Método análitco

1.2 Metodo analıtico

Nesta secao descrevemos o metodo de Descartes para o problema da tangente. No

seu trabalho “O discurso do Metodo”, publicado em 1637, Descartes desenvolve um

metodo de como atingir o conhecimento cientıfico. Esse trabalho contem um apendice

sobre geometria. A ideia central e caracterizar objetos geometricos tais como ponto,

reta, curvas, plano, etc. atraves de objetos algebricos ou aritmeticos, tais como os

conjuntos numericos e as suas operacoes. Mais precisamente, a ideia e descrever

objetos geometricos atraves de equacoes algebricas. No nosso caso, queremos obter

equacoes que descrevam as retas e as conicas e determinar a equacao da reta tangente,

as conicas, em cada ponto dado. Para isso, precisamos inicialmente de dois conceitos:

reta numerica e plano cartesiano.

1.2.1 Reta numerica

Uma reta numerica e obtida identificando uma reta com o conjunto dos numeros

reais. Intuitivamente, um numero real positivo e um numero obtido como resultado

de uma medida. Para fazermos essa identificacao, seja r uma reta. Escolhemos:

• um ponto arbitrario sobre r, que denotamos por O e o chamamos origem da

reta;

• um sentido para r, o qual representamos por uma seta e a chamamos sentido

positivo. Dizemos que o outro sentido da reta e o sentido negativo;

• uma unidade de medida .

Fixemos um ponto A em r de tal forma que o segmento OA tenha comprimento uma

unidade e A esta no sentido positivo da reta, a partir de O e denotemos por s a

semirreta que tem origem em O e que passa por A.

Por definicao de numero real cada ponto P da semirreta s corresponde a um unico

numero real, a saber, o comprimento do segmento OP . Reciprocamente, a cada numero

real positivo a associamos um ponto P da semirreta s tal que o comprimento do

segmento com extremidades em O e em P seja a. Dessa maneira, cada ponto da

semirreta com origem em O e que passa por A corresponde a um unico numero real

positivo.

Vamos, agora, identificar alguns numeros distinguidos na reta numerica.

12

Secao 1.2 · Metodo analıtico 13

Denotemos por N o conjunto de todos os numeros naturais, isto e,

N = {1, 2, 3, . . .}. Esses numeros tem seu surgimento associado a contagem primi-

tiva e na reta numerica estao dispostos da seguinte forma: o numero 1 esta associado

ao ponto A; o numero 2 esta associado a B, sendo B o ponto no sentido positivo

a partir de A tal que o comprimento do segmento AB seja a unidade de medida; o

numero 3 esta associado a C, sendo C o ponto no sentido positivo a partir de B tal

que o comprimento do segmento BC seja a unidade de medida e assim sucessivamente,

identificamos cada numero natural em r.

Figura 1.9: Numeros naturais na reta

Um numero real positivo a e dito comensuravel se e possıvel obter uma unidade

de medida de tal forma que o segmento Oa seja completamente preenchido (sem falta

e sem sobra) justapondo segmentos com comprimento de uma unidade. Um numero

comensuravel e chamado tambem, de racional . Esses numeros surgem com a neces-

sidade de dividir o todo em partes. Dividindo o todo em n partes iguais e tomando m

de suas partes, obtemos um numero racional que pode ser representados comom

n.

Existem alguns numeros reais que nao sao comensuraveis, chamados numeros ir-

racionais. Por exemplo, o comprimento da diagonal de um quadrado de lado uma

unidade, denotado por√2, e um numero irracional. Da mesma forma o comprimento

de um semicırculo de raio 1, denotado por π, e um numero irracional. Dessa forma um

numero real positivo pode ser racional ou irracional.

Para completarmos nossa identificacao da reta com um conjunto numerico ainda

precisamos incorporar os numeros negativos e o zero. Os numeros negativos surgem

para representar dıvidas. Eles estao associados aos numeros positivos. Se a e um

numero real positivo entao o numero negativo correspondente e denotado por −a.

Da mesma maneira se a e um numero negativo o numero positivo correspondente e

denotado por −a. Nesse caso, dizemos que os numeros a e −a sao opostos. A cada

numero negativo a identificamos um ponto P sobre a reta r, no sentido negativo a

partir da origem, de tal forma que o comprimento do segmento OP seja −a.

14 Capıtulo 1 · Evolucao no problema da tangente

Por fim, o numero zero representa a ausencia de medida ou de dıvida, e denotado

por 0 e identificado ao ponto O.

Assim, consideramos:

• como conjunto dos numeros inteiros, e o denotamos por Z, o conjunto formado

por todos os numeros naturais, os opostos dos numeros naturais e o zero, isto e,

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .};

• como conjunto dos numeros racionais, e o denotamos por Q, o conjunto formado

por todos os numeros racionais positivos, os opostos dos numeros racionais posi-

tivos e o zero, isto e, Q ={m

n: m,n ∈ Z, n = 0

};

• como conjunto dos numeros reais, e o denotamos por R, o conjunto formado por

todos os numeros reais positivos, os opostos dos numeros reais positivos e o zero.

Notemos que com essa construcao cada ponto da reta r se identifica a um numero

real. Por causa dessa identificacao chamamos reta numerica tanto a reta quanto o

conjunto dos numeros reais. Valem as seguintes inclusoes N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Figura 1.10: Reta numerica

A seguir, fazemos algumas construcoes geometricas elementares, usando a reta

numerica. Mais precisamente, definimos as relacoes de igualdade e ordem no con-

junto dos reais, definimos as operacoes de adicao e subtracao de numeros reais e o

valor absoluto ou modulo.

Existem na reta numerica algumas relacoes entre pares de numeros, isto e, maneiras

de comparar os numeros. Dados a, b ∈ R, dizemos que:

• a e igual a b, e denotamos a = b, se a e b representam o mesmo ponto na reta

numerica;

• a e menor que b, e denotamos a < b, se a esta a esquerda de b na reta numerica.


A primeira e a relacao de igualdade e a segunda e uma relacao de ordem. A partir

disso, podemos definir outras ordens em R:

• a e menor ou igual que b, e denotamos a ≤ b, se a = b ou a < b;

• a e maior que b, e denotamos a > b, se b < a;

• a e maior ou igual que b, e denotamos a ≥ b, se b ≤ a.

