 0,416 6 0,367 1 1,000 0 0,902 2 0,817 4 0,742 9 0,676 3 0,616 1 0,560 7 0,509 2 0,460 1 0,412 1 0,361 8 0,950 0 0,901 9 0,816 9 0,742 1 0,675 3 0,614 6 0,558 8 0,506 8 0,457 2 0,408 4 0,356 8 0,900 0 0,901 9 0,817 0 0,742 1 0,675 0 0,614 2 0,557 9 0,505 2 0,455 0 0,405 2 0,352 4 0,850 0 0,902 5 0,817 9 0,743 1 0,675 9 0,614 7 0,558 0 0,504 7 0,453 6 0,402 9 0,348 4 0,800 0 0,903 6 0,819 6 0,745 2 0,678 0 0,616 5 0,559 3 0,505 2 0,453 1 0,401 2 0,345 0 0,750 0 0,905 2 0,822 3 0,748 4 0,681 3 0,619 7 0,561 9 0,507 0 0,453 9 0,400 5 0,342 1 0,700 0 0,907 6 0,826 2 0,753 1 0,686 3 0,624 4 0,566 1 0,510 2 0,455 7 0,400 5 0,339 6 0,650 0 0,910 7 0,831 3 0,759 4 0,693 1 0,630 9 0,572 0 0,514 9 0,458 8 0,401 6 0,337 6 0,600 0 0,914 6 0,837 7 0,767 3 0,701 7 0,639 4 0,579 8 0,521 4 0,463 4 0,403 7 0,336 0 0,550 0 0,919 4 0,845 7 0,777 2 0,712 5 0,650 4 0,589 8 0,530 1 0,469 6 0,407 9 0,335 0 0,500 0 0,925 1 0,855 5 0,789 3 0,725 8 0,663 9 0,602 3 0,540 8 0,477 9 0,411 6 0,334 3 0,450 0 0,931 7 0,866 8 0,803 7 0,741 8 0,680 2 0,617 9 0,554 3 0,488 3 0,417 7 0,333 7 0,400 0 0,939 4 0,880 0 0,820 6 0,761 0 0,699 9 0,636 8 0,571 0 0,501 3 0,425 5 0,333 4 0,350 0 0,947 9 0,895 0 0,840 3 0,783 5 0,723 4 0,659 9 0,591 7 0,517 8 0,435 6 0,333 3 0,300 0 0,957 1 0,911 5 0,862 5 0,809 3 0,751 1 0,687 6 0,617 2 0,538 6 0,448 8 0,333 5 0,250 0 0,966 8 0,929 6 0,887 4 0,839 5 0,785 0 0,722 3 0,650 0 0,566 1 0,466 1 0,333 3 0,200 0 0,975 9 0,948 3 0,914 4 0,973 7 0,824 7 0,764 9 0,692 4 0,603 1 0,490 8 0,333 3 0,150 0 0,984 1 0,966 4 0,942 1 0,910 9 0,870 1 0,817 0 0,747 5 0,654 3 0,527 7 0,333 0 0,100 0 0,992 6 0,983 3 0,969 8 0,950 8 0,923 6 0,884 1 0,825 6 0,735 6 0,592 3 0,333 3 0,050 0 0,666 4 0,664 1 0,661 8 0,658 0 0,652 1 0,642 4 0,625 1 0,592 8 0,524 0 0,334 3 0,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0


SET 2011


Tabela A.7 – Valores de ρρρρna1/ρρρρa1 para k negativos e n ==== 1,5

a/a1 Valores de k negativos e n ==== 1,5

−−−− 0,100 0 −−−− 0,200 0 −−−− 0,300 0 −−−− 0,400 0 −−−− 0,500 0 −−−− 0,600 0 −−−− 0,700 0 −−−− 0,800 0 −−−− 0,900 0 −−−− 1,000 0

