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Medidas de Centralização
Disciplina de Estatística – 2012/2 Curso de Administração em Gestão Pública
Profª. Me. Valéria Espíndola Lessa e-mail: [email protected]
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Medidas - Resumo
Exemplo: Em um ponto de ônibus, uma pessoa pergunta sobre o tempo até a passagem de uma determinada linha. Suponha que você havia registrado, na semana anterior, os tempos (em minutos) e obteve os seguintes resultados:
9; 12; 8; 10; 14; 7; 10
Ao responder: “o ônibus demora, em média, 10 minutos”, você está trocando um conjunto de valores por um único número que os resume. Ao adotar este procedimento foi utilizada uma medida-resumo, neste caso a média aritmética.
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Medidas - Resumo
• A classificação da variável vai orientar a escolha da medida resumo mais adequada.
• A maior parte das medidas a serem apresentadas aplicam-se somente a variáveis quantitativas.
• As medidas-resumo podem focar vários aspectos no conjunto de dados. Os aspectos que iremos estudar, são:
– Medidas de Centralização(Tendência central);
– Medidas de Dispersão.
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Medidas de Centralização
• As medidas de tendência central indicam, em geral, um valor central em torno do qual os dados estão distribuídos.
• As principais medidas de centralização na Estatística são:
– Media aritmética (simples e ponderada), mediana e moda
• Além destas, outras medidas são utilizadas com fins específicos tais como:
– média geométrica, média harmônica, 4
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Somatório
Seja os valores:
Notação matemática:
n321 x,...,x,x,x
n321
n
1i
i x...xxxx
5
Letra grega
“sigma”
maiúsculo
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• A média aritmética também é conhecida como ponto de equilíbrio e centro de gravidade, denominações surgidas da Física. Ela indica o valor em torno do qual há um equilíbrio na distribuição dos dados. O seu cálculo é feito conforme:
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ( )
n
x...xxx
n
x
x n321
n
1i
i
x
6
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Exemplo:
• Determinar a média aritmética simples dos valores: 3, 7, 8, 10, 11.
8,7
5
39
5
1110873
n
xx
7
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No Excel...
OU
8
=MÉDIA(intervalo)
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• É usado quando os dados estão agrupados numa distribuição de frequências;
• Isso significa que o valor do dado deverá ser multiplicado pela sua frequência;
• Exemplo:
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA ( ) x
Dados Originais: 2,2,3,4,3,3,4,4,4,2,4
Xi Fi
2 3
3 3
4 5
9
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• Com os dados originais, teríamos que somar cada número xi e dividir por 11.
• Mas tendo a distribuição de frequências, podemos multiplicar:
• Ou seja,
81,311
35
11
543332
x
n
Fx
FFF
FxFxFxx
n
i
ii
1
321
332211
10
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No Excel...
• Não há fórmula específica;
• Teremos que inserir fórmulas...
• Desafio: Como você faria?
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Média Aritmética nas Tabelas de Distribuição em Classes:
Exemplo: Determinar a média da distribuição, sendo n=40.
Renda Familiar (milhares de R$)
2 |-- 4 4 |-- 6 6 |-- 8 8 |-- 10 10 |-- 12
Nº de Famílias (Fi)
5 10 14 8 3
Neste caso, as classes são representadas pelos seus pontos médios:
3, 5, 7, 9 e 11
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Classes Xi = ponto médio
Fi Xi . Fi
2 |-- 4 3 5 15
4 |-- 6 5 10 50
6 |-- 8 7 14 98
8 |-- 10 9 8 72
10 |-- 12 11 3 33
Total 40 268
7,640
268
40
3118914710553x
A média deste grupo é de R$ 6.700,00
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Exercícios de Médias – Faça no Excel também
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1) Qual é a média final de um estudante que obteve as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos? Se a média para aprovação é 6,0, ele foi aprovado?
2) Qual a média nas distribuições abaixo:
a)
b)
Xi 3 4 7 8 12
Fi 2 5 8 4 3
Classes 1,5|--3,5 3,5|--5,5 5,5|--7,5 7,5|--9,5 9,5|--11,5
Fi 12 18 20 10 5
x = 4,875; Não
x = 6,82
x = 5,823
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• É a medida que está no centro de todas as outras;
• Numa Tabela de dados brutos:
É obtida colocando-se todos os valores em ordem e se a amostra tiver um número de termos:
– Ímpar: a mediana é o elemento médio
– Par: a medida é a semi-soma dos dois elementos médios.
MEDIANA ( ) Mdoux~
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Exemplo com número ímpar:
Encontre a mediana dos dados:
45, 41, 42, 41, 42, 43, 44, 41, 50, 46, 46
Colocando em ordem crescente, temos:
41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 46, 50
Há 11 termos, a mediana está na 6º colocação.
Para calcular a ordem (posição) se faz:
lugarº6
2
12
2
111
2
1n
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Exemplo com número par:
Encontre a mediana dos dados:
45, 41, 42, 41, 42, 43, 44, 41, 50, 46
Colocando em ordem crescente, temos:
41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 50
Há 10 termos, a mediana está entre na o 5º e o 6º termo, portanto, se faz a média dos termos de ordem
5,422
85
2
4342
1
2
ne
2
n
17
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No Excel...