Notemos que, com essas definicoes, um numero real a e positivo se, e somente se,

a > 0 e e negativo se, e somente se, a < 0.

Dados dois segmentos AB e CD dizemos que AB e CD sao congruentes se AB

e BC tem o mesmo comprimento. Usamos a notacao AB ≡ CD para indicar que

os segmentos AB e CD sao congruentes. Com a nocao de congruencia de segmentos

podemos definir a operacao de adicao no conjunto dos reais.

Dados a, b ∈ R, definimos a adicao ou soma a+ b de a por b da seguinte forma:

a+ b =

c tal que bc ≡ 0a e c ≥ b, se a ≥ 0

c tal que bc ≡ 0a e c ≤ b, se a ≤ 0.

Podemos mostrar que a adicao tem as seguintes propriedades: para todos a, b, c ∈ R,

valem

(A1) associatividade : a+ (b+ c) = (a+ b) + c;

(A2) neutro: a+ 0 = a;

(A3) oposto: a+ (−a) = 0;

(A4) comutatividade : a+ b = b+ a.

Um conjunto com uma operacao satisfazendo as condicoes acima e chamado grupo

abeliano. Nesse caso, o conjunto dos reais com a adicao tem uma estrutura de grupo

abeliano.

A partir disso, podemos definir a subtracao em R. Se a, b ∈ R entao definimos a− b

por a− b = a+ (−b), ou seja, pela soma de a com o oposto de b.

Dados dois numeros reais a e b o comprimento do segmento definido por eles e dado

por: 0, se a = b; b− a, se a < b e a− b, se a > b. De um modo geral, podemos denotar


esse comprimento por |b− a|, onde

|x| =

0 se x = 0

x se x > 0

−x se x < 0

,

isto e, |x| e um numero real nao negativo que representa o comprimento do segmento

0x. |x| e chamado modulo ou valor absoluto de x.

1.2.2 Plano cartesiano

A ideia aqui e identificar um plano Π com o conjunto dos pares ordenados de

numeros reais R2, isto e, com o conjunto

R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}.

Dizer que R2 e um conjunto de pares ordenados significa que dois pares (x1, y1) e

(x2, y2) ∈ R2 sao iguais se, e somente se, x2 = x1 e y2 = y1.

Para fazermos uma identificacao entre Π e R2 consideremos duas retas r e s em Π

que sao perpendiculares no ponto O, chamado origem do plano. Lembremos que r e

s sao reta numericas, isto e, podemos fixar um sentido positivo em cada uma delas e

identifica-las com o conjunto dos reais.

Figura 1.11: Plano Cartesiano

Dado um ponto P ∈ Π denotemos por

• a ∈ R o pe da perpendicular baixada, por P , sobre r.

• b ∈ R o pe da perpendicular baixada, por P , sobre s.


Logo, a cada ponto P ∈ Π associamos um unico par (a, b) ∈ R2.

Reciprocamente, dado (a, b) ∈ R2, consideremos a ∈ r e b ∈ s. Sejam

• va a reta paralela a s, passando por a.

• hb a reta paralela a r, passando por b.

As retas va e hb se interceptam num unico ponto P ∈ Π. Logo, a cada par (a, b) ∈ R2

associamos um unico ponto P ∈ Π.

Isso define uma identificacao entre o plano Π e o conjunto numerico R2. Com essa

identificacao tanto Π quanto R2 sao chamados plano cartesiano.

Nessa identificacao usamos a notacao P = (a, b) tanto para representar o ponto

quanto o par ordenado. Nesse caso

• a e chamado abscissa de P ,

• b e chamado ordenada de P e

• (a, b) e chamado coordenadas de P .

Ainda, no plano cartesiano:

• A reta r e chamada eixo horizontal e e denotada por 0x.

• A reta s e chamada eixo vertical e e denotada por 0y.

• Um reta paralela a 0x e chamada horizontal .

• Um reta paralela a 0y e chamada vertical .

A seguir, fazemos algumas construcoes geometricas elementares, usando o plano

cartesiano. Mais precisamente, definimos as operacoes de multiplicacao e divisao de

numeros reais, potencia e raiz de um numeros reais e caracterizamos o comprimento

de um segmento (ou a distancia entre dois pontos) usando suas coordenadas.

Comecemos com a multiplicacao. Dados a, b ∈ R, consideremos ra, a reta que passa

por (0, 0) e (1, a), e vb a reta vertical que de abscissa b. Denotemos por P a intersecao

de ra com vb. A multiplicacao ou o produto de a por b, denotado por a · b ou ab, e

a ordenada de P .


Figura 1.12: Multiplicacao de a por b

De um modo geral, o produto de dois segmentos e uma area, por exemplo a area de

um retangulo. Com essa construcao, o produto de dois segmentos pode ser interpretado

como um novo segmento (ou numero real) e, alem disso, isso estende a definicao de

multiplicacao para numeros negativos.

Podemos mostrar que a multiplicacao tem as seguintes propriedades: para todos a,

b, c ∈ R, valem

(M1) associatividade : a(bc) = (ab)c;

(M2) neutro: a1 = a;

(M3) inverso: para todo a = 0, existe b = 0 tal que ab = 1;

(M4) comutatividade : ab = ba.

Denotemos por R∗ o conjunto de todos os numeros reais nao nulos (diferente de

zero). Pela propriedade (M3) todo numero real nao nulo a ∈ R∗ possui um inverso b.

Esse inverso e unico e e denotado por b = 1/a ou b = a−1. As propriedades (M1)-(M4)

dizem que o conjunto R∗, com a multiplicacao, e um grupo abeliano.

Podemos mostrar, tambem, que existe uma relacao entre a adicao e a multiplicacao,

dada pela propriedade

(D) distributividade : a(b+ c) = ab+ ac,

para todos a, b, c ∈ R.

Um conjunto munido de duas operacoes, com as propriedades (A1)-(A4), (M1)-

(M4) e (D) e chamado corpo. Assim, o conjunto dos numeros reais com a adicao e

multiplicacao e um corpo.


A divisao e definida de modo analogo. Dados a, b ∈ R, b = 0, consideremos ra,b a

reta que passa por (0, 0) e (b, a), e v1 a reta vertical de abscissa 1. Denotemos por P a

intersecao de ra,b com v1. A divisao ou o quociente de a por b, denotado pora

bou

a/b, e a ordenada de P .