2,000 0 0,987 3 0,974 8 0,962 5 0,950 4 0,938 5 0,926 9 0,915 4 0,904 0 0,892 8 0,881 7 1,950 0 0,986 6 0,973 4 0,960 5 0,947 7 0,935 3 0,922 9 0,910 8 0,898 8 0,886 8 0,875 1 1,900 0 0,985 8 0,972 0 0,958 3 0,945 0 0,931 6 0,918 6 0,905 8 0,893 1 0,880 4 0,868 0 1,850 0 0,985 0 0,970 4 0,956 0 0,942 0 0,927 9 0,914 1 0,900 5 0,887 0 0,873 7 0,860 5 1,800 0 0,984 2 0,968 8 0,953 6 0,938 7 0,923 9 0,909 3 0,894 9 0,880 7 0,866 6 0,852 6 1,750 0 0,983 4 0,967 1 0,951 0 0,935 2 0,919 6 0,904 1 0,888 8 0,873 7 0,858 8 0,843 9 1,700 0 0,982 5 0,965 3 0,948 2 0,931 5 0,915 0 0,898 7 0,882 5 0,866 4 0,850 5 0,834 6 1,650 0 0,981 6 0,963 3 0,945 4 0,927 6 0,910 1 0,892 9 0,875 6 0,858 6 0,841 7 0,824 9 1,600 0 0,980 4 0,961 2 0,942 2 0,923 5 0,905 0 0,886 5 0,868 2 0,850 2 0,832 2 0,814 3 1,550 0 0,979 4 0,959 1 0,938 9 0,919 1 0,899 4 0,879 9 0,860 5 0,841 2 0,822 0 0,802 8 1,500 0 0,978 3 0,956 8 0,935 5 0,914 5 0,893 6 0,872 8 0,852 2 0,831 8 0,811 2 0,790 9 1,450 0 0,977 1 0,954 4 0,931 9 0,909 6 0,887 3 0,865 2 0,843 3 0,821 5 0,799 6 0,777 6 1,400 0 0,975 7 0,951 7 0,927 9 0,904 3 0,880 7 0,857 2 0,833 9 0,810 5 0,787 1 0,763 7 1,350 0 0,974 5 0,949 0 0,923 9 0,898 8 0,873 9 0,848 9 0,823 9 0,799 0 0,773 9 0,748 8 1,300 0 0,973 0 0,946 2 0,919 6 0,893 0 0,866 4 0,839 9 0,813 2 0,786 5 0,759 6 0,732 6 1,250 0 0,971 5 0,943 3 0,915 0 0,886 8 0,858 5 0,830 3 0,801 9 0,773 3 0,744 5 0,715 4 1,200 0 0,970 1 0,940 2 0,910 4 0,880 6 0,846 1 0,820 4 0,790 0 0,759 3 0,728 4 0,696 9 1,150 0 0,968 4 0,937 0 0,905 5 0,873 8 0,842 0 0,809 7 0,777 3 0,744 3 0,711 0 0,677 0 1,100 0 0,966 9 0,933 9 0,900 5 0,867 0 0,833 1 0,798 8 0,764 0 0,728 6 0,692 5 0,655 7 1,050 0 0,965 3 0,930 5 0,895 5 0,860 0 0,824 1 0,787 6 0,750 3 0,712 2 0,673 2 0,633 0 1,000 0 0,963 7 0,928 0 0,890 4 0,852 8 0,814 7 0,775 7 0,735 7 0,694 6 0,652 3 0,608 6 0,950 0 0,962 3 0,924 0 0,885 3 0,845 7 0,805 3 0,763 7 0,720 9 0,676 6 0,630 5 0,582 5 0,900 0 0,960 7 0,921 0 0,880 4 0,838 8 0,795 9 0,751 7 0,705 9 0,657 8 0,607 6 0,554 8 0,850 0 0,959 4 0,918 1 0,875 8 0,832 2 0,786 9 0,739 8 0,690 5 0,638 6 0,583 6 0,525 1 0,800 0 0,958 3 0,915 6 0,871 7 0,826 1 0,782 7 0,728 5 0,675 5 0,619 4 0,558 8 0,493 5 0,750 0 0,957 4 0,913 6 0,868 4 0,821 1 0,771 2 0,718 3 0,661 6 0,600 3 0,533 6 0,459 9 0,700 0 0,956 9 0,912 4 0,866 0 0,817 2 0,765 2 0,709 5 0,648 9 0,582 3 0,508 1 0,424 5 0,650 0 0,956 8 0,912 0 0,865 0 0,815 2 0,761 6 0,703 2 0,638 6 0,566 3 0,483 5 0,387 1 0,600 0 0,957 3 0,912 8 0,865 9 0,815 7 0,760 9 0,700 3 0,632 1 0,553 4 0,460 5 0,347 4 0,550 0 0,958 4 0,915 0 0,869 0 0,819 4 0,764 5 0,702 9 0,631 6 0,546 7 0,442 0 0,307 2 0,500 0 0,960 4 0,919 0 0,874 8 0,827 0 0,773 5 0,712 0 0,638 8 0,548 4 0,430 2 0,264 8 0,450 0 0,963 1 0,924 8 0,883 9 0,839 2 0,788 8 0,729 9 0,657 1 0,562 4 0,429 4 0,220 0 0,400 0 0,966 8 0,932 7 0,896 7 0,857 3 0,812 7 0,759 3 0,691 1 0,597 7 0,451 9 0,179 0 0,350 0 0,971 5 0,942 5 0,912 7 0,880 3 0,843 9 0,799 6 0,741 8 0,657 1 0,507 1 0,136 5 0,300 0 0,976 7 0,953 8 0,931 0 0,907 1 0,880 4 0,848 5 0,806 5 0,741 2 0,607 6 0,089 7 0,250 0 0,982 4 0,966 2 0,950 6 0,935 5 0,919 5 0,901 3 0,878 1 0,841 5 0,757 3 0,061 2 0,200 0 0,988 0 0,977 8 0,968 8 0,960 8 0,953 2 0,945 7 0,937 3 0,925 1 0,896 2 0,049 0 0,150 0 0,993 0 0,987 4 0,983 1 0,979 5 0,976 7 0,974 7 0,972 9 0,970 8 0,967 5 0,000 0 0,100 0 0,996 9 0,994 7 0,993 0 0,991 8 0,991 0 0,990 3 0,989 8 0,989 4 0,990 7 0,000 0 0,050 0 0,999 3 0,998 8 0,998 4 0,998 3 0,998 0 0,998 1 0,998 1 0,997 6 0,997 5 0,000 0 0,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0


SET 2011


Tabela A.8 – Valores de ρρρρna1/ρρρρa1 para k negativo e n ==== 2,0


−−−− 0,100 0 −−−− 0,200 0 −−−− 0,300 0 −−−− 0,400 0 −−−− 0,500 0 −−−− 0,600 0 −−−− 0,700 0 −−−− 0,800 0 −−−− 0,900 0 −−−− 1,000 0

