ME_p2
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1 Métodos Energéticos
Problema 1.1 Para a estrutura representada na figura, determine ascomponentes do deslocamento do nóC e B pelo PTV. Trace a deformadaaproximada da estrutura.
20 kN
AB
C
1 m
2 m
A = 10 cm2
E = 2.06 × 105 MPa
Problema 1.2 Para a estrutura representada na figura:
D
4 m
EA = const.EI = const.
I/A = 0.1 m2
4 m
A
B
5 kN/m
C
20 kN
2 m
a) Determine o deslocamento horizontal do pontoD, a rotação relativa emBe as componentes do deslocamento do nóC, pelo método de PTV.
b) Trace a deformada aproximada.
Nota: para efeitos de deformabilidade, despreze a contribuição do esforçotransverso.
Problema 1.3 Considere estrutura representada na figuraa) em que todas asbarras são deformáveis axialmente e por flexão, sendoEI = const., EA = 5EI.ParaP = 30 kN , responda as seguintes questões:
a) Determine o deslocamento vertical do pontoB utilizando os Teoremas deCastigliano.
b) Calcule a rotação emA utilizando o princípio dos trabalhos virtuais e osTeoremas de Castigliano;
c) Considere agora a estrutura representada na figurab). Obtenha osdiagramas de esforço normal e do momento flector na estruturautilizandoo Teorema de Menabrea;
1.5 m 3 m1.5 m
A
D
C
2 m
P
B
1.5 m 3 m1.5 m
A
D
C
2 m
P
B
Problema 1.4 Sabe-se que, para uma viga simplesmente apoiada de rigidezEI,sujeita a um momento concentradoM = 6EI aplicado na uma das extremidades,o deslocamento e a rotação são dados por:
M=6EI
x
yL
y(x) = L2ξ(ξ2− 3ξ + 2); y′(x) = L(3ξ2
− 6ξ + 2); ondeξ ≡
x
L
Determine, utilizando o Teorema de Betti, os momentos de fixação para a vigabi-encastrada sujeito a uma carga concentrada, representada.
6 m
4 m 2 m
20 kN
Problema 1.5 Para as vigas representadas e aplicando os Teoremas deCastigliano determine as flexibilidades para uma acção simultânea das forçasX1, X2 eX3:
2
X1
X2
X3
L
A, I
(a)
X1
X3X2
L
A, I
(b)
Problema 1.6 Para a barra bi-encastrada representada e recorrendo aosteoremas de Castigliano determine os coeficientes de rigidez segundo as direcções3 e 5 provocadas pelos deslocamentosθ3 eu5:
L
2
13 6
5
4
A, I
Problema 1.7 Determine os ceficientes de rigidezk11, k12, k15, k21, k22, k25,k51, k52 e k55 para a barra encastrada-rotulada representada provocadaspelosdeslocamentosu1, u2 e u5 utilizando os teoremas de Castigliano. Considereu2 > u5
L
2
13
5
4
A, I
3
Problemas Propostos
Problema 1.8 Considere as duas estruturas representadas sujeitas a um sistemade forçasPi. Admite que a deformada das estruturas, quando retirada a molae sujeitadas a uma forçaF que provoca um deslocamento unitário segunda adirecção da mola, é dada por uma função conhecida,η(x). Utilizando o Teoremade Betti, mostre que, a reacçãoR que aparece na mola devida a carga aplicadapode ser calculada por:
a.)
P1 P2 Pn
F
1
ηη
η 1 2
n
k
R =∑
Pi × ηi
b.)
P1 P2 Pn
F
1
ηη
η 1 2
n
k
R =
∑Pi × ηi
1 +F
k
4