MEDIDAS DE COMPRIMENTO E DE ÁREA: UM ESTUDO …... medidas de comprimento e de Área: um estudo...

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

EDUARDO JOSÉ DE OLIVEIRA ONOFRE

MEDIDAS DE COMPRIMENTO E DE ÁREA: UM ESTUDO

SOBRE UNIDADES DE MEDIDAS E SOBRE O CÁLCULO DE

ÁREAS DE ALGUMAS FIGURAS PLANAS.

João Pessoa – PB 2018

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EDUARDO JOSÉ DE OLIVEIRA ONOFRE

MEDIDAS DE COMPRIMENTO E DE ÁREA: UM ESTUDO

SOBRE UNIDADES DE MEDIDAS E SOBRE O CÁLCULO DE

ÁREAS DE ALGUMAS FIGURAS PLANAS.

Trabalho monográfico apresentado à Coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática a Distância da Universidade Federal da Paraíba como requisito parcial para obtenção do título de Licenciado em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Carlos Bocker Neto

João Pessoa – PB 2018

O58m Onofre, Eduardo José de Oliveira. Medidas de comprimento e de área : um estudo sobre unidades de medidas e sobre o cálculo de áreas de algumas figuras planas / Eduardo José de Oliveira Onofre. - João Pessoa, 2018. 50 f. : il.

Orientação: Carlos Bocker Neto. Monografia (Graduação) - UFPB/CCEN-EaD.

1. Unidades de medida. 2. Cálculo de área. 3. Medidas agrárias. 4. Medidas de comprimento. I. Bocker Neto, Carlos. II. Título.

UFPB/BC

Catalogação na publicaçãoSeção de Catalogação e Classificação

4

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho aos meus familiares por

estarem sempre presentes em minha vida,

dando-me ensinamentos que servirão até o fim

de meus dias.

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AGRADECIMENTOS

A Deus que é supremo e que dá forças para seguir superando os desafios e buscando apoio para recomeçar sempre. Aos meus pais porque são fonte de apoios, de força, de solidariedade e estão sempre impulsionando-me em direção ao sucesso. Aos amigos que partilham desta etapa e que jamais serão esquecidos, porque fazem parte de um período especial da minha história. Aos professores, que contribuíram com simplicidade, humanidade e sabedoria para que vencêssemos mais esta etapa.

A todos, muito obrigado!

6

“Não há ramo da matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real”.

(Lobachevsky)

7

RESUMO

O presente trabalho acadêmico traz um estudo sobre medidas de comprimento e de área com

enfoque nas principais unidades de medidas, derivadas da unidade padrão (o metro) e também

traz uma pesquisa sobre as diversas unidades de medidas de origem agrárias. Além disso,

apresentamos fórmulas para as principais figuras planas e fazemos um breve estudo sobre

uma fórmula para o cálculo de área de quadriláteros usado por agricultores e discutimos,

através de exemplos, o erro cometido por tal fórmula.

Palavras-chaves: unidades de medida, comprimento, área, medidas agrárias.

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ABSTRACT The present work presents a study on length and area measurements with a focus on the main

units of measurement, derived from the standard unit (the meter) and also brings a research

about the different units of measures of agricultural origin. In addition, we present formulas

for the main flat figures and we do a brief study on a formula for calculating areas of

quadrilaterals used by farmers and we discuss, by way of example, the error made by such a

formula.

Keywords: units of measurement, length, area, agricultural measures.

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INDICE DE TABELAS

TABELA 1.0.1: Relações entre o metro e as medidas de comprimento .................................. 15

TABELA 1.0.2: Exemplo de transformações de unidades de medidas de comprimento ........ 16

TABELA 1.3: Relação entre o metro quadrado e as medidas de área ..................................... 18

10

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1: Quadrado ................................................................................................................ 22 Figura 2.2: Demonstração da área do retângulo ....................................................................... 23 Figura 2.3: Demonstração da área do retângulo ....................................................................... 23 Figura 2.4: Demonstração da área do retângulo ....................................................................... 24 Figura 2.5: Paralelogramo. ....................................................................................................... 25 Figura 2.6: Demonstração da área do paralelogramo. .............................................................. 25 Figura 2.7: Demonstração da área do paralelogramo ............................................................... 25 Figura 2.8: Triângulo ................................................................................................................ 26 Figura 2.9: Demonstração da área do triângulo. ...................................................................... 27 Figura 2.10: Demonstração da área do triângulo. ..................................................................... 27 Figura 2.11: Triângulo ABC ..................................................................................................... 28 Figura 2.12: Triângulo ABC da demonstração da formula de Heron. ..................................... 29 Figura 2.13: Quadrilátero ABCD ............................................................................................. 31 Figura 2.14: Quadrilátero ABCD com diagonal ....................................................................... 32 Figura 2.15: Triângulo ABC ..................................................................................................... 32 Figura 2.16: Triângulo ACD .................................................................................................... 33 Figura 2.17: Trapézio ............................................................................................................... 34 Figura 2.18: Demonstração da área do trapézio ....................................................................... 34 Figura 2.19: Losango ................................................................................................................ 35 Figura 2.20: Demonstração da área do losango. ....................................................................... 36 Figura 2.21: Polígono AEBDC ................................................................................................. 37 Figura 22: Exemplo 3.3 ............................................................................................................ 43 Figura 3.23: Exemplo 3.4 ......................................................................................................... 45

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 12

1 - AS DIVERSAS MEDIDAS DE COMPRIMENTO E DE ÁREA E SUAS RELAÇÕES. 14

1.1 - Unidades de medida de comprimentos ......................................................................... 14

1.2 - Unidades de medida de áreas........................................................................................ 17

1.3 - Exemplos de unidades de medidas agrárias no Brasil ................................................. 20

2 - ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS ............................................................. 22

2.1 - Área do quadrado ......................................................................................................... 22

2.2 - Área do retângulo ......................................................................................................... 22

2.3 - Área do paralelogramo ................................................................................................. 24

2.4 - Área do triângulo .......................................................................................................... 26

2.5 - A Fórmula de Heron. .................................................................................................... 29

2.6 - Área do trapézio ........................................................................................................... 33

2.7 - Área do losango ............................................................................................................ 35

2.8 - Área de polígonos quaisquer ........................................................................................ 37

3 - O CÁLCULO DE ÁREAS NA AGRICULTURA ............................................................. 39

3.1 - Cálculo de área para qualquer quadrilátero .................................................................. 45

3.2 – Possíveis dificuldades e sugestões para o cálculo de áreas na agricultura. ................. 48

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 49

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INTRODUÇÃO

O estudo de comprimento e de área está ligado aos conceitos relacionados à geometria

euclidiana, que surgiram na Grécia antiga embasada no estudo do ponto, da reta e do plano.

Alguns dos principais documentos históricos atestam os conhecimentos geométricos das

antigas civilizações através dos papiros de Moscou (ou Golenishew) e Rhind (ou Ahmes)

datados de 1850 a. C. e 1650 a. C., respectivamente.

Análises desses papiros constataram que os egípcios tinham vários conhecimentos

geométricos e resolviam problemas relacionados à geometria. De acordo com EVES (1995,

p.75), vinte e seis dos 110 problemas dos papiros de Moscou e Rhind são geométricos.

Na Grécia antiga, por volta de 300 a. C., o geômetra grego Euclides produzia sua obra

prima intitulada os Elementos, que reuniu de modo sistematizado os principais conhecimentos

de seus precursores.

Na obra de Euclides, a ideia de área está associada ao conceito de igualdade entre

figuras (equivalência). Isto pode ser observado quando enuncia que triângulos iguais

(equivalentes), e que paralelogramos com bases iguais situadas entre as mesmas paralelas

também são figuras iguais. Ou seja, duas figuras são equivalentes quando têm a mesma

grandeza (ou mesma área).