2,000 0 0,970 6 0,941 7 0,913 7 0,886 3 0,859 4 0,833 1 0,807 4 0,782 0 0,757 0 0,732 4 1,950 0 0,969 3 0,939 1 0,909 9 0,881 2 0,853 0 0,825 6 0,798 6 0,772 0 0,745 9 0,720 0 1,900 0 0,967 7 0,936 4 0,905 8 0,875 8 0,846 3 0,817 5 0,789 2 0,761 4 0,734 0 0,707 0 1,850 0 0,966 3 0,933 5 0,901 4 0,870 2 0,839 3 0,809 1 0,779 5 0,750 3 0,721 7 0,693 4 1,800 0 0,964 9 0,930 5 0,896 9 0,864 2 0,832 0 0,800 4 0,769 3 0,738 8 0,708 7 0,679 0 1,750 0 0,963 2 0,927 3 0,892 2 0,857 9 0,824 2 0,791 2 0,758 6 0,726 6 0,695 0 0,663 9 1,700 0 0,961 6 0,924 1 0,887 3 0,851 4 0,816 2 0,781 6 0,757 4 0,713 8 0,680 7 0,648 0 1,650 0 0,959 8 0,920 6 0,882 1 0,844 6 0,807 6 0,771 4 0,753 7 0,700 5 0,665 7 0,631 4 1,600 0 0,958 1 0,917 0 0,876 9 0,837 5 0,794 7 0,760 8 0,723 4 0,686 4 0,650 0 0,613 8 1,550 0 0,956 2 0,913 3 0,871 3 0,830 2 0,789 7 0,749 8 0,710 6 0,671 8 0,633 4 0,595 5 1,500 0 0,954 2 0,909 6 0,865 6 0,822 5 0,780 2 0,738 4 0,697 2 0,656 5 0,616 2 0,576 3 1,450 0 0,952 3 0,905 6 0,859 7 0,814 7 0,770 3 0,726 6 0,683 3 0,640 6 0,598 2 0,556 2 1,400 0 0,950 2 0,901 4 0,853 5 0,806 5 0,760 2 0,714 3 0,668 9 0,624 0 0,579 4 0,535 1 1,350 0 0,948 2 0,898 4 0,847 4 0,798 1 0,749 6 0,701 6 0,654 1 0,606 8 0,559 9 0,513 2 1,300 0 0,946 1 0,893 1 0,841 1 0,789 7 0,738 9 0,688 6 0,638 7 0,589 0 0,539 6 0,490 3 1,250 0 0,943 9 0,888 8 0,834 5 0,780 9 0,727 8 0,675 2 0,622 8 0,570 7 0,518 6 0,466 6 1,200 0 0,941 8 0,884 5 0,828 0 0,772 2 0,716 8 0,661 7 0,606 8 0,551 9 0,496 9 0,441 8 1,150 0 0,939 6 0,880 3 0,821 6 0,763 5 0,705 6 0,647 9 0,590 4 0,532 7 0,474 7 0,416 4 1,100 0 0,937 7 0,876 2 0,815 3 0,754 9 0,694 6 0,634 3 0,573 9 0,513 2 0,451 9 0,390 0 1,050 0 0,935 8 0,872 2 0,809 3 0,746 5 0,683 7 0,620 8 0,557 4 0,493 5 0,428 7 0,362 9 1,000 0 0,933 9 0,868 5 0,803 5 0,738 5 0,673 3 0,607 7 0,541 3 0,473 8 0,405 3 0,335 1 0,950 0 0,932 4 0,865 1 0,798 2 0,731 1 0,663 5 0,595 1 0,525 5 0,454 6 0,381 7 0,306 7 0,900 0 0,930 9 0,862 4 0,793 8 0,724 5 0,654 7 0,583 4 0,510 8 0,455 8 0,358 5 0,278 1 0,850 0 0,929 9 0,860 1 0,790 0 0,719 2 0,647 1 0,573 2 0,497 1 0,418 2 0,335 8 0,249 2 0,800 0 0,929 3 0,858 7 0,787 5 0,715 3 0,644 6 0,564 8 0,485 5 0,402 2 0,314 2 0,220 3 0,750 0 0,929 3 0,858 3 0,786 7 0,713 4 0,637 7 0,559 1 0,476 4 0,388 6 0,294 1 0,191 6 0,700 0 0,929 8 0,859 3 0,787 6 0,714 0 0,637 2 0,556 6 0,470 8 0,378 0 0,276 5 0,163 4 0,650 0 0,931 1 0,861 6 0,790 7 0,717 6 0,640 7 0,558 6 0,469 9 0,372 2 0,262 4 0,136 0 0,600 0 0,933 2 0,865 9 0,796 9 0,724 9 0,648 8 0,566 5 0,475 4 0,372 6 0,253 3 0,110 3 0,550 0 0,936 2 0,872 1 0,806 1 0,737 0 0,662 8 0,581 4 0,489 2 0,381 8 0,251 5 0,086 1 0,500 0 0,940 5 0,880 6 0,819 0 0,754 0 0,683 8 0,605 2 0,513 7 0,402 9 0,260 3 0,064 2 0,450 0 0,945 8 0,891 5 0,835 9 0,777 1 0,712 9 0,639 7 0,551 9 0,440 3 0,285 3 0,044 7 0,400 0 0,952 1 0,904 8 0,856 8 0,806 2 0,750 7 0,686 3 0,606 5 0,499 0 0,334 2 0,028 5 0,350 0 0,959 4 0,920 2 0,881 0 0,840 5 0,796 3 0,744 5 0,678 6 0,584 1 0,419 7 0,016 3 0,300 0 0,967 4 0,937 1 0,907 6 0,878 2 0,846 7 0,810 3 0,763 9 0,693 6 0,551 8 0,007 9 0,250 0 0,975 7 0,954 1 0,934 4 0,915 7 0,896 8 0,876 3 0,851 1 0,812 2 0,724 0 0,006 8 0,200 0 0,983 6 0,970 0 0,958 4 0,948 3 0,939 3 0,930 8 0,921 5 0,908 5 0,878 7 0,000 0 0,150 0 0,990 5 0,983 1 0,977 5 0,973 0 0,969 4 0,967 0 0,964 8 0,962 3 0,960 3 0,000 0 0,100 0 0,995 7 0,992 6 0,990 5 0,988 7 0,987 9 0,986 6 0,986 1 0,985 9 0,986 9 0,000 0 0,050 0 0,998 9 0,998 2 0,997 6 0,997 4 0,997 0 0,997 2 0,997 2 0,996 4 0,996 2 0,000 0 0,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0


SET 2011


Tabela A.9 – Valores de ρρρρna1/ρρρρa1 para k negativo e n ==== 1,5


−−−− 0,100 0 −−−− 0,200 0 −−−− 0,300 0 −−−− 0,400 0 −−−− 0,500 0 −−−− 0,600 0 −−−− 0,700 0 −−−− 0,800 0 −−−− 0,900 0 −−−− 1,000 0