Observacao: A divisao por zero nao e definida, isto e, o sımboloa

0nao faz sentido

algum no conjunto dos numeros reais.

Figura 1.13: Divisao de a por b

A soma e a multiplicacao de quocientes sao dadas pelas expressoes:

• a

b+

c

d=

ad+ bc

bd;

• a

b

c

d=

ac

bd.

Existem algumas relacoes entre as operacoes, a igualdade e a ordem no conjunto

dos numeros reais. Algumas delas sao listadas a seguir:

1. se a > 0 e b > 0 entao a+ b > 0, ab > 0 e a/b > 0;

2. se a < 0 e b < 0 entao a+ b < 0, ab > 0 e a/b > 0;

3. se a > 0 e b < 0, ou a < 0 e b > 0, entao ab < 0 e a/b < 0;

4. a = 0 e b = 0 se, e somente se, ab = 0;

5. se b = 0 entao a = 0 se, e somente se, a/b = 0.


As propriedades 1. e 2. sao as que garantem que R e um corpo ordenado

enquanto que a 4. afirma que R nao possui divisor de zero.

Definimos agora potencia de numeros reais. Dados a ∈ R e n ∈ N, definimos

an = aa · · · a (n vezes), isto e, an e o produto de a por ele mesmo n vezes. Segue desta

definicao que se m,n ∈ N entao aman = am+n. Da propriedade 4. acima, se a ∈ R,

a = 0 e n ∈ N entao a2 = 0 e, consequentemente, an = 0 para todo n ∈ N. Assim, se

a = 0 e n ∈ N, definimos a−n por

a−n = (an)−1 =1

an.

Convencionamos que a0 = 1, desde que a = 0. Assim, fica definido an para todo n ∈ Z,

se a = 0.

Observacao: Se a = 0 entao a0 nao esta definido, isto e, 00 nao tem sentido algum

em R.

Das propriedades 1. e 2. temos, em particular, que se a ∈ R entao ou a2 = 0, no

caso em que a = 0, ou a2 > 0, no caso em que a = 0.

Seguem mais algumas propriedades do conjunto dos reais:

• dados a ∈ R e n ∈ N ımpar, existe um unico b ∈ R tal que an = b.

• dados a ∈ R, a ≥ 0, e n ∈ N , existe um unico b ∈ R, b ≥ 0, tal que an = b.

O numero b acima se chama raiz n-esima de a e e denotado por b = n√a. Pela

definicao

b = n√a se, e somente se, bn = a (e b ≥ 0, se n e par).

Nos casos em que n = 2, 3, . . . a raiz n-esima e chamada raiz quadrada , raiz

cubica , . . .

Considererando a1n como sendo o numero n

√a podemos definir potencia de numeros

racionais da seguinte forma: dados a ∈ R e mn∈ Q, definimos a

mn por

amn = ( n

√a)m = n

√am.

Para todos a, b ∈ R, p, q ∈ Q valem (desde que esteja bem definido)

• ap+q = apaq.


• apbp = (ab)p.

• ap

bp=

(ab

)p

.

• (ap)q = apq.

Observacao: Pelas definicoes, qualquer que seja a ∈ R, temos que√a2 = |a|.

Um metodo geometrico para construir a raiz quadrada e o seguinte: dado a > 0,

consideremos o cırculo de centro C e que passa pelos pontos A = (a, 0) e B = (−1, 0),

sendo C o ponto medio do segmento AB. O cırculo intercepta o eixo 0y no ponto P .

A ordenada de P e a raiz quadrada de a.

Figura 1.14: Raiz quadrada de a

Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) dois pontos em R2. Por definicao a distancia

euclidiana entre A e B e o comprimento do segmento AB. Se d = d(A,B) representa

essa distancia entao, pelo Teorema de Pitagoras, d2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2. Logo,

d =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 .

Assim, podemos calcular a distancia de A e B ou o comprimento do segmento AB, em

termos das coordenadas de A e B.

1.2.3 Equacao da reta no plano cartesiano

Uma equacao nas incognitas x e y, no plano cartesiano, e uma sentenca aberta

(nao tem valor logico)

F (x, y) = c,


Figura 1.15: Distancia em termos das coordenadas

onde F (x, y) representa uma expressao em x e y e c e uma constante. Uma solucao

da equacao e um par (x0, y0) tal que torna a expressao F (x0, y0) = c verdadeira.

Uma equacao F (x, y) = c e a equacao de uma curva , no plano cartesiano, se

todo ponto da curva e solucao da equacao e se todo par que e solucao da equacao

representa um ponto que esta sobre a curva.

O principal objetivo aqui e obter uma equacao para uma reta dada.

Para isso, seja r uma reta no plano cartesiano R2, que passa pelo ponto (x0, y0).

Se r e vertical entao a equacao de r e

x = x0.

Isso significa que todo ponto sobre r tem abscissa x = x0. Alem disso todo ponto que

tem abscissa x = x0 esta sobre r, independente de sua ordenada.

Se r e horizontal entao a equacao de r e

y = y0.

Isso significa que todo ponto sobre r tem ordenada y = y0. Alem disso todo ponto que

tem ordenada y = y0 esta sobre r, independente de sua abscissa.

Suponhamos que r nao e vertical. Assim, r intercepta o eixo 0y, digamos no ponto

(0, b). O ponto em r que tem abscissa 1 e P = (1, a+ b), onde a e a variacao que sofre

a ordenada de um ponto (x, y) em r quando sua abscissa passa de 0 para 1. Com essa

notacao, uma equacao para r e dada por y = ax+ b. Isso significa que para um ponto

sobre r se sua abscissa e x entao sua ordenada e ax+ b.


Figura 1.16: Retas horizontal e vertical

Figura 1.17: Equacao da reta

Para verificarmos que a equacao de r e dada como acima, consideremos o conjunto

X ⊂ R2, definido por

X = {(x, ax+ b) : x ∈ R}.