Medir uma grandeza (comprimento ou superfície) significa compará-la com outra de

mesma espécie, tomada como unidade. O resultado dessa comparação é um número, esse

número é a medida (LIMA, 1991).

Assim, por exemplo, para medir distâncias (comprimento) será necessário fixar uma

outra distância como unidade de medida e verificar quantas vezes a distância fixada cabe

dentro da distância a ser medida. O mesmo pode ser dito para áreas, para medir a superfície de

uma região é necessária outra superfície com unidade de medida e verificar quantas vezes

essa unidade cabe dentro dessa região a ser medida. Geralmente, toma-se um quadrado como

unidade de medida de área e, assim, a área da região medida é o número de vezes que o

quadrado fixado cabe dentro dessa região. Outro recurso utilizado é a decomposição de uma

figura em outras, cujas áreas sejam conhecidas.

Nosso trabalho tem por finalidade fazer um estudo sobre as diversas unidades de

comprimento e de áreas e fazer uma pequena análise sobre uma fórmula de cálculo de área de

quadriláteros realizados na agricultura. Para isso, o trabalho foi dividido em três capítulos.

13

No primeiro capítulo, fazemos um breve estudo sobre as principais unidades medidas

de comprimento e de áreas, onde além das medidas derivadas da unidade padrão (o metro),

destacamos diversas outras utilizadas ainda hoje na agricultura. Já, no segundo capítulo,

descrevemos as fórmulas das áreas das principais figuras geométricas e, no terceiro capítulo,

finalizamos com a descrição e análise de uma fórmula de cálculo de área de quadriláteros

usada por agricultores.

14

1 - AS DIVERSAS MEDIDAS DE COMPRIMENTO E DE ÁREA E SUAS

RELAÇÕES.

1.1 - Unidades de medida de comprimentos

As medidas de comprimento estão presentes em quase todas as atividades e situações

de nosso cotidiano e a principal medida de comprimento utilizada é o metro, seus múltiplos e

submúltiplos. Porém, nem sempre foi assim. Antigamente, cada povo utilizava um sistema de

unidades diferente para medir comprimentos, tomando como base, por exemplo, partes do

corpo humano: o palmo, o passo, o pé, o braço, etc.

O sistema métrico, que conhecemos hoje, é um sistema de medição internacional,

decimalizado, que surgiu pela primeira vez na França, durante a revolução Francesa, em

virtude da dificuldade de funcionamento do comércio e da indústria devido à existência de

diversos padrões de medida.

Com o país unificado, uma moeda única e um mercado nacional também unificado,

havia um forte incentivo econômico para romper com essa situação e padronizar um sistema

de medidas. O problema constante não eram somente as diferentes unidades, mas,

principalmente, os diferentes tamanhos das unidades. Ao invés de simplesmente padronizar o

tamanho das unidades existentes, os líderes da Assembleia Nacional Constituinte Francesa

decidiram que deveria ser adotado um sistema completamente novo.

O Governo Francês fez um pedido à Academia Francesa de Ciências para que criasse

um sistema de medidas baseadas em uma constante não arbitrária. Após esse pedido, um

grupo de investigadores franceses, composto de físicos, astrônomos e agrimensores, deu

início a essa tarefa, definindo assim que a unidade de comprimento metro deveria

corresponder a uma determinada fração da circunferência da Terra e correspondente também

a um intervalo de graus do meridiano terrestre.

Assim, o metro, indicado por m, foi definido como unidade fundamental de

comprimento.

Um aspecto importante ao se medir uma determinada distância é levar em

consideração qual unidade de medida é mais adequada para a medição de tal distância. Por

exemplo, para medir a distância entre cidades é mais adequado que se use o quilômetro que

equivale a 1.000 metros, já para medir o tamanho de pequenos objetos é mais adequado o uso

do centímetro que equivale a 0,01 metro. O quilômetro e o centímetro são exemplos dos

15

chamados múltiplos e submúltiplos do metro. O quadro abaixo traz os principais múltiplos e

submúltiplos decimais do metro.

Tabela 1.1: Relações entre o metro e as medidas de comprimento

Múltiplos

Quilômetro

Hectômetro

Decâmetro

km

hm

dam

1000 m

100 m

10 m

Unidade

Fundamental Metro m 1 m

Submúltiplos

Decímetro

Centímetro

Milímetro

dm

cm

mm

0,1 m

0,01 m

0,001 m

Fonte: https://blogdoenem.com.br/comprimento-e-area-matematica-enem/

Embora o metro seja uma unidade universal, em algumas situações de nosso cotidiano,

encontramos unidades diferentes do metro e de seus múltiplos e submúltiplos. Por exemplo,

para medir a distância entre planetas (por ser muito grande) utiliza-se uma unidade chamada

Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano); Ano-luz = 9.460.800.000.000 km. Já para

medir o diâmetro de um furo, de instalações hidráulicas (água) ou elétrica utiliza-se a unidade

de medida polegada (pol): 1 pol = 2,54 cm. Na navegação, adota-se como unidade de

distância a milha marítima que corresponde a 1852 metros.

Além disso, nos países que falam a língua inglesa, por questões culturais, ainda se

adota unidades de medidas diferentes das adotadas pelo sistema métrico. Como por exemplo,

são utilizadas as seguintes medidas: Pé = 30,48 cm (correspondente a 12 polegadas); Jarda =

91,44 cm (correspondente a 3 pés) e Milha terrestre que equivale à 1609,344 m.

Agora vamos falar um pouco mais sobre o metro, seus múltiplos e submúltiplos.

Usando números decimais na representação das medidas de comprimento, podemos levar em

conta as seguintes regras:

16

• A parte inteira representa a medida indicada.

• A parte decimal representa unidades menores e recebe o nome da unidade ocupada

pelo último algarismo.

Observe os exemplos na tabela abaixo:

Exemplo 1.1:

Tabela 1.2: Exemplo de transformações de unidades de medidas de comprimento

MEDIDAS DE

COMPRIMENTO

UNIDADES

COMO SE LÊ

km hm dam m dm cm mm

6,45 m

6

4

5

Seis metros e

quarenta e cinco

centímetros

0,042 m

0 0 4 2 Quarenta e dois

Milímetros

5,300 km

5

3

0

0

Cinco Quilômetros e

trezentos metros

Fonte: Autoria própria

Uma das vantagens de se usar os múltiplos e submúltiplos decimais do metro está na

facilidade de conversão entre eles. As sucessivas unidades de medida de comprimento variam

de 10, isto é, cada uma é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Então, para transformar as unidades de medida, usamos o mecanismo:

km hm dam m dm cm mm

Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/unidades-medidas-area.htm

x10 x10 x10 x10 x10

÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10

x10 Figura 1.1: Mecanismo prático de conversão de medidas de comprimento

17

Através do conhecimento dos números decimais e suas operações de multiplicação e

divisão pode-se sempre chegar aos resultados das conversões sem muito esforço e com muita

facilidade. Vejamos alguns exemplos de mudança de unidades.

Exemplo 1.2: João tem 1,79 m de altura. Qual a altura de João em cm? E em km?

Como 1 m = 100 cm, 1,79 m = (1,79 x 100) cm = 179 cm. Já para outra

transformação, observe que 1000 m = 1 km e, portanto, 1 m = 0,001 km. Logo, 1,79 m = 1,79

x 0,001 km = 0,00179 km. Note que a última unidade não é muito adequada para se medir a

altura de uma pessoa.

Exemplo 1.3: Uma família consumiu em um ano 300 reais em papeis higiênicos.

Supondo que o rolo de 30m de papel higiênico custa 50 centavos de real, quantos decâmetros

de papel higiênico esta família consumiu?