2,000 0 0,935 4 0,873 9 0,813 5 0,755 9 0,700 2 0,646 2 0,594 0 0,543 2 0,493 8 0,445 8 1,950 0 0,933 4 0,869 3 0,807 8 0,748 4 0,691 0 0,635 5 0,581 7 0,529 4 0,478 6 0,429 1 1,900 0 0,931 2 0,865 2 0,801 8 0,740 7 0,681 5 0,624 3 0,568 9 0,515 1 0,462 8 0,411 9 1,850 0 0,929 1 0,861 1 0,795 7 0,732 9 0,671 9 0,613 0 0,556 1 0,500 6 0,446 8 0,394 4 1,800 0 0,927 0 0,856 9 0,789 6 0,724 9 0,662 2 0,601 7 0,543 0 0,486 0 0,430 6 0,376 7 1,750 0 0,924 7 0,852 6 0,783 3 0,716 7 0,652 2 0,589 9 0,529 6 0,471 0 0,414 0 0,358 6 1,700 0 0,922 6 0,848 4 0,777 1 0,708 5 0,642 2 0,578 2 0,516 1 0,455 8 0,397 3 0,340 3 1,650 0 0,920 4 0,844 1 0,770 8 0,700 2 0,632 1 0,566 3 0,502 5 0,440 6 0,380 3 0,321 7 1,600 0 0,918 1 0,839 6 0,764 4 0,691 9 0,622 0 0,554 2 0,488 7 0,425 1 0,363 2 0,302 9 1,550 0 0,915 9 0,835 3 0,758 0 0,683 6 0,611 8 0,542 3 0,475 0 0,409 6 0,346 0 0,284 0 1,500 0 0,913 6 0,831 0 0,751 7 0,675 4 0,601 7 0,530 4 0,461 3 0,394 1 0,328 8 0,265 0 1,450 0 0,911 4 0,826 7 0,745 4 0,667 2 0,591 5 0,518 5 0,447 6 0,378 7 0,311 5 0,246 0 1,400 0 0,909 2 0,822 4 0,739 2 0,659 1 0,581 7 0,506 8 0,434 0 0,363 4 0,294 4 0,227 1 1,350 0 0,907 2 0,818 4 0,733 3 0,651 2 0,572 1 0,495 3 0,420 8 0,348 2 0,277 4 0,208 3 1,300 0 0,905 1 0,814 5 0,727 5 0,643 7 0,562 7 0,484 2 0,407 9 0,333 5 0,260 9 0,189 8 1,250 0 0,903 3 0,810 8 0,722 0 0,636 5 0,553 8 0,473 6 0,395 5 0,319 3 0,244 7 0,171 6 1,200 0 0,901 6 0,807 4 0,717 0 0,629 8 0,545 4 0,463 4 0,383 6 0,305 4 0,228 8 0,153 5 1,150 0 0,900 0 0,804 3 0,712 5 0,623 8 0,537 8 0,454 2 0,372 6 0,292 6 0,214 0 0,136 5 1,100 0 0,898 7 0,801 7 0,708 5 0,618 5 0,531 0 0,445 8 0,362 5 0,280 5 0,199 8 0,119 8 1,050 0 0,897 6 0,799 7 0,705 3 0,614 0 0,525 1 0,438 4 0,353 2 0,269 2 0,186 2 0,103 4 1,000 0 0,896 8 0,798 1 0,703 0 0,610 8 0,520 8 0,432 7 0,345 8 0,259 8 0,174 4 0,088 7 0,950 0 0,896 6 0,797 3 0,701 7 0,608 7 0,517 9 0,428 4 0,339 9 0,251 8 0,163 6 0,074 7 0,900 0 0,896 6 0,797 5 0,701 6 0,608 0 0,516 4 0,425 8 0,335 6 0,245 1 0,153 9 0,061 2 0,850 0 0,897 2 0,798 6 0,703 1 0,609 7 0,517 6 0,426 1 0,334 3 0,241 6 0,147 1 0,049 9 0,800 0 0,898 5 0,801 0 0,706 2 0,613 2 0,523 9 0,428 9 0,335 5 0,240 4 0,142 0 0,039 4 0,750 0 0,900 5 0,804 6 0,711 2 0,619 1 0,527 4 0,434 7 0,339 9 0,241 9 0,138 9 0,019 5 0,700 0 0,903 3 0,809 9 0,718 8 0,628 5 0,537 7 0,445 1 0,349 2 0,248 4 0,140 2 0,022 3 0,650 0 0,906 9 0,816 9 0,728 9 0,641 1 0,552 1 0,460 1 0,363 3 0,259 4 0,144 8 0,015 7 0,600 0 0,911 4 0,825 9 0,741 9 0,657 5 0,571 2 0,480 7 0,383 4 0,276 2 0,153 9 0,009 9 0,550 0 0,917 1 0,837 3 0,758 4 0,679 1 0,596 8 0,509 1 0,412 5 0,302 4 0,171 1 0,006 7 0,500 0 0,923 9 0,850 8 0,778 5 0,705 4 0,628 7 0,545 4 0,451 1 0,339 0 0,197 2 0,003 9 0,450 0 0,931 8 0,866 6 0,802 2 0,737 0 0,667 9 0,591 4 0,501 9 0,390 1 0,237 0 0,001 7 0,400 0 0,940 7 0,884 8 0,830 1 0,774 5 0,715 6 0,649 1 0,568 5 0,461 6 0,299 5 0,001 4 0,350 0 0,950 5 0,904 5 0,860 5 0,816 2 0,769 5 0,716 4 0,650 3 0,556 5 0,394 6 0,000 9 0,300 0 0,960 7 0,925 2 0,892 2 0,860 2 0,826 9 0,789 8 0,743 2 0,673 4 0,533 9 0,000 0 0,250 0 0,970 9 0,946 0 0,923 7 0,903 4 0,883 2 0,862 2 0,836 6 0,797 5 0,711 1 0,000 0 0,200 0 0,980 6 0,964 8 0,951 7 0,940 6 0,930 9 0,921 8 0,912 1 0,898 9 0,870 5 0,000 0 0,150 0 0,988 8 0,980 1 0,973 7 0,968 5 0,964 8 0,961 7 0,959 4 0,957 1 0,954 9 0,000 0 0,100 0 0,995 0 0,991 4 0,988 9 0,987 0 0,985 9 0,984 8 0,984 2 0,983 5 0,984 5 0,000 0 0,050 0 0,665 9 0,665 5 0,665 1 0,665 0 0,664 7 0,664 8 0,664 8 0,664 3 0,664 1 0,000 0 0,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0


SET 2011


A.1.4.7 Repetir A.1.4.1, escolhendo um novo a1 e respectivo ρa1, dentro do primeiro trecho da curva ρ×a.

A.1.4.8 Repetir de A.1.4.2 a A.1.4.6.

A.1.4.9 Determinar a intersecção das duas curvas, obtendo os valores de a1 e k.

A.1.4.10 Substituir os valores de h = a1, k e ρa1 na equação 10 dada em 5.2.1 e calcular ρ1.

A.1.4.11 A partir do valor de ρ1 determinado para esta camada, proceder de acordo com o método de Pirson na determinação das resistividades das demais camadas, iniciando os cálculos subsequentes em A.1.3.2.


SET 2011


Anexo B (informativo)

Exemplos de estratificação do solo

B.1 Exemplo 1 – Estratificação do solo em duas camadas pelo método simplificado.

B.1.1 Os valores obtidos de medição realizada conforme Anexo A são os dados na Tabela B.1.

Tabela B.1 – Valores de medição de resistividade

Distância entre hastes

(m)

Resistividade medida (Ω.m)

Resistividade média

(Ω.m) A B C D

2 3 300 3 478 3 392 3 385 3 389

4 2 072 1 729 1 945 1 855 1 900

8 683 486 595 575 585

16 670 466 536 600 568

32 981 665 830 816 823

Os desvios máximos em relação à média aritmética estão todos dentro do valor admissível (50 %), portanto, todos os pontos considerados.

