MEDIDAS DE POSIÇÃO Parte I - MÉDIAS Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR UNIVERSIDADE...
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MEDIDAS DE POSIÇÃOParte I - MÉDIAS
Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE
Curso: TURISMO
Disciplina: ESTATÍSTICA BÁSICA ET-229
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MEDIDAS DE POSIÇÃO: são medidas cujo objetivo é estimar em torno de quais valores da amostra se concentram os dados.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIDAS DE POSIÇÃO
SEPARATRIZES
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Estima se os dados estão agrupados em valores centrais.
MÉDIAMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTAL MODA
MEDIANA
Dentre elas destacamos três
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1- Aritmética: é a mais utilizada.
2- Geométrica: utilizamos quando os dados estão em progressão geométrica. Por exemplo, no cálculo da média de juros compostos.
3- Harmônica: muito usada quando os dados são inversamente proporcionais. Por exemplo, no cálculo de velocidade média.
AS PRINCIPAIS MÉDIAS SÃO:
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5420
421035
X
1- MÉDIA ARITMÉTICA Para dados não agrupados
nxxxX n
...21
EXEMPLO: Calcule a média aritmética dos números 5, 3, 10 e 2.
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1- MÉDIA ARITMÉTICA Para dados agrupados: quando temos muitos valores repetidos é comum agrupar os dados em uma distribuição de frequência. Assim, resumimos a fórmula da média para
n
fxX
k
iii
1
onde k é o número de classes.
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EXEMPLO: Calcule a média dos dados abaixo.
X f4 15 56 67 58 3
Total 20
2,620
12420
3*85*76*65*51*4
5
1
X
n
fxX i
ii
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O preenchimento da tabela abaixo ajuda muito
X f4 15 56 67 58 3
Total 20
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O preenchimento da tabela abaixo ajuda muito
X f X*f X*f4 1 4*1 45 5 5*5 256 6 6*6 367 5 7*5 358 3 8*3 24
Total 20 124
2,620
124X
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Os dados podem estar agrupados em classes.
Por exemplo, calcule a média dos dados abaixo.
Classes fi
2 |------ 4 3 4 |------ 6 5 6 |------ 8 10 8 |------ 10 510 |------ 12 3
Toatal 26
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Os dados podem estar agrupados em classes.
Por exemplo, calcule a média dos dados abaixo.
Classes fi xi xifi
2 |------ 4 3 3 9 4 |------ 6 5 5 25 6 |------ 8 10 7 70 8 |------ 10 5 9 4510 |------ 12 3 11 33
Toatal 26 182
726
182X
Portanto a média é
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Propriedades da Média Aritmética
1) A soma dos desvios tomados em relação a média aritmética é nula.
xi fi
1 23 45 47 2
Total 12
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Propriedades da Média Aritmética
1) A soma dos desvios tomados em relação a média aritmética é nula.
xi fi xifi (xi- )fi
(xi- )fi
1 2 2 (1-4)*2 -63 4 12 (3-4)*4 -45 4 20 (5-4)*4 47 2 14 (7-4)*2 6
Total 12 48 Total 0
X X
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2) Se somarmos uma constante K aos dados a média fica somada desta constante.
Exemplo: Seja o conjunto X={4,6,8,10}, então,
Y=X+5={9,11,13,15}
KXY
Se somarmos o valor 5 ao conjunto X teremos,
7428
410864
X
12448
41513119
Y 575 XY
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3) Se multiplicarmos os dados por uma constante a, então, a média fica multiplicada por a.
XaY
Exemplo: Seja o conjunto X={4,6,8,10}. Vimos que a média é 7. Multiplique X por 3. Y={12,18,24,30}. Portanto,
XY
Y
37*3
214
844
30241812
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4) Se um conjunto formado por n1 elementos tem média Ȳ1 , um segundo formado por n2 elementos tem média Ȳ2 e sucessivamente o m-ésimo conjunto formado por nm elementos tem média Ȳm, então, a média do conjunto formado por todos os elementos é
m
mm
nnnYnYnYnX
......