Na resolução deste problema utilizaremos a regra de três simples duas vezes,

inicialmente para saber quantos metros tem 300 reais de papel higiênico e, após isso, na

conversão desse valor para decâmetro.

30𝑚𝑚 = 𝑅𝑅$ 0,50

𝑥𝑥 = 𝑅𝑅$ 300,00

𝑅𝑅$ 0,50 𝑥𝑥 = 𝑅𝑅$ 300,00 . 30 𝑚𝑚

𝑥𝑥 = 𝑅𝑅$ 300,00 . 30 𝑚𝑚

𝑅𝑅$ 0,50

𝑥𝑥 = 18000 𝑚𝑚

1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 = 10 𝑚𝑚

𝑥𝑥 = 18000 𝑚𝑚

18000 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 = 10 𝑚𝑚 𝑥𝑥

𝑥𝑥 = 18000 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚

10 𝑚𝑚

𝑥𝑥 = 1800 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚

Portanto, a família consumiu 1800 dam de papel higiênico.

1.2 - Unidades de medida de áreas

A área é a medida de uma superfície, a unidade fundamental de medidas de área é o

metro quadrado, cujo símbolo é m2, que corresponde a comprimento x largura de um metro

quadrado.

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Dependendo da superfície a ser medida, podemos utilizar os múltiplos e os

submúltiplos do metro quadrado.

Para medir grandes superfícies, temos o decâmetro quadrado, o hectômetro quadrado e

o quilômetro quadrado, sendo este último mais utilizado, o qual representa uma região

determinado por um quadrado de um quilômetro de lado. Geralmente, o quilômetro é usado

para medir a superfície de um município, de um estado, de um país, etc.

Para medir pequenas superfícies, temos o decímetro quadrado, o centímetro quadrado

e o milímetro quadrado, que representam regiões determinada por quadrados de um

decímetro, um centímetro e um milímetro de lado, respectivamente.

Veja no quadro os múltiplos e os submúltiplos do metro quadrado.

Tabela 1.3: Relação entre o metro quadrado e as medidas de área

MÚLTIPLOS

Unidade Símbolo Valor em Metro

Quilômetro

quadrado km2

1000000 m2

Hectômetro

Quadrado hm2 10000 m2

Decâmetro

Quadrado dam2 100 m2

Unidade

Fundamental

Metro

Quadrado m2 1 m2

SUBMÚLTIPLOS

Decímetro

Quadrado dm2 0,01 m2

Centímetro

Quadrado cm2

0,0001 m2

Milímetro

Quadrado mm2

0,000001 m2

Fonte: https://blogdoenem.com.br/comprimento-e-area-matematica-enem/

As unidades de superfície variam sempre de 100 em 100. Cada unidade é 100 vezes

maior que a unidade imediatamente inferior da lista.

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Como podemos observar a figura abaixo:

km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/unidades-medidas-area.htm

Com isso temos as seguintes relações:

1 km2 = 100 hm2

1 hm2 = 100 dam2

1 dam2 = 100 m2

1 m2 = 100 dm2

1 dm2 = 100 cm2

1 cm2 = 100 mm2

O quilômetro quadrado é 100 vezes maior que o hectômetro quadrado. Este é 100

vezes maior que o decâmetro quadrado, e assim por diante.

Vejamos alguns exemplos de conversões.

Exemplo 1.4: Um pedreiro, ao ler as informações contidas em uma caixa de piso, que tinha

suas pedras na forma quadrada, observou que cada pedra media 1600 cm2 de área, ou seja, 40

cm de lado. Supondo que para realizar a pavimentação de um cômodo residencial seja

necessárias pedras quadradas com 20 cm de lado. Quantas pedras do tamanho desejado (20

cm de lado) ele poderá fazer com cada uma inteira (40 cm de lado)?

Para encontramos a solução do problema basta que dividamos a primeira área (A1)

pela segunda área (A2)

𝑆𝑆 = 𝐴𝐴1 / 𝐴𝐴2 𝑆𝑆 = 1600 𝑐𝑐𝑚𝑚2: 400 𝑐𝑐𝑚𝑚2

𝑆𝑆 = 4

Portanto, a partir das pedras originais cuja medida dos lados é de 40 cm, o pedreiro

poderá fazer 4 pedras com medidas dos lados 20 cm.

x100 x100 x100 x100 x100

÷100 ÷100 ÷100 ÷100 ÷100 ÷100

x100

Figura 1.2: Mecanismo prático de conversão de medidas de área

20

Exemplo 1.5: Um empresário comprou um terreno medindo 0,3 km de comprimento e

6 hm de largura, ele desejaria saber qual é a área em metros para poder fazer um loteamento.

Na resolução desse problema utilizamos a regra de três simples duas vezes para

converter ambas medidas de largura e comprimento para metros, e após isso determinamos

sua área ao multiplicar esses valores.

1 𝑘𝑘𝑚𝑚 = 1000 𝑚𝑚

0,3 𝑘𝑘𝑚𝑚 = 𝑥𝑥

𝑥𝑥𝑘𝑘𝑚𝑚 = 300𝑘𝑘𝑚𝑚 𝑚𝑚

𝑥𝑥 = 300 𝑘𝑘𝑚𝑚 𝑚𝑚

𝑘𝑘𝑚𝑚

𝑥𝑥 = 300 𝑚𝑚

1 ℎ𝑚𝑚 = 100 𝑚𝑚

6 ℎ𝑚𝑚 = 𝑥𝑥

𝑥𝑥ℎ𝑚𝑚 = 600 ℎ𝑚𝑚 𝑚𝑚

𝑥𝑥 = 600 ℎ𝑚𝑚 𝑚𝑚

ℎ𝑚𝑚

𝑥𝑥 = 600 𝑚𝑚

𝐴𝐴 = 300 𝑚𝑚 𝑥𝑥 600 𝑚𝑚 = 180000 𝑚𝑚2

Portanto, a área sobre a qual o empresário poderá lotear é de 180.000 m2.

1.3 - Exemplos de unidades de medidas agrárias no Brasil

Alqueire é a principal unidade agrária, variando de acordo com o número de litros ou

pratos de plantio de milho que comporta, segundo os costumes locais. A mesma unidade pode

ser usada para medir a capacidade para secos, que são grãos de sementes sem unidade (trigo,

milho, arroz, entre outros), equivalente a 36,27 litros ou quatro “quartos”. No Pará tem-se o

alqueire como medida de capacidade correspondente a dois paneiros ou a cerca de 30 quilos.

O valor do alqueire costuma variar de acordo com a região.

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1 alqueire goiano = 48.400 m2 = 4,84 ha

1 alqueire baiano = 96800 m2 = 9,68 ha

1 alqueire paulista = 24,200 m2 = 2,42 ha

1 alqueire mineiro = 48400 m2 = 2,72 ha

1 alqueire do Norte = 27200 m2 = 2,72 ha

Existem regiões no estado de Minas Gerais que consideram o alqueire como 33000m2

ou 3,3 ha, já outras regiões ao sul de Minas Gerais tem o alqueire como 24000 m2 ou 2,4 ha

comparando-se ao alqueire paulista.

As subunidades do alqueire são:

Litro: é a área do terreno em que se faz o plantio de um litro de sementes de milho

debulhado, variando de 5 a 6 grãos para cada m², cobrindo no total uma área de 605 m².

Prato: é a área do terreno com capacidade de plantio de um prato de milho,

correspondendo a uma área de 968 m².

Quarta: Corresponde a quarta parte do alqueire, variando na mesma proporção das

dimensões do alqueire, tendo como mínimo 25 . 25 braças e um máximo de 100 . 100 braças.

O are é uma unidade agrária criada unicamente para a medição de áreas agrarias,

correspondendo a 100 m². Tem como múltiplo o hectare (ha), que equivale a 10000 m² ou 100

ares. E seu submúltiplo, o centiare (ca), é igual a 1 m² ou 0,01 ares.