B.1.2 A curva ρ×a está plotada na Figura B.1, de onde tiram-se os valores:

ρ1 = 3 550 Ωm

ρ2 = 630 Ωm

B.1.3 Cálculo de ρ2/ρ1:

18,05503

630

1

2 ==ρ

ρ

B.1.4 Da Tabela A.1, tem-se:

para 5769,018,0 012 =→= Mρρ

B.1.5 Cálculo de ρm

m732255035769,010m ⋅Ω=×=×= ρρ M

B.1.6 Da curva de resistividade ρ×a


SET 2011


Para ρm = 2 732 Ωm → d = 3,1 m

Legenda

ρ1 Resistividade da primeira camada

ρ2 Resistividade da segunda camada

ρm Resistividade média d Espessura da primeira camada

Figura B.1 – Valores de resistividade em função do espaçamento entre eletrodos

2 3.1 4 8 13 22

500

630

1000

1500

2000

2500

2732

3000

35563500

Res

isti

vid

ade

méd

ia Ω

.m

Espaçamento (m)

ρ 1 = 3550 Ω.m

ρm (d)= 2732 Ω.m

ρ 2 = 630 Ω.m


SET 2011


B.2 Exemplo 2 – Estratificação do solo pelo método gráfico de curvas-padrão e auxiliar

B.2.1 Os valores obtidos de medição realizada conforme Anexo A são os dados na Tabela B.2.

Tabela B2 – Valores de resistência e resistividade

a (m)

R (Ω)

ρρρρ (Ω.m)

2 54,10 680

4 33,40 840

8 18,50 930

16 6,87 690

32 1,64 330

B.2.2 Com os valores obtidos acima, traça-se a curva ρ×a representativa do local.

B.2.3 Divide-se a curva ρ×a em trechos ascendentes e descendentes.

B.2.4 Coloca-se a curva ρ×a sobre as curvas-padrão e encontra-se coincidência do trecho ascendente com a curva-padrão de relação.

ρ2/ρ1 = 3

B.2.5 Marca-se o pólo 01 e têm-se as coordenadas dele:

a1 = 0,69 m

ρ’1 = ρ1 = 340 Ωm

Estes valores referem-se à primeira camada do solo.

B.2.6 Calcula-se o valor da resistividade da segunda camada através de:

m0201340333 121

2 ⋅Ω=×==∴= ρρρ

ρ

B.2.7 Coloca-se o gráfico ρ×a sobre as curvas auxiliares de modo que o pólo 01 coincida com a origem das curvas auxiliares e copia-se (curva tracejada) a curva auxiliar de mesma relação ρ2/ρ1. No caso ρ2/ρ1 = 3.

B.2.8 Volta-se às curvas-padrão, faz-se coincidir o pólo 01 com a origem destas e desliza-se a curva tracejada sobre esta origem, até que se obtenha coincidência com o segundo trecho da curva ρ×a, ou seja, com a curva-padrão de relação:

61

1

2 =ρ

ρ

Encontra-se então o pólo 02 cujas coordenadas são:


SET 2011


a2 = 15 m

ρ’2 = 900 Ωm

B.2.9 Com os valores acima, determina-se a resistividade da terceira camada do solo:

m1506

90066

1 23

2

3 ⋅Ω==′

=∴=′

ρρ

ρ

ρ

B.2.10 O perfil de resistividade do solo é dado por: (ver Figura B.2)

Legenda

ρ1 Resistividade da primeira camada

ρ2 Resistividade da segunda camada

ρ3 Resistividade da terceira camada a1 Profundidade da primeira camada

a2 Profundidade até a terceira camada

∞ Infinito

Figura B.2 – Perfil de resistividade do solo

∞

σ1 = 0,69 m ρ1 = 340 Ω.m

ρ2 = 1020 Ω.m

ρ3 = 150 Ω.m

a2 = 15 m


SET 2011


B.3 Exemplo 3 – Estratificação do solo pelo método de Pirson

B.3.1 Os valores da medição realizada são dados na Tabela B.3.

Tabela B.3 – Valores de resistência e resistividade pelo método de Pirson

a (m)

R (Ω)

ρρρρ (Ω.m)

1 1 900 11 938

2 1 250 15 770

4 690 17 341

8 220 11 058

16 50 5 026

32 19 3 820

A curva ρ×a está plotada na Figura B3.

B.3.2 ρ1 é determinado extrapolando a curva ρ×a até encontrar o eixo das resistividades. Assim ρ1 = 8 600 Ω.m.

B.3.3 a1 e ρ2 são determinados da seguinte forma:

B.3.3.1 Supondo a1 = 4 m, temos ρ(a1) = 17 341 Ω.m. Estabelecendo a relação ( )1

1

aρ

ρ já que neste

trecho a curva ρ×a é ascendente (k > 0), tem-se:

( )9495,0

341176008

1

1 ==aρ

ρ

Utilizando a Tabela B.4 (k > 0), para ( )

9495,01

1 =aρ

ρ, tem-se:

Tabela B.4 – Razão a/a1 e constante k

K a/a1 (a/a1)×4

0,4 0,18 0,72

0,5 0,31 1,24

0,6 0,41 1,64

0,7 0,49 1,96

0,8 0,57 2,28


SET 2011


A curva k×a, a qual está representada na Figura B. 4.

Legenda

ρ Resistividade a Distância entre os eletrodos

Figura B.3 – Curva ρρρρ×a

B.3.3.2 Supondo a1 = 1 m, tem-se ρ (a1) = 11 938 Ω.m.

( )4720,0

938116008

1

1 ==aρ

ρ, k > 0

Utilizando a mesma Tabela B.4 para ( )

4720,01

1 =aρ

ρ, tem-se:

3000

5000

10000

15000

18000

ρ (Ω.m)

1 2 4 8 16 32

a (m)


SET 2011



k a/a1 (a/a1)×1

0,2 0,23 0,23

0,3 0,46 0,46

0,4 0,60 0,60

0,5 0,72 0,72

0,6 0,81 0,81

0,7 0,89 0,89

0,8 0,98 0,98

A curva k×a está representada na Figura B.4.

B.3.3.3 Como a convergência não está definida, deve-se escolher um novo valor de a1. Assim, para a1 = 2 m, tem-se ρ(a1) = 15,707 Ω.m.