Notemos que os pontos (0, b) e (1, a+ b) pertencem tanto a r quanto a X. Assim, para

concluirmos que X = r, basta mostrarmos que X e uma reta, ou seja, que quaisquer

tres pontos em X sao colineares. Para isso, sejam A, B e C tres pontos em X com

coordenadas A = (x1, ax1 + b), B = (x2, ax2 + b) e C = (x3, ax3 + b). Suponhamos,

sem perda de generalidade, que x1 < x2 < x3. Assim,

d(A,B) =√

(x2 − x1)2 + a2(x2 − x1)2 = (x2 − x1)√1 + a2,

d(B,C) =√

(x3 − x2)2 + a2(x3 − x2)2 = (x3 − x2)√1 + a2,

d(A,C) =√

(x3 − x1)2 + a2(x3 − x1)2 = (x3 − x1)√1 + a2.

Logo d(A,B) + d(B,C) = d(A,C), ou seja, A, B e C sao colineares e, portanto,


y = ax+ b e uma equacao de r.

Para indicar que y = ax+b e uma equacao da reta r usamos a notacao r : y = ax+b.

Notemos na reta r : y = ax+ b:

• b e a ordenada do ponto de intersecao da reta r com o eixo 0y, chamado coefi-

ciente linear da reta;

• a e a variacao que sofre a ordenada quando a abscissa passa de 0 para 1, chamado

coeficiente angular da reta.

Logo, se a > 0 entao a reta e inclinada para cima e se a < 0 entao a reta e inclinada

para baixo.

Notemos que se (x1, y1) e (x2, y2) sao pontos sobre r e r nao e vertical, isto e,

x2 = x1 entao y1 = ax1 + b, y2 = ax2 + b e

y2 − y1x2 − x1

=ax2 + b− ax1 − b

x2 − x1

= ax2 − x1

x2 − x1

= a.

Logo, a e a taxa de variacao media (que nesse caso e constante) da ordenada em

relacao a abscissa de dois pontos quaisquer que estao sobre a reta.

Assim, conhecendo (x0, y0) em r e o coeficiente angular a temos que (x, y) esta sobre

a reta se, e somente se,

y − y0x− x0

= a, ou seja, y − y0 = a(x− x0).

Portanto, para determinarmos a equacao de uma reta precisamos apenas de:

• dois pontos, ou

• um ponto e o coeficiente angular (no caso em que a reta nao e vertical).

Exemplos: Determine uma equacao para a reta com a propriedade dada em cada

item abaixo:

1. E vertical e passa pelo ponto (−1, 1).

2. E horizontal e passa pelo ponto (−1, 1).

3. Passa pelos pontos (−1, 2) e (2,−2).


4. Passa pelo ponto (2, 1) e tem coeficiente angular a = 1/5.

Esses dois tipos de equacoes de retas x = x0 (quando a reta e vertical) e y = ax+ b

(quando a reta nao e vertical) podem ser descritas num mesmo tipo de equacao, na

seguinte forma:

r : mx+ ny = c,

onde m = 0 ou n = 0.

Quando a equacao e dada dessa forma, se n = 0 entao m = 0 e a equacao de r fica

x = c/m, isto e, nesse caso r e vertical.

Se n = 0 entao podemos reescrever a equacao de r na forma y = −mnx + c

n.

Considerando a = −m/n, b = c/n temos que a equacao de r pode ser reescrita na

forma r : y = ax+ b.

Os seguintes resultados caracterizam retas paralelas e perpendiculares, respectiva-

mente, em termos das equacoes.

Proposicao 1.2.1 (Retas paralelas) Sejam r e s duas retas no plano cartesiano.

1. Se r e vertical entao s e paralela a r se, e somente se, s e vertical.

2. Se nem r e nem s e vertical entao r e s sao paralelas se, e somente se, r e s tem

o mesmo coeficiente angular.

Demonstracao: O primeiro item e imediato. Para o segundo, notemos inicialmente

que se uma das retas e horizontal entao elas sao paralelas se e, somente se, a outra e

horizontal, ou seja, as duas tem coeficiente angular zero. Suponhamos r : y = a1x+ b1

e s : y = a2x + b2, com a1 = 0 e a2 = 0. Consideremos as retas horizontais h1 e h2

com ordenadas b1 e b2, respectivamente, e vertical v1 com abscissa 1. Consideremos

os triangulos A1B1C1 e A2B2C2, onde A1 = (0, b1), B1 = (1, b1), C1 = (1, a1 + b1),

A2 = (0, b2), B2 = (1, b2) e C2 = (1, a2 + b2) (veja a Figura 1.18). Denotemos por θ1 e

θ2 os angulos formados entre as retas r e h1, e s e h2, respectivamente.

Se r e s sao paralelas entao θ1 = θ2 e assim os triangulos A1B1C1 e A2B2C2 sao

semelhantes. Mas, A1B1 = A2B2 e, assim, os dois triangulos sao congruentes. Portanto,

B1C1 = B2C2, isto e, a1 = a2.


Reciprocamente, se a1 = a2 os triangulos sao congruentes pelo caso lado angulo

lado, usando o angulo reto. Logo, θ1 = θ2 e, portanto as retas sao paralelas.

Figura 1.18: Equacoes de retas paralelas

Exemplo: Encontre uma equacao da reta que passa pelo ponto (−1, 3) e e paralela a

reta de equacao

4x+ 2y − 6 = 0.

Resolucao: Notemos que a equacao da reta dada pode ser reescrita como y = −2x+3,

assim seu coeficiente angular e −2. Pela Proposicao 1.2.1, o coeficiente angular da reta

procurada e −2. Logo, como ela passa pelo ponto (−1, 3) uma equacao e dada por

y − 3 = −2(x+ 1), que pode ser reescrita na forma y = −2x+ 1.

Proposicao 1.2.2 (Retas perpendiculares) Sejam r e s duas retas no plano car-

tesiano.

1. Se r e vertical (horizontal) entao s e perpendicular a r se, e somente se, s e

horizontal (vertical).

2. Se r : y = a1x + b1 e s : y = a2x + b2, com a1 = 0 e a2 = 0 entao r e s sao

perpendiculares se, e somente se, a1a2 = −1.


Demonstracao: O primeiro item e imediato. Para o segundo, consideremos as retas

r1 : y = a1x e s1 : y = a2x. Pela Proposicao 1.2.1, r1 e paralela a r e s1 e paralela

a s. Assim para obtermos o resultado podemos usar as retas r1 e s1 em vez de r e s.