A tarefa é uma unidade agrária destinada a terras com plantio de cana de açúcar,

valendo no Ceará 3630 m², em Alagoas e Sergipe valendo 3052 m² e na Bahia,

frequentemente utilizada, também chamada de tarefa baiana, equivale a 4356 m² ou 0,44 ha.

A légua e a braça são as duas medidas mais encontradas em leis, relatórios e outros

textos do Império sobre tema colonização e imigração, além de serem muito utilizados na

agricultura.

1 légua = 6000 m

1 légua quadrada = 3600 ha

Braça do latim brachia – plural de brachium (braço). Antiga medida de comprimento

equivalente a 10 palmos, ou seja, 2,20 m (Brasil).

Braça quadrada (brasileiro) medida agraria que se usa no Mato Grosso e Mato

Grosso do Sul é igual a tarefa, de Alagoas e Sergipe 3052 m2. Como 1 braça = 2,2 m, então 1

braça quadrada = 2,20 m . 2,20 m = 4,84 m2.

Palmo = 8 polegadas = 22 cm.

22

2 - ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

A seguir vamos apresentar as principais figuras geométricas e suas áreas. Por

simplicidade, vamos assumir a fórmula da área do quadrado e deduziremos a fórmula da área

das demais figuras planas a partir desta.

2.1 - Área do quadrado

O quadrado é um quadrilátero regular formado por quatro lados congruentes (mesma

medida). Ele é formado por quatro ângulos internos de 90º, os quais são chamados de ângulos

retos;

Fonte: http://geometriarq.blogspot.com.br/2010/09/demonstracao-da-area.html

A área do quadrado de lado 𝐿𝐿 é dada pelo produto da medida de dois de seus lados,

isto é, 𝐴𝐴𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 = 𝐿𝐿 . 𝐿𝐿 = 𝐿𝐿2 .

2.2 - Área do retângulo

Um retângulo é um quadrilátero convexo formado quatro ângulos internos de 90º

(retos). Ele possui dois pares de lados opostos paralelos e congruentes.

Dado o retângulo abaixo, vamos deduzir a fórmula de sua área.

Figura 2.2: Retângulo

Fonte: Autoria própia

L

L

Figura 1.1: Quadrado

b

a a b

23

Ao completar o lado esquerdo do retângulo com um quadrado temos:


Ao completar o lado de cima do retângulo com um quadrado temos:


Adicionando um retângulo entre os dois quadrados desenhados, afim de tornar a figura

2.4 inteira um quadrado, temos:

b b

a

a

a a

b

b

a

b

Figura 2.3: Demonstração da área do retângulo

a

a

a a

b

b

a


24


Como sabemos que a área do quadrado é igual ao produto de seus lados, então:

(𝑑𝑑 + 𝑏𝑏)2 = 𝑑𝑑2 + 𝑏𝑏2 + 2 . (á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟â𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑)

𝑑𝑑2 + 2 .𝑑𝑑 . 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2 = 𝑑𝑑2 + 𝑏𝑏2 + 2 . (á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟â𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑)

𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑2 + 2 .𝑑𝑑 . 𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2 − 𝑏𝑏2 = 2 . (á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟â𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑)

2 .𝑑𝑑 . 𝑏𝑏 = 2 . (á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟â𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑) 2 . 𝑑𝑑 . 𝑏𝑏

2= á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟â𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑

Temos então que a área do retângulo é 𝐴𝐴𝑞𝑞𝑟𝑟𝑟𝑟â𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞𝑛𝑛𝑞𝑞 = 𝑑𝑑 . 𝑏𝑏

2.3 - Área do paralelogramo

Um paralelogramo é um quadrilátero plano convexo com lados opostos paralelos e

congruentes, que também possui ângulos opostos congruentes.

A seguir, vamos deduzir a fórmula da área do paralelogramo, a partir da área do

retângulo.

b b

a

a

a a

b

b

a

b a

a

b

a + b

a + b


25

Dado o paralelogramo ABCD:


Ao traçar sua altura relativamente ao lado CD (segmento perpendicular ao lado CD,

cujas extremidades são o ponto A e um ponto da reta que contém o segmento CD) e

chamando de b o comprimento de CD e de h essa altura, temos:


Ao deslocar a região triangular formada pelo pontilhamento da altura para o lado

direito do paralelogramo, sobrepondo a hipotenusa do triângulo com o lado direito do

paralelogramo, temos um retângulo de lados b e h, como mostra a figura abaixo.

Fonte: Autoria própria.

A B

D C

Figura 2.5: Paralelogramo.

h

b

Figura 2.6: Demonstração da área do paralelogramo.

h

b

Figura 2.7: Demonstração da área do paralelogramo

26

Sabendo que a área do retângulo é igual ao produto da base pela altura e que, por

construção, a área do paralelogramo é a mesma do último retângulo, temos que a área do

paralelogramo é dada pelo produto de b por h, isto é,

𝐴𝐴𝑝𝑝𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛𝑟𝑟𝑛𝑛𝑞𝑞𝑛𝑛𝑞𝑞𝑞𝑞𝑝𝑝𝑞𝑞 = 𝑏𝑏 .ℎ

Exemplo 2.1:

Considerando um paralelogramo de base 7 m e de altura relativamente a esta base

igual a 5 m, temos que sua área é dada por:

𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 𝑥𝑥 ℎ = 7 𝑚𝑚 𝑥𝑥 5 𝑚𝑚 = 35 𝑚𝑚2.

Portanto, a área de um paralelogramo com estes dados é 35 𝑚𝑚2.

2.4 - Área do triângulo

O triângulo é a figura geométrica que ocupa um espaço interno formado por três

segmentos de reta que concorrem, dois a dois, em três pontos diferentes formando três lados e

ângulos internos que somam 180º. Além disso, a medida de qualquer um dos lados deve ser

maior que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre

essas medidas.


|𝑏𝑏 − 𝑐𝑐| < 𝑑𝑑 < 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐

|𝑑𝑑 − 𝑐𝑐| < 𝑏𝑏 < 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐

|𝑑𝑑 − 𝑏𝑏| < 𝑐𝑐 < 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏

a b

c

Figura 2.8: Triângulo

27

Vamos, a seguir, deduzir uma fórmula para calcular a área de um triângulo em função

de um de seus lados e da altura relativamente a esse lado. Observando os dois triângulos

congruentes abaixo:

Fonte: Autoria própria.

Percebe-se que ao rotacionar o triângulo do lado direito 180º a esquerda, e após isso

sobrepô-lo ao triângulo da esquerda um de seus lados, formamos um paralelogramo.


Cuja área é dada por:

𝐴𝐴𝑝𝑝𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑛𝑛𝑟𝑟𝑛𝑛𝑞𝑞𝑛𝑛𝑞𝑞𝑞𝑞𝑝𝑝𝑞𝑞 = 𝑏𝑏 .ℎ

E como, por construção, a área do triângulo é a metade da área de um paralelogramo,

sua área é dada por:

𝐴𝐴𝑟𝑟𝑞𝑞𝑡𝑡â𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞𝑛𝑛𝑞𝑞 =𝑏𝑏 . ℎ

2 .

h

b

h

b

Figura 2.9: Demonstração da área do triângulo.

h

b

h

b

Figura 2.10: Demonstração da área do triângulo.

28

Uma outra fórmula para o cálculo da área de triângulos utiliza a função trigonométrica seno,

vamos a seguir destaca-la, embora não façamos aqui uma abordagem mais profunda das

funções trigonométricas. Considerando o triângulo ABC abaixo:


onde a, b e c são as medidas dos lados opostos aos vértices A, B e C, respectivamente e h é a medida da altura relativamente a base AB. Então a área do triângulo ABC é dada por

base. altura2

=c. h2

.