( )5547,0

707156008

1

1 ==aρ

ρ, k > 0

Utilizando a mesma ( )

5547,01

1 =aρ

ρ, tem-se:


k a/a1 (a/a1)×2

0,3 0,05 0,10

0,4 0,28 0,56

0,5 0,40 0,80

0,6 0,49 0,98

0,7 0,57 1,14

0,8 0,65 1,30


B.3.3.4 As curvas se interceptaram no ponto:

m5752143,0143,01

600811

43,0em64,0

1

112

11

⋅Ω=−

+=

−

+=

==

k

k

ka

ρρ


SET 2011


B.3.4 Determinação de a2 (profundidade da 2ª camada) e ρρρρ3

B.3.4.1 Supondo a2 = d1 + d2 = (2/3) × 2 = 1,33 ∴d1=0,64 d2 = 1,33 – 0,64 ∴d2 = 0,69 ρ’2 é calculado por:

21575

69,0

8600

64,033,1'

2

+=ρ

ρ’2 = 12 500 Ω.m

B.3.4.2 Supondo a2 = 2 m tem-se ρ’2/ρ(a2) = 15 707 Ω.m

,7958,012707

12500

)( 2

'

2 ==aρ

ρ k > 0

Da Tabela B.3 tem-se para ρ’2/ρ(a2) = 0,795 8


k a/a2 (a/a2)×2

0,2 0,44 0,88

0,3 0,64 1,28

0,4 0,79 1,58

0,5 0,90 1,80

0,6 1,01 2,02

0,7 1,10 2,20

0,8 1,18 2,36


B.3.4.3 Supondo a2 = 4 m, tem-se ρ(a2) = 17 341 Ω.m.

8720,03411750012

)( 2

2,

==aρ

ρ, k > 0

Utilizando a mesma Tabela A.3 para ρ’2/ρ(a2) = 0,720 8, tem-se:


SET 2011



k a/a2 (a/a2)×4

0,2 0,23 0,92

0,3 0,46 1,84

0,4 0,60 2,40

0,5 0,72 2,88

0,6 0,81 3,24

0,7 0,89 3,56


B.3.4.4 As curvas se cruzam no ponto:

a2 = 0,93 m e k2 = 0,21;

Como a2 = d1 + d2 e d1 = 0,64

m1461921,0121,01

5001211

21,0

2

223

2

⋅Ω=−

+=

−

+×=

=

k

k

k

ρρ

B.3.5 Determinação de a3 e ρρρρ.

B.3.5.1 Estimando a profundidade da 3º camada como sendo:

4,429,064,033,5

33,5832

3

3214

=−−=

=×=++=

d

ddda

m77816

600864,0

5752129,0

1461940,433,5

3

3

⋅Ω=′

++=′

ρ

ρ

B.3.5.2 Supondo a3 = 8 m tem-se ρ(a3) = 11 058 Ω⋅m

1659,07781605811)(

3,

3 ==ρ

ρ a, k < 0

Da mesma Tabela A.2 para ρ(a3)/ρ’3 = 0,659 1, tem-se:


SET 2011



k a/a3 (a/a3)×8

− 0,3 0,39 3,12

− 0,4 0,54 4,32

− 0,5 0,64 5,12

− 0,6 0,725 5,8

− 0,7 0,79 6,32

− 0,8 0,86 6,88

− 0,9 0,91 7,28

− 1,0 0,96 7,68


B.3.5.3 Supondo a3 = 12 m tem-se ρ(a3) = 6 400 Ω⋅m.

4381,0778164006)(

3,

3 ==ρ

ρ a, k < 0



k a/a3 (a/a3)×12

− 0,5 0,25 3,0

− 0,6 0,39 4,68

− 0,7 0,47 5,64

− 0,8 0,54 6,36

− 0,9 0,59 7,08

− 1,0 0,63 7,56


As curvas não se cruzam.


0447,0778165007)(

3,

3 ==ρ

ρ a, k < 0


SET 2011




k a/a3 (a/a3)×10

− 0,5 0,355 3,55

− 0,6 0,455 4,55

− 0,7 0,53 5,3

− 0,8 0,59 5,9

− 0,9 0,65 6,5

− 1,0 0,69 6,9


B.3.5.5 As curvas se cruzam, agora, no ponto:

m47,364,029,04,4logo

58,0em4,4

3

33

=−−=

−==

d

ka

m460458,0158,01

77816

58,0

4

3

⋅Ω=+

−=

∴

−=

ρ

k

B.3.6 Determinação de a4 e ρρρρ5

B.3.6.1 67,101632

43214 =×=+++= dddda

m2556

460427,6

1461947,3

5752129,0

600364,067,10

27,647,329,064,067,10

4,

4

4

⋅Ω=

+++=′

=−−−=

ρ

ρ

d


5803,025560265)(

4,

4 ==ρ

ρ a, k < 0



SET 2011



k a/a4 (a/a4)×16

− 0,3 0,69 11,0

− 0,4 0,82 13,1

− 0,5 0,925 14,8

− 0,6 1,02 16,3

− 0,7 1,09 17,4


B.3.6.3 Supondo a4 = 32 m tem-se ρ(a4) = 3820 Ω.m

7610,025568203)(

4,

4 ==ρ

ρ a, k < 0



k a/a4 (a/a4)×32

− 0,3 0,29 9,3

− 0,4 0,465 14,9

− 0,5 0,565 18,1

− 0,6 0,655 21,0

− 0,7 0,725 23,2

− 0,8 0,78 25,0


B.3.6.4 As curvas se cruzam no ponto:

m151333,0133,01

2556

33,0

m4,74,48,11logo

33,0em8,11

5

4

4

44

⋅Ω=+

−=

∴

−=

=−=

−==

ρ

k

d

ka


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B.4 Resultado da estratificação do solo

Na Figura B.7 apresenta-se o resultado da estratificação do solo.

Figura B.4 – Razão a/a1 e constante k



SET 2011



Figura B.7 – Perfil de estratificação do solo


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Anexo C (normativo)

Especificações dos equipamentos para a medição de resistividade do solo

C.1 Escopo e campo de aplicação

Este Anexo define os requisitos aplicáveis aos equipamentos destinados a medir a resistividade específica do solo, utilizando uma tensão de c.a.

C.2 Termos e definições

Para os efeitos deste Anexo, aplicam-se os termos e definições da Seção 3 e os seguintes.

C.2.1 tensão de medida tensão existente entre os bornes (ES) e (S) do equipamento de medição, conforme Figura C.1

C.2.2 tensão de interferência em modo série tensão alheia ao sistema que está superposta à tensão de medida

C.2.3 resistência indicada resistência indicada pelo instrumento e que é proporcional à resistividade específica do solo a uma dada profundidade

C.3 Requisitos

Além dos requisitos de segurança que devem nortear o projeto de qualquer equipamento de medição, aplicam-se os abaixo indicados.

C.3.1 A Figura C.1 representa um equipamento com seu esquema elétrico simplificado, com as conexões aos eletrodos igualmente espaçadas a uma distância a.

O equipamento deve possuir 4 bornes internacionalmente denominados (E), (ES), (S), e (H).