Considerando o triangulo OAB, onde O = (0, 0), A = (1, a1) e B = (1, a2), temos que

OA2= 1+a21, OB

2= 1+a22 e AB

2= (a2−a1)

2 = a22−2a1a2+a22 (veja a Figura 1.19).

Se r1 e s1 sao perpendiculares entao o triangulo OAB e retangulo com hipotenusa

AB. Assim, pelo Teorema de Pitagoras, a22 − 2a1a2 + a22 = 2 + a21 + a22 e, portanto,

a1a2 = −1.

Reciprocamente, se a1a2 = −1 entao

AB2= (a2 − a1)

2 = a22 − 2a1a2 + a22 = 1 + a21 + 1 + a22 = OA2+OB

2.

Logo, pelo Teorema de Pitagoras, o triangulo OAB e retangulo com hipotenusa AB.

Portanto, r1 e s1 sao perpendiculares.

Figura 1.19: Equacoes de retas perpendiculares

Exemplo: Encontre uma equacao da reta que passa pelo ponto (2,−3) e e perpendi-

cular a reta de equacao

2y − 3x = 6.

Resolucao: Notemos que a equacao da reta dada pode ser reescrita como y = 3x2+ 3,

assim seu coeficiente angular e 3/2. Pela Proposicao 1.2.2, o coeficiente angular da reta


procurada e −2/3. Logo, como ela passa pelo ponto (2,−3), uma equacao e dada por

y + 3 = −2/3(x− 2), que pode ser reescrita na forma y = −2x3+ 1.

Exercıcio: Determine uma equacao da reta r com a propriedade dada, em cada caso

abaixo.

1. r passa por (0, 5) e e paralela a reta de equacao x− 2y = 6.

2. r passa por (1, 2) e e perpendicular a reta de equacao x+ 2y = 1.

1.2.4 Equacoes das conicas no plano cartesiano

O principal objetivo aqui e obter uma equacao para cada uma das conicas.

Elipse

Seja E uma elipse. Considerando os eixos 0x e 0y, do plano cartesiano, de tal forma

que 0x contenha um eixo e 0y contenha o outro eixo da elipse E temos que E pode ser

representada por uma equacao na forma

x2

a2+

y2

b2= 1,

onde a e b sao numeros reais positivos. A equacao da elipse acima pode ser dada,

tambem, na forma px2 + qy2 = c onde p, q e c sao numeros reais positivos.

No caso particular em que a = b (ou p = q) a elipse e na verdade um cırculo.

Exemplos: Cada equacao abaixo representa uma elipse.

1. x2 + y2 = 9.

2. 6x2 + 10y2 = 15.

Quando a elipse e dada por uma equacao, para fazermos um esboco basta determi-

narmos os seus vertices.


Hiperbole

Seja H uma hiperbole. Considerando os eixos 0x e 0y, do plano cartesiano, de tal

forma que 0x (ou 0y) contenha um eixo de H e 0y (ou 0x) contenha a mediatriz do

segmento definido pelos dois vertices de H temos que H pode ser representada por uma

equacao na formax2

a2− y2

b2= 1 ou

y2

b2− x2

a2= 1,

onde a e b sao numeros reais positivos. A hiperbole acima pode ser dada, tambem, por

uma equacao na forma px2 − qy2 = c ou qy2 − px2 = c onde p, q e c sao numeros reais

positivos (na verdade basta que todos tenham o mesmo sinal).

Exemplos: Cada equacao abaixo representa uma hiperbole.

1. x2 − y2 = 9.

2. y2 − 2x2 = 3.

Quando a hiperbole e dada por uma equacao (como acima), para fazermos um

esboco basta determinarmos os seus vertices.

Uma equacao na forma

xy = c,

com c constante, tambem representa hiperbole.

Parabola

Seja P uma parabola. Considerando os eixos 0x e 0y, do plano cartesiano, de tal

forma que 0x ou 0y seja paralelo ao eixo da parabola temos que P pode ser representada

por uma equacao na forma

y = ax2 + bx+ c ou x = ay2 + by + c

onde a = 0.

Exemplos: As equacoes x = 3y2 e y = 2x2 − 5x+ 7 representam parabolas.


Quando a parabola e dada por uma equacao (como acima), para fazermos um

esboco determinamos: se e convexa ou concava, o vertice e a intersecao com os eixos.

Faremos um esboco de uma parabola dada por uma equacao na forma y = ax2 +

bx+ c. O outro caso e analogo.

Para isso, consideremos uma parabola de equacao

y = ax2 + bx+ c,

onde a = 0.

A inclinacao da parabola depende do sinal de a: se a > 0 entao a parabola e

inclinada para cima e nesse caso dizemos que a parabola e convexa ou concava

para cima . Se a < 0 entao a parabola e inclinada para baixo e nesse caso dizemos

que a parabola e concava ou concava para baixo.

Intersecao com o eixo 0y: se x = 0 entao y = c. Logo a parabola intercepta o eixo

0y no ponto (0, c).

Para determinarmos o vertice e estudarmos a intersecao com o eixo 0x precisaremos

do numero ∆ definido por

∆ = b2 − 4ac.

O vertice da parabola e o ponto V = (xV , yV ) = (− b2a,−∆

4a).

• Se ∆ < 0 entao a parabola nao intercepta o eixo 0x.

• Se ∆ = 0 entao a parabola intercepta o eixo 0x em x = −b2a.

• Se ∆ > 0 entao a parabola intercepta o eixo 0x em x1 =−b+

√∆

2ae x2 =

−b−√∆

2a.

Quando ∆ ≥ 0 os pontos de intersecao da parabola com o eixo Ox sao chamados

raızes da equacao

ax2 + bx+ c = 0.

Notemos ainda que

• Se ∆ = 0 entao y = ax2 + bx+ c = a(x+ b2a)2.

• Se ∆ > 0 entao y = ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2).


1.2.5 Tangente

Vamos agora desenvolver o metodo de Descartes para a tangente as conicas. A ideia

aqui e determinar primeiro a reta perpendicular a tangente e a partir daı determinar

a tangente. Antes de fazermos a descricao precisamos de duas definicoes.