Além disso, como 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑛𝑛(𝑑𝑑) = 𝑐𝑐𝑞𝑞𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑞𝑞 𝑞𝑞𝑝𝑝𝑞𝑞𝑜𝑜𝑟𝑟𝑞𝑞ℎ𝑡𝑡𝑝𝑝𝑞𝑞𝑟𝑟𝑟𝑟𝑛𝑛𝑞𝑞𝑜𝑜𝑞𝑞

, temos que h = b. sen(A) = a. sen(B),

temos as seguintes fórmulas para a área do triângulo

c. b . sen(A)2

e c . a. sen(B)

2

e, analogamente, a . b. sen(C)

2.

Há ainda uma importante fórmula para a área de triângulos que leva em conta apenas a

medida dos lados, tal fórmula é chamada de fórmula de Heron e será dada na próxima secção.

Figura 2.11: Triângulo ABC

29

2.5 - A Fórmula de Heron.

Outra fórmula bastante utilizada no cálculo da área do triângulo é a Fórmula de Heron

que diz que se um triângulo possui lados de medidas a. b e c então sua área é dada por

�(s− a) . (s− b) . (s− c) . s

onde 𝑠𝑠 = (𝑞𝑞+𝑏𝑏+𝑐𝑐)2

é o semiperímetro do triângulo.

Vejamos:

Dado um triângulo genérico qualquer:

Fonte: https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=547

Vamos primeiramente encontrar o valor de cos â. Utilizando o teorema de Pitágoras

encontra-se também o comprimento de 𝐴𝐴𝐴𝐴��, necessário para determinar o valor do cos â.

𝑐𝑐2 = ℎ2 + (𝐴𝐴𝐴𝐴��)2

(𝐴𝐴𝐴𝐴��)2 = 𝑐𝑐2 − ℎ2

𝐴𝐴𝐴𝐴�� = �𝑐𝑐2 − ℎ2

Portanto cos â = �𝑐𝑐2− ℎ2

𝑐𝑐

Utilizando o triângulo ABC, aplica-se a lei dos cossenos relativa ao ângulo â:

𝑑𝑑2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 2𝑏𝑏𝑐𝑐 cos â

Substituindo o a valor de cos â:

𝑑𝑑2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 2𝑏𝑏𝑐𝑐�𝑐𝑐2 − ℎ2

𝑐𝑐

Figura 2.12: Triângulo ABC da demonstração da formula de Heron.

A H C

B

c a h

𝑏𝑏�

𝑑𝑑� �̂�𝑐

b

30

𝑑𝑑2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 2𝑏𝑏�𝑐𝑐2 − ℎ2

Isolando o valor de ℎ2:

2𝑏𝑏�𝑐𝑐2 − ℎ2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 𝑑𝑑2

�𝑐𝑐2 − ℎ2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 𝑑𝑑2

2𝑏𝑏

𝑐𝑐2 − ℎ2 = �𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 𝑑𝑑2

2𝑏𝑏�2

ℎ2 = 𝑐𝑐2 − �𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 𝑑𝑑2

2𝑏𝑏�2

Utilizando a fórmula da área do triângulo:

𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 . ℎ

2

Elevando ao quadrado ambos os lados:

𝐴𝐴2 = 𝑏𝑏2 . ℎ2

4

Substituindo o valor de ℎ2 nessa expressão:

𝐴𝐴2 = 𝑏𝑏2 . �𝑐𝑐2 − �𝑏𝑏

2 + 𝑐𝑐2 − 𝑑𝑑22𝑏𝑏 �

2�

4

𝐴𝐴2 = 𝑏𝑏2 . 𝑐𝑐2 − 𝑏𝑏2 . (𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 𝑑𝑑2)2

4𝑏𝑏24

𝐴𝐴2 = 4𝑏𝑏2 . 𝑐𝑐2 − (𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 𝑑𝑑2)2

16

𝐴𝐴2 = (2𝑏𝑏𝑐𝑐)2 − (𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 𝑑𝑑2)2

16

Aplicando a fórmula da diferença de dois quadrados, 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) . (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦), temos:

𝐴𝐴2 = [2𝑏𝑏𝑐𝑐 − (𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 𝑑𝑑2)] . [2𝑏𝑏𝑐𝑐 + (𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 𝑑𝑑2)]

16

𝐴𝐴2 = [−(𝑏𝑏2 − 2𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝑐𝑐2) + 𝑑𝑑2] . [(𝑏𝑏2 + 2𝑏𝑏𝑐𝑐 + 𝑐𝑐2) − 𝑑𝑑2]

16

31

𝐴𝐴2 = [𝑑𝑑2 − (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)2] . [(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)2 − 𝑑𝑑2]

16

Aplicando novamente a diferença entre quadrados:

𝐴𝐴2 = �𝑑𝑑 − (𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)� . (𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐) . (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑) . (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑)

16

𝐴𝐴2 = (𝑑𝑑 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) . (𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐) . (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑) . (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑)

16

𝐴𝐴2 = (𝑑𝑑 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)

2 .

(𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐)2

.(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 𝑑𝑑)

2 .

(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑)2

Fazendo aparecer o semiperímetro (p):

𝐴𝐴2 = (𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 2𝑏𝑏)

2 .

(𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 2𝑐𝑐)2

.(𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 − 2𝑑𝑑)

2 .

(𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)2

𝐴𝐴2 = �𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐

2− 𝑏𝑏� . �

𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐2

− 𝑐𝑐� . �𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐

2− 𝑑𝑑� . �

𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐2

�

Substituindo 𝑠𝑠 = 𝑞𝑞+𝑏𝑏+𝑐𝑐2

:

𝐴𝐴2 = (𝑠𝑠 − 𝑏𝑏) . (𝑠𝑠 − 𝑐𝑐) . (𝑠𝑠 − 𝑑𝑑) . 𝑠𝑠

Portanto a fórmula de Heron é:

𝐴𝐴 = �(𝑠𝑠 − 𝑏𝑏) . (𝑠𝑠 − 𝑐𝑐) . (𝑠𝑠 − 𝑑𝑑) . 𝑠𝑠

Observe que a fórmula de Heron é muito interessante, pois permite o cálculo de área

de triângulos sem a necessidade do conhecimento de nenhum dos ângulos do triângulo, nem

de suas alturas.

Vejamos uma aplicação desta fórmula no seguinte exemplo.

Exemplo 2.2: Calcular a área de um quadrilátero ABCD sabendo que 𝐴𝐴𝐴𝐴�� = 2 𝑐𝑐𝑚𝑚,

𝐴𝐴𝐵𝐵�� = 4 𝑐𝑐𝑚𝑚, 𝐵𝐵𝐶𝐶�� = 3 𝑐𝑐𝑚𝑚, 𝐶𝐶𝐴𝐴�� = 5 𝑐𝑐𝑚𝑚 e 𝐴𝐴𝐵𝐵�� = 5 𝑐𝑐𝑚𝑚.


Figura 2.13: Quadrilátero ABCD

32

Para encontrar a área do quadrilátero ABCD, o decompomos em dois triângulos, encontramos a área de ambos os triângulos individualmente, e no final somamos seus valores.


Encontrando a área do triângulo ABC:


Para encontrar a área do triângulo ABC utilizamos a fórmula de Heron:

𝐴𝐴 = �(𝑠𝑠 − 𝑑𝑑) . (𝑠𝑠 − 𝑏𝑏). (𝑠𝑠 − 𝑐𝑐). 𝑠𝑠, onde a, b, c são as medidas dos 3 lados diferentes da figura e cujo o p é o semiperímetro dado por:

𝑠𝑠𝑜𝑜𝑟𝑟𝑝𝑝𝑡𝑡𝑝𝑝𝑟𝑟𝑞𝑞𝑡𝑡𝑝𝑝𝑟𝑟𝑟𝑟𝑞𝑞𝑞𝑞 = (𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)

2

𝑠𝑠 =(2 . 5 . 4)

2= 5,5 𝑐𝑐𝑚𝑚

Figura 2.14: Quadrilátero ABCD com diagonal

Figura 2.15: Triângulo ABC

33

𝐴𝐴 = �(5,5 − 2). (5,5 − 5). (5,5 − 4). 5,5

𝐴𝐴 ≅ 3,8 𝑐𝑐𝑚𝑚2.