Para efetuar uma medição de resistividade do solo, os bornes (E) e (ES) não podem estar conectados entre si.

Os bornes externos (E) e (H) geram uma corrente através do solo medida pelo circuito de corrente do instrumento, enquanto os bornes internos (ES) e (S) medem a tensão produzida no solo.

Com a tensão registrada entre (S) e (ES) dividida pela corrente gerada por (H) e (E) obtêm-se a Resistência indicada (C.2.3) e mostrada na Figura C.2.

As resistências R1, R2, R3, e R4 representam as resistências de aterramento dos eletrodos auxiliares e a Ri representa a resistência que o solo oferece para uma determinada profundidade a que é considerada igual à distância de espaçamento a dos eletrodos.


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Figura C.1 – Esquema elétrico simplificado de um terrômetro e do circuito que oferece o solo quando se mede resistividade

A Figura C.2 mostra um equipamento que indica o valor de resistência Ri = 120 Ω. Para se obter o valor da resistividade do solo em uma camada de profundidade igual ao espaçamento a [m], deve-se utilizar este valor de resistência nas equações C.1 ou C.2.

Figura C.2 – Equipamento indicando valor de Ri


SET 2011


2222 4

21

4

ba

a

ba

aI

Va

+−

++

×××=

πρ Equação C.1

onde

ρ é a resistividade em [Ω.m];

π é igual a 3,1416;

a é a distancia de espaçamento dos eletrodos em [m];

b é a profundidade de cravação dos eletrodos;

Ri é a resistência indicada (relação da tensão sobre corrente);

Ou com a forma simplificada como indica a equação C.2:

( )i2 Ra×= πρ Equação C.2

Existem equipamentos que permitem introduzir o valor de espaçamento entre eletrodos, e o resultado da resistividade ρ é mostrado diretamente para uma profundidade igual ao espaçamento a. No exemplo da Figura C.3 para uma resistência de 120 Ω o equipamento indicará ρ = 753,6 [Ω.m] para uma distância de espaçamento entre eletrodos de 1 m.

Figura C.3 – Equipamento indica o valor da resistividade ρρρρ para uma profundidade a ==== 1 m


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C.3.2 A tensão de saída presente nos bornes (E) e (H) deve ser uma tensão alternada.

Tanto a frequência como a forma de onda do sinal devem ser escolhidas de maneira que as interferências elétricas, inclusive as oriundas de instalações energizadas à frequência da rede de distribuição (60 Hz), não afetem os resultados das medições.

C.3.3 O fabricante do equipamento deve informar no manual de instruções se a influência das tensões perturbadoras de c.a. na frequência industrial ou contínua ultrapassa os requisitos indicados em C.3.4.

C.3.4 Dentro da faixa de medição estabelecida, o máximo erro de operação, em valor percentual, não pode exceder 30 % do valor medido (tido como valor convencional) e determinado segundo o estabelecido na Tabela C.1.

O erro de funcionamento deve ser aplicável dentro das seguintes condições:

O valor eficaz da tensão parasita em modo série deve ser menor que 3 V quando de injeção de tensões de interferência em modo série para as frequências da rede de 60 Hz e 50 Hz ou para uma tensão contínua entre os bornes (E), (ES), (H) e (S):;

a resistência de aterramento dos eletrodos auxiliares de corrente e dos eletrodos de potencial não pode ultrapassar 100 vezes a resistência indicada que se pretende medir, para um máximo de 50 kΩ.

C.3.5 O aparelho de medida deve informar se as resistências (de aterramento) máximas admissíveis dos eletrodos auxiliares de corrente e tensão são ultrapassadas.

C.3.6 Durante as medidas, não podem aparecer tensões de contato perigosas. Este objetivo pode ser alcançado através de um projeto adequado da fonte de tensão de saída mediante as seguintes providências:

limitar o valor da tensão de saída de circuito aberto a um valor eficaz de 50 V ou um valor de pico de 70 V;

NOTA Estes valores, quando os ensaios forem realizados em locais com terrenos úmidos, não podem ultrapassar um valor eficaz de 25 V ou um valor de pico de 35 V, como indicado na Tabela C.2 da ABNT NBR 5410:2004.

quando o valor da tensão de saída de circuito aberto exceder 50 V eficazes ou 70 V de pico (25 Vef

ou 35 V de pico conforme NOTA acima), o equipamento deve limitar o valor máximo da corrente injetada no terreno a 7 mA eficazes, ou 10 mA valor de pico;

quando a condição anterior não se cumprir, deve produzir-se uma interrupção automática do processo de medida nos tempos admissíveis que se indicam na Figura 2 da IEC 61010-1:2010.

O conteúdo deste Anexo visa evitar acidentes elétricos potencialmente fatais com os operadores ou as pessoas presentes na vizinhança.


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C.3.7 O usuário não deve estar exposto a uma tensão de contato que ultrapasse a máxima admissível e o aparelho de medição não deve sofrer danos quando qualquer borne disponível para conexão à rede de alimentação for conectado a uma tensão que não exceda sua tensão nominal acrescida de 20%. Os dispositivos de proteção do equipamento não devem atuar para essa condição.

C.4 Marcações e instruções de funcionamento

C.4.1 Marcações

Além da marcação definida na IEC 61557-1, o equipamento de medição deve ter as seguintes informações marcadas sobre ele, de forma indelével:

tipo de equipamento;

unidades da magnitude de medida;

faixa de medição;

tipo de fusível e corrente marcada para fusíveis intercambiáveis;

tipo de bateria, o acumulador e polaridade da conexão no local da bateria;

tensão nominal da rede de distribuição e o símbolo para duplo isolamento de acordo com a IEC 61010-1 para equipamentos de medição com alimentação de rede de distribuição;

nome do fabricante ou marca registrada;

número de modelo, nome ou outros meios para identificar o equipamento (interna ou externamente);

referência às instruções de funcionamento com o símbolo de acordo com a IEC 61010

-1; a seguinte informação deve ser indicada sobre o equipamento de medida.

a faixa de medição dentro da qual se aplica o erro máximo de funcionamento;

a frequência da tensão de saída;

a designação dos bornes (se houver espaço) ou coincidentes com os equipamentos para medição de resistência de aterramento conforme ABNT NBR 15749:

(E): borne da tomada de terra;

(ES): borne do eletrodo mais próximo à tomada de terra;

(S): borne do eletrodo auxiliar de tensão;

(H): borne do eletrodo auxiliar de corrente.

!