Dizemos que

• duas conicas sao tangentes num ponto P se as duas passam por P e as tangentes

a cada conica em P coincidem;

• uma reta e normal a uma conica num ponto P se a reta passa por P e e

perpendicular a tangente.

Figura 1.20: Tangente e normal a parabola

Consideremos uma conica, no plano cartesiano, de equacao F (x, y) = 0 e seja

P = (x0, y0) um ponto da conica, no qual queremos determinar a tangente e a normal.

O metodo de Descartes consiste em determinar o cırculo com centro no eixo 0x e que

seja tangente a conica dada no ponto dado P = (x0, y0). Para isso, consideremos o

cırculo com centro C = (c, 0) e tangente a conica no ponto P . Sabemos que a reta que

passa por P e C e normal ao cırculo e como o cırculo e tangente a curva segue que

esta reta e normal a curva. Assim, para resolvermos o problema, basta encontrarmos a

abscissa c. A equacao do cırculo e (x−c)2+y2 = r2. A ideia e eliminar y, por exemplo,

no sistema

F (x, y) = 0 e (x− c)2 + y2 = r2,

obtendo uma equacao em x, c e r: f(x, c, r) = 0. Como o cırculo e tangente a conica no

ponto P , o que significa que esta ultima equacao tem x0 (a abscissa do ponto P ) como


raiz dupla, devemos ter f(x, c, r) = (x − x0)2g(x, c, r). Comparando os coeficientes

nesta ultima equacao, obtemos o valor de c.

Figura 1.21: Metodo analıtico

No que segue denotamos por aT e aN os coeficientes angulares das retas tangente e

normal, respectivamente, a conica no ponto P dado.

Exemplo: Determine uma equacao da reta tangente e uma equacao da reta normal a

parabola de equacao y2 = px, p > 0, no ponto P = (x0, y0).

Resolucao: Eliminando a incognita y no sistema

y2 = px e (x− c)2 + y2 = r2,

obtemos a equacao

(x− c)2 + px = r2.

Esta ultima equacao pode ser reescrita na forma

x2 + (p− 2c)x+ c2 − r2 = 0.

Notemos que o coeficiente de x2 e 1, assim, pelo que foi descrito acima temos

x2 + (p− 2c)x+ c2 − r2 = (x− x0)2 = x2 − 2x0x+ x2

0.

Comparando o coeficiente de x, obtemos p− 2c = −2x0 e, resolvendo, obtemos o valor

de c: c = x0 +p2. Logo, a reta normal a parabola no ponto P = (x0, y0) passa pelo


ponto (x0 +p2, 0) e, assim, seu coeficiente angular e aN = −2y0

p. Alem disso, se y0 = 0

entao o coeficiente angular da reta tangente e dado por aT = p2y0

.

Portanto, as equacoes pedidas sao:

Reta normal: y = −2y0p

(x− x0) + y0.

Reta tangente: y = p2y0

(x− x0) + y0.

Exercıcio: Determine uma equacao da reta tangente e uma equacao da reta normal

a parabola de equacao y2 = px, p > 0, no ponto P = (0, 0).

Exemplo: Determine uma equacao da reta tangente e uma equacao da reta normal a

elipse de equacaox2

a+

y2

b= 1,

com a = b, a > 0 e b > 0, no ponto P = (x0, y0), com x0 = 0 e y0 = 0.

Resolucao: Eliminando a incognita y no sistema

x2

a+

y2

b= 1 e (x− c)2 + y2 = r2,

obtemos a equacao

(x− c)2 + b− b

ax2 = r2.

Esta ultima equacao pode ser reescrita na forma

(1− b

a)x2 − 2cx+ c2 + b− r2 = 0.

Notemos que o coeficiente de x2 e 1 − ba= a−b

a, assim, pelo que foi descrito acima

temos

a− b

ax2 − 2cx+ c2 + b− r2 =

a− b

a(x− x0)

2 =a− b

ax2 − 2

a− b

ax0x+

a− b

ax20.

Comparando o coeficiente de x, obtemos −2c = −2 a−ba

x0 e, resolvendo, obtemos o

valor de c: c = a−ba

x0. Logo, a reta normal a elipse no ponto P = (x0, y0) passa

pelo ponto (a−ba

x0, 0) e, assim, seu coeficiente angular e aN = ay0bx0

. Alem disso, a reta

tangente tem coeficiente angular aT = − bx0

ay0.

Portanto, as equacoes pedidas sao:

Reta normal: y = ay0bx0

(x− x0) + y0.


Reta tangente: y = − bx0

ay0(x− x0) + y0.

Exercıcio: Determine uma equacao da reta tangente e uma equacao da reta normal

a hiperbole de equacaox2

a− y2

b= 1,

com a > 0 e b > 0, no ponto P = (x0, y0).

1.2.6 Problemas

1. Em cada caso abaixo, represente no plano cartesiano os pontos P e Q, o segmento

que os liga e calcule a distancia entre eles.

(a) P = (1, 0) e Q = (2, 0).

(b) P = (0,−1) e Q = (0, 3).

(c) P = (0,−2) e Q = (3, 0).

(d) P = (2,−1) e Q = (−1, 5).

2. Justifique, baseado nas aulas, as seguintes afirmacoes:

(a) nao existe divisao por zero.

(b) a1 = 1.

(c) Se a > 0 e b < 0 entao ab < 0.

(d) Se a < 0 e b < 0 entao ab > 0.

(e) (−1)(−1) = 1.

3. Utilize as propriedades de adicao e multiplicacao para verificar que se a, b ∈ R

entao:

(a) (ab)2 = a2b2;

(b) (ab)n = anbn, onde n e um numero inteiro qualquer;

(c) (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2;

(d) (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3;


(e) (a + b)n =n∑

k=0

n!

k!(n− k)!an−k bk, onde n e um numero natural qualquer e

p! denota o fatorial de p p! = 1 · 2 · 3 · · · p.

4. Determine uma equacao da reta r, e faca um esboco no plano cartesiano, em cada

caso abaixo:

(a) r e vertical e passa pelo ponto (−1, 2).

(b) r e horizontal e passa pelo ponto (−1, 2).