Encontrando a área para o triângulo ACD:


Utilizamos o mesmo procedimento da figura anterior, calculamos sua área através da

formula de Heron.

s = (5.5.3)

2= 6,5 cm

A = �(6,5 − 5). (6,5 − 5). (6,5 − 3). 6,5

A ≅ 7,15 cm2.

Encontrando a área do quadrilátero ABCD

𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3,8 + 7,15 = 10,95 𝑐𝑐𝑚𝑚2.

2.6 - Área do trapézio

O trapézio é quadrilátero notável, ou seja, é convexo e tem dois de seus lados

paralelos, chamados de bases do trapézio, podendo estas bases serem de comprimentos

diferentes.

Figura 2.16: Triângulo ACD

34

Para calcular a área do trapézio constituído por uma base maior (B), uma base menor

(b), e uma altura (h), como na figura abaixo, usamos a fórmula 𝐴𝐴 = ℎ. (𝐴𝐴+𝑏𝑏)2

.

Fonte: http://geometriarq.blogspot.com.br/2010/09/demonstracao-das-areas.html Para obter tal fórmula, faz-se necessário dividi-lo em dois triângulos de bases B e b

respectivamente e altura comum igual a h.

Fonte: http://geometriarq.blogspot.com.br/2010/09/demonstracao-das-areas.html Com isso encontramos a área do trapézio somando as áreas dos dois triângulos, ou

seja,

𝐴𝐴∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 = 𝑏𝑏 . ℎ2

𝐴𝐴∆𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 . ℎ2

𝐴𝐴𝑇𝑇𝑞𝑞𝑞𝑞𝑝𝑝é𝑧𝑧𝑡𝑡𝑞𝑞 = 𝐴𝐴∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 + 𝐴𝐴∆𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶

𝐴𝐴𝑇𝑇𝑞𝑞𝑞𝑞𝑝𝑝é𝑧𝑧𝑡𝑡𝑞𝑞 = 𝑏𝑏 . ℎ2

+ 𝐴𝐴 . ℎ2

𝐴𝐴𝑇𝑇𝑞𝑞𝑞𝑞𝑝𝑝é𝑧𝑧𝑡𝑡𝑞𝑞 = 𝑏𝑏 . ℎ + 𝐴𝐴 . ℎ2

b

B

h

Figura 2.17: Trapézio

C D

E F

h h

b

B

Figura 2.18: Demonstração da área do trapézio

35

Colocando o h em evidência, temos que a área do trapézio é:

𝐴𝐴𝑇𝑇𝑞𝑞𝑞𝑞𝑝𝑝é𝑧𝑧𝑡𝑡𝑞𝑞 =ℎ . (𝑏𝑏 + 𝐴𝐴)

2 .

2.7 - Área do losango

O losango é um quadrilátero equilátero formado por quatro lados iguais.

Apresenta dois lados e ângulos opostos congruentes e paralelos, com duas diagonais

que se cruzam perpendicularmente.

Como o losango é constituído por dois triângulos iguais, as áreas de seus triângulos

também serão iguais.


Para obter a fórmula da área do losango considere suas diagonais:

𝐴𝐴𝐶𝐶�� = 𝐶𝐶 (𝐶𝐶𝐷𝐷𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑑𝑑𝐷𝐷𝑑𝑑𝑟𝑟)

𝐴𝐴𝐵𝐵�� = 𝑑𝑑 (𝐶𝐶𝐷𝐷𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑛𝑛𝑑𝑑𝑟𝑟).

Logo, levando em consideração a divisão da diagonal maior em duas diagonais, uma

indo do ponto A ao ponto O, sendo a altura do triângulo ABC. E outro indo do ponto D ao

ponto O, sendo a altura do triangulo BDC. Com a base de ambos os triângulos na diagonal

menor d, ou seja 𝐴𝐴𝐵𝐵��.

B C

A

D

O

Figura 2.19: Losango

36

Fonte: http://geometriarq.blogspot.com.br/2010/09/demonstracao-das-areas.html

Diagonal menor (base) = d

Diagonal maior (altura) = 𝐴𝐴2

Como a área do triângulo é 𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 . ℎ2

, cuja base é a diagonal menor (d) e a altura sua

diagonal maior �𝐴𝐴2�, e com 𝐴𝐴∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴, então a área de ambos os triângulos será dada

por:

𝐴𝐴 =𝑑𝑑 . 𝐶𝐶

22

A área do Losango será dada obtida a partir da soma das áreas dos dois triângulos, isto

é,

𝐴𝐴𝐿𝐿𝑞𝑞𝑜𝑜𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞 = 𝐴𝐴∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐴𝐴∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐴𝐴𝐿𝐿𝑞𝑞𝑜𝑜𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞 =𝑞𝑞 . 𝐷𝐷22

+𝑞𝑞 . 𝐷𝐷22

𝐴𝐴𝐿𝐿𝑞𝑞𝑜𝑜𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞 = 2 .�𝑞𝑞 . 𝐷𝐷22�

𝐴𝐴𝐿𝐿𝑞𝑞𝑜𝑜𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞 = 2 . �𝑑𝑑 . 𝐴𝐴2

. 12�

𝐴𝐴𝐿𝐿𝑞𝑞𝑜𝑜𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞 = 2 . �𝑑𝑑 . 𝐴𝐴4�

B C

A

D

𝐶𝐶2

𝐶𝐶2

Figura 2.20: Demonstração da área do losango.

37

Simplificando temos que a área do Losango será:

𝐴𝐴𝐿𝐿𝑞𝑞𝑜𝑜𝑞𝑞𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞 =𝐶𝐶 . 𝑑𝑑

2 .

2.8 - Área de polígonos quaisquer

Para calcular a área de um polígono qualquer, o método prático é o de decompor tal

polígono em figuras planas, como por exemplo, triângulos. E após saber as medidas de seus

lados, tornando-se possível o cálculo de sua área. Assim, sabendo o lado de cada um desses

triângulos encontramos a área de cada um dos triângulos e, consequentemente, obtemos a área

de tal polígono como a soma das áreas desses triângulos. Vejamos o seguinte exemplo:


Observando a figura podemos perceber que trata-se de um polígono irregular, cujo

cálculo da sua área não é proveniente de uma única fórmula pronta. No entanto, é possível

encontrar sua área decompondo em duas figuras planas, um triângulo BDC e um retângulo

AEBD, onde a área do polígono será a soma das áreas das duas figuras.

Analisando o retângulo temos que 𝐴𝐴𝐴𝐴�� = 𝐸𝐸𝐶𝐶�� = 7 cm e que 𝐴𝐴𝐸𝐸�� = 𝐴𝐴𝐶𝐶�� = 5 cm

𝐴𝐴𝑞𝑞𝑟𝑟𝑟𝑟â𝑛𝑛𝑛𝑛𝑞𝑞𝑛𝑛𝑞𝑞 𝐴𝐴𝐶𝐶𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 𝑥𝑥 ℎ

2=

7 𝑥𝑥 52

= 17,5 𝑐𝑐𝑚𝑚2

No cálculo da área do triângulo utilizamos a fórmula de Heron, levando em

consideração que 𝐴𝐴𝐴𝐴�� = 𝐴𝐴𝐶𝐶�� = a = 5 cm; 𝐴𝐴𝐵𝐵�� = b = 3 cm e 𝐵𝐵𝐶𝐶�� = c = 4 cm.