18
• Há uma fórmula pronta: =MED(intervalo)
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Mediana nas Tabelas de Distribuição em Classes
• Exemplo: Qual é a mediana?
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Classes Fi
35 |-- 45 5
45 |-- 55 12
55 |-- 65 18
65 |-- 75 14
75 |-- 85 6
85 |-- 95 3
Σ 58
Sabemos que se há 58
elementos, a mediana é a
média aritmética do
elemento de posição 29º e
30º (58/2 e 58/2 +1)
Então, em qual classe está
a mediana?
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• Para facilitar a ordenação dos elementos da tabela, devemos organizar uma coluna com a Frequência Acumulada.
Classes Fi Fac
35 |-- 45 5 5
45 |-- 55 12 17
55 |-- 65 18 35
65 |-- 75 14 49
75 |-- 85 6 55
85 |-- 95 3 58
Σ 58
20
1º ao 5º
6º ao 17º
18º ao 35º
Quais destes valores é a mediana?
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Fórmula da Mediana
classe
aant2n
iclasseF
hfLx~
classedafrequênciaF
classedaamplitudeh
anterioracumuladasfrequênciaf
elementosdenúmeron
classedaerioriteL
classe
aant
iclasse
inflim
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1º) Encontrar a classe que está a mediana, como já fizemos: 3ª classe
2º)Aplicar a fórmula com
Liclasse = 55; n = 58; faant = 17; h = 10; Fclasse= 18
Classes Fi Fac
35 |-- 45 5 5
45 |-- 55 12 17
55 |-- 65 18 35
65 |-- 75 14 49
75 |-- 85 6 55
85 |-- 95 3 58
Σ 58
Classe que
contém 29º
e 30º
elemento
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67,61667,655
18
12055
18
10172955
18
10172/5855~
x
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Exemplo:
• Calcule a Mediana
Classes Fi Fac
7 |-- 17 6 6
17 |-- 27 15 21
27 |-- 37 20 41
37 |-- 47 10 51
47 |-- 57 5 56
Σ 56
1º) n/2 = 56/2 => 28º e 29º 2º) 3ª Classe 3º) Fórmula:
Liclasse = 27 Faant = 21 Fclasse = 20
h = 10
5,30
20
10212827x~
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No Excel...
• Não há fórmula específica;
• Teremos que inserir fórmulas...
• Desafio: Como você faria?
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MODA (Mo)
É o valor em um conjunto de dados que ocorre com
maior freqüência.
• Um conjunto de dados pode ser:
– Unimodal (uma moda); 0,0,0,1,1,1,3,3,3,3,3,3,5,5,7 → Mo = 3
– Amodal (não possuir moda, pois não existe nenhum valor que ocorre com maior freqüência);
1,2,3,4,5,6 → Mo = não existe
– Multimodal (possui mais de uma moda); 2,2,2,3,4,5,6,6,6,7,8 → Mo = 2 e 6
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No Excel...
• Há fórmula: = Mo(intervalo)
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• Exemplo: Calcular a Moda da distribuição:
• Como podemos ver, o valor que tem mais frequência (23) é o 248, portanto, Mo = 248.
Xi 243 245 248 251 307
Fi 7 17 23 20 8
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Moda com Tabela de distribuição em Classes
• Exemplo: Calcular a moda.
• Conseguimos ver em qual classe está a moda, encontrando a classe com maior frequência.
• Classe modal: 3º
29
Classes 0|-- 1 1|-- 2 2|-- 3 3|-- 4 4|-- 5 Σ
Fi 3 10 17 8 5 43
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• É preciso aplicar a fórmula:
30
hLMo21
1iclasse
classedaamplitudeh
eriornteimediatamea
ealclassedafrequênciaaentrediferença
eriornteimediatamea
ealclassedafrequênciaaentrediferença
classedaeriorLimiteLiclasse
sup
mod
inf
mod
inf
2
1
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Exemplo: Calcular a moda.
Resolução:
1º) Devemos encontrar a classe modal, ou seja, a classe que possui a maior frequência, neste caso é a 3ª classe;
2º) Aplicar a fórmula:
Δ1= 17 – 10 = 7
Δ2= 17 – 8 = 9
h = 1
Liclasse= 2
Classes 0|-- 1 1|-- 2 2|-- 3 3|-- 4 4|-- 5 Σ
Fi 3 10 17 8 5 43
44,216
39
16
732
16
721
97
72Mo
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Exemplo:
• Calcular a Moda
32
Classes 1,5|--3,5 3,5|--5,5 5,5|--7,5 7,5|--9,5 9,5|--11,5
Fi 12 18 20 10 5
1) A 3º classe é de maior frequência, portanto é a classe modal;
2) Aplicar a fórmula:
Δ1= 20 – 18 = 2
Δ2= 20 – 10 = 10
h = 2
Liclasse= 5,5
38,533,05,5
ou
383,512
70
12
466
12
45,5
212
25,52
102
25,5Mo
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No Excel...
• Não há fórmula específica;
• Teremos que inserir fórmulas...
• Desafio: Como você faria?
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- Lista de Exercícios -
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