(c) r e a reta que passa pelos pontos (1, 3) e (2, 1). y = −2x+ 5

(d) r passa por (0,−1) e e paralela a reta de equacao 4x− 2y = 8. y = 2x− 1

(e) r passa pelo ponto de intersecao das retas de equacoes y = x−2 e y = −2x+4

e e perpendicular a reta de equacao y = 3x− 7. y = −x

3+

2

3

5. Faca um esboco, no plano cartesiano, da regiao R, em cada caso abaixo:

(a) R = {(x, y) : −3 ≤ x < 2 e − 1 < y ≤ 2}.

(b) R = {(x, y) : −3 ≤ x < 2 e y ≥ −1}.

(c) R = {(x, y) : x < 1 e 0 ≤ y ≤ 2}.

(d) R = {(x, y) : x < 2 e y ≥ −1}.

6. Identifique cada conica (como cırculo, elipse, hiperbole ou parabola) e faca um

esboco no plano cartesiano.

(a) x2 + y2 = 1.

(b) 4x2 + y2 = 16.

(c) 4x2 − y2 = 4.

(d) y2 − 4x2 = 4.

(e) y2 = 3x.

(f) x+ y2 = 9.

(g) y2 = y + x+ 2.

7. Em cada caso abaixo, utilize o metodo analıtico de Descartes para determinar

uma equacao da reta tangente e uma equacao da reta normal a conica no ponto

P dado.


(a) 4x2 + y2 = 25, P = (−2, 3). aT = 8/3

(b) 4x2 − y2 = 15, P = (2, 1). aT = 8

(c) y2 − 4x2 = 21, P = (−1, 5). aT = −4/5

(d) y2 = 3x, P = (4, 2). aT = 3/4

1.3 Metodo das fluxoes e da diferencial

Os metodos das fluxoes de Newton e da diferencial de Leibniz foram desenvolvidos

no mesmo perıodo e de forma independente. Esses metodos sao muito parecidos e

um dos conceitos centrais usado e o de infinitesimal , que sao quantidades que sao

infinitamente divisıvel, de tal forma que se torne menor que qualquer outra quantidade

dada.

1.3.1 Metodo das fluxoes

Um dos problemas que Newton propoe e: dada a relacao entre dois fluentes (ou

quantidade de fluxo), que sao quantidades que estao aumentando (ou diminuindo) gra-

dualmente e indefinidamente, determinar a relacao entre as fluxoes, que e a velocidade

do fluente em qualquer tempo proposto.

No movimento de um corpo, por exemplo, o fluente e o comprimento do espaco

percorrido, que esta aumentando. Fluentes sao representados pelas letras x, y, z, v, w,

etc., enquanto que a fluxao dos fluentes x, y, z, v, w, etc. e denotado, respectivamente,

por x, y, z, v, w, etc. As constantes sao denotadas pelas letras iniciais do alfabeto: a,

b, c, etc.

A relacao entre os fluentes, em geral, e dada por uma equacao.

A resolucao de Newton para esse problema e a seguinte: denotemos os fluentes por

x e y. Escreva, inicialmente, a equacao em relacao a x. Multiplique cada termo da

equacao porx

xvezes o expoente de x (para cada termo da equacao). Em seguida faca

a mesma coisa com y. Por fim, soma todos os produtos e iguala a zero.

O metodo de Newton e ilustrado no seguinte exemplo.

Exemplo: Determinar a relacao entre as fluxoes sendo que a relacao entre os fluentes

Secao 1.3 · Metodo das fluxoes e da diferencial 37

e dado pela equacao

x3 − ax2 + axy − y3 = 0.

Resolucao: O metodo descrito acima e ilustrado no esquema abaixo

Mult. x3 −ax2 +axy −y3 x3 −ax2 +axy −y3

por 3 xx

2 xx

xx

0 0 0 yy

3 yy

resulta 3x2x −2axx +ayx 0 0 0 +axy −3y2y

Fazendo a soma dos produtos igual a zero obtemos a equacao

3x2x− 2axx+ ayx+ axy − 3y2y = 0,

que da a relacao entre x e y. Essa equacao pode ser reescrita na forma

y

x=

2ax− 3x2 − ay

ax− 3y2,

que da o quociente entre as fluxoes.

Nao faremos aqui uma demonstracao desse metodo, mas descreveremos uma ideia

de como ele funciona.

Sejam x e y duas variaveis ou quantidades e consideremos w = x + y e z = xy.

Queremos determinar w e z em funcao de x, y, x e y.

Consideremos os valores que as variaveis assumem, sucessivamente, em tres perıodos

de tempos: x − 12x, x e x + 1

2x para a variavel x e y − 1

2y, y e y + 1

2y para a

variavel y.

Nesses perıodos de tempo a variavel w assume os valores x− 12x + y − 1

2y, x + y

e x + 12x + y + 1

2y, isto e, x + y − 1

2x − 1

2y, x + y e x + y + 1

2x + 1

2y. Assim, no

primeiro perıodo a variavel w passa de x+ y − 12x− 1

2y para x+ y e por subtracao

obtemos o incremento no primeiro perıodo: 12x + 1

2y. Da mesma forma, no segundo

perıodo a variavel w passa de x+ y para x+ y + 12x+ 1

2y e por subtracao obtemos

o incremento no segundo perıodo: 12x+ 1

2y. Portanto, o incremento em w no perıodo

total e a soma dos incrementos em cada perıodo, isto e, w = x+ y.

De forma analoga, nesses perıodos de tempo a variavel z assume os valores

(x − 12x)(y − 1

2y), xy e (x + 1

2x)(y + 1

2y), isto e, xy − 1

2xy − 1

2yx + 1

4xy, xy e

xy + 12xy + 1

2yx + 1

4xy. Assim, no primeiro perıodo a variavel z passa de

xy − 12xy − 1

2yx + 1

4xy para xy e por subtracao obtemos o incremento no primeiro


perıodo: 12xy + 1

2yx − 1

4xy. Da mesma forma, no segundo perıodo a variavel z passa

de xy para xy+ 12xy+ 1

2yx+ 1

4xy e por subtracao obtemos o incremento no segundo

perıodo: 12xy + 1

2yx − 1

4xy. Portanto, o incremento em z no perıodo total e a soma

dos incrementos em cada perıodo, isto e, z = xy + yx.