𝑠𝑠 (𝑜𝑜𝑟𝑟𝑝𝑝𝑡𝑡𝑝𝑝𝑟𝑟𝑞𝑞𝑡𝑡𝑝𝑝𝑟𝑟𝑟𝑟𝑞𝑞𝑞𝑞) = 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐

2=

5 + 3 + 42

= 6 𝑐𝑐𝑚𝑚

E D

A B

C

Figura 2.21: Polígono AEBDC

38

𝐴𝐴 = �(𝑠𝑠 − 𝑑𝑑). (𝑠𝑠 − 𝑏𝑏). (𝑠𝑠 − 𝑐𝑐).𝑝𝑝 = �(6 − 5). (6 − 3). (6 − 4). 6 = 6 𝑐𝑐𝑚𝑚2

Portanto a área do pentágono será 17,5 cm2 + 6 cm2 = 23,5 cm2.

39

3 - O CÁLCULO DE ÁREAS NA AGRICULTURA

A seguir, vamos estudar, através de exemplos, como o cálculo de áreas de polígonos

(geralmente quadriláteros) é feito por muitos agricultores. Tal cálculo consiste em obter a área

de quadriláteros da seguinte forma: primeiro toma-se a média dos lados opostos e em seguida

realiza-se o produto com o resultado dessas médias. O resultado obtido é definido como a área

do quadrilátero. Sabemos que tal cálculo não é exato e deve-se ter muito cuidado ao utilizar

tal fórmula, portanto, além de trazer o método utilizado por eles, vamos estudar o erro

cometido e verificar em que circunstâncias este erro é aceitável.

Exemplo 3.1: Vamos considerar que temos certo terreno que apresenta formado por um

retângulo ABDC e por um trapézio BDEF com BD paralelo a EF, como mostra a figura

abaixo. Determine a área deste terreno em hectares.


De acordo com a técnica utilizada pelos agricultores, o cálculo se dá da seguinte

forma:

Calculamos primeiramente a área do retângulo ABCD, para isso observe que 𝐴𝐴𝐴𝐴�� = 𝐵𝐵𝐶𝐶��

= 200 m e que 𝐴𝐴𝐵𝐵�� = 𝐴𝐴𝐶𝐶�� = 60 m e, portanto, a média dos lados opostos são respectivamente

200 m e 60 m.

Logo, a área do retângulo ABCD é 200 m x 60 m = 12000 m2.

Em seguida calculamos a área de BDEF, calculando-se as médias dos lados opostos e,

em seguida tomando-se o produto dessas médias, obtendo

60 m + 20 m = 802

𝑚𝑚 = 40 m.

C 200 m D

A 200 m B

100 m E

100 m F

60 m 20 m

Figura 3.1: Exemplo 3.1

40

Assim, a área do quadrilátero BDEF é 40m x 100m = 4000m2 e, portanto, a área total

do terreno é 12000 m2 + 4000 m2 = 16000 m2, o que corresponde a 1,6 hectares.

Agora, vamos estudar o erro cometido no cálculo acima. Como ABCD é supostamente

um retângulo, sua área é dada por 200 m x 60 m = 12000 m2, o que mostra que as duas

fórmulas coincidem.

Para calcular a área do trapézio isósceles BDEF faz-se necessário sabermos a altura h,

como na figura abaixo.


Após isso, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar o valor de h:

h2 = (100 m)2 − (20 m)2

h = �(100 m)2 − (20 m)2 = 97,98 ≅ 98 m

E a área de BDEF é aproximadamente (20 𝑚𝑚 + 60 𝑚𝑚). 98𝑚𝑚

2= 3920 𝑚𝑚2.

O que mostra que o erro cometido no cálculo da área do trapézio BDEF é de 80 m2, o

que corresponde a aproximadamente 2% da área do trapézio.

A área de ABCDEF será dada pela soma da área de ABCD com a área de BDEF, ou

seja, a área total é 12000 m2 + 3920 m2 = 15920 m2 = 1,59 ha.

Percebe-se que o erro cometido desse método utilizado pelos agricultores é de 16000

m2 – 15920 m2 = 80 m2 ou 1,6 – 1,59 = 0,01 ha.

h E

h F

D

20 m

20 m

20 m

B

60 m

100 m

100 m


41

Concluímos que, neste caso, não há um erro significante. Porém, o fato de haver um

retângulo envolvido foi o que ajudou na diminuição do erro.

Exemplo 3.2 – Certa propriedade tem a forma de um trapézio isósceles ABCD com

𝐴𝐴𝐴𝐴�� paralelo a 𝐵𝐵𝐶𝐶�� e a medida de seus lados estão indicadas na figura abaixo. Quantos hectares

tem este imóvel?


A solução, segundo a técnica dos agricultores, é da seguinte forma. Calculamos a

média dos dois lados opostos diferentes AB + CD

2=

2800 m + 1200 m2

= 2000 m

Como 𝐴𝐴𝐵𝐵�� = 𝐴𝐴𝐶𝐶�� = 5800 m, a média desses dois lados coincide com a medida desses

lados. Logo, a área desse trapézio é 5800 m x 2000 m = 11600000 m2 = 1160 ha.

Para estudar o erro cometido, este exemplo pode ser resolvido pelo mesmo raciocínio

do problema anterior, no qual tendo trapézio isósceles, analisamos e calculamos sua altura

pelo teorema de Pitágoras, vejamos a figura abaixo.

B

800 m

1200 m

A

C

D

2800 m

5800 m

5800 m

1200 m


42


Assim, a área é (2800 m + 1200 m). 5744,5 m

2= 11489000 m2 = 1148,9 ha.

O erro cometido neste exemplo pelo método dos agricultores é de 11600000 m2 –

11489000 m2 =111000 m2 ou 1160 ha – 1148,9 ha = 11,1 há, o que dá um erro de

aproximadamente 1% do valor total da área.

Exemplo 3.3 – Um terreno tem a forma de um quadrilátero e seus lados medem

respectivamente 25 m; 22 m; 12,5 m e 10 m (veja a figura). Quantos metros quadrados tem

este terreno.

ℎ2 = (5800 𝑚𝑚)2 − (800𝑚𝑚)2

ℎ = �(5800 𝑚𝑚)2 − (800𝑚𝑚)2

ℎ = 5744,5 𝑚𝑚

h E

h F

B

800 m

1200 m

800 m

A

2800

m

5800 m

5800 m

1200 m


43


Utilizando a técnica de calcular dos agricultores, temos que a área calculando a

medida de cada lado:

x = AB�� + CD��

2=

25 + 222

= 23,5 m.

y =AD�� + BC��

2=

12,5 + 102

= 11,25 m.

Portanto, a área do quadrilátero ABCD, segundo esta técnica, é 23,5 m x 11,25 m =

264,37 m2.

Neste caso, não temos informações suficientes para calcular o erro cometido, porque

para calcular a área deste quadrilátero ABCD cujos quatro lados possuem medidas diferentes

são necessárias mais informações, além dos valores dos lados. Supondo que o ângulo A mede

60 º, ao traçarmos uma reta de B para D, dividindo o quadrilátero em dois triângulos,

encontramos, pela lei dos cossenos,

BD2 = (12,5)2 + (25)2 − 2 . 12,5 . 25 . cos 60o.

E, portanto,

BD = �468,75 = 21,65 m.

Utilizando a fórmula de Heron, podemos calcular a área dos triângulos DCB e DAB:

s = (12,5 m + 25 m + 21,65 m)

2= 29,58 m.