21
2211
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Exemplo: Y1={2,4,9} e Y2={1,5,6,8,10}.
Assim, n1 = 3, Ȳ1 = 5, n2 = 5 e Ȳ2 = 6.
Então, X={2,4,9,1,5,6,8,10} tem média
845
8108651942
X
Usando a fórmula temos,
845
536*55*3
21
2211
nnYnYnX
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2 MÉDIA GEOMÉTRICAPara dados não agrupados
n
n
iig xX
1
Exemplo: X={4,6,9}
62169*6*4 33 gX
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Para dados agrupados em uma distribuição de frequência
n
k
i
figixX
1
Exemplo xi fi
1 52 44 2
16 1Tota
l12
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Para dados agrupados em uma distribuição de frequência
n
k
i
figixX
1
Exemplo xi fi
1 5 15 12 4 24 164 2 42 16
16 1 16 16Tota
l12 163
2
216 12 3412 3
g
g
X
X
ifixif
ix
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Exemplo: Uma aplicação na Bolsa de Valores perdeu 20% no primeiro mês e ganhou 80% no segundo mês. Qual a taxa média mensal desta aplicação?
Inicial Perdeu 20% Ficou com Ganhou 80% Final
100 100*0,8 80 80*1,8 1,44
2,144,18,1*8,0 gX
Inicial ganhou 20% Ficou com Ganhou 20% Final
100 100*1,2 120 1,2*1,2 1,44
Taxa média da aplicação é 20%, pois
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3 MÉDIA HARMÔNICAPara dados não agrupados
n
i i
h
x
nX
1
1
Exemplo X={2,4,5}
![Page 23: MEDIDAS DE POSIÇÃO Parte I - MÉDIAS Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE Curso: TURISMO Disciplina: ESTATÍSTICA.](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022070507/570638531a28abb8238f9e12/html5/thumbnails/23.jpg)
3 MÉDIA HARMÔNICAPara dados não agrupados
n
i i
h
x
nX
1
1
Exemplo X={2,4,5}
1960
204510
3
51
41
21
3
hX
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Para dados agrupados em uma distribuição de frequência
k
i i
ih
xfnX
1Exemploxi fi
2 45 88 2
Total 14
![Page 25: MEDIDAS DE POSIÇÃO Parte I - MÉDIAS Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE Curso: TURISMO Disciplina: ESTATÍSTICA.](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022070507/570638531a28abb8238f9e12/html5/thumbnails/25.jpg)
Para dados agrupados em uma distribuição de frequência
k
i i
ih
xfnX
1Exemploxi fi
2 45 88 2
Total 14
6363,3154560
10648040*14
405*28*820*4
1482
58
24
14
1
h
h
k
i i
ih
X
X
xfnX
![Page 26: MEDIDAS DE POSIÇÃO Parte I - MÉDIAS Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE Curso: TURISMO Disciplina: ESTATÍSTICA.](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022070507/570638531a28abb8238f9e12/html5/thumbnails/26.jpg)
Exemplo: Um caminhão carregado vai da cidade A para a cidade B a uma velocidade média de 50 km/h e retorna vazio a uma velocidade média de 90 km/h. Qual a velocidade média do percurso todo (ida/volta)?
![Page 27: MEDIDAS DE POSIÇÃO Parte I - MÉDIAS Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE Curso: TURISMO Disciplina: ESTATÍSTICA.](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022070507/570638531a28abb8238f9e12/html5/thumbnails/27.jpg)
Exemplo: Um caminhão carregado vai da cidade A para a cidade B a uma velocidade média de 50 km/h e retorna vazio a uma velocidade média de 90 km/h. Qual a velocidade média do percurso todo (ida/volta)?
km/h14900
45059
2
901
501
21
1
h
n
i i
h
X
x
nX