Algumas consequencias disso sao:

• se z = ax, onde a e uma constante entao z = ax, ja que, pelo que foi feito acima,

z = ax+ xa e a = 0, pois a e uma constante;

• se z = x2 entao z = 2xx, pois z = xx e z = xx+ xx = 2xx;

• se z = xn, com n ∈ N entao z = nxn−1x;

• se z = x−n, com n ∈ N entao z = −nx−n−1x. De fato, nesse caso zxn = 1 e, pelo

que foi feito anteriormente, zxn+znxn−1x = 0, isto e, z = −n zxn−1xxn = −nx−n−1x.

Em particular, se z = xn, com n ∈ Z entao z = nxn−1x.

Aplicando o que foi feito acima para a igualdade z = x3 − ax2 + axy− y3, obtemos

z = 3x2x− 2axx+ axy + ayx− 3y2y, obtendo a expressao do exemplo anterior.

Tangente

Seja P = (x, y) um ponto sobre uma curva F (x, y) = c. Queremos determinar

uma equacao para a reta tangente a curva em P . Para isso, consideremos Q o pe da

perpendicular baixada por P sobre o eixo 0x (veja a Figura 1.22). Movendo o segmento

PQ, de modo que a variacao na abscissa seja indefinidamente pequeno, obtemos um

novo segmento pq paralelo a PQ de tal forma que q esta sobre o eixo 0x e o segmento

pq sofre uma variacao de bp, onde b e o ponto sobre o segmento pq tal que bq = PQ.

Consideremos a reta que passa por P e p. Essa reta corta o eixo 0x num ponto, que

denotamos por T . Notemos que os triangulos PQT e Pbp sao semelhantes. Assim, a

reta definida acima tem coeficiente angular

PQ

TQ=

y

x.

Logo, se uma curva e dada por uma relacao nas variaveis x e y, atraves de uma

equacao, entao o coeficiente angular da reta tangente num ponto dado P = (x0, y0)

e determinado, no metodo das fluxoes de Newton, como quociente das fluxoesy

x.


Figura 1.22: Metodo das fluxoes

Exemplo: Determinar uma equacao da reta tangente e uma da reta normal a curva

de equacao

x3 − 7x2 + 7xy − y3 = 0,

no ponto P = (1, 2).

Resolucao: Notemos que nessa equacao, a relacao entre as fluxoes e dada por

3x2x− 14xx+ 7yx+ 7xy − 3y2y = 0,

ou seja,y

x=

14x− 3x2 − 7y

7x− 3y2.

Assim, no ponto P = (1, 2) as retas tangente e normal a curva tem coeficiente angular

aT = 3/5 e aN = −5/3, respectivamente. Logo, uma equacao para a reta tangente e

dada por y = 35(x− 1) + 2 e para a reta normal dada na forma y = −5

3(x− 1) + 2.

1.3.2 Metodo da diferencial

O metodo da diferencial de Leibniz e desenvolvido a partir do seu estudo sobre

sequencias numericas. Leibiniz considerava uma sequencia de pontos cujas diferencas

entre os pontos era um infinitesimal. Quando se considerava sequencia finita esses

infinitesimais eram chamados incremento ou decremento e denotados por ∆x e

∆y, respectivamente. No caso de considerar sequencia infinita esses infinitesimais eram

chamados diferenciais e denotados por dx e dy, respectivamente.


Sejam x e y duas variaveis ou quantidades e consideremos w = x + y e z = xy.

Queremos determinar dw e dz em funcao de x, y, dx e dy. Temos que

dw = x+ dx+ y + dy − (x+ y) = dx+ dy

e

dz = (x+ dx)(y + dy)− xy = xy + xdy + ydx+ dxdy − xy = xdy + ydx+ dxdy.

Leibniz desprezava o termo dxdy, pois e um infinitesimal de ordem dois, isto e, o

produto de dois infinitesimais e portanto muito pequeno. Assim, dz = xdy + ydx.

Portanto,

d(x+ y) = dx+ dy

e

d(xy) = xdy + ydx.

Procedendo como no caso do metodo das fluxoes, obtemos que se z = xr, com r inteiro,

entao

dz = rxr−1dx.

Tangente

Consideremos uma curva dada por uma equacao nas variaveis x e y. Para deter-

minar a tangente a curva num ponto P = (x, y), Leibniz considerava uma sequencia

de pontos (inicialmente finita) na abscissa e determinava um triangulo de lados ∆x,

∆y e ∆s, utilizando dois pontos consecutivos da sequencia, como na Figura 1.23. Por

extrapolacao, passando a uma sequencia infinita, o triangulo torna-se um triangulo

diferencial de lados dx, dy e ds. A reta que contem ds e a tangente a curva em P e,

portanto, tem coeficiente angulardy

dx.

Logo, se uma curva e dada por uma relacao nas variaveis x e y, atraves de uma

equacao, entao o coeficiente angular da reta tangente num ponto dado P = (x0, y0)

e determinado, no metodo da diferencial de Leibniz, como quociente das diferenciaisdy

dx.

Exemplo: Determine uma equacao da reta tangente e da reta normal a curva de

equacao

x3 − 6xy + y3 = 0,


Figura 1.23: Metodo da diferencial

no ponto P = (−1, 1).

Resolucao: Pelas propriedades para se obter as diferenciais da soma, do produto e da

potencia, descritos acima temos

3x2dx− 6ydx− 6xdy + 3y2dy = 0,

ou seja,dy

dx=

6y − 3x2

3y2 − 6x.

Assim, a reta tangente a curva no ponto P = (−1, 1) tem coeficiente angular aT = 1/3

e, assim, sua equacao e dada por

y =1

3(x+ 1) + 1.

Logo, a reta normal tem coeficiente angular aN = −3 e sua equacao pode ser dada na

forma

y = −3(x+ 1) + 1.

1.3.3 Problemas

1. Em cada caso abaixo, utilize os metodos de Newton e de Leibniz para determinar

uma equacao da reta tangente e uma equacao da reta normal a curva no ponto

P dado.


(a) x2 + xy + y2 = 3, P = (1, 1). aT = −1

(b) x2 + 2xy − y2 + x = 2, P = (1, 2). aT = 7/2

(c) 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2), P = (3, 1). aT = −9/13

(d) y2(y2 − 4) = x2(x2 − 5), P = (0,−2). aT = 0

Método análitco

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