Área (DAB) = �(29,58 − 12,5). (29,58 − 25). (29,58 − 21,65). 29,58 = 135,46 m2

A

D

B

C

12,5 m 10 m

25 m

22 m

Figura 22: Exemplo 3.3

44

𝑠𝑠 =(22 𝑚𝑚 + 10 𝑚𝑚 + 21,65𝑚𝑚)

2= 26,83 𝑚𝑚

Área (DCB) = �(26,83 − 22). (26,83 − 10). (26,83 − 21,65). 26,83 ≅ 106,29 m2

Portanto a área do quadrilátero ABCD é 135,46 m2 + 106,25m2 = 241,75 m2.

Portanto o erro cometido entre a maneira correta e maneira de calcular a área pelos

agricultores é de 264,37 m2 – 241,75m2 = 22,62m2. O que corresponde a um erro de

aproximadamente 9,3% do valor total da área.

Exemplo 3.4 – Considere agora o seguinte quadrilátero com as seguintes medidas a = 50 m, b = 100 m, c = 40 m, d = 90 m.



Neste exemplo, temos um quadrilátero irregular cujos 4 lados são diferentes. Neste caso, pela técnica utilizada pelos agricultores, temos

𝑏𝑏 + 𝑑𝑑2

= 100 + 50

2= 95

𝑑𝑑 + 𝑐𝑐2

= 50 + 40

2= 45 𝑚𝑚

A área do quadrilátero é, então, 95 m . 45 m = 4275 m2.

Novamente, para estudar o erro cometido, necessitamos de mais informações. Vamos

supor então que conhecemos dois ângulos opostos. Suponhamos que o ângulo A seja de 80 º e

o ângulo D seja de 110 º.

a c

B d D

45


Traçamos a diagonal BC dividindo o quadrilátero em dois triângulos ABC e BCD. A

área do primeiro triângulo é a. b. sen(A) e do segundo é c. . d. sen(D). Então

Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶) =50.100. 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑛𝑛 80 + 90 . 40 . 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑛𝑛 110

2≅ 4153,47 𝑚𝑚2.

Comparando com o resultado da área calculado pelo método dos agricultores, temos

um erro de 4275 m2 – 4153,47 m2 = 121,53 m2, o que corresponde a aproximadamente 3% do

valor real da área do quadrilátero.

3.1 - Cálculo de área para qualquer quadrilátero

Vimos nos exemplos acima que os erros cometidos ao calcular a área de quadriláteros

pelo método utilizado pelos agricultores podem ser um tanto quanto aleatórios. Isso acontece

porque não depende apenas de seus lados, mas também de seus ângulos. Vejamos então o

caso geral de um quadrilátero qualquer.

Dado um quadrilátero ABCD, com lados conhecidos como abaixo:

80 º

110 º

a c

A b C

B d D


46


Como calcular a área do quadrilátero ABCD da figura acima?

Observe que foram dados os quatro lados do quadrilátero, mas isso não é suficiente

para calcular a área, como veremos no exemplo abaixo. Considere os quadriláteros:


Onde o primeiro é um paralelogramo e o segundo é um retângulo. Note que a área do

paralelogramo é 8 h e não 8 x 5 = 40 que é a área do retângulo. Note que, necessariamente,

h < 5. Por exemplo, se h = 4, teríamos que a área do paralelogramo seria 32 que é uma

diferença de 8 unidades da área do retângulo com os mesmos lados, uma diferença de 20% da

área do retângulo.

5 5 h

8

8

5 5

8

8

m

n

Figura 3.7: Quadrilátero ABCD

Figura 3.8: Quadriláteros

47

Então como calcular a área do quadrilátero ABCD? A resposta está em obter mais

informações sobre o quadrilátero, vejamos três situações em que este cálculo é possível.

1º Caso: Supondo conhecido uma das diagonais, digamos AC = r.

Neste caso, a área de ABCD é a soma das áreas dos triângulos ACD e ACB que possuem os três lados conhecidos e, suas áreas podem ser calculadas usando a formula de Heron.

Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶) = á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 (𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶) + á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 (𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴) =

= �𝑠𝑠1(𝑠𝑠1 − 𝑟𝑟). (𝑠𝑠1 − 𝑝𝑝). (𝑠𝑠1 − 𝑛𝑛) + �𝑠𝑠2(𝑠𝑠2 − 𝑟𝑟)(𝑠𝑠2 − 𝑞𝑞)(𝑠𝑠2 − 𝑚𝑚).

Onde

𝑠𝑠1 =𝑟𝑟 + 𝑝𝑝 + 𝑛𝑛

2 e 𝑠𝑠2 =

𝑟𝑟 + 𝑞𝑞 + 𝑚𝑚2

2º Caso: Supondo conhecido um dos ângulos, digamos Â=a.

Aqui poderíamos usar a lei dos cossenos para encontrar a diagonal BD. Teríamos

𝐴𝐴𝐶𝐶2 = 𝑝𝑝2 + 𝑚𝑚2 − 2 .𝑝𝑝 .𝑚𝑚 . cos𝑑𝑑

e, portanto,

𝐴𝐴𝐶𝐶 = �𝑝𝑝2 + 𝑚𝑚2 − 2 . 𝑝𝑝 .𝑚𝑚 . cos 𝑑𝑑 .

Em seguida usaríamos o 1º caso para calcular a área do quadrilátero.

3º Caso: Conhecendo-se dois ângulos opostos, digamos Â e �̂�𝐵.

Neste caso, podemos decompor o quadrilátero em dois triângulos DAB e DCB. Calculamos a área dos triângulos pelas fórmulas.

Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 (𝐶𝐶𝐴𝐴𝐴𝐴) =𝑝𝑝 .𝑚𝑚 . 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑛𝑛 �̂�𝐴

2 e Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 (𝐶𝐶𝐵𝐵𝐴𝐴) =

𝑞𝑞 .𝑛𝑛 . 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑛𝑛 �̂�𝐵2

Assim

Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶) = 𝑝𝑝 .𝑚𝑚 . 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑛𝑛 �̂�𝐴 + 𝑞𝑞 .𝑛𝑛 . 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑛𝑛 �̂�𝐵

2.

48

3.2 – Possíveis dificuldades e sugestões para o cálculo de áreas na

agricultura.

Na prática, os agricultores poderiam encontrar dificuldades para encontrar a área de

um quadrilátero, pois ao tentar fazer uma diagonal no terreno, uma reta bem definida seria

difícil de ser traçada não só pela grande extensão do terreno, mas por fatores derivados da

topografia do terreno junto a obstáculos naturais. O ideal para contornar esse problema seria

fazer uso de pelo menos um ângulo nos vértices da região do terreno, no qual o mesmo

poderia ser medido através de ferramenta como o teodolito, e após saber o valor dele, utilizar-

se a lei dos cossenos para achar uma suposta diagonal na região quadricular do terreno. Após

isso encontraria a área dos dois triângulos recém-formados através da fórmula de Heron e,

consequentemente, a área total do terreno com região quadricular, com a soma das áreas dos

dois triângulos.

Teodolito é um instrumento de precisão óptica capaz de realizar a medição de ângulos

verticais e horizontais, o mesmo é montado sobre um tripé centrado e verticalizado. O

teodolito é usado em diversos setores como agricultura, construção civil, meteorologia,

navegação, entre outros.

Tal procedimento não exigiria tanta habilidade matemática por parte do agricultor, isso

devido à grande diversidade tecnológica empregada na zona rural nos dias atuais, pois com

calculadoras científicas, com aplicativos de smartphone, ou com softwares de computador o

mesmo seria capaz de calcular diversos problemas, no qual envolveriam o cosseno ou seno,

até mesmo resolver uma grande operação matemática com potência e raiz. Bastaria apenas o

mesmo ter o conhecimento da fórmula que deveria ser utilizada e saber o valor de cada item

contido nela. Dessa forma, o cálculo de área na agricultura forneceria um resultado melhor

aproximado do que o método comumente utilizado por eles.

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50

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ZORZAN, Adriana. Metodologia para ensino da matemática – Séries Iniciais.

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