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C.4.2 Instruções de funcionamento

Além das indicações especificadas na IEC 61557-1, as instruções do manual de funcionamento devem conter as seguintes informações:

a) os campos de aplicação (por exemplo, para locais secos, úmidos ou outros, conforme Tabela 19 da ABNT NBR 5410:2004) dos aparelhos destinados a medir a resistência de terra.

b) se for aplicável, a influência das tensões de interferência em modo série quando estas são superiores aos valores indicados em C.3.4;

c) as indicações relativas ao bom funcionamento do gerador manual (se for utilizado);

d) as designações dos bornes, quando diferem do indicado em c.4.1-i4).

C.5 Métodos de ensaio

Devem ser realizados os ensaios de C.5.1 a C.5.6.

C.5.1 O erro de funcionamento deve ser determinado segundo o indicado na Tabela C.1. Neste método, o erro intrínseco deve ser determinado dentro das condições de referência seguintes:

valor nominal da tensão de alimentação;

quando se utiliza para alimentação um gerador manual, a velocidade nominal em rpm;

frequência nominal da tensão de alimentação para equipamentos de medida alimentados pela rede, segundo o indicado em C.3.4;

temperatura de referência, 23 ºC ± 2 ºC;

posição de referência de acordo com o indicado pelo fabricante;

resistências dos eletrodos auxiliares, 100 Ω;

tensão de interferência 0 V;

o erro de funcionamento assim avaliado não pode ultrapassar os limites especificados em C.3.3.

C.5.2 Comprovar se as condições estabelecidas em C.3.6, referentes à tensão em circuito aberto, a corrente de curto-circuito e o retardo na desconexão são cumpridas em cada uma das faixas de medição disponíveis (ensaio de rotina).

C.5.3 É necessário comprovar se as resistências máximas admissíveis são superadas para os eletrodos auxiliares (ensaio de tipo).

C.5.4 A proteção contra sobrecarga, de acordo com o indicado em C.3.7 (ensaio de tipo).

C.5.5 A conformidade com os ensaios deve ser registrada.


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Tabela C.1 — Cálculo do erro de funcionamento

Erro intrínseco ou magnitude de influência

Condições de referência ou campo de funcionamento especificado

Código de designação

Requisitos ou ensaios segundo seções ou

subseções correspondentes da

IEC 61557- 5

Tipo de

ensaio

Erro intrínseco Condições de referência A 5, 6.1 R

Posição Posição de referência ± 90º E1 1, 4.2 R

Tensão de alimentação Nos limites indicados pelo fabricante E2 1, 4.2, 4.3 R

Temperatura 0 ºC e 35 ºC E3 1,4.2 T

Tensão parasita de modo série Ver C.3.3 e C.3.4 E4 5, 4.2, 4.3 T

Resistência das hastes auxiliares

0 a 100 × RA;

porém ≤ 50 kΩ E5 5, 4.3 T

Frequência da rede 99 % a 101 % da frequência nominal E6 5, 4.3 T

Tensão da rede 85 % a 110 % da tensão nominal E7 5, 4.3 T

Erro de funcionamento

+++++++±= 2

726

25

24

23

22

21151 EEEEEEEAB , 5, 4.3 R

A = erro intrínseco

Ei = variações

R = ensaio de rotina

T = ensaio de tipo

( )alconvencionvalor

%100%

×±=

BB

C.5.6 Os equipamentos e seus acessórios devem estar projetados e fabricados com dispositivos de proteção dimensionados para a categoria de tensão compatíveis com as condições dos ensaios a serem realizados.

NOTA Para equipamento destinado a pesquisas em grandes profundidades através da medição de resistividade, é imperativo que cumpra com a condição indicada na Tabela C.1.

Nestes casos pode-se considerar que são aplicáveis todas as especificações destinadas aos equipamentos para medição de resistência de aterramento, exceto aquelas que limitam o uso por falta de sensibilidade ou por pouca tensão de sinal de teste, as quais se enumeram a seguir:

Em C.3.2 a tensão poderia ser de uma frequência tão baixa (alguns Hz) que em alguma literatura pode-se encontrar como de corrente contínua chaveada ou com inversão de polaridade com frequência abaixo de 15 Hz.

É desejável que o equipamento possa cumprir com os requisitos de C.3.3, C.3.4, C.3.5 e C.3.6, porém, a limitação da tensão até 50 V ou a corrente de curto-circuito a 7 mA podem ser superados para alcançar os objetivos de medição desejados. Para tanto, devem ser tomadas medidas de proteção individual visando minimizar os riscos de choque elétrico.


SET 2011


Anexo D (informativo)

Método dos dois eletrodos

Trata-se de um método aproximado, para avaliar a ordem de grandeza da resistividade de pequenos volumes de solo. Consiste em cravar dois eletrodos iguais, a uma mesma profundidade, afastados de uma distância adequada (maior ou igual a 5×L). Interligam-se os eletrodos através de um cabo isolado e mede-se a resistência em série dos eletrodos com um instrumento do tipo alicate terrômetro, com a pinça enlaçando o cabo de interligação.

Como a resistência medida para os dois eletrodos Rm é duas vezes a de cada eletrodo, R1e,

)2

ln()2

ln(2

22 2e2e1em

r

L

Lr

L

LRR ⋅=⋅⋅=⋅=

π

ρ

π

ρ Equação D.1

a resistividade média do solo entre os eletrodos será:

)2

ln(

m2e

r

L

LR πρ = Equação D.2

onde

ρ2e é a resistividade média vista pelos dois eletrodos em (Ω.m);

Rm é a resistência medida em (Ω);

L é a profundidade de cravação (m);

R é o raio do eletrodo (m).


SET 2011


Anexo E (informativo)

Amostragem física do solo

A amostragem física do solo (deformada e/ou indeformada) pode fornecer um critério comparativo com os resultados obtidos em campo pelo método dos quatro pontos.

Em laboratório podem ser obtidas curvas de resistividade em função da quantidade de água adicionada ao solo, além de realizar ensaios de capacidade de retenção de água.

O perfil do comportamento da variação da resistividade com o teor de água para um solo hipotético, mostra a resistividade mínima (quando o solo está saturado com água) e a resistividade quando o solo está totalmente seco.

A capacidade de retenção de água representa a umidade que o solo terá, na sua maior parte do tempo, pois este fator está relacionado com a penetração de água no solo pelo efeito de capilaridade. Assim a resistividade nessa porcentagem é a resistividade mais representativa do solo. Este método pode ser mais um recurso a ser utilizado como auxílio durante análise dos resultados encontrados pelo método dos quatro pontos.

Medição da resistividade e determinação da estratificação